专题09 三角变换（6大基础题+4大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（人教A版2019必修第一册）

专题09 三角恒等变换 两角和与差的余弦公式 一、单选题 1．（23-24高一下·陕西渭南·期末）（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期末）（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·河北·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·辽宁大连·期末）已知平面直角坐标系内点，为原点，线段绕原点按逆时针方向旋且长度变为原来的一半，得到线段，若点的纵坐标为，则（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数，若存在，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·山东滨州·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·浙江衢州·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·河南郑州·期末）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·上海·期末）在中，，则（    ） A． B． C．或 D．以上答案均不正确 11．（23-24高一下·四川成都·期末）已知角，满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 12．（23-24高一下·甘肃·期末）下列各式的值为的是（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高一下·浙江杭州·期末）如图的“弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形．设直角三角形的两个锐角分别为，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则（    ）    A．每一个直角三角形的面积为1 B． C． D． 14．（23-24高一上·浙江宁波·期末）下列式子化简正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 15．（23-24高一下·河北张家口·期末）已知，若，则 . 16．（23-24高一下·上海·期末）已知，，则 ． 两角和与差的正弦公式 一、单选题 1．（23-24高一下·辽宁·期末） （    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江苏苏州·期末）（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江西萍乡·期末）（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·安徽蚌埠·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·江苏南京·期末）（    ） A． B． C． D．1 7．（23-24高一下·湖北·期末）（    ） A． B． C．1 D． 8．（23-24高一下·江苏连云港·期末）已知为钝角，，则（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一下·江苏徐州·期末）已知，，，，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（23-24高一下·四川成都·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（23-24高一下·四川凉山·期末）已知，，其中，则 . 12．（23-24高一下·四川绵阳·期末）已知角的终边在第一象限，，则 ． 13．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知，，，则 ． 两角和与差的正切公式 一、单选题 1．（23-24高一下·江苏淮安·期末）（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·甘肃甘南·期末）（    ） A． B．2 C．1 D． 3．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）（    ） A． B．1 C． D． 4．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·山西太原·期末）已知，，且，，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·广西玉林·期末）已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·江苏苏州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一下·山东青岛·期末）若△ABC为斜三角形，，则的值为（    ） A． B． C．0 D．1 10．（23-24高一下·湖南衡阳·期末）已知，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一下·贵州毕节·期末）已知是第三象限的角，且，则（    ） A． B． C． D．7 12．（23-24高一下·河南新乡·期末）已知，且，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 13．（23-24高一下·广东江门·期末）已知，是第三象限角，则 （     ） A． B． C．7 D． 二、多选题 14．（21-22高一下·全国·期末）下列计算结果为的是（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一上·福建福州·期末）计算下列各式的值，其结果为2的有（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高一上·湖北武汉·期末）计算下列各式的值，其结果为2的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 17．（23-24高一下·安徽蚌埠·期末）已知，tanβ是方程的两根，则tanα＝ ． 18．（23-24高一下·辽宁锦州·期末）已知，，则的值为 . 19．（23-24高一下·四川内江·期末）已知，是方程的两个根，且，，则的值是 . 四、解答题 20．（23-24高一下·陕西渭南·期末）已知． (1)求的值； (2)求的值． 二倍角正弦公式 一、单选题 1．（23-24高一下·内蒙古兴安盟·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·北京·期末）的值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·山东日照·期末）（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·内蒙古·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·贵州遵义·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·甘肃·期末）设，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知点在角的终边上，则（    ） A． B． C． D．2 8．（23-24高一下·安徽蚌埠·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一下·广东汕尾·期末）若，则（    ） A． B．2 C． D．4 二、填空题 10．（23-24高一下·上海·期末）若，则的值为 ． 11．（23-24高一下·上海徐汇·期末）已知，且，则点在第 象限. 12．（23-24高一下·上海黄浦·期末）若，则 ． 13．（23-24高一上·广东湛江·期末）已知，则 ． 14．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知是第二象限角，且，则 ． 15．（23-24高一上·重庆·期末）已知，则 . 三、解答题 16．（23-24高一下·河南南阳·期末）已知为锐角，为钝角，且，. (1)求的值； (2)求的值. 二倍角余弦公式 一、单选题 1．