专项10 综合余角补角求角度-人教版七年级上册期末专项(初中数学)

2024-11-29
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资源信息

学段 初中
学科 数学
教材版本 初中数学人教版七年级上册
年级 七年级
章节 第六章 几何图形初步
类型 题集-专项训练
知识点 -
使用场景 同步教学-期末
学年 2024-2025
地区(省份) 全国
地区(市) -
地区(区县) -
文件格式 ZIP
文件大小 2.58 MB
发布时间 2024-11-29
更新时间 2024-11-29
作者 邵俊成
品牌系列 其它·其它
审核时间 2024-11-29
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来源 学科网

内容正文:

原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 1 专项 10 综合余角补角求角度 答案解析 1.D 【分析】本题考查了与余角有关的计算.解题的关键是熟练掌握余角的定义.两个角的和等于 90°,称为这两个角互为余角. 根据余角性质可得∠��� = 90° − ∠1,∠��� = 90° − ∠3,得到∠��� + ∠��� = 180° − ∠1 − ∠3,结合∠��� +∠��� = 90° −∠2,即可得到答案. 【详解】∵∠��� = ∠��� = ∠��� = 90°, ∴∠��� = 90° −∠1,∠��� = 90° −∠3, ∴∠��� +∠��� = 180° −∠1 −∠3, ∵∠��� +∠��� = 90° −∠2, ∴180° −∠1 −∠3 = 90° −∠2, ∴∠1 −∠2 +∠3 = 90°. 故选:D. 2.(1)72° (2)126° 【分析】(1)根据余角的性质以及∠��� = 4∠���,可得∠��� + 4∠��� = 90°,从而得到 ∠��� = 18°,即可求解; (2)根据∠��� = 72°,可得∠��� = 108°,再由��平分∠���,可得∠��� = 1 2 ∠��� = 54°, 即可求解. 【详解】(1)解:∵∠���与∠���互为余角, ∴∠��� +∠��� = 90°, ∵∠��� = 4∠���, ∴∠��� + 4∠��� = 90°, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 2 ∴∠��� = 18°, ∴∠��� = 4∠��� = 72°; (2)解:∵ ∠��� = 72°, ∴∠��� = 108° ∵��平分∠���, ∴∠��� = 1 2 ∠��� = 54°, ∴∠��� = ∠��� +∠��� = 54° + 72° = 126°. 【点睛】本题主要考查了余角的性质,有关角平分线的计算,准确得到角与角之间的数量关系 是解题的关键. 3.(1)70° (2)55° (3)见解析,55°或 165° 【分析】本题考查余角概念,补角概念,角平分线定义,角的和差运算. (1)根据补角的概念即可得出答案; (2)先根据角平分线求出∠���的大小,再根据余角的概念求出∠���的大小,即可求出 ∠���的大小; (3)分��在直线��的上方和下方两种情况讨论即可. 【详解】(1)解:∵ ∠��� = 110°,∠��� = 180°, ∴∠��� = 180° −∠��� = 70°; (2)由(1)知∠��� = 70°, ∵��平分∠���, ∴∠��� = ∠��� = 1 2 ∠��� = 35° 又∵∠��� = 90°, ∴∠��� = ∠��� −∠��� = 90° − 35° = 55°; 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 3 (3)由(2)知∠��� = 35°, ∵∠���与∠���互余, ∴∠��� +∠��� = 90°, ∴∠��� = 90° −∠��� = 90° − 35° = 55°, ①当射线��在∠���内部时, ∠��� = ∠��� −∠��� = 110° − 55° = 55°, ②当射线��在∠���外部时, ∠��� = ∠��� +∠��� = 110° + 55° = 165°, 综上所述,∠���的度数为 55°或 165°. 4.(1)35° (2)2�° (3)160° 【分析】(1)由角平分线的定义,得出∠��� = ∠���=60°,再结合图形,即可求解; (2)由角平分线的定义,得出∠��� = 1 2 ∠���,∠��� = 1 2 ∠���,表示出∠���,即可求解; (3)由(2)得∠��� = 2∠���,再由题意确定∠��� = 30°,∠��� = 60°,结合图形,列出 关于∠���的方程组,即可求解. 