专题06 抛物线（10大基础题+4大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（人教A版2019选择性必修）

专题06 抛物线 利用抛物线的定义求轨迹 一、单选题 1．（23-24高二上·重庆·期末）已知点满足，则点的轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 2．（23-24高二上·北京延庆·期末）到定点的距离比到轴的距离大的动点且动点不在轴的负半轴的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河南南阳·期末）在正方体中，点在底面所在的平面上运动.下列说法不正确的是（    ） A．若点满足，则动点的轨迹为一条直线 B．若，动点满足，则动点的轨迹是圆 C．若点到点与点的距离比为，则动点的轨迹是椭圆 D．若点到直线的距离与到直线的距离相等，则动点的轨迹为抛物线 4．（23-24高二上·江西·阶段练习）已知正方体的棱长为，点是平面内的动点，若点P到直线的距离与到直线的距离相等，则点的轨迹为（    ）    A．抛物线 B．椭圆 C．双曲线 D．圆 二、多选题 5．（23-24高二上·河南·期末）已知正方体的棱长为分别是棱和的中点，是棱上的一点，是正方形内一动点，且点到直线与直线的距离相等，则（    ） A． B．点到直线的距离为 C．存在点，使得平面 D．动点在一条抛物线上运动 6．（23-24高二下·湖北武汉·期末）泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知点，直线，动点到点的距离比到直线的距离小1.若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（    ） A．点的轨迹曲线是线段 B．是“最远距离直线” C．过点的直线与点的轨迹交于、两点，则以为直径的圆与轴相交 D．过点的直线与点的轨迹交于、两点，则的最小值为 三、填空题 7．（23-24高二上·江西·期末）已知正方体的棱长为1，点P在平面内，若P到直线的距离与到直线的距离相等，则P到的距离的最小值为 ． 8．（23-24高三上·西藏林芝·期末）若动点到点的距离和动点到直线的距离相等，则点的轨迹方程是 ． 四、解答题 9．（23-24高二下·湖南邵阳·期末）已知动点到直线的距离比它到定点的距离多1 (1)求的方程； (2)若过点的直线与相交于A，B两点，且，求直线的方程． 利用抛物线的定义求最值 一、单选题 1．（23-24高二上·山西太原·期末）设抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，且点，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．5 2．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知抛物线C：上一点，点，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．（23-24高二下·安徽·期末）在直角坐标系中，已知点，动点满足线段的中点在曲线上，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（23-24高二下·广东深圳·期末） 分别是抛物线 和 轴上的动点， ，则 的最小值为（      ） A．5 B． C． D．2 5．（23-24高二上·浙江杭州·期末）设点，抛物线上的点P到y轴的距离为d．若的最小值为1，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 6．（23-24高二上·山东青岛·期末）设抛物线上一点到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D．5 7．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到该抛物线的准线的距离之和的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 8．（23-24高二上·湖北荆州·期末）抛物线：的焦点为，，为抛物线上的点，则三角形周长的最小值为（    ） A．5 B．8 C． D．9 二、多选题 9．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知抛物线：的焦点为，点为抛物线上一动点，点，则（   ） A．抛物线的准线方程为 B．的最小值为5 C．当时，则抛物线在点处的切线方程为 D．过的直线交抛物线于两点，则弦的长度为16 10．（23-24高二上·贵州毕节·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．焦点到准线的距离是4 C．若点的坐标为，则的最小值为6 D．若为线段的中点，则的坐标可以是 11．（23-24高二上·山西大同·期末）已知点是焦点为的抛物线上的一个动点，，则（   ） A．的最小值为1 B．的最小值为4 C．的最小值为3 D．的最大值为 12．（23-24高二上·江西·期末）已知抛物线的焦点为F，其准线l与x轴的交点为为C上一动点，点，则（    ） A．当时， B．当时， C．的最小值为5 D．的最大值为 三、填空题 13．（23-24高二下·上海宝山·期末）抛物线的焦点为，准线为，点是准线上的动点，若点在抛物线上，且，则（为坐标原点）的最小值为 . 14．（23-24高二上·山西·期末）已知抛物线的焦点为，点，若点为抛物线上任意一点，当取最小值时，点的坐标为 . 15．（23-24高二下·上海闵行·期末）设是以为焦点的抛物线上的动点，是圆上的动点，则的最小值为 ． 16．（23-24高二下·广东湛江·期末）已知，抛物线的焦点为是抛物线C上任意一点，则周长的最小值为 ． 17．（23-24高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，记抛物线：上的动点到准线的距离为，则的最大值为 ． 求抛物线的标准方程 一、单选题 1．（23-24高二上·贵州毕节·期末）准线方程为的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河南开封·期末）已知抛物线C关于x轴对称，且焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·广东广州·期末）已知抛物线的焦点是，则抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）焦点在直线上的抛物线的标准方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 5．（23-24高二上·全国·期末）已知抛物线的焦点坐标为，则抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24高二上·河北保定·期末）若数列为等比数列，则以为焦点的抛物线标准方程为 ． 7．（23-24高二上·湖南张家界·期末）已知抛物线的准线方程为，则抛物线的标准方程为 . 8．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知抛物线，过其焦点且倾斜角为的直线与抛物线交于两点（在第一象限），若，则抛物线的方程为 ． 9．（23-24高二上·江苏盐城·期末）请写出一条与直线无公共点的抛物线的标准方程： .（写出一个即可） 抛物线的焦点准线问题 一、单选题 1．（23-24高二下·湖南益阳·期末）已知函数过定点，则抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·广东·期末）已知圆与抛物线的准线相切，则的值为（    ） A． B． C．4 D．2 3．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知点在抛物线上，过点作圆的切线，若切线长为，则点到的准线的距离为（    ） A．5 B．6 C．7 D． 4．（23-24高二下·河南洛阳·期末）经过抛物线的焦点F的直线交C于A，B两点，与抛物线C的准线交于点P，若成等差数列，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·山东青岛·期末）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·江西九江·期末）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·河南驻马店·期末）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·期末）若抛物线的焦点到直线的距离为，则（    ） A．4 B． C．2 D．1 9．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知点到抛物线的焦点的距离为，则该抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（23-24高二下·陕西榆林·期末）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为8 11．（23-24高二上·江西景德镇·期末）设抛物线的焦点为，点是上不同的两点，则（    ） A．抛物线的准线方程为 B．若，那么点的横坐标为 C．若，则线段的中点到轴距离为4 D．以线段为直径的圆与轴相切 12．（23-24高二上·贵州毕节·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．焦点到准线的距离是4 C．若点的坐标为，则的最小值为6 D．若为线段的中点，则的坐标可以是 三、填空题 13．（23-24高二下·上海闵行·期末）已知抛物线的方程为，则其准线方程为 ． 14．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知是抛物线上纵坐标为4的点，则与的焦点的距离为 . 15．（23-24高二上·贵州黔东南·期末）抛物线的准线方程为 ． 抛物线的焦半径问题 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为（   ） A． B．5 C．6 D． 2．（23-24高二下·湖南·期末）设为抛物线的焦点，点为上一点，过作轴的垂线，垂足为，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·浙江杭州·期末）设点，抛物线上的点P到y轴的距离为d．若的最小值为1，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 4．（23-24高二上·江西·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上（异于顶点），过的中点作直线的垂线交轴于点，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·安徽淮北·期末）已知抛物线的焦点，准线为是上一点，是直线与的交点，若，则（    ） A．4 B． C．或 D．或4 6．（23-24高二上·河南郑州·期末）已知为抛物线：上一点，点到的焦点的距离为4，到轴的距离为3，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 7．（23-24高二上·云南·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的交点，若，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·辽宁大连·期末）从抛物线上一点P作抛物线准线的垂线，垂足为M，设抛物线的焦点为F，若是正三角形，则（    ） A． B．1 C． D．2 二、多选题 9．（23-24高二下·河南·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，点是上位于第一象限的动点，点为与轴的交点，则下列说法正确的是（    ） A．到直线的距离为2 B．以为圆心，为半径的圆与相切 C．直线斜率的最大值为2 D．若，则的面积为2 10．（23-24高二上·福建漳州·期末）已知抛物线的焦点为，过原点的动直线交抛物线于另一点，交抛物线的准线于点，下列说法正确的是（   ） A．若，则为线段中点 B．若，则 C．存在直线，使得 D．面积的最小值为8 三、填空题 11．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于、两点，若，则 . 12．（23-24高二下·海南·期末）已知直线与抛物线在第一象限交于点，若点到的准线的距离为，则 . 13．（23-24高二上·福建厦门·期末）已知抛物线的焦点为，是上一点，的面积为2，则 . 生活中的抛物线问题 一、单选题 1．（23-24高二上·四川德阳·期末）一种卫星接收天线（如图①所示）的曲面是旋转抛物面（抛物线围绕其对称轴旋转而得的一种空间曲面，抛物线的对称轴、焦点、顶点分别称为旋转抛物面的轴线、焦点、顶点），已知卫星波束以平行于旋转抛物面的轴线的方式射入该卫星接收天线经反射后聚集到焦点处（如图②所示），已知该卫星接收天线的口径（直径）为6m，深度为1m，则其顶点到焦点的距离等于（    ） A． B． C．1m D． 2．（23-24高二上·广东·期末）如图1，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单､方向性强､工作频带宽等特点.图2是图1的轴截面，两点关于抛物线的对称轴对称，是抛物线的焦点，是馈源的方向角，记为，若，则到该抛物线顶点的距离为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．6 3．（23-24高二上·山东滨州·期末）如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽.当水面上升后，水面宽为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高二上·山西长治·期末）如图所示是某家用汽车远光灯示意图，其中心截口曲线是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，且灯口直径是，灯深，则（    ） A．远光灯光线按照路径射向远处 B．光源到反光镜顶点的距离是 C．与抛物线对称轴垂直的光线长度为 D．灯口上任意一点到焦点的距离是 三、填空题 5．（23-24高二上·广东广州·期末）如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水面下降0.5米后，水面宽 米． 6．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）如图所示的拋物线型拱桥，设水面宽米，拱顶距水面8米，一货船在水面上的部分的横截面为一矩形，若米，则不超过 米时，才能使货船通过拱桥． 7．（23-24高二上·北京通州·期末）如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于，已行车道AB总宽度，则车辆通过隧道的限制高度为 m． 四、解答题 8．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知某条河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米，一条木船宽4米，木船露出水面上的部分高为0.75米. (1)建立适当的坐标系，求拱桥所在抛物线的方程； (2)当水面上涨0.5米时，木船能否通行？ (3)当水面上涨多少米时，木船开始不能通行？ 9．（23-24高二上·贵州铜仁·期末）如图，是抛物线型拱桥，当水面在时，水面宽16米，拱桥顶部离水面8米. (1)当拱顶离水面2米时，水面宽多少米？ (2)现有一艘船，可近似为长方体的船体高4.2米，吃水深2.7米（即水上部分高1.5米），船体宽为12米，前后长为80米，若河水足够深，要使这艘船能安全通过，则水面宽度至少应为多少米？（计算结果保留至小数点后一位，参考数据：） 抛物线的对称性及应用 一、单选题 1．（23-24高二下·福建厦门·期末）等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A．2 B． C．4 D． 2．（23-24高二上·福建厦门·期末）抛物线有一个重要的性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，此时反射面为抛物线在该点处的切线.过抛物线上的一点（异于原点）作的切线，过作的平行线交（为的焦点）于点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高二下·陕西榆林·期末）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为8 三、填空题 4．（23-24高二上·广东广州·期末）抛物线有如下光学性质：由抛物线焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.如图，为坐标原点，抛物线，一条平行于轴的光线射向抛物线上的点（不同于点），反射后经过抛物线上另一点，再从点处沿直线射出.若直线的倾斜角为，则入射光线所在直线的方程为 ；反射光线所在直线的方程为 . 直线与抛物线的位置关系 一、单选题 1．（23-24高二下·陕西安康·期末）已知是抛物线的准线，与轴交于点是上一点，直线的斜率的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 2．（23-24高二上·河南信阳·期末）直线与抛物线交于A，B两点，则（O为抛物线顶点）的值为（   ） A． B． C．4 D．12 3．（23-24高二下·江西鹰潭·期末）抛物线在点处的切线的斜率为（    ） A．－1 B． C． D．1 二、多选题 4．（23-24高二下·河北唐山·期末）已知抛物线过点，则（    ） A．拋物线的标准方程可能为 B．挞物线的标准方程可能为 C．过点与抛物线只有一个公共点的直线有一条 D．过点与抛物线只有一个公共点的直线有两条 5．（23-24高二下·山西晋城·期末）已知点在抛物线（）上，F为抛物线的焦点，，则下列说法正确的是（    ） A． B．点F的坐标为 C．直线AQ与抛物线相切 D． 6．（23-24高二上·湖北·期末）已知抛物线的焦点的坐标为，则（    ） A．准线的方程为 B．焦点到准线的距离为4 C．过点只有2条直线与拋物线有且只有一个公共点 D．抛物线与圆交于两点，则 7．