专题07 相似三角形中的基本模型之十字架模型-2024-2025学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版）

专题07 相似三角形中的基本模型之十字架模型 几何学是数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中几何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。 本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学生更好地理解和掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.矩形中的十字架模型（相似模型） 2 模型2.等边三角形中的斜十字模型（相似模型） 9 模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型） 14 22 模型1.矩形中的十字架模型（相似模型） 矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩形的两边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系。 条件：如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，结论：. 证明：四边形为矩形，，； DE⊥AC，，，，，. 条件：如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，结论：. 证明：如图，过点F作于点G，则； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ；EF⊥AC，，； ，，，易证：DC=AB，FG=BC，. 条件：如图3，矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且EF⊥MN，结论：. 证明：如图：过点N、F作、垂直，； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ∵EF⊥MN，，∴； 又∵（对顶角相等），∴； ∴，，易证：NH=AB，FG=BC，. 例1．（23·24下·广西·九年级期中）如图，把边长为，且的平行四边形对折，使点和重合，求折痕的长． 【答案】 【分析】先证明，得到，求出BE和BF，然后得到BD，DG和MG的长度，再利用全等三角形的性质，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接与交于点，并补全矩形为． ∴，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，∴，∴， ∵且，∴， 又∵，∴， ∴，∴， ∴， ∵，，， ∴，∴，∴． 【点睛】此题是折叠问题，主要考查了折叠的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线，运用所学的性质定理得到，从而求出所需边的长度． 例2．（23·24下·山东·九年级期中）如图，在矩形中，，，在上有一点，若，则和之间有什么数量关系？然后请证明． 【答案】，见解析 【分析】由同角的余角相等，得到，然后证明，由相似三角形的性质，即可得到答案． 【详解】解：. 证明如下：∵四边形为正方形，，， ∴，，，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，以及同角的余角相等，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，正确得到． 例3．（22-23·贵港·中考真题）已知：在矩形中，，，是边上的一个动点，将矩形折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为． （1）如图1，当点与点重合时，则线段_______________，_____________； （2）如图2，当点与点，均不重合时，取的中点，连接并延长与的延长线交于点，连接，，．①求证：四边形是平行四边形：②当时，求四边形的面积． 【答案】（1）2，4；（2）①见解析；② 【分析】（1）过点F作FH⊥AB，由翻折的性质可知：AE＝CE，∠FEA＝∠FEC，∠G＝∠A＝90°根据平行线的性质和等量代换可得∠CFE＝∠FEC，由等角对等边可得：CF＝CE，设AE＝CE＝x，BE＝6﹣x，在Rt△BCE中，由勾股定理可得关于x的方程，解方程求得x的值，进而可得BE、DF的长，由矩形的判定可得四边形DAHF是矩形，进而可求FH、EH的长，最后由勾股定理可得EF的长； （2）①根据折叠的性质可得，进而可得，根据已知条件可得，从而易证，进而根据全等三角形的性质和平行四边形的判定即可求证结论； ②连接与交于点，则且，又由①知：， ，则，继而易证∠MAD＝PAB，接根据三角函数求得PB，设，则，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程可得PE的长，继而代入数据即可求解． 【详解】解：（1） 2 ， 4 ；过点F作FH⊥AB， ∵折叠后点A、P、C重合∴AE＝CE，∠FEA＝∠FEC， ∵CD∥AB∴∠CFE＝∠FEA，∴∠CFE＝∠FEC，∴CF＝CE＝AE， 设AE＝CE＝CF＝x，BE＝AB﹣AE＝6﹣x， 在Rt△BCE中，由勾股定理可得，即 解得： x＝4，即AE＝CE＝CF＝4∴BE＝2、DF＝2， ∵∠D＝∠A＝∠FHA＝90°∴四边形DAHF是矩形， ∴FH＝、EH＝AB﹣BE﹣AH＝6﹣2﹣2＝2 在Rt△EFH中，由勾股定理可得: ＝4 （2）①证明：如图2，∵在矩形中，， 由折叠（轴对称）性质，得：，∴， ∵点是的中点，∴，又，∴， ∴，∴四边形是平行四边形： ②如图2，连接与交于点，则且， 又由①知：，∴，则， 又，∴，∴ 在，，而，∴， 又在中，若设，则， 由勾股定理得：，则，而且， 又四边形是平行四边形，∴四边形的面积为． 【点睛】本题主要考查矩形与翻折的问题，涉及到勾股定理、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定及其性质、翻折的性质、正切的有关知识，解题的关键是熟练掌握所学知识并且学会作辅助线． 例4．（2023秋·辽宁锦州·九年级统考期末）已知四边形． (1)问题探究：如图1，当四边形是正方形时，点E，Q分别在边，上，于点M，点F，G分别在边，上，． ①判断与的数量关系：___________；②推断：的值为___________． (2)变式应用：如图2，当四边形是矩形，．点F，G分别在边，上，将四边形沿折叠，使点A落在边上的点E处，得到四边形，连接交于点O．试判断与之间的数量关系，并说明理由；(3)拓展应用：如图3，在四边形中，，若点E，Q分别在边BC，上，，请直接写出的值．    【答案】(1)①；②1(2)，理由见解析(3) 【分析】（1）①由正方形的性质得．所以，又知，得出，于是，可得；②证明四边形是平行四边形即可解决问题；（2）如图2，作于．证明：即可解决问题；（3）如图3，过点作，交的延长线于点N，过点作，连接，证明，得出，证明，可得出，由勾股定理求出，利用（2）中结论则可得出答案． 【详解】（1）解：①证明：四边形是正方形，       ，．． ，． ．， ．故答案为：． ②结论：．理由：，，， ，四边形是平行四边形，， ，，．故答案为：1． （2）结论：．理由：如图2中，过点作于． ，， ，， ，，， ，四边形是矩形， ，． （3）如图3，过点作，交的延长线于点N，过点作，连接， ，，，四边形是矩形， ，，， ，，，， ，，且， ，且，， ，，， ，， （不合题意，舍去），，， 由（2）的结论可知：． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题． 模型2.等边三角形中的斜十字模型（相似模型） 条件：如图1，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE）， 结论：①AD=BE，②AD和BE夹角为60°，③。 证明：如图，在等边中，，， 在与中，，，∴AD=BE，； ，∴AD和BE夹角为60°； ，，，同理： ， 例1．（2024·广东·校考一模）等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，且满足AE＝CF，连接AF，BE相交于点P．(1)求证：AF＝BE；(2)若AE＝2，试求AP·AF的值； 【答案】(1)见解析(2)12(3) 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质可得到答案； （2）利用勾股定理求得AF的长度，再用平行线分线段成比例定理或者三角形相似定理求得AP•AF的值，即可以得到答案．（3）当点F靠近点C的时候点P的路径是一段弧，当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时为等腰三角形，继而求得半径和对应的圆心角的度数，求得答案． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ，又， 在和中，， ，； （2）解：∠C＝∠APE＝60°，∠PAE＝∠CAF， ，，即，； （3）当AE＝CF时，由（1）知，， ，，， 根据圆周角定理可知：点P的路径是一段弧，如图1所示： 当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，且∠ABP＝∠BAP＝30°， ∠AOB＝120°，又AB＝6，，OA＝．点P的路径是． 【点睛】本题考查等边三角形性质的综合应用，相似三角形的判定及性质的应用，弧长公式，解题关键是灵活运用条件和性质． 例2．（23·24上·滨州·期末）如图，在边长为6的等边中，D、E分别为边上的点，与相交于点P，若，则的周长为 ． 【答案】 【分析】如图所示，过点E作于F，先解直角三角形求出，从而求出，利用勾股定理求出的长，证明得到，再证明，得到，即可求出，从而求出,最后根据三角形的周长公式即可解答． 【详解】解：如图：过点E作于F， ∵是等边三角形，∴， ∵， ∴，∴， ∴，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，∴，∴，∴， ∴，∴， ∴△ABP的周长．故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、解直角三角形、勾股定理、相似三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 例3．（23·24下·吉安·模拟预测）课本再现： (1)如图1，D，E分别是等边三角形的两边上的点，且．求证：．下面是小涵同学的证明过程： 证明：∵是等边三角形，∴． ∵，∴，∴． 小涵同学认为此题还可以得到另一个结论：的度数是 　 　； 迁移应用：(2)如图2，将图1中的延长至点G，使，连接．利用（1）中的结论完成下面的问题．①求证：；②若，求证：；拓展提升：(3)在等边中，若点D，E分别在射线上，连接交于点F，且，将绕点C逆时针旋转到，且使得．直线与直线交于点P，若，则的值为 　 　    【答案】(1)60°(2)①见解析；②见解析(3)2或3 【分析】（1）由全等的性质，得角相等，作等量代换得证结论； （2）①求证，得，相应可证，于是；②可证，得，相应的，可证得； （3）如图3，当点D，点E分别在上时，由，得，可求证是等边三角形，进一步求证，得，从而；如图4，当点D，点E分别在的延长线，的延长线上时，求证是等边三角形，得，进一步求证，得，求证CB=2BD，所以CP=3BP，． 【详解】（1）解：∵，∴， ∵，∴，故答案为：； （2）证明：①由（1）知，∴， 又∵，∴是等边三角形，∴． ∴，∴， 又∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴； ②∵，∴，∴， ∵，∴，∵，∴； （3）解：如图3，当点D，点E分别在上时， ∵，∴，∵， ，∴，∵，∴，       ∵，∴是等边三角形，∴， ∴，∴，由②知 AD=2BD，∴； 如图4，当点D，点E分别在的延长线，的延长线上时，∵,∴. ∵,∴, ∵,∴∴是等边三角形， ∴，∴， 又∵，∴，∴，∴， ∴CB=2BD，∴CP=3BP，∴，故答案为：2或3． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质；当属于动点情况时，注意分类讨论，情况完备是解题的关键． 模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型） 该模型主要分等腰直角三角形和普通直角三角形两类情况讨论。 1）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）： 条件：如图2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，结论：①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 如图1，过点C作BC的垂线交BF于点H，过点A作AG垂直于CH，∴∠BCH=90°，∴∠CBH+∠CHB=90° ∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠BCH=∠ABC=90°，∵BF⊥AD，∴∠CBH+∠ADB=90°，∴∠CHB=∠ADB， ∵AB=BC，∴，∴BD=CH，∵D为BC中点，∴BD=DC=CH，∴AB=2CH， 易证：四边形ABCG为正方形，即AB//CG，∴，∴AF：CF=BA：HC=2：1 ∵AB=BC，AB⊥BC，∴∠BCA=45°，∵∠BCH=90°，∴∠BCA=∠GCA=45°， ∵DC=CH，CF=CF，∴，∴∠CHF=∠CDF，∠CFH=∠CFD， ∴∠BDA=∠CDF，∵∠CFH=∠AFB，∴∠AFB=∠CFD， 如图2，过点C作CQ垂直于BF，∴∠BQC=90°， ∵AB⊥BC，∴∠ABD=∠BQC=90°，∴∠ABE+∠QBC=90°，∵AB=BC，∴， ∴CQ=BE，AE=BQ，∵BF⊥AD，CQ⊥BF，易证：，∴EA：QC=AF：CF=2：1。 ∴AE=BQ=BE+EQ=CQ+EQ，∴CQ=EQ，∴QEC为等腰直角三角形，∴∠QEC=45°， ∴∠AEC=135°，。 2）直角三角形中的十字模型： 如图3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：k2，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。（全等+相似） 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 由于该模型证明主要结合了前面矩形中的十字架模型和等腰直角三角形中的十字架模型，故此不再详细证明，有兴趣的同学可以自行证明即可。 例1．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在中，，，点D为边上一动点（不与点B、C重合），垂直交于点E，垂足为点H，连接并延长交于点F，下面结论：①若是边上的中线，则；②若平分，则；③若，则；④当时，．正确的有（填序号） ．    【答案】①②③④ 【分析】根据勾股定理，再利用三角形面积公式求得，即可判断①；过点C作交的延长线于点M，根据等腰直角三角形的判定与性质可得，再根据直角三角形的性质和平行线的性质推出，再由相似三角形的性质即可判断②；过点B作交的延长线于点N，当时，设，则，，证明，可得，再根据平行线的判定可得，从而证得，再由相似三角形的性质即可判断③；过点D作交于点M，根据三角形中位线定理可得，再根据直角三角形的性质和平行线的性质推得，，，再由相似三角形的性质即可判断④． 