专题05 双曲线（10大基础题+4大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（人教A版2019选择性必修）

专题05 双曲线 根据双曲线的定义求方程 一、单选题 1．（23-24高二上·广东·期末）已知动圆与圆及圆都外切，那么动圆圆心轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川绵阳·期末）如图，定圆的半径为定长，是圆外一个定点，是圆上任意一点.线段的垂直平分线与直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是（    ）    A．射线 B．椭圆 C．双曲线 D．圆 3．（23-24高二上·云南迪庆·期末）已知点，，动点满足条件.则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·湖北·期末）已知一个动圆P与两圆：和：都外切，则动圆P圆心的轨迹方程为（    ） A．（） B． C．（） D．（） 5．（23-24高二上·四川凉山·期末）已知点，，动点满足条件，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（23-24高二上·山东聊城·期末）若平面内的动点满足，则（    ） A．时，点的轨迹为圆 B．时，点的轨迹为圆 C．时，点的轨迹为椭圆 D．时，点的轨迹为双曲线 三、填空题 7．（23-24高二上·湖南益阳·期末）的坐标满足方程：，则M的轨迹方程为 . 四、解答题 8．（23-24高二上·安徽宣城·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点满足，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)若过点的直线与交于两点，且，求直线的方程. 焦点三角形问题 一、单选题 1．（23-24高二下·福建福州·期末）已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线的左支交于两点，若，则双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·安徽宣城·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，曲线上存在一点，使得为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知为双曲线左支上一点，，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心若，则点到焦点的距离是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知是双曲线的左、右焦点，经过点的直线与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，若，则双曲线C的离心率为（　　） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·山东菏泽·期末）如图，分别为双曲线的左，右焦点，在左支上，在右支上，且，，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·河北保定·期末）已知为双曲线的左，右焦点，为坐标原点，为双曲线上一点，且，则到轴的距离为（   ） A．2 B． C． D． 7．（23-24高二上·贵州黔南·期末）已知点，分别为双曲线C：（）的左、右焦点，点到渐近线的距离为2，过点的直线l与C的左、右两支曲线分别交于A，B两点，且，则下列说法正确的为（    ） A．的面积为8 B．双曲线C的离心率为2 C． D． 二、多选题 8．（23-24高二下·贵州六盘水·期末）圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射的光线为，点处的切线交轴于点，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的方程为 B．过点且垂直于的直线平分 C．若，则 D．若，则 9．（23-24高二下·广西南宁·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为为双曲线右支上一点，则下列说法正确的是（    ） A．若的内切圆圆心为，直线的斜率为 B．若的内切圆圆心为的外接圆半径为 C．若且，则 D．若且，则 10．（23-24高二下·云南昆明·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的右支上，则下列说法正确的是（    ） A．若的周长为24，则的面积为48 B． C． D．若为锐角，则点的纵坐标范围是 11．（23-24高二下·河南洛阳·期末）已知为双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线C的右支于P，Q两点，则下列叙述正确的是（    ） A．直线与直线的斜率之积为 B．的最小值为 C．若，则的周长为 D．点P到两条渐近线的距离之积 12．（23-24高二上·湖北孝感·期末）已知双曲线C：，（），的左、右焦点分别为，，双曲线C上两点A，B关于坐标原点对称，点P为双曲线右支上一动点，记直线，的斜率分别为，，若，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则的面积为 C．若，则的内切圆半径为 D．以为直径的圆与圆相切 三、填空题 13．（23-24高二下·福建厦门·期末）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，为右支上一点，且，则的面积为 . 14．（23-24高二下·上海·期末）设双曲线的左、右焦点为、，点是上一点，满足，则的面积为 ． 15．（23-24高二上·贵州安顺·期末）已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，，为双曲线C的左、右焦点，过且斜率为的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点，若的周长为108，则双曲线C的方程为 ． 焦半径及最值问题 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上，，则（    ） A．13 B．10 C．1 D．13或1 2．（23-24高二上·贵州安顺·期末）已知双曲线的左焦点为F，点P在双曲线C的右支上，M为线段FP的中点，若M到坐标原点的距离为7，则（    ） A．8或20 B．20 C．6或22 D．22 3．（23-24高三上·四川成都·期末）双曲线：（，）的一条渐近线过点，，是的左右焦点，且焦点到渐近线的距离为，若双曲线上一点满足，则（    ） A．3或7 B．7 C．5 D．3 4．（23-24高二上·云南楚雄·期末）已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（    ） A．7 B．6 C．5 D． 5．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）若双曲线上一点到其右焦点的距离是8,则点到其左焦点的距离是（    ） A．4 B．10 C．2或10 D．4或12 6．（23-24高二下·上海静安·期末）已知点是双曲线右支上的一点，点分别是圆和圆上的点．则的最小值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 7．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知点，点是双曲线：左支上的动点，是圆：上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·天津·期末）已知双曲线的离心率为2，右焦点为，动点在双曲线右支上，点，则最大值为（   ） A． B． C． D． 9．（23-24高三上·辽宁葫芦岛·期末）已知点是双曲线的左焦点，点是双曲线上在第一象限内的一点，点是双曲线渐近线上的动点，则的最小值为（    ） A．8 B．5 C．3 D．2 二、多选题 10．（23-24高二上·山东青岛·期末）若双曲线方程为，为双曲线的一个焦点，点在该双曲线上，为坐标原点，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为 C．双曲线的焦距为 D．的最小值为 11．（23-24高二上·江苏泰州·期末）下列结论正确的是（    ） A．椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为8 B．椭圆上一点到右焦点的距离的最大值为6 C．双曲线上一点到一个焦点的距离为1，则点到另一个焦点的距离为 D．双曲线上一点到一个焦点的距离为17，则点到另一个焦点的距离为1 12．（23-24高二上·湖北荆门·期末）已知双曲线（，），实轴长为8，虚半轴长为，，分别为双曲线左右焦点，点，P为双曲线在第一象限上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A． B．内切圆圆心的横坐标为定值 C．若直线l交双曲线于A，B两点，且Q为中点，则直线l的方程为 D．的最小值为 三、填空题 13．（23-24高二下·上海长宁·期末）设、为双曲线Γ：左、右焦点，且Γ的离心率为，若点M在Γ的右支上，直线与Γ的左支相交于点N，且，则 . 14．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知，是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 ． 15．（23-24高二上·湖北十堰·期末）是双曲线的左焦点，是右支上一点，过作与直线夹角为的直线，并与相交于点，则的最小值为 ． 根据方程求参数（范围） 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高二上·河南许昌·期末）若方程表示双曲线，则的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 3．（23-24高二上·江西景德镇·期末）已知方程表示的曲线为，则下列命题正确的个数有（    ） ①若曲线为椭圆，则且焦距为常数 ②曲线不可能是焦点在轴的双曲线 ③若，则曲线上存在点，使，其中为曲线的焦点 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）若方程表示曲线C，则下列说法正确的是（    ） A．若，则曲线C为椭圆 B．若曲线C为双曲线，则 C．曲线C不可能是圆 D．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则 5．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知曲线的焦距为，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知曲线，下列说法正确的是（    ） A．若，则是圆，其半径为 B．若，，则是两条直线 C．若时，则是椭圆，其焦点在轴上 D．若时，则是双曲线，其渐近线方程为 7．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知曲线，下列命题错误的是（    ） A．若，则是双曲线 B．若，则是椭圆 C．若，则是圆 D．若，则是两条直线 8．（23-24高二上·福建福州·期末）若方程所表示的曲线为，则下面四个说法中正确的是（    ） A．若，则为椭圆 B．若为椭圆，且焦点在轴上，则 C．曲线可能是圆 D．若为双曲线，则 9．（23-24高二上·安徽合肥·期末）已知曲线C：，则（    ） A．存在m，使C表示圆 B．当时，则C的渐近线方程为 C．当时，则C的焦点是， D．当C表示双曲线时，则或 三、填空题 10．（23-24高二下·广东惠州·期末）双曲线的一个焦点是，则 ． 11．（23-24高二上·北京西城·期末）若方程表示的曲线为双曲线，则实数的取值范围是 ；若此方程表示的曲线为椭圆，则实数的取值范围是 . 求椭圆的标准方程 一、单选题 1．（23-24高二下·河南商丘·期末）已知双曲线的顶点为椭圆的焦点，的离心率与的离心率之积为1，则的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·福建福州·期末）双曲线的一个顶点为，渐近线方程为，则双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·福建福州·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，实轴长为4，则双曲线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 4．（23-24高二上·陕西西安·期末）双曲线的一个顶点为，虚半轴长为，则双曲线的标准方程是（　　）. A． B． C． D． 5．（23-24高二上·广东·期末）已知动圆与圆及圆都外切，那么动圆圆心轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24高二下·北京东城·期末）已知双曲线的焦点为和，一条渐近线方程为，则的方程为 . 7．（23-24高二上·云南昭通·期末）已知双曲线的右焦点为，实轴长为8，则该双曲线的标准方程为 . 8．（23-24高二上·宁夏银川·期末）双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，已知点为抛物线C：的焦点，且到双曲线E的一条渐近线的距离为，又点P为双曲线E上一点，满足.则: （1）双曲线的标准方程为 ； （2）的面积为 . 双曲线焦点焦距问题 一、单选题 1．（23-24高三下·四川·期末）双曲线的左，右焦点分别是，，已知到双曲线H的一条渐近线的距离为，则为（   ） A．4 B． C．6 D．8 2．（23-24高二下·福建福州·期末）已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线的左支交于两点，若，则双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·安徽·期末）已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的焦点坐标分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（23-24高二上·福建三明·期末）双曲线的焦距为（    ） A． B． C．2 D．4 5．（23-24高二上·山西太原·期末）已知直线与双曲线相交于两点，且两点的横坐标之积为，则该双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·江西景德镇·期末）共轭双曲线与，有（    ） A．相同的离心率 B．公共焦点 C．公共顶点 D．公共渐近线 二、多选题 7．（23-24高二上·山东青岛·期末）若双曲线方程为，为双曲线的一个焦点，点在该双曲线上，为坐标原点，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为 C．双曲线的焦距为 D．的最小值为 8．（23-24高二上·四川自贡·期末）已知双曲线，则双曲线（    ） A．焦点坐标为和 B．渐近线方程为和 C．离心率为 D．与直线有且仅有一个公共点 三、填空题 9．（23-24高二下·广东惠州·期末）双曲线的一个焦点是，则 ． 10．（23-24高三上·河南漯河·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，则的焦距为 . 11．（23-24高三上·江苏常州·期末）已知双曲线的标准方程为，则该双曲线的焦距是 ． 双曲线实轴虚轴问题 一、单选题 1．（23-24高二下·河北石家庄·期末）已知直线与双曲线的一条渐近线平行，则的实轴长为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶M到水面的距离为米时，水面宽为米，则此双曲线的虚轴长为（    ）    A． B．2 C．3 D．6 3．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知双曲线的左右顶点分别为，右焦点为F，以为直径作圆，与双曲线C的右支交于两点．若线段的垂直平分线过，则的数值为（    ） A．3 B．4 C．8 D．9 4．（23-24高二上·安徽·期末）已知双曲线：与：，则（    ） A．与的实轴长相等 B．与的渐近线相同 C．与的焦距相等 D．与的离心率相等 5．（23-24高二上·天津河东·期末）双曲线的实半轴长为（    ） A．16 B．8 C．4 D．3 6．（23-24高二上·河南开封·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则C的实轴长为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知双曲线：，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的虚轴长为 C．双曲线的实半轴长为 D．双曲线的渐近线方程为 8．（23-24高二上·山东聊城·期末）已知双曲线的右焦点为，右顶点为A，离心率为e，直线轴，且与C的左、右两支分别交于P，Q两点，О为坐标原点，则下列命题正确的是（    ）． A．若，则C的虚轴长为 B．若，则 C．若存在l使，则 D．若存在l使，则 三、填空题 9．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期末）若方程表示双曲线，则该双曲线的虚轴长为 . 10．（23-24高二上·贵州黔东南·期末）双曲线的虚轴长为 ． 11．（23-24高二上·安徽·期末）若双曲线的焦点分别为，，且点在上，则的实轴长为 ． 渐近线离心率问题 一、单选题 1．（23-24高二下·云南楚雄·期末）已知双曲线的实轴长为1，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·安徽六安·期末）已知双曲线的左焦点到其渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 3．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·河南驻马店·期末）已知双曲线E 的右焦点为F，以F为圆心，为半径的圆与双曲线 E的一条渐近线交于A，B两点，若，则双曲线 E的离心率为（     ） A． B． C． D．3 5．（23-24高二下·云南普洱·期末）若直线与双曲线的一条渐近线平行，则实数的值为：（    ） A． B．4 C． D．2 6．（23-24高二下·湖南·期末）已知双曲线E：（）的右焦点F到其一条渐近线的距离为1，则E的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 7．（23-24高二下·甘肃·期末）过双曲线的左焦点作斜率为2的直线交于两点．若，则双曲线的离心率为（    ） A．3 B．2 C． D． 8．（23-24高二下·江苏盐城·期末）若双曲线C：的渐近线与圆没有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，其中且双曲线渐近线的斜率绝对值小于，则下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D．. 二、多选题 10．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知点在左､右焦点分别为的双曲线上，，则（    ） A．渐近线方程为 B．离心率为 C． D． 11．（23-24高二下·海南·期末）已知为双曲线的右焦点，过的直线与圆相切于点，且与及其渐近线在第二象限的交点分别为，则下列说法正确的是（    ） A．直线的斜率为 B．直线是的一条渐近线 C．若，则的离心率为 D．若，则的渐近线方程为 12．（23-24高二下·河北·期末）如图，P是椭圆与双曲线在第一象限的交点，,且共焦点的离心率分别为，则下列结论正确的是（       ）    A． B．若，则 C．若，则的最小值为2 D． 三、填空题 13．（23-24高二下·安徽阜阳·期末）已知圆与双曲线的渐近线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为 ． 14．（23-24高二下·四川凉山·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，过作渐近线的垂线，垂足为，直线的斜率为，则双曲线的离心率为 ． 