（23-24高二上·江西景德镇·期末）若直线被圆所截的弦长不小于2，则下列曲线中，与直线一定有公共点的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知抛物线的准线为，焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，于，则下列说法正确的是（    ） A．以为直径的圆与准线相切 B．若，则 C．设，则 D．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有3条 三、填空题 9．（23-24高二上·辽宁·期末）已知点和抛物线，则过点A且与抛物线相切的直线的方程为 . 四、解答题 10．（23-24高二下·云南玉溪·期末）在平面直角坐标系xOy中，点到点的距离与到直线的距离相等，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与相切于点，若点的纵坐标为2，求直线的方程. 11．（23-24高二下·湖南邵阳·期末）已知动点到直线的距离比它到定点的距离多1，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)若过点的直线与相交于两点，且，求直线的方程. 抛物线的弦长问题 一、单选题 1．（23-24高二下·广东茂名·期末）已知直线与抛物线：交于两点，则（    ） A． B．5 C． D． 2．（23-24高二上·江西上饶·期末）已知抛物线，弦过抛物线的焦点且满足，则弦的长为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·宁夏固原·期末）直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于不同的两点､，若，则弦的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（23-24高二上·四川攀枝花·期末）已知直线与抛物线相交于，两点，若，则的最小值为（    ） A．4 B． C．8 D．16 5．（24-25高二上·北京朝阳·期末）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线与抛物线交于两点，则（    ） A． B．4 C． D． 6．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知抛物线与过焦点的一条直线相交于，两点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点，则下列结论正确的是（    ） A．准线的方程是 B．以为直径的圆与轴相切 C．的最小值为 D．的面积最小值为 7．（23-24高二上·江西萍乡·期末）抛物线：（）的焦点为，准线为，过的直线与相交于，两点，且满足，在上的射影为，若的面积为，则的长为（    ） A． B． C． D．9 二、多选题 8．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知直线l：与抛物线C：交于A，B两点，O为坐标原点，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．（23-24高二上·福建福州·期末）已知抛物线C：与圆O：交于A，B两点，且，直线过C的焦点F，且与C交于M，N两点，则下列说法中正确的是（    ） A．若直线的斜率为，则 B．的最小值为 C．若以MF为直径的圆与y轴的公共点为，则点M的横坐标为 D．若点，则的周长最小值为 10．（23-24高二上·山西吕梁·期末）设抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上不同的两点，且，则（　　） A． B．以线段为直径的圆必与准线相切 C．线段的长为定值 D．线段的中点到轴的距离为定值 三、填空题 11．（23-24高二上·浙江台州·期末）已知抛物线和.点在上（点与原点不重合），过点作的两条切线，切点分别为，直线交于两点，则的值为 . 四、解答题 12．（23-24高二上·四川成都·期末）已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点是双曲线的右顶点. (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线相交于A、B两点，解决下列问题： （i）求弦长； （ii）求证：. 13．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知抛物线的焦点为，点是曲线上一点． (1)若，求点的坐标； (2)若直线与抛物线交于两点，且以为直径的圆过点，求. 14．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，双曲线的渐近线方程为． (1)求抛物线的标准方程和双曲线的标准方程． (2)斜率为2的直线与抛物线交于两点，与轴交于点，若，求． 抛物线的中点弦问题 一、单选题 1．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·湖南·期末）过抛物线的焦点的直线与抛物线C相交于A，B两点，若线段中点的坐标为，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、多选题 3．（23-24高二下·湖南·期末）已知抛物线，直线过的焦点，且与交于两点，则（    ） A．的准线方程为 B．线段的长度的最小值为4 C．存在唯一直线，使得为线段的中点 D．以线段为直径的圆与的准线相切 4．（23-24高二上·贵州毕节·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．焦点到准线的距离是4 C．若点的坐标为，则的最小值为6 D．若为线段的中点，则的坐标可以是 5．（23-24高二上·广西玉林·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．焦点到准线的距离是2 C．若点的坐标为，则的最小值为2 D．若为线段中点，则的坐标可以是 6．（23-24高二上·宁夏银川·期末）抛物线的焦点为、为其上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于、两点，点M(2，2)，下列结论正确的是（ ） A．抛物线的方程为： B．抛物线的准线方程为： C．当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切 D．以M为中点的弦的直线方程为： 7．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）经过抛物线：（）的焦点的直线交于两点，为坐标原点，设，（），的最小值是4，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若点是线段的中点，则直线的方程为 D．若，则直线的倾斜角为60° 三、填空题 8．（23-24高二上·山西朔州·期末）直线与抛物线交于两点，中点的横坐标为2，则 . 四、解答题 9．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知抛物线，为上的两个动点，直线的斜率为，线段的中点为. (1)证明：； (2)已知点，求面积的最大值. 焦点弦问题 一、单选题 1．（23-24高二下·广东茂名·期末）已知直线与抛物线：交于两点，则（    ） A． B．5 C． D． 2．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知抛物线与过焦点的一条直线相交于，两点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点，则下列结论正确的是（    ） A．准线的方程是 B．以为直径的圆与轴相切 C．的最小值为 D．的面积最小值为 3．（23-24高二上·浙江台州·期末）已知抛物线的焦点为,两点在抛物线上，并满足，过点作轴的垂线，垂足为，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 4．（23-24高二上·陕西西安·期末）过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·湖北武汉·期末）过抛物线焦点的直线与此抛物线交于两点，且．抛物线的准线与轴交于点，过点作于点．若四边形的面积为，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 二、多选题 6．（23-24高二下·河南驻马店·期末）点是抛物线的焦点，过点的直线与交于两点.分别在两点作的切线与，记，则下列选项正确的是（    ） A．为直角三角形 B． C． D．若，则 7．（23-24高二下·湖南·期末）已知抛物线，直线过的焦点，且与交于两点，则（    ） A．的准线方程为 B．线段的长度的最小值为4 C．存在唯一直线，使得为线段的中点 D．以线段为直径的圆与的准线相切 8．（23-24高二上·安徽黄山·期末）过抛物线的焦点作直线与抛物线交于两点，且，则下列说法正确的是（    ） A．直线的斜率之积为定值 B．直线交抛物线的准线于点，若，则直线l的斜率为 C．若，则抛物线的准线方程为 D．直线交抛物线的准线于点，则直线轴 9．（23-24高二上·江西景德镇·期末）设抛物线的焦点为，点是上不同的两点，则（    ） A．抛物线的准线方程为 B．若，那么点的横坐标为 C．若，则线段的中点到轴距离为4 D．以线段为直径的圆与轴相切 10．（23-24高二上·山西吕梁·期末）设抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上不同的两点，且，则（　　） A． B．以线段为直径的圆必与准线相切 C．线段的长为定值 D．线段的中点到轴的距离为定值 11．（23-24高二上·云南昭通·期末）已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），，则（    ） A． B． C．最小值为4 D．当直线的倾斜角为时，与面积之比为3 三、填空题 12．（23-24高二下·贵州铜仁·期末）已知抛物线的焦点为，则 ；若斜率为的直线过焦点且与抛物线交于两点，的中垂线交轴于点，则 ． 13．（23-24高二下·陕西西安·期末）已知点M在抛物线上，抛物线C的准线与x轴交于点K，线段MK的中点N也在抛物线C上，抛物线C的焦点为F，若，则 ． ． 抛物线中的最值范围问题 一、单选题 1．（23-24高二上·安徽六安·期末）抛物线上到直线距离最近的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知A，B，C是抛物线上的三点，且，若，则点A到直线BC的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·江西·期末）已知点是抛物线上的动点，则直线的斜率的最大值是（    ） A． B． C．1 D． 4．（23-24高二上·辽宁大连·期末）抛物线上有三点，且直线的斜率大于零，，点为三角形的重心，若直线横截距的范围为，则的值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高二上·山西大同·期末）已知点是焦点为的抛物线上的一个动点，，则（   ） A．的最小值为1 B．的最小值为4 C．的最小值为3 D．的最大值为 6．（23-24高二上·重庆·期末）已知抛物线上存在两个不同的点关于直线对称，直线与轴交于点，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标为 B． C． D． 三、填空题 7．（23-24高二下·湖南岳阳·期末）抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于A、B两点，抛物线在A、B处的切线交于点，则的最小值为 . 8．（23-24高二上·浙江舟山·期末）曲线上动点与构成，若，则实数的取值范围为 ． 9．（23-24高二上·湖北·期末）如图所示，抛物线的焦点为，过点的直线与分别相交于和，直线过点，当直线垂直于轴时，，则的方程为 ；设直线的倾斜角分别为，则的最大值为 . 四、解答题 10．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知抛物线的焦点到直线的距离为为直线上的动点，过点作直线分别与相切于点. (1)求的方程； (2)证明：直线过定点； (3)若直线分别交轴于点，求的最小值. 11．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线（斜率为正数）与由左至右交于、两点，连接并延长交于点． (1)证明：； (2)当的内切圆半径时，求的取值范围． 12．（23-24高二上·江苏常州·期末）如图，已知抛物线的方程为，焦点为，过抛物线内一点作抛物线准线的垂线，垂足为，与抛物线交于点，已知，，. (1)求的值； (2)斜率为的直线过点，且与曲线交于不同的两点，，若存在，使得，求实数的取值范围. 抛物线中的定点定值问题 一、单选题 1．（23-24高二下·安徽安庆·期末）已知抛物线C：内有一点，过点A作直线l与该抛物线交于P、Q两点，经过点和点Q的直线与该抛物线交于另一点T，则直线PT过定点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，直线，分别于抛物线交于点，．设直线，的斜率分别为，，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（23-24高二上·上海·期末）已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于,，且直线OA,OB的斜率分别为,，则,,中有（    ）个值为定值 A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题 4．（23-24高二上·安徽黄山·期末）过抛物线的焦点作直线与抛物线交于两点，且，则下列说法正确的是（    ） A．直线的斜率之积为定值 B．直线交抛物线的准线于点，若，则直线l的斜率为 C．若，则抛物线的准线方程为 D．直线交抛物线的准线于点，则直线轴 5．（23-24高二上·山西吕梁·期末）设抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上不同的两点，且，则（　　） A． B．以线段为直径的圆必与准线相切 C．线段的长为定值 D．线段的中点到轴的距离为定值 6．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知、为抛物线 上两点，以 为切点的抛物线的两条切线交于点 ，设以 为切点的抛物线的切线斜率为，，过 的直线斜率为 ，则以下结论正确的有（    ） A．，，成等差数列 B．若点在抛物线的准线上，则不是直角三角形 C．若点在直线上，则直线恒过定点 D．若点在抛物线上，则面积的最大值为2 7．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知为抛物线的焦点，直线过点且与交于两点，为坐标原点，则（    ） A．的最小值为 B．以线段为直径的圆与的准线相离 C．的面积为定值 D． 三、解答题 8．（23-24高二下·贵州黔南·期末）已知抛物线经过点． (1)求抛物线C的方程及其准线方程； (2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点． 9．（23-24高二下·安徽亳州·期末）已知为坐标原点，是抛物线上与点不重合的任意一点． (1)设抛物线的焦点为，若以为圆心，为半径的圆交的准线于两点，且的面积为，求圆的方程； (2)若是拋物线上的另外一点，非零向量满足，证明：直线必经过一个定点． 10．（23-24高二下·湖南郴州·期末）已知是抛物线上一点，是抛物线的焦点，已知， (1)求抛物线的方程及的值； (2)当在第一象限时，为坐标原点，是抛物线上一点，且的面积为1，求点的坐标； (3)满足第（2）问的条件下的点中，设平行于的两个点分别记为，问抛物线的准线上是否存在一点使得，. 11．（23-24高二下·福建福州·期末）已知抛物线，其焦点为，点在抛物线C上，且． (1)求抛物线的方程； (2)为坐标原点，为抛物线上不同的两点，且，求证：直线过定点； 12．（23-24高二下·广东·期末）设点为抛物线的焦点，过点且斜率为的直线与交于两点（为坐标原点）． (1)求抛物线的方程； (2)过点作两条斜率分别为的直线，它们分别与抛物线交于点和．已知，问：是否存在实数，使得为定值？若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 13．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知P是抛物线的准线上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为． (1)若点P纵坐标为0，求此时抛物线C的切线方程； (2)设直线的斜率分别为，求证：为定值． 抛物线中的定直线问题 一、解答题 1．（23-24高二下·甘肃·期末）已知拋物线的焦点为上任意一点到的距离与到点的距离之和的最小值为3． (1)求拋物线的标准方程； (2)已知过点的直线与分别交于点与点，延长交于点，线段与的中点分别为． ①证明：点在定直线上； ②若直线，直线的斜率分别为，求的取值范围． 2．（23-24高二上·湖北·期末）已知抛物线的焦点为，设动点的坐标为． (1)若，求过点与抛物线有且只有一个公共点的直线方程； (2)设过动点的两条直线均与相切，且的斜率分别为，满足．证明：动点在一条定直线上． 3．（23-24高二上·四川眉山·期末）已知斜率为2的直线交抛物线于、两点，求证： (1)线段AB的中点在一条定直线上 (2)为定值（O为坐标原点，、分别为直线OA、OB的斜率） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 抛物线 利用抛物线的定义求轨迹 一、单选题 1．（23-24高二上·重庆·期末）已知点满足，则点的轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 【答案】C 【分析】根据已知条件及抛物线的定义即可求解. 【详解】表示点到点的距离； 表示点到直线的距离. 因为， 所以点到点的距离等于点到直线的距离， 所以的轨迹为抛物线. 故选：C. 2．（23-24高二上·北京延庆·期末）到定点的距离比到轴的距离大的动点且动点不在轴的负半轴的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义即可得解. 【详解】因为动点到定点的距离比到轴的距离大， 所以动点到定点的距离等于到的距离， 所以动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以动点的轨迹方程是. 