【详解】解：∵是边上的中线，∴，∵，∴， ∵，，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，故①正确，符合题意； 如图，过点C作交的延长线于点M，    ∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∴， ∵，∴，∵平分，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，故②正确，符合题意； 当时，设，则，∴， 过点B作交的延长线于点N，         ∴，∴， ∵，∴，∴， 又，，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，故③正确，符合题意； 如图，过点D作交于点M，当时，∴是的中位线，∴， ∵，，∴， ∴，，∴，∴， ∴，∵，，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，故④符合题意；故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理及平行线的性质与判定，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 例2．（23·24下·鞍山·阶段练习）如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点 D 是线段 AB 上的一点，连结 CD．过点 B 作 BG⊥CD，分别交 CD、CA 于点 E、F，与过点 A 且垂直于 AB 的直线相交于点 G，连结 DF，给出以下四个结论：①；②若AB，则点 D 是 AB 的中点；③若，则 S△ABC＝9S△BDF；④当 B、C、F、D 四点在同一个圆上时，DF＝DB；其中正确的结论序号是（    ）    A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】B 【分析】由可得：,所以,利用相似三角形的性质可以得到①正确；由以及已知条件可以得到，进而由①所得结论确定为的三等分点，可确定结论②正确；根据可以得到，，则，由线段的比例关系即可求得面积的比例关系；当四点在同一个圆上时，利用圆内接四边形的对角互补可以得到，则是所在圆的直径，由垂径定理可得； 【详解】由题意可得： 故结论①正确； , ,是等腰直角三角形 在和中：   是等腰直角三角形，   由结论①可得： 点是的中点故结论②正确； ，，, , ,即 故结论③错误； 当四点在同一个圆上时， , 是所在圆的直径 故结论④正确；故选：B. 【点睛】本题主要考查了三角形的综合，包括全等三角形的性质判定以及相似三角形的性质判定，以及三角形的面积关系，题目综合性比较强，熟练掌握相关的性质定理是求解本题的关键. 例3．（23·24上·抚州·期末）如图①，在中，，，点D为边上的一点，连接，过点C作于点F，交于点E，连接．(1)求证：；(2)若，求证：；(3)如图②，若，，求的值． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【分析】（1）根据同角的余角相等得到，证明； （2）过点B作交的延长线于H，根据平行线分线段成比例定理得到，证明，根据全等三角形的性质得到，进而证明结论；（3）证明，根据相似三角形的性质求出，根据平行线分线段成比例列出比例式，计算即可． 【详解】（1）证明：∵∴． ∵∴∴ 因为∴ （2）证明：如图①，过点B作交的延长线于H ∵∴∴∴ 由（1）可知，∴ 在和中∴（AAS）∴∴ （3）解：在中，，，则， 设，则在中，则 ∵，∴ ∴，即解得：，（舍去） ∵，∴∴ 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握相似三角形的判断定理是解题的关键． 例4．（23-24九年级上·江西九江·期末）初识图形：（1）如图1，E、F分别为正方形的边和边上的点，连接、，且．则 ．（2）如图2，矩形中，点E、F分别在边、上，连接、，且，，，则 ． 类比探究（3）如图3，中，D、F分别为、边上的点，，，，连接，交于点E．求长．请说明理由． 拓展应用（4）如图4，在矩形中，E、F分别为和边上的一点，以为折痕，将四边形翻折，交于P和Q，A和B的翻折后的位置分别是H和G．，，，．请直接写出折痕的长． 【答案】（1）1；（2）；（3），理由见解析；（4）折痕EF为 【分析】（1）根据正方形的性质，互余的性质，证明即可； （2）过点E作于点H，根据矩形的性质，互余的性质，证明，结合勾股定理计算即可．（3）过点B作，过点C作，二线交于点H，延长，交于点G，证明，，结合，证明即可． （4）连接，过点H作，交的延长线于点W，交的延长线于点X，作，交于点V，则四边形是矩形，运用三角函数的定义，三角形相似，勾股定理求解即可． 【详解】(1)如图1，∵四边形是正方形，∴，， ∵于点G，∴，，∴， ∵，∴，∴．∴．故答案为：1． (2)如图，过点E作于点H，∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴，四边形是矩形，∴， ∵于点G，∴，∴， ∴，∴．∴．故答案为：． (3)过点B作，过点C作，二线交于点H，延长，交于点G， 则，，∴，， ∵，，，∴，， ∵，，∴， ∴， ∴，∴，∴，解得， ∴，∴，∴，∴，解得． (4)如图，连接，过点H作，交的延长线于点W，交的延长线于点X，作，交于点V，则四边形是矩形，，，， ∴,根据（2）的结论，得， ∵，，，∴， 根据折叠的性质，得,，∴， ∵，∴，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴， ∴，∴，∴，∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，三角函数，熟练掌握三角形的相似，三角函数是解题的关键． 1．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图正方形中，、分别为、的中点，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握正方形中的全等模型和相似模型是解题的关键．先证明，得出，再证明，即可得，将、转化为即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵、分别为、的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 故选：B． 2．（24-25九年级上·山东·课后作业）如图，在矩形中，，，点E在边上，且，连接，过点C作于点F，交于点P，交于点Q，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，根据矩形的性质证明相似三角形，利用相似三角形得到比例线段是解题的关键． 根据矩形的性质证明和，根据相似三角形的性质列出比例式，求解即可． 【详解】∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴．故选：B. 3．（2023.广东九年级期中）如图，在正方形中，﹐E，F分别为，的中点，连接、，交于点G，将沿翻折得到，延长交延长线于点Q，连接，则的面积是（    ） A． B．25 C．20 D．