专题08 角度中的四类动态模型-2024-2025学年七年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版2024）

专题08 角度中的四类动态模型 角度的动态（旋转）模型属于七年级上期必考压轴题型，是尖子生必须要攻克的一块重要内容，对考生的综合素养要求较高。绝大部分学生对角度旋转问题信心不足，原因就是很多角度旋转问题需要自己画出图形，与分类讨论思想、数形结合思想等结合得很紧密，思考性强，难度大。本专题重点研究与角有关的旋转模型（求值模型；定值模型；探究模型；分类讨论模型）。 2 模型1.旋转中的求值模型 2 模型2.旋转中的定值模型 3 模型3.旋转中的探究类模型（判断角的数量之间的关系） 4 模型4.旋转中的分类讨论模型 6 7 模型1.旋转中的求值模型 1、角度旋转模型解题步骤： ①找——根据题意找到目标角度；②表——表示出目标角度： 1）角度一边动另一边不动，角度变大：目标角=起始角+速度×时间； 2）角度一边动另一边不动，角度变小：目标角=起始角—速度×时间； 3）角度一边动另一边不动，角度先变小后变大。 变小：目标角=起始角—速度×时间；变大：目标角=速度×时间—起始角 ③列——根据题意列方程求解。 注：①注意题中是否确定旋转方向，未确定时要分顺时针与逆时针分类讨论；②注意旋转角度取值范围。 2、常见的三角板旋转模型： 一副三角板有两个，一个是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一个是含特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋转中隐藏的条件就是上面所说的这几个特殊角的角度。 总之不管这个角如何旋转，它的角度大小是不变的，旋转的度数就是组成角的两条射线旋转的度数（角平分线也旋转了同样的度数）。抓住这些等量关系是解题的关键，三角板只是把具体的度数隐藏了起来。 例1．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图1，已知，，在内，在内，绕点O旋转，在旋转过程中始终有，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，则_____°； (2)从图2中的位置绕点O顺时针旋转，求、的度数．（用 n的代数式表示）；(3)从图2中的位置绕点 O逆时针旋转（且），求的度数． 例2.（2024•浙江七年级期中）如图1，为直线上一点，过点作射线，，将一直角三角板（）的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．（注：本题旋转角度最多．）（1）将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转．如图2，经过秒后，______度（用含的式子表示），若恰好平分，则______秒（直接写结果）．（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线也绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，如图3，经过秒后，______度（用含的式子表示）若平分，求为多少秒？（3）若（2）问的条件不变，那么经过秒平分？（直接写结果） 模型2.旋转中的定值模型 例1．（23-24七年级上·湖北十堰·期末）已知 与互补，将绕点O逆时针旋转． (1)若①如图1，当时， ； ②将绕点O逆时针旋转至，求与的度数； (2)将绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，的度数是否随之的改变而改变？若不改变，请求出这个度数；若改变，请说明理由．    例2．（2023•广东七年级期中）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方． （1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：直线ON是否平分∠AOC？请直接写出结论：直线ON　 　（平分或不平分）∠AOC． （2）将图1中的三角板绕点O按每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为　 　．（直接写出结果） （3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转，请探究，当ON始终在∠AOC的内部时（如图3），∠AOM与∠NOC的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请举例说明． 例3．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）已知，为内部的一条射线，． (1)如图1，若平分，为内部的一条射线，，则 ； (2)如图2，若射线绕着O点从开始以每秒的速度顺时针旋转至结束、绕着O点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，当一条射线到达终点时另一条射线也停止运动．若运动时间为t秒，当时，求t的值； (3)如图3，若射线绕着O点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，在旋转过程中，平分，试问：在某时间段内是否为定值？若不是，请画出图形，并说明理由；若是，请画出图形，并直接写出这个定值以及t相应所在的时间段．（题中的角均为大于且小于的角） 模型3.旋转中的探究类模型（判断角的数量之间的关系） 例1．（23-24七年级下·重庆·开学考试）将一副三角板的两个锐角顶点重合，，，、分别是，的平分线．(1)如图①所示，当与重合时，则的大小为 ． (2)当绕着点O旋转至如图②所示，当，则的大小为多少？ (3)当绕着点O旋转至如图③所示，当时，求的大小． 例2．（23-24七年级上·广东珠海·期末）综合探究：如图1，把一副直角三角板的直角边放在直线上，两个直角三角板分别在直线的两侧，且，，． (1)如图1，______；(2)如图2，把三角板绕点旋转，使刚好落在的平分线上．此时，是否平分？请说明理由；(3)如图2，把三角板绕点旋转，使得落在内部， 当时，则______；当时，则______； 设，，试猜想与的数量关系，并说明理由． 例3．（23-24七年级上·河南周口·期末）特例感知 （）如图，线段，，线段在线段上运动（点不超过点，点不超过点），分别是的中点．在线段运动的过程中，线段的长度是否发生变化？如果不变，求出的长度；如果变化，请说明理由； 知识迁移（）我们发现角的很多规律和线段一样，如图，在内部转动，射线和射线分别平分和．①若，，则__________； ②请你猜想，和三个角具有怎样的数量关系，并说明理由； 类比探究（）如图，在内部转动，若，，，，直接写出用含有的式子表示的度数． 模型4.旋转中的分类讨论模型 例1．