故选：B. 3．（23-24高二上·河南南阳·期末）在正方体中，点在底面所在的平面上运动.下列说法不正确的是（    ） A．若点满足，则动点的轨迹为一条直线 B．若，动点满足，则动点的轨迹是圆 C．若点到点与点的距离比为，则动点的轨迹是椭圆 D．若点到直线的距离与到直线的距离相等，则动点的轨迹为抛物线 【答案】C 【分析】对于A，根据线面垂直的判定定理、性质定理可判断A；利用勾股定理求出，由可得动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆可判断B；在平面内，设正方形对角线的交点为，以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，设，根据可得动点的轨迹可判断C；点到直线的距离即点到点的距离，根据抛物线定义可判断D. 【详解】对于A，    连接，因为平面，平面， 所以，因为四边形为正方形，所以， 因为，平面，所以平面， 当点在直线上时，此时平面，可得， 则动点的轨迹为直线，故A正确； 对于B，连接，若，，所以， 又因为，所以动点的轨迹在平面是在平面内， 以为圆心，为半径的圆，故B正确；    对于C，在平面内，设正方向对角线的交点为，以所在的直线为轴， 所在的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设，则，设， 因为，所以，化简得， 则动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，故C错误；    对于D，因为平面，平面，所以， 所以点到直线的距离即点到点的距离， 若点到直线的距离与到点的距离相等，根据抛物线定义， 则动点的轨迹为在平面的抛物线，故D正确. 故选：C. 【点睛】思路点睛：考查平面上点的轨迹，根据动点满足的关系式，在平面上建立平面直角坐标系，用解析法求轨迹是常用方法． 4．（23-24高二上·江西·阶段练习）已知正方体的棱长为，点是平面内的动点，若点P到直线的距离与到直线的距离相等，则点的轨迹为（    ）    A．抛物线 B．椭圆 C．双曲线 D．圆 【答案】A 【分析】分析可知，点到直线的距离等于点到点的距离，结合抛物线的定义可得出结论. 【详解】过点在平面内作，垂足为点，连接，    在正方体中，平面，平面，则， 因为点P到直线的距离与到直线的距离相等，即， 即点到直线的距离等于点到点的距离， 由抛物线的定义可知，点的轨迹为抛物线. 故选：A. 二、多选题 5．（23-24高二上·河南·期末）已知正方体的棱长为分别是棱和的中点，是棱上的一点，是正方形内一动点，且点到直线与直线的距离相等，则（    ） A． B．点到直线的距离为 C．存在点，使得平面 D．动点在一条抛物线上运动 【答案】AD 【分析】建立空间直角坐标系，选项A，利用向量法来证明线线垂直，通过计算得到，即可判断出选项A的正误；选项B，先计算出在方向上的投影向量的模为，再利用点到线的距离的向量法即可得出结果，从而判断出选项的正误；选项C，先求出平面的一个法向量为和，再判断是否存在使，即可判断出选项的正误；选项D，根据条件得出点到直线的距离即点到点的距离，再利用抛物线的定义即可求出结果. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系Axyz. 对于选项A，易知，设， 所以，又， 得到，所以，故选项A正确； 对于选项，因为，所以，又， 则在方向上的投影向量的模为，又， 所以点到直线的距离为，故选项B错误； 对于选项C，设平面的一个法向量为， 由选项A知，，， 由，得到， 取，所以平面的一个法向量为， 由，得到， 所以不存在点，使得平面，故选项C错误； 对于选项D，因为平面平面，所以， 所以点到直线的距离即点到点的距离，又点到直线与直线的距离相等， 即点到点的距离等于点到直线的距离，又面，面， 由抛物线定义知，点的轨迹是以为焦点，所在直线为准线的抛物线的一部分，故选项正确， 故选：AD. 【点睛】关键点晴：本题的关键在于建立空间直角坐标系，利用向量法来解决线线垂直、点线距离和线面平行，对于选项D，将点线距离转化点到点的距离，再利用抛物线的定义来解决. 6．（23-24高二下·湖北武汉·期末）泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知点，直线，动点到点的距离比到直线的距离小1.若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（    ） A．点的轨迹曲线是线段 B．是“最远距离直线” C．过点的直线与点的轨迹交于、两点，则以为直径的圆与轴相交 D．过点的直线与点的轨迹交于、两点，则的最小值为 【答案】BC 【分析】由题意可知动点到点的距离等于到直线的距离，所以可知点的轨迹是以为焦点的抛物线，求出轨迹方程，然后逐个分析判断即可. 【详解】因为点，直线，动点到点的距离比到直线的距离小1， 所以动点到点的距离等于到直线的距离， 所以点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线， 所以抛物线方程为， 对于A，点的轨迹是抛物线，所以A错误， 对于B，由，得，解得， 所以直线与抛物线相交于点， 所以是“最远距离直线”，所以B正确， 对于C，设过点的直线为，， 由，得， 所以， 所以， 所以， 所以以为直径的圆的半径为， 因为圆心到轴的距离为， 所以以为直径的圆与轴相交，所以C正确， 对于D，， 所以D错误， 故选：BC 三、填空题 7．（23-24高二上·江西·期末）已知正方体的棱长为1，点P在平面内，若P到直线的距离与到直线的距离相等，则P到的距离的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据题意可得点P的轨迹为抛物线，进而可得P到的距离最小值. 【详解】由题意，P到直线的距离与到直线的距离相等， 即的长度与P到直线的距离相等，故的轨迹为以直线为准线，为焦点的抛物线上. 故当为抛物线的顶点，即的中点时P到的距离取最小值，为.    故答案为： 8．（23-24高三上·西藏林芝·期末）若动点到点的距离和动点到直线的距离相等，则点的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】结合抛物线定义即可解题. 【详解】由抛物线定义知，点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 所以点的轨迹方程为：. 故答案为：. 四、解答题 9．（23-24高二下·湖南邵阳·期末）已知动点到直线的距离比它到定点的距离多1 (1)求的方程； (2)若过点的直线与相交于A，B两点，且，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)由抛物线的定义理解动点轨迹，即可写出动点轨迹方程； (2)设出直线方程，代入抛物线方程，消元后得出韦达定理，由题设等式解得的值，检验即得 【详解】（1）因为动点到直线的距离比它到定点 所以动点到直线的距离等于它到定点 则动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 故Γ的方程为； （2）设直线的方程为，，， 联立，消去x并整理得， 此时，由韦达定理得，， 又因，所以，则， 代入，得， 解之得 当时，直线l的方程为；与只有一个交点所以不符合 当时，直线l的方程． 故直线l的方程为． 利用抛物线的定义求最值 一、单选题 1．（23-24高二上·山西太原·期末）设抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，且点，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】设点到准线的距离为，当三点共线时，取得最小值，即可求解. 【详解】解：抛物线的焦点是，准线方程为：， 设点到准线的距离为，则， 如图所示：    当三点共线时，取得最小值， 故选：C 2．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知抛物线C：上一点，点，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】利用抛物线定义将 转化为 ，数形结合根据线段和的几何意义求得 的最小值, 即可求得答案. 【详解】在抛物线 中， , ∴, 又 , 故 在抛物线 的外部, ∴, ∵抛物线 的焦点为 , 准线方程为 , ∴， ， ∵, 当三点共线（ 在之间）时， 取到最小值 , ∴ 的最小值为 , 故选: C 3．（23-24高二下·安徽·期末）在直角坐标系中，已知点，动点满足线段的中点在曲线上，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先用相关点法求出的轨迹为抛物线，再用抛物线定义对长度转化即可. 【详解】设，中点，则. 　．代入前面式子得到， 化简得到，即，则的轨迹为抛物线. 抛物线焦点恰好是， \过P向抛物线垂线作垂线，垂足为,如图所示. 运用抛物线定义，知道，当三点共线时， 最小，最小值. 故选:C． 4．（23-24高二下·广东深圳·期末） 分别是抛物线 和 轴上的动点， ，则 的最小值为（      ） A．5 B． C． D．2 【答案】D 【分析】首先把问题转化为和到轴的距离之和的最小值，再根据抛物线的定义最小，根据数形结合得出结论. 【详解】设抛物线的焦点为，无论在何处，的最小值都是到轴的距离， 所以的最小值和到轴的距离之和的最小值和到准线的距离之和减去最小， 根据抛物线的定义问题转化为最小，显然当三点共线时最小，最小值为. 故选：D   5．（23-24高二上·浙江杭州·期末）设点，抛物线上的点P到y轴的距离为d．若的最小值为1，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】结合抛物线的定义得到关于的方程，解出即可. 【详解】抛物线，则焦点，准线， 最小时，即最小，根据抛物线的定义，， 所以只需求的最小值即可，当为线段与抛物线交点时， 最小，且最小值为，解得. 故选：C. 6．（23-24高二上·山东青岛·期末）设抛物线上一点到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D．5 【答案】B 【分析】求出抛物线的焦点坐标及准线方程，利用抛物线定义及点到直线的距离公式求解即得. 【详解】抛物线的焦点，准线， 过点作于，垂直于直线于点，显然， 点到直线的距离， 则， 当且仅当点是点到直线的垂线段与抛物线的交点时取等号， 所以的最小值为2. 故选：B    7．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到该抛物线的准线的距离之和的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，确定点与抛物线的位置关系，再借助抛物线定义求解即得. 【详解】抛物线中，当时，，则点在抛物线外， 抛物线的焦点，准线，过作直线的垂线，垂足为，连接， 则，于是， 当且仅当点是线段与抛物线的交点时取等号， 所以点到点的距离与到该抛物线的准线的距离之和的最小值为. 故选：C 8．（23-24高二上·湖北荆州·期末）抛物线：的焦点为，，为抛物线上的点，则三角形周长的最小值为（    ） A．5 B．8 C． D．9 【答案】C 【分析】根据抛物线方程，求得坐标，结合抛物线定义，数形结合，即可求得结果. 【详解】抛物线方程为，焦点，准线． 过作准线的垂线与准线交于点， 则，过点作准线的垂线与准线和抛物线分别交于点， 则，设的周长为， 则，当且仅当重合时取等号. 故选：C． 二、多选题 9．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知抛物线：的焦点为，点为抛物线上一动点，点，则（   ） A．抛物线的准线方程为 B．的最小值为5 C．当时，则抛物线在点处的切线方程为 D．过的直线交抛物线于两点，则弦的长度为16 【答案】ABD 【分析】对于A，直接由抛物线标准方程即可判断；对于B，由抛物线定义结合三角形三边关系即可判断；对于C，设出切线方程（斜率为参数），联立抛物线方程由判别式为0即可验算；对于D，联立方程和抛物线方程，结合韦达定理、焦点弦公式即可判断. 【详解】对于A，由题意抛物线：的准线方程为，故A正确； 对于B，如图所示： 过点向准线作垂线，设垂足为点，过点向准线作垂线，设垂足为点， 所以， 等号成立当且仅当点与点重合，点为与抛物线的交点，故B正确； 对于C，切点为，且切线斜率存在，所以设切线方程为， 联立抛物线方程得， 所以，解得， 所以当时，则抛物线在点处的切线方程为，故C错误； 对于D，由题意，所以， 所以直线，即，联立抛物线方程得， 所以，，故D正确. 故选：ABD. 10．（23-24高二上·贵州毕节·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．焦点到准线的距离是4 C．若点的坐标为，则的最小值为6 D．若为线段的中点，则的坐标可以是 【答案】BCD 【分析】利用已知处理A,B，利用抛物线的定义处理C，利用点差法处理D即可. 【详解】 由题意得，焦点到准线的距离是4，故A错误，B正确； 对于C，如图，过点作垂直于准线，垂足为，则， 当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为6，故C正确； 对于D，假设的坐标是，设，则， 由直线交抛物线于两点，得两式相减得， 即，所以，即， 所以直线的方程为，即，将代入得， 所以直线过点，符合题意，所以的坐标可以是，故D正确， 故选;BCD. 11．（23-24高二上·山西大同·期末）已知点是焦点为的抛物线上的一个动点，，则（   ） A．的最小值为1 B．的最小值为4 C．的最小值为3 D．的最大值为 【答案】AB 【分析】根据抛物线的焦半径公式，即可求解AB ,根据两点距离公式，结合二次函数的性质即可求解C，根据两点斜率公式，结合正切的和差角公式，分类讨论，利用导数求解函数的最值，即可求解D. 【详解】由抛物线方程，得其焦点，准线方程为，过作于点，则，显然当在坐标原点时有最小值，此时，即的最小值为1，所以A正确； 由于，故当三点共线时，即在坐标原点时有最小值，此时，即的最小值为4，所以B正确； 对于C选项， 设，则，当时，取得最小值，最小值为，所以C错误． 对于D选项， 根据抛物线的对称性，不妨设， 若，则，，，所以； 若，则，，，所以； 若且，此时且， ，，所以， 因为，所以，即． 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增． 所以．此时有最大值为1．而，则． 综上，的最大值为．所以D错误． 故选:AB． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值. 12．（23-24高二上·江西·期末）已知抛物线的焦点为F，其准线l与x轴的交点为为C上一动点，点，则（    ） A．当时， B．当时， C．的最小值为5 D．的最大值为 【答案】BCD 【分析】对于A，利用抛物线的定义判断；对于B，与抛物线方程联立，借助对称思想判断；对于C，利用三角形两边的和大于第三边判断；对于D，利用三角形两边的差小于第三边判断，结合抛物线的定义判断作答. 【详解】由题意知，当时，，则，故A错误； 当时，点P为抛物线与圆的交点，二者联立并消去y，得，所以，又，所以，故B正确；    过B作l的垂线，垂足为，当P为与C的交点时，P,B,F三点共线时最小，最小值为5，故C正确；    当点P为线段的延长线与C的交点时，P,B,F三点共线时最大，最大值为，故D正确． 故选:BCD． 三、填空题 13．（23-24高二下·上海宝山·期末）抛物线的焦点为，准线为，点是准线上的动点，若点在抛物线上，且，则（为坐标原点）的最小值为 . 【答案】 【分析】由题意结合抛物线的定义求出，设点关于直线对称点为，则，从而可求出的最小值. 【详解】由，得，所以，准线为， 不妨设点在第一象限，过作于，则，得， 则，得，所以， 设点关于直线对称点为，则， 所以， 当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为， 故答案为： 14．（23-24高二上·山西·期末）已知抛物线的焦点为，点，若点为抛物线上任意一点，当取最小值时，点的坐标为 . 【答案】 【分析】首先得到抛物线的焦点坐标与准线方程，过点作垂直准线交于点，由抛物线的定义可得，即可得到平行于轴时取最小值，从而求出点坐标. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 过点作垂直准线交于点，则， 所以，当且仅当、、三点共线时取等号， 即平行于轴时取最小值，此时，则，即， 所以. 故答案为： 15．（23-24高二下·上海闵行·期末）设是以为焦点的抛物线上的动点，是圆上的动点，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】根据抛物线的定义和圆的性质转化为三点一线即可求出最值. 【详解】抛物线的准线为，设点到准线的距离为，圆心，圆心到准线的距离为，则， 则， 则的最小值为4. 故答案为：4. 16．（23-24高二下·广东湛江·期末）已知，抛物线的焦点为是抛物线C上任意一点，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点P作垂直于准线，易知当三点共线时，的周长最小，即可求解． 【详解】抛物线的准线，，过点P作垂直于准线， 由题可知，的周长为， 又， 易知当三点共线时，的周长最小，且最小值为． 故答案为： 17．（23-24高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，记抛物线：上的动点到准线的距离为，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】将到抛物线的准线的距离转化为到抛物线焦点F的距离，再根据三角形三边关系将的最大值表示为 【详解】由抛物线的定义知，，所以 所以，当点位于射线与抛物线交点时，取最大值. 故答案为： 求抛物线的标准方程 一、单选题 1．（23-24高二上·贵州毕节·期末）准线方程为的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据准线方程即可求解抛物线方程. 【详解】由抛物线的准线方程为，可知抛物线是焦点在轴负半轴上的抛物线， 设其方程为，则其准线方程为，得 故该抛物线的标准方程是， 故选：A. 2．（23-24高二上·河南开封·期末）已知抛物线C关于x轴对称，且焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线与轴的交点坐标，从而得到抛物线的焦点坐标，得到答案. 【详解】直线与轴的交点为，所以抛物线的焦点为， 故，解得，抛物线的标准方程为． 