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·贵州铜仁·期末）若，，则（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·河南南阳·期末）（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·四川凉山·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·江苏常州·期末）设为锐角，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·河南·期末）已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知点在角的终边上，则（    ） A． B． C． D．2 8．（23-24高一下·江西九江·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一下·云南楚雄·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（23-24高一下·山东威海·期末）设，则（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一下·广东中山·期末）下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（23-24高一下·上海静安·期末）已知角的终边经过点，则 ． 13．（23-24高一下·辽宁抚顺·期末）已知，若，则 ． 14．（23-24高一下·北京·期末）已知，，则 ． 15．（23-24高一下·江苏徐州·期末）已知，且，则 ． 16．（23-24高一下·湖北十堰·期末）已知，则 ． 二倍角正切公式 一、单选题 1．（23-24高一下·辽宁沈阳·期末）计算：（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·河南·期末）已知是第三象限角，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·广东肇庆·期末）已知，则（　　） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·湖南·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·河南南阳·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（23-24高一上·广东茂名·期末）已知，则 . 8．（23-24高一下·西藏拉萨·期末）若，则 ． 9．（23-24高一下·福建福州·期末）已知，则 ． 10．（2024·河南·模拟预测）已知，则 ． 11．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）已知，则 ． 12．（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知角终边上一点坐标，则 . 13．（23-24高一上·陕西西安·期末）已知，且，，则 . 三、解答题 14．（23-24高一下·北京石景山·期末）如图，以为始边作角与，它们的终边与单位圆分别交于两点，已知点的坐标为，点的坐标为．    (1)求的值； (2)求的值． 15．（23-24高一下·河南南阳·期末）已知， (1)求的值； (2)求的值. 辅助角公式及其应用 一、单选题 1．（23-24高一下·贵州安顺·期末）若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于原点对称，则的最小正值为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·甘肃白银·期末）函数，则下列直线不是图象的一条对称轴的为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·河北承德·期末）已知函数，若在上单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·四川成都·期末）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·江西上饶·期末）若函数的对称轴方程为，，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·江西南昌·期末）已知函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高一下·广东肇庆·期末）已知函数，，对都有，且的零点有且只有3个.下列选项中正确的有（　　） A． B．的取值范围为 C．使的有且只有2个 D．方程的所有根之和为 8．（23-24高一下·山东淄博·期末）已知函数，则（    ） A．的最小正周期是 B．的图象关于点中心对称 C．是偶函数 D．在上恰有4个零点 9．（23-24高一下·河南·期末）已知函数，则（    ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．函数的零点个数为5 D．函数的零点个数为9 三、填空题 10．（23-24高一下·云南楚雄·期末）已知函数在上恰有2个零点，则的取值范围为 ． 11．（23-24高一下·广东肇庆·期末）已知函数，当取得最大值时， ． 12．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知函数在有且仅有三个零点，则实数的取值范围是 . 四、解答题 13．（23-24高一上·天津·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期及单调递减区间； (2)求函数在上的最值； (3)若，求的值. 14．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数. (1)求的最大值； (2)求成立的的取值集合. 给值求值问题 一、单选题 1．（23-24高一下·广东汕尾·期末）若，则（    ） A． B．2 C． D．4 2．（23-24高一下·河南·期末）已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知 ，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·江苏南通·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·江西景德镇·期末）已知，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·四川·期末）已知，则（    ） A． B．0 C． D．1 二、多选题 7．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·山西朔州·期末）已知，其中为锐角，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知是第三象限角，则 . 10．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知，，，则 ． 11．（23-24高一下·辽宁抚顺·期末）已知，若，则 ． 12．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知，，，则 ． 四、解答题 13．（23-24高一下·江苏镇江·期末）已知角，满足，，且，. (1)求的值； (2)求的大小. 14．（23-24高一下·重庆·期末）已知函数． (1)求的最小正周期和单调区间； (2)若，，求的值． 给值求角问题 一、单选题 1．（23-24高一下·江苏连云港·期末）已知为钝角，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）筒车是一种水利灌溉工具（如图所示），筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心为，筒车的半径为，筒车转动的周期为，如图所示，盛水桶在处距水面的距离为.后盛水桶在处距水面的距离为，若，则直线与水面的夹角为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 3．（23-24高一上·江苏南通·期末）在中，若、是的方程的两个实根，则角 . 4．（22-23高一上·重庆沙坪坝·期末）若，且，，则 . 三、解答题 5．（23-24高一上·山东聊城·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边过点． (1)求的值； (2)已知为锐角，，求． 6．（23-24高一上·山西晋中·期末）已知，，且，. (1)求，； (2)求. 新定义问题 一、单选题 1．