专题01 长方体和正方体（考点清单，知识导图+10个考点清单+5种题型解读）-2024-2025学年六年级数学上学期期末考点大串讲（苏教版）

专题01 长方体和正方体 （考点清单，知识导图+10个考点清单+5种题型解读） 温馨提示：图片放大更清晰 清单01 长方体的认识 两个面相交的线叫作棱，三条棱相交的点叫作顶点。 棱的特点：长方体的12条棱按长度可以分为3组，水平横向一组，水平纵向一组，竖直方向一组，每组的4条棱长度相等，即相对的棱长度相等。 长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫做它的长、宽、高。长方体的长、宽、高不是固定不变的，它与长方体的摆放方式有关。相交于同一个顶点的三条棱中，通常把水平向上相交的两条棱分别叫做长和宽，把竖直方向的一条棱叫做高。 长方体是由6个长方形（特殊情况下有2个相对的面是正方形）围成的立体图形。它有6个面。12条棱和8个顶点。相对的面完全相同，相对的棱长度相等。长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4。 清单02 正方体的认识 正方和长方体异同 正方体的认识： 正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形。它有6个面。12条棱和8个顶点。每个面都是完全相同的正方形。正方体的棱长总和=棱长×4。 长方体和正方体的关系： 长方体所具备的特征都具备，所以正方体是特殊的长方体。它们的关系可以用下图来表示： 清单03 长方体和正方体的展开图 沿着正方体（或长方体）的棱将它剪开，可以把正方体（或长方体）展开成一个平面图形，这个平面图形就是正方体（或长方体）的展开图。 在展开图中，正方体的6个面完全相同（长方体相对的面完全相同），相对的面完全隔开。 由于剪法不同，正方体和长方体的展开图均有多种。 清单04 长方体和正方体的表面积 长方体（或正方体）6个面的总面积，叫作它的表面积。 长方体的表面积=(长×宽+长×高+长×宽)×2 正方体的表面积=棱长×棱长×棱长×6 清单05 长方体和正方体的表面积的应用 在利用长方体和正方体的表面积来解决生活中的实际问题时，要注意根据实际情况确定求得是那几个面面积的和。 可以根据长方体和正方体像对面的特征用不同的方法计算。 清单06 体积和容积 物体所占空间的大小叫做物体的体积。 容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。 清单07 体积单位 常用的体积单位有立方厘米、立方分米、立方米。计量容积，一般就用体积单位。 计量液体的体积，通常用升或毫升作单位。 容积等于1立方分米的容器，正好盛水1升。 容积等于1立方厘米的容器，正好盛水1毫升。 清单08 长方体和正方体体积公式推导 长方体的体积： 长方体的体积=长×宽×高。用字母表示为：V=abh。 正方体的体积： 正方体的体积=棱长×棱长×棱长。用字母表示为：V=a³。a³表示3个a相乘，读作a的立方。 清单09 长方体和正方体的底面积 长方体和正方体底面的面积，叫作它们的底面积。 长方体或正方体的体积=底面积×高，用字母表示为：V=Sh。 清单10 体积单位间的进率 1立方分米=1000立方厘米 1立方米=1000立方分米 考点题型一 正方体和长方体的展开图 1：在下列四个图形中，沿虚线折叠后能围成正方体的画“√”，不能围成正方体的画“×”。 ( )    ( )   ( )    ( ) 答案： √ × √ √ 分析：正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“1－4－1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2－2－2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3－3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1－3－2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形。 详解： √                          ×                    √                     √ 【1-1】如图是一种带有正方形的长方体药盒的展开图。 (1)其中与A面相对的面是( )面（填字母）。 (2)如果图中长方形的长是15cm，宽是6cm，则这个药盒的体积是( )cm3（接口处不计）。 答案：(1)E (2)540 分析：（1）想象把这个长方体药盒展开图折成长方体：C是下面，B是左面，D是右面，A是后面，E是前面，F是上面；据此找出与A面相对的面。 （2）已知这个长方体药盒有两个面是正方形，则宽和高相等都是6cm；根据长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算，求出这个药盒的体积。 详解：（1）其中与A面相对的面是E面。 （2）15×6×6 ＝90×6 ＝540（cm3） 这个药盒的体积是540cm3。 【1-2】一张长方形纸板长80厘米，宽10厘米，把长边对折再对折。打开后围成一个高10厘米的长方体纸箱的侧面，这个长方体纸箱底面的面积是( )平方厘米。 答案：400 分析：根据题意，把长80厘米的长方形纸板的长边对折再对折，即把长边平均分成4份，每份长80÷4＝20厘米；打开后围成长方体纸箱的侧面，也就是这个长方体纸箱的底面是边长20厘米的正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，即可求出纸箱底面的面积。 详解：80÷4＝20（厘米） 20×20＝400（平方厘米） 这个长方体纸箱底面的面积是400平方厘米。 【1-3】（1）下面（    ）号折起来，可以成为一个无盖的纸盒。 （2）如果该纸盒有盖，那么还有一个面可以画在哪里？（请在图上画出来） 答案：（1）③ （2）见详解 分析：（1）根据正方体展开图的11种特征，图①、②无论在任何位置添上一个同样正方形，都不属于正方体展开图，不能折成一个无盖的纸盒；图③比正方体展开图的“1－4－1”型少一个正方形，即少一个面，能折成一个无盖的纸盒。 （2）根据正方体展开图的“1－4－1”型，在中间一行三个正方形的左边或右边添上一个同样的正方形，折成的纸盒就会有盖。 详解：（1）由分析可知，③号折起来，可以成为一个无盖的纸盒； （2） 点睛：正方体展开图有11种，第一种：“1－4－1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2－2－2”结构，即每一行都放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3－3”结构，即每一行都有3个小正方形，只有一种展开图；第四种：“1－3－2”结构，即第一行1个小正方形，第二行3个小正方形，第三行2个小正方形。 考点题型二 长方体和正方体的表面积计算及应用 2：将一个长为6厘米，宽和高都为3厘米的长方体木块锯成两个完全一样的正方体木块，表面积增加( )平方厘米。 答案：18 分析：根据题意可知，把长方体锯成2个正方体，表面积增加了2个正方形面，已知正方体的棱长是3厘米，根据正方形的面积公式，用3×3×2即可求出增加的表面积。 详解：3×3×2 ＝9×2 ＝18（平方厘米） 将一个长为6厘米，宽和高都为3厘米的长方体木块锯成两个完全一样的正方体木块，表面积增加18平方厘米。 【2-1】如图，把一个长方体沿着虚线各切一刀，表面积分别增加40cm2、24cm2、30cm2，这个长方体原来的表面积是( )cm2。 答案：94 分析：第一种切法：表面积增加了长×宽×2；第二种切法：表面积增加了宽×高×2；第三种切法：表面积增加了长×高×2；根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，大长方体原来的表面积为（40＋24＋30）cm2，据此解答。 详解：40＋24＋30 ＝64＋30 ＝94（cm2） 这个长方体原来的表面积是94cm2。 【2-2】一根长1米的长方体木料锯成2段后，表面积增加了80平方厘米。这根木料的体积是多少立方厘米？如果每立方分米木料重1千克，这根木料重多少千克？ 答案：4000立方厘米；4千克 分析：长方体木料锯成2段后，增加了80平方厘米是增加了两个底面的面积，除以2可求出一个底的面积，底面积乘高（木料长）即可得长方体木料的体积。 这根木料的总重量＝木料的体积×每立方分米的重量。 注意：单位换算，先将长度1米换成厘米，高级单位转化为低级单位用乘法。再将立方厘米的木料换成单位是立方分米的木料，低级单位转化为高级单位用除法。 详解：80÷2＝40（平方厘米）    1米＝100厘米   40×100＝4000（立方厘米）     4000立方厘米＝4立方分米 4×1＝4（千克） 答：这根木料的体积是4000立方厘米；这根木料重4千克。 【2-3】把长方体（如下图，单位：厘米）沿虚线切开后，得到8个小长方体，这些小长方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加了多少平方厘米？ 答案：736平方厘米 分析：（1）沿虚线每切一刀，长方体一分为二，增加两个相同截面的面积。 （2）图中虚线显示共切三刀，增加的面恰好是原长方体上下、左右、前后六个面。因此实际就是求长方体的表面积。 详解： （平方厘米） 答：这些小长方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加了736平方厘米。 