故选：D． 3．（23-24高二上·广东广州·期末）已知抛物线的焦点是，则抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据焦点坐标直接写出抛物线方程. 【详解】因为抛物线的焦点是，则抛物线的标准方程是. 故选：B 4．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）焦点在直线上的抛物线的标准方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据焦点即可求解抛物线方程. 【详解】直线与坐标轴的交点为以及， 所以抛物线的焦点为或， 当焦点为，此时抛物线方程为， 当焦点为时，此时抛物线的方程为， 故选：C 5．（23-24高二上·全国·期末）已知抛物线的焦点坐标为，则抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线的标准方程的相关知识即可得解. 【详解】依题意，设抛物线方程为， 由焦点坐标为，得，即， 所以抛物线的标准方程为. 故选：B. 二、填空题 6．（23-24高二上·河北保定·期末）若数列为等比数列，则以为焦点的抛物线标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据数列为等比数列，利用等比中项求得a即可. 【详解】解：因为数列为等比数列， 所以，， 则，， 所以以为焦点的抛物线标准方程为：， 故答案为： 7．（23-24高二上·湖南张家界·期末）已知抛物线的准线方程为，则抛物线的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据抛物线方程与准线的关系，列式求解. 【详解】设抛物线的标准方程为，由题意可知，， 得，所以抛物线的标准方程为. 故答案为： 8．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知抛物线，过其焦点且倾斜角为的直线与抛物线交于两点（在第一象限），若，则抛物线的方程为 ． 【答案】 【分析】利用抛物线定义化斜为直，转化已知条件到中，建立关于的方程求解即可. 【详解】 抛物线，则焦点，准线. 过点作准线，垂足为，作轴，垂足为，准线与轴交点为. 由抛物线定义可知，又， 在中，， 则有，得，解得， 故所求抛物线的方程为. 故答案为：. 9．（23-24高二上·江苏盐城·期末）请写出一条与直线无公共点的抛物线的标准方程： .（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】分析出抛物线的开口方向，即可得出满足题意的抛物线的标准方程. 【详解】由题意， 抛物线与直线无公共点， ∴抛物线开口向左，满足的抛物线的标准方程可以为：， 故答案为：.（答案不唯一） 抛物线的焦点准线问题 一、单选题 1．（23-24高二下·湖南益阳·期末）已知函数过定点，则抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数的运算求得，由抛物线的准线方程，可得所求． 【详解】解：由函数过定点，可得， 解得：， 则抛物线， 即的准线方程是． 故选：D． 2．（23-24高二下·广东·期末）已知圆与抛物线的准线相切，则的值为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】A 【分析】写出抛物线的准线方程，根据该准线与圆相切求出实数的值. 【详解】由题意可知，圆是圆心为原点，半径为的圆， 抛物线的准线方程为， 由于抛物线的准线方程与圆相切，则，解得. 故选：A. 3．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知点在抛物线上，过点作圆的切线，若切线长为，则点到的准线的距离为（    ） A．5 B．6 C．7 D． 【答案】A 【分析】由圆的切线的性质可求得，结合抛物线方程计算可得点横坐标，即可得点到的准线的距离. 【详解】如图所示： 设切点为Q，则， 则， 设，则由两点间距离公式得到， 解得，因为，所以， 因为的准线方程为，所以点到的准线的距离PE为. 故选：A. 4．（23-24高二下·河南洛阳·期末）经过抛物线的焦点F的直线交C于A，B两点，与抛物线C的准线交于点P，若成等差数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差中项得到，设直线方程为，联立抛物线方程，借助韦达定理，由焦点弦弦长公式得到，表达出，求出，得到答案. 【详解】由题意得，，抛物线的准线方程为， 因为过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，且与抛物线的准线相交， 所以直线的斜率存在且不为0，设直线方程为， 与联立得， 设，显然，则，， 故， 设直线倾斜角为，则， 所以， 故，解得， 故， 又，故，解得， 故. 故选：D 【点睛】方法点睛：我们在处理有关焦点弦，以及焦半径问题时长度问题时有以下几种方法； （1）常规处理手段，求交点坐标然后用距离公式，含参的问题不适合； （2）韦达定理结合弦长公式，这是此类问题处理的通法； （3）抛物线定义结合焦点弦公式. 5．（23-24高二上·山东青岛·期末）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据给定方程直接求出焦点坐标即得. 【详解】抛物线的焦点在y轴的正半轴上，坐标为. 故选：D 6．（23-24高二上·江西九江·期末）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线标准方程求出准线方程. 【详解】解：抛物线的焦点在轴上，且开口向右，，， 抛物线的准线方程为． 故选：B． 7．（23-24高二上·河南驻马店·期末）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程化为标准方程，然后可得. 【详解】将抛物线方程化为标准方程得， 所以，抛物线开口向上，且，故焦点坐标为. 故选：C 8．（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·期末）若抛物线的焦点到直线的距离为，则（    ） A．4 B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】先求出焦点坐标，再根据点到直线的距离公式计算即可. 【详解】抛物线的焦点为， 则点到直线的距离，解得. 故选：C. 9．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知点到抛物线的焦点的距离为，则该抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出抛物线的焦点的坐标，利用平面内两点间的距离公式求出的值，即可得出该抛物线的准线的方程. 【详解】抛物线的焦点为， 则，且，解得， 故该抛物线的准线方程为. 故选：C. 二、多选题 10．（23-24高二下·陕西榆林·期末）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为8 【答案】AC 【分析】依题意可得抛物线的方程为，即可得到其焦点坐标与准线方程，再根据抛物线的性质判断即可. 【详解】因为抛物线与抛物线关于轴对称，所以抛物线的方程为， 则抛物线的焦点坐标是，准线方程为，故A、C正确； 抛物线关于轴对称，故B错误；抛物线的焦点到准线的距离为4，故D错误. 故选：AC 11．（23-24高二上·江西景德镇·期末）设抛物线的焦点为，点是上不同的两点，则（    ） A．抛物线的准线方程为 B．若，那么点的横坐标为 C．若，则线段的中点到轴距离为4 D．以线段为直径的圆与轴相切 【答案】ABD 【分析】根据抛物线的定义以及方程对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】抛物线，对应，抛物线开口向上， 所以焦点为，准线方程为，A选项正确. B选项，若，根据抛物线的定义可知， 由得，B选项正确. C选项，若，根据抛物线的定义可知， 线段的中点到轴的距离为，所以C选项错误. D选项，设是的中点，则， 根据抛物线的定义可知，所以， 所以：以线段为直径的圆与轴相切，D选项正确. 故选：ABD    12．（23-24高二上·贵州毕节·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．焦点到准线的距离是4 C．若点的坐标为，则的最小值为6 D．若为线段的中点，则的坐标可以是 【答案】BCD 【分析】利用已知处理A,B，利用抛物线的定义处理C，利用点差法处理D即可. 【详解】 由题意得，焦点到准线的距离是4，故A错误，B正确； 对于C，如图，过点作垂直于准线，垂足为，则， 当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为6，故C正确； 对于D，假设的坐标是，设，则， 由直线交抛物线于两点，得两式相减得， 即，所以，即， 所以直线的方程为，即，将代入得， 所以直线过点，符合题意，所以的坐标可以是，故D正确， 故选;BCD. 三、填空题 13．（23-24高二下·上海闵行·期末）已知抛物线的方程为，则其准线方程为 ． 【答案】 【分析】由题意可知，且焦点在x轴的正半轴上，即可得准线方程. 【详解】由题意可知，且焦点在x轴的正半轴上， 所以其准线方程为. 故答案为：. 14．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知是抛物线上纵坐标为4的点，则与的焦点的距离为 . 【答案】 【分析】求出点P的坐标及焦点坐标，然后由抛物线的定义可得. 【详解】由C：可得的横坐标为， 抛物线的焦点坐标为，准线方程为： 由抛物线的定义可得，与的距离． 故答案为：． 15．（23-24高二上·贵州黔东南·期末）抛物线的准线方程为 ． 【答案】 【分析】根据题意，由抛物线的标准方程即可得到其准线方程. 【详解】因为，所以，所以抛物线的准线方程为． 故答案为： 抛物线的焦半径问题 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为（   ） A． B．5 C．6 D． 【答案】B 【分析】利用抛物线的定义，将点到抛物线焦点的距离转化为点到抛物线准线的距离即得. 【详解】依题意，由抛物线的定义知，点到抛物线焦点的距离即点到准线的距离， 即. 故选：B. 2．（23-24高二下·湖南·期末）设为抛物线的焦点，点为上一点，过作轴的垂线，垂足为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，进而可得，由求解. 【详解】因为为抛物线的焦点，所以，所以抛物线的焦点的坐标为， 由抛物线定义可知2， 又，所以，解得，故， 所以为原点， 从而. 故选：D. 3．（23-24高二上·浙江杭州·期末）设点，抛物线上的点P到y轴的距离为d．若的最小值为1，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】结合抛物线的定义得到关于的方程，解出即可. 【详解】抛物线，则焦点，准线， 最小时，即最小，根据抛物线的定义，， 所以只需求的最小值即可，当为线段与抛物线交点时， 最小，且最小值为，解得. 故选：C. 4．（23-24高二上·江西·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上（异于顶点），过的中点作直线的垂线交轴于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据条件得出直线NP的方程为，从而得到，再利用抛物线定义即可求出结果. 【详解】由题意有，设，则，直线OM的斜率为， 易得直线NP的方程为,令，得，即， 由抛物线的定义易得，所以．    故选：C. 5．（23-24高二上·安徽淮北·期末）已知抛物线的焦点，准线为是上一点，是直线与的交点，若，则（    ） A．4 B． C．或 D．或4 【答案】C 【分析】由得或，利用平面向量坐标的线性运算可求出点的横坐标，再利用抛物线的焦半径公式可求得的值. 【详解】依题意，焦点，准线，设点,， 由得或， ， 当时，，即，则； 当时，，，即，则. . 综上所述，的值为或. 故选：C. 6．（23-24高二上·河南郑州·期末）已知为抛物线：上一点，点到的焦点的距离为4，到轴的距离为3，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】B 【分析】根据抛物线定义得到方程，求出答案. 【详解】由抛物线定义得，解得. 故选：B 7．（23-24高二上·云南·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的交点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量坐标的线性运算结合可求出点的横坐标，再利用抛物线的焦半径公式可求得的值. 【详解】易知抛物线的焦点为，准线方程为，设点、， 因为，即，可得，解得，即点， 由抛物线的焦半径公式可得. 故选：A. 8．（23-24高二上·辽宁大连·期末）从抛物线上一点P作抛物线准线的垂线，垂足为M，设抛物线的焦点为F，若是正三角形，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】设，由，列出关系式求出，即可求出. 【详解】设，，，因为是正三角形，所以，因为， 所以即， 又因为，解得或（舍），所以. 故选：D.    二、多选题 9．（23-24高二下·河南·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，点是上位于第一象限的动点，点为与轴的交点，则下列说法正确的是（    ） A．到直线的距离为2 B．以为圆心，为半径的圆与相切 C．直线斜率的最大值为2 D．若，则的面积为2 【答案】ABD 【分析】A选项，求出焦点坐标和准线方程，得到答案；B选项，由抛物线焦半径公式可得B正确；C选项，当直线与抛物线相切时，的斜率取得最大值．设直线，联立抛物线方程，根据根的判别式得到方程，求出直线斜率的最大值；D选项，设，根据焦半径公式得到方程，求出，求出三角形面积. 【详解】A选项，易知，准线，所以到直线的距离为2，A选项正确； B选项，由抛物线的定义，点到准线的距离等于，所以以为圆心，为半径的圆与相切，B选项正确； C选项，当直线与抛物线相切时，的斜率取得最大值．设直线， 与抛物线联立可得：，令得：， 所以直线斜率的最大值为1，C选项错误； D选项，，设，则，解得， 所以的面积为，D选项正确. 故选：ABD． 10．（23-24高二上·福建漳州·期末）已知抛物线的焦点为，过原点的动直线交抛物线于另一点，交抛物线的准线于点，下列说法正确的是（   ） A．若，则为线段中点 B．若，则 C．存在直线，使得 D．面积的最小值为8 【答案】ABD 【分析】A选项，设，由焦半径公式求出，不妨设，进而求出；B选项，求出，利用焦半径公式求出；C选项，计算出，，求出，C错误；D选项，在C选项基础上得到，由基本不等式求出面积最小值. 【详解】A选项，由题意得，准线方程为， 设直线方程为，，， 由抛物线定义得，解得， 故，不妨设， 故直线方程为，则，，故， 所以为线段中点，A正确； B选项，设，则，又， 解得，故，B正确； C选项，联立与得，解得， 故，则， 中，令得，故， 则， 故不存在直线，使得，C错误；    D选项，由C选项可知， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故面积最小值为8，D正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 三、填空题 11．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于、两点，若，则 . 【答案】5 【分析】求出抛物线焦点坐标，设出直线的方程，与抛物线方程联立求出点的纵坐标即可得解. 【详解】抛物线的焦点为，设直线的方程，， 由消去得，则，由，得， 联立解得或，因此，所以. 故答案为：5 12．（23-24高二下·海南·期末）已知直线与抛物线在第一象限交于点，若点到的准线的距离为，则 . 【答案】3 【分析】先由直线方程与抛物线方程联方程组表示出点的横坐标，再根据抛物线的定义结合题意列方程可求出. 【详解】抛物线的准线方程为， 由，得，即， 解得或， 所以点的横坐标为， 因为点到的准线的距离为， 所以，解得. 故答案为：3 13．（23-24高二上·福建厦门·期末）已知抛物线的焦点为，是上一点，的面积为2，则 . 【答案】5 【分析】由的面积可得点的横坐标，再由抛物线定义可求. 【详解】由题意，，， ，，所以， 则， 由抛物线的定义知，. 故答案为：5. 生活中的抛物线问题 一、单选题 1．（23-24高二上·四川德阳·期末）一种卫星接收天线（如图①所示）的曲面是旋转抛物面（抛物线围绕其对称轴旋转而得的一种空间曲面，抛物线的对称轴、焦点、顶点分别称为旋转抛物面的轴线、焦点、顶点），已知卫星波束以平行于旋转抛物面的轴线的方式射入该卫星接收天线经反射后聚集到焦点处（如图②所示），已知该卫星接收天线的口径（直径）为6m，深度为1m，则其顶点到焦点的距离等于（    ） A． B． C．1m D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为，代入点求出，进而可得答案. 【详解】如图所示，以接收天线的轴截面所在平面上建立平面直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在上， 设抛物线的标准方程为， 由已知得在抛物线上，所以，得， 其顶点到焦点的距离等于. 故选：A. 2．（23-24高二上·广东·期末）如图1，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单､方向性强､工作频带宽等特点.图2是图1的轴截面，两点关于抛物线的对称轴对称，是抛物线的焦点，是馈源的方向角，记为，若，则到该抛物线顶点的距离为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，求出抛物线方程，利用几何意义求解即可. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，    设抛物线的方程为， 则，即， 所以，解得（舍去）或，则到顶点的距离为3. 故选：B 3．（23-24高二上·山东滨州·期末）如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽.当水面上升后，水面宽为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，先求抛物线方程，然后求解即可. 【详解】以拱形顶点为原点，建立如图所示平面直角坐标系，则， 设抛物线方程为， 则有，解得，得抛物线方程为， 令，则，得， 所以，当水面上升后，水面宽为m. 