（23-24高一下·湖北·期末）如图所示，角（）的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，其终边与单位圆的交点为，分别过点作轴的垂线，过点作轴的垂线交角的终边于，，根据三角函数的定义，．现在定义余切函数，满足，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·贵州贵阳·期末）人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点，，O为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为．已知，，若P，Q的余弦距离为．则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·湖南长沙·期末）若且，则可以记；若且，则可以记.实数，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·湖南张家界·期末）英国数学家泰勒（B．Taylor，1685—1731）发现了如下公式：，，其中.这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性，计算器使用的这种方法叫数值计算法.比如，用前三项计算，就得到.运用上述思想，可得到的近似值为（    ） A．0.83 B．0.84 C．0.85 D．0.86 二、解答题 5．（23-24高一下·河北·期末）定义：双曲余弦函数，双曲正弦函数． (1)求函数的最小值; (2)若关于x的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围; (3)若，试比较与的大小关系，并证明你的结论． 6．（23-24高一下·四川·期末）在三角函数领域，为了三角计算的简便并且追求计算的精确性，曾经出现过以下两种少见的三角函数：定义为角的正矢（或），记作；定义为角的余矢（Coversed或coversedsine），记作． (1)设函数，求函数的单调递减区间； (2)当时，设函数，若关于的方程的有三个实根，则： ①求实数的取值范围； ②求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 三角恒等变换 两角和与差的余弦公式 一、单选题 1．（23-24高一下·陕西渭南·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式与两角差的余弦公式即可求解. 【详解】 . 故选：A. 2．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两角和的余弦公式求解即可. 【详解】. 故选：D. 3．（23-24高一下·河北·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出和的值，利用，即可求出的值． 【详解】， ， 故选：A. 4．（23-24高一下·辽宁大连·期末）已知平面直角坐标系内点，为原点，线段绕原点按逆时针方向旋且长度变为原来的一半，得到线段，若点的纵坐标为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，确定点的位置并求出坐标，再利用三角函数定义及差角的余弦公式计算即得. 【详解】线段中点的纵坐标为，则点在第二象限，而，则有点的横坐标为， 点在角的终边上，则点在角的终边上，，， 所以. 故选：A 5．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数，若存在，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件，结合三角函数的性质可得，求出，的余弦，再利用角的变换得解. 【详解】令，，则或， 令，，则， 又，， 所以，， 因为， 所以，， . 故选：D 6．（23-24高一上·山东滨州·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角关系以及和差角公式即可求解. 【详解】由于，所以，所以， 由可得， 故， 故选：A 7．（23-24高一上·浙江衢州·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角的三角函数关系式，结合两角差的余弦公式进行求解即可. 【详解】因为，所以， 因此， 于是有 ， 故选：C 8．（23-24高一上·河南郑州·期末）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式、同角三角函数关系及两角和余弦公式求解即可. 【详解】由诱导公式得，因为，， 所以， 所以. 故选：A 9．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两角和差的余弦公式化简已知等式，可得，求出，即可求得答案. 【详解】由题意知， 故 即， 即， 故或（舍去）， 即，而，故， 故， 故选：B 10．（23-24高一下·上海·期末）在中，，则（    ） A． B． C．或 D．以上答案均不正确 【答案】B 【分析】由求解. 【详解】解：因为，所以，则， 又因为，所以或， 若，则，与三角形内角和定理相矛盾， 所以，则， 所以 ， 故选：B 11．（23-24高一下·四川成都·期末）已知角，满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用拆角变换由和求得，再将拆角后展开，代入以上结论即得. 【详解】由， 因，代入可得，， 则. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查和（差）角公式在求解函数值上的应用，属于难题. 解题的关键在于两次拆角变换，①，利用题设求得；②，利用已知和所得结论求解. 二、多选题 12．（23-24高一下·甘肃·期末）下列各式的值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，利用诱导公式计算判断，对于B，利用正弦的二倍角公式计算判断，对于C，利用两角和的余弦公式计算判断，对于D，利用正切的二倍角公式计算判断. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD 13．（23-24高一下·浙江杭州·期末）如图的“弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形．设直角三角形的两个锐角分别为，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则（    ）    A．每一个直角三角形的面积为1 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，小正方形的边长为，大正方形的边长为，可判定A正确；设直角三角形的边长分别为，求得，结合三角的定义和三角恒等变换的公式，可判定C、D正确. 【详解】对于A中，由小正方形的面积为1，大正方形的面积为5， 则小正方形的边长为，大正方形的边长为， 且可得每个直角三角形的面积为，所以A正确； 对于B中，设直角三角形的边长分别为（其中），由，可得， 则， 联立方程组，解得， 又因为，所以，所以B不正确； 对于C中，由，所以，所以C正确； 对于D中，由，所以D正确. 故选：ACD. 14．（23-24高一上·浙江宁波·期末）下列式子化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用诱导公式及两角和的余弦公式的逆用可判断选项A；利用辅助角公式可判断选项B；利用诱导公式及二倍角正弦公式可判断选项C；利用及两角差的正切公式可判断选项D. 【详解】对于选项A：因为 ，故选项A错误； 对于选项B： ，故选项B正确； 对于选项C：因为，故选项C正确； 对于选项D：因为，故选项D错误. 故选：BC. 三、填空题 15．（23-24高一下·河北张家口·期末）已知，若，则 . 【答案】/ 【分析】利用三角函数的平方关系求得，再利用三角函数的和差公式即可得解. 【详解】因为，所以， 又，则， 所以， 所以 . 故答案为： 16．（23-24高一下·上海·期末）已知，，则 ． 【答案】/ 【分析】利用两角和差的余弦公式展开，即可求出，，再由同角三角函数的基本关系计算可得. 【详解】因为， ， 所以，， 所以. 故答案为： 两角和与差的正弦公式 一、单选题 1．（23-24高一下·辽宁·期末） （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据利用两角和的正弦公式计算可得. 【详解】 . 故选：D 2．（23-24高一下·江苏苏州·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式与两角差的正弦公式化简求值. 【详解】 . 故选：A. 3．