15．（23-24高二下·贵州安顺·期末）已知椭圆和双曲线在第一象限的交点为，椭圆的右焦点为，在方向上的投影向量为，则椭圆的离心率为 ；双曲线的渐近线方程为 . 16．（23-24高二下·广东茂名·期末）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，.过点的直线与轴交于点，与交于点，且，点在以为直径的圆上，则的渐近线方程为 . 直线与双曲线的位置关系 一、单选题 1．（23-24高二上·黑龙江鸡西·期末）如果直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·上海·期末）设双曲线经过点，且与具有相同的渐近线，则经过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（    ）条. A．0 B．1 C．2 D．3 3．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点，，则下列结论中错误的是（    ） A．的标准方程为 B．的离心率等于 C．与双曲线的渐近线不相同 D．直线与有且仅有一个公共点 4．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知点为双曲线右支上的一个动点，则点到直线的距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知点F是双曲线的一个焦点，直线，则“点F到直线l的距离大于1”是“直线l与双曲线C没有公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知直线与曲线恰有三个不同交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高三上·湖南常德·期末）设圆的圆心为M，双曲线C：的左右焦点分别，已知圆M与双曲线C相交于A，B两点，且，则下列说法正确的（    ） A．双曲线C的焦距为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．双曲线C的焦点到渐近线距离为2 D．过点M且与双曲线C的右支有2个交点的直线的斜率的取值范围是 8．（23-24高二上·河南·期末）已知曲线，则（    ） A．当时，曲线是椭圆 B．当时，曲线是以直线为渐近线的双曲线 C．存在实数，使得过点 D．当时，直线总与曲线相交 9．（23-24高三上·湖北武汉·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，圆上任意一点处的切线交双曲线于两点M、N（   ） A．或2 B．若与双曲线左、右两支相交，则的斜率的取值范围是 C．满足的直线有且仅有一条 D．为定值，且定值为2 10．（23-24高二上·江西景德镇·期末）若直线被圆所截的弦长不小于2，则下列曲线中，与直线一定有公共点的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（23-24高二上·福建福州·期末）已知双曲线方程为（），若直线与双曲线左右两支各交一点，则实数的取值范围为 . 12．（23-24高二上·浙江宁波·期末）若直线与单位圆和曲线均相切，则直线的方程可以是 .（写出符合条件的一个方程即可） 13．（23-24高二上·海南·期末）已知双曲线的右焦点为，点，且直线与仅有一个交点，写出一个满足条件的方程： 14．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，且直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是 . 四、解答题 15．（23-24高二下·江西新余·期末）已知双曲线的方程为，实轴长和离心率均为2. (1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程； (2)过且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求的值（为坐标原点）. 16．（23-24高二上·江西景德镇·期末）已知双曲线的焦点到渐近线的距离为2，离心率为． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线有唯一的公共点，求的值． 弦长及弦中点问题 一、单选题 1．（23-24高二上·天津河西·期末）过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·重庆·期末）已和双曲线与直线相交于A、B两点，若弦的中点M的横坐标为1，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·天津和平·期末）直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高二上·河北唐山·期末）已知双曲线，直线与C交于A，B两点，点P是C上异于A，B的一点，则（    ） A．C的焦点到其渐近线的距离为 B．直线与的斜率之积为2 C．过C的一个焦点作弦长为4的直线只有1条 D．点P到两条渐近线的距离之积为 5．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知分别为双曲线的左、右焦点，点A为双曲线右支上任意一点，点，下列结论中正确的是（    ） A． B．若，则的面积为2 C．过P点且与双曲线只有一个公共点的直线有3条 D．存在直线与双曲线交于M，N两点，且点P为中点 6．（23-24高二上·广东佛山·期末）设是双曲线上的两点，下列四个点中，可以作为线段中点的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·重庆·期末）已知点M，N是双曲线上不同的两点，则（    ） A．当M，N分别位于双曲线的两支时，直线的斜率 B．当M，N均位于双曲线的右支上时，直线的斜率 C．线段的中点可能是 D．线段的中点可能是 三、填空题 8．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）已知双曲线，直线被所截得的弦长为，则 ． 9．（23-24高三上·北京东城·期末）已知双曲线：，则双曲线的渐近线方程是 ；直线与双曲线相交于，两点，则 . 10．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知双曲线，过点的直线与相交于两点，且为线段的中点，则直线的方程为 . 11．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知过点的直线与双曲线：交于A、B两点，若点P是线段的中点，则双曲线C的离心率取值范围是 . 四、解答题 12．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，为坐标原点，点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于两点，且，求的最小值． 13．（23-24高二上·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记的轨迹为曲线. (1)求的方程，并说明是什么曲线： (2)若直线和曲线相交于两点，求. 14．（23-24高二上·福建福州·期末）已知标准双曲线的焦点在轴上，且虚轴长，过双曲线的右焦点且垂直轴的直线交双曲线于两点， 的面积为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线交双曲线于两点，且点是线段的中点，求直线的方程. 15．（23-24高二上·陕西宝鸡·期末）已知双曲线的渐近线方程是，实轴长为2. (1)求双曲线的方程; (2)若直线与双曲线交于两点，线段的中点为，求直线的斜率. 双曲线中的最值范围问题 一、单选题 1．（23-24高二上·浙江金华·期末）已知直线与双曲线有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点，则当运动时，点到两点距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·辽宁·期末）为双曲线上一点，，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知双曲线，点为双曲线右支上的一个动点，过点分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为，两点，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．存在点，使得四边形为正方形 C．四边形的面积为 D．四边形的周长最小值为 4．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用，双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知，分别为双曲线：的左，右焦点，过右支上一点作直线交轴于，交轴于点，则下列说法中正确的有（   ） A．的渐近线方程为 B．过点作，垂足为，则 C．点的坐标为 D．四边形面积的最小值为 5．（23-24高二上·江西吉安·期末）双曲线：的焦点为，，过的直线与双曲线的左支相交于两点，过的直线与双曲线的右支相交于，两点，若四边形为平行四边形，则（    ） A． B． C．平行四边形各边所在直线斜率均不为 D． 三、填空题 6．（23-24高二下·上海虹口·期末）已知以为左、右焦点的双曲线的一条渐近线为.点是双曲线上异于顶点的动点，若是的平分线上的一点，且，则的取值范围是 . 7．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，且直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是 . 四、解答题 8．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，为坐标原点，点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于两点，且，求的最小值． 9．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知双曲线的离心率为，点分别是双曲线的左右焦点，过的直线交双曲线右支于P，A两点，点P在第一象限，当直线PA的斜率不存在时，． (1)求双曲线的标准方程； (2)线段交圆于点B，记的面积分别为，求的最小值． 10．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知点，动点满足. (1)求动点的轨迹方程； (2)记动点的轨迹为，若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值. 11．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知椭圆，离心率为，点在曲线上，过双曲线上一点P（点P在第一象限）的切线交于AB两点，直线OP交于C，D两点，点A，D在x轴上方． (1)求，的方程； (2)设AC与BD交于点Q，记的面积分别为，求的最大值． 12．（23-24高二上·福建福州·期末）若双曲线的一个焦点是，且离心率为2． (1)求双曲线的方程； (2)已知点，过焦点的直线与双曲线的两支相交于A，B两点，求直线MA和MB的斜率之和的最大值． 13．（23-24高二上·浙江温州·期末）已知点在双曲线C：上， (1)求C的方程； (2)如图，若直线l垂直于直线OA，且与C的右支交于P、Q两点，直线AP、AQ与y轴的交点分别为点M、N，记四边形MPQN与三角形APQ的面积分别为与，求的取值范围． 双曲线中的定点定值问题 一、单选题 1．（23-24高二上·河南开封·期末）已知点是双曲线上一点，则点到双曲线的两条渐近线的距离之积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，右顶点为E，过的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，与两条渐近线交于点P，Q（其中点A，点P在第一象限内），设M，N分别为与的内心，则（    ） A．点M的横坐标为2 B．当时， C． D．为定值 3．（23-24高二上·湖北·期末）已知双曲线的离心率为，且双曲线的左焦点在直线上，分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线上异于两点的一个动点，记的斜率分别为，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的方程为 B．双曲线的渐近线方程为 C．点到双曲线的渐近线距离为2 D．为定值 4．（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点P在C的右支上，过点P的直线l与C的两条渐近线分别交于点M，N，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为4 B．与C仅有公共点P的直线共有三条 C．若，且P为线段MN的中点，则l的方程为 D．若l与C相切于点，则M，N的纵坐标之积为 三、填空题 5．（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知双曲线，为坐标原点，不经过点的直线交双曲线于两点，且直线的斜率之和为0，则的斜率为 ． 6．（23-24高二上·河南开封·期末）已知点是离心率为2的双曲线上的三点，直线的斜率分别是，点分别是线段的中点，为坐标原点，直线的斜率分别是，若，则 ． 四、解答题 7．（23-24高二下·陕西延安·期末）已知双曲线经过点． (1)求的离心率； (2)设直线经过的右焦点，且与交于不同的两点，点N关于x轴的对称点为点P，证明：直线过定点． 8．（23-24高二下·甘肃·期末）已知双曲线的实轴长是虚轴长的倍，且焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值． 9．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知双曲线的实轴比虚轴长2，且焦点到渐近线的距离为2. (1)求双曲线的方程； (2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值. 10．（23-24高二上·浙江·期末）已知离心率为的双曲线与x轴交于A，B两点，B在A的右侧．在E上任取一点，过点B作直线QB垂直PA交于点Q，直线PB、QA分别交y轴于不同的两点M，N． (1)求双曲线E的方程； (2)求证：直线与直线的斜率乘积为定值； (3)三角形MNB的外接圆是否过x轴上除B点之外的定点，若是，求出该定点坐标：若不是，请说明理由． 11．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知双曲线过点，左右焦点分别为，且． (1)求的标准方程． (2)设过点的直线与交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标及该常数的值：若不存在，请说明理由． 12．（23-24高二上·江西·期末）在平面直角坐标系中，双曲线C：的渐近线的方程为，焦距为． (1)求的方程； (2)如图，点为的下顶点，点在轴上（位于原点与上顶点之间），过作轴的平行线，过的另一条直线交于两点，直线分别交于两点，若，求的坐标． 13．（23-24高二上·山东枣庄·期末）已知双曲线的中心为坐标原点，上顶点为，离心率为. (1)求双曲线的方程； (2)记双曲线的上、下顶点为、，为直线上一点，直线与双曲线交于另一点，直线与双曲线交于另一点，求证：直线过定点，并求出定点坐标. 双曲线中的定直线问题 1．（23-24高二上·云南·期末）已知双曲线实轴端点分别为、，右焦点为，离心率为，过点的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为． (1)求双曲线的方程； (2)若过点的直线与双曲线交于、两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由． 2．（23-24高二上·辽宁大连·期末）已知双曲线，点，经过点M的直线交双曲线C于不同的两点A、B，过点A，B分别作双曲线C的切线，两切线交于点E．（二次曲线在曲线上某点处的切线方程为） (1)求证：点E恒在一条定直线L上； (2)若两直线与L交于点N，，求的值； (3)若点A、B都在双曲线C的右支上，过点A、B分别作直线L的垂线，垂足分别为P、Q，记，，的面积分别为，问：是否存在常数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 3．（22-23高二下·陕西西安·期末）已知曲线上任意一点满足，且. (1)求的方程； (2)设，若过的直线与交于两点，且直线与交于点.证明：点在定直线上. 4．（23-24高二下·云南昆明·期末）已知双曲线的两条渐近线分别为和，右焦点坐标为，为坐标原点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)设M，N是双曲线C上不同的两点，Q是MN的中点，直线MN、OQ的斜率分别为，证明：为定值； (3)直线y=4x-6与双曲线的右支交于点（在的上方），过点分别作的平行线，交于点，过点且斜率为4的直线与双曲线交于点（在的上方），再过点分别作的平行线，交于点，⋯，这样一直操作下去，可以得到一列点．证明：共线． 双曲线中的向量问题 一、单选题 1．（23-24高二下·甘肃·期末）过双曲线的左焦点作斜率为2的直线交于两点．若，则双曲线的离心率为（    ） A．3 B．2 C． D． 2．（23-24高二上·贵州黔南·期末）已知点，分别为双曲线C：（）的左、右焦点，点到渐近线的距离为2，过点的直线l与C的左、右两支曲线分别交于A，B两点，且，则下列说法正确的为（    ） A．的面积为8 B．双曲线C的离心率为2 C． D． 二、多选题 3．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与的左支相交于两点，若，且，则（    ） A． B． C．双曲线的渐近线方程为 D．直线的斜率为4 4．（23-24高二上·江西萍乡·期末）双曲线：的左右焦点分别为，，两条渐近线分别为，，过坐标原点的直线与的左右两支分别交于，两点，为上异于，的动点，下列结论正确的是（    ） A．若以为直径的圆经过，则 B．若，则或9 C．过点作的垂线，垂足为，若（），则 D．设，的斜率分别为，，则的最小值为2 三、填空题 5．（22-23高二上·湖南怀化·期末）已知双曲线的方程为，其左右焦点分别为，已知点坐标为，双曲线上的点满足，设内切圆半径为，则 ， ． 四、解答题 6．（23-24高二下·贵州六盘水·期末）已知双曲线过点，左、右顶点分别为，，直线与直线的斜率之和为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过双曲线右焦点的直线交双曲线右支于，（在第一象限）两点，，是双曲线上一点，的重心在轴上，求点的坐标． 7．（23-24高二上·安徽宣城·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点满足，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)若过点的直线与交于两点，且，求直线的方程. 8．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线． (1)求上焦点的坐标； (2)若动点在双曲线的上支上运动，求点到的距离的最小值，并求此时的坐标； (3)若为双曲线的上顶点，直线与双曲线交于C、D两点（异于点），，求实数的值． 9．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知双曲线，抛物线的焦点F是双曲线M的右顶点，且以F为圆心，以b为半径的圆与直线相切． (1)求双曲线M的标准方程； (2)已知直线与双曲线M交于A、B两点，且双曲线M是否存在上存在点P满足，若存在，求出m的值，若不存在请说明理由． 10．（23-24高二上·云南大理·期末）已知是双曲线上的一点，分别是的左、右焦点，若． (1)求双曲线的离心率； (2)当时，求的取值范围． 11．（23-24高二上·河南·期末）已知双曲线的焦点到渐近线的的距离为3，离心率为2. (1)求双曲线的标准方程； (2)经过点的直线与双曲线的左､右两支分别交于点为坐标原点，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 双曲线 根据双曲线的定义求方程 一、单选题 1．