故选：C ， 二、多选题 4．（23-24高二上·山西长治·期末）如图所示是某家用汽车远光灯示意图，其中心截口曲线是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，且灯口直径是，灯深，则（    ） A．远光灯光线按照路径射向远处 B．光源到反光镜顶点的距离是 C．与抛物线对称轴垂直的光线长度为 D．灯口上任意一点到焦点的距离是 【答案】AD 【分析】根据题意结合抛物线方程和定义分析逐项分析求解. 【详解】对于选项A：根据题意可知：远光灯光线按照路径射向远处，故A正确； 如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系， 设抛物线方程为，可知， 可得，解得， 所以抛物线方程为，焦点坐标为， 对于选项B：光源到反光镜顶点的距离是，故B错误； 对于选项C：与抛物线对称轴垂直的光线长度为，故C错误； 对于选项D：灯口上任意一点到焦点的距离是，故D正确； 故选：AD. 三、填空题 5．（23-24高二上·广东广州·期末）如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水面下降0.5米后，水面宽 米． 【答案】 【分析】先建立直角坐标系，将点代入抛物线方程求得，得到抛物线方程，再把代入抛物线方程求得进而得到答案． 【详解】如图建立直角坐标系，设抛物线方程为， 将代入，得， ，代入，得， 故水面宽为． 故答案为： 6．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）如图所示的拋物线型拱桥，设水面宽米，拱顶距水面8米，一货船在水面上的部分的横截面为一矩形，若米，则不超过 米时，才能使货船通过拱桥． 【答案】 【分析】以抛物线顶点建立平面直角坐标系，求出抛物线方程后结合题意计算即可得. 【详解】 以拋物线顶点建立如图所示平面直角坐标系， 则，由，拱顶距水面8米，故， 设该抛物线方程为，有， 解得，即， 由，令，则，即， ，故不超过米时，才能使货船通过拱桥. 故答案为：. 7．（23-24高二上·北京通州·期末）如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于，已行车道AB总宽度，则车辆通过隧道的限制高度为 m． 【答案】/ 【分析】先求出抛物线的解析式，再根据题意判断该隧道能通过的车辆的最高高度即可得到结论. 【详解】取隧道截面，抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立直角坐标系， 设抛物线方程为，由图易知抛物线过点， 所以，得到，故抛物线方程为， 又行车道AB总宽度，将代入，得到， 所以限制高度为， 故答案为：. 四、解答题 8．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知某条河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米，一条木船宽4米，木船露出水面上的部分高为0.75米. (1)建立适当的坐标系，求拱桥所在抛物线的方程； (2)当水面上涨0.5米时，木船能否通行？ (3)当水面上涨多少米时，木船开始不能通行？ 【答案】(1) (2)能 (3)3 【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系并设出抛物线的方程，进而求出方程; （2）（3）根据已知条件及（1）的结论，结合点在抛物线上即可求解； 【详解】（1）以拱顶为原点，拱桥的对称轴为轴建立直角坐标系.如图所示    设抛物线的方程为，则 点在抛物线上，代入方程得， 所以抛物线的方程为. （2）当水面上涨0.5米时，木船与拱顶的距离为3.75米， 设，代入方程得，故，则 ， 所以木船能通行； （3）假设当水面上涨米时，木船开始不能通行，此时木船与拱桥接触，且与拱顶的距离为， 把代入方程，得， 故，由，得. 所以当水面上涨3米时，木船开始不能通行. 9．（23-24高二上·贵州铜仁·期末）如图，是抛物线型拱桥，当水面在时，水面宽16米，拱桥顶部离水面8米. (1)当拱顶离水面2米时，水面宽多少米？ (2)现有一艘船，可近似为长方体的船体高4.2米，吃水深2.7米（即水上部分高1.5米），船体宽为12米，前后长为80米，若河水足够深，要使这艘船能安全通过，则水面宽度至少应为多少米？（计算结果保留至小数点后一位，参考数据：） 【答案】(1)8米 (2)13.9米. 【分析】（1）合理建立直角坐标系，设出抛物线方程，根据题意求出参数，令即可求出水面宽度； （2）当时，求出拱顶与船顶的最近距离，加上船在水面以上的高度即令，从而求出水面的宽度. 【详解】（1）如图建立平面直角坐标系，设抛物线型拱桥的方程为（） 由题意，可知抛物线经过点，代入抛物线方程可得，即得， 所以抛物线方程为. 当拱顶离水面2米时，即，代入抛物线方程可得，即水面宽为8米. （2）由于船体宽12米，则当船体恰好能通过时，令米， 代入抛物线方程中，则，解得米， 即拱顶与船顶的最近距离为4.5米. 又因船在水面上部分高为1.5米，故拱顶离水面6米. 在抛物线方程中，令，则， 故，所以水面宽度至少应为13.9米. 抛物线的对称性及应用 一、单选题 1．（23-24高二下·福建厦门·期末）等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】正三角形的另外两个顶点关于轴对称，设另外两个顶点坐标分别是，把顶点代入抛物线方程化简即可求解. 【详解】设正三角形得边长为， 由图可知正三角形的另外两个顶点关于轴对称，可设另外两个顶点坐标分别是， 把顶点代入抛物线方程得解得， 所以正三角形的边长为. 故选：D. 2．（23-24高二上·福建厦门·期末）抛物线有一个重要的性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，此时反射面为抛物线在该点处的切线.过抛物线上的一点（异于原点）作的切线，过作的平行线交（为的焦点）于点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法1：由光学性质可知，即，结合由三角不等式可得答案；方法2：设，求出直线、的方程，联立方程可求得点坐标，再求可得答案. 【详解】方法1：如图，由光学性质可知：入射光线，反射光线轴，所以， 又，所以，因为轴，， 则有，所以，即， 由三角不等式可得， 即；    方法2：设，，易求得， 所以，，联立方程可求得， 所以， 即. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：在方法2中，解题的关键点是求出直线、的方程，联立方程可求得点坐标. 二、多选题 3．（23-24高二下·陕西榆林·期末）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为8 【答案】AC 【分析】依题意可得抛物线的方程为，即可得到其焦点坐标与准线方程，再根据抛物线的性质判断即可. 【详解】因为抛物线与抛物线关于轴对称，所以抛物线的方程为， 则抛物线的焦点坐标是，准线方程为，故A、C正确； 抛物线关于轴对称，故B错误；抛物线的焦点到准线的距离为4，故D错误. 故选：AC 三、填空题 4．（23-24高二上·广东广州·期末）抛物线有如下光学性质：由抛物线焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.如图，为坐标原点，抛物线，一条平行于轴的光线射向抛物线上的点（不同于点），反射后经过抛物线上另一点，再从点处沿直线射出.若直线的倾斜角为，则入射光线所在直线的方程为 ；反射光线所在直线的方程为 . 【答案】 【分析】首先得到直线的方程，联立直线与抛物线方程，求出点坐标，即可得到直线的方程，再求出直线的方程，联立直线与抛物线方程，求出点坐标，即可求出直线的方程. 【详解】抛物线的焦点为， 因为直线的倾斜角为，所以直线的方程为， 由，解得或，所以， 则入射光线所在直线的方程为， 则，所以直线的方程为， 由，解得或，所以， 则反射光线所在直线的方程为. 故答案为：， 直线与抛物线的位置关系 一、单选题 1．（23-24高二下·陕西安康·期末）已知是抛物线的准线，与轴交于点是上一点，直线的斜率的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】先设直线再根据直线和抛物线相切计算判别式为0，计算即可. 【详解】易知，当直线与相切时，设的方程为， 与联立，可得， 则，解得，故直线的斜率的最大值为1. 故选：A. 2．（23-24高二上·河南信阳·期末）直线与抛物线交于A，B两点，则（O为抛物线顶点）的值为（   ） A． B． C．4 D．12 【答案】B 【分析】联立直线与抛物线方程求得，从而利用平面向量数量积的坐标表示即可得解. 【详解】由，得，易得， 设，则， . 故选：B. 3．（23-24高二下·江西鹰潭·期末）抛物线在点处的切线的斜率为（    ） A．－1 B． C． D．1 【答案】C 【分析】设切线方程为，联立方程组，，可解. 【详解】根据题意，抛物线在点处的切线的斜率存在， 设切线方程为， 联立方程组，得， 则，解得. 故选：C 二、多选题 4．（23-24高二下·河北唐山·期末）已知抛物线过点，则（    ） A．拋物线的标准方程可能为 B．挞物线的标准方程可能为 C．过点与抛物线只有一个公共点的直线有一条 D．过点与抛物线只有一个公共点的直线有两条 【答案】ABD 【分析】根据题意设出抛物线的方程，利用点在抛物线上及直线与抛物线的位置关系即可求解. 【详解】对于选项A，当抛物线开口向右时，设抛物线的方程为，将代入抛物线中得，则拋物线的方程为，故A正确； 对于选项B，当抛物线开口向下时，设抛物线的方程为，将代入拋物线中得，则抛物线为，故B正确； 对于C、D选项，过点与对称轴平行的直线，以及抛物线在点处的切线都与抛物线只有一个公共点，故C错误，D正确. 故选：ABD. 5．（23-24高二下·山西晋城·期末）已知点在抛物线（）上，F为抛物线的焦点，，则下列说法正确的是（    ） A． B．点F的坐标为 C．直线AQ与抛物线相切 D． 【答案】AC 【分析】将代入抛物线可得，即可判断ABD,根据直线与抛物线联立后判别式为0，即可求解. 【详解】将代入中可得，故，,A正确，B错误， ,则AQ方程为，则，，故直线AQ与抛物线相切，C正确， 由于轴，所以不成立，故D错误， 故选：AC 6．（23-24高二上·湖北·期末）已知抛物线的焦点的坐标为，则（    ） A．准线的方程为 B．焦点到准线的距离为4 C．过点只有2条直线与拋物线有且只有一个公共点 D．抛物线与圆交于两点，则 【答案】BD 【分析】根据已知条件求出，再根据抛物线的几何性质逐一判断A、B两个选项，数形结合判断C选项，联立抛物线与圆的方程，求出交点坐标，根据两点间距离公式即可求出判断D选项. 【详解】因为抛物线的焦点的坐标为，所以抛物线焦点在轴上， ，准线的方程为，A错误； 焦点到准线的距离为，B正确；    如上图，过点的直线中有两条直线与抛物线相切， 还有与抛物线相交于一点，所以过点有条直线与拋物线有且 只有一个公共点，C错误； ，得，解得（舍），， 两交点为，故，D正确. 故选：BD 7．（23-24高二上·江西景德镇·期末）若直线被圆所截的弦长不小于2，则下列曲线中，与直线一定有公共点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据给定条件，结合圆的弦长公式求出原点到直线的距离范围，确定直线必过的区域，再逐项判断即可得解. 【详解】圆的圆心为原点，半径为，设点到直线的距离为， 由，得， 平面内到原点距离不大于的点的集合是以原点为圆心，为半径的圆及内部区域， 因此直线必过区域，以原点为圆心，为半径的圆方程为， 对于A，圆上的点到点的距离，显然，    因此圆内含于圆，则圆与直线一定有公共点，A是； 对于B，点在抛物线内，由消去得， 显然方程无解，即圆与抛物线无公共点，    因此圆在抛物线内，抛物线与直线一定有公共点，B是； 对于C，圆上的点在椭圆外，    直线与椭圆无公共点，而直线过区域，C不是； 对于D，圆上只有两点在双曲线上，其余点都在双曲线外，    直线与双曲线无公共点，而直线过区域，D不是. 故选：AB 【点睛】关键点睛：求出直线必过区域，再判断区域的边界曲线与各选项中曲线的位置关系是解决问题的关键. 8．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知抛物线的准线为，焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，于，则下列说法正确的是（    ） A．以为直径的圆与准线相切 B．若，则 C．设，则 D．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有3条 【答案】ACD 【分析】根据过焦点的直线与抛物线的相交的交点坐标关系、圆的几何性质逐项判断即可. 【详解】抛物线的准线为，即，抛物线C的方程为，焦点为， 过作于，，    以PQ为直径的圆的半径，线段PQ的中点坐标为， 则线段PQ的中点到准线的距离为，所以以PQ为直径的圆与准线l相切，A正确； 当时，，B错误； 抛物线的焦点为，， 当且仅当M，P，F三点共线时取等号，所以，C正确； 对于D，当直线斜率不存在时，直线与抛物线只有一个公共点， 当直线斜率存在时，设直线方程为，由消去x并整理得， 当时，方程的解为，此时直线与抛物线只有一个公共点， 当时，则，解得， 所以过点与抛物线C有且仅有一个公共点的直线有3条，D正确． 故选：ACD 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 三、填空题 9．（23-24高二上·辽宁·期末）已知点和抛物线，则过点A且与抛物线相切的直线的方程为 . 【答案】或 【分析】分直线斜率不存在和斜率存在两种情况，结合根的判别式得到方程，求出答案. 【详解】当过的直线斜率不存在时，方程为，与相切，满足要求， 当过的直线斜率存在时，设切线方程为，联立得， ， 令，解得， 故，即. 故答案为：或 四、解答题 10．（23-24高二下·云南玉溪·期末）在平面直角坐标系xOy中，点到点的距离与到直线的距离相等，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与相切于点，若点的纵坐标为2，求直线的方程. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据抛物线的定义确定抛物线的标准方程. （2）先确定切点坐标，设出切线方程，与抛物线方程联立，利用可求直线方程. 【详解】（1）设，因为点到定点与定直线的距离相等，故点轨迹为抛物线，且，开口向右， 所以点轨迹方程为：， 即的方程为. （2）如图： 设，带入的方程，解得， 设直线为， 联立，得 由直线与相切，可得 ， 解得， 直线的方程为. 11．（23-24高二下·湖南邵阳·期末）已知动点到直线的距离比它到定点的距离多1，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)若过点的直线与相交于两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线的定义理解动点轨迹，即可写出动点轨迹方程； （2）设出直线方程，代入抛物线方程，消元后得出韦达定理，由题设等式解得的值，检验即得. 【详解】（1）由动点到直线的距离比它到定点的距离多1， 知动点到直线的距离等于它到定点的距离， 故动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 故的方程为：. （2） 如图，由题意可设直线， 代入，消去得：. 显然有，设， 则. 由，知. 得或， 解得. 当时，直线经过原点，显然不合题意； 当时，直线，符合题意； 综上，所求直线的方程为：. 抛物线的弦长问题 一、单选题 1．（23-24高二下·广东茂名·期末）已知直线与抛物线：交于两点，则（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】证明直线过焦点，再利用焦半径公式和韦达定理即可得到答案. 【详解】将与抛物线联立得， 设， 显然抛物线焦点坐标为，令，即，则，则直线过焦点， 则. 故选：B. 2．（23-24高二上·江西上饶·期末）已知抛物线，弦过抛物线的焦点且满足，则弦的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点、，设直线的方程为，将该直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用平面向量的坐标运算结合可得出，代入韦达定理求出的值，再利用抛物线的焦点弦长公式可求得的值. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 设点、，    若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意； 设直线的方程为，联立可得， ，由韦达定理可得，， 因为，即，可得，即， 所以，，可得， ，所以，，则， 所以，. 故选：C. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 3．（23-24高二上·宁夏固原·期末）直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于不同的两点､，若，则弦的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】利用抛物线的焦点弦公式可求得弦的长. 【详解】抛物线的准线方程为， 因为直线过抛物线的焦点， 且与该抛物线交于不同的两点、， 则. 故选：D. 4．（23-24高二上·四川攀枝花·期末）已知直线与抛物线相交于，两点，若，则的最小值为（    ） A．4 B． C．8 D．16 【答案】B 【分析】根据已知条件设出直线的方程与抛物线联立方程组，再利用韦达定理得出根的关系，结合向量的数量积的坐标运算及弦长公式即可求解. 【详解】由题意可知，直线的斜率不可能为0，设直线的方程为， 由，消去，得 设，则， 所以. 因为， 所以，解得， 当且仅当即时，取的最小值为, 所以的最小值为. 故选：B. 【点睛】关键点睛：设出直线的方程与抛物线联立方程组，再利用韦达定理得出根的关系及向量的数量积的坐标运算及弦长公式即可. 5．（24-25高二上·北京朝阳·期末）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线与抛物线交于两点，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】将直线的方程与抛物线方程联立，得，由焦点弦长公式得弦长. 【详解】抛物线的焦点，直线的方程为， 联立方程组，得， 设，， 则，. 故选：D. 6．