（23-24高一下·江西萍乡·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式以及正弦的和差角公式即可求解. 【详解】， 故选：D 4．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求得，得到，结合，利用两角和正弦公式，即可求解. 【详解】因为，可得， 又因为，可得，所以， 由 . 故选：B. 5．（23-24高一下·安徽蚌埠·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由求出， 利用两角和的正弦公式化简，再利用二倍角公式化简可求得答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以 . 故选：C 6．（23-24高一下·江苏南京·期末）（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】将原式转化为，然后利用两角和的正弦公式计算即可. 【详解】 . 故选：C 7．（23-24高一下·湖北·期末）（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式将钝角化简为锐角，再结合两角和的正弦公式即可求解. 【详解】因为，， 所以 . 故选：B. 8．（23-24高一下·江苏连云港·期末）已知为钝角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用和差角的正弦公式将右边化简，结合平方关系求出，即可得解. 【详解】因为， ， 所以， 又为钝角，所以. 故选：D 9．（23-24高一下·江苏徐州·期末）已知，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把两个方程移项平方以后再相加即可判断AB，然后再根据三角函数值以及角的范围计算出和即可判断CD. 【详解】由得，两边平方得：，① 由得，两边平方得：，② ①+②得：， 因为，所以 ， 由可得：，即， 所以， 又，所以， 所以，故A错误； 由，两边平方得，③ 由得，两边平方得：，④     ③+④得：， 因为，所以，故， 由，，可得，故C正确，D错误； 综上不是定值，故B错误.     故选：C 二、多选题 10．（23-24高一下·四川成都·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据和差角公式即可求解A，根据二倍角公式即可求解BCD. 【详解】对于A，，故A正确， 对于B，，B错误， 对于C，，C正确， 对于D，，D正确， 故选：ACD 三、填空题 11．（23-24高一下·四川凉山·期末）已知，，其中，则 . 【答案】 【分析】利用两角差的余弦可求的值，故可求的值. 【详解】因为，故，而，故， 而，故，而， 故，故， 故， 而，故， 故答案为： 12．（23-24高一下·四川绵阳·期末）已知角的终边在第一象限，，则 ． 【答案】 【分析】运用同角三角函数关系式，结合差角正弦计算即可. 【详解】角的终边在第一象限，的终边在x轴上方， 则， 则. 故答案为：. 13．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知，，，则 ． 【答案】 【分析】根据同角三角关系求，，根据角的关系，结合两角和差公式运算求解. 【详解】因为，则，， 且，， 可得，， 又因为， 则 ， 所以. 故答案为：. 两角和与差的正切公式 一、单选题 1．（23-24高一下·江苏淮安·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合两角和差的正切公式运算求解，注意的应用. 【详解】因为原式． 故选：D. 2．（23-24高一下·甘肃甘南·期末）（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】逆用两角和的正切公式直接计算即可. 【详解】. 故选：A 3．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据正切的两角和差公式即可得解； 【详解】因为， 所以， 故选：B. 4．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正切和角公式得到，整理后得到答案. 【详解】， ， ． 故选：C 5．（23-24高三上·山西太原·期末）已知，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得，然后结合角范围可得． 【详解】由已知， ，∴． 故选：C． 6．（23-24高一上·广西玉林·期末）已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两角和的正切公式化简得，由得最小，再利用幂函数与指数函数的单调性比较即可. 【详解】由， 又，所以最小； 由幂函数在单调递增， 所以； 又由指数函数在上单调递增， 所以，故，即； 综上，. 故选：A. 7．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由同角三角函数的基本关系可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出的值，再利用两角和的正切公式可求得的值. 【详解】由已知可得，解得， 所以，， 故. 故选：D. 8．（23-24高一下·江苏苏州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用二倍角公式、商数关系结合已知求得，再由两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为， 所以且， 即，且，解得或（舍去）， 所以. 故选：B. 9．（23-24高一下·山东青岛·期末）若△ABC为斜三角形，，则的值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】斜三角形中，由，可知，再由三角恒等变换化简即可. 【详解】由，可知或， 又为斜三角形，所以，即， 故选：A. 10．（23-24高一下·湖南衡阳·期末）已知，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据的范围确定，然后使用正切差公式. 【详解】由，知，故，从而. 所以. 故选：D. 11．（23-24高一下·贵州毕节·期末）已知是第三象限的角，且，则（    ） A． B． C． D．7 【答案】A 【分析】对化简后利用同角三角函数的关系求出，然后利用两角差的正切公式计算即可. 【详解】由，得，得， 因为是第三象限的角， 所以， 所以， 所以. 故选：A 12．（23-24高一下·河南新乡·期末）已知，且，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】利用凑角、两角和与差的正弦展开式化简可得答案. 【详解】因为，， 所以， 展开化简 ， 所以， 故. 故选：C. 13．（23-24高一下·广东江门·期末）已知，是第三象限角，则 （     ） A． B． C．7 D． 【答案】C 【分析】利用和差公式可得的值，再用同角关系式可得，的值，再利用正切函数的诱导公式及和差公式即可求解. 【详解】， 即，则， 即， 又，且是第三象限角， 得，则， 故. 故选：. 二、多选题 14．（21-22高一下·全国·期末）下列计算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用诱导公式，二倍角公式、两角差的余弦公式，两角和的正切公式进行化简，即可一一求得结果. 【详解】； ； ； . 故选：ABD. 15．（23-24高一上·福建福州·期末）计算下列各式的值，其结果为2的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用正切差角公式可求值验证A项， 利用倍角公式和诱导公式可以判定B项，运用辅助角公式可判定 C项，运用两角和的正切公式可以验证D项. 【详解】对A，， 故A项正确； 对B，，故B项正确； 对C， ， 故C项正确； 对D， ，故D项错误． 故选：ACD． 16．（23-24高一上·湖北武汉·期末）计算下列各式的值，其结果为2的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用三角恒等变形公式逐一化简计算即可. 【详解】对于A： ，A正确； 对于B： ，B错误； 对于C： ，C正确； 对于D：，D错误. 故选：AC. 三、填空题 17．（23-24高一下·安徽蚌埠·期末）已知，tanβ是方程的两根，则tanα＝ ． 【答案】1 【分析】先利用根与系数的关系，再利用两角和的正切公式可求得答案. 【详解】因为，tanβ是方程的两根， 所以，， 所以 . 故答案为：1 18．（23-24高一下·辽宁锦州·期末）已知，，则的值为 . 