（23-24七年级上·辽宁营口·期末）数学活动课上同学们对所学知识深入思考，如图1，点C在线段上，图1中共有三条线段，，，若其中有两条线段长度比为，则命名点C为线段的“幸福点”；此模型下，如图2射线在的内部，图2中共有三个角，，，若其中有两个角的度数比为，则命名射线为的“幸福线”． (1)线段的中点是否为这条线段的“幸福点”，说明理由； (2)若，点C为线段的“幸福点”，求线段的长度； (3)如图3，已知，射线从出发，以的速度顺时针方向旋转，射线从出发，以的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，当射线与射线重合时，运动停止，设旋转运动的时间为，当t为何值时，射线是以射线、为边构成角的“幸福线”，并说明理由． 例2．（23-24七年级上·山东临沂·期末）将直角三角板的直角顶点O放在直线上，射线平分．(1)如图，若，求的度数；(2)若，求的度数； (3)将直角三角板绕顶点O按逆时针方向旋转，在旋转过程中，当时，求的度数．    1．（2023秋·重庆开州·七年级统考期末）一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（、），将三角板绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，有下列四个结论：      ①在图1的情况下，在内作，则平分； ②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值； ③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次； ④的角度恒为．其中正确的结论个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24七年级下·浙江金华·期末）定义：从一个角的顶点引一条射线，把这个角分成两个角，并且这两个角的度数之比为1:2，这条射线叫做这个角的三分线．显然，一个角的三分线有两条．如，，是的两条三分线，以点为中心，将按顺时针方向旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 ． 3．（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图，将直角三角板的直角顶点落在直线上，射线平分，，将三角板绕点旋转（旋转过程中与均指大于且小于的角）将三角板绕点旋转一周，的度数为 （用含的代数式表示）． 4．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）如图，于点，，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针向终边旋转，同时，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针向终边旋转，当、中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设，，则与之间的数量关系为 ． 5．（23-24七年级下·河南郑州·开学考试）如图，和都是直角．固定不动，将绕点O旋转，在旋转过程中，下列结论正确的有 ． ①如果，那么；②是定值 ③若变小，则变大；④ 6．（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图，点，，在同一条直线上，，射线在直线的上方绕点旋转，记，平分． (1)若与互补，则角________； (2)若，则________； (3)是否存在的值，使得与互余，若存在，求出，若不存在，请说明理由． 7．（2024七年级上·重庆·专题练习）已知射线在的内部，射线平分，射线平分．(1)如图①，，则_________； (2)如图②，若，射线在的内部绕点O旋转，求的度数． 8．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）如图①，射线在内部，图中共有三个角：，，，若其中有一个角的角度是另一个角的两倍，则称射线为的“倍分线”． (1)若射线是的角平分线，则射线________（填“是”或“不是”）的“倍分线”； (2)如图②，若，射线为的“倍分线”，求； (3)若，射线从射线的位置开始，绕点逆时针以每秒的速度向射线运动，当射线到达射线时停止运动，运动的时间为秒，同时射线从射线的位置开始以每秒的速度向射线运动，如图③所示，并与射线同时停止，则当经过多少秒时，射线是的“倍分线”． 9．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，是直线上一点，射线绕点顺时针旋转，从出发，每秒旋转，射线绕点逆时针旋转，以相同的速度从出发，射线与同时旋转，设旋转的时间为秒，当旋转到与重合时，都停止运动． (1)猜想：__________，并说明理由； (2)已知射线始终平分，射线在内，且满足与互余． ①当秒时，__________； ②在运动过程中，试探究与之间有怎样的数量关系，并说明理由． 10．（23-24七年级上·浙江台州·期末）定义：当射线在内部，时，我们称为射线在内的角值，记作．如图1，若，，则，则． (1)如图1，射线在内部，若，则_________；若，则__________； (2)如图2，已知，射线，分别从射线和同时开始旋转，其中射线绕点顺时针旋转，射线绕点逆时针旋转，当射线旋转到射线时，射线，停止旋转．设运动时间为秒．①若射线，的运动速度均为每秒，试用含的式子表示和，并直接写出它们的数量关系；②若射线，的运动速度分别为每秒和，射线到达射线后立即以原速返回，则当为何值时，? (3)如图3，在钟面内有三条射线，和，分别指向12点，4点，8点．射线，同时从射线开始旋转，其中射线绕点顺时针旋转，射线绕点逆时针旋转，同时到射线停止旋转．设，当射线运动到的内部时，请用含的式子表示． 11．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）如图，已知，射线从位置出发，以每秒的速度顺时针向射线旋转；与此同时，射线以每秒的速度，从位置出发逆时针向射线旋转，到达射线后又以同样的速度顺时针返回，当射线返回并与射线重合时，两条射线同时停止运动．设旋转时间为t秒． (1)当时，求的度数；(2)若，当时，求的值； (3)在旋转过程中，是否存在t的值，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 12．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）定义：从一个角（小于）的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所构成的角等于这个角的，那么这两条射线所构成的角叫做这个角的“三分角”．如图1所示，若，则是的“三分角”．    (1)如图1，已知，，是的“三分角”，求的度数． (2)如图2，已知，是的平分线，射线从出发，绕点O以/秒的速度按顺时针方向旋转，设旋转时间为t秒，当是的“三分角”时，求t的值． 13．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图1，在直线上取一点O，向上作一条射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的上方．