【详解】(1)解: OC 平分∠���,∠��� = 120°, ∴ ∠��� = ∠���=60°, ∵∠��� = 10°, ∴ ∠��� = 60° + 10°=70°, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 4 ∵��平分∠���, ∴∠��� = 1 2 ∠��� = 35°. (2)∵��平分∠���,��平分∠���, ∴ ∠��� = 1 2 ∠���,∠��� = 1 2 ∠���, ∵ ∠��� = �°, ∴ ∠��� −∠��� = 1 2 ∠��� −∠��� = �°, 即 1 2 ∠��� = �°, ∴∠��� = 2�°; (3)∵由(2)得∠��� = 2∠���, ∵∠���与∠���互余,∠��� +∠��� = 90°, ∴∠��� = 30°,∠��� = 60°, ∵∠���与∠���互补, ∴∠��� +∠��� = 180°, ∵∠��� = 1 2 ∠��� −∠��� = 1 2 ∠��� − 60°, ∴∠��� + 1 2 ∠��� − 60° = 180°, ∴ ∠���=160°. 【点睛】本题考查了角的计算及一元一次方程的应用,解题关键是由角平分线定义得出有关等 式. 5.(1)∠���的度数为 60° (2)� = �,理由见解析 (3) 180ACB DCE   ,理由见解析 【分析】本题考查了角的计算、余角、补角的定义,解题的关键是熟练掌握余角、补角的定义. (1)根据题意得 90ACD BCE   ,从而可得∠��� = ∠��� −∠���,求出答案即可; 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 5 (2)由得 90ACD BCE   ,从而可得∠��� = � = 90° −∠���,∠��� = � = 90° −∠���, 进而可得答案; (3)由∠��� = ∠��� +∠���,得∠��� +∠��� = ∠��� +∠��� +∠��� = ∠��� + ∠��� = 90° + 90° = 180°,即可得到答案. 【详解】(1)解:由题意可知, 90ACD BCE   , ∴∠��� = ∠��� −∠��� = 150° − 90° = 60°, 即:∠���的度数为 60°; (2)� = �,理由如下: ∵ 90ACD BCE   ,∠��� = �,∠��� = �, ∴∠��� = � = ∠��� −∠��� = 90° −∠���, ∠��� = � = ∠��� −∠��� = 90° −∠���, ∴� = �; (3) 180ACB DCE   ,理由如下: ∵∠��� = ∠��� +∠���, 90ACD BCE   , ∴∠��� +∠��� = ∠��� +∠��� +∠��� = ∠��� +∠��� = 90° + 90° = 180°, 即: 180ACB DCE   . 6.(1)①�� ⊥ ��;②∠���或∠���,理由见解析 (2)105° (3)90° − 1 2 �或 90° + 1 2 � 【分析】本题考查了正方形的性质,补角,折叠的性质,两个角的和与差,分类思想. (1)① 根据折叠的性质,得∠��� = ∠���,∠��� = ∠���,结合∠��� +∠��� + ∠��� +∠��� = 180°,化简计算即可. ②根据∠��� + ∠��� = 180°,结合∠��� = ∠�'��,得到∠�'��的一个补角,结合∠��� + ∠��� = 90°,得到∠��� + ∠��� = 90°,结合∠��� + ∠��� = 90°,得到∠��� = ∠���, 再根据∠��� +∠��� = 180°计算另一个补角即可. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 6 (2)根据折叠的性质,得∠��� = ∠���,∠��� = ∠���,结合∠��� + ∠��� + ∠��� + ∠��� + ∠��� = 180°,∠��� = 30°,计算∠��� + ∠��� = 75°结合∠��� = ∠��� + ∠��� +∠���计算即可. (3)分点 P在点 Q的左侧和右侧,两种情况计算即可. 【详解】(1)① 根据折叠的性质,得∠��� = ∠���,∠��� = ∠���, ∵∠��� +∠��� +∠��� +∠��� = 180°, ∴2 ∠��� +∠��� = 180°, ∴∠��� +∠��� = 90°, ∴ 90EMF  , ∴�� ⊥ �� 故答案为:�� ⊥ ��. ②∵∠��� + ∠��� = 180°, ∠��� = ∠�'��, ∴∠��� +∠�'�� = 180°, ∴∠�'��的一个补角是∠���, ∵∠��� + ∠��� = 90°,∴∠��� +∠��� = 90°, ∵四边形����是正方形, ∴∠� = 90°, ∴∠��� +∠��� = 90°, ∴∠��� = ∠���, ∵∠��� +∠��� = 180°, ∴∠���+∠��� = 180°, ∴∠���+∠�'�� = 180°, ∴∠�'��的一个补角是∠���, 故∠�'��的补角是∠���或∠���. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 7 (2)根据折叠的性质,得∠��� = ∠���,∠��� = ∠���, ∵∠��� + ∠��� + ∠��� + ∠��� + ∠��� = 180°,∠��� = 30°, ∴∠��� +∠��� = 75° ∵∠��� = ∠��� +∠��� +∠���, ∴∠��� = 30° + 75° = 105°. (3)如图,当点 P在点 Q的左侧时, 根据折叠的性质,得∠��� = ∠���,∠��� = ∠���, ∵∠��� + ∠��� + ∠��� + ∠��� + ∠��� = 180°,∠��� = �, ∴∠��� +∠��� = 180°−� 2 = 90° − 1 2 �, ∵∠��� = ∠��� +∠��� +∠���, ∴∠��� = � + 90° − 1 2 � = 90° + 1 2 �. 