【答案】/0.5 【分析】由两角和的三角函数公式化简即可求得结果. 【详解】，，则， 所以，. 故答案为： 19．（23-24高一下·四川内江·期末）已知，是方程的两个根，且，，则的值是 . 【答案】 【分析】结合根与系数关系可得，，进而可得，即可得解. 【详解】由根与系数关系可得，， 所以，， 又，， 所以，，， 则， 所以， 故答案为：. 四、解答题 20．（23-24高一下·陕西渭南·期末）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，结合两角和差公式运算求解； （2）根据题意结合齐次化问题分析求解. 【详解】（1）因为，显然，可得， 所以. （2）由（1）可知， 所以. 二倍角正弦公式 一、单选题 1．（23-24高一下·内蒙古兴安盟·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角公式及二倍角的正弦公式计算即得. 【详解】由，，得， 所以. 故选：D 2．（23-24高一下·北京·期末）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据二倍角的正弦公式求解即可. 【详解】. 故选：C. 3．（23-24高一下·山东日照·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二倍角的正弦公式求解即得. 【详解】. 故选：C 4．（23-24高一下·内蒙古·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据和差角公式可得，，即可由正弦的二倍角公式求解. 【详解】根据题意可得，， 则，， . 故选：D 5．（23-24高一下·贵州遵义·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出，再利用二倍角正弦公式即可. 【详解】因为，，则， 则. 故选：B. 6．（23-24高一下·甘肃·期末）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平方关系和正弦的二倍角公式化简求值即可. 【详解】由，平方可得: ， 解得. 故选：C. 7．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知点在角的终边上，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】利用诱导公式和二倍角公式化简，再由三角函数的定义即可求得. 【详解】由点在角的终边上可得，， 则. 故选：A. 8．（23-24高一下·安徽蚌埠·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由求出， 利用两角和的正弦公式化简，再利用二倍角公式化简可求得答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以 . 故选：C 9．（23-24高一下·广东汕尾·期末）若，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】根据题意利用倍角公式结合齐次化问题分析求解. 【详解】因为， 所以 . 故选：B. 二、填空题 10．（23-24高一下·上海·期末）若，则的值为 ． 【答案】/0.75 【分析】根据已知条件利用诱导公式和公式化简得到，两边平方结合正弦的二倍角公式即可. 【详解】由， 所以， 即， 所以， 即， 故答案为：. 11．（23-24高一下·上海徐汇·期末）已知，且，则点在第 象限. 【答案】二 【分析】先根据两个条件得出的象限，再判断出的符号即可得到答案. 【详解】由，则在第二或第四象限； 又，所以在第二象限， 则，点在第二象限. 故答案为：二. 12．（23-24高一下·上海黄浦·期末）若，则 ． 【答案】/ 【分析】将条件等式两边平方，再根据二倍角的正弦公式，即可求解. 【详解】由，两边平方后得， 即，则. 故答案为： 13．（23-24高一上·广东湛江·期末）已知，则 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，结合正弦的倍角公式，即可求解. 【详解】由正弦的倍角公式，可得． 故答案为：. 14．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知是第二象限角，且，则 ． 【答案】/ 【分析】根据同角三角函数的基本关系及两角和的正弦公式、二倍角的正弦公式化简即可得解. 【详解】因为是第二象限角，且， 所以，， 所以. 故答案为： 15．（23-24高一上·重庆·期末）已知，则 . 【答案】/ 【分析】由三角函数的诱导公式列方程组解出或，再由诱导公式算出结果即可. 【详解】由诱导公式可知， 又因为， 由以上两式可解得或， 所以，代入以上两种结果得到. 故答案为：. 三、解答题 16．（23-24高一下·河南南阳·期末）已知为锐角，为钝角，且，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角公式，齐次式的方法即可求值； （2）分别求出，的值即可． 【详解】（1）； （2）因为为锐角，，可得，， 由，可得， 所以， 则， 又因为，所以，而， 可得，所以． 二倍角余弦公式 一、单选题 1．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二倍角的余弦公式计算得解. 【详解】由，得. 故选：A 2．（23-24高一下·贵州铜仁·期末）若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二倍角公式计算可得. 【详解】因为，又，所以（负值已舍去）. 故选：B 3．（23-24高一下·河南南阳·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用二倍角余弦公式可解. 【详解】运用二倍角余弦公式得到. 故选：C. 4．（23-24高一下·四川凉山·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由的范围，求的范围，再由，结合二倍角公式求即可. 【详解】因为，所以， 因为，又， 所以， 所以，又， 所以. 故选：B. 5．（23-24高一下·江苏常州·期末）设为锐角，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用诱导公式、同角公式及二倍角公式求解即得. 【详解】因为为锐角，所以， 又，所以， 所以 . 故选：B. 6．（23-24高一下·河南·期末）已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为整体，利用诱导公式以及倍角公式求得，再结合三角函数值的符号分析判断. 【详解】因为， 解得， 又因为，则， 可知，所以. 故选：C. 7．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知点在角的终边上，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】利用诱导公式和二倍角公式化简，再由三角函数的定义即可求得. 【详解】由点在角的终边上可得，， 则. 故选：A. 8．（23-24高一下·江西九江·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦的二倍角公式即可求解. 【详解】依题意，得，即， 解得或（舍去），故 故选：A. 9．（23-24高一下·云南楚雄·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两角和与差的余弦公式以及二倍角公式即可求解. 【详解】由，得， 则，即． 故选：C. 二、多选题 10．（23-24高一下·山东威海·期末）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】化简条件得，对于A，利用诱导公式化简判断；对于B，利用诱导公式化成同角，再逆用二倍角公式即得；对于C,先逆用二倍角公式，再用诱导公式即得；对于D，将化成后，必须通过同角的三角基本关系式化成正弦和余弦,代值即得. 【详解】由，得， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD. 11．（23-24高一下·广东中山·期末）下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用二倍角公式、辅助角公式，结合特殊角的三角函数值，逐项化简判断即得. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：ABD 三、填空题 12．（23-24高一下·上海静安·期末）已知角的终边经过点，则 ． 【答案】/0.28 【分析】根据三角函数定义以及余弦倍角公式即可计算求解. 