如图2，将直角三角板绕点O逆时针转动，当与第一次重合时停止． (1)如图2，时，若和互余，且满足始终在内部，求此时的度数； (2)如图2，当始终在内部时，猜想与有怎样的数量关系（用含n的等式表示），并说明理由；(3)如图2，当时，若直角三角板绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转，与第一次重合时停止，在旋转的过程中，若恰好有，旋转的时间是 秒．（直接写出结果） 14．（23-24七年级上·湖北黄石·期末）如图1，已知，的余角比它的补角的少20°． (1)求的度数；(2)如图1，当射线从处绕点以5度/秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，保持射线始终在的内部，当时，求旋转时间．(3)如图2，若射线为的平分线，当射线从处绕点以5度/秒的速度逆时针旋转，同时射线从射线处以度/秒的速度绕点顺时针旋转，当这两条射线重合于射线处（在的内部）时，，求的值．（注：本题中所涉及的角都是小于的角） 15．（23-24七年级上·湖南邵阳·期末）如图①已知直角三角板的直角顶点在直线上，过点作射线．(1)若是的平分线，试说明．(2)当三角板绕点旋转得到图②时，使得边恰好平分，则与存在怎样的数量关系？请说明理由． (3)当三角板绕点旋转得到图③时，使得边恰好平分，若，求的度数． 16．（23-24七年级上·广东梅州·阶段练习）如图 ，点 是弹力墙 上一点，魔法棒从 的位置开始绕点 向 的位置顺时针旋转，当转到 位置时，则从 位置弹回，继续向 位置旋转；当转到 位置时，再从 的位置弹回，继续转向 位置，，如此反复．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转： 第 步，从 （ 在 上）开始旋转 至 ； 第 步，从 开始继续旋转 至 ； 第 步，从 开始继续旋转 至 ，． 例如：当 时，，，， 的位置如图 所示，其中 恰好落在 上，； 当 时，，，， 的位置如图 所示， 其中第 步旋转到 后弹回，即 ，而 恰好与 重合． 解决如下问题：      (1)若 ，在图 中借助量角器画出 ，，其中 的度数是 ．      (2)若 ，且 所在的射线平分 ，在如图 中画出 ，，， 并求出 的值．(3)若 ，且 ，则对应的 值是 ．(4)当 所在的射线是 （，， 是正整数，且 与 不重合）的平分线时，旋转停止，请探究：试问对于任意角 （ 的度数为正整数，且 ），旋转是否可以停止？写出你的探究思路． 17．（23-24七年级上·河北沧州·期中）如图1，已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的奇妙线． (1)一个角的平分线________这个角的奇妙线；（填“是”或“不是”） (2)如图2，．①若射线是的奇妙线，则的度数为________； ②若射线从位置开始，以每秒旋转的速度绕点按逆时针方向旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为．当为何值时，射线是的奇妙线？ 18．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）已知，平分． (1)如图①，若，求的度数； (2)将绕顶点O按逆时针方向旋转至如图②的位置，和有怎样的数量关系？请说明理由； (3)将绕顶点O按逆时针方向旋转至如图③的位置，（2）中的关系是否成立？请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 角度中的四类动态模型 角度的动态（旋转）模型属于七年级上期必考压轴题型，是尖子生必须要攻克的一块重要内容，对考生的综合素养要求较高。绝大部分学生对角度旋转问题信心不足，原因就是很多角度旋转问题需要自己画出图形，与分类讨论思想、数形结合思想等结合得很紧密，思考性强，难度大。本专题重点研究与角有关的旋转模型（求值模型；定值模型；探究模型；分类讨论模型）。 2 模型1.旋转中的求值模型 2 模型2.旋转中的定值模型 5 模型3.旋转中的探究类模型（判断角的数量之间的关系） 10 模型4.旋转中的分类讨论模型 13 16 模型1.旋转中的求值模型 1、角度旋转模型解题步骤： ①找——根据题意找到目标角度；②表——表示出目标角度： 1）角度一边动另一边不动，角度变大：目标角=起始角+速度×时间； 2）角度一边动另一边不动，角度变小：目标角=起始角—速度×时间； 3）角度一边动另一边不动，角度先变小后变大。 变小：目标角=起始角—速度×时间；变大：目标角=速度×时间—起始角 ③列——根据题意列方程求解。 注：①注意题中是否确定旋转方向，未确定时要分顺时针与逆时针分类讨论；②注意旋转角度取值范围。 2、常见的三角板旋转模型： 一副三角板有两个，一个是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一个是含特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋转中隐藏的条件就是上面所说的这几个特殊角的角度。 总之不管这个角如何旋转，它的角度大小是不变的，旋转的度数就是组成角的两条射线旋转的度数（角平分线也旋转了同样的度数）。抓住这些等量关系是解题的关键，三角板只是把具体的度数隐藏了起来。 例1．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图1，已知，，在内，在内，绕点O旋转，在旋转过程中始终有，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，则_____°； (2)从图2中的位置绕点O顺时针旋转，求、的度数．（用 n的代数式表示）；(3)从图2中的位置绕点 O逆时针旋转（且），求的度数． 【答案】(1)100(2)，(3) 【分析】本题考查角的数量关系，数形结合是解答本题关键．（1）根据可得答案；（2）先分别表示出，，根据，求解即可；（3）分二种情况：①当时，②当时，画出图形计算即可． 【详解】（1）∵，，∴， ∴；故答案为：100； （2）如图，∵，，， ∴，， ∵，， ∴，； （3）①当时，如图， ∵，∴，， ∵，， ∴； ②当时，如图， ∵，∴，， ∴． 综上所述：的度数为． 例2.（2024•浙江七年级期中）如图1，为直线上一点，过点作射线，，将一直角三角板（）的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．（注：本题旋转角度最多．） （1）将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转．如图2，经过秒后，______度（用含的式子表示），若恰好平分，则______秒（直接写结果）． （2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线也绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，如图3，经过秒后，______度（用含的式子表示）若平分，求为多少秒？ （3）若（2）问的条件不变，那么经过秒平分？（直接写结果） 【答案】（1），5；（2），；（3）经过秒平分 【解析】（1），∵，∴ ∵平分，，∴，∴ ∴，解得：秒 （2）度 ∵，平分，∴ ∴，∴解得：秒 （3）如图：∵， 由题可设为，为，∴ ∵，，解得：秒 答：经过秒平分． 