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知抛物线与过焦点的一条直线相交于，两点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点，则下列结论正确的是（    ） A．准线的方程是 B．以为直径的圆与轴相切 C．的最小值为 D．的面积最小值为 【答案】C 【分析】根据抛物线方程，结合准线定义即可判断A；当直线斜率不存在时，计算可得此时以为直径的圆不与轴相切，即可判断B；对于CD：分直线斜率存在以及不存在两种情况分别讨论，即可求解． 【详解】对于A：由抛物线的方程可知其焦点为，故准线的方程为：，故A错误. 对于B：当直线的斜率不存在时，即直线方程：，易得， 则以为直径的圆半径为，此时不与轴相切，故B错误. 对于C：当直线的斜率不存在时，易得，，； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，， 由，得， 得，，， ， 易知直线的方程为，由，得， ，， 综上所得，的最小值为，故C正确． 对于D：当直线的斜率不存在时，易得，， 所以； 当直线的斜率存在时，， 故当时，取得最小值，且此时最小值为，故D错误． 故选：C． 7．（23-24高二上·江西萍乡·期末）抛物线：（）的焦点为，准线为，过的直线与相交于，两点，且满足，在上的射影为，若的面积为，则的长为（    ） A． B． C． D．9 【答案】B 【分析】设直线的方程，与抛物线的方程联立，可得两根之和及两根之积，由向量的关系，可得，的横坐标关系，整理可得直线的斜率，再由的面积为，即，整理可得的值，进而求出弦长的大小. 【详解】由题意设直线的方程，设，设， 由，整理可得：，可得，， 因为，可得，代入，可得，再代入 ，可得，即， 设在准线上的射影分别为，的面积为， 所以， 即， 所以 即， 整理可得， 所以， 所以，解得，即, 所以. 故选：B 二、多选题 8．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知直线l：与抛物线C：交于A，B两点，O为坐标原点，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】将直线方程和抛物线方程联立根据韦达定理和抛物线的定义即可求出，利用向量的数量积公式并结合韦达定理可求出的余弦值即可判断选项、，将△分成以为底的两个同底三角形并结合韦达定理即可求解. 【详解】当时，，此时的焦点坐标为，直线也恒过点，设，， 将联立得，， 由韦达定理可知，， ， ， ∵， ∴，则错误； 由抛物线的定义可知，则正确； 当时，，此时的焦点坐标为，直线恒过点， 设，， 将联立得，， 由韦达定理可知，， ， ， 则，即， ∴，则正确； ，则正确； 故选：. 9．（23-24高二上·福建福州·期末）已知抛物线C：与圆O：交于A，B两点，且，直线过C的焦点F，且与C交于M，N两点，则下列说法中正确的是（    ） A．若直线的斜率为，则 B．的最小值为 C．若以MF为直径的圆与y轴的公共点为，则点M的横坐标为 D．若点，则的周长最小值为 【答案】BCD 【分析】求出抛物线的方程，得焦点坐标，设出直线的方程，与抛物线方程联立方程组应用韦达定理求弦长判断A，再根据韦达定理得出焦点弦的性质，然后利用基本不等式求解后判断B，作出大致图象，过点作准线的垂线，结合抛物线的定义判断C，过作准线的垂线（是垂足），写出三角形的周长，结合抛物线的定义转化后得出不等关系，从而可得最小值判断D． 【详解】抛物线C：与圆O：交于A，B两点，且， 则第一象限内的交点的纵坐标为，代入圆方程得横坐标为1，即， 所以，，即抛物线方程为，焦点为， 对选项A，设直线方程为，由得， 设，则，， ， 直线的斜率为时，，所以，A错误； 对选项B，由抛物线定义得 ， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因此的最小值为，B正确； 对选项C，如图，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，取的中点，过作轴垂线，垂足为， 则，是梯形的中位线， 由抛物线定义可得， 所以， 所以以为直径的圆与轴相切， 因此为切点，所以点纵坐标为1， 又是中点，所以点纵坐标为2， 而是抛物线上的点，因此其横坐标为1，C正确；    对选项D，过作垂直于抛物线的准线，垂足为， 所以的周长为， 当且仅当点的坐标为时取等号（即与准线垂直），D正确． 故选：BCD． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 10．（23-24高二上·山西吕梁·期末）设抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上不同的两点，且，则（　　） A． B．以线段为直径的圆必与准线相切 C．线段的长为定值 D．线段的中点到轴的距离为定值 【答案】AD 【分析】根据题意，求得抛物线及焦点，结合抛物线的几何性质，逐项判定，即可求解.， 【详解】对于A中，由抛物线的准线为，可得，解得， 所以抛物线的焦点为 且，所以A正确； 对于B中，如图，当线段过焦点时，过作， 取的中点作，可得， 此时以线段为直径的圆与准线相切， 因为直线不一定过抛物线的焦点，则不一定成立，故B错误. 对于C中，设， 由抛物线得的定义得，所以， 当直线过原点时，设，则，此时，可得， 当直线为时，可得，不妨设，可得， 所以的长不是定值，所以C错误； 对于D中，由，则线段的中点到轴的距离为，所以D正确. 故选：AD. 三、填空题 11．（23-24高二上·浙江台州·期末）已知抛物线和.点在上（点与原点不重合），过点作的两条切线，切点分别为，直线交于两点，则的值为 . 【答案】 【分析】设出直线方程，分别与抛物线，联立，结合判别式，韦达定理及弦长公式即可求解. 【详解】依题知直线的斜率存在且不为0， 设直线，， 联立，得， 则， ， 设过点的切线方程为， 则，得， 由，得， 故过点的切线方程为，即， 同理过点的切线方程为， 联立得，则点， 则，得， 设， 联立，得， ， ， . 故答案为：. 四、解答题 12．（23-24高二上·四川成都·期末）已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点是双曲线的右顶点. (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线相交于A、B两点，解决下列问题： （i）求弦长； （ii）求证：. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【分析】（1）求出双曲线右顶点，再求出抛物线的方程即得. （2）把直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合弦长公式及数量积的坐标表示求解即得. 【详解】（1）双曲线，即，其右顶点为，则抛物线的焦点为， 而抛物线的顶点是坐标原点，所以抛物线的方程：. （2）（i）设，， 由消去x得：，则，， 于是， 所以. （ii）显然，， 则，显然，即， 所以.    13．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知抛物线的焦点为，点是曲线上一点． (1)若，求点的坐标； (2)若直线与抛物线交于两点，且以为直径的圆过点，求. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）利用点是曲线上一点，结合抛物线的定义整理计算即可; （2）结合题意转化为，借助韦达定理得或，再借助弦长公式计算即可. 【详解】（1）由抛物线，可得焦点为， 由抛物线的定义可得， 而，所以，解得或. 当时，;当时，. 所以点的坐标为或. （2）设，联立方程，得， 所以，即, 且 由题知，， 整理得， 即，解得或， 当时，； 当时，. 综上所述：弦长的值为或. 14．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，双曲线的渐近线方程为． (1)求抛物线的标准方程和双曲线的标准方程． (2)斜率为2的直线与抛物线交于两点，与轴交于点，若，求． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）由双曲线渐近线方程求出，进而求出其右焦点即可得解. （2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，借助共线向量求出点的坐标即可. 【详解】（1）依题意，双曲线渐近线方程为：，于是，解得， 因此双曲线的标准方程为：，其右焦点为，则，解得， 所以抛物线的标准方程为，双曲线的标准方程为. （2）设的方程为：，则， 由消去得：，则，， 由，得，则，满足， 因此，，， 所以．    抛物线的中点弦问题 一、单选题 1．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出直线的斜率为，点两点的坐标，代入抛物线方程，作差，可得，又的中点为，即求出. 【详解】易知直线的斜率存在，设直线的斜率为， 则两式相减得，整理得， 因为的中点为，则， 所以，即直线的斜率为. 故选：D. 2．（23-24高二上·湖南·期末）过抛物线的焦点的直线与抛物线C相交于A，B两点，若线段中点的坐标为，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】 利用点差法及中点与焦点坐标分别表示直线的斜率，可建立关于的方程，求解可得. 【详解】 设，，则， 两式作差得，， 当时，则中点坐标为焦点，不满足题意； 当时，得． 设线段中点，因为坐标，且过焦点， 所以， 则的斜率， 解得． 故选：A. 二、多选题 3．（23-24高二下·湖南·期末）已知抛物线，直线过的焦点，且与交于两点，则（    ） A．的准线方程为 B．线段的长度的最小值为4 C．存在唯一直线，使得为线段的中点 D．以线段为直径的圆与的准线相切 【答案】BCD 【分析】由抛物线方程就可求出准线方程，即可判断A；设直线的方程为，，联立方程，利用韦达定理求出，进而可求出，再逐一判断BCD即可. 【详解】对于A，抛物线的准线方程为，故A错误； 对于B，， 由题意可得直线的斜率不等于零，设方程为，， 联立，消得，， 则，所以， 所以，时取等号， 所以线段的长度的最小值为4，故B正确； 对于C，由B选项得线段的中点坐标为， 若点为线段的中点， 则，解得， 所以存在唯一直线，使得为线段的中点，故C正确； 对于D，由C选项知线段的中点坐标为， 则中点到准线的距离为， 所以以线段为直径的圆与的准线相切，故D正确. 故选：BCD. 4．（23-24高二上·贵州毕节·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．焦点到准线的距离是4 C．若点的坐标为，则的最小值为6 D．若为线段的中点，则的坐标可以是 【答案】BCD 【分析】利用已知处理A,B，利用抛物线的定义处理C，利用点差法处理D即可. 【详解】 由题意得，焦点到准线的距离是4，故A错误，B正确； 对于C，如图，过点作垂直于准线，垂足为，则， 当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为6，故C正确； 对于D，假设的坐标是，设，则， 由直线交抛物线于两点，得两式相减得， 即，所以，即， 所以直线的方程为，即，将代入得， 所以直线过点，符合题意，所以的坐标可以是，故D正确， 故选;BCD. 5．（23-24高二上·广西玉林·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．焦点到准线的距离是2 C．若点的坐标为，则的最小值为2 D．若为线段中点，则的坐标可以是 【答案】BD 【分析】求出抛物线的交点坐标可判断A；由焦点到准线的距离可判断B；点作垂直于准线，垂足为，根据抛物线得定义结合图象即可判断C；假设Q的坐标是，利用点差法求出直线的方程，再判断焦点是否在直线上，即可判断D. 【详解】由题意，故A错误； 焦点到准线的距离是，B正确； 对于，过点作垂直于准线，垂足为， 则， 当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为3，故C错误； 对于D，假设的坐标是，设，则， 由，两式相减得，即， 所以，即，所以直线的方程为，即， 将代入得，所以直线过点，符合题意， 所以的坐标可以是，故D正确. 故选：BD. 6．（23-24高二上·宁夏银川·期末）抛物线的焦点为、为其上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于、两点，点M(2，2)，下列结论正确的是（ ） A．抛物线的方程为： B．抛物线的准线方程为： C．当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切 D．以M为中点的弦的直线方程为： 【答案】BCD 【分析】根据焦半径即可求解A，根据准线方程即可求解B，求解圆心和半径即可判断C，根据点差法求解直线的斜率，即可由点斜式求解直线方程. 【详解】对于A：当运动到时，，故，即抛物线为，故A错误； 对于B：由，故抛物线的准线方程为：，故B正确； 对于C：当直线过焦点时，设为，则， 故以为直径的圆的半径为，又，故以为直径的圆的圆心坐标为， 圆心到轴的距离与该圆半径相等，即该圆与轴相切,故C正确； 对于D：设M(2，2)是的中点, ，相减可得， 由于，故,又直线经过点,故直线方程为，则D正确. 故选：BCD. 7．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）经过抛物线：（）的焦点的直线交于两点，为坐标原点，设，（），的最小值是4，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若点是线段的中点，则直线的方程为 D．若，则直线的倾斜角为60° 【答案】BCD 【分析】设出直线的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，根据的最小值求得，由此逐项分析即可. 【详解】由题焦点，直线的斜率存在且不为零， 可设直线的方程为， 联立，得， 所以， 则， 则， 当时，等号成立， 所以，抛物线方程为， 所以， 则，故A错误； 又, 所以， ， 所以，故B正确； 若点是线段的中点， 则即， 所以直线的方程为，C正确； 若，则， 即， 所以， 又，所以， 化为， 解得，或（舍）， 又，故， 所以, 所以直线的斜率为， 直线的倾斜角为60°，故D正确， 故选：BCD. 三、填空题 8．（23-24高二上·山西朔州·期末）直线与抛物线交于两点，中点的横坐标为2，则 . 【答案】2 【分析】联立直线与抛物线方程，得到两根之和，从而得到方程，求出或，舍去不合要求的根. 【详解】若，此时与抛物线只有1个交点，不合题意， 故， 联立，整理得， 由0，解得， 设， 则 因为中点的横坐标为2，则， 故，解得（舍去）或， 所以. 故答案为：2 四、解答题 9．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知抛物线，为上的两个动点，直线的斜率为，线段的中点为. (1)证明：； (2)已知点，求面积的最大值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）结合题干条件，根据点差法即可证明； （2）分别求出，，再转化为，求导即可求出最值. 【详解】（1）设，，所以 所以， 又，，所以. （2）设直线的方程为，即， 联立，整理得， 所以，解得， ，， 则 . 又点A到直线的距离为， 所以， 记，因为，所以， 所以，． 令，，则，令，可得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，取得最大值，即. 焦点弦问题 一、单选题 1．（23-24高二下·广东茂名·期末）已知直线与抛物线：交于两点，则（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】证明直线过焦点，再利用焦半径公式和韦达定理即可得到答案. 【详解】将与抛物线联立得， 设， 显然抛物线焦点坐标为，令，即，则，则直线过焦点， 则. 故选：B. 2．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知抛物线与过焦点的一条直线相交于，两点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点，则下列结论正确的是（    ） A．准线的方程是 B．以为直径的圆与轴相切 C．的最小值为 D．的面积最小值为 【答案】C 【分析】根据抛物线方程，结合准线定义即可判断A；当直线斜率不存在时，计算可得此时以为直径的圆不与轴相切，即可判断B；对于CD：分直线斜率存在以及不存在两种情况分别讨论，即可求解． 【详解】对于A：由抛物线的方程可知其焦点为，故准线的方程为：，故A错误. 对于B：当直线的斜率不存在时，即直线方程：，易得， 则以为直径的圆半径为，此时不与轴相切，故B错误. 对于C：当直线的斜率不存在时，易得，，； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，， 由，得， 得，，， ， 易知直线的方程为，由，得， ，， 综上所得，的最小值为，故C正确． 对于D：当直线的斜率不存在时，易得，， 所以； 当直线的斜率存在时，， 故当时，取得最小值，且此时最小值为，故D错误． 故选：C． 3．（23-24高二上·浙江台州·期末）已知抛物线的焦点为,两点在抛物线上，并满足，过点作轴的垂线，垂足为，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】分过的直线斜率不存在和存在两种情况，设出直线方程，联立抛物线，得到两根之积，根据向量比例关系得到方程，求出，，从而得到方程，求出答案. 【详解】由题意得， 当过的直线斜率不存在时，，不合要求，舍去， 当过的直线斜率存在时，设为，联立得， ， 设，则， 因为，所以， 又，故，解得， 故，解得， 故，解得. 故选：B 4．（23-24高二上·陕西西安·期末）过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】联立方程得出韦达定理结合抛物线焦半径计算即可. 【详解】由题意，直线的斜率不为0，设过焦点的直线方程为，， 直线方程与抛物线方程联立，消去并整理得， 由韦达定理得，， ，故C正确． 故选:C． 5．（23-24高二上·湖北武汉·期末）过抛物线焦点的直线与此抛物线交于两点，且．抛物线的准线与轴交于点，过点作于点．若四边形的面积为，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】过点作于点，过点作于点，交轴于点，设，结合抛物线定义可得，由表示四边形的面积求出可得答案. 