【详解】由题得， 故由三角函数定义得， 所以. 故答案为：. 13．（23-24高一下·辽宁抚顺·期末）已知，若，则 ． 【答案】 【分析】利用诱导公式可求得，利用，结合二倍角的余弦公式可求值. 【详解】由，可得，则， 则 . 故答案为： 14．（23-24高一下·北京·期末）已知，，则 ． 【答案】/ 【分析】结合已知条件以及二倍角公式可求出，利用同角的三角函数关系，即可求得答案. 【详解】因为， 故，解得或， 而，则，，故， 故答案为： 15．（23-24高一下·江苏徐州·期末）已知，且，则 ． 【答案】或 【分析】把代入方程解方程即可. 【详解】， 解得：或，因为，所以或. 故答案为：或. 16．（23-24高一下·湖北十堰·期末）已知，则 ． 【答案】/ 【分析】先利用两角和差公式，再利用二倍角公式即可求得函数值； 【详解】 故答案为：. 二倍角正切公式 一、单选题 1．（23-24高一下·辽宁沈阳·期末）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二倍角公式结合一元二次方程求根解得结果； 【详解】因为，所以. 易知是方程的根， 且方程的两根分别为，. 因为当时，，所以. 故选：C. 2．（23-24高一下·河南·期末）已知是第三象限角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用条件先求出的值，再求，最后代入二倍角公式计算即得. 【详解】因为是第三象限角，， 所以，则， 故． 故选：A. 3．（23-24高一下·广东肇庆·期末）已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由正切函数的和差角公式可得，再由正切函数的二倍角公式，代入计算，即可求解. 【详解】由 可得， 则. 故选：C 4．（23-24高一下·湖南·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角函数诱导公式求出正切值，然后代入二倍角的正切公式中即可得解. 【详解】因为，所以，所以，则. 故选：C 5．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两角和的正弦公式及二倍角的正切公式化简即可得解. 【详解】由可得， 即， 所以. 故选：C 6．（23-24高一下·河南南阳·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由诱导公式计算出，在代入正切二倍角公式即可. 【详解】原方程可化为，故. 故选：D 二、填空题 7．（23-24高一上·广东茂名·期末）已知，则 . 【答案】 【分析】由二倍角的正切公式可得. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 8．（23-24高一下·西藏拉萨·期末）若，则 ． 【答案】 【分析】利用两角和的正切公式可求得的值，利用二倍角的正切公式可求得的值. 【详解】由，解得， 所以. 故答案为：. 9．（23-24高一下·福建福州·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】用诱导公式和二倍角公式化简求值即可. 【详解】根据诱导公式得， 由题设，可得， . 故答案为：. 10．（2024·河南·模拟预测）已知，则 ． 【答案】/ 【分析】利用诱导公式和正切二倍角公式求出答案. 【详解】由题意可得． 故答案为： 11．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】由已知求得，再由二倍角公式求得． 【详解】由，解得， 所以． 故答案为：. 12．（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知角终边上一点坐标，则 . 【答案】 【分析】利用诱导公式化简计算求得已知点的坐标，由三角函数定义求得，再由正切的二倍角公式计算． 【详解】， ， ∴已知点坐标为，∴， ∴． 故答案为：． 13．（23-24高一上·陕西西安·期末）已知，且，，则 . 【答案】 【分析】 根据题意求出，再判断的范围，进而求解. 【详解】 因为，且，所以，，所以，则， 因为，所以， 因为，，所以，，又，所以，所以，所以，即，则. 故答案为：. 三、解答题 14．（23-24高一下·北京石景山·期末）如图，以为始边作角与，它们的终边与单位圆分别交于两点，已知点的坐标为，点的坐标为．    (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由任意角三角函数定义结合题意可得答案. （2）由题结合二倍角正切公式可得答案. 【详解】（1）由题结合任意角三角函数定义可得： ； （2）由题可得：， 则. 15．（23-24高一下·河南南阳·期末）已知， (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用平方关系及差角的正弦公式计算即得. （2）由（1）的信息求出，再利用二倍角的正切及差角的正切公式计算即得. 【详解】（1）由，得，由，得， 所以 . （2）由（1）得，则， 所以. 辅助角公式及其应用 一、单选题 1．（23-24高一下·贵州安顺·期末）若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于原点对称，则的最小正值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用辅助角公式化简函数，再结合图象平移及奇函数的性质求解即得. 【详解】函数，则， 由的图象关于原点对称，得，解得， 所以当时，取得的最小正值为. 故选：C 2．（23-24高一下·甘肃白银·期末）函数，则下列直线不是图象的一条对称轴的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用三角恒等变换公式化简，再根据正弦函数的对称性求出的对称轴方程即可得解. 【详解】由题得 ， 令， 分别取，0，1，对应得，，， 不存在使得，故不是图象的一条对称轴. 故选：B. 3．（23-24高一下·河北承德·期末）已知函数，若在上单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】函数化为为正弦型函数，由在上单调，得，利用正弦函数的单调性列出不等式组，求出的取值范围． 【详解】函数， 因为函数在上单调，则，所以， 当时， ， 因为函数在上单调， 所以， 则或， 所以的取值范围为. 故选：D. 4．（23-24高一下·四川成都·期末）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角恒等变换求出，再利用诱导公式及二倍角公式求解即得. 【详解】由，得，则， 所以. 故选：C 5．（23-24高一下·江西上饶·期末）若函数的对称轴方程为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角恒等变换可化简函数解析式，进而可得，代入即可得解. 【详解】由已知，且，， 由对称轴为，则相邻两条对称轴间距离为，即函数的最小正周期为， 令，， 令，， 则，即，，， 则，，， 又， 所以，为偶数， 则， 则， 故选：D. 6．（23-24高一下·江西南昌·期末）已知函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角恒等变换化简函数解析式，再根据奇函数可得与. 【详解】由， 又函数为奇函数， 则，， 解得，， 所以， 故选：D. 二、多选题 7．（23-24高一下·广东肇庆·期末）已知函数，，对都有，且的零点有且只有3个.下列选项中正确的有（　　） A． B．的取值范围为 C．使的有且只有2个 D．方程的所有根之和为 【答案】AC 【分析】，始终把看做一个整体，借助正弦函数的图象、最值、方程的根来对选项逐一分析即可. 【详解】，令，则， 令，即， ，， 则在上有3个零点， 则，即， 解得，故错误； ，， 则，所以，故正确； 若，即， 或，故正确； ，且的零点有且只有3个， 所以方程有四个根，从小到大分别为. ，即， 则， 则， 故，即方程的所有根之和为，故错误. 故选：. 【点睛】方法点睛：解决的取值范围与最值问题主要方法是换元法和卡住的大致范围，如本题选项，具体方法为： （1）根据的范围，求出的范围； （2）把看成一个整体，即利用换元法，把变成来降低解决问题的难度，再借助正弦函数的图象，要使有3个零点，则的最大值就必须在之间，列出不等式即可求出的取值范围. 8．（23-24高一下·山东淄博·期末）已知函数，则（    ） A．的最小正周期是 B．的图象关于点中心对称 C．是偶函数 D．在上恰有4个零点 【答案】ABD 【分析】先利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形得，然后由正弦型函数的性质，对选项逐个分析判断即可. 