当点 P在点 Q的右侧时, 根据折叠的性质,得∠��� = ∠���,∠��� = ∠���, ∵∠��� = �∴∠��� + ∠��� + ∠��� + ∠��� = ∠��� + ∠��� + ∠��� + ∠��� + ∠��� = 180° + �, ∴∠��� +∠��� = 180°+� 2 = 90° + 1 2 �, ∵∠��� +∠��� +∠��� = 180°, ∴∠��� = 180° − 90° + 1 2 � = 90° − 1 2 �. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 8 故∠���得度数为 90° − 1 2 �或 90° + 1 2 �. 7.(1)2 (2)90°,详见解析 (3)80°或 100°,详见解析 【分析】(1)由题意得出∠��� +∠��� = 90°,∠��� = 180° −∠���,再由角平分线的 定义进行计算,即可得出结果; (2)设∠��� = ∠��� = �,由角平分线定义和已知得出∠��� = ∠��� + ∠��� = 135° − 1 2 �, ∠��� = 45° − 1 2 �,即可得出结果; (3)分别用 x表示出∠���,列方程求出 x,再分别讨论��的位置即可得解. 【详解】(1)∠��� = 2∠���;理由如下: ∵∠��� = 90°. ∴∠��� +∠��� = 90°, ∵��平分∠���, ∴∠��� = ∠��� = 1 2 ∠���, 又∵∠��� = 180° −∠���, ∴∠��� = ∠��� −∠��� = 1 2 ∠��� − 90° −∠��� = 1 2 180° −∠��� − 90° + ∠��� = 1 2 ∠���, ∴∠��� = 2∠���; 故答案为:2; 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 9 (2)∵��为∠���的角平分线,��平分∠���, ∴设∠��� = ∠��� = �, ∴∠��� = ∠��� = 90°+� 2 = 45° + 1 2 �, ∴∠��� = ∠��� +∠��� = 45° + 1 2 � + 90° − � = 135° − 1 2 �, ∠��� = ∠��� −∠��� = 45° + 1 2 � − � = 45° − 1 2 � ∴∠��� −∠��� = 135° − 1 2 � − 45° − 1 2 � = 135° − 1 2 � − 45° + 1 2 � = 90°; (3)由(2)知,∠��� = 1 2 ∠��� − 2∠��� = 45° + 1 2 � − 2� = 45° − 3 2 �, ∵∠��� = �,∠��� = 45° + 1 2 �, ∴ 30AOC FOD EOF    , ∴∠��� = ∠��� +∠��� − 30° = 15° + 3 2 �, ∴45° − 3 2 � = 15° + 3 2 �, ∴� = 10° ∴∠��� = 10°, 当��在��左侧时,∠��� = 90° − 10° = 80°, , 当��在��右侧时,∠��� = 90° + 10° = 100°. 【点睛】本题考查了角平分线定义、角的互余关系、邻补角定义、角的计算及解一元一次方程 等知识点;熟练掌握角平分线定义,得出角之间的关系是解决问题的关键. 8.(1)��是∠���的“分补线”,理由见解析; 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 10 (2)①∠��� = 120°;②∠��� = 144°或1080 7 ° 【分析】本题考查了角平分线的定义,补角等,理解“分补线”的概念是解题的关键. (1)先求出∠���的度数,根据∠��� +∠��� = 180°,即可判断; (2)根据角平分线的定义和“分补线”的定义,分∠��� + ∠��� = 180°和∠��� + ∠��� = 180°,根据∠��� = ∠��� = 1 2 �,建立方程,解方程,进一步求解即可; 【详解】(1)解:��是∠���的“分补线,理由如下: ∵∠��� = 140°,∠��� = 100°,, ∴∠��� = ∠��� −∠��� = 140° − 100° = 40°, ∴∠��� +∠��� = 40° + 140° = 180°, ∴��是∠���的“分补线; (2)解:①当��与��重合时, ∵��平分∠���, ∴∠��� = ∠��� = 1 2 ∠���, ∵��为∠���的“分补线”, ∴ 1 2 ∠��� +∠��� = 180°, ∴∠��� = 120°, ②设∠��� = � ∵��平分∠���,��为∠���的“分补线”, ∴∠��� = ∠��� = 1 2 �, ∠��� +∠��� = 180° ∴∠��� = 180° − � 又∵��为∠���的“分补线”,则��在∠���的内部, 