【详解】如图，不妨假定A在第一象限， 过点作于点，过点作于点，交轴于点， 设，则， 所以，， 因为，所以，可得， ，可得，所以， 则四边形的面积为， 解得，即. 故选：A. 二、多选题 6．（23-24高二下·河南驻马店·期末）点是抛物线的焦点，过点的直线与交于两点.分别在两点作的切线与，记，则下列选项正确的是（    ） A．为直角三角形 B． C． D．若，则 【答案】ABD 【分析】将抛物线的一部分视为函数，利用导数求出斜率，写出切线方程，并联立得到切点，再证明垂直判断A，针对斜率情况进行讨论，证明垂直判断B，利用基本不等式判断C，在特殊情况下求出关键点的坐标，检验等式判断D即可. 【详解】 对于A，设直线的方程为， 设点的坐标分别为， 令，联立，则 因此，当时，抛物线方程为， ，， 则在处的切线方程为， 同理在处的切线方程为， 联立，解得，， 因此M坐标为， ， 因此，所以是直角三角形，故A正确， 对于B，当直线斜率不存在时，此时，所以， 此时，，代入抛物线中得到， 解得，由对称性得到，所以， 根据对称性可得，此时是的中点， 根据三线合一的原理可知， 当直线斜率存在时，可得， 因此，故B正确， 对于C，， 当且仅当，即时取等，故C错误， 对于D，此时，解得，此时直线的斜率不存在， 所以，，， 则，， 故，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题考查解析几何，解题关键是将抛物线的一部分视为函数，利用导数得到切线斜率，然后合理联立方程联立求出切点，得到所要求的垂直关系即可． 7．（23-24高二下·湖南·期末）已知抛物线，直线过的焦点，且与交于两点，则（    ） A．的准线方程为 B．线段的长度的最小值为4 C．存在唯一直线，使得为线段的中点 D．以线段为直径的圆与的准线相切 【答案】BCD 【分析】由抛物线方程就可求出准线方程，即可判断A；设直线的方程为，，联立方程，利用韦达定理求出，进而可求出，再逐一判断BCD即可. 【详解】对于A，抛物线的准线方程为，故A错误； 对于B，， 由题意可得直线的斜率不等于零，设方程为，， 联立，消得，， 则，所以， 所以，时取等号， 所以线段的长度的最小值为4，故B正确； 对于C，由B选项得线段的中点坐标为， 若点为线段的中点， 则，解得， 所以存在唯一直线，使得为线段的中点，故C正确； 对于D，由C选项知线段的中点坐标为， 则中点到准线的距离为， 所以以线段为直径的圆与的准线相切，故D正确. 故选：BCD. 8．（23-24高二上·安徽黄山·期末）过抛物线的焦点作直线与抛物线交于两点，且，则下列说法正确的是（    ） A．直线的斜率之积为定值 B．直线交抛物线的准线于点，若，则直线l的斜率为 C．若，则抛物线的准线方程为 D．直线交抛物线的准线于点，则直线轴 【答案】ACD 【分析】 对于选项A:设直线：并与抛物线联立，借助韦达定理即可判断；对于选项B:利用，求出，结合斜率公式即可判断；对于选项C:结合题意可得，利用抛物线的定义即可判断；对于选项D: 计算点的纵坐标与点的纵坐标，即可判断. 【详解】对于选项A:结合题意：连接， 易知直线的斜率不为，故可设直线：， 且设两点的坐标分别为 联立可得， 所以， 所以， 所以.故选项A正确；    对于选项B:过点作垂直准线于,设准线与轴的交点为， 易得,因为，所以, 由，由抛物线的定义可知：, 所以， 直线l的斜率为, 同理结合抛物线的对称性可知：直线l斜率，故选项B错误；    对于选项C:过点作垂直轴于点，过点作垂直准线于点, 因为，所以, 所以点， 结合抛物线的定义可知解得， 故抛物线的准线方程为，故选项C正确；    对于选项D: 设两点的坐标分别为 因为点在抛物线上，所以，所以点， 所以，故直线的方程为， 联立，解得，所以点， 所以点的纵坐标为， 结合选项A可知，所以，所以点的纵坐标为， 因为点的纵坐标与点的纵坐标相等，所以直线轴.故选项D正确.    故选：ACD. 【点睛】方法点睛： 1.根据抛物线的定义，可以得出一个结论：抛物线上的任意一点P到焦点F的距离都等于点P到准线的距离，这个结论是抛物线最重要的一条性质，很多有关抛物线的填空题和选择题都是围绕这条性质设计； 2.何时使用定义：一般情况下，当题意中出现了"抛物线上的点与焦点的连线”或者出现了“抛物线上的点到准线（或垂直于抛物线对称轴的直线）的距离”的时候，都要优先考虑使用抛物线的定义来解题； 3.抛物线的标准方程的表达式中含有一次项，根据这个特点，设抛物线上的点P的坐标就可以用一个变量进行表示，再结合相关的已知信息进行运算. 9．（23-24高二上·江西景德镇·期末）设抛物线的焦点为，点是上不同的两点，则（    ） A．抛物线的准线方程为 B．若，那么点的横坐标为 C．若，则线段的中点到轴距离为4 D．以线段为直径的圆与轴相切 【答案】ABD 【分析】根据抛物线的定义以及方程对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】抛物线，对应，抛物线开口向上， 所以焦点为，准线方程为，A选项正确. B选项，若，根据抛物线的定义可知， 由得，B选项正确. C选项，若，根据抛物线的定义可知， 线段的中点到轴的距离为，所以C选项错误. D选项，设是的中点，则， 根据抛物线的定义可知，所以， 所以：以线段为直径的圆与轴相切，D选项正确. 故选：ABD    10．（23-24高二上·山西吕梁·期末）设抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上不同的两点，且，则（　　） A． B．以线段为直径的圆必与准线相切 C．线段的长为定值 D．线段的中点到轴的距离为定值 【答案】AD 【分析】根据题意，求得抛物线及焦点，结合抛物线的几何性质，逐项判定，即可求解.， 【详解】对于A中，由抛物线的准线为，可得，解得， 所以抛物线的焦点为 且，所以A正确； 对于B中，如图，当线段过焦点时，过作， 取的中点作，可得， 此时以线段为直径的圆与准线相切， 因为直线不一定过抛物线的焦点，则不一定成立，故B错误. 对于C中，设， 由抛物线得的定义得，所以， 当直线过原点时，设，则，此时，可得， 当直线为时，可得，不妨设，可得， 所以的长不是定值，所以C错误； 对于D中，由，则线段的中点到轴的距离为，所以D正确. 故选：AD. 11．（23-24高二上·云南昭通·期末）已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），，则（    ） A． B． C．最小值为4 D．当直线的倾斜角为时，与面积之比为3 【答案】BCD 【分析】由抛物线的几何性质，即可判断A；利用方程联立，由焦半径和焦点弦长公式，结合韦达定理，即可判断BC，直线方程与抛物线方程联立，求点的坐标，即可判断D. 【详解】由题意可知，，所以，故A错误； 当直线的斜率存在时，设直线，， 联立，得， 其中，， ， 当直线的斜率不存在时，，此时，故B正确； 直线的斜率存在时，，当直线的斜率不存在时，，所以最小值为4，故C正确； 设直线， 联立，得，得或， 由题意可知，，, 所以,故D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是灵活应用焦半径和焦点弦长公式，利用韦达定理，变形公式. 三、填空题 12．（23-24高二下·贵州铜仁·期末）已知抛物线的焦点为，则 ；若斜率为的直线过焦点且与抛物线交于两点，的中垂线交轴于点，则 ． 【答案】 8 2 【分析】由抛物线的焦点坐标可得的值；设直线的方程与抛物线联立，可得的中点的坐标，进行求出的中垂线的方程，进行求出的值，再由抛物线的性质可得的值，即可求解． 【详解】如图所示： 由抛物线的方程可得焦点坐标为， 由题意可得，所以； 所以抛物线的方程为：， 设直线的方程为： ，设， 联立直线与抛物线的方程： ，整理可得：，, 则，所以的中点的横坐标为， 所以的中点的纵坐标为：， 所以的中垂线的方程为：， 令，可得，所以N的横坐标为：， 所以， 由抛物线的性质可得，， 所以， 故答案为：8，2 【点睛】关键点点睛：本题第二空的关键是采用设线法得到韦达定理式，再利用焦点弦公式即可得到答案. 13．（23-24高二下·陕西西安·期末）已知点M在抛物线上，抛物线C的准线与x轴交于点K，线段MK的中点N也在抛物线C上，抛物线C的焦点为F，若，则 ． ． 【答案】 12 18 【分析】利用是的中位线得，是的中位线得，再由抛物线得定义得，共同推得，求得即得. 【详解】根据题意可得图形， 由已知得ON是的中位线，可知． 过M，N向准线做垂线，垂足分别为，， 同理是的中位线，． 由抛物线的定义知，，因此，N点的横坐标是， 所以，得． 因为，所以． 故答案为：12；18. 抛物线中的最值范围问题 一、单选题 1．（23-24高二上·安徽六安·期末）抛物线上到直线距离最近的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设点坐标，然后利用点到直线距离求解即可. 【详解】因为所求点在抛物线上， 所以设所求点为：， 所以点到直线距离为： ， 当且仅当时，有最小值， 此时， 故选：B. 2．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知A，B，C是抛物线上的三点，且，若，则点A到直线BC的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将代入抛物线方程，得到，得到，设，由求出，设直线的方程为，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，从而得到，得到直线恒过定点，求出距离最大值. 【详解】将代入中得，，解得，故， 设，由题意得， 其中，， 故，即， 故，即， 设直线的方程为，联立抛物线方程得， ，则， 故，解得， 所以直线的方程为，恒过定点， 故点A到直线BC的距离最大值. 为取等号，，因为，以，满足, 故选：C 3．（23-24高二上·江西·期末）已知点是抛物线上的动点，则直线的斜率的最大值是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】设直线的方程为，联立抛物线方程，由建立关于k的不等式，解之即可求解. 【详解】设直线的斜率为k，则直线的方程为， 由题意得直线与抛物线C有交点，联立方程， 得， 当时，，即； 当时，，解得且， 综上所述，k的最大值为． 故选：D． 4．（23-24高二上·辽宁大连·期末）抛物线上有三点，且直线的斜率大于零，，点为三角形的重心，若直线横截距的范围为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，由重心的性质可得，进而，直线方程联立抛物线方程，利用根的判别式和韦达定理可得，，结合直线的横截距为以及一次函数、反比例函数的性质即可求解. 【详解】由题意知，设，则， 又为的重心，所以， 得，代入方程，得①. 设直线AB方程为， ，消去y，得， ，得，， 代入①，得，即，则，解得， 所以，解得. 对于，令，得， 又函数在上单调递增，所以函数在上单调递增， 当时，， 即. 故选：A . 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 二、多选题 5．（23-24高二上·山西大同·期末）已知点是焦点为的抛物线上的一个动点，，则（   ） A．的最小值为1 B．的最小值为4 C．的最小值为3 D．的最大值为 【答案】AB 【分析】根据抛物线的焦半径公式，即可求解AB ,根据两点距离公式，结合二次函数的性质即可求解C，根据两点斜率公式，结合正切的和差角公式，分类讨论，利用导数求解函数的最值，即可求解D. 【详解】由抛物线方程，得其焦点，准线方程为，过作于点，则，显然当在坐标原点时有最小值，此时，即的最小值为1，所以A正确； 由于，故当三点共线时，即在坐标原点时有最小值，此时，即的最小值为4，所以B正确； 对于C选项， 设，则，当时，取得最小值，最小值为，所以C错误． 对于D选项， 根据抛物线的对称性，不妨设， 若，则，，，所以； 若，则，，，所以； 若且，此时且， ，，所以， 因为，所以，即． 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增． 所以．此时有最大值为1．而，则． 综上，的最大值为．所以D错误． 故选:AB． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值. 6．（23-24高二上·重庆·期末）已知抛物线上存在两个不同的点关于直线对称，直线与轴交于点，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标为 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于A：直接化为抛物线的标准式，进而可得焦点；对于B：利用点在抛物线上，的中点在直线上以及综合计算可得；对于C：设的中点为，根据点在抛物线内部列不等式求解；对于D：写出直线的方程，求出，利用选项C中的范围来求解. 【详解】对于A：抛物线，即，其焦点坐标为，A正确； 对于B：，即①， 又②，且③，④， 将③④代入②可得 代入①得，B正确； 对于C：设的中点为，则， 由，得，其在抛物线内部， 即，可得，C错误； 对于D：直线的方程为， 令得，因为，所以，D正确； 故选：ABD . 三、填空题 7．（23-24高二下·湖南岳阳·期末）抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于A、B两点，抛物线在A、B处的切线交于点，则的最小值为 . 【答案】9 【分析】设直线方程为，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，求出，再结合导数的几何意义得到在A、B处的切线方程，联立后求出的坐标，从而得到，从而表达出，结合对勾函数单调性得到最值. 【详解】由题意得，当直线斜率为0时，不满足与抛物线交于两个点， 设直线方程为，联立得，， 设，， 则， 故，， 故， ，，故过的切线方程为， 同理可得过点的切线方程为， 联立与得 ， 故 ， 故， ，则， 故， 其中，由在上单调递增， 故当，即时，取得最小值， 最小值为. 故答案为：9 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 8．（23-24高二上·浙江舟山·期末）曲线上动点与构成，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由对称性，不妨考虑点在轴或其上方，即设，得，作轴于点，则，用坐标表示出，然后求得最小值，由最小值不小于8得结论． 【详解】由对称性，不妨考虑点在轴或其上方，即设，， ，则， 作轴于点，则， 所以梯形 ， 当，即时，时，， 由得，无解， 当即时，时，，满足题意， 综上，．    【点睛】思路点睛：设出点坐标为，通过作垂线，构造直角三角形和直角梯形，从而用点的坐标表示出三角形的面积，然后结合二次函数知识求得面积最小值， 9．（23-24高二上·湖北·期末）如图所示，抛物线的焦点为，过点的直线与分别相交于和，直线过点，当直线垂直于轴时，，则的方程为 ；设直线的倾斜角分别为，则的最大值为 . 【答案】 ； 【分析】根据抛物线焦半径公式，由即可求得，从而得到抛物线方程；设出方程，根据直线过的定点，从而求得的关系，以及的关系，对分类讨论，即可求得的最大值. 【详解】当垂直于轴时，，此时，可得， 故的方程为：； 对抛物线上的任意两点， 若直线斜率存在，则， 故直线方程为：，即 也即，又， 故方程为：； 若直线斜率不存在，，， 显然此时，直线方程亦可表示为：； 综上所述，方程可表示为：； 又直线过点，则； 设两点坐标为， 同理可得直线方程为：， 直线方程为：， 又直线过点，则； 又直线过点，则； 综上可得：， 若直线斜率存在，设斜率为， 则， 显然， 当时，不满足题意； 当时，由，， 则， 当且仅当，也即时取得等号； 当时，易知，故此时， ； 当时，， 则. 综上所述：的最大值为. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：解决第二空的关键是能够准确寻求到的关系，以及的关系，特别的，抛物线上任意两点构成直线的方程亦可表示为：，可大大提高计算效率. 四、解答题 10．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知抛物线的焦点到直线的距离为为直线上的动点，过点作直线分别与相切于点. (1)求的方程； (2)证明：直线过定点； (3)若直线分别交轴于点，求的最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3). 【分析】（1）利用点到直线的距离即可求出p，即得答案； （2）设直线MN方程，联立抛物线方程，可得根与系数关系式，结合导数的几何意义可得切线的方程，求出P点坐标，即可求得参数之间的关系，进而证明结论； （3）结合（2）求出的表达式，利用二次函数性质即可求得答案. 【详解】（1）由题意知， 结合，解得. 故的方程为. （2）证明：根据题意，直线的斜率存在，设其方程为. 联立，得. . 由可得，所以，因此的斜率分别为， 的方程分别为， 整理得， 联立的方程，解得，即. 因为点在直线上，所以， 所以直线的方程为， 故直线过定点. （3）由（2）可知与轴的交点横坐标分别为. 因为， 当时取等号， 故的最小值为. 【点睛】易错点点睛：解答此类圆锥曲线问题，要注意解题思路，这并不困难，一般利用联立方程即可求解，容易出错的地方在于计算比较复杂，并且基本都是字母参数的运算，计算量大，很容易出现计算错误. 11．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线（斜率为正数）与由左至右交于、两点，连接并延长交于点． (1)证明：； (2)当的内切圆半径时，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设直线的方程为，设点、，，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，计算，即可证得结论成立； （2）由（1）可知，的内切圆圆心在轴上，设圆心的坐标为，则，设直线的方程为，将该直线方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出直线的方程，利用内切圆圆心的几何性质可得出，进而可得出的取值范围，再利用弦长公式结合韦达定理可求得的取值范围. 【详解】（1）解：易知抛物线的焦点为， 若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、，， 则，由得，， 由韦达定理可得，， 则 ，所以． （2）解：由（1）可知：的内切圆圆心在轴上， 所以设圆心，则，设直线的方程为，且， 由得，，且，则， 由韦达定理可得，， 所以， 所以直线的方程为，即． 因为点到直线的距离等于点到直线的距离，所以， 所以，，， 则，上述两个等式作差可得，可得， 所以， 因为在上单调减，所以． 所以. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 12．