（23-24高二上·广东·期末）已知动圆与圆及圆都外切，那么动圆圆心轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，半径为，根据给定条件可得，从而得到的轨迹为以为焦点，的双曲线左支，再求轨迹方程即可. 【详解】圆：，圆心，半径 ， 圆：，圆心，半径 ， 设动圆圆心，半径为，由动圆与圆，都外切， 得，则， 因此圆心的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线左支， 即，半焦距，虚半轴长， 所以动圆圆心的轨迹方程是. 故选：B 2．（23-24高二上·四川绵阳·期末）如图，定圆的半径为定长，是圆外一个定点，是圆上任意一点.线段的垂直平分线与直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是（    ）    A．射线 B．椭圆 C．双曲线 D．圆 【答案】C 【分析】连接、，由题意可得，所以，根据双曲线的定义，即可得答案. 【详解】连接、，如图所示：    因为为的垂直平分线，所以， 所以为定值， 又因为点在圆外，所以， 根据双曲线定义，点的轨迹是以、为焦点，为实轴长的双曲线. 故选：C. 3．（23-24高二上·云南迪庆·期末）已知点，，动点满足条件.则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义可得答案. 【详解】，由， 结合双曲线定义可知动点的轨迹为以，为焦点的双曲线右支， 在双曲线中，，可得，， 所以， 动点的轨迹方程为. 故选：A. 4．（23-24高二上·湖北·期末）已知一个动圆P与两圆：和：都外切，则动圆P圆心的轨迹方程为（    ） A．（） B． C．（） D．（） 【答案】A 【分析】利用双曲线的定义及两圆的位置关系计算即可. 【详解】由题意易知两圆圆心分别为，半径分别为， 设动圆圆心，半径， 则根据题意有, 根据双曲线的定义知的轨迹是以原点为中心，为左右焦点，为实轴长的双曲线的左支，故其轨迹方程为：. 故选：A 5．（23-24高二上·四川凉山·期末）已知点，，动点满足条件，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义可判断动点的轨迹形状，利用待定系数法即可求得轨迹方程. 【详解】因为，，所以，动点满足， 由双曲线的定义可知，动点的轨迹是以，为焦点的双曲线的左支， 设双曲线方程为，则有，，， 所以动点的轨迹方程为. 故选：D. 二、多选题 6．（23-24高二上·山东聊城·期末）若平面内的动点满足，则（    ） A．时，点的轨迹为圆 B．时，点的轨迹为圆 C．时，点的轨迹为椭圆 D．时，点的轨迹为双曲线 【答案】ABD 【分析】根据条件，结合选项，利用圆、椭圆、双曲线的定义，逐一分析判断，即可得出结果. 【详解】对于选项A，当时，由，得到， 其表示动点到定点的距离为，由圆的定义知点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，所以选项A正确， 对于选项B，当时，由，得到， 整理得到，即，所以选项B正确， 对于选项C，当时，由， 得到，其表示动点到定点和的距离之和为， 又两定点，间的距离为，所以点的轨迹为线段上的点，故选项C错误， 对于选项D，当时，由， 得到，其表示动点到定点和的距离之差的绝对值为， 又，由双曲线的定义知，点的轨迹为双曲线， 故选：ABD. 三、填空题 7．（23-24高二上·湖南益阳·期末）的坐标满足方程：，则M的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】由题意，结合双曲线的定义即可求解. 【详解】设，， 由于动点的轨迹方程为 则， 故点M到定点与到定点的距离差的绝对值为8， 则动点的轨迹是以为焦点的双曲线， 由于，，则， 故M的轨迹方程为：， 故答案为：. 四、解答题 8．（23-24高二上·安徽宣城·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点满足，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)若过点的直线与交于两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由双曲线定义可知点的轨迹是双曲线的右支，由此即可得解； （2）由题意设直线的方程为，联立椭圆方程，由可知，结合韦达定理即可求解参数，由此即可得解. 【详解】（1）因为，且， 所以点的轨迹是双曲线的右支，可设其方程为， 所以， 所以其轨迹方程为. （2） 由题意可知，直线的斜率不为0，设直线的方程为， 联立方程，消去得， 由题意， 设， 则， ， ， 且， ， 直线的方程. 焦点三角形问题 一、单选题 1．（23-24高二下·福建福州·期末）已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线的左支交于两点，若，则双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线定义、已知条件求出、，设，由余弦定理、求出可得答案. 【详解】如图，由于， 有4，可得， 又由，可得，设， 在中，由余弦定理有. 在中，由余弦定理有. 又由，有， 可得，解得，所以双曲线的焦距为. 故选：B.    2．（23-24高二下·安徽宣城·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，曲线上存在一点，使得为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出图形，用双曲线定义和勾股定理构造方程求解即可. 【详解】如图所示，为等腰直角三角形，且， 运用勾股定理，知道根据．由双曲线定义，知道， 即，解得，故离心率为：. 故选：C. 3．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知为双曲线左支上一点，，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心若，则点到焦点的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义可得，根据，得的内切圆的半径为，再根据内切圆的性质可得，结合可求得，利用勾股定理可求得点到焦点的距离． 【详解】由题意知，，，所以，，， 又由双曲线的定义可知， 设的内切圆的半径为， 因为，所以， 所以， 所以，所以， 设圆与的三边，，分别相切于，，三点，连接，，，如下图所示： 由内切圆的性质可得，，， 因为，所以， 即，由， 所以，，因为，， 所以，即点到焦点的距离是． 故选：B． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据双曲线定义及内切圆的性质求出内切圆圆心横坐标与左顶点横坐标相同，再由勾股定理即可求得结论. 4．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知是双曲线的左、右焦点，经过点的直线与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，若，则双曲线C的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义可得，取的中点，连接，由面积可得，利用余弦定理结合双曲线离心率分析求解. 【详解】由题意可知：，可得， 取的中点，连接，可知，    因为，可得， 则，可得， 在中，由余弦定理可得， 即，整理得， 所以双曲线C的离心率为. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值． 5．（23-24高二上·山东菏泽·期末）如图，分别为双曲线的左，右焦点，在左支上，在右支上，且，，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据双曲线定义及题干知，，，，根据，得，然后利用余弦定理建立方程求出，即可求解渐近线方程. 【详解】连接， 因为，由双曲线的定义可得， 则，，， 在中，， 在中，， 因为，所以，所以， 所以，所以，即，所以， 所以该双曲线的渐近线方程为即. 故选：A 【点睛】方法点睛：求双曲线的渐近线方程的方法： （1）定义法：直接利用、求得比值，则焦点在轴上时，渐近线方程为，焦点在轴上时，渐近线方程为； （2）构造齐次式：利用已知条件结合，构建的关系式（或先构建的关系式），再根据焦点位置写出渐近线方程即可. 6．（23-24高二上·河北保定·期末）已知为双曲线的左，右焦点，为坐标原点，为双曲线上一点，且，则到轴的距离为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由双曲线的定义及余弦定理，求得的值，再利用三角形的面积相等法求得的值，进而求得，得到答案. 【详解】由双曲线，可得，则， 设，由双曲线的定义，可得， 根据余弦定理，可得，解得， 再设点的坐标为， 则， 因为，可得，解得， 由，可得，即点到轴的距离为. 故选：C. 7．（23-24高二上·贵州黔南·期末）已知点，分别为双曲线C：（）的左、右焦点，点到渐近线的距离为2，过点的直线l与C的左、右两支曲线分别交于A，B两点，且，则下列说法正确的为（    ） A．的面积为8 B．双曲线C的离心率为2 C． D． 【答案】D 【分析】利用已知条件求出的值，对于A：利用勾股定理结合双曲线的定义求出的面积；对于B：利用双曲线的离心率公式运算求解；对于C：先求，，再利用平面向量数量积的运算性质运算求解；对于D：根据双曲线的定义结合勾股定理求出，代值计算即可． 【详解】设双曲线的半焦距为，因为双曲线的焦点在轴上，且， 则其中一条渐近线方程为，即，且， 则到渐近线的距离为，可得， 对于A：因为且， 可得，解得， 所以△的面积为，故A错误； 对于B：双曲线的离心率为，故B错误； 对于C：因为，可得， 所以，故C错误； 对于D：设，则， 因为，即，解得， 所以，故D正确． 故选：D． 二、多选题 8．（23-24高二下·贵州六盘水·期末）圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射的光线为，点处的切线交轴于点，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的方程为 B．过点且垂直于的直线平分 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】选项A，利用条件，设双曲线方程为，再利用双曲线过点，即可求解；选项B，根据条件，借助图形，即可求解；选项C，利用余弦定理及双曲线的定义，得到，再结合条件，即可求解；选项D，利用C中结果，再结合条件，即可求解. 【详解】对于A，因为双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为， 所以，解得，得到双曲线的方程为，正确， 对于B，如图，由题知，，所以， 若，所以， 正确， 对于C，记，所以， 又，得到，又， 所以，又， 由，得，错误， 对于D，因为，， 由，得， 又，得到，得到， 从而有，得到， 由，得到， 从而有，解得，正确， 故选：ABD. 9．（23-24高二下·广西南宁·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为为双曲线右支上一点，则下列说法正确的是（    ） A．若的内切圆圆心为，直线的斜率为 B．若的内切圆圆心为的外接圆半径为 C．若且，则 D．若且，则 【答案】ACD 【分析】A.根据双曲线的性质，结合内心的性质，确定内切圆的圆心在轴的射影为双曲线的顶点，再结合二倍角公式和正切公式，即可判断A，根据A的结果判断是直角三角形，再结合正弦定理判断B；由斜率结合三角形的正切公式，表示和，再根据双曲线的定义和离心率公式，即可判断C；首先由正切值求，再根据余弦定理求和，结合离心率公式，即可判断D. 【详解】如图1，由条件，点应在双曲线的右支上， 设圆分别与的三边切于点， 则， ，得，连接， 则， 所以，A选项正确； 同理，是直角三角形.. 由正弦定理，得选项错误； 若，则， 且，可得， 所以，故C正确； 对于选项D：因为，所以 因为，即， 解得，若，即， 则 即，即，故D正确. 故选：ACD 【点睛】结论点睛：双曲线焦点三角形内切圆的圆心在长轴的射影为顶点. 10．（23-24高二下·云南昆明·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的右支上，则下列说法正确的是（    ） A．若的周长为24，则的面积为48 B． C． D．若为锐角，则点的纵坐标范围是 【答案】BC 【分析】根据双曲线定义结合周长可得，，即可由直角三角形求解面积，判断A，根据双曲线上的点到焦点的距离的范围，结合双曲线定义即可求解B，根据渐近线斜率即可求解C，利用向量的坐标运算即可求解D. 【详解】可得， 由于点在的右支上，故， 对于A，若的周长为24，则， 进而，，故， 故的面积为，A错误， 对于B，由于，当在右顶点时等号取到， 故，故B正确， 对于C，由于双曲线一三象限的渐近线方程为， 故， 又当在右顶点时，，故，C正确， 对于D，设，， 则， 则， 解得或，故D错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：本题D选项解决的关键是，将问题化为，从而得解. 11．（23-24高二下·河南洛阳·期末）已知为双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线C的右支于P，Q两点，则下列叙述正确的是（    ） A．直线与直线的斜率之积为 B．的最小值为 C．若，则的周长为 D．点P到两条渐近线的距离之积 【答案】BCD 【分析】由双曲线的定义和条件，易得结论；设，则，计算直线与直线的斜率之积，其到两条渐近线的距离之积，判断选项A、D；利用双曲线的定义和性质可判断选项B、C. 【详解】 如图，， 设，则， 又，故A错误； 由双曲线的焦点弦的性质，可得过焦点垂直于轴的弦的长度最小， 即的最小值为，故B正确； 由双曲线的定义得， 所以， 故的周长为， 故C项正确； 由双曲线的渐近线方程为， 可得点P到两条渐近线的距离之积为 ，D正确. 故选：BCD 12．（23-24高二上·湖北孝感·期末）已知双曲线C：，（），的左、右焦点分别为，，双曲线C上两点A，B关于坐标原点对称，点P为双曲线右支上一动点，记直线，的斜率分别为，，若，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则的面积为 C．若，则的内切圆半径为 D．以为直径的圆与圆相切 【答案】ACD 【分析】A选项，设，，，，利用点差法得到，结合得到，从而由双曲线定义得到A正确；B选项，利用双曲线定义和余弦定理得到，从而求出三角形的面积；C选项，由双曲线定义和勾股定理求出，得到的面积，从而求出内切圆半径；D选项，设，，，先得到的中点为的坐标，从而得到，得到D正确. 【详解】A选项，设，，，， 则，，两式相减得，故， ， 所以，解得， 点P为双曲线右支上一动点，由双曲线定义得，A正确； B选项，因为，， 若，由余弦定理得 ， 故，解得， 故的面积为，B错误； C选项，因为，， 若，由勾股定理得， 解得， 故的面积为， 设的内切圆半径为， 故，即， 解得，C正确； D选项，设，，，其中， 设的中点为，则，， 又 ， 故，故以为直径的圆与圆相切，D正确. 故选：ACD 【点睛】圆锥曲线中点弦相关结论及其推广： 椭圆与直线相交于两点，弦的中点为，其中原点为， 则， 推广：椭圆与过原点的直线相交于两点，则从椭圆上任选一点（除外），满足； 双曲线与直线相交于两点，弦的中点为，其中原点为， 则， 推广：双曲线与过原点的直线相交于两点，则从双曲线上任选一点（除外），满足； 三、填空题 13．（23-24高二下·福建厦门·期末）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，为右支上一点，且，则的面积为 . 【答案】6 【分析】根据双曲线的方程求出，由双曲线的定义求出，然后利用余弦定理求出，再由同角三角函数的关系求出，最后利用三角形的面积公式可求得答案. 【详解】由，得，则， 因为为右支上一点，所以， 因为，所以， 由余弦定理得， 因为，所以， 所以的面积为. 故答案为：6 14．（23-24高二下·上海·期末）设双曲线的左、右焦点为、，点是上一点，满足，则的面积为 ． 【答案】 【分析】由双曲线的方程得到，设，再根据双曲线的定义余弦定理，求得，进而求得三角形的面积. 【详解】 由题意，，不妨设， 则，由余弦定理， 所以，， 所以，. 故答案为：. 15．（23-24高二上·贵州安顺·期末）已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，，为双曲线C的左、右焦点，过且斜率为的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点，若的周长为108，则双曲线C的方程为 ． 【答案】 【分析】首先求得，并利用直线与椭圆方程联立，利用韦达定理表示弦长，并结合双曲线的定义表示的周长，即可求解双曲线方程. 【详解】因为双曲线的渐进性方程为， 所以，则双曲线方程为，，， 所以直线的方程为，设，， 联立，得， ，， 所以， 因为，， 所以， 因为的周长为108，所以， 得，所以双曲线方程为. 故答案为： 焦半径及最值问题 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上，，则（    ） A．13 B．10 C．1 D．13或1 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义求解． 【详解】由题意得焦距为，由双曲线定义可得， 所以或，又因为在双曲线中，所以，故A正确. 故选：A. 2．（23-24高二上·贵州安顺·期末）已知双曲线的左焦点为F，点P在双曲线C的右支上，M为线段FP的中点，若M到坐标原点的距离为7，则（    ） A．8或20 B．20 C．6或22 D．22 【答案】B 【分析】根据中位线的性质和双曲线的定义，即可求. 【详解】由双曲线方程可知，，，设双曲线的右焦点为， 中，点分别是的中点，所以， 则，又因为. 故选：B 3．（23-24高三上·四川成都·期末）双曲线：（，）的一条渐近线过点，，是的左右焦点，且焦点到渐近线的距离为，若双曲线上一点满足，则（    ） A．3或7 B．7 C．5 D．3 【答案】B 【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用给定条件求出，再利用双曲线定义求解即得. 【详解】双曲线：的渐近线方程为，由在其中一条渐近线上得， 因为焦点到渐近线的距离为，由对称性，则右焦点到一条渐近线距离， 因此，由双曲线定义得，而，解得或， 显然，双曲线：上的点到焦点距离的最小值为，所以. 故选：B 4．（23-24高二上·云南楚雄·期末）已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（    ） A．7 B．6 C．5 D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合圆的性质和双曲线的定义，即可求解. 【详解】由圆可化为，则，半径为1， 因为是的下焦点，则， 由双曲线定义可得， 所以， 当且仅当四点共线时，取得最小值，即的最小值是. 故选：B. 5．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）若双曲线上一点到其右焦点的距离是8,则点到其左焦点的距离是（    ） A．4 B．10 C．2或10 D．4或12 【答案】D 【分析】通过对点的位置进行分类讨论,再结合双曲线的定义进行运算即可. 【详解】由双曲线的方程可得,所以,可得. 设右焦点为,左焦点为, 当点在左支上时,则,所以； 当点在右支上时,． 故选:D. 6．（23-24高二下·上海静安·期末）已知点是双曲线右支上的一点，点分别是圆和圆上的点．则的最小值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【分析】根据圆的性质分析可得，再结合双曲线的定义运算求解. 【详解】由双曲线可知， 且圆的圆心为，半径， 的圆心为，半径， 由圆的性质可知：， 可得， 可知，为双曲线的焦点，则， 可得， 所以的最小值为5. 故选：B. 7．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知点，点是双曲线：左支上的动点，是圆：上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆的性质求出的最大值，由点与抛物线右支的位置求出的最小值，再利用双曲线定义求解即得. 【详解】双曲线的半焦距，圆的圆心是双曲线的左焦点，令右焦点为， 圆半径为，显然点在圆外，，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号， ，当且仅当三点共线时取等号，由双曲线的定义， 所以，即的最小值为. 故选：D    【点睛】结论点睛：设为圆的圆心，半径为，圆外一点到圆上的距离的最小值为，最大值为. 8．