考点题型三 长方体和正方体体积及应用 3：将一个长、宽、高分别是10cm、8cm、7cm的长方体木块削成一个最大的正方体木块，求削去部分的体积，列式是( )。 答案： 分析：正方体体积＝棱长×棱长×棱长，长方体体积＝长×宽×高；正方体的12条棱都相等，把长方体木块削成一个最大的正方体木块，则正方体的棱长只能是7cm，求削去部分的体积用长方体的体积减去正方体的体积即可。 详解：削去部分的体积，列式是：。 【3-1】一个空的长方体容器的底面积是7平方分米。倒入水后，水面高3分米，倒入了( )升水 答案：21 分析：倒入的水的升数就是长方体容器升高的水的体积，根据长方体的体积＝底面积×高，代入数据解答即可。 详解：7×3＝21（立方分米） 21立方分米＝21升 倒入了21升水。 【3-2】贝贝用三个完全一样的小正方体拼成一个长方体（如下图）。拼成之后，梭长之和减少了160厘米。原来每个小正方体的体积是多少立方厘米？ 答案： 1000立方厘米 分析：由题意可知，三个完全一样的小正方体拼成一个长方体，减少了4个面，即条棱长，已知拼成之后，梭长之和减少了160cm，即160cm是16条棱长的和，用除法计算出每条棱长的长度，再根据，代入数据，即可得解。 详解： （厘米） （立方厘米） 答：原来每个小正方体的体积是1000立方厘米。 【3-3】一辆运煤车的车厢是长方体。从里面量，底面积是4.5平方米，装的煤高0.6米。如果每立方米煤重1.32吨，这辆运煤车大约装煤多少吨？（得数保留一位小数） 答案：3.6吨 分析：根据长方体体积＝底面积×高，代入数据，求出这个长方体运煤车的车厢体积，再用运煤车的车厢体积乘每立方米煤的重量，即可求出这辆运煤车大约运煤的吨数；得数保留一位小数，就看小数部分第二位，再用四舍五入法取值。 详解：4.5×0.6×1.32 ＝2.7×1.32 ≈3.6（吨） 答：这辆运煤车大约装煤3.6吨。 考点题型四 体积单位间的进率 4：3立方厘米＝( )毫升     5升＝( )立方分米 答案： 3 5 分析：根据进率：1立方厘米＝1毫升、1升＝1立方分米，据此解答。 详解：3立方厘米＝3毫升 5升＝5立方分米 【4-1】下图中小球的体积是( )cm3，大球体积是( )cm3。 答案： 5 10 分析：根据题意可知，用30mL－15mL，求出3个小球的体积，再除以3，求出一个小球的体积；再用15mL－一个小球的体积，即可求出大球的体积，注意单位名数的换算。 详解：（30－15）÷3 ＝15÷3 ＝5（mL） 15－5＝10（mL） 5mL＝5cm3；10mL＝10cm3 下图中小球的体积是5cm3，大球的体积是10cm3。 【4-2】测量铁球体积的过程：把5个相同铁球放入（完全浸没）盛有200毫升水的量杯中，水面刻度上升到500毫升；每个铁球的体积是( )立方厘米。 答案：60 分析：由题可知，5个相同铁球放入后水面刻度从200毫升上升到500毫升，即上升了（500－200）毫升，再用5个铁球的体积除以铁球的数量，即可求出每个铁球的体积。 详解：500－200＝300（毫升） 300毫升＝300立方厘米 300÷5＝60（立方厘米） 每个铁球的体积是60立方厘米。 【4-3】小张家的鱼缸从里面量长1米，宽0.4米，深0.6米，这个鱼缸最多能装多少升水？ 答案：240升 分析：首先计算鱼缸的体积：鱼缸的形状为长方体，长方体体积＝长×宽×高，已知鱼缸从里面量长1米，宽0.4米，深0.6米，则鱼缸体积为1×0.4×0.6＝0.24（立方米）。然后进行单位换算：1立方米＝1000升，所以0.24立方米＝240升。 详解：1×0.4×0.6 ＝0.4×0.6 ＝0.24（立方米） 0.24立方米＝（0.24×1000）升＝240升 答：这个鱼缸最多能装240升水。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 长方体和正方体 （考点清单，知识导图+10个考点清单+5种题型解读） 温馨提示：图片放大更清晰 清单01 长方体的认识 两个面相交的线叫作棱，三条棱相交的点叫作顶点。 棱的特点：长方体的12条棱按长度可以分为3组，水平横向一组，水平纵向一组，竖直方向一组，每组的4条棱长度相等，即相对的棱长度相等。 长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫做它的长、宽、高。长方体的长、宽、高不是固定不变的，它与长方体的摆放方式有关。相交于同一个顶点的三条棱中，通常把水平向上相交的两条棱分别叫做长和宽，把竖直方向的一条棱叫做高。 长方体是由6个长方形（特殊情况下有2个相对的面是正方形）围成的立体图形。它有6个面。12条棱和8个顶点。相对的面完全相同，相对的棱长度相等。长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4。 