模型2.旋转中的定值模型 例1．（23-24七年级上·湖北十堰·期末）已知 与互补，将绕点O逆时针旋转．    (1)若①如图1，当时， ； ②将绕点O逆时针旋转至，求与的度数； (2)将绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，的度数是否随之的改变而改变？若不改变，请求出这个度数；若改变，请说明理由． 【答案】(1)①150；②，或，(2)不改变，其度数为 【分析】（1）①先根据求出，再根据计算即可；②设，分两种情况：(Ⅰ) 在内部，(Ⅱ) 在内部，分别讨论即可；（2）设，求出所有情况后判断即可． 【详解】（1）①∵，∴， ∵，，∴，故答案为150； ②(Ⅰ)当在内部时（如图1），设，则， ， 由得，，解得， ∴， ∴；       (Ⅱ) 当在内部时（如图2）， 设，则， 由得，，解得， ，， ∴； （2）不改变，其度数为．设，由条件知，分四种情况： ⅰ)当在内部时（如图3），  ， ，， ∴； ⅱ) 当在内部时（如图4），  ， ，∴； ⅲ)当在内部时（如图5），  ， ，∴； ⅳ)当在外部时（如图6），  ； 综上所述，在旋转过程中，的度数不改变，其度数为． 【点睛】本题考查了角的和差，关键是运用角的和差正确表示所需要的角． 例2．（2023•广东七年级期中）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方． （1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：直线ON是否平分∠AOC？请直接写出结论：直线ON　 　（平分或不平分）∠AOC． （2）将图1中的三角板绕点O按每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为　 　．（直接写出结果） （3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转，请探究，当ON始终在∠AOC的内部时（如图3），∠AOM与∠NOC的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请举例说明． 【解题思路】（1）设ON的反向延长线为OD，由角平分线的性质和对顶角的性质可求得∠BON＝∠AOD＝∠COD＝30°；（2）由直线ON恰好平分锐角∠AOC可知旋转60°或240°时直线ON平分∠AOC，根据旋转速度可求得需要的时间；（3）由∠MON＝90°，∠AOC＝60°，可知∠AOM＝90°﹣∠AON、∠NOC＝60°﹣∠AON，最后求得两角的差，从而可做出判断． 【解答过程】解：（1）直线ON平分∠AOC． 理由如下：设ON的反向延长线为OD， ∵OM平分∠BOC，∠BOC＝120°，∴∠MOC＝∠MOB∠BOC＝60°， 又∠MOD＝∠MON＝90°，∴∠COD＝90°﹣∠MOC＝30°， ∵∠AOC＝180°﹣∠BOC＝60°，∴∠COD∠AOC， ∴OD平分∠AOC，即直线ON平分∠AOC，故答案为：平分； （2）∵∠BOC＝120°，∴∠AOC＝60°．∴∠BON＝∠COD＝30°． 即旋转60°或240°时直线ON平分∠AOC． 由题意得，6t＝60或240．解得：t＝10或40，故答案为：10或40； （3）∠AOM﹣∠NOC的差不变．∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°， ∴∠AOM＝90°﹣∠AON、∠NOC＝60°﹣∠AON． ∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°． ∴∠AOM与∠NOC的差不变，这个差值是30°． 例3．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）已知，为内部的一条射线，． (1)如图1，若平分，为内部的一条射线，，则 ； (2)如图2，若射线绕着O点从开始以每秒的速度顺时针旋转至结束、绕着O点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，当一条射线到达终点时另一条射线也停止运动．若运动时间为t秒，当时，求t的值； (3)如图3，若射线绕着O点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，在旋转过程中，平分，试问：在某时间段内是否为定值？若不是，请画出图形，并说明理由；若是，请画出图形，并直接写出这个定值以及t相应所在的时间段．（题中的角均为大于且小于的角） 【答案】(1)(2)3或(3)当时，；当时， 【分析】本题考查了角平分线的定义、角的和差倍分．（1）先根据角平分线的定义求出的度数，再根据角的倍差求出的度数，最后根据角的和差即可；（2）先求出的度数和t的最大值，从而可知停止运动时，在的右侧，因此，分在左侧和右侧两种情况，再根据列出等式求解即可；（3）因本题中的角均为大于且小于的角，则需分与在一条直线上、与在一条直线上、与在一条直线上三个临界位置，从而求出此时t的取值范围，并求出各范围内和的度数，即可得出答案． 【详解】（1）解：平分， ，故答案为：； （2） 由题意知，当转到时，两条射线均停止运动 此时（秒）则停止转动时， 即从开始旋转至停止运动，始终在OC的右侧 因此，分以下2种情况： ①当在左侧时， 则由得，解得 ②当在右侧时， 则由得，解得 综上，t的值为3或7.5； （3）射线从开始转动至结束时，转动时间为（秒） 由题意，分与在一条直线上（）、与在一条直线上（）、与在一条直线上（）三个临界位置 ①当时，如图1所示 此时， 则为定值 ②当时，如图2所示 此时， 则不为定值 ③当时，如图3所示 此时， 则为定值 ④当时，如图4所示 此时， 则不为定值 综上，当或时，为定值． 模型3.旋转中的探究类模型（判断角的数量之间的关系） 例1．（23-24七年级下·重庆·开学考试）将一副三角板的两个锐角顶点重合，，，、分别是，的平分线． (1)如图①所示，当与重合时，则的大小为 ． (2)当绕着点O旋转至如图②所示，当，则的大小为多少？ (3)当绕着点O旋转至如图③所示，当时，求的大小． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义，数形结合． （1）根据角平分线的定义直接进行计算即可； （2）先根据算出，，然后根据角平分线的定义进行计算即可； （3）用n表示出，，然后根据角平分线的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，，、分别是、的平分线， ∴，， ∴．故答案为：． （2）解：当时，，，     ∵、分别是、的平分线， ∴，，     ∴； （3）解：当时，，， ∵、分别是、的平分线， ∴， ，     ∴． 例2．（23-24七年级上·广东珠海·期末）综合探究：如图1，把一副直角三角板的直角边放在直线上，两个直角三角板分别在直线的两侧，且，，． (1)如图1，______；(2)如图2，把三角板绕点旋转，使刚好落在的平分线上．此时，是否平分？