（23-24高二上·江苏常州·期末）如图，已知抛物线的方程为，焦点为，过抛物线内一点作抛物线准线的垂线，垂足为，与抛物线交于点，已知，，. (1)求的值； (2)斜率为的直线过点，且与曲线交于不同的两点，，若存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）先得到，由抛物线定义得到方程，求出，设，则，作出辅助线，得到，从而得到方程，求出答案； （2）设出直线方程，联立抛物线，得到两根之和，两根之积，由得，求出，转化为对有解，而，所以，求出解集，因为，所以. 【详解】（1）因为，，则在中，， 由抛物线的定义得，， 故，则，即， 设，则，解得， 过点作⊥于点， 因为，所以， 因为，所以， 故，， 所以，解得； （2）由（1）可知抛物线方程为：，设，， 设，联立，整理得：， 因为，所以， 由韦达定理得，， 因为，则，故， 故， 将代入（*）式得， 因为存在，使得， 所以有对有解， 而，所以， 解得，或， 因为，所以. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 抛物线中的定点定值问题 一、单选题 1．（23-24高二下·安徽安庆·期末）已知抛物线C：内有一点，过点A作直线l与该抛物线交于P、Q两点，经过点和点Q的直线与该抛物线交于另一点T，则直线PT过定点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两个已知点在直线上，代入直线方程得出，然后简化直线PT的的直线方程为，从而得解. 【详解】由题意，斜率都存在， 设，，， 直线l的斜率， 直线l方程：，化简得 同理直线QT方程：，直线PT的方程：， 点，分别代入直线QP，QT方程， 即，消除，得， 代入直线PT方程：，得， 直线PT过定点. 故选：C 2．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，直线，分别于抛物线交于点，．设直线，的斜率分别为，，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】因为，设，，，，的方程为，通过联立直线与抛物线解得的纵坐标，同理得到的纵坐标，再根据斜率公式得到，整理得，设直线为，联立方程结合韦达定理可得答案. 【详解】抛物线的焦点为， 由题意可知：可知直线与抛物线必相交， 设，，，， 则， 设的方程为， 联立方程，消去并整理得， 根据韦达定理得，即， 同理可得，则， 可得， 设直线为， 联立方程，消去并整理得， 根据韦达定理得，所以. 故选：A. 3．（23-24高二上·上海·期末）已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于,，且直线OA,OB的斜率分别为,，则,,中有（    ）个值为定值 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据直线是否存在斜率进行分类讨论，当存在斜率时，将直线方程与抛物线方程联立，利用一元二次方程根与系数的关系进行验证即可，当不存在斜率时，直接求出坐标，，再进行验证. 【详解】设直线的方程为，即． 代入，得，则． 又． 若直线与x轴垂直，由，得． 可求得，则． 故均为定值． 故选：D 二、多选题 4．（23-24高二上·安徽黄山·期末）过抛物线的焦点作直线与抛物线交于两点，且，则下列说法正确的是（    ） A．直线的斜率之积为定值 B．直线交抛物线的准线于点，若，则直线l的斜率为 C．若，则抛物线的准线方程为 D．直线交抛物线的准线于点，则直线轴 【答案】ACD 【分析】 对于选项A:设直线：并与抛物线联立，借助韦达定理即可判断；对于选项B:利用，求出，结合斜率公式即可判断；对于选项C:结合题意可得，利用抛物线的定义即可判断；对于选项D: 计算点的纵坐标与点的纵坐标，即可判断. 【详解】对于选项A:结合题意：连接， 易知直线的斜率不为，故可设直线：， 且设两点的坐标分别为 联立可得， 所以， 所以， 所以.故选项A正确；    对于选项B:过点作垂直准线于,设准线与轴的交点为， 易得,因为，所以, 由，由抛物线的定义可知：, 所以， 直线l的斜率为, 同理结合抛物线的对称性可知：直线l斜率，故选项B错误；    对于选项C:过点作垂直轴于点，过点作垂直准线于点, 因为，所以, 所以点， 结合抛物线的定义可知解得， 故抛物线的准线方程为，故选项C正确；    对于选项D: 设两点的坐标分别为 因为点在抛物线上，所以，所以点， 所以，故直线的方程为， 联立，解得，所以点， 所以点的纵坐标为， 结合选项A可知，所以，所以点的纵坐标为， 因为点的纵坐标与点的纵坐标相等，所以直线轴.故选项D正确.    故选：ACD. 【点睛】方法点睛： 1.根据抛物线的定义，可以得出一个结论：抛物线上的任意一点P到焦点F的距离都等于点P到准线的距离，这个结论是抛物线最重要的一条性质，很多有关抛物线的填空题和选择题都是围绕这条性质设计； 2.何时使用定义：一般情况下，当题意中出现了"抛物线上的点与焦点的连线”或者出现了“抛物线上的点到准线（或垂直于抛物线对称轴的直线）的距离”的时候，都要优先考虑使用抛物线的定义来解题； 3.抛物线的标准方程的表达式中含有一次项，根据这个特点，设抛物线上的点P的坐标就可以用一个变量进行表示，再结合相关的已知信息进行运算. 5．（23-24高二上·山西吕梁·期末）设抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上不同的两点，且，则（　　） A． B．以线段为直径的圆必与准线相切 C．线段的长为定值 D．线段的中点到轴的距离为定值 【答案】AD 【分析】根据题意，求得抛物线及焦点，结合抛物线的几何性质，逐项判定，即可求解.， 【详解】对于A中，由抛物线的准线为，可得，解得， 所以抛物线的焦点为 且，所以A正确； 对于B中，如图，当线段过焦点时，过作， 取的中点作，可得， 此时以线段为直径的圆与准线相切， 因为直线不一定过抛物线的焦点，则不一定成立，故B错误. 对于C中，设， 由抛物线得的定义得，所以， 当直线过原点时，设，则，此时，可得， 当直线为时，可得，不妨设，可得， 所以的长不是定值，所以C错误； 对于D中，由，则线段的中点到轴的距离为，所以D正确. 故选：AD. 6．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知、为抛物线 上两点，以 为切点的抛物线的两条切线交于点 ，设以 为切点的抛物线的切线斜率为，，过 的直线斜率为 ，则以下结论正确的有（    ） A．，，成等差数列 B．若点在抛物线的准线上，则不是直角三角形 C．若点在直线上，则直线恒过定点 D．若点在抛物线上，则面积的最大值为2 【答案】AC 【分析】首先利用导数求，，并求直线方程，代入点的坐标后，利用韦达定理，表示，即可证明A；利用的值，即可判断B；利用直线的斜率，以及表示直线的方程，即可判断C；利用韦达定理表示弦长，以及点到直线的距离，即可判断的面积，即可判断D. 【详解】设，，由，得， 故，， 所以切线的方程为，即， 同理，切线的方程为， 设点坐标为，所以，， 从而为方程的两根，故，， , 故，，成等差数列，故A正确； 若点在抛物线的准线上，则，，故两切线垂直， 则为直角三角形，故B错误； 若点在直线上，则， 直线的方程为，即， 由于，故直线的方程为，即， 从而直线恒过定点，故C正确； 由点满足， 且由A选项可知，，， 所以， 且直线的方程为， 点到直线的距离， 所以的面积为， 所以面积的为定值2，故D错误. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：本题A选项是关键，由A可判断直线的斜率，以及直线方程，对其他选项的判断都有帮助. 7．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知为抛物线的焦点，直线过点且与交于两点，为坐标原点，则（    ） A．的最小值为 B．以线段为直径的圆与的准线相离 C．的面积为定值 D． 【答案】BD 【分析】对于A，由抛物线定义验证即可；对于B，由抛物线定义结合三角形三边关系即可判断；对于C，的面积为，由此即可判断；对于D，由韦达定理结合直线垂直的代数判定即可验证. 【详解】 设. 对于A，若，则与坐标原点重合，直线为轴，与不可能有两个交点，故A错误； 对于B，如图，设的中点为，过分别向准线引垂线，垂足分别为，则， 因此以线段为直径的圆与的准线相离，故B正确； 对于C，的面积为为定值，显然不是定值，故C错误； 对于D，由题意，直线斜率不为0，设直线的方程为，联立与，得， 从而根据根与系数的关系得此时， 因此，故D正确. 故选：BD. 【点睛】关键点睛：判断C选项的关键是由表达式并结合图形，判断B选项的关键是结合抛物线的定义以及三角形三边关系. 三、解答题 8．（23-24高二下·贵州黔南·期末）已知抛物线经过点． (1)求抛物线C的方程及其准线方程； (2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点． 【答案】(1)抛物线方程为，准线方程为 (2)证明见解析 【分析】（1）由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程； （2）联立准线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径，从而确定圆的方程，最后令即可证得题中的结论. 【详解】（1）将点代入抛物线方程得，解得， 故抛物线方程为． 其准线方程为 （2）证明：因为直线l的斜率不为0，焦点坐标为，设直线l的方程为. 与抛物线方程联立可得． 故． 设，则， 直线OM的方程为，与联立，可得，同理可得． 易知以AB为直径的圆的圆心坐标为， 圆的半径为， 则圆的方程为． 令，整理可得，解得， 即以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点． 9．（23-24高二下·安徽亳州·期末）已知为坐标原点，是抛物线上与点不重合的任意一点． (1)设抛物线的焦点为，若以为圆心，为半径的圆交的准线于两点，且的面积为，求圆的方程； (2)若是拋物线上的另外一点，非零向量满足，证明：直线必经过一个定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出，点到准线的距离，利用求出可得答案； （2）方法一，对两边平方得，设，设直线的方程为，结合抛物线方程得，再由可得答案；方法二，对两边平方得，设，设直线的方程为与抛物线方程联立，利用韦达定理结合可得答案. 【详解】（1）准线为到的距离是．由对称性知， 是等腰直角三角形，斜边， 点到准线的距离， ，解得， 故圆的方程为； （2）方法一，因为， 所以， 所以， 设在抛物线上， 则． 显然直线的斜率存在， 则直线的方程为， 将代入得，， 即， 令，得，    由得，， 因为（否则，有一个为零向量）， 所以，代入式可得， 故直线经过定点． 方法二，因为，所以， 设在拋物线上， 则， 显然直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立消去得到， ， 由得，， 因为（否则，有一个为零向量）， 所以，即， 因此就是．故直线经过定点． 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 10．（23-24高二下·湖南郴州·期末）已知是抛物线上一点，是抛物线的焦点，已知， (1)求抛物线的方程及的值； (2)当在第一象限时，为坐标原点，是抛物线上一点，且的面积为1，求点的坐标； (3)满足第（2）问的条件下的点中，设平行于的两个点分别记为，问抛物线的准线上是否存在一点使得，. 【答案】(1)， (2)或或 (3)不存在，理由见解析. 【分析】（1）根据焦半径可求出抛物线方程进而可求； （2）设点的坐标为根据的面积为1，得出边上的高为，利用到直线的距离公式可得，，再把点的坐标代入抛物线方程即可求解； （3）将转化为以为直径的圆与准线的位置关系来进行判断. 【详解】（1）由题意，解得，因此抛物线的方程为 点在抛物线上可得，故 （2）设点的坐标为边上的高为，我们知道的面积是：， 所以，， 直线的方程是，利用到直线的距离公式可得：， 化简得：，由于点在抛物线上，即， 代入条件可得：， 可以得到或， 解这个方程可以得到或， 代入拋物线方程可以得到：或或 综上所述，点的坐标有三个可能的值： （3）不存在，理由如下： 因为由（1）（2）知点，则的斜率为， 所以平行于的两个点分别记为，其斜率， 所以可得 则的中点， 若，则点在以为圆心，为半径的圆上， 到准线的距离等于，因为 所以，以为圆心为半径的圆与准线相离，故不存在点满足题设条件. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线的关于求点坐标的问题，往往需要设点的坐标，根据题目的已知条件寻找所设的点横纵坐标关系等. 11．（23-24高二下·福建福州·期末）已知抛物线，其焦点为，点在抛物线C上，且． (1)求抛物线的方程； (2)为坐标原点，为抛物线上不同的两点，且，求证：直线过定点； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用焦半径公式建立方程，解出参数，得到抛物线方程即可； （2）设出直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理代入的坐标运算可得答案. 【详解】（1）抛物线，, 其焦点为，准线方程为， 可得，且， 解得，或（舍去），， 则抛物线的方程为； （2）如图，设直线的方程为，， 联立，可得， 则，又，所以， 由，可得即，解得，或（舍去）， 所以直线恒过定点. 12．（23-24高二下·广东·期末）设点为抛物线的焦点，过点且斜率为的直线与交于两点（为坐标原点）． (1)求抛物线的方程； (2)过点作两条斜率分别为的直线，它们分别与抛物线交于点和．已知，问：是否存在实数，使得为定值？若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在 【分析】（1）写出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合三角形面积，即可求解； （2）联立直线与抛物线的方程，结合弦长公式，求出，由已知建立关系推理，即可说明理由. 【详解】（1）物线的焦点为， 直线的方程， 由，得， 设， 所以， 所以， 所以，且 所以， 所以抛物线的方程为． （2）存在，使得为定值， 由题意可得直线的方程，直线的方程为， 联立，得， 设， 所以， ， 所以， 设， 同理可得， 所以， 由，得， 即，而， 所以， 所以存在，使得为定值0． 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用坐标表示弦长，并结合韦达定理，即可求解. 13．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知P是抛物线的准线上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为． (1)若点P纵坐标为0，求此时抛物线C的切线方程； (2)设直线的斜率分别为，求证：为定值． 【答案】(1)和 (2)证明见解析 【分析】（1）由抛物线性质得到点，直曲联立，令判别式得零，解出斜率，得到切线方程； （2）由点斜式设出直线方程，直曲联立，由判别式为零，得到关于的一元二次方程，再由韦达定理得到斜率之积为定值. 【详解】（1） 由抛物线C的方程为，则其准线方程为 由于点P的纵坐标为0，所以点P为，过P作抛物线C的切线，由题意知斜率存在且不为0，设其斜率为k则切线方程为 联立 由于直线与抛物线C相切，可知，即 此时抛物线C的两条切线方程分别为和. （2） 点P在抛物线C的准线上，设 由题意知过点P作抛物线C的切线，斜率存在且不为0， 设其斜率为k则切线方程为 联立 由于直线与抛物线C相切，可知，即 而抛物线C的两条切线的斜率，即为方程的两根 故. 抛物线中的定直线问题 一、解答题 1．（23-24高二下·甘肃·期末）已知拋物线的焦点为上任意一点到的距离与到点的距离之和的最小值为3． (1)求拋物线的标准方程； (2)已知过点的直线与分别交于点与点，延长交于点，线段与的中点分别为． ①证明：点在定直线上； ②若直线，直线的斜率分别为，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②. 【分析】（1）根据抛物线的定义，把到的距离与到点的距离之和的最小值转化为到准线的距离为和到点的距离之和的最小值，在根据平面几何即可得出答案； （2）①设，计算出直线的方程和直线的方程，然后联立并根据韦达定理即可证明；②计算出，再根据基本不等式求解. 【详解】（1）抛物线的准线方程为，设点到准线的距离为． 由抛物线的定义，得，解得， 当且仅当三点共线时，等号成立，所以抛物线的标准方程为． （2）①设， 直线的方程为，直线的方程为， 联立消去整理得， 所以，同理可得， 所以直线的方程为， 即，同理直线的方程为． 联立，得，即， 即，即， 所以，即点在直线上． ②由题意可知，的斜率存在且均不为0， 因为，所以设直线的方程为，则直线的方程为， 由①知，．所以， 所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，又易知， 所以的取值范围为 2．（23-24高二上·湖北·期末）已知抛物线的焦点为，设动点的坐标为． (1)若，求过点与抛物线有且只有一个公共点的直线方程； (2)设过动点的两条直线均与相切，且的斜率分别为，满足．证明：动点在一条定直线上． 【答案】(1)或； (2)证明见解析 【分析】（1）分别讨论直线斜率是否存在，利用判别式为0即可得直线方程； （2）设出直线方程并利用韦达定理可得，结合即可求出动点在直线上. 【详解】（1）当经过点P的直线不存在斜率时，直线方程即为， 与抛物线抛物线C：有且只有一个公共点，符合题意， 当经过点P的直线存在斜率时，不妨设直线方程为， 代入抛物线方程化简得：， ，即，直线方程即为 因此所求直线方程为或； （2）证明：设过点P与抛物线C的相切的切线方程为， 由，消去整理得， 因为与抛物线C相切，所以， 即． 又因为，是方程的两根，则有， 由 ，可得，即 从而动点在直线上. 3．（23-24高二上·四川眉山·期末）已知斜率为2的直线交抛物线于、两点，求证： (1)线段AB的中点在一条定直线上 (2)为定值（O为坐标原点，、分别为直线OA、OB的斜率） 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）设直线方程为，联立，计算出线段AB的中点坐标,即可证明； （2）借助（1）问，利用韦达定理表示出，化简证明即可. 【详解】（1）设直线方程为，联立， 得， 故,且即， 故， 则， 故线段AB的中点坐标为，一定在直线上. （2）， ， 故为定值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$