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1
专项 10 综合余角补角求角度
答案解析
1.D
【分析】本题考查了与余角有关的计算.解题的关键是熟练掌握余角的定义.两个角的和等于
90°,称为这两个角互为余角.
根据余角性质可得∠��� = 90° − ∠1,∠��� = 90° − ∠3,得到∠��� + ∠��� = 180° − ∠1 −
∠3,结合∠��� +∠��� = 90° −∠2,即可得到答案.
【详解】∵∠��� = ∠��� = ∠��� = 90°,
∴∠��� = 90° −∠1,∠��� = 90° −∠3,
∴∠��� +∠��� = 180° −∠1 −∠3,
∵∠��� +∠��� = 90° −∠2,
∴180° −∠1 −∠3 = 90° −∠2,
∴∠1 −∠2 +∠3 = 90°.
故选:D.
2.(1)72°
(2)126°
【分析】(1)根据余角的性质以及∠��� = 4∠���,可得∠��� + 4∠��� = 90°,从而得到
∠��� = 18°,即可求解;
(2)根据∠��� = 72°,可得∠��� = 108°,再由��平分∠���,可得∠��� = 1
2
∠��� = 54°,
即可求解.
【详解】(1)解:∵∠���与∠���互为余角,
∴∠��� +∠��� = 90°,
∵∠��� = 4∠���,
∴∠��� + 4∠��� = 90°,
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2
∴∠��� = 18°,
∴∠��� = 4∠��� = 72°;
(2)解:∵ ∠��� = 72°,
∴∠��� = 108°
∵��平分∠���,
∴∠��� = 1
2
∠��� = 54°,
∴∠��� = ∠��� +∠��� = 54° + 72° = 126°.
【点睛】本题主要考查了余角的性质,有关角平分线的计算,准确得到角与角之间的数量关系
是解题的关键.
3.(1)70°
(2)55°
(3)见解析,55°或 165°
【分析】本题考查余角概念,补角概念,角平分线定义,角的和差运算.
(1)根据补角的概念即可得出答案;
(2)先根据角平分线求出∠���的大小,再根据余角的概念求出∠���的大小,即可求出
∠���的大小;
(3)分��在直线��的上方和下方两种情况讨论即可.
【详解】(1)解:∵ ∠��� = 110°,∠��� = 180°,
∴∠��� = 180° −∠��� = 70°;
(2)由(1)知∠��� = 70°,
∵��平分∠���,
∴∠��� = ∠��� = 1
2
∠��� = 35°
又∵∠��� = 90°,
∴∠��� = ∠��� −∠��� = 90° − 35° = 55°;
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3
(3)由(2)知∠��� = 35°,
∵∠���与∠���互余,
∴∠��� +∠��� = 90°,
∴∠��� = 90° −∠��� = 90° − 35° = 55°,
①当射线��在∠���内部时,
∠��� = ∠��� −∠��� = 110° − 55° = 55°,
②当射线��在∠���外部时,
∠��� = ∠��� +∠��� = 110° + 55° = 165°,
综上所述,∠���的度数为 55°或 165°.
4.(1)35°
(2)2�°
(3)160°
【分析】(1)由角平分线的定义,得出∠��� = ∠���=60°,再结合图形,即可求解;
(2)由角平分线的定义,得出∠��� = 1
2
∠���,∠��� = 1
2
∠���,表示出∠���,即可求解;
(3)由(2)得∠��� = 2∠���,再由题意确定∠��� = 30°,∠��� = 60°,结合图形,列出
关于∠���的方程组,即可求解.
【详解】(1)解: OC 平分∠���,∠��� = 120°,
∴ ∠��� = ∠���=60°,
∵∠��� = 10°,
∴ ∠��� = 60° + 10°=70°,
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4
∵��平分∠���,
∴∠��� = 1
2
∠��� = 35°.
(2)∵��平分∠���,��平分∠���,
∴ ∠��� = 1
2
∠���,∠��� = 1
2
∠���,
∵ ∠��� = �°,
∴ ∠��� −∠��� = 1
2
∠��� −∠��� = �°,
即
1
2
∠��� = �°,
∴∠��� = 2�°;
(3)∵由(2)得∠��� = 2∠���,
∵∠���与∠���互余,∠��� +∠��� = 90°,
∴∠��� = 30°,∠��� = 60°,
∵∠���与∠���互补,
∴∠��� +∠��� = 180°,
∵∠��� = 1
2
∠��� −∠��� = 1
2
∠��� − 60°,
∴∠��� + 1
2
∠��� − 60° = 180°,
∴ ∠���=160°.