清单02 正方体的认识 正方和长方体异同 正方体的认识： 正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形。它有6个面。12条棱和8个顶点。每个面都是完全相同的正方形。正方体的棱长总和=棱长×4。 长方体和正方体的关系： 长方体所具备的特征都具备，所以正方体是特殊的长方体。它们的关系可以用下图来表示： 清单03 长方体和正方体的展开图 沿着正方体（或长方体）的棱将它剪开，可以把正方体（或长方体）展开成一个平面图形，这个平面图形就是正方体（或长方体）的展开图。 在展开图中，正方体的6个面完全相同（长方体相对的面完全相同），相对的面完全隔开。 由于剪法不同，正方体和长方体的展开图均有多种。 清单04 长方体和正方体的表面积 长方体（或正方体）6个面的总面积，叫作它的表面积。 长方体的表面积=(长×宽+长×高+长×宽)×2 正方体的表面积=棱长×棱长×棱长×6 清单05 长方体和正方体的表面积的应用 在利用长方体和正方体的表面积来解决生活中的实际问题时，要注意根据实际情况确定求得是那几个面面积的和。 可以根据长方体和正方体像对面的特征用不同的方法计算。 清单06 体积和容积 物体所占空间的大小叫做物体的体积。 容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。 清单07 体积单位 常用的体积单位有立方厘米、立方分米、立方米。计量容积，一般就用体积单位。 计量液体的体积，通常用升或毫升作单位。 容积等于1立方分米的容器，正好盛水1升。 容积等于1立方厘米的容器，正好盛水1毫升。 清单08 长方体和正方体体积公式推导 长方体的体积： 长方体的体积=长×宽×高。用字母表示为：V=abh。 正方体的体积： 正方体的体积=棱长×棱长×棱长。用字母表示为：V=a³。a³表示3个a相乘，读作a的立方。 清单09 长方体和正方体的底面积 长方体和正方体底面的面积，叫作它们的底面积。 长方体或正方体的体积=底面积×高，用字母表示为：V=Sh。 清单10 体积单位间的进率 1立方分米=1000立方厘米 1立方米=1000立方分米 考点题型一 正方体和长方体的展开图 1：在下列四个图形中，沿虚线折叠后能围成正方体的画“√”，不能围成正方体的画“×”。 ( )    ( )   ( )    ( ) 【1-1】如图是一种带有正方形的长方体药盒的展开图。 (1)其中与A面相对的面是( )面（填字母）。 (2)如果图中长方形的长是15cm，宽是6cm，则这个药盒的体积是( )cm3（接口处不计）。 【1-2】一张长方形纸板长80厘米，宽10厘米，把长边对折再对折。打开后围成一个高10厘米的长方体纸箱的侧面，这个长方体纸箱底面的面积是( )平方厘米。 【1-3】（1）下面（    ）号折起来，可以成为一个无盖的纸盒。 （2）如果该纸盒有盖，那么还有一个面可以画在哪里？（请在图上画出来） 考点题型二 长方体和正方体的表面积计算及应用 2：将一个长为6厘米，宽和高都为3厘米的长方体木块锯成两个完全一样的正方体木块，表面积增加( )平方厘米。 【2-1】如图，把一个长方体沿着虚线各切一刀，表面积分别增加40cm2、24cm2、30cm2，这个长方体原来的表面积是( )cm2。 【2-2】一根长1米的长方体木料锯成2段后，表面积增加了80平方厘米。这根木料的体积是多少立方厘米？如果每立方分米木料重1千克，这根木料重多少千克？ 【2-3】把长方体（如下图，单位：厘米）沿虚线切开后，得到8个小长方体，这些小长方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加了多少平方厘米？ 考点题型三 长方体和正方体体积及应用 3：将一个长、宽、高分别是10cm、8cm、7cm的长方体木块削成一个最大的正方体木块，求削去部分的体积，列式是( )。 【3-1】一个空的长方体容器的底面积是7平方分米。倒入水后，水面高3分米，倒入了( )升水 【3-2】贝贝用三个完全一样的小正方体拼成一个长方体（如下图）。拼成之后，梭长之和减少了160厘米。原来每个小正方体的体积是多少立方厘米？ 【3-3】一辆运煤车的车厢是长方体。从里面量，底面积是4.5平方米，装的煤高0.6米。如果每立方米煤重1.32吨，这辆运煤车大约装煤多少吨？（得数保留一位小数） 考点题型四 体积单位间的进率 4：3立方厘米＝( )毫升     5升＝( )立方分米 【4-1】下图中小球的体积是( )cm3，大球体积是( )cm3。 【4-2】测量铁球体积的过程：把5个相同铁球放入（完全浸没）盛有200毫升水的量杯中，水面刻度上升到500毫升；每个铁球的体积是( )立方厘米。 【4-3】小张家的鱼缸从里面量长1米，宽0.4米，深0.6米，这个鱼缸最多能装多少升水？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$