15 【答案】D 【详解】解：将沿翻折得到，PF=FC，∠PFB=∠CFB， 四边形是正方形∠FPB=90°，CD∥AB， ∴∠CFB=∠ABF，∴∠ABF=∠PFB，∴QF=QB， ∵PF=FC=，PB =AB=2， 在Rt△BPQ中，，∴， ∴QB=，∴S△BQF=， ∵AB=BC，BE=CF，∠ABE=∠BCF=90°，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠AEB=∠BFC， 又∵∠EBG=∠CBF，∴△BGE∽△BCF，， ∵CF=，BC=2，∴BF=5，∴GE=，BG=2， 过点G作GN⊥AB交AB于N， ∵∠GAN=∠EAB，∠ANG=∠ABE=90°，∴△ANG∽△ABE，∴ ∵GA=AE-GE =∴GN=∴S△BQG=×QB×GN==10， ∴S△QGF=S△BQF-S△BQG=25-10=15，故选：D． 4．（2023.湖北九年级期中）如图，在矩形中，点在边上，把沿直线翻折，得到，的延长线交于点为的中点，连接，若点在同一条直线上，，则的值为 ．    【答案】 【详解】解：四边形是矩形， ∴，，，， ∴，，∵点是的中点，∴， ∵沿直线翻折得到，∴，， ∵点在同一条直线上，∴，即， 设，则，且，∴， ∵，， ∴，∴，∴，即， ∴或（不符合题意，舍去），∴， ∵，，∴， ∴故答案为：． 5．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，在矩形中，，是边的中点，，分别是边，上的点，且，垂足为点．若，，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识．通过证明，可求的长，由勾股定理和锐角三角函数可求，的长，即可求解． 【详解】解：过点作，垂足为， ， 点是边的中点， ， 四边形是矩形， ，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 6．（2024·广东深圳·三模）如图，已知矩形中，，将矩形沿折叠，使点A恰好落在边上的点E处，得到四边形，与交于点H，连接．已知，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作，交延长线于，推出，设，则，由勾股定理，得；过点作于点，推出，得到，求出，在中，利用勾股定理列方程，求出，从而得到，，，，，，的长，证明，求出，，，最后在中，由勾股定理，即可求出的长． 【详解】解：过点作，交延长线于，如图， 四边形是矩形， ， 由折叠的性质得：，，， ，，， ， ，， ， ， ， 设，则， 由勾股定理，得， 过点作于点， 四边形是矩形， ， ， ， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中， 由勾股定理，得， 即， 解得：，（不合题意舍去）， ，，，， ， ， ，， ，， ， ， ，， ， 在中， 由勾股定理，得． 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查矩形的判定与性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数定义、勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和矩形的判定与性质，证明三角形相似是解题的关键． 7．（2024九年级上·湖北·专题练习）如图1，中，，点是上一点，连接，过作，交于，交于，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，先证明，再利用相似三角形的性质可得结论． 【详解】解：， ， ， ， 8．（23·24下·江苏·九年级期中）平行四边形中，，分别是边、上的点，，G为垂足．（1）如图1，当，时，求证： （2）如图2，当，，，求的最小值 （3）如图3，当，，E为的中点，直接写出的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】（1）利用正方形的判定与性质得到，，再通过倒角得到，根据全等三角形的判定与性质即可得证；（2）设，则，利用矩形的判定与性质得到，再通过倒角得到，根据相似三角形的判定与性质得到，利用勾股定理得到二次函数，利用二次函数的性质即可求解； （3）过点A作于K，交BC的延长线于H，通过证明∽得到，设，则，，，由，得到，设，则，，根据，得到，即可求解． 【详解】解：（1）∵平行四边形中，，， ∴四边形ABCD是正方形，∴，， ∵，∴，∵，∴， 在和中，，∴≌，∴； （2）∵，，∴，设，则， ∵平行四边形中，，∴四边形ABCD是矩形，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴∽， ∴，即，∴， ∵， ∵，∴EF有最小值，最小值为； （3）∵平行四边形中，，∴四边形ABCD是菱形，∴， 过点A作于K，交BC的延长线于H， ∵，∴，，∴， ∵，∴，∴， ∴∽，∴， 设，则，，， ∵，∴，设，则，， ∵，∴，∴． 【点睛】本题考查正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例等内容，解题中辅助线的引入是得到证明方法的主要手段，这是一道较难的几何综合题． 9．（2024·广东梅州·模拟预测）（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：． 【问题解决】（2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】（3）如图3，在菱形中，，分别在边，上，，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3 【分析】（1）证明，结合，利用“两角对应相等，两个三角形相似”证明结论即可；（2）首先证明，由全等三角形的性质可得，进而证明，易得，结合，即可证明结论；（3）延长到点，使，连接，结合菱形的性质可证明，易得，，进而证明是等边三角形，然后计算的长即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵点在的延长线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，延长到点，使，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 10．（2024·湖北荆州·二模）【教材呈现】人教版八年级下册数学教材第68页第8题如下：如图1，是一个正方形花园，是它的两个门，且，要修建两条路和，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？（此问题不需要作答） 九年级数学兴趣小组发现探究图形中互相垂直的线段之间的数量关系是一个常见问题，于是对上面的问题又进行了拓展探索，内容如下： 【类比分析】（1）如图2，在矩形中，点E是上一点，连接，过点A作的垂线交于点F，垂足为点G，若，，求的长． 【迁移探究】（2）如图3，在中，，，点D是上一点，连接，作交于点E，求证：． 【拓展应用】（3）如图4，在中，，，，作点A关于的对称点D，点E为上一点，连接，过点D作的垂线，交于F，垂足为G，若E为中点，则_________． 【答案】（1）（2）见解析（3） 【分析】（1）利用矩形的性质证明，利用相似三角形性质建立等式并求解，即可解题； （2）作，延长交于点，利用等腰三角形性质，证明，得到，再证明，利用相似三角形性质得到，结合等量代换，即可证明； （3）连接，交于点，由对称的性质可知于点，，作于点，交于点，利用三角形内角和证明，得到，利用等面积法求得，进而得到，设，，利用勾股定理建立等式求解，得到，再证明，利用相似的性质得到，再结合题干条件利用勾股定理得到，将代入等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：四边形为矩形，，， 于点，，，，， ，，，解得； （2）证明：作，延长交于点， ， ，，，， ，，，， ，，，，． （3）解：连接，交于点，由对称的性质可知于点，，作于点，交于点，，，， ，，，，， ，，解得，， ， 设，，有，解得，， ，，， ，，， E为中点，，， ，解得．