【点睛】本题考查了角的计算及一元一次方程的应用,解题关键是由角平分线定义得出有关等
式.
5.(1)∠���的度数为 60°
(2)� = �,理由见解析
(3) 180ACB DCE ,理由见解析
【分析】本题考查了角的计算、余角、补角的定义,解题的关键是熟练掌握余角、补角的定义.
(1)根据题意得 90ACD BCE ,从而可得∠��� = ∠��� −∠���,求出答案即可;
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(2)由得 90ACD BCE ,从而可得∠��� = � = 90° −∠���,∠��� = � = 90° −∠���,
进而可得答案;
(3)由∠��� = ∠��� +∠���,得∠��� +∠��� = ∠��� +∠��� +∠��� = ∠��� +
∠��� = 90° + 90° = 180°,即可得到答案.
【详解】(1)解:由题意可知, 90ACD BCE ,
∴∠��� = ∠��� −∠��� = 150° − 90° = 60°,
即:∠���的度数为 60°;
(2)� = �,理由如下:
∵ 90ACD BCE ,∠��� = �,∠��� = �,
∴∠��� = � = ∠��� −∠��� = 90° −∠���,
∠��� = � = ∠��� −∠��� = 90° −∠���,
∴� = �;
(3) 180ACB DCE ,理由如下:
∵∠��� = ∠��� +∠���, 90ACD BCE ,
∴∠��� +∠��� = ∠��� +∠��� +∠��� = ∠��� +∠��� = 90° + 90° = 180°,
即: 180ACB DCE .
6.(1)①�� ⊥ ��;②∠���或∠���,理由见解析
(2)105°
(3)90° − 1
2
�或 90° + 1
2
�
【分析】本题考查了正方形的性质,补角,折叠的性质,两个角的和与差,分类思想.
(1)① 根据折叠的性质,得∠��� = ∠���,∠��� = ∠���,结合∠��� +∠��� +
∠��� +∠��� = 180°,化简计算即可.
②根据∠��� + ∠��� = 180°,结合∠��� = ∠�'��,得到∠�'��的一个补角,结合∠��� +
∠��� = 90°,得到∠��� + ∠��� = 90°,结合∠��� + ∠��� = 90°,得到∠��� = ∠���,
再根据∠��� +∠��� = 180°计算另一个补角即可.
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(2)根据折叠的性质,得∠��� = ∠���,∠��� = ∠���,结合∠��� + ∠��� + ∠��� +
∠��� + ∠��� = 180°,∠��� = 30°,计算∠��� + ∠��� = 75°结合∠��� = ∠��� +
∠��� +∠���计算即可.
(3)分点 P在点 Q的左侧和右侧,两种情况计算即可.
【详解】(1)① 根据折叠的性质,得∠��� = ∠���,∠��� = ∠���,
∵∠��� +∠��� +∠��� +∠��� = 180°,
∴2 ∠��� +∠��� = 180°,
∴∠��� +∠��� = 90°,
∴ 90EMF ,
∴�� ⊥ ��
故答案为:�� ⊥ ��.
②∵∠��� + ∠��� = 180°, ∠��� = ∠�'��,
∴∠��� +∠�'�� = 180°,
∴∠�'��的一个补角是∠���,
∵∠��� + ∠��� = 90°,∴∠��� +∠��� = 90°,
∵四边形����是正方形,
∴∠� = 90°,
∴∠��� +∠��� = 90°,
∴∠��� = ∠���,
∵∠��� +∠��� = 180°,
∴∠���+∠��� = 180°,
∴∠���+∠�'�� = 180°,
∴∠�'��的一个补角是∠���,
故∠�'��的补角是∠���或∠���.
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(2)根据折叠的性质,得∠��� = ∠���,∠��� = ∠���,
∵∠��� + ∠��� + ∠��� + ∠��� + ∠��� = 180°,∠��� = 30°,
∴∠��� +∠��� = 75°
∵∠��� = ∠��� +∠��� +∠���,
∴∠��� = 30° + 75° = 105°.