请说明理由；(3)如图2，把三角板绕点旋转，使得落在内部， 当时，则______；当时，则______； 设，，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)135 (2)是的平分线；理由见解析(3)125；25；；理由见解析 【分析】本题主要考查了几何图形中角度计算，角平分线的定义，三角板中角度的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握各个角度之间的关系．（1）根据三角板中各个角度的大小，结合图形进行解答即可； （2）先根据角平分线定义求出，得出，求出，即可证明结论； （3）根据已知角度，结合图形，分别求出、即可；根据，，得出即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴；故答案为：135； （2）解：是的平分线；理由如下： 落在的平分线上，， ， ； ，即是的平分线． （3）解：当时，，∴；故答案为：125； 当时，，∴；故答案为：； ；理由如下：，又， ． 例3．（23-24七年级上·河南周口·期末）特例感知 （）如图，线段，，线段在线段上运动（点不超过点，点不超过点），分别是的中点．在线段运动的过程中，线段的长度是否发生变化？如果不变，求出的长度；如果变化，请说明理由； 知识迁移（）我们发现角的很多规律和线段一样，如图，在内部转动，射线和射线分别平分和．①若，，则__________； ②请你猜想，和三个角具有怎样的数量关系，并说明理由； 类比探究（）如图，在内部转动，若，，，，直接写出用含有的式子表示的度数． 【答案】（）线段的长度不会发生变化，理由见解析； （）；，理由见解析；（）． 【分析】（）由线段中点得到，再根据线段的和差关系即可求解； （）由角平分线得到，再根据角的和差关系即可求解； ．根据的方法即可求解； （）根据，代入已知条件即可求解； 本题考查了线段中点以及角平分线的定义，熟练掌握线段中点以及角平分线的定义是解题的关键． 【详解】解：（）线段的长度不会发生变化， ∵、分别是的中点，，，， ，，， ，； （）∵射线和射线分别平分和， ∴，，∴， ∵，，∴， ∴，∴，故答案为：； ， 理由：和分别平分和，，， ∴， ∵，∴， ∴，，， 即； （），，， ，，，． 模型4.旋转中的分类讨论模型 例1．（23-24七年级上·辽宁营口·期末）数学活动课上同学们对所学知识深入思考，如图1，点C在线段上，图1中共有三条线段，，，若其中有两条线段长度比为，则命名点C为线段的“幸福点”；此模型下，如图2射线在的内部，图2中共有三个角，，，若其中有两个角的度数比为，则命名射线为的“幸福线”． (1)线段的中点是否为这条线段的“幸福点”，说明理由； (2)若，点C为线段的“幸福点”，求线段的长度； (3)如图3，已知，射线从出发，以的速度顺时针方向旋转，射线从出发，以的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，当射线与射线重合时，运动停止，设旋转运动的时间为，当t为何值时，射线是以射线、为边构成角的“幸福线”，并说明理由． 【答案】(1)是，理由见详解(2)9或6或12(3)或或，理由见详解 【分析】本题主要考查再新定义下线段的数量关系和角度之间的关系，以及一元一次方程的应用， 根据线段中的关系和“幸福点”的定义即可求得；分情况讨论点C的位置，结合“幸福点”定义找到对应关系计算即可；计算射线和射线移动过程中所形成的角，分情况讨论构成角的“幸福线”所在位置，找到对应关系计算即可； 【详解】（1）解：是，理由如下：∵点C为线段的中点，∴，∴， 则线段的中点是这条线段的“幸福点”； （2）∵点C为线段的“幸福点”，，∴，或，或； 当，则；当，则，解得； 当，则，解得，那么； 综上所述，线段的长度9或6或12； （3）根据题意得，，则，， 当重合时，，解得，∴射线与射线运动时间为， ∵射线是以射线、为边构成角的“幸福线”， ∴，或，或， 当时，则，解得； 当时，则，解得； 当时，则，解得； 综上所述，t为或或时，射线是以射线、为边构成角的“幸福线”． 例2．（23-24七年级上·山东临沂·期末）将直角三角板的直角顶点O放在直线上，射线平分．(1)如图，若，求的度数；(2)若，求的度数； (3)将直角三角板绕顶点O按逆时针方向旋转，在旋转过程中，当时，求的度数．    【答案】(1)(2)(3)或 【分析】（1）根据平角的定义即可得出的度数；（2）设，则，，根据角平分线的定义可得，根据列方程求出x的值，进而可得的度数；（3）分两种情况讨论：①在直线上方，②在直线下方．根据平角的定义可得，再根据角的和差即可求出的度数．本题主要考查了平角的定义，角平分线的概念及角的和差，正确理解题意，注意利用分类讨论是解题的关键． 【详解】（1），，，． （2）设，则，， ∵平分，， ，，解得，． （3）①如图，  在直线上方，． ∵平分，． ，． ②如图，  在直线下方，． ∵平分，． ，． 综上，的度数为或． 1．（2023秋·重庆开州·七年级统考期末）一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（、），将三角板绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，有下列四个结论：      ①在图1的情况下，在内作，则平分； ②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值； ③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次； ④的角度恒为．其中正确的结论个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】结合图形根据题意正确进行角的和差计算即可判断． 【详解】①如图可得，所以平分，①正确； ②当时，设，∵平分，∴， ∴ ，， ∴， 当时，设，∵平分，∴， ∴，∴， ∴，∴，故②正确； ③时，时，时故③正确； ④当时，当时，故④错误； 综上所述，正确的结论为①②③；故选：C． 【点睛】本题主要考查了角的和差，角的平分线，旋转的性质，关键根据题意正确进行角的和差计算． 2．（23-24七年级下·浙江金华·期末）定义：从一个角的顶点引一条射线，把这个角分成两个角，并且这两个角的度数之比为1:2，这条射线叫做这个角的三分线．显然，一个角的三分线有两条．如，，是的两条三分线，以点为中心，将按顺时针方向旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 ． 【答案】或 【分析】根据题意将本题分成两种情况讨论①，②，根据两种情况分别讨论并计算即可． 【详解】解：∵，，是的两条三分线， ∴， ①当，如图， 如原图所示：， 所以； ②当时，如图， 则， 所以，． 故答案为：或． 【点睛】本题考查角的运算，旋转的性质，能够熟练掌握分类讨论思想是解决本题的关键． 3．（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图，将直角三角板的直角顶点落在直线上，射线平分，，将三角板绕点旋转（旋转过程中与均指大于且小于的角）将三角板绕点旋转一周，的度数为 （用含的代数式表示）． 