故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等面积法求高，对称的性质，以及勾股定理等知识，灵活运用相关知识点解决问题是解题关键． 11．（2023·广东深圳·模拟预测）【探究证明】 （1）如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB、CD于点E、F，GH分别交AD、BC于点G、H，求证： ； 【模型应用】 （2）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M、N分别在边BC、AB上，求的值． 【变式拓展】 （3）如图3，平行四边形，，，直线与平行四边形相交，将平行四边形沿直线l折叠，当其中有一组对角顶点重合时，请直接写出折痕的长度． 【答案】（1）见解析   （2）  （3）或 【分析】（1）过点作，交于，过点作，交于，如图1，易证，，，然后运用相似三角形的性质就可解决问题； （2）过点作平行于的直线，交过点平行于的直线于，交的延长线于，如图3，易证四边形是矩形，由（1）中的结论可得．设，，则，，根据勾股定理列出方程组解出x，y，问题得以解决． （3）分两种情况，①沿l折叠后点重合，过作垂线垂足为，构造矩形，由（1）的结论可得；②沿l折叠后点 重叠，过作垂线垂足为，由（1）的结论可得． 【详解】解：（1）过点作，交于，过点作，交于，如图1， 四边形是矩形， ∴，． 四边形、四边形都是平行四边形， ，． 又， ， ． 四边形是矩形， ， ， ． ， ， ， （2）过点作平行于的直线，交过点平行于的直线于，交的延长线于，如图2，则四边形是平行四边形． ，是矩形， ，，． ， 由（1）中的结论可得 ， 设，，则，， 在中，①， 在中，②， 由②①得③， 解方程组，得 ， ， ． （3）①若沿l折叠，点重叠，设l与的交点为．则垂直，过作垂线垂足为， ∵，，， ∴， ∴ ∴， 在中 由探究结论可得， ∴， ∴； ②若沿l折叠，点重叠，设l与的交点为．则垂直，过作垂线垂足为， ∵，， ∴， ∴ ∴， 在中 由探究结论可得， ∴， ∴． 所以，或． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解二元二次方程组等知识，运用（1）中的结论是解决第（2）、（3）小题的关键． 12．（23·24下·上饶·模拟预测）综合与探究 (1)如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，且，则线段与的之间的数量关系为______； (2)【类比探究】如图2，在矩形中，，，点E，F分别在边上，且，请写出线段与的数量关系，并证明你的结论． (3)【拓展延伸】如图3，在中，，，，D为上一点，且，连接，过点B作于点F，交于点E，求的长． 【答案】(1)(2)．证明见解析(3)． 【分析】（1）由“”可证，可得； （2）通过证明，利用相似三角形的性质，即可求解； （3）过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，延长交于点，勾股定理求得，根据（2）知，求得，证明，利用相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设与相交于点，如图，∵正方形，∴，， ∵，∴，∵，∴， 在和中，，∴，∴；故答案为：； （2）解：．证明：∵，∴． 在矩形ABCD中，，∴， ∴，∴，∴，∴． （3）解：如图，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，延长交于点． ∴四边形是矩形．∵，，∴． ∴．由（2）知，∴． 在中，，∵∴， ∴，即，解得． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键． 13．（2023广西中考模拟预测）如图1，在正方形中，点是边上的一个动点（点与点不重合），连接，过点作于点，交于点． （1）求证：；（2）如图2，当点运动到中点时，连接，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过点作于点，分别交于点，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）. 【分析】（1）先判断出，再由四边形是正方形，得出，，即可得出结论； （2）过点作于，设，先求出，进而得出，再求出，，再判断出，进而判断出，即可得出结论； （3）先求出，再求出，再判断出，求出，再用勾股定理求出，最后判断出，得出，即可得出结论. 【详解】（1）证明：∵， ∴，∴， ∵四边形是正方形，∴， ∴，∴，∴； （2）证明：如图2，过点作于， 设，∵点是的中点，∴，∴， 在中，根据面积相等，得， ∴，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴； （3）解：如图3，过点作于， ，∴， 在中， ，∴， ∵， ∴，∴，∴，∴， 在中，，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴，∴ 【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出是解本题的关键. 14．（23·24下·山东·一模）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对矩形内两条互相垂直的线段做如下探究： [观察与猜想](1)如图①，在正方形中，点、分别是、上的两点，连接、，，则的值为＝ 　 　；(2)如图②，在矩形中，，，点是上的一点，连接，，且，则的值为 　 　． [性质探究](3)如图③，在四边形中，．点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点．求证：； [拓展延伸]已知四边形是矩形，， (4)如图④，点是上的点，过点作，垂足为，点恰好落在对角线上．求的值； (5)如图⑤，点是上的一点，过点作，垂足为，点恰好落在对角线上，延长、交于点．当时， 　 　． 【答案】(1)1(2)(3)见解析(4)(5) 【分析】（1）由四边形是正方形，，证明，可得，即可得到答案；（2）由四边形是矩形，，证明，可得，即可得到答案； （3）过作于，由，，得四边形是矩形，有，，可证，从而，即得； （4）过作于点，于点，证明，有，而，，可得，有，故； （5）连接、，证明，得，又，可得，故，由，可得，故，即可得，从而，有，所以． 【详解】（1）如图： 四边形是正方形，，， ，， ，，，故答案为：1； （2）如图：四边形是矩形，， ，，，， ，，，故答案为：； （3）证明：过作于，如图：，，四边形是矩形， ，，， ，，，， ，， ，，； （4）过作于点，于点，如图： ，四边形是矩形， ，，， 四边形是矩形，， 于点，，， ，，， ，，， ，同理，， ，； （5）连接、，如图： ，，， ，，，， ，，， 由（4）知，，， ，，， ，即， ， ，， ，，故答案为：． 【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，综合性较强，熟练掌握正方形的性质和矩形的判定与性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于考试压轴题． 15．（23-24·赤峰·模拟预测）问题情境：如图1，在正方形中，为边上一点（不与点、重合），垂直于的一条直线分别交、、于点、、．则、、之间的数量关系为　　　　．问题探究：在“问题情境”的基础上． 如图2，若垂足恰好为的中点，连接，交于点，连接，并延长交边于点求的度数；如图3，当垂足在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处，若正方形的边长为，的中点为，求的最小值． 