(3)如图,当点 P在点 Q的左侧时,
根据折叠的性质,得∠��� = ∠���,∠��� = ∠���,
∵∠��� + ∠��� + ∠��� + ∠��� + ∠��� = 180°,∠��� = �,
∴∠��� +∠��� = 180°−�
2
= 90° − 1
2
�,
∵∠��� = ∠��� +∠��� +∠���,
∴∠��� = � + 90° − 1
2
� = 90° + 1
2
�.
当点 P在点 Q的右侧时,
根据折叠的性质,得∠��� = ∠���,∠��� = ∠���,
∵∠��� = �∴∠��� + ∠��� + ∠��� + ∠��� = ∠��� + ∠��� + ∠��� + ∠��� +
∠��� = 180° + �,
∴∠��� +∠��� = 180°+�
2
= 90° + 1
2
�,
∵∠��� +∠��� +∠��� = 180°,
∴∠��� = 180° − 90° + 1
2
� = 90° − 1
2
�.
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故∠���得度数为 90° − 1
2
�或 90° + 1
2
�.
7.(1)2
(2)90°,详见解析
(3)80°或 100°,详见解析
【分析】(1)由题意得出∠��� +∠��� = 90°,∠��� = 180° −∠���,再由角平分线的
定义进行计算,即可得出结果;
(2)设∠��� = ∠��� = �,由角平分线定义和已知得出∠��� = ∠��� + ∠��� = 135° − 1
2
�,
∠��� = 45° − 1
2
�,即可得出结果;
(3)分别用 x表示出∠���,列方程求出 x,再分别讨论��的位置即可得解.
【详解】(1)∠��� = 2∠���;理由如下:
∵∠��� = 90°.
∴∠��� +∠��� = 90°,
∵��平分∠���,
∴∠��� = ∠��� = 1
2
∠���,
又∵∠��� = 180° −∠���,
∴∠��� = ∠��� −∠��� = 1
2
∠��� − 90° −∠��� = 1
2
180° −∠��� − 90° +
∠��� = 1
2
∠���,
∴∠��� = 2∠���;
故答案为:2;
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(2)∵��为∠���的角平分线,��平分∠���,
∴设∠��� = ∠��� = �,
∴∠��� = ∠��� = 90°+�
2
= 45° + 1
2
�,
∴∠��� = ∠��� +∠��� = 45° + 1
2
� + 90° − � = 135° − 1
2
�,
∠��� = ∠��� −∠��� = 45° +
1
2
� − � = 45° −
1
2 �
∴∠��� −∠��� = 135° − 1
2
� − 45° − 1
2
� = 135° − 1
2
� − 45° + 1
2
� = 90°;
(3)由(2)知,∠��� = 1
2
∠��� − 2∠��� = 45° + 1
2
� − 2� = 45° − 3
2
�,
∵∠��� = �,∠��� = 45° + 1
2
�,
∴ 30AOC FOD EOF ,
∴∠��� = ∠��� +∠��� − 30° = 15° + 3
2
�,
∴45° − 3
2
� = 15° + 3
2
�,
∴� = 10°
∴∠��� = 10°,
当��在��左侧时,∠��� = 90° − 10° = 80°,
,
当��在��右侧时,∠��� = 90° + 10° = 100°.
【点睛】本题考查了角平分线定义、角的互余关系、邻补角定义、角的计算及解一元一次方程
等知识点;熟练掌握角平分线定义,得出角之间的关系是解决问题的关键.
8.(1)��是∠���的“分补线”,理由见解析;
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(2)①∠��� = 120°;②∠��� = 144°或1080
7
°
【分析】本题考查了角平分线的定义,补角等,理解“分补线”的概念是解题的关键.