（23-24高二上·天津·期末）已知双曲线的离心率为2，右焦点为，动点在双曲线右支上，点，则最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线的离心率得到，左焦点，根据双曲线的定义得到，然后根据几何知识得到当，，三点共线时最大，最后求最大值即可. 【详解】 因为双曲线的离心率为2，所以，解得， ，，则左焦点， 由双曲线的定义得， 因为，即当，，三点共线时最大， 所以， 最大值为. 故选：D. 9．（23-24高三上·辽宁葫芦岛·期末）已知点是双曲线的左焦点，点是双曲线上在第一象限内的一点，点是双曲线渐近线上的动点，则的最小值为（    ） A．8 B．5 C．3 D．2 【答案】B 【分析】设右焦点为，根据双曲线的定义可得，再根据三角形性质结合点到线的距离求解即可. 【详解】设右焦点为，又由对称性，不妨设在渐近线上. 根据双曲线的定义可得，当且仅当三点共线时取等号. 又当与渐近线垂直时取最小值，为，故最小值为5. 故选：B 二、多选题 10．（23-24高二上·山东青岛·期末）若双曲线方程为，为双曲线的一个焦点，点在该双曲线上，为坐标原点，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为 C．双曲线的焦距为 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】选项A，分析方程，得出，进而求出双曲线的离心率即可；选项B，将双曲线方程化为，反解，求出双曲线的渐近线方程即可；选线C，得出后，求出的值，即可判断；选项D，求出双曲线的一个焦点坐标，设出点的坐标，用两点间距离公式求即可. 【详解】对于选项A，双曲线中，，得，故A不正确； 对于选项B，双曲线，化为形式，反解，得出其渐近线方程为，故选项B正确； 对于选项C，因为，可得双曲线的焦距为，故选项C正确； 对于选项D，为双曲线的焦点，不妨取，设，， 其中，得：（其中）， 当且仅当时取得最小值，最小值为，故D不正确. 故选：BC. 11．（23-24高二上·江苏泰州·期末）下列结论正确的是（    ） A．椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为8 B．椭圆上一点到右焦点的距离的最大值为6 C．双曲线上一点到一个焦点的距离为1，则点到另一个焦点的距离为 D．双曲线上一点到一个焦点的距离为17，则点到另一个焦点的距离为1 【答案】AC 【分析】利用椭圆和双曲线的定理逐个判断即可. 【详解】对于A：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为，正确； 对于B：椭圆上一点到右焦点的距离的最大值为，B错误； 对于C：根据双曲线的定义，双曲线上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为，这里，所以到另一个焦点的距离为，C正确； 对于D：根据双曲线的定义，双曲线上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为，这里，所以到另一个焦点的距离为或，D错误. 故选：AC. 12．（23-24高二上·湖北荆门·期末）已知双曲线（，），实轴长为8，虚半轴长为，，分别为双曲线左右焦点，点，P为双曲线在第一象限上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A． B．内切圆圆心的横坐标为定值 C．若直线l交双曲线于A，B两点，且Q为中点，则直线l的方程为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据题意可得以及双曲线方程.对于A：根据数量积的运算律以及双曲线的性质运算求解；对于B：根据切线的性质以及双曲线的定义分析求解；对于C：根据点差法分析求解；对于D：利用双曲线的定义进行转化，结合图形的性质分析求解. 【详解】由题意可知：，，，双曲线方程为， 对于选项A：因为，且， 所以，故A正确； 对于选项B：设内切圆的圆心为，内切圆与边分别切于点， 可知：， 因为， 设点的横坐标为， 由可知：点的横坐标为， 则，即， 所以内切圆圆心的横坐标为定值4，故B正确； 对于选项C：设，， 若Q为中点，则， 可得，， 因为A，B在双曲线上，则， 两式相减得， 整理得，即， 所以直线l的方程为，即， 联立方程，消去y得， 计算，故C错误， 对于选项D：因为，则， 可得， 当且仅当P在线段上时，等号成立，故D正确． 故选：ABD. 【点睛】易错点睛：对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交． 三、填空题 13．（23-24高二下·上海长宁·期末）设、为双曲线Γ：左、右焦点，且Γ的离心率为，若点M在Γ的右支上，直线与Γ的左支相交于点N，且，则 . 【答案】3 【分析】根据离心率公式求出，画出草图，结合双曲线定义可解． 【详解】如图，画出草图． 由的离心率为，且，可得，解得. 因为， 所以由双曲线的定义，可得. 故答案为：． 14．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知，是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 ． 【答案】7 【分析】由题意结合双曲线定义将转换为，进一步由三角形三边关系即可求解. 【详解】如图所示：      由题意，设为双曲线右焦点，线段与双曲线右支交于点， 所以，等号成立当且仅当重合， 所以的最小值为7. 故答案为：7. 15．（23-24高二上·湖北十堰·期末）是双曲线的左焦点，是右支上一点，过作与直线夹角为的直线，并与相交于点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意由双曲线定义知，然后由题意可知，再求出到的距离，从而可得，从而可求解. 【详解】过作的垂线，垂足为，如图， 因为与的夹角为，所以， 设的右焦点为，则， 到的距离， 所以， 当且仅当三点共线时，等号成立． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：由题意作出图形，可得，求出与的距离，并结合双曲线定义可知，从而可求解. 根据方程求参数（范围） 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出方程表示双曲线的充要条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】方程表示双曲线，则，解得或， 当时，方程表示双曲线， 所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件. 故选：A 2．（23-24高二上·河南许昌·期末）若方程表示双曲线，则的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【分析】对双曲线的焦点位置进行分类讨论，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】若方程表示的曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得； 若方程表示的曲线是焦点在轴上的双曲线，则，无解. 综上所述，. 故选：D. 3．（23-24高二上·江西景德镇·期末）已知方程表示的曲线为，则下列命题正确的个数有（    ） ①若曲线为椭圆，则且焦距为常数 ②曲线不可能是焦点在轴的双曲线 ③若，则曲线上存在点，使，其中为曲线的焦点 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】根据椭圆、双曲线的方程的特征逐一求出参数范围判断①②；对于③，满足条件的点在以为直径的圆上，即，联立方程求解即可判断. 【详解】对于①，曲线是椭圆等价于，解得， 且，，则焦距为常数，故①正确； 对于②，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，故②正确. 对于③，若，则曲线为，则， 若曲线上存在点，使， 则点在以为直径的圆上，即， 由，解得或， 所以有4个符合条件的点，故③正确, 所以正确的命题有3个. 故选：D 4．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）若方程表示曲线C，则下列说法正确的是（    ） A．若，则曲线C为椭圆 B．若曲线C为双曲线，则 C．曲线C不可能是圆 D．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则 【答案】D 【分析】根据椭圆，双曲线，圆以及焦点在x轴上的椭圆对方程结构的要求，建立不等式组求之即得. 【详解】对于A项，方程表示椭圆等价于，解得：，故A项错误； 对于B项，方程表示双曲线等价于，解得：或，故B项错误； 对于C项，方程表示圆，等价于解得：,故C项错误； 对于D项，方程表示焦点在x轴上的椭圆等价于，解得：，故D项正确. 故选：D. 5．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知曲线的焦距为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆和双曲线的标准方程即可求解. 【详解】由题意知，该曲线的半焦距为， 若该曲线为椭圆， 则或， 可得(舍去)或， 若该曲线为双曲线， 则，可得(舍去)， 综上，. 故选：B 二、多选题 6．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知曲线，下列说法正确的是（    ） A．若，则是圆，其半径为 B．若，，则是两条直线 C．若时，则是椭圆，其焦点在轴上 D．若时，则是双曲线，其渐近线方程为 【答案】AB 【分析】根据选项条件分别化简曲线为圆锥曲线的标准方程，然后逐一分析，即可求解． 【详解】对于A，， ，则是圆，半径为，故A正确； 对于B，若，时，，则是两条直线，故B正确； 对于C，若时，，则，则为焦点在轴的椭圆，故C错误； 对于D，若时，则是双曲线，渐近线方程为，故D错误； 故选：AB． 7．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知曲线，下列命题错误的是（    ） A．若，则是双曲线 B．若，则是椭圆 C．若，则是圆 D．若，则是两条直线 【答案】BCD 【分析】 就的关系或符号分类讨论后可得正确的选项. 【详解】对于A，当时，异号，故曲线是双曲线，故A正确； 对于B，若，则曲线是圆，故B错误； 对于C，若，则曲线不存在，故C错误； 对于D，若，满足，但曲线不存在，故D错误. 故选：BCD. 8．（23-24高二上·福建福州·期末）若方程所表示的曲线为，则下面四个说法中正确的是（    ） A．若，则为椭圆 B．若为椭圆，且焦点在轴上，则 C．曲线可能是圆 D．若为双曲线，则 【答案】BC 【分析】根据椭圆标准方程的特征列不等式求解即可判断AB；根据方程为圆列式求解判断C；根据双曲线的特征判断D. 【详解】当时，方程为，此时表示圆，故A错；C对； 若为椭圆，且焦点在轴上，则，解得，故B对； 若为双曲线，则，解得，或，故D错； 故选：BC 9．（23-24高二上·安徽合肥·期末）已知曲线C：，则（    ） A．存在m，使C表示圆 B．当时，则C的渐近线方程为 C．当时，则C的焦点是， D．当C表示双曲线时，则或 【答案】AD 【分析】由圆方程的特征得到，从而判断A；利用双曲线渐近线公式判断B；由题意得，从而由椭圆方程特征得到焦点在轴上，进而判断C；由双曲线方程的特征得到，从而判断D. 【详解】A选项，当，即时，为圆，故A正确； B选项，当时，，故渐近线方程为，故B错误； C选项，当时，则，显然C的焦点在轴上，故C错误； D选项，当C表示双曲线时，，则或，故D正确. 故选：AD. 三、填空题 10．（23-24高二下·广东惠州·期末）双曲线的一个焦点是，则 ． 【答案】 【分析】化双曲线方程为标准形式，再结合焦点坐标求出值. 【详解】双曲线方程为，依题意，，所以. 故答案为： 11．（23-24高二上·北京西城·期末）若方程表示的曲线为双曲线，则实数的取值范围是 ；若此方程表示的曲线为椭圆，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据双曲线和椭圆的标准方程依次建立不等式（组），解之即可求解. 【详解】若方程为双曲线时，，解得或， 即实数m的取值范围为； 若方程为椭圆时，，解得， 即实数m的取值范围为. 故答案为：； 求椭圆的标准方程 一、单选题 1．（23-24高二下·河南商丘·期末）已知双曲线的顶点为椭圆的焦点，的离心率与的离心率之积为1，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出椭圆的焦点坐标和离心率，结合题意求出双曲线的a、b，即可求解. 【详解】由题意知，对于椭圆， 焦点为和，离心率为. 设双曲线的标准方程为， 又双曲线的离心率与椭圆的离心率之积为1， 所以双曲线的离心率为，即， 又，所以，， 所以双曲线的标准方程为. 故选：B 2．（23-24高二上·福建福州·期末）双曲线的一个顶点为，渐近线方程为，则双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的顶点坐标与渐近线方程求得得双曲线方程. 【详解】由双曲线的一个顶点为得双曲线的焦点在轴，可设双曲线方程为， 则， 因为渐近线方程为，即，所以，所以， 所以所求双曲线的方程为. 故选：B 3．（23-24高二上·福建福州·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，实轴长为4，则双曲线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分焦点在x轴和y轴两种情况，结合公式求出答案. 【详解】实轴长， 若双曲线焦点在x轴上，则双曲线方程为， 若双曲线焦点在y轴上，则双曲线方程为. 故选：C． 4．（23-24高二上·陕西西安·期末）双曲线的一个顶点为，虚半轴长为，则双曲线的标准方程是（　　）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线的定点坐标及虚半轴长可得方程. 【详解】由已知双曲线的一个顶点为， 可知双曲线的焦点在轴上，且， 又虚半轴长为， 所以双曲线方程为， 故选：C. 5．（23-24高二上·广东·期末）已知动圆与圆及圆都外切，那么动圆圆心轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，半径为，根据给定条件可得，从而得到的轨迹为以为焦点，的双曲线左支，再求轨迹方程即可. 【详解】圆：，圆心，半径 ， 圆：，圆心，半径 ， 设动圆圆心，半径为，由动圆与圆，都外切， 得，则， 因此圆心的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线左支， 即，半焦距，虚半轴长， 所以动圆圆心的轨迹方程是. 故选：B 二、填空题 6．（23-24高二下·北京东城·期末）已知双曲线的焦点为和，一条渐近线方程为，则的方程为 . 【答案】 【分析】由焦点坐标以及渐近线方程列式求出即可得解. 【详解】双曲线的焦点在轴上，设的方程为， 由题意，解得， 所以的方程为. 故答案为：. 7．（23-24高二上·云南昭通·期末）已知双曲线的右焦点为，实轴长为8，则该双曲线的标准方程为 . 【答案】 【分析】由题意可得条件，，从而得到双曲线标准方程.. 【详解】由题可得双曲线焦点在轴上，且，，所以，，则双曲线的标准方程为. 故答案为： 8．（23-24高二上·宁夏银川·期末）双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，已知点为抛物线C：的焦点，且到双曲线E的一条渐近线的距离为，又点P为双曲线E上一点，满足.则: （1）双曲线的标准方程为 ； （2）的面积为 . 【答案】 【分析】（1）根据抛物线方程可求得焦点坐标，由到其双曲线的渐近线的距离可求得b，再由双曲线中的关系即可求得双曲线方程； （2）在中运用余弦定理及三角形面积公式可得结果. 【详解】（1）双曲线的渐近线方程为，抛物线的焦点， 又到渐近线的距离为，即，所以， 则双曲线的标准方程为. （2）设点P为双曲线E右支上一点，，则，， 在中，，，解得， 所以，， ， 故答案为：（1），（2）.    双曲线焦点焦距问题 一、单选题 1．（23-24高三下·四川·期末）双曲线的左，右焦点分别是，，已知到双曲线H的一条渐近线的距离为，则为（   ） A．4 B． C．6 D．8 【答案】D 【分析】求出双曲线的渐近线方程，再利用点到直线的距离公式求解即得. 【详解】双曲线的渐近线方程为：， 令，，于是，， 所以. 故选：D 2．（23-24高二下·福建福州·期末）已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线的左支交于两点，若，则双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线定义、已知条件求出、，设，由余弦定理、求出可得答案. 【详解】如图，由于， 有4，可得， 又由，可得，设， 在中，由余弦定理有. 在中，由余弦定理有. 又由，有， 可得，解得，所以双曲线的焦距为. 故选：B.    3．（23-24高二上·安徽·期末）已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的焦点坐标分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由渐近线、的关系以及焦点的概念即可求解. 【详解】已知双曲线的渐近线方程为，对照，可得， 所以，所以该双曲线的焦点坐标分别为，． 故选：B. 4．（23-24高二上·福建三明·期末）双曲线的焦距为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据双曲线的标准方程，得出，计算出，即可求出焦距. 【详解】因为双曲线方程为，所以，因为，所以，所以双曲线的焦距为4. 故选：D 5．（23-24高二上·山西太原·期末）已知直线与双曲线相交于两点，且两点的横坐标之积为，则该双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立解方程，求出交点横坐标，然后列式计算即可. 【详解】联立，消去得， 所以，此时方程的解为， 所以， 解得，符合， 所以双曲线的焦距为. 故选：B. 6．（23-24高二上·江西景德镇·期末）共轭双曲线与，有（    ） A．相同的离心率 B．公共焦点 C．公共顶点 D．公共渐近线 【答案】D 【分析】根据双曲线的离心率、交点、顶点、渐近线等知识确定正确答案. 【详解】双曲线的焦点在轴上，双曲线的焦点在轴上， 所以BC选项错误. 双曲线对应， 对应离心率为，渐近线方程为. 双曲线对应， 对应离心率为，渐近线方程为， 所以A选项错误，D选项正确. 故选：D 二、多选题 7．（23-24高二上·山东青岛·期末）若双曲线方程为，为双曲线的一个焦点，点在该双曲线上，为坐标原点，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为 C．双曲线的焦距为 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】选项A，分析方程，得出，进而求出双曲线的离心率即可；选项B，将双曲线方程化为，反解，求出双曲线的渐近线方程即可；选线C，得出后，求出的值，即可判断；选项D，求出双曲线的一个焦点坐标，设出点的坐标，用两点间距离公式求即可. 【详解】对于选项A，双曲线中，，得，故A不正确； 对于选项B，双曲线，化为形式，反解，得出其渐近线方程为，故选项B正确； 对于选项C，因为，可得双曲线的焦距为，故选项C正确； 对于选项D，为双曲线的焦点，不妨取，设，， 其中，得：（其中）， 当且仅当时取得最小值，最小值为，故D不正确. 故选：BC. 8．（23-24高二上·四川自贡·期末）已知双曲线，则双曲线（    ） A．焦点坐标为和 B．渐近线方程为和 C．离心率为 D．与直线有且仅有一个公共点 【答案】CD 【分析】A：计算出的值，则焦点坐标可知；B：求出的值，则渐近线方程可知；C：根据可知离心率；D：分析直线与渐近线的关系可知结果. 【详解】A：因为，所以，所以焦点坐标为，故A错误； B：因为，所以渐近线方程为，即，故B错误； C：因为，所以，故C正确； D：因为与渐近线平行，所以与双曲线有且仅有一个交点，故D正确； 故选：CD. 三、填空题 9．（23-24高二下·广东惠州·期末）双曲线的一个焦点是，则 ． 【答案】 【分析】化双曲线方程为标准形式，再结合焦点坐标求出值. 【详解】双曲线方程为，依题意，，所以. 故答案为： 10．（23-24高三上·河南漯河·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，则的焦距为 . 