问题拓展：如图4，在边长为的正方形中，点、分别为边、上的点，将正方形沿着翻折，使得的对应边恰好经过点，交于点分别过点、作，，垂足分别为、,若，请直接写出的长． 【答案】问题情境：问题探究：（1）；（2）2问题拓展： 【分析】问题情境：过点作分别交、于点、，证出四边形为平行四边形，得出，证明≌得出，即可得出结论； 问题探究：（1）连接，过点作，分别交、于点、，证出是等腰直角三角形，，，证明≌得出，得出是等腰直角三角形，得出，即可得出结论； （2）连接交于点，则的直角顶点在上运动，设点与点重合时，则点与点重合；设点与点重合时，则点的落点为，由等腰直角三角形的性质得出，当点在线段上运动时，过点作于点，过点作交延长线于点，连接，证明≌得出，证明≌得出，，由正方形的性质得出，易得出，得出，，得出，故，点在线段上运动；过点作，垂足为，即可得出结果； 问题拓展：延长交于，交的延长线于，延长交于，则，，得出，由勾股定理得出，得出，证明∽，得出，，证明∽，得出，由折叠的性质得：，，，求出，，证明∽，得出，，证明∽，得出，得出． 【详解】问题情境：解：线段、、之间的数量关系为：；理由如下： 四边形是正方形，，，， 过点作分别交、于点、，如图所示： 四边形为平行四边形，， ，，， ，， 在和中，，≌，， ，； 问题探究：解：（1）连接，过点作，分别交、于点、，如图所示： 四边形是正方形，四边形为矩形，，，， 是正方形的对角线，，是等腰直角三角形，，， 是的垂直平分线，， 在和中，，≌， ，，，是等腰直角三角形， ，即； （2）连接交于点，如图所示：则的直角顶点在上运动， 设点与点重合时，则点与点重合；设点与点重合时，则点的落点为， ，，， 当点在线段上运动时，过点作于点，过点作交延长线于点，连接， 点在上，， 在和中，，≌，， ，， ，，， ，，，，， ，， ，，由翻折性质得：， 在和中，，≌，，， 是正方形的对角线，，易得，，， ，故，点在线段上运动； 过点作，垂足为，点为的中点，，则的最小值为； 问题拓展： 解：延长交于，交的延长线于，延长交于，如图： 则，，，在中，，， ，，∽， ，，， ，，，∽， ，即，解得：， 由折叠的性质得：，，， ，，，，∽， ，解得：，， ，，，，∽， ，即，解得：，． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键． 16．（23·24下·安徽·模拟预测）如图1，在等边中，点D，E分别在边上，且，连接相交于点F．    (1)求的度数；(2)如图2，连接，当时，求的值；(3)如图3，在（2）的条件下，将沿翻折，使点C落在点G处，连接并延长交于点H，交于点I．当时，求的长． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）证明，可得，即可求解； （2）过点C作，垂足为点G，可得，，，可得，，．从而得到．可证明，即可求解； （3）根据折叠的性质可得，从而得到G，B，F，A四点共圆，进而得到，再证明，可得，再由，．，再根据，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形，∴， ∵，∴．∴． ∴． （2）解：如图，过点C作，垂足为点G，∴．    ∵，∴．∴． 由（1）知，，∴． 在中，， ∴，∴．∴，即． 又∵，∴．∴．∴． （3）解：∵沿翻折得到，∴，． ∵，∴． ∴G，B，F，A四点共圆．∴． 在与中，∵，∴．∴． ∵，由（2）知，∴． ∴．∵， ∴．∴．∴，即． ∴．∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，图形的折叠问题，圆的基本性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，图形的折叠的性质，圆的基本性质是解题的关键． 17．（23·24下·深圳·期中）课本再现 如图1，在等边中，E为边上一点，D为上一点，且，连接与相交于点F．    （1）与的数量关系是 　　，与构成的锐角夹角的度数是 　　； 深入探究（2）将图1中的延长至点G，使，连接，，如图2所示．求证：平分．（第一问的结论，本问可直接使用）。迁移应用（3）如图3，在等腰中，，D，E分别是边，上的点，与相交于点F．若，且，求值． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）3 【分析】（1）证明，得，，再由三角形的外角性质得即可得出结论． （2）先证明是等边三角形，再证明，推出，即可得证． （3）延长至点G，使，连接、，过点D作于点M，于点N，分别证明，得，，再证，得，，然后证明平分，得，进而证，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵是等边三角形，∴，， 在和中，， ∴．∴，， ∴，故答案为：，； （2）证明：由（1）可知，，∴， ∵FG＝BF，∴是等边三角形，∴，， ∵是等边三角形，∴，， ∴， ∴，即， ∴，∴， ∴，∴， ∴平分． （3）解：如图3，延长至点G，使，连接、，过点D作于点M，于点N，∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，，∴， 即， ∴，∴，，       ∵， ∴，∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，∴平分． ∵，，∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴． 方法二：如图4，过点D作交于点P，则，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判断与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质，三角形的外角性质以及三角形面积，熟练掌握等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键． 18．（23·24下·渝北·阶段练习）是等边三角形，点、分别在、上，且，连接、交于点． (1)如图1，求的度数；(2)如图2，以为边作等边，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长、交于点，点在线段上，且，连接交于点，若，，直接写出的值．（提示：可过点作交于点，过点作于点，作于点．） 【答案】(1)(2)见解析；(3) 【分析】（1）已知是等边三角形，得到，，结合，进而证明，即可求得的度数；（2）在上截取，使得，由（1）可知：，得到，已知是等边三角形，得到，得出、、、四点共圆，可证明，得到，，进而得到是等边三角形，即可得到；（3）过点作交于点，过点作于点，作于点，由（2）可知：，可以得到，根据，得到，可证明，推出，，，设，则，即可求得． 【详解】（1）∵是等边三角形，∴，， ∵，∴，∴，∴ （2）在上截取，使得， 由（1）可知：，∴， 又∵是等边三角形，∴，∴， ∴、、、四点共圆，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴是等边三角形，∴，∴． （3）过点作交于点，过点作于点，作于点， 由（2）可知：，∴，∴，∴， 又∵，∵，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， 设，则，∴，∴， ∴，∴ 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 相似三角形中的基本模型之十字架模型 几何学是数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中几何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。 