【答案】或 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差，分在上方和下方两种情况解答：先求出，再根据角平分线的定义求出，结合三角板的度数计算即可求解，根据题意，运用分类讨论思想进行解答是解题的关键． 【详解】解：当在上方时，如图， ∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； 当在下方时，如图， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； ∴的度数为或， 故答案为：或． 4．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）如图，于点，，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针向终边旋转，同时，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针向终边旋转，当、中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设，，则与之间的数量关系为 ． 【答案】或 【分析】分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：由题意，得：的运动时间为：秒，的运动时间为：秒； ∴运动的时间相同； 设运动时间为秒， 则：， ∵， ∴， 当时：， ∴， ， ∴， ∴， ∴，即：； 当，在上方时：如图，， ∴， ， ∴， ∴， ∴，即：； 当，在下方时：如图2，， ∴， ， ∴， ∴， ∴，即：； 综上：与之间的数量关系为或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查几何图形中角度的计算．正确的识图，理清角之间的和差关系，是解题的关键． 5．（23-24七年级下·河南郑州·开学考试）如图，和都是直角．固定不动，将绕点O旋转，在旋转过程中，下列结论正确的有 ． ①如果，那么；②是定值 ③若变小，则变大；④ 【答案】①②③④ 【分析】由题意得到，，进行整理即可分别进行判断． 【详解】解：，， ，， ， 即，即， 当，则，故①正确； ，，故②正确； ，若变小，则变大，故③正确； ， ，，故④正确； 综上所述，故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了角的有关计算；解题的关键是结合图形对角进行正确拆分、组合． 5．（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图，点，，在同一条直线上，，射线在直线的上方绕点旋转，记，平分． (1)若与互补，则角________； (2)若，则________； (3)是否存在的值，使得与互余，若存在，求出，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，的值为或． 【分析】（）由点，，在同一条直线上，则，通过题意，，再根据与互补，即可得出，然后求解即可； （）由点，，在同一条直线上，则，通过题意，，再根据角平分线的定义及，即可得出，然后求解即可； （）分情况画出图形讨论即可求解； 本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，余角与补角的定义，利用分类讨论的思想求解及掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）∵点，，在同一条直线上， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：； （2）如图， ∵点，，在同一条直线上， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：； （3）存在， ∵与互余， ∴， ∵，平分， ∴， 如图， ∵， ∴， 解得； 如图所示， ∵， ∴， 解得：， 综上所述，的值为或． 7．（2024七年级上·重庆·专题练习）已知射线在的内部，射线平分，射线平分．(1)如图①，，则_________； (2)如图②，若，射线在的内部绕点O旋转，求的度数． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了几何图形中角度计算，角平分线的意义，掌握角度的计算是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可得，根据即可求解；（2）同理（1）即可求得． 【详解】（1）解： 平分，平分， ， ，， ，； （2）解：同理（1）得：， ，． 8．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）如图①，射线在内部，图中共有三个角：，，，若其中有一个角的角度是另一个角的两倍，则称射线为的“倍分线”． (1)若射线是的角平分线，则射线________（填“是”或“不是”）的“倍分线”； (2)如图②，若，射线为的“倍分线”，求； (3)若，射线从射线的位置开始，绕点逆时针以每秒的速度向射线运动，当射线到达射线时停止运动，运动的时间为秒，同时射线从射线的位置开始以每秒的速度向射线运动，如图③所示，并与射线同时停止，则当经过多少秒时，射线是的“倍分线”． 【答案】(1)是； (2)或或； (3)或或秒 【分析】本题考查了角度的计算，一元一次方程的应用，正确理解“倍分线”的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键，注意分类讨论． （1）根据“倍分线”的定义分析即可； （2）分三种情况讨论：当时；当时；时，利用“倍分线”的定义分别求解即可； （3）由题意可知，，，，分三种情况讨论：当时；当时；当时，利用“倍分线”的定义分别求解即可． 【详解】（1）解：射线是的角平分线， ， 射线为的“倍分线”， 故答案为：是； （2）解： ①如图1，当时，； ②如图2，当时， ， ； ③如图3，时， ， ， ， 综上可知，的度数为或或； （3）解：由题意可知，，，， ①当时，此时， 则， 解得：； ②当时， 则， 解得：， ③当时，此时， 则， 解得：； 综上可知，当经过或或秒时，射线是的“倍分线”． 9．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，是直线上一点，射线绕点顺时针旋转，从出发，每秒旋转，射线绕点逆时针旋转，以相同的速度从出发，射线与同时旋转，设旋转的时间为秒，当旋转到与重合时，都停止运动． (1)猜想：__________，并说明理由； (2)已知射线始终平分，射线在内，且满足与互余． ①当秒时，__________； ②在运动过程中，试探究与之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)180，理由见解析 (2)①60；②，理由见解析 【分析】本题主要考查了有关角平分线的计算，余角的定义： （1）根据题意可得，再由，即可求解； （2）①根据题意可得，再由余角的定义，即可求解；②根据题意可得，再根据角平分线的定义可得，再由余角的定义，可得，然后分别求出与的度数，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 根据题意得：， ∵， ∴； 故答案为：180 （2）解：①当秒时，， ∵与互余， ∴； 故答案为：60 ②，理由如下： 如图， 根据题意得：， ∵射线始终平分， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．