【详解】， 对于A，的最小正周期是，所以A正确， 对于B，因为， 所以的图像关于点中心对称，所以B正确， 对于C，， 令， 则， 所以不是偶函数，故C错误， 对于D，由，得， 所以，或， 得或， 因为，所以，，，， 所以在上恰有4个零点，所以D正确， 故选：ABD 9．（23-24高一下·河南·期末）已知函数，则（    ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．函数的零点个数为5 D．函数的零点个数为9 【答案】ACD 【分析】利用辅助角公式可得，计算可判断AB；作出函数，，的图象示意图，结合图象可判断CD. 【详解】对于AB：因为， 所以，，故A正确，B错误； 对于C：由，得， 因为，所以由，得， 作出函数与的图象的示意图，如图所示：    结合图象可知，函数的零点个数为5，故C正确． 对于D：由，得， 因为，所以由，得，， 在同一坐标系内作出的图象， 结合图象可知，函数的零点个数为9，故D正确． 故选：ACD. 三、填空题 10．（23-24高一下·云南楚雄·期末）已知函数在上恰有2个零点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】化简得到，求得的范围后，根据零点个数可构造不等式组求得结果. 【详解】由题意可得． 由，得． 因为在上恰有2个零点， 所以，解得． 故答案为： 11．（23-24高一下·广东肇庆·期末）已知函数，当取得最大值时， ． 【答案】 【分析】利用辅助角公式求解，用已知角表示未知角求解即可. 【详解】其中 当取得最大值时， 所以 故答案为： 12．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知函数在有且仅有三个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由降幂公式及辅助角公式可得函数的解析式，由，得，由零点的个数，可得，可求的取值范围. 【详解】 ， 由，时，， 在有且仅有三个零点，则有，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 13．（23-24高一上·天津·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期及单调递减区间； (2)求函数在上的最值； (3)若，求的值. 【答案】(1)，单调减区间为. (2)， (3) 【分析】（1）化简函数为，结合三角函数的图象与性质，即可求解； （2）由(1)得出函数的单调递增区间，结合，和的值，即可求解；（3）根据题意，求得，结合，即可求解. 【详解】（1）解：由函数 ， 所以的最小正周期为， 令，可得， 所以的单调减区间为. （2）解：由(1)知，函数的单调递增区间为， 因为，所以在上单调递增，在上单调递减， 且，，，所以，. （3）解：由函数，可得， 因为， 所以. 14．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数. (1)求的最大值； (2)求成立的的取值集合. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）首先利用二倍角余弦公式及两角和与差的正弦公式化简，再求最大值即可； （2）结合（1）的化简结果，利用正弦型函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）. 的最大值为. （2），即， 所以，， 解得，， 故成立的的取值集合为. 给值求值问题 一、单选题 1．（23-24高一下·广东汕尾·期末）若，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】根据题意利用倍角公式结合齐次化问题分析求解. 【详解】因为， 所以 . 故选：B. 2．（23-24高一下·河南·期末）已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为整体，利用诱导公式以及倍角公式求得，再结合三角函数值的符号分析判断. 【详解】因为， 解得， 又因为，则， 可知，所以. 故选：C. 3．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知 ，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角三角关系求，再结合两角差的正切公式分析分析求解. 【详解】因为，则， 可得， 所以. 故选：D. 4．（23-24高一下·江苏南通·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法，令，，找到与的关系，然后利用诱导公式和倍角公式进行求值即可. 【详解】令，，则， 令，则 所以 故选：B. 5．（23-24高一下·江西景德镇·期末）已知，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对平方得，根据及同角三角函数基本关系式得，进而得出且；根据及，利用同角三角函数基本关系式得，再由二倍角公式得出，进而有，，最后由两角和的余弦公式计算即可. 【详解】由题意得，所以， 因为，所以，所以， 又，所以，且, 所以，且. 因为，所以，又，所以， 所以， 又，所以. 因为，所以，所以. 所以. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数给值求值，解题关键是寻找已知角与所求角的关系，综合运用同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角恒等变换进行求解，易错点是因忽略角的范围而导致三角函数值的符号出现错误. 6．（23-24高一下·四川·期末）已知，则（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】B 【分析】根据同角三角函数的基本关系及诱导公式得到，结合平方关系求出，再由两角差的正弦公式及二倍角公式计算可得. 【详解】因为， 即，即， 所以， 又，所以， 解得或（舍去）， 所以，即， 所以. 故选：B 二、多选题 7．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由同角三角函数的基本关系求出、，即可判断B，由得到，再结合两角和的余弦公式即可求出，，即可判断A，再由二倍角公式判断C，最后由，即可判断D. 【详解】因为， 所以， 所以，故B错误； 又，即，即， 所以，解得， 所以，故A正确； ，故C正确； 因为， 因为 ， 所以， 所以，故D正确. 故选：ACD 8．（23-24高一上·山西朔州·期末）已知，其中为锐角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由三角函数平方关系可求得、即可判断A项，由及差角公式即可判断B项，由和角、差角公式展开、，两式相加可判断C项，两式相减可得，进而可得即可判断D项. 【详解】因为为锐角，所以，， 所以，， 又因为，所以， 所以， 对于A项，因为，所以，则，故A项正确； 对于B项，，故B项正确； 对于C项，因为，， 两式相加并化简得，故C项错误； 对于D项，由C项知，两式相减并化简得， 所以，故D项正确. 故选：ABD. 三、填空题 9．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知是第三象限角，则 . 【答案】/ 【分析】利用正弦的差角公式先计算，结合诱导公式及同角三角函数的平方关系再利用正弦的和角公式计算即可. 【详解】因为， 且为第三象限角，所以， 所以 . 故答案为： 10．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知，，，则 ． 【答案】 【分析】根据同角三角关系求，，根据角的关系，结合两角和差公式运算求解. 【详解】因为，则，， 且，， 可得，， 又因为， 则 ， 所以. 故答案为：. 11．（23-24高一下·辽宁抚顺·期末）已知，若，则 ． 【答案】 【分析】利用诱导公式可求得，利用，结合二倍角的余弦公式可求值. 【详解】由，可得，则， 则 . 故答案为： 12．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知，，，则 ． 【答案】 【分析】结合所给角的象限与余弦值，可得其 正弦值，再利用两角差的正弦公式计算即可得. 【详解】由，，，则， 则，， . 故答案为：. 四、解答题 13．（23-24高一下·江苏镇江·期末）已知角，满足，，且，. (1)求的值； (2)求的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意和同角三角函数基本关系式、二倍角公式分别求出，，，，再利用两角差的正弦公式计算即可； （2）先根据题意缩小角的范围到和，进而得出，再计算的值即可得到结果. 