【答案】 【分析】求出渐近线方程，对照得到方程，求出，从而求出焦距. 【详解】由题意得的渐近线方程为， 故，解得， 故，焦距为. 故答案为： 11．（23-24高三上·江苏常州·期末）已知双曲线的标准方程为，则该双曲线的焦距是 ． 【答案】2 【分析】由双曲线方程可得. 【详解】由双曲线方程可知， 所以，，． 故答案为：2 双曲线实轴虚轴问题 一、单选题 1．（23-24高二下·河北石家庄·期末）已知直线与双曲线的一条渐近线平行，则的实轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的渐近线和直线斜率可得，求得，进而可得实轴长. 【详解】由双曲线可知：，且焦点在x轴上， 则双曲线的渐近线为， 且直线的斜率， 若直线与双曲线的一条渐近线平行， 则，解得，即， 所以的实轴长为. 故选：D. 2．（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶M到水面的距离为米时，水面宽为米，则此双曲线的虚轴长为（    ）    A． B．2 C．3 D．6 【答案】D 【分析】由题得出，代入求得，得到双曲线标准方程即可得出答案. 【详解】由题意得，代入得，解得， 即，因此虚轴长为， 故选：D． 3．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知双曲线的左右顶点分别为，右焦点为F，以为直径作圆，与双曲线C的右支交于两点．若线段的垂直平分线过，则的数值为（    ） A．3 B．4 C．8 D．9 【答案】C 【分析】由双曲线方程得，结合圆的性质及线段垂直平分线的性质得是的中点，得到关系求，进而求出. 【详解】由双曲线，得，， 由题意，点在以为直径的圆上，则， 取的中点,由线段的垂直平分线过，则， 则，故是的中点， 且，所以，解得， 故. 故选：C.    4．（23-24高二上·安徽·期末）已知双曲线：与：，则（    ） A．与的实轴长相等 B．与的渐近线相同 C．与的焦距相等 D．与的离心率相等 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出两条双曲线实半轴长、虚半轴长、半焦距，渐近线方程及离心率即可判断得解. 【详解】双曲线的实半轴长，虚半轴长，半焦距，渐近线方程为，离心率， 双曲线的实半轴长，虚半轴长，半焦距，渐近线方程为，离心率， 因此与的焦距都是，只有C正确，ABD错误. 故选：C 5．（23-24高二上·天津河东·期末）双曲线的实半轴长为（    ） A．16 B．8 C．4 D．3 【答案】C 【分析】根据题意，化简双曲线的方程为标准方程，结合双曲线的几何性质，即可求解. 【详解】由双曲线，可化为，可得，即， 所以双曲线的实半轴长为. 故选：C. 6．（23-24高二上·河南开封·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则C的实轴长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据渐近线方程可设双曲线，代入运算，即可得双曲线方程，进而可得实轴长. 【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为， 可设双曲线， 代入可得：， 则双曲线，即， 可知，所以C的实轴长为. 故选：B. 二、多选题 7．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知双曲线：，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的虚轴长为 C．双曲线的实半轴长为 D．双曲线的渐近线方程为 【答案】AB 【分析】根据给定的双曲线方程，求出实半轴长、虚半轴长、半焦距，再逐项计算判断即可. 【详解】双曲线：的标准方程为， 则双曲线的实半轴长、虚半轴长， 半焦距， 所以双曲线的离心率，故A正确； 双曲线的虚轴长为，B正确； 双曲线的实半轴长为，故C错误； 双曲线的渐近线方程为，故D错误． 故选：． 8．（23-24高二上·山东聊城·期末）已知双曲线的右焦点为，右顶点为A，离心率为e，直线轴，且与C的左、右两支分别交于P，Q两点，О为坐标原点，则下列命题正确的是（    ）． A．若，则C的虚轴长为 B．若，则 C．若存在l使，则 D．若存在l使，则 【答案】BCD 【分析】由可求出可判断A；记双曲线的左焦点为，连接，则易知四边形为等腰梯形，再由双曲线的定义可判断B；由可得，代入双曲线的方程可得进而判断C；由可得双曲线的渐近线的斜率大于，所以，可判断D. 【详解】由题意可得，， 对于A，若，则，则，， 所以C的虚轴长为，故A错误； 对于B，由A可知，双曲线， 记双曲线的左焦点为，连接，则易知四边形为等腰梯形， 所以，，故B正确； 对于C，因为A为双曲线的右顶点，则， 设，因为直线轴，所以， 因为，所以， ，即， 因为在上，所以， 所以，即，所以，， 所以，故C正确； 对于D，记与轴的交点为，因为直线轴，所以， 若存在l使，则是等腰直角三角形， 所以，所以， 易知双曲线的渐近线的斜率大于， 所以， 所以，所以，所以，所以，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：本题D选项的关键点是由得出，进而可知双曲线的渐近线的斜率大于，所以，再结合可判断.. 三、填空题 9．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期末）若方程表示双曲线，则该双曲线的虚轴长为 . 【答案】 【分析】化为，根据双曲线方程的特征得到双曲线的虚轴长. 【详解】若方程表示双曲线，显然， 则由可得，所以， 该双曲线的虚轴长为， 故答案为：. 10．（23-24高二上·贵州黔东南·期末）双曲线的虚轴长为 ． 【答案】6 【分析】利用双曲线的标准方程求解. 【详解】解：因为，所以， 所以该双曲线的虚轴长为6． 故答案为：6 11．（23-24高二上·安徽·期末）若双曲线的焦点分别为，，且点在上，则的实轴长为 ． 【答案】 【分析】利用双曲线的定义计算即可. 【详解】双曲线的实轴长为. 故答案为：. 渐近线离心率问题 一、单选题 1．（23-24高二下·云南楚雄·期末）已知双曲线的实轴长为1，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由实轴长可列方程求得参数的值，进一步即可求得渐近线方程. 【详解】由题可知双曲线的实轴长为，则，解得，所以该双曲线的渐近线方程为． 故选：A. 2．（23-24高二下·安徽六安·期末）已知双曲线的左焦点到其渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据左焦点到渐近线的距离，结合双曲线的关系即可求出双曲线的离心率. 【详解】根据双曲线的几何性质可知，左焦点， 其到渐近线的距离为， 因为，所以. 故选：C． 3．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知先求得参数，进一步即可得解. 【详解】已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合， 所以，解得， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：B. 4．（23-24高二下·河南驻马店·期末）已知双曲线E 的右焦点为F，以F为圆心，为半径的圆与双曲线 E的一条渐近线交于A，B两点，若，则双曲线 E的离心率为（     ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线距离、圆的弦长公式及勾股定理建立关系求得，即可求出离心率. 【详解】令点，双曲线E 的渐近线方程为， 由对称性不妨取直线，取中点，连接，则， ，而， 由，得，在中，， 则，解得， 所以双曲线 E的离心率. 故选：A 5．（23-24高二下·云南普洱·期末）若直线与双曲线的一条渐近线平行，则实数的值为：（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【分析】由双曲线方程写出渐近线方程，注意，结合直线平行列方程求参数值即可. 【详解】由题设且，故， 所以，双曲线的渐近线方程为， 其中一条与平行，所以，则． 故选：A． 6．（23-24高二下·湖南·期末）已知双曲线E：（）的右焦点F到其一条渐近线的距离为1，则E的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】直接代入点到直线距离公式求出，再求离心率. 【详解】由题意可知，双曲线焦点在轴，，右焦点到渐近线的距离， 所以，，. 故选：A 7．（23-24高二下·甘肃·期末）过双曲线的左焦点作斜率为2的直线交于两点．若，则双曲线的离心率为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】设，由，得，设直线的方程为，代入双曲线方程化简，利用根与系数的关系，再结合可得到关于的式子，化简后可求得离心率. 【详解】设，由，得， 设直线的方程为， 由消去，得， 由根与系数的关系，得， 所以， 所以，化简得， 所以，得， 所以，可得. 故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查求双曲线的离心率，考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是由题意设出直线的方程为，代入双曲线方程化简整理利用根与系数的关系，考查计算能力，属于较难题. 8．（23-24高二下·江苏盐城·期末）若双曲线C：的渐近线与圆没有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离大于半径求得a和b的关系，进而利用求得a和c的关系，则双曲线的离心率可求． 【详解】双曲线渐近线为，且与圆没有公共点， 圆心到渐近线的距离大于半径，即，，，． 故选：B． 9．（23-24高二上·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，其中且双曲线渐近线的斜率绝对值小于，则下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D．. 【答案】D 【分析】A选项，根据离心率的定义得到；B选项，先得到，从而得到，得到B正确；C选项，根据和得到；D选项，根据基本不等式得到，得到D错误. 【详解】A选项，由题意得，，故，A正确； B选项，双曲线的一条渐近线方程为，故， 故，故，B正确； C选项，由A知，故，故，C正确； D选项，因为，，， 所以， 又，且，由基本不等式得，故， 所以，D错误. 故选：D 二、多选题 10．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知点在左､右焦点分别为的双曲线上，，则（    ） A．渐近线方程为 B．离心率为 C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得，即可判断AB，由余弦定理代入计算即可求得，再由三角形的面积公式，即可判断CD 【详解】因为，所以的渐近线方程为，离心率，故A错误，B正确. 不妨设点在的右支上，则.因为， 所以.在中，， 则， 所以的面积， 故C，D正确. 故选：BCD 11．（23-24高二下·海南·期末）已知为双曲线的右焦点，过的直线与圆相切于点，且与及其渐近线在第二象限的交点分别为，则下列说法正确的是（    ） A．直线的斜率为 B．直线是的一条渐近线 C．若，则的离心率为 D．若，则的渐近线方程为 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，计算斜率判断A；由计算直线斜率判断B；求出点的坐标计算判断C，D. 【详解】对于A，根据题意，，设直线， 又因为直线与圆相切于点， 所以，A正确； 对于B，根据题意可知，可得， 所以直线是的一条渐近线，B正确； 对于C，若，根据题意，联立，解得， 同理联立，解得， 由于，故，即， 化简得，则的离心率为，C错误； 对于D，设，依题意知，则， 故，得， 故，代入，得， 所以，则， 得，则的渐近线方程为，D正确； 故选：ABD 【点睛】难点点睛：本题考查直线与双曲线位置关系问题，解答的难点在于计算，并且基本都是有关字母参数的运算，计算量大，很容易出错. 12．（23-24高二下·河北·期末）如图，P是椭圆与双曲线在第一象限的交点，,且共焦点的离心率分别为，则下列结论正确的是（       ）    A． B．若，则 C．若，则的最小值为2 D． 【答案】AD 【分析】A.利用椭圆和双曲线的定义，即可求解；B.应用余弦定理，正确表示离心率，即可判断；C.根据勾股定理，并表示离心率，最后应用基本不等式，即可判断；D.分别在椭圆和双曲线中，在焦点三角形中，应用余弦定理表示，建立等量关系，即可判断. 【详解】A.由题意可知，，， 得，故A正确； B.中，若，设椭圆和双曲线的半焦距为， 根据余弦定理，， 整理为， 而，故B错误； C. 若，则，则， 则， ， 当时，等号成立，这与矛盾，所以，故C错误； D.在椭圆中，， ， 整理为， 在双曲线中，， 整理为， 所以，即， 而，则，故D正确. 故选：AD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是正确应用椭圆和双曲线的定义，并在两个曲线中正确表示离心率，以及焦点三角形中应用余弦定理. 三、填空题 13．（23-24高二下·安徽阜阳·期末）已知圆与双曲线的渐近线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离小于等于半径求得a和b的关系，进而利用求得a和c的不等关系，即双曲线的离心率范围可求． 【详解】圆，双曲线的渐近线为， 圆与双曲线的渐近线有公共点， 圆心到渐近线的距离， ，，即， ． 故答案为：． 14．（23-24高二下·四川凉山·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，过作渐近线的垂线，垂足为，直线的斜率为，则双曲线的离心率为 ． 【答案】或 【分析】根据题意求直线的方程，进而可得点，根据斜率关系列式解得或，即可得结果. 【详解】由题意可知：渐近线的斜率，则其垂线的斜率为， 且，则直线：， 联立方程，解得，即， 由直线的斜率可得， 整理可得，解得或，即或， 所以双曲线的离心率为或. 故答案为：或. 15．（23-24高二下·贵州安顺·期末）已知椭圆和双曲线在第一象限的交点为，椭圆的右焦点为，在方向上的投影向量为，则椭圆的离心率为 ；双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 / 【分析】设椭圆的半焦距为，则，由点的横坐标，得，代入双曲线方程得，则得，，即可求得椭圆的离心率和双曲线的渐近线方程. 【详解】 设椭圆的半焦距为， 则，，① 因为在方向上的投影向量为，点在第一象限， 所以点的横坐标， 代入椭圆的方程得， 又点在双曲线上， 所以，② 由①②解得，， 所以椭圆的离心率为； 双曲线的渐近线方程为. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 16．（23-24高二下·广东茂名·期末）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，.过点的直线与轴交于点，与交于点，且，点在以为直径的圆上，则的渐近线方程为 . 【答案】 【分析】设，则，利用勾股定理得到 ，则得到，最后再利用余弦定理得到齐次方程即可. 【详解】依题意，设，则， 因为点在以为直径的圆上，则， 在Rt中，，则， 故或(舍去)，所以， 则，故， 所以在中，， 整理得，则，则，则， 故的渐近线方程为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用双曲线的定义和勾股定理得到，最后再利用余弦定理得到齐次方程， 直线与双曲线的位置关系 一、单选题 1．（23-24高二上·黑龙江鸡西·期末）如果直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】联立方程组，结合一元二次方程的韦达定理，列出不等式组，即可求解. 【详解】联立方程组，整理得， 因为直线和双曲线没有公共点， 所以，可得，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 2．（23-24高二上·上海·期末）设双曲线经过点，且与具有相同的渐近线，则经过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（    ）条. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】首先求出双曲线的方程，再分两类讨论直线即可. 【详解】由题可设双曲线C的方程为（）， 将点代入上式得：， 故双曲线C的方程为，显然其右顶点的坐标为，渐近线方程为， 当直线斜率不存在时，此时直线方程为，符合题意， 当直线与双曲线的渐近线平行时，即直线方程为时，此时也符合题意， 综上，这样的直线共有3条. 故选：D. 3．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点，，则下列结论中错误的是（    ） A．的标准方程为 B．的离心率等于 C．与双曲线的渐近线不相同 D．直线与有且仅有一个公共点 【答案】C 【分析】首先待定系数法得的标准方程为可判断A，进一步可判断BC，联立直线与双曲线的方程即可判断D. 【详解】对于A，由题意不妨设的方程为， 所以有，解得，即的标准方程为，故A不符合题意； 对于B，因为，所以，离心率为，故B不符合题意； 对于C，令，都可以得到，即与双曲线的渐近线相同，故C符合题意； 对于D，联立，消去化简并整理得，，解得，， 即直线与有且仅有一个公共点，故D不符合题意. 故选：C. 4．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知点为双曲线右支上的一个动点，则点到直线的距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把所求问题转化为求点到直线的最小距离，结合平行线间的距离公式可求. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 而直线与平行，平行线间的距离， 由题意可知点到直线的距离大于. 故选：B. 5．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知点F是双曲线的一个焦点，直线，则“点F到直线l的距离大于1”是“直线l与双曲线C没有公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由点到直线距离公式和充分必要条件可判断. 【详解】由双曲线，可知，且渐近线方程为 若点F到直线l的距离，得，或， 如图，由双曲线性质可知，直线l与双曲线C没有公共点； 反之，若直线l与双曲线C没有公共点，因为直线l过原点， 由图可知，，或， 则， 即点F到直线l的距离大于或等于1， 所以，“点F到直线l的距离大于1”是“直线l与双曲线C没有公共点”的充分不必要条件. 故选：A 6．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知直线与曲线恰有三个不同交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先运算转化曲线的方程形式，再作出图形，数形结合，随着直线平行移动，与曲线有三个不同交点，求出直线截距范围即可. 【详解】曲线可化为， 当时，，则， 故此时曲线为椭圆的上半部分； 当时，，则， 故此时曲线为双曲线的上半部分，且渐近线方程为； 直线，表示一组斜率为的平行直线， 如图，当直线过点时，，解得； 当直线与椭圆上半部分相切时， 由，消化简得， 由，解得， 又直线与椭圆上半部分相切，则，故， 要使直线与曲线恰有三个不同交点， 结合图形可得，实数的取值范围为. 故选：D. 二、多选题 7．（23-24高三上·湖南常德·期末）设圆的圆心为M，双曲线C：的左右焦点分别，已知圆M与双曲线C相交于A，B两点，且，则下列说法正确的（    ） A．双曲线C的焦距为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．双曲线C的焦点到渐近线距离为2 D．过点M且与双曲线C的右支有2个交点的直线的斜率的取值范围是 【答案】AD 【分析】先证是等腰直角三角形，可得，再将其代入双曲线C的方程求出b的值，由双曲线的几何性质可判断选项A和B；利用点到直线的距离公式可判断选项C；选项D，设过点M的直线方程为，将其与双曲线的方程联立，结合韦达定理，解关于k的不等式组，即可得解． 