（23-24七年级上·浙江台州·期末）定义：当射线在内部，时，我们称为射线在内的角值，记作．如图1，若，，则，则． (1)如图1，射线在内部，若，则_________；若，则__________； (2)如图2，已知，射线，分别从射线和同时开始旋转，其中射线绕点顺时针旋转，射线绕点逆时针旋转，当射线旋转到射线时，射线，停止旋转．设运动时间为秒． ①若射线，的运动速度均为每秒，试用含的式子表示和，并直接写出它们的数量关系； ②若射线，的运动速度分别为每秒和，射线到达射线后立即以原速返回，则当为何值时，? (3)如图3，在钟面内有三条射线，和，分别指向12点，4点，8点．射线，同时从射线开始旋转，其中射线绕点顺时针旋转，射线绕点逆时针旋转，同时到射线停止旋转．设，当射线运动到的内部时，请用含的式子表示． 【答案】(1)， (2)①；②的值为3或7 (3) 【分析】（1）根据角值的定义进行代数运算，即可作答． （2）①根据运动时间为秒和射线，的运动速度均为每秒，即可作答； ②射线，的运动速度分别为每秒和，先用含的代数式表达和，再代入，计算化简求值，即可作答． （3）根据三条射线，和的起点和运动方向，列出含的代数式，结合和射线运动到的内部这两个条件，即可作答． 【详解】（1）解：依题意， ∵射线在内部，若， 则； ∵， ∴； （2）解：①由题意可知，． ， ，． ，， ． ． ②运动到时，，停止运动，， ． 当时，，，． ， 若， 则，解得． 当时，， ， 同理可由， 解得． 综上，的值为3或7． （3）解：由射线所对应的时间可知． ，同时到射线停止旋转， 的速度是的2倍， ， ， ， ． 当射线运动到内部时，，， ． 【点睛】本题以新定义的形式考查角的运动型问题，涉及到列代数式，新定义以及角的运算，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题中的新定义，能根据射线运动过程中角度的变化进行适当的分类讨论． 11．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）如图，已知，射线从位置出发，以每秒的速度顺时针向射线旋转；与此同时，射线以每秒的速度，从位置出发逆时针向射线旋转，到达射线后又以同样的速度顺时针返回，当射线返回并与射线重合时，两条射线同时停止运动．设旋转时间为t秒． (1)当时，求的度数； (2)若，当时，求的值； (3)在旋转过程中，是否存在t的值，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)10或20 (3)存在，或或 【分析】（1）当时，得到，利用求出结果即可； （2）分两种情况：①当OP与OQ第一次相遇前；②当OP与OQ第一次相遇后，分别列出等量关系式求解即可； （3）分三种情况：①当OP与OQ第一次相遇前；②当OP与OQ第一次相遇前后，但OQ未到达OA前；③当OQ到OA后返回与OP第二次相遇前，分别列出等量关系式求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴； （2）∵度，度， ①当OP与OQ第一次相遇前，， 解得， ②当OP与OQ第一次相遇后，， 解得， ∴当或时，； （3）①当OP与OQ第一次相遇前， ∵度，度，度，度， ∴， 解得． ②当OP与OQ第一次相遇后，但OQ未到达OA前， ∵度，度，度，度， ∴ 解得， ③当OQ到OA后返回与OP第二次相遇前， ∵度，度，度， ∴， 解得， 综上所述，当或或时，． 【点睛】本题考查了角的和差关系及列方程解实际问题，解决本题的关键是分好类，列出关于时间的方程． 12．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）定义：从一个角（小于）的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所构成的角等于这个角的，那么这两条射线所构成的角叫做这个角的“三分角”．如图1所示，若，则是的“三分角”．    (1)如图1，已知，，是的“三分角”，求的度数． (2)如图2，已知，是的平分线，射线从出发，绕点O以/秒的速度按顺时针方向旋转，设旋转时间为t秒，当是的“三分角”时，求t的值． 【答案】(1)； (2)秒或秒． 【分析】（1）根据“三分角”的定义及角的和差关系，列式计算即可求解； （2）分两种情况讨论，当和时，计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的“三分角”， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，是的平分线， ∴， ∵是的“三分角”， ∴， 分两种情况讨论， 当，此时秒； 当，此时秒； 综上，t的值为秒或秒． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，角的和差关系，“三分角”的定义，掌握新定义是解题的关键． 13．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图1，在直线上取一点O，向上作一条射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的上方．如图2，将直角三角板绕点O逆时针转动，当与第一次重合时停止． (1)如图2，时，若和互余，且满足始终在内部，求此时的度数； (2)如图2，当始终在内部时，猜想与有怎样的数量关系（用含n的等式表示），并说明理由；(3)如图2，当时，若直角三角板绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转，与第一次重合时停止，在旋转的过程中，若恰好有，旋转的时间是 秒．（直接写出结果） 【答案】(1)(2)，理由见解析(3)25.2或54 【分析】（1）因为和互余，，可得，所以，已知，可得的度数；（2），因为，所以，即，可得与的数量关系；（3）分在直线上方、不在直线上方两种情况讨论． 【详解】（1）解：和互余， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：设旋转的时间为秒， ①在直线上方时， ，， ， ， ， ， 解得：， ，， ， ， ， ， 解得：， ②不在直线上方时， ，， ， ， ， ， 解得：， 故答案为：25.2或54． 【点睛】本题考查了角的计算，解一元一次方程，两个角互余，两个角互补，解题的关键是注意分类讨论． 14．（23-24七年级上·湖北黄石·期末）如图1，已知，的余角比它的补角的少20°． (1)求的度数；(2)如图1，当射线从处绕点以5度/秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，保持射线始终在的内部，当时，求旋转时间．(3)如图2，若射线为的平分线，当射线从处绕点以5度/秒的速度逆时针旋转，同时射线从射线处以度/秒的速度绕点顺时针旋转，当这两条射线重合于射线处（在的内部）时，，求的值．