本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学生更好地理解和掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.矩形中的十字架模型（相似模型） 2 模型2.等边三角形中的斜十字模型（相似模型） 27 模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型） 39 84 模型1.矩形中的十字架模型（相似模型） 矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩形的两边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系。 条件：如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，结论：. 证明：四边形为矩形，，； DE⊥AC，，，，，. 条件：如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，结论：. 证明：如图，过点F作于点G，则； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ；EF⊥AC，，； ，，，易证：DC=AB，FG=BC，. 条件：如图3，矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且EF⊥MN，结论：. 证明：如图：过点N、F作、垂直，； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ∵EF⊥MN，，∴； 又∵（对顶角相等），∴； ∴，，易证：NH=AB，FG=BC，. 例1．（23·24下·广西·九年级期中）如图，把边长为，且的平行四边形对折，使点和重合，求折痕的长． 例2．（23·24下·山东·九年级期中）如图，在矩形中，，，在上有一点，若，则和之间有什么数量关系？然后请证明． 例3．（22-23·贵港·中考真题）已知：在矩形中，，，是边上的一个动点，将矩形折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．（1）如图1，当点与点重合时，则线段_______________，_____________；（2）如图2，当点与点，均不重合时，取的中点，连接并延长与的延长线交于点，连接，，．①求证：四边形是平行四边形：②当时，求四边形的面积． 例4．（2023秋·辽宁锦州·九年级统考期末）已知四边形． (1)问题探究：如图1，当四边形是正方形时，点E，Q分别在边，上，于点M，点F，G分别在边，上，． ①判断与的数量关系：___________；②推断：的值为___________． (2)变式应用：如图2，当四边形是矩形，．点F，G分别在边，上，将四边形沿折叠，使点A落在边上的点E处，得到四边形，连接交于点O．试判断与之间的数量关系，并说明理由；(3)拓展应用：如图3，在四边形中，，若点E，Q分别在边BC，上，，请直接写出的值．    模型2.等边三角形中的斜十字模型（相似模型） 条件：如图1，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE）， 结论：①AD=BE，②AD和BE夹角为60°，③。 证明：如图，在等边中，，， 在与中，，，∴AD=BE，； ，∴AD和BE夹角为60°； ，，，同理： ， 例1．（2024·广东·校考一模）等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，且满足AE＝CF，连接AF，BE相交于点P．(1)求证：AF＝BE；(2)若AE＝2，试求AP·AF的值； 例2．（23·24上·滨州·期末）如图，在边长为6的等边中，D、E分别为边上的点，与相交于点P，若，则的周长为 ． 例3．（23·24下·吉安·模拟预测）课本再现： (1)如图1，D，E分别是等边三角形的两边上的点，且．求证：．下面是小涵同学的证明过程： 证明：∵是等边三角形，∴． ∵，∴，∴． 小涵同学认为此题还可以得到另一个结论：的度数是 　 　； 迁移应用：(2)如图2，将图1中的延长至点G，使，连接．利用（1）中的结论完成下面的问题．①求证：；②若，求证：；拓展提升：(3)在等边中，若点D，E分别在射线上，连接交于点F，且，将绕点C逆时针旋转到，且使得．直线与直线交于点P，若，则的值为 　 　    模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型） 该模型主要分等腰直角三角形和普通直角三角形两类情况讨论。 1）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）： 条件：如图2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，结论：①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 如图1，过点C作BC的垂线交BF于点H，过点A作AG垂直于CH，∴∠BCH=90°，∴∠CBH+∠CHB=90° ∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠BCH=∠ABC=90°，∵BF⊥AD，∴∠CBH+∠ADB=90°，∴∠CHB=∠ADB， ∵AB=BC，∴，∴BD=CH，∵D为BC中点，∴BD=DC=CH，∴AB=2CH， 易证：四边形ABCG为正方形，即AB//CG，∴，∴AF：CF=BA：HC=2：1 ∵AB=BC，AB⊥BC，∴∠BCA=45°，∵∠BCH=90°，∴∠BCA=∠GCA=45°， ∵DC=CH，CF=CF，∴，∴∠CHF=∠CDF，∠CFH=∠CFD， ∴∠BDA=∠CDF，∵∠CFH=∠AFB，∴∠AFB=∠CFD， 如图2，过点C作CQ垂直于BF，∴∠BQC=90°， ∵AB⊥BC，∴∠ABD=∠BQC=90°，∴∠ABE+∠QBC=90°，∵AB=BC，∴， ∴CQ=BE，AE=BQ，∵BF⊥AD，CQ⊥BF，易证：，∴EA：QC=AF：CF=2：1。 ∴AE=BQ=BE+EQ=CQ+EQ，∴CQ=EQ，∴QEC为等腰直角三角形，∴∠QEC=45°， ∴∠AEC=135°，。 2）直角三角形中的十字模型： 如图3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：k2，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。（全等+相似） 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 由于该模型证明主要结合了前面矩形中的十字架模型和等腰直角三角形中的十字架模型，故此不再详细证明，有兴趣的同学可以自行证明即可。 例1．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在中，，，点D为边上一动点（不与点B、C重合），垂直交于点E，垂足为点H，连接并延长交于点F，下面结论：①若是边上的中线，则；②若平分，则；③若，则；④当时，．正确的有（填序号） ．    例2．（23·24下·鞍山·阶段练习）如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点 D 是线段 AB 上的一点，连结 CD．过点 B 作 BG⊥CD，分别交 CD、CA 于点 E、F，与过点 A 且垂直于 AB 的直线相交于点 G，连结 DF，给出以下四个结论：①；②若AB，则点 D 是 AB 的中点；③若，则 S△ABC＝9S△BDF；④当 B、C、F、D 四点在同一个圆上时，DF＝DB；其中正确的结论序号是（    ）    A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 例3．