【详解】由题意知，，半径为4，且A是双曲线的右顶点，即， 因为 所以是等腰直角三角形，且， 所以，将其代入双曲线C：中，有，所以，即, 设双曲线的焦距为2c，则即，所以焦距为，即选项A正确； 双曲线的渐近线方程为，,即选项B错误； 不妨取双曲线C的焦点到渐近线距离，则该距离为，即选项C错误； 选项D，当过点M的直线的斜率不存在时，该直线方程为x＝2，与双曲线有且只有1个交点，不符合题意； 当过点M的直线的斜率存在时，设该直线方程为， 联立，得, 设过点M且与双曲线C的右支的2个交点的横坐标分别为， 则 因为恒成立，所以，解得，所以过点M且与双曲线C的右支有2个交点的直线的斜率的取值范围是，即选项D正确． 故选：AD 8．（23-24高二上·河南·期末）已知曲线，则（    ） A．当时，曲线是椭圆 B．当时，曲线是以直线为渐近线的双曲线 C．存在实数，使得过点 D．当时，直线总与曲线相交 【答案】ABC 【分析】A：根据的正负以及大小关系判断；B：先表示出双曲线方程，然后可知渐近线方程；C：代入于曲线方程，然后判断方程是否有解即可；D：考虑时的情况. 【详解】当时，，所以方程表示的曲线是椭圆，故A正确； 当时，方程为，所以，其渐近线方程为，即，故B正确； 令，整理得且，此方程有解，故C正确； 当时，曲线为双曲线，直线为的一条渐近线，此时无交点，故D错误. 故选：ABC. 9．（23-24高三上·湖北武汉·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，圆上任意一点处的切线交双曲线于两点M、N（   ） A．或2 B．若与双曲线左、右两支相交，则的斜率的取值范围是 C．满足的直线有且仅有一条 D．为定值，且定值为2 【答案】BD 【分析】根据渐近线方程可得双曲线方程为，即可求解A，联立直线与双曲线方程，根据二次方程根的分布，即可求解B，根据弦长公式，结合直线有无斜率即可求解C，根据勾股定理，代入韦达定理即可化简求解D. 【详解】若焦点在轴上，则渐近线方程为，所以，解得， 当焦点在轴上，则渐近线方程为，所以,无解，故A错误， 故双曲线方程为， 设切线方程为，则， 联立，要使与双曲线左、右两支相交， 则需要，化简可得，故，解得，故B正确， 当直线有斜率时，设,则，且， 则解得， 当直线无斜率时，，代入双曲线中可得，此时，故满足的直线有2条，故C错误， 代入以及可得 所以， 故选：BD 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值. 10．（23-24高二上·江西景德镇·期末）若直线被圆所截的弦长不小于2，则下列曲线中，与直线一定有公共点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据给定条件，结合圆的弦长公式求出原点到直线的距离范围，确定直线必过的区域，再逐项判断即可得解. 【详解】圆的圆心为原点，半径为，设点到直线的距离为， 由，得， 平面内到原点距离不大于的点的集合是以原点为圆心，为半径的圆及内部区域， 因此直线必过区域，以原点为圆心，为半径的圆方程为， 对于A，圆上的点到点的距离，显然，    因此圆内含于圆，则圆与直线一定有公共点，A是； 对于B，点在抛物线内，由消去得， 显然方程无解，即圆与抛物线无公共点，    因此圆在抛物线内，抛物线与直线一定有公共点，B是； 对于C，圆上的点在椭圆外，    直线与椭圆无公共点，而直线过区域，C不是； 对于D，圆上只有两点在双曲线上，其余点都在双曲线外，    直线与双曲线无公共点，而直线过区域，D不是. 故选：AB 【点睛】关键点睛：求出直线必过区域，再判断区域的边界曲线与各选项中曲线的位置关系是解决问题的关键. 三、填空题 11．（23-24高二上·福建福州·期末）已知双曲线方程为（），若直线与双曲线左右两支各交一点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】求出渐近线方程，结合直线与双曲线左右两支各交一点，比较斜率即可得结果. 【详解】因为双曲线方程为（）， 所以双曲线的渐近线方程为， 因为直线与双曲线左右两支各交一点， 所以，解得， 即实数的取值范围为， 故答案为： 12．（23-24高二上·浙江宁波·期末）若直线与单位圆和曲线均相切，则直线的方程可以是 .（写出符合条件的一个方程即可） 【答案】（写出符合条件的一个方程即可） 【分析】设直线方程为：，根据直线与单位圆和曲线均相切，方程联立，由判别式为零求解. 【详解】解：易知直线的斜率存在，设直线方程为：， 由消去y得：， 则，化简得， 由，消去y得：， 则，化简得， 由，解得，则， 所以直线方程为：， 故答案为：（写出符合条件的一个方程即可） 13．（23-24高二上·海南·期末）已知双曲线的右焦点为，点，且直线与仅有一个交点，写出一个满足条件的方程： 【答案】（答案不唯一，形式的方程均可）. 【分析】根据直线与仅有一个交点得到该直线与双曲线的渐近线平行，从而得到，化简计算得，再合理赋值即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为，设， 因为直线与双曲线仅有一个交点，所以直线与的渐近线平行， 即，即，即， 整理得，所以，得， 所以，即，可令，则， 故答案为：（答案不唯一，形式的方程均可）. 14．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，且直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据双曲线的焦点到渐近线的距离可求出的值，将直线的方程与双曲线的方程联立，根据直线与双曲线无公共点可得出关于的不等式，即可解得的取值范围. 【详解】双曲线的渐近线方程为，即， 双曲线的焦点到渐近线的距离为， 联立可得， 由题意可知，关于的方程无实数解，则， 又因为，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．（23-24高二下·江西新余·期末）已知双曲线的方程为，实轴长和离心率均为2. (1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程； (2)过且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求的值（为坐标原点）. 【答案】(1)，； (2)1. 【分析】（1）根据离心率以及实轴长即可求解，即可求解方程， （2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，即可根据数量积的坐标运算求解. 【详解】（1）由离心率，又，则， 又长轴长，所以，所以， 故双曲线的标准方程为； 其渐近线方程为. （2）直线的倾斜角为，故其斜率为1，又过点， 的方程为； 设 由，得， 16．（23-24高二上·江西景德镇·期末）已知双曲线的焦点到渐近线的距离为2，离心率为． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线有唯一的公共点，求的值． 【答案】(1) (2)或2． 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得双曲线的方程. （2）将直线的方程和双曲线的方程联立，对进行分类讨论，从而求得的值. 【详解】（1）双曲线的焦点为，一条渐近线方程为， 焦点到渐近线的距离为， 而离心率，且，，方程为. （2）联立，得, 即， 当时，显然有一个解，此时，负根舍去； 当时，，，负根舍去， 综上，或2． 弦长及弦中点问题 一、单选题 1．（23-24高二上·天津河西·期末）过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定直线的方程，代入双曲线方程，求出，的坐标，即可求线段的长． 【详解】由双曲线的方程得，，直线的方程为① 将其代入双曲线方程消去得，，解之得，． 将，代入①，得，， 故． 故选：C． 2．（23-24高二上·重庆·期末）已和双曲线与直线相交于A、B两点，若弦的中点M的横坐标为1，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用点差法求解. 【详解】解：因为双曲线与直线相交于A、B两点， 且弦的中点M的横坐标为1，则纵坐标为3， 设 ，则， 两式相减得 ，则 ， 解得 ，即 ， 所以双曲线C的渐近线方程为， 故选：A 3．（23-24高二上·天津和平·期末）直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，代入双曲线方程，两式相减可得，由题目条件经整理后可得答案. 【详解】设，，则直线l的斜率为 代入，得，两式相减得：. 又线段AB的中点为点，则. 则.经检验满足题意. 故选：D 二、多选题 4．（23-24高二上·河北唐山·期末）已知双曲线，直线与C交于A，B两点，点P是C上异于A，B的一点，则（    ） A．C的焦点到其渐近线的距离为 B．直线与的斜率之积为2 C．过C的一个焦点作弦长为4的直线只有1条 D．点P到两条渐近线的距离之积为 【答案】AD 【分析】求出双曲线渐近线方程为，焦点为，设，由点到直线距离公式可判断A、D；由双曲线和直线的对称性可设，，由两点的斜率公式可计算，B错误；联立方程组，由弦长公式判断C. 【详解】对A，由已知得渐近线方程为，焦点为， 则焦点到渐近线的距离，A正确； 对B，由双曲线和直线的对称性可设，，， 则， 所以，故B错误； 对C，过C的一个焦点的直线，当其斜率不存在时，所以此时弦长为2； 当斜率存在时，分别与双曲线上下支各有一个交点时，结合图形可知弦长可以无穷大； 综上，过C的一个焦点的直线与双曲长相交时得到的弦长范围为， 又由双曲线的对称性可知，过C的一个焦点作弦长为4的直线至少有两条，故C错误； 对D，点到两条渐近线的距离之积： ，D正确. 故选：AD.    5．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知分别为双曲线的左、右焦点，点A为双曲线右支上任意一点，点，下列结论中正确的是（    ） A． B．若，则的面积为2 C．过P点且与双曲线只有一个公共点的直线有3条 D．存在直线与双曲线交于M，N两点，且点P为中点 【答案】AB 【分析】对A，根据双曲线的定义判断即可；对B，根据双曲线定义结合勾股定理求解即可；对C，数形结合分析判断即可；对D，根据点差法结合双曲线性质求解即可. 【详解】对A，根据双曲线的定义可得，故A正确； 对B，因为，，则， 又，故，即， 故，故B正确； 对C，由双曲线的渐近线可得，过点且与双曲线只有一个公共点的直线有 与两条渐近线分别平行的两条直线、与双曲线右支相切的两条直线，共4条，故C错误； 对D，设存在两点，为中点，则， 即，又，故， ，故，即. 由渐近线的性质可得过点且斜率为2的直线与双曲线无交点， 故不存在直线与双曲线交于M，N两点，且点P为中点，故D错误.    故选：AB 6．（23-24高二上·广东佛山·期末）设是双曲线上的两点，下列四个点中，可以作为线段中点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据点差法，整理直线斜率与中点的等量关系，分别检验四个选项，利用一元二次方程根的存在性求解. 【详解】当直线的斜率不存在时，由双曲线的对称性，则中点的纵坐标为，不合题意； 斜率存在时，设且中点坐枟为，将A,B代入， 可得: ，两式相减可得：， 设直线的斜率存在，整理可得. 对于A，，直线， 化简可得，代入可得， 整理可得，显然方程无解，故A错误； 对于B，，直线， 化简可得，代入可得， ，， .由， ，故B正确； 对于C，，直线， 化简可得，代入可得， ，， ，， ，故C正确； 对于，直线， 化简可得，代入可得， ，， ，， ，故D正确. 故选：BCD. 7．（23-24高二上·重庆·期末）已知点M，N是双曲线上不同的两点，则（    ） A．当M，N分别位于双曲线的两支时，直线的斜率 B．当M，N均位于双曲线的右支上时，直线的斜率 C．线段的中点可能是 D．线段的中点可能是 【答案】AD 【分析】由题意先得渐近线斜率，结合直线与双曲线的位置关系即可判断AB，由点差法求直线的斜率，注意验证此时直线是否与双曲线有交点即可. 【详解】双曲线渐近线为，当M，N分别位于双曲线的两支时，直线MN较渐近线更平缓，故， 当M，N均位于双曲线的右支上时，直线MN较渐近线更陡，故，所以A对B错； 记，中点，由M，N是双曲线C上的点，有，两式相减可得，当时，有， 对于C，与双曲线方程联立可知直线MN与方程无交点，故C错； 对于D，，故此时M，N分别位于双曲线的左右两支，故D正确． 故选：AD. 三、填空题 8．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）已知双曲线，直线被所截得的弦长为，则 ． 【答案】 【分析】联立直线与双曲线方程得韦达定理，即可根据弦长公式求解. 【详解】设双曲线与直线交于两点， 由消去整理得，则，解得，且， 所以． 由，解得，所以． 故答案为： 9．（23-24高三上·北京东城·期末）已知双曲线：，则双曲线的渐近线方程是 ；直线与双曲线相交于，两点，则 . 【答案】 【分析】由已知可判断双曲线为焦点在轴上的双曲线，可知，，表示渐近线方程即可；由可求的值，从而得到交点坐标，即可得到距离. 【详解】由双曲线：知双曲线的焦点在轴，且，， 即，，所以双曲线的渐近线方程为； 当时，， 设，则，所以. 故答案为：；. 10．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知双曲线，过点的直线与相交于两点，且为线段的中点，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】因为为线段的中点，所以由点差法可以得到直线的斜率，进而可以得到直线方程. 【详解】设，则两式相减得， 即，所以 因为为线段的中点， 所以， 所以，即 由点斜式方程可得直线的方程为：， 即，经检验适合题意. 故答案为： 11．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知过点的直线与双曲线：交于A、B两点，若点P是线段的中点，则双曲线C的离心率取值范围是 . 【答案】 【分析】利用点差法得到，根据题意和渐近线方程得到，故，从而求出离心率的取值范围. 【详解】设， 则，两式相减得， 若，则的中点在轴上，不合要求， 若，则的中点在轴上，不合要求， 所以， 因为为的中点，所以， 故， 因为的渐近线方程为， 要想直线与双曲线：交于A、B两点，则， 即，解得， 所以离心率. 故答案为： 【点睛】直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握，若相交弦涉及的定比分点问题时，也可以用点差法的升级版—定比点差法，解法快捷. 四、解答题 12．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，为坐标原点，点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于两点，且，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，解得、，即可得解； （2）解法一：设，直线的方程为，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，由整理得到，即可表示出，从而求出其最小值； 解法二：设，，联立直线与双曲线方程，即可求出、，即可得到，同理得到，从而得到，再由基本不等式计算可得. 【详解】（1）由双曲线C的一条渐近线方程为，且双曲线过， 所以，解得， 故双曲线的方程为. （2）解法一：设，直线的方程为， 联立，得， 则，且， 由，即，即， 即， 即，整理得， 所以 ，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为. 方法二：由题意知直线的斜率存在且不等于， 设，， 由，即， 联立，解得， 则，同理，其中， 故， 而 ， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 13．（23-24高二上·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记的轨迹为曲线. (1)求的方程，并说明是什么曲线： (2)若直线和曲线相交于两点，求. 【答案】(1)，曲线是双曲线，除去左右顶点 (2) 【分析】（1）设，根据计算即可求出其轨迹方程，进而可得出其是何曲线； （2）利用圆锥曲线的弦长公式计算即可. 【详解】（1）设， 则， 化简得， 所以的方程为，曲线是双曲线，除去左右顶点； （2）设， 联立，消得， ， 则， 所以.    14．（23-24高二上·福建福州·期末）已知标准双曲线的焦点在轴上，且虚轴长，过双曲线的右焦点且垂直轴的直线交双曲线于两点， 的面积为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线交双曲线于两点，且点是线段的中点，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，表示出，再由的面积，并结合双曲线中的关系求解； （2）法一：设出直线的点斜式方程，与双曲线方程联立，借助韦达定理和中点坐标公式求解；法二：利用点差法求解. 【详解】（1）由题设双曲线，直线的方程为 联立方程解得 ，又， ，则 而 所以双曲线的标准方程为. （2）法一：因为过点的直线与双曲线相交于两点， 可知，直线的方程不是， 设直线的方程为即 联立方程 得① 解得 将代入①，得 故直线的方程为. 法二：因为过点的直线与双曲线相交于两点， 可知，直线的方程不是， 设 得， , 直线的方程为，即， 联立方程 得， 故直线的方程为. 15．（23-24高二上·陕西宝鸡·期末）已知双曲线的渐近线方程是，实轴长为2. (1)求双曲线的方程; (2)若直线与双曲线交于两点，线段的中点为，求直线的斜率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用渐近线方程、实轴长求出可得答案； （2）设直线的方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理可得答案. 【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程是，实轴长为2， 所以，， 所以双曲线的方程为； （2）双曲线的渐近线方程为，由双曲线关于坐标轴的对称性可知， 若线段的中点为，则直线的斜率存在， 设为，且，， 可得直线的方程为， 与双曲线方程联立， 可得， 设， 则， 解得，经检验符合题意. 双曲线中的最值范围问题 一、单选题 1．（23-24高二上·浙江金华·期末）已知直线与双曲线有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点，则当运动时，点到两点距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意首先得点在双曲线上面运动，画出图形结合双曲线定义以及三角形三边关系分类讨论即可求解. 【详解】联立，化简并整理得， 由题意，化简得， 解得， 所以过点且与垂直的直线方程为， 在该直线方程中分别令，依次解得， 所以， 即点在双曲线上面运动，双曲线的图象如图所示：    若在右支上面，可以发现点为的右焦点，不妨设其左焦点为， 所以， 等号成立当且仅当点与点重合，其中点为线段与双曲线右支的焦点， 若在左支上面，如图所示：    所以， 等号成立当且仅当点与点重合，其中点为线段与双曲线左支的焦点， 综上所述，点到两点距离之和的最小值为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：关键是求出点的运动轨迹方程，由此即可顺利得解. 2．（23-24高二上·辽宁·期末）为双曲线上一点，，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】设点是双曲线上任意一点，得到，求得，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】设点是双曲线上任意一点，则，即， 则， 因为或，所以，当时，可得， 所以的最小值为. 故选：D. 二、多选题 3．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知双曲线，点为双曲线右支上的一个动点，过点分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为，两点，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．存在点，使得四边形为正方形 C．四边形的面积为 D．四边形的周长最小值为 【答案】BC 【分析】由双曲线的离心率公式可判断；当为双曲线右顶点时，四边形为正方形，从而可判断B；设 ，则，根据点到直线的距离公式可得，从而可判断C；利用基本不等式求出的最小值，从而可判断D． 【详解】A选项，由题意得，故，故，A错误； B选项，由双曲线的方程可得渐近线方程为，两渐近线夹角为直角， 由对称性可知，若四边形为正方形，则到两条渐近线的距离相等， 所以当为双曲线右顶点时，四边形为正方形，故B正确； C选项，设，则 ， 因为渐近线方程为 ， 所以， 所以， 则四边形的面积为，故C正确； D选项，由C选项及基本不等式得， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为． 