（注：本题中所涉及的角都是小于的角） 【答案】(1)(2)4秒或12秒(3) 【分析】（1）根据余角和补角的定义列出关于的方程，解方程即可得出答案； （2）设旋转时间为秒，分到达前，到达后，分别列出关于t的方程解方程即可得出答案； （3）先根据角平分线的定义求出，得出，设相遇时，旋转的时间为秒，用t表示出，，根据，得出，根据，列出关于t的方程，求出t的值，再求出x即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，，解得：； （2）解：设旋转时间为秒，根据射线的运动可知，， 当到达前，，∴，解得； 当到达后，，∴，解得； 答：当时，旋转时间为4秒或12秒； （3）解：∵，平分，∴， ∴， 设相遇时，旋转的时间为秒，根据射线的运动可知，， ， ∴，∴，即， ∵，∴，即， 整理得，解得：，∴，解得：． 【点睛】本题主要考查了余角、补角的有关计算，一元一次方程的应用，角平分线的定义，解题的关键是数形结合，根据角度关系列出方程，解方程，并注意分类讨论． 15．（23-24七年级上·湖南邵阳·期末）如图①已知直角三角板的直角顶点在直线上，过点作射线．(1)若是的平分线，试说明．(2)当三角板绕点旋转得到图②时，使得边恰好平分，则与存在怎样的数量关系？请说明理由． (3)当三角板绕点旋转得到图③时，使得边恰好平分，若，求的度数． 【答案】(1)见解析(2)，见解析(3) 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的计算：（1）由是的平分线知，由得，进而可得结论； （2）由角平分线的定义得，由得，故可得； （3）根据角平分线的意义可得，从而可求出． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∴ ∵是的平分线， ∴ ∴ ∴ ∴； （2）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ， ∵平分， ∴， ∴． 16．（23-24七年级上·广东梅州·阶段练习）如图 ，点 是弹力墙 上一点，魔法棒从 的位置开始绕点 向 的位置顺时针旋转，当转到 位置时，则从 位置弹回，继续向 位置旋转；当转到 位置时，再从 的位置弹回，继续转向 位置，，如此反复．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转： 第 步，从 （ 在 上）开始旋转 至 ； 第 步，从 开始继续旋转 至 ； 第 步，从 开始继续旋转 至 ，． 例如：当 时，，，， 的位置如图 所示，其中 恰好落在 上，； 当 时，，，， 的位置如图 所示， 其中第 步旋转到 后弹回，即 ，而 恰好与 重合． 解决如下问题：      (1)若 ，在图 中借助量角器画出 ，，其中 的度数是 ．    (2)若 ，且 所在的射线平分 ，在如图 中画出 ，，， 并求出 的值．    (3)若 ，且 ，则对应的 值是 ． (4)当 所在的射线是 （，， 是正整数，且 与 不重合）的平分线时，旋转停止，请探究：试问对于任意角 （ 的度数为正整数，且 ），旋转是否可以停止？写出你的探究思路． 【答案】(1) (2) (3)或或 (4)对于时，不能停止，理由见解析 【分析】（1）根据题意，明确每次旋转的角度，计算即可； （2）根据各角的度数，找出等量关系式，列出方程，求出的度数即可； （3）类比第（2）小题的算法，分三种情况讨论，求出的度数即可； （4）无论为多少度，旋转很多次，总会出一次是是的角平分线，但当度时，只有两条射线，不会出现是是的角平分线，所以旋转会中止． 【详解】（1）解：如图所示．，    （2）解：如图所示．   ， ，． 平分， ，解得：． （3）解：∵，， ①当时， I），如图，    ∴， ∴； II），如图，    ∴ ∴； ②当时，则弹回，如图，    ∴ ∴ 综上，若 ，且 ，则对应的 值是或或． （4）解：对于角不能停止．理由如下： 无论为多少度，旋转过若干次后，一定会出现是是的角平分线，所以旋转会停止． 但特殊的，当为时，第一次旋转，，第二次旋转时，与重合，第三次旋转，又与重合，第四次旋转时，又与重合，依此类推，旋转的终边只会出现“与重合”或“与重合”两种情况，不会出第三条射线，所以不会出现是是的角平分线这种情况，旋转不会停止． 【点睛】本题主要考查角度的计算的相关知识，可结合平角的性质及角度的加减进行计算分析． 17．（23-24七年级上·河北沧州·期中）如图1，已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的奇妙线． (1)一个角的平分线________这个角的奇妙线；（填“是”或“不是”） (2)如图2，． ①若射线是的奇妙线，则的度数为________； ②若射线从位置开始，以每秒旋转的速度绕点按逆时针方向旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为．当为何值时，射线是的奇妙线？ 【答案】(1)是 (2)①或或；②或或 【分析】（1）根据其妙线的定义进行判断即可； （2）①根据奇妙线的定义分三种情况讨论计算即可； ②射线是的奇妙线，在的内部，在的内部，然后分三种情况求解即可． 【详解】（1）解：一个角的平分线中，大角是小角的2倍，满足奇妙线的定义， 故答案为：是； （2）解：①，射线是的奇妙线，根据奇妙线的定义分三种情况讨论： 当时， ∵， ∴； 当时， ∵ ∴； 当时， ∵， ∴； 故答案为：20或30或40； ②∵射线是的奇妙线， ∴在的内部， ∴在的内部； 分三种情况： （Ⅰ）如图，当时，如图所示： ∴ ∴； （Ⅱ）如图，当时，如图所示： ∴， ∴； （Ⅲ）当时，如图所示： ∵， ∴， ∴； 综上：当t为或或时，射线是的奇妙线． 【点睛】本题主要考查新定义下的角的计算，几何图形中的角度计算，理解题意，列出相应的式子求解，是解题关键． 18．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）已知，平分． (1)如图①，若，求的度数； (2)将绕顶点O按逆时针方向旋转至如图②的位置，和有怎样的数量关系？请说明理由； (3)将绕顶点O按逆时针方向旋转至如图③的位置，（2）中的关系是否成立？请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)不成立，理由见解析 【分析】（1）先求出的度数，根据，求出，角平分线得到，再利用，即可得解； （2）设，易得：，求出，即可得出结论； （3）设，则，，求出，进而得到和的数量关系，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：；理由如下： 设，则，， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （3）不成立，理由如下： 设，则， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ∴（2）中的关系不成立． 【点睛】本题考查几何图形中角度的计算，正确的识图，理清角的和差关系，熟练掌握角平分线平分角，是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$