(1)先求出∠���的度数,根据∠��� +∠��� = 180°,即可判断;
(2)根据角平分线的定义和“分补线”的定义,分∠��� + ∠��� = 180°和∠��� + ∠��� =
180°,根据∠��� = ∠��� = 1
2
�,建立方程,解方程,进一步求解即可;
【详解】(1)解:��是∠���的“分补线,理由如下:
∵∠��� = 140°,∠��� = 100°,,
∴∠��� = ∠��� −∠��� = 140° − 100° = 40°,
∴∠��� +∠��� = 40° + 140° = 180°,
∴��是∠���的“分补线;
(2)解:①当��与��重合时,
∵��平分∠���,
∴∠��� = ∠��� = 1
2
∠���,
∵��为∠���的“分补线”,
∴
1
2
∠��� +∠��� = 180°,
∴∠��� = 120°,
②设∠��� = �
∵��平分∠���,��为∠���的“分补线”,
∴∠��� = ∠��� = 1
2
�, ∠��� +∠��� = 180°
∴∠��� = 180° − �
又∵��为∠���的“分补线”,则��在∠���的内部,
如图所示,
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当∠��� +∠��� = 180°
∴∠��� = 180° −∠��� = 180° − ∠��� −∠��� = 180° − � − 180° − � = 360° −
2�
∵∠��� = ∠��� = 1
2
�
∴∠��� +∠��� = 1
2
�
即 360° − 2� + 180° − � = 1
2
�
解得:
1080
7
°
∵��为∠���的“分补线”,
当∠��� +∠��� = 180°,
∴∠��� = 180° −∠��� = 360° − 2�
∵∠��� = ∠��� = 1
2
�
∴360° − 2� = 1
2
�
解得:� = 144°
综上所述,∠��� = 144°或
1080
7
°
9.(1)30°或 60°
(2)①120°;②存在, 120 或 160°,理由见解析
【分析】(1)当∠���与∠���互余时有以下两种情况:(ⅰ)当��在��的上方时,(ⅱ)
当��在��的下方时,根据两种不同情况画出图形,计算出∠���的度数即可;
(2)①当∠��� = 90°,画出图形,计算出∠���的度数即可;
②依题意得:� = ∠���,然后分两种情况讨论如下:(ⅰ)当��在∠���内部时,(ⅱ)当
��在∠���内部时,根据两种不同情况画出图形,计算出∠���的度数即可.
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【详解】(1)解:∵若∠���与∠���互余,
∴有以下两种情况:
(ⅰ)当��在��的上方时,如图 1 所示:
∵点�在直线��上,∠��� = 150°,
180 30BOC AOC ,
∴ ∠��� = ∠��� +∠��� = 30° +∠���,
∵ ∠���与∠���互余,
∴ ∠��� +∠��� = 90°,
即 30° +∠��� +∠��� = 90°,
∴ ∠��� = 30°;
(ⅱ)当��在��的下方时,如图 2 所示:
∠��� = ∠��� +∠��� = 30° +∠���,
∵ ∠���与∠���互余,
∴ ∠��� +∠��� = 90°,
∴ ∠��� + 30° +∠��� = 90°,
∴ ∠��� = 30°,
∴ ∠��� = 30° +∠��� = 60°,
综上所述:∠���的度数是 30°或 60°.
故答案为:30°或 60°.
(2)解:①∵ ∠��� = 90°,如图 3 所示:
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∵点�在直线��上,∠��� = 150°,
∴ ∠��� = ∠��� −∠��� = 150° − 90° = 60°,
OE 平分∠���,
∴ ∠��� = 1
2
∠��� = 30°,
∴ ∠��� = ∠��� +∠��� = 30° + 90° = 120°;
②存在, 120 或 160°,理由如下:
依题意得:� = ∠���,
分两种情况讨论如下:
(ⅰ)当��在∠���内部时,如图 4所示:
∵ ∠���与∠���互余,
∴ ∠��� +∠��� = 90°,
即 90EOC ,
∴ ∠��� = ∠��� −∠��� = 150° − 90° = 60°,
OE 平分∠���,
∴ ∠��� = 2∠��� = 120°,
∴当∠���与∠���互余时, 120 ;
(ⅱ)当��在∠���内部时,如图 5 所示:
∵ ∠���与∠���互余,
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∴ ∠��� +∠��� = 90°,
∴ ∠��� = 90° −∠���
∵ ∠��� = ∠��� +∠���
∴ ∠��� = 90° − 2∠���,
OE 平分∠���,
∴ ∠��� = ∠��� = 90° −∠���,
∵ ∠��� = ∠��� +∠��� = 150°,
∴ 90° −∠��� + 90° − 2∠��� = 150°,
∴ ∠��� = 10°,
∴ ∠��� = ∠��� +∠��� = 150° + 10° = 160°,
∴当∠���与∠���互余时,� = 160°.