（23·24上·抚州·期末）如图①，在中，，，点D为边上的一点，连接，过点C作于点F，交于点E，连接．(1)求证：；(2)若，求证：；(3)如图②，若，，求的值． 例4．（23-24九年级上·江西九江·期末）初识图形：（1）如图1，E、F分别为正方形的边和边上的点，连接、，且．则 ．（2）如图2，矩形中，点E、F分别在边、上，连接、，且，，，则 ． 类比探究（3）如图3，中，D、F分别为、边上的点，，，，连接，交于点E．求长．请说明理由． 拓展应用（4）如图4，在矩形中，E、F分别为和边上的一点，以为折痕，将四边形翻折，交于P和Q，A和B的翻折后的位置分别是H和G．，，，．请直接写出折痕的长． 1．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图正方形中，、分别为、的中点，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东·课后作业）如图，在矩形中，，，点E在边上，且，连接，过点C作于点F，交于点P，交于点Q，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（2023.广东九年级期中）如图，在正方形中，﹐E，F分别为，的中点，连接、，交于点G，将沿翻折得到，延长交延长线于点Q，连接，则的面积是（    ） A． B．25 C．20 D．15 4．（2023.湖北九年级期中）如图，在矩形中，点在边上，把沿直线翻折，得到，的延长线交于点为的中点，连接，若点在同一条直线上，，则的值为 ．    5．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，在矩形中，，是边的中点，，分别是边，上的点，且，垂足为点．若，，则的值为 ． 6．（2024·广东深圳·三模）如图，已知矩形中，，将矩形沿折叠，使点A恰好落在边上的点E处，得到四边形，与交于点H，连接．已知，则的长为 ． 7．（2024九年级上·湖北·专题练习）如图1，中，，点是上一点，连接，过作，交于，交于，求证：． 8．（23·24下·江苏·九年级期中）平行四边形中，，分别是边、上的点，，G为垂足．（1）如图1，当，时，求证： （2）如图2，当，，，求的最小值 （3）如图3，当，，E为的中点，直接写出的值． 9．（2024·广东梅州·模拟预测）（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：． 【问题解决】（2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】（3）如图3，在菱形中，，分别在边，上，，，，求的长． 10．（2024·湖北荆州·二模）【教材呈现】人教版八年级下册数学教材第68页第8题如下：如图1，是一个正方形花园，是它的两个门，且，要修建两条路和，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？（此问题不需要作答） 九年级数学兴趣小组发现探究图形中互相垂直的线段之间的数量关系是一个常见问题，于是对上面的问题又进行了拓展探索，内容如下： 【类比分析】（1）如图2，在矩形中，点E是上一点，连接，过点A作的垂线交于点F，垂足为点G，若，，求的长． 【迁移探究】（2）如图3，在中，，，点D是上一点，连接，作交于点E，求证：． 【拓展应用】（3）如图4，在中，，，，作点A关于的对称点D，点E为上一点，连接，过点D作的垂线，交于F，垂足为G，若E为中点，则_________． 11．（2023·广东深圳·模拟预测）【探究证明】（1）如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB、CD于点E、F，GH分别交AD、BC于点G、H，求证： ； 【模型应用】（2）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M、N分别在边BC、AB上，求的值． 【变式拓展】（3）如图3，平行四边形，，，直线与平行四边形相交，将平行四边形沿直线l折叠，当其中有一组对角顶点重合时，请直接写出折痕的长度． 12．（23·24下·上饶·模拟预测）综合与探究 (1)如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，且，则线段与的之间的数量关系为______； (2)【类比探究】如图2，在矩形中，，，点E，F分别在边上，且，请写出线段与的数量关系，并证明你的结论． (3)【拓展延伸】如图3，在中，，，，D为上一点，且，连接，过点B作于点F，交于点E，求的长． 13．（2023广西中考模拟预测）如图1，在正方形中，点是边上的一个动点（点与点不重合），连接，过点作于点，交于点． （1）求证：；（2）如图2，当点运动到中点时，连接，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过点作于点，分别交于点，求的值． 14．（23·24下·山东·一模）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对矩形内两条互相垂直的线段做如下探究： [观察与猜想](1)如图①，在正方形中，点、分别是、上的两点，连接、，，则的值为＝ 　 　；(2)如图②，在矩形中，，，点是上的一点，连接，，且，则的值为 　 　． [性质探究](3)如图③，在四边形中，．点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点．求证：； [拓展延伸]已知四边形是矩形，， (4)如图④，点是上的点，过点作，垂足为，点恰好落在对角线上．求的值； (5)如图⑤，点是上的一点，过点作，垂足为，点恰好落在对角线上，延长、交于点．当时， 　 　． 15．（23-24·赤峰·模拟预测）问题情境：如图1，在正方形中，为边上一点（不与点、重合），垂直于的一条直线分别交、、于点、、．则、、之间的数量关系为　　　　．问题探究：在“问题情境”的基础上． 如图2，若垂足恰好为的中点，连接，交于点，连接，并延长交边于点求的度数；如图3，当垂足在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处，若正方形的边长为，的中点为，求的最小值． 问题拓展：如图4，在边长为的正方形中，点、分别为边、上的点，将正方形沿着翻折，使得的对应边恰好经过点，交于点分别过点、作，，垂足分别为、,若，请直接写出的长． 16．（23·24下·安徽·模拟预测）如图1，在等边中，点D，E分别在边上，且，连接相交于点F．    (1)求的度数；(2)如图2，连接，当时，求的值；(3)如图3，在（2）的条件下，将沿翻折，使点C落在点G处，连接并延长交于点H，交于点I．当时，求的长． 17．（23·24下·深圳·期中）课本再现 如图1，在等边中，E为边上一点，D为上一点，且，连接与相交于点F．    （1）与的数量关系是 　　，与构成的锐角夹角的度数是 　　； 深入探究（2）将图1中的延长至点G，使，连接，，如图2所示．求证：平分．（第一问的结论，本问可直接使用）。迁移应用（3）如图3，在等腰中，，D，E分别是边，上的点，与相交于点F．若，且，求值． 18．（23·24下·渝北·阶段练习）是等边三角形，点、分别在、上，且，连接、交于点． (1)如图1，求的度数；(2)如图2，以为边作等边，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长、交于点，点在线段上，且，连接交于点，若，，直接写出的值．（提示：可过点作交于点，过点作于点，作于点．） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$