四边形的周长为，故D错误． 故选：BC 4．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用，双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知，分别为双曲线：的左，右焦点，过右支上一点作直线交轴于，交轴于点，则下列说法中正确的有（   ） A．的渐近线方程为 B．过点作，垂足为，则 C．点的坐标为 D．四边形面积的最小值为 【答案】BD 【分析】根据方程，可直接求出渐近线方程，即可判断A项；由已知可得，进而结合双曲线方程，即可得出点的坐标，即可判断C项；根据双曲线的光学性质可推得点为的中点.进而得出，结合双曲线的定义，即可判断B项；由，代入利用基本不等式即可求出面积的最小值，可判断D项. 【详解】对于A：由已知可得，，焦点在轴上，所以双曲线的渐近线方程为，故A错误； 对于B：因为点在上，所以， 又的直线方程为， 所以， ∴为双曲线的切线，由双曲线的光学性质可知，平分， 如图： 延长与的延长线相交于点，又可得是的垂直平分线， 所以，是的中点，又是的中点， 于是在中，，即，故B正确； 对于C：设，则，整理可得. 又，即，所以有， 所以点的坐标为，故C项错误； 对于D：由得，， 又， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，四边形面积的最小值为，故D正确. 故选：BD. 【点睛】解答本题的关键是利用光学性质得点为的中点，结合双曲线的定义求解，注意平面几何的特性是解决此类问题的捷径. 5．（23-24高二上·江西吉安·期末）双曲线：的焦点为，，过的直线与双曲线的左支相交于两点，过的直线与双曲线的右支相交于，两点，若四边形为平行四边形，则（    ） A． B． C．平行四边形各边所在直线斜率均不为 D． 【答案】BC 【分析】根据双曲线的标准方程可判定A，由平行四边形与双曲线的对称性及双曲线定义可判定B，利用双曲线的性质可判定C，设直线方程，联立双曲线利用韦达定理及弦长公式结合函数的单调性可判定D. 【详解】由题意可得，，则，故A错误． 由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知：， 则，B正确． 设任一边所在直线为（斜率存在时），联立双曲线， 联立得， 则，即，C正确． 由， 设：；，，， 联立得， ∴，， 则 ， 设，则， ∴， 又单调递减，则，∴， 故，D错误． 故选：BC 三、填空题 6．（23-24高二下·上海虹口·期末）已知以为左、右焦点的双曲线的一条渐近线为.点是双曲线上异于顶点的动点，若是的平分线上的一点，且，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】不妨设点在第一象限，依题意结合双曲线的定义可得点的轨迹是圆，用圆的参数方程设出点的坐标，表示出，再换元、用导数解答可得答案. 【详解】因为为双曲线的左、右焦点，所以， 因为为双曲线的一条渐近线，所以， 又，所以， 所以双曲线的方程为. 依题意，不妨设点在第一象限，如图， 延长交于点，连接， 因为，所以， 又是的平分线上的一点，即平分， 所以，即是的中点，又是的中点，所以， 由双曲线的定义，， 所以，则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 其方程为，设， 则， 同理得， ， 设，， 则 令，得， 令，得， 故在上单调递增，在上单调递减， 又，所以， 则，即的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：解答本题的关键是先得到点的轨迹方程，在求的取值范围时，点的坐标设成是圆的参数方程的形式，把表示出来后，再令，转化为求函数的值域，用导数求出单调性进行解答. 7．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，且直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据双曲线的焦点到渐近线的距离可求出的值，将直线的方程与双曲线的方程联立，根据直线与双曲线无公共点可得出关于的不等式，即可解得的取值范围. 【详解】双曲线的渐近线方程为，即， 双曲线的焦点到渐近线的距离为， 联立可得， 由题意可知，关于的方程无实数解，则， 又因为，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 8．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，为坐标原点，点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于两点，且，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，解得、，即可得解； （2）解法一：设，直线的方程为，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，由整理得到，即可表示出，从而求出其最小值； 解法二：设，，联立直线与双曲线方程，即可求出、，即可得到，同理得到，从而得到，再由基本不等式计算可得. 【详解】（1）由双曲线C的一条渐近线方程为，且双曲线过， 所以，解得， 故双曲线的方程为. （2）解法一：设，直线的方程为， 联立，得， 则，且， 由，即，即， 即， 即，整理得， 所以 ，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为. 方法二：由题意知直线的斜率存在且不等于， 设，， 由，即， 联立，解得， 则，同理，其中， 故， 而 ， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 9．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知双曲线的离心率为，点分别是双曲线的左右焦点，过的直线交双曲线右支于P，A两点，点P在第一象限，当直线PA的斜率不存在时，． (1)求双曲线的标准方程； (2)线段交圆于点B，记的面积分别为，求的最小值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据双曲线的离心率为，得到，再根据，得到求解. （2）设，则，求得，再利用双曲线的定义得到，，再由，求解. 【详解】（1）由双曲线的离心率为，得，即 由，得，由过点的直线PA的斜率不存在时，，得， 解得，所以双曲线的方程为：. （2）设，，则，而，即， 则 ， 由双曲线定义得，显然圆的圆心为，半径， 因此，， 于是 ，， 从而，当且仅当时等号成立， 所以的最小值. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： ①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； ②代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 10．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知点，动点满足. (1)求动点的轨迹方程； (2)记动点的轨迹为，若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据双曲线定义求出轨迹方程； （2）分直线斜率不存在和直线斜率存在两种情况，当斜率不存在时求出，斜率存在时，，得到答案. 【详解】（1）因为， 由双曲线定义可知：点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支， 所以，， 所以动点的轨迹方程为：. （2）①当直线斜率不存在时，设直线方程为：， 此时， 所以； ②当直线斜率存在时，设直线方程为：， 代入双曲线方程可得：， 可知其有两个不等的正实数根， 解得：， 所以 . 由得， ， 综上所述，的最小值为1. 11．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知椭圆，离心率为，点在曲线上，过双曲线上一点P（点P在第一象限）的切线交于AB两点，直线OP交于C，D两点，点A，D在x轴上方． (1)求，的方程； (2)设AC与BD交于点Q，记的面积分别为，求的最大值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据离心率设出椭圆方程，代入点的坐标计算即可； （2）直线，与双曲线联立，根据判别式为零求出关系，进而求出点坐标，写出直线的方程，求出点坐标，进而求出点，点到直线的距离，求出，表示出，利用导数知识求其最值. 【详解】（1）根据题意得， 设，代入得，， 的方程为，的方程为； （2）设直线， ， ； 所以，即， 得， 所以； 所以； 又； ， 所以； ， ， 因为C，D在直线AB同侧， 所以 ， 所以 设 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 当时，， 所以. 【点睛】方法点睛:利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： (1）设直线方程，设交点坐标为； (2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 (或)的一元二次方程，注意的判断； (3）列出韦达定理； (4）将所求问题或题中的关系转化为 (或）的形式; (5）代入韦达定理求解. 12．（23-24高二上·福建福州·期末）若双曲线的一个焦点是，且离心率为2． (1)求双曲线的方程； (2)已知点，过焦点的直线与双曲线的两支相交于A，B两点，求直线MA和MB的斜率之和的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由焦点坐标，离心率公式求解方程即可. （2）设出直线方程，与双曲线联立后将斜率和表示为函数，再利用换元法结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）易得，，解得，故得， 故的方程为， （2） 由题意得的斜率存在，故设方程为，联立方程组，，可得，则，，设，则，，解得，结合，故，令，故，当且仅当时取等，故直线MA和MB的斜率之和的最大值为. 13．（23-24高二上·浙江温州·期末）已知点在双曲线C：上， (1)求C的方程； (2)如图，若直线l垂直于直线OA，且与C的右支交于P、Q两点，直线AP、AQ与y轴的交点分别为点M、N，记四边形MPQN与三角形APQ的面积分别为与，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由点在双曲线上，代入求得的值，即可求解； （2）根据题意，设直线为，联立方程组，由，求得，且，利用弦长公式求得则，进而得到，再由直线和的方程，得到，求得的面积，进而得到，结合函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由点在双曲线上，可得， 解得，所以双曲线的方程为. （2）解：由直线垂直于，可得直线的斜率为， 设直线的方程为，且， 联立方程组，整理得， 因为直线与双曲线的右支交于两点， 则，解得， 可得， 则 ， 又由点到直线的距离为， 所以， 直线的方程为，令，可得， 直线的方程为，令，可得 则 ， 所以的面积， 又由，则， 令， 可得函数在上单调递减，且，所以， 所以，即的取值范围为. 【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式法；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围； （3）涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时抓住直线与圆锥曲线的几何特征应用. 双曲线中的定点定值问题 一、单选题 1．（23-24高二上·河南开封·期末）已知点是双曲线上一点，则点到双曲线的两条渐近线的距离之积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线方程求出其渐近线方程，设，进而表示出点到双曲线的两条渐近线的距离之积的表达式，结合在双曲线上，化简，即可得答案. 【详解】由双曲线的方程知， 渐近线方程为，即， 设，由题意，得，即， 点到渐近线的距离， 点到渐近线的距离， 所以． 故选：C． 二、多选题 2．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，右顶点为E，过的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，与两条渐近线交于点P，Q（其中点A，点P在第一象限内），设M，N分别为与的内心，则（    ） A．点M的横坐标为2 B．当时， C． D．为定值 【答案】BCD 【分析】利用双曲线定义及圆切线性质求圆在轴上的切点横坐标即可判断A；根据，结合双曲线定义、勾股定理求判断B；分别联立直线与双曲线，渐近线，表示结合韦达定理整理判断C；由内切圆圆心性质得，结合直角三角形性质有判断D． 【详解】由双曲线方程知：，令圆在轴上的切点横坐标为， 结合双曲线定义及圆切线性质有，即， 所以圆在轴上的切点与右顶点重合，又轴，则的横坐标为1，A错误； 由A推理得：圆在轴上的切点与右顶点也重合，则； 由，分别是，的角平分线，又， 所以，， 在△中，，D正确．    由，则，故， 而，所以，故，得， 所以，B正确； 设直线，渐近线方程为：, ,，，,， 联立与，整理可得， ，可得， 且，，，所以， 由， 得 ， 所以，故C正确. 故选：BCD． 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线的几何性质，由A选项进一步推理得是解决D的关键，注意C选项利用联立计算的方法表示. 3．（23-24高二上·湖北·期末）已知双曲线的离心率为，且双曲线的左焦点在直线上，分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线上异于两点的一个动点，记的斜率分别为，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的方程为 B．双曲线的渐近线方程为 C．点到双曲线的渐近线距离为2 D．为定值 【答案】AD 【分析】根据题意求出，即可得双曲线方程，判断A；继而求得渐近线方程，判断B；结合点到直线的距离公式可判断C；设，表示出，结合双曲线方程，可判断D. 【详解】依题意，双曲线的左焦点在直线上， 令，则，双曲线C的左焦点F即为F，则半焦距， 又双曲线离心率为，即，则， 从而双曲线C的方程为，A正确， 双曲线C的渐近线方程为，B不正确， 渐近线方程即为，F点到双曲线C的渐近线的距离为，C不正确， 由题意知，不妨设，则， 则有，D正确． 故选：AD 4．（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点P在C的右支上，过点P的直线l与C的两条渐近线分别交于点M，N，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为4 B．与C仅有公共点P的直线共有三条 C．若，且P为线段MN的中点，则l的方程为 D．若l与C相切于点，则M，N的纵坐标之积为 【答案】BC 【分析】设，结合双曲线的定义即可判定A；过P作双曲线的切线和平行于渐近线的直线即可判定B；利用点差法和中点的坐标公式求出直线的斜率即可判断C；设直线l方程为，联立方程组，结合，得到，在化简，即可判定D. 【详解】 由题意，双曲线，可得，则， 所以焦点，且， 设，则，双曲线的两条渐近线的方程为， A：由，所以，故A错误； B：过点P作双曲线的一条切线，和两条平行于渐近线的直线， 这3条直线与双曲线仅有公共点P，故B正确； C：设，直线的方程为，则， ，两式相减得， 即， 所以，所以直线的方程为，即，故C正确； D：设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 若直线与双曲线相切，则， 整理得， 联立方程组，解得，即点的纵坐标为， 联立方程组，解得，即点的纵坐标为， 则点的纵坐标之积为，故D错误； 故选：BC 【点睛】对于选项D的分析，属于定值问题，而求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 三、填空题 5．（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知双曲线，为坐标原点，不经过点的直线交双曲线于两点，且直线的斜率之和为0，则的斜率为 ． 【答案】 【分析】将直线方程与双曲线方程联立后根据韦达定理列出与，然后由直线的斜率之和为0，列出关系后，把与代入整理即可. 【详解】根据题意设直线的方程为，且，， 因为直线的斜率之和为0，所以，如图所示： 联立，得， ，，， 因为，所以， 即：， 所以， 因为点，在直线上，所以，， 所以代入上式得：， 整理得：， 将，代入得： ， 整理得：， 即：， 因为直线点，所以， 所以，即. 故答案为： 6．（23-24高二上·河南开封·期末）已知点是离心率为2的双曲线上的三点，直线的斜率分别是，点分别是线段的中点，为坐标原点，直线的斜率分别是，若，则 ． 【答案】15 【分析】由点差法得到，同理得到，从而得到. 【详解】因为双曲线的离心率为2，所以， 不妨设， 因为点在上，所以，两式相减， 得， 因为点是的中点，所以， 所以，即， 所以，同理， 因为，所以． 故答案为：15 四、解答题 7．（23-24高二下·陕西延安·期末）已知双曲线经过点． (1)求的离心率； (2)设直线经过的右焦点，且与交于不同的两点，点N关于x轴的对称点为点P，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由两点坐标代入待定系数求出双曲线方程，进而得离心率； （2）设点的坐标，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理表示出，，坐标表示直线的方程，由对称性知直线若过定点必在轴上，直线方程中令，代入韦达定理化简可得横坐标为定值即得证. 【详解】（1）由双曲线经过点， 则有，解得， 即双曲线的标准方程为，则， 所以离心率， 故的离心率为； （2）由（1）知的右焦点为，直线， 设，，由点N关于x轴的对称点为点P，则， 联立，得， 由题可知，即， 且， 则， 则直线的直线方程为， 由对称性可知，直线若过定点，则必在轴上， 令，得 当，且时， ， 所以直线过定点. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的一般解法 （1）引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点，或以曲线上的点为参数，设点，利用点在曲线＝0上，即消参. （2）特殊到一般法：定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，再加以证明. 8．（23-24高二下·甘肃·期末）已知双曲线的实轴长是虚轴长的倍，且焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，结合双曲线渐近线求出即可得双曲线的方程. （2）按直线的斜率是否存在进行分类讨论，与双曲线渐近线方程联立求出，并求出原点O到直线l的距离，再计算推理即得. 【详解】（1）设双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为， 焦点F到渐近线的距离为， 由实轴长是虚轴长的倍，得， 所以双曲线的标准方程为. （2）由（1）知，双曲线的渐近线方程为， 当直线的斜率不存在时，的方程为，，， 当直线的斜率存在时，不妨设直线：，且， 由消去y得， 由，得， 由，得，不妨设与的交点为，则点的横坐标， 同理得点的横坐标，则， 而原点到直线的距离，因此， 所以的面积为定值，且定值为. 【点睛】易错点点睛：第二问中注意讨论直线l的斜率存在与不存在两种情况，以及由动直线l与双曲线C恰有1个公共点，直曲联立后由得到参数的关系. 9．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知双曲线的实轴比虚轴长2，且焦点到渐近线的距离为2. (1)求双曲线的方程； (2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由点到直线的距离公式及实轴与虚轴定义计算即可得； （2）讨论直线的斜率是否存在，且当直线的斜率存在时，设出直线方程，与双曲线方程联立，根据，找到参数之间的关系，再利用弦长公式求得，利用点到直线的距离公式求出三角形的高，求得面积，即可证明. 