综上所述:当 120 或 160°时,使得∠���与∠���互余.
【点睛】此题主要考查了角平分线的定义,互为余角的定义,角的计算,理解角平分线的定义,
互为余角的定义,熟练掌握角的计算是解决问题的关键.
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专项 10 综合余角补角求角度
1.如图,∠��� = ∠��� = ∠��� = 90°,则∠1,∠2,∠3之间的数量关系为( )
A.∠1 + ∠2 + ∠3 = 90° B.∠1 +∠2 −∠3 = 90°
C.∠2 + ∠3 − ∠1 = 90° D.∠1 −∠2 +∠3 = 90°
2.如图,∠���与∠���互为补角,∠���与∠���互为余角,且∠��� = 4∠���,
(1)求∠���的度数;
(2)若��平分∠���,求∠���的度数.
3.已知:点�为直线��上一点,过点�作射线��,∠��� = 110°.
(1)如图 1,求∠���的度数;
(2)如图 2,过点�作射线��,使∠��� = 90°,作∠���的平分线��,求∠���的度数;
(3)如图 3,在(2)的条件下,作射线��,若∠���与∠���互余,请画出图形,并求∠���
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2
的度数.
4.如图 1,��平分∠���,��是∠���内部从点 O 出发的一条射线,��平分∠���.
(1)【基础尝试】如图 2,若∠��� = 120°,∠��� = 10°,求∠���的度数;
(2)【画图探究】设∠��� = �°,用 x 的代数式表示∠���的度数;
(3)【拓展运用】若∠���与∠���互余,∠���与∠���互补,求∠���的度数.
5.将一副三角板的直角顶点重合按图①方式摆放,图②是依据图①而作出的几何图形,试
依据图②回答下列问题.
(1)若 150ACB ,求∠���度数;
(2)设∠��� = �,∠��� = �,试探究�、之间的数量关系,并说明理由;
(3)请探究∠���与∠���之间有何数量关系?直接写出你的结论.
6.综合实践课上,同学们动手折叠一张正方形纸片,如图,点 M是边�� 的中点,点 P、Q
是��边上的两个动点,连接��、��,将∠���折叠,使点 A 落在线段��上的点�'处,��
是折痕,将∠���折叠,使点 B落在线段��上的点�'处,��是折痕.
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3
(1)如图 1,当点 P与点 Q重合时.
①线 段��与 线 段 ��的位置关系是_______;
②找出∠�'��的一个补角,并说明理由;
(2)如图 2,当点 P在点 Q的左侧时,∠��� = 30°,求出∠���的度数;
(3)若∠��� = �,直接写出∠���的度数(用含α的代数式表示).
7.点�为直线��上一点,在直线��同侧任作一个∠���,使得∠��� = 90°.
(1)如图 1,过点�作射线��,当��恰好为∠���的角平分线时,请直接写出∠���与∠���
之间的倍数关系,即∠��� =______∠���(填一个数字);
(2)如图 2 ∠��� < 30° ,过点�作射线��,使��恰好为∠���的角平分线,另作射线��,使
得��平分∠���,求 FOB COF 的度数;
(3)在(2)的条件下,若 30AOC FOD EOF ,作射线��,使得 DOG AOC ,求 COG
的度数.
8.阅读理解:
如图,从∠��� 90° < ∠��� < 180° 的顶点出发,在∠���的内部作一条射线��,将∠���
分得的两个角为∠���和∠���,其中至少有一个角与∠���互为补角,则称该射线��为
∠���的“分补线”.请回答以下问题:
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4
(1)若∠��� = 140°,∠��� = 100°,请判断此时��是否为∠���的“分补线”,并说明理由;
(2)若��平分∠���,��为∠���的“分补线”,
①当��与��重合时,求∠���的度数;
②当��为∠���的“分补线”时,请画出图形并求出此时∠���的度数.
9.如图,点�在直线��上,∠��� = 150°,在平面内,过点�任画射线��.
(1)填空:若∠���与∠��� 互余,则∠���的度数是________;
(2)射线��绕点�从射线��的位置出发,顺时针旋转�°(0° < � < 180°),��平分∠���.
①若∠��� = 90°,求∠���的度数;
②在射线��旋转过程中,是否存在�的值,使得∠���与∠���互余?若存在,求出�的值;
若不存在,请说明理由.