【详解】（1）因为，，所以， 所以，； 因为，所以； 所以. （2）因为，，所以； 因为，所以，故， 所以； 又因为，所以，； 所以， 又因为，所以. 14．（23-24高一下·重庆·期末）已知函数． (1)求的最小正周期和单调区间； (2)若，，求的值． 【答案】(1)答案见详解 (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换整理可得，结合正弦函数性质求最小正周期和单调区间； （2）由题意可得，根据角的关系结合三角恒等变换分析求解. 【详解】（1）因为， 可得的最小正周期； 令，解得； 令，解得； 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）因为，即， 且，则， 可得， 所以. 给值求角问题 一、单选题 1．（23-24高一下·江苏连云港·期末）已知为钝角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用和差角的正弦公式将右边化简，结合平方关系求出，即可得解. 【详解】因为， ， 所以， 又为钝角，所以. 故选：D 2．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）筒车是一种水利灌溉工具（如图所示），筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心为，筒车的半径为，筒车转动的周期为，如图所示，盛水桶在处距水面的距离为.后盛水桶在处距水面的距离为，若，则直线与水面的夹角为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先做出辅助线，然后结合几何体的特征进行计算即可求得直线与水面的夹角． 【详解】如图，    过作直线与水面平行， 过 作，垂足为点，过 作，垂足为点， 设，，则，其中， 则，， 所以，， 所以， 整理可得， 因为，则，所以，，解得. 故选：A. 二、填空题 3．（23-24高一上·江苏南通·期末）在中，若、是的方程的两个实根，则角 . 【答案】 【分析】利用韦达定理结合两角和的正切公式求出的值，求出的值，即可求得角的值. 【详解】对于方程，则，解得或， 因为、是的方程的两个实根， 由韦达定理可得，， 所以，， 因为，则，故. 故答案为：. 4．（22-23高一上·重庆沙坪坝·期末）若，且，，则 . 【答案】 【分析】由题意求出的范围，，的值，而，由两角差的余弦公式代入即可得出答案. 【详解】因为，所以， ，所以，所以， 所以，， 所以， 因为，，则， ，，所以 所以 ， 所以. 故答案为：. 三、解答题 5．（23-24高一上·山东聊城·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边过点． (1)求的值； (2)已知为锐角，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角函数的定义求出的值，利用诱导公式以及弦化切可求得所求代数式的值； （2）求出的值，利用两角差的正弦公式求出的值，结合角的范围可求得角的值. 【详解】（1）解：因为角的终边过点，所以， 则，，． ． （2）解：因为角的终边过点，所以为第四象限角，即， 又因为为锐角，则，可得， 因为，则， 因为，所以． 则 ． 所以． 6．（23-24高一上·山西晋中·期末）已知，，且，. (1)求，； (2)求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据二倍角的余弦公式求解出的值，然后判断出的范围，再根据平方和关系求解出的值； （2）根据条件先判断出的范围，然后根据平方和关系求解出，利用角的配凑可得，结合两角和的正弦公式求解出的值，再根据的范围可求结果. 【详解】（1）由题意知，， 因为，所以，所以， 所以. （2）由，，可得，， 所以， ， 因为，所以. 新定义问题 一、单选题 1．（23-24高一下·湖北·期末）如图所示，角（）的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，其终边与单位圆的交点为，分别过点作轴的垂线，过点作轴的垂线交角的终边于，，根据三角函数的定义，．现在定义余切函数，满足，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形相似，即可求解. 【详解】由图象可知，， 则，即， 所以. 故选：D 2．（23-24高一下·贵州贵阳·期末）人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点，，O为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为．已知，，若P，Q的余弦距离为．则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，得到方程，求出，由诱导公式求出答案. 【详解】， 故， 所以，则. 故选：C 3．（23-24高一上·湖南长沙·期末）若且，则可以记；若且，则可以记.实数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设信息，结合三角函数的诱导公式和二倍角公式，准确计算，即可求解. 【详解】设， 因为，所以，即， 因为，所以，所以，即， 所以， 所以，所以， 则. 故选：B. 4．（23-24高一上·湖南张家界·期末）英国数学家泰勒（B．Taylor，1685—1731）发现了如下公式：，，其中.这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性，计算器使用的这种方法叫数值计算法.比如，用前三项计算，就得到.运用上述思想，可得到的近似值为（    ） A．0.83 B．0.84 C．0.85 D．0.86 【答案】B 【分析】根据题意将代入的前三项计算可得结果. 【详解】用前三项计算可得， 即的近似值为. 故选：B 二、解答题 5．（23-24高一下·河北·期末）定义：双曲余弦函数，双曲正弦函数． (1)求函数的最小值; (2)若关于x的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围; (3)若，试比较与的大小关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)或 (3)，证明见解析 【分析】（1）利用新定义得出，令，得出，结合二次函数的性质，即可求出结果； （2）根据新定义，不等式化为，根据题意，结合零点存在定理得出，由此即可求出结果； （3）得出结论：，利用作差法，分和讨论，即可证出结果． 【详解】（1）依题意有， 令， 则， 因为函数在R上单调递增， 所以在R上单调递增， 因为，所以， 所以当，即，即时， 函数有最小值； （2）因为， 所以原不等式可化为， 即，为满足题意，必有， 即或①， 令， 由于，结合①可得， 所以的一个零点在区间上，另一个零点在区间上， 从而，即，② 由①②可得或； （3）， 依题意， ， 当时，， 即，于是， 而， 因此， 当时，，则， 所以，即， 而， 因此， 于是， 所以． 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 6．（23-24高一下·四川·期末）在三角函数领域，为了三角计算的简便并且追求计算的精确性，曾经出现过以下两种少见的三角函数：定义为角的正矢（或），记作；定义为角的余矢（Coversed或coversedsine），记作． (1)设函数，求函数的单调递减区间； (2)当时，设函数，若关于的方程的有三个实根，则： ①求实数的取值范围； ②求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据题干所给条件化简的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）①首先化简的解析式，即可分析的单调性，画出函数图象，数形结合即可求出的取值范围；②由可知，，再结合所给定义将转化为的式子，再利用换元法及对勾函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为 ， 令，解得， 所以的单调递减区间为. （2）①因为 ， 又，所以当时，当时， 所以， 当时，且在上单调递增，在上单调递减， 当时，则，则在上单调递减， 所以， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减， 且，，，，的图象如下所示： 因为有三个实数根，即与有三个交点，所以； ②由①可知，，则， 所以，， 所以 ， 令，则， 所以， 因为在上单调递增，当时， 当时， 即，所以， 所以，所以， 即. 【点睛】关键点点睛：对于新定义型问题准确理解并应用所给定义是解决这一类问题的关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$