【详解】（1）设双曲线焦点为，一条渐近线方程为， 所以该焦点到渐近线的距离为， 又双曲线实轴比虚轴长2，故，即， 故双曲线的方程为； （2）当直线的斜率不存在时，若动直线与双曲线恰有1个公共点， 则直线经过双曲线的顶点，不妨设，又渐近线方程为， 将代入，得，将代入，得， 则，； 当直线的斜率存在，设直线，且， 联立，消去并整理得， 因为动直线与双曲线恰有1个公共点， 所以，得， 设动直线与的交点为，与的交点为， 联立，得，同理得， 则， 因为原点到直线的距离， 所以， 又因为，所以，即， 故的面积为定值，且定值为. 【点睛】关键点点睛：利用，找到参数之间的关系，再利用弦长公式求得，利用点到直线的距离公式求出三角形的高，进而求出面积是解题关键. 10．（23-24高二上·浙江·期末）已知离心率为的双曲线与x轴交于A，B两点，B在A的右侧．在E上任取一点，过点B作直线QB垂直PA交于点Q，直线PB、QA分别交y轴于不同的两点M，N． (1)求双曲线E的方程； (2)求证：直线与直线的斜率乘积为定值； (3)三角形MNB的外接圆是否过x轴上除B点之外的定点，若是，求出该定点坐标：若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析； (3)过定点，坐标为 【分析】（1）根据离心率和双曲线方程可得，可求出双曲线E的方程； （2）分别表示出，再由化简可得斜率乘积为定值2； （3）求出三角形MNB的外接圆圆心坐标为，写出圆的标准方程并令可解得符合题意，即可得外接圆过定点. 【详解】（1）由离心率为可得， 又易知，所以， 可得双曲线E的方程为； （2）易知，如下图所示： 易知的斜率均存在，且满足，可得， 又易知， 所以， 因此直线与直线的斜率乘积为定值2； （3）由（2）可知直线的方程为， 直线的方程为； 因此可得， 所以三角形MNB的外接圆圆心在线段的垂直平分线上，即； 线段的中点坐标为， 易知线段的垂直平分线为， 联立两直线方程可得圆心坐标为， 所以外接圆半径为， 圆的标准方程为， 令可得， 解得（舍）或 因此可得三角形MNB的外接圆过x轴上除B点之外的定点，该定点坐标为. 【点睛】关键点点睛：求解三角形MNB的外接圆过定点时，关键是写出外接圆的标准方程，再令纵坐标即可求得定点坐标为. 11．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知双曲线过点，左右焦点分别为，且． (1)求的标准方程． (2)设过点的直线与交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标及该常数的值：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，点，该常数为56 【分析】（1）根据给定条件，利用双曲线定义求出实轴长即可求出双曲线方程. （2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，结合韦达定理及数量积的坐标表示求解即得. 【详解】（1）依题意，双曲线半焦距， ，则， 所以的方程为. （2）依题意，直线的斜率存在，设的方程为， 由，消去得，显然， 且，得且，则， 设存在符合条件的定点，则， 因此 要为常数，当且仅当，解得，此时该常数的值为56， 所以在轴上存在点，使得为常数，该常数为56．    12．（23-24高二上·江西·期末）在平面直角坐标系中，双曲线C：的渐近线的方程为，焦距为． (1)求的方程； (2)如图，点为的下顶点，点在轴上（位于原点与上顶点之间），过作轴的平行线，过的另一条直线交于两点，直线分别交于两点，若，求的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，解出a、b的值即可求解； （2）易知，得（＊）.设，，，，求出直线AG、AH的方程，由可得，结合代入（＊）得①.易知GH斜率存在，设GH：，联立双曲线方程，利用韦达定理表示，代入①化简计算可得，解之即可. 【详解】（1）由题意有，又，解得，， 故C的方程为：； （2）由题意，， 所以，故， 即，亦即（＊）， 设，，，， 由题意有，则直线AG、AH的方程分别为，， 因为，故，代入AG方程，得，所以， 又，代入（＊）式有，得. 当GH斜率不存在时，显然不符合题意， 故设GH：，代入， 得，所以，， 则 ， 所以， 即，由，解得， 所以的坐标为． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 13．（23-24高二上·山东枣庄·期末）已知双曲线的中心为坐标原点，上顶点为，离心率为. (1)求双曲线的方程； (2)记双曲线的上、下顶点为、，为直线上一点，直线与双曲线交于另一点，直线与双曲线交于另一点，求证：直线过定点，并求出定点坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析，定点坐标为 【分析】（1）根据离心率和上顶点确定、，进而可得双曲线方程； （2）直线的方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理，结合，可得的值，进而可得定点. 【详解】（1）解：设双曲线方程为， 因为该双曲线的上顶点坐标为，则， 则由可得，则， 因此，双曲线的方程为. （2）证明：由（1）可得、，设、， 若直线的斜率不存在，则点、关于轴对称， 从而可知，直线、关于轴对称，则点在轴上，不合乎题意， 设直线的方程为， 联立可得， 则， 由韦达定理可得，， 所以，， ， 设，则，，所以，， 又， 得，所以，， 即，化简得， 解得，所以直线过定点. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 双曲线中的定直线问题 1．（23-24高二上·云南·期末）已知双曲线实轴端点分别为、，右焦点为，离心率为，过点的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为． (1)求双曲线的方程； (2)若过点的直线与双曲线交于、两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由． 【答案】(1) (2)在，且定直线方程为 【分析】（1）分析可知，可得出，利用三角形的面积公式可求出的值，进而可得出、的值，由此可得出双曲线的方程； （2）分析可知，直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，将直线、的方程联立，求出这两条直线交点的横坐标，即可得出结论. 【详解】（1）解：因为双曲线的离心率为，可得，则， 则，可得，则，， 因此，双曲线的方程为. （2）证明：若直线与轴重合，则点、为双曲线实轴的端点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立可得， 则，可得， 由韦达定理可得，， 直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得 ，解得. 因此，点在定直线上. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 2．（23-24高二上·辽宁大连·期末）已知双曲线，点，经过点M的直线交双曲线C于不同的两点A、B，过点A，B分别作双曲线C的切线，两切线交于点E．（二次曲线在曲线上某点处的切线方程为） (1)求证：点E恒在一条定直线L上； (2)若两直线与L交于点N，，求的值； (3)若点A、B都在双曲线C的右支上，过点A、B分别作直线L的垂线，垂足分别为P、Q，记，，的面积分别为，问：是否存在常数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)0 (3)存在 【分析】（1）设，由题意可证得点A，B都在直线上，直线l过点，可得，即可证明点E恒在定直线上． （2）法一：设，由可得，将其带入双曲线方程可得，同理可得，由根与系数的关系可得． 法二：由题意知，设l的方程：，联立直线与双曲线的方程，设，由可得，同理，将韦达定理代入即可得出答案. （3）设，与联立，设，表示出，将韦达定理代入化简即可得出答案. 【详解】（1）证明：设， 由题意得：切线EA的方程为：，将点E带入得：， 同理可得：，易知点A，B都在直线上， 所以直线l的方程为：， 因为直线l过点，所以，                           所以点E恒在定直线上． （2）法一：设，因为，所以 整理得 因为点在双曲线上，所以， 整理得， 同理可得， 所以，是关于x的方程的两个实根， 所以． 法二：由题意知，l的斜率存在，设l的方程：， 联立得：， 所以， 设，因为，所以，所以， 同理， 所以 . （3）设，与联立得： ， ， 因为直线L的方程为，所以， 所以， 同理， 所以， 故存在，使得． 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 3．（22-23高二下·陕西西安·期末）已知曲线上任意一点满足，且. (1)求的方程； (2)设，若过的直线与交于两点，且直线与交于点.证明：点在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据双曲线的定义进行求解； （2）设出经过的直线方程，且，利用的坐标表示出的横坐标，然后结合韦达定理求解. 【详解】（1）由于，符合双曲线的定义， 于是，即， 故，注意到，且焦点在轴上， 故曲线的方程为 （2）若过的直线与交于两点，则斜率不会是，否则和右支只有一个交点，    设该直线为，和双曲线联立可得， 则，故， 设，则方程可写作：，的方程可写作：， 联立的方程可得，，整理可得，， 则， 利用在直线上， 于是， 于是，故， 即，故交点一定落在上. 4．（23-24高二下·云南昆明·期末）已知双曲线的两条渐近线分别为和，右焦点坐标为，为坐标原点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)设M，N是双曲线C上不同的两点，Q是MN的中点，直线MN、OQ的斜率分别为，证明：为定值； (3)直线y=4x-6与双曲线的右支交于点（在的上方），过点分别作的平行线，交于点，过点且斜率为4的直线与双曲线交于点（在的上方），再过点分别作的平行线，交于点，⋯，这样一直操作下去，可以得到一列点．证明：共线． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由题意，根据题目所给信息以及的关系，列出等式求出和的值，进而可得双曲线的标准方程； （2）设，，根据M，N为双曲线C上的两点，列由点差法得到，利用斜率公式进行求证即可； （3）设直线的方程为，，，将直线方程与双曲线方程联立，易得，结合韦达定理，求出，再利用韦达定理进行求证． 【详解】（1）因为双曲线的两条渐近线分别为和，右焦点坐标为， 所以，解得，则双曲线的标准方程为； （2）证明：设，， 因为M，N为双曲线C上的两点，所以， 两式相减得，整理得， 则，得证； （3）证明：设斜率为4，与双曲线右支相交于两点的直线方程为，，， 联立，消去y并整理得， 因为该方程有两个正根，则，解得，（舍） 由韦达定理得， 直线的方程为， 因为，即，① 直线的方程为， 因为，即，② 联立①②，两式相加得，两式相减得， 因为，则，， 所以， 则都在直线上，故共线． 双曲线中的向量问题 一、单选题 1．（23-24高二下·甘肃·期末）过双曲线的左焦点作斜率为2的直线交于两点．若，则双曲线的离心率为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】设，由，得，设直线的方程为，代入双曲线方程化简，利用根与系数的关系，再结合可得到关于的式子，化简后可求得离心率. 【详解】设，由，得， 设直线的方程为， 由消去，得， 由根与系数的关系，得， 所以， 所以，化简得， 所以，得， 所以，可得. 故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查求双曲线的离心率，考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是由题意设出直线的方程为，代入双曲线方程化简整理利用根与系数的关系，考查计算能力，属于较难题. 2．（23-24高二上·贵州黔南·期末）已知点，分别为双曲线C：（）的左、右焦点，点到渐近线的距离为2，过点的直线l与C的左、右两支曲线分别交于A，B两点，且，则下列说法正确的为（    ） A．的面积为8 B．双曲线C的离心率为2 C． D． 【答案】D 【分析】利用已知条件求出的值，对于A：利用勾股定理结合双曲线的定义求出的面积；对于B：利用双曲线的离心率公式运算求解；对于C：先求，，再利用平面向量数量积的运算性质运算求解；对于D：根据双曲线的定义结合勾股定理求出，代值计算即可． 【详解】设双曲线的半焦距为，因为双曲线的焦点在轴上，且， 则其中一条渐近线方程为，即，且， 则到渐近线的距离为，可得， 对于A：因为且， 可得，解得， 所以△的面积为，故A错误； 对于B：双曲线的离心率为，故B错误； 对于C：因为，可得， 所以，故C错误； 对于D：设，则， 因为，即，解得， 所以，故D正确． 故选：D． 二、多选题 3．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与的左支相交于两点，若，且，则（    ） A． B． C．双曲线的渐近线方程为 D．直线的斜率为4 【答案】BC 【分析】根据给定条件，结合双曲线的定义求得，，再逐项计算判断即可. 【详解】由，设，，由，得， 则，，而，解得，因此，， 对于A，，A错误； 对于B，显然，则，B正确； 对于C，令，在中，由，得， 则，，即，因此双曲线的渐近线方程为，C正确； 对于D，由，结合对称性，图中位置可互换，则直线的斜率为，D错误. 故选：BC 【点睛】易错点睛：双曲线(a>0,b>0)的渐近线方程为，而双曲线(a>0,b>0)的渐近线方程为(即)，应注意其区别与联系. 4．（23-24高二上·江西萍乡·期末）双曲线：的左右焦点分别为，，两条渐近线分别为，，过坐标原点的直线与的左右两支分别交于，两点，为上异于，的动点，下列结论正确的是（    ） A．若以为直径的圆经过，则 B．若，则或9 C．过点作的垂线，垂足为，若（），则 D．设，的斜率分别为，，则的最小值为2 【答案】AD 【分析】由双曲线的方程可知，，的值，逐一分析所给选项，判断正误. 【详解】由双曲线的方程可知，，，由题意可设，， 对于A，以为直径的圆经过，连接，，可得四边形为矩形， 设，，可得，即，得， 所以，故A正确； 对于B，，所以在双曲线的左支上，则，故B不正确； 对于C，由题意可得，设其中一条渐近线的方程为，则直线的方程为，即， 代入双曲线方程可得，化简得，解得， 如图在之间，所以，，即， 所以，故，故C不正确； 对于D，联立，可得：，由于，， 所以，由，当且仅当时取等号，故D正确. 故选：AD 三、填空题 5．（22-23高二上·湖南怀化·期末）已知双曲线的方程为，其左右焦点分别为，已知点坐标为，双曲线上的点满足，设内切圆半径为，则 ， ． 【答案】 2 8 【分析】利用内切圆性质结合双曲线定义，可推出内切圆圆心的横坐标即为a，再结合向量数量积的运算推出P点在角平分线上，从而确定内切圆圆心即为P，从而求得内切圆半径，根据三角形面积公式结合双曲线定义，即可求得的值. 【详解】设内切圆与三边的切点分别为，如图， 则，， Q在双曲线右支上，由双曲线定义得， 则， 又，故， 即E点横坐标为a，即内切圆的圆心横坐标为a， 由，得， 即，即为的角平分线， 由于点坐标为，内切圆的圆心横坐标为， 则P即为内切圆的圆心，E为切点，则内切圆半径为； ， 故答案为：2；8 【点睛】关键点睛：本题考查双曲线定义的应用以及焦点三角形内切圆半径的求解，综合了向量数量积的应用，解答的关键是利用内切圆性质结合双曲线定义，推出内切圆圆心的横坐标即为a，再结合向量数量积的运算推出P点在角平分线上，从而确定内切圆圆心. 四、解答题 6．（23-24高二下·贵州六盘水·期末）已知双曲线过点，左、右顶点分别为，，直线与直线的斜率之和为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过双曲线右焦点的直线交双曲线右支于，（在第一象限）两点，，是双曲线上一点，的重心在轴上，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）首先表示出左右顶点，由斜率公式求出，将点的坐标代入方程求出，即可得解； （2）设，，直线的方程为，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，由得到，即可求出，即可求出，从而求出，即可得解. 【详解】（1）依题意左、右顶点分别为，， 所以，解得， 将代入得，解得， 故双曲线方程为； （2）设，，直线的方程为， 将代入整理得，， ∴，，又由， 代入上式得，解得，， 因为的重心在轴上，所以， 所以，代入双曲线得， 故或． 7．（23-24高二上·安徽宣城·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点满足，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)若过点的直线与交于两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由双曲线定义可知点的轨迹是双曲线的右支，由此即可得解； （2）由题意设直线的方程为，联立椭圆方程，由可知，结合韦达定理即可求解参数，由此即可得解. 【详解】（1）因为，且， 所以点的轨迹是双曲线的右支，可设其方程为， 所以， 所以其轨迹方程为. （2） 由题意可知，直线的斜率不为0，设直线的方程为， 联立方程，消去得， 由题意， 设， 则， ， ， 且， ， 直线的方程. 8．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线． (1)求上焦点的坐标； (2)若动点在双曲线的上支上运动，求点到的距离的最小值，并求此时的坐标； (3)若为双曲线的上顶点，直线与双曲线交于C、D两点（异于点），，求实数的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据双曲线方程求解出的值，根据求解出的值，则坐标可知； （2）设出点坐标，然后表示出，根据点在双曲线上以及二次函数的性质求解出，代入于双曲线方程则可知，故点坐标可知； （3）设出坐标，联立直线与双曲线方程得到横坐标的韦达定理形式，然后将数量积关系转化为坐标关系，结合韦达定理可求解出的值. 【详解】（1）因为双曲线方程为， 所以，所以， 所以上焦点. （2）设，则， 所以， 当时，此时取得最小值且， 所以，所以， 所以. （3）因为为上顶点，所以， 由题意可知：不经过，所以， 设， 联立可得， 且，即， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 化简可得：，解得或（舍）， 综上所述，. 9．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知双曲线，抛物线的焦点F是双曲线M的右顶点，且以F为圆心，以b为半径的圆与直线相切． (1)求双曲线M的标准方程； (2)已知直线与双曲线M交于A、B两点，且双曲线M是否存在上存在点P满足，若存在，求出m的值，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）由题意得，由此可得，而为抛物线焦点到直线的距离，由点到直线的距离公式即可得解. （2）将直线与双曲线方程联立，由，解得或，结合韦达定理以及，求得参数，并注意检验，由此即可得解. 【详解】（1）因为抛物线的焦点是双曲线M的一个顶点，即，， 所以双曲线M的方程是． （2）设，联立方程得消去y得， ∵，解得或（*）， 由韦达定理， ∵，∴即， 所以，解得， 不满足（*）式，所以不存在m符合题意． 10．（23-24高二上·云南大理·期末）已知是双曲线上的一点，分别是的左、右焦点，若． (1)求双曲线的离心率； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线的定义可得，进而由离心率公式即可求解， （2）根据数量积的坐标运算，即可求解. 【详解】（1）由可得，所以， 故，离心率为 （2），， 所以， 由于，所以， 解得， 11．（23-24高二上·河南·期末）已知双曲线的焦点到渐近线的的距离为3，离心率为2. (1)求双曲线的标准方程； (2)经过点的直线与双曲线的左､右两支分别交于点为坐标原点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率、焦点到渐近线的距离为3及求出可得答案； （2）设直线的方程为，与双曲线方程联立，由韦达定理代入得，再根据的范围可得答案. 【详解】（1）由题意得，其中， 由题得，所以，即， 又焦点到渐近线的距离为3，所以， 所以双曲线的标准方程为； （2）显然直线的斜率存在，设其方程为， 联立直线与的方程，得消去得， 因为直线与的两支分别交于点，所以， 得，设，则， ， 综上，的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$