如图所示, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 11 当∠��� +∠��� = 180° ∴∠��� = 180° −∠��� = 180° − ∠��� −∠��� = 180° − � − 180° − � = 360° − 2� ∵∠��� = ∠��� = 1 2 � ∴∠��� +∠��� = 1 2 � 即 360° − 2� + 180° − � = 1 2 � 解得:  1080 7 ° ∵��为∠���的“分补线”, 当∠��� +∠��� = 180°, ∴∠��� = 180° −∠��� = 360° − 2� ∵∠��� = ∠��� = 1 2 � ∴360° − 2� = 1 2 � 解得:� = 144° 综上所述,∠��� = 144°或 1080 7 ° 9.(1)30°或 60° (2)①120°;②存在, 120  或 160°,理由见解析 【分析】(1)当∠���与∠���互余时有以下两种情况:(ⅰ)当��在��的上方时,(ⅱ) 当��在��的下方时,根据两种不同情况画出图形,计算出∠���的度数即可; (2)①当∠��� = 90°,画出图形,计算出∠���的度数即可; ②依题意得:� = ∠���,然后分两种情况讨论如下:(ⅰ)当��在∠���内部时,(ⅱ)当 ��在∠���内部时,根据两种不同情况画出图形,计算出∠���的度数即可. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 12 【详解】(1)解:∵若∠���与∠���互余, ∴有以下两种情况: (ⅰ)当��在��的上方时,如图 1 所示: ∵点�在直线��上,∠��� = 150°, 180 30BOC AOC      , ∴ ∠��� = ∠��� +∠��� = 30° +∠���, ∵ ∠���与∠���互余, ∴ ∠��� +∠��� = 90°, 即 30° +∠��� +∠��� = 90°, ∴ ∠��� = 30°; (ⅱ)当��在��的下方时,如图 2 所示: ∠��� = ∠��� +∠��� = 30° +∠���, ∵ ∠���与∠���互余, ∴ ∠��� +∠��� = 90°, ∴ ∠��� + 30° +∠��� = 90°, ∴ ∠��� = 30°, ∴ ∠��� = 30° +∠��� = 60°, 综上所述:∠���的度数是 30°或 60°. 故答案为:30°或 60°. (2)解:①∵ ∠��� = 90°,如图 3 所示: 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 13 ∵点�在直线��上,∠��� = 150°, ∴ ∠��� = ∠��� −∠��� = 150° − 90° = 60°, OE 平分∠���, ∴ ∠��� = 1 2 ∠��� = 30°, ∴ ∠��� = ∠��� +∠��� = 30° + 90° = 120°; ②存在, 120  或 160°,理由如下: 依题意得:� = ∠���, 分两种情况讨论如下: (ⅰ)当��在∠���内部时,如图 4所示: ∵ ∠���与∠���互余, ∴ ∠��� +∠��� = 90°, 即 90EOC  , ∴ ∠��� = ∠��� −∠��� = 150° − 90° = 60°, OE 平分∠���, ∴ ∠��� = 2∠��� = 120°, ∴当∠���与∠���互余时, 120  ; (ⅱ)当��在∠���内部时,如图 5 所示: ∵ ∠���与∠���互余, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 14 ∴ ∠��� +∠��� = 90°, ∴ ∠��� = 90° −∠��� ∵ ∠��� = ∠��� +∠��� ∴ ∠��� = 90° − 2∠���, OE 平分∠���, ∴ ∠��� = ∠��� = 90° −∠���, ∵ ∠��� = ∠��� +∠��� = 150°, ∴ 90° −∠��� + 90° − 2∠��� = 150°, ∴ ∠��� = 10°, ∴ ∠��� = ∠��� +∠��� = 150° + 10° = 160°, ∴当∠���与∠���互余时,� = 160°. 综上所述:当 120  或 160°时,使得∠���与∠���互余. 【点睛】此题主要考查了角平分线的定义,互为余角的定义,角的计算,理解角平分线的定义, 互为余角的定义,熟练掌握角的计算是解决问题的关键. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 1 专项 10 综合余角补角求角度 1.如图,∠��� = ∠��� = ∠��� = 90°,则∠1,∠2,∠3之间的数量关系为( ) A.∠1 + ∠2 + ∠3 = 90° B.∠1 +∠2 −∠3 = 90° C.∠2 + ∠3 − ∠1 = 90° D.∠1 −∠2 +∠3 = 90° 2.如图,∠���与∠���互为补角,∠���与∠���互为余角,且∠��� = 4∠���, (1)求∠���的度数; (2)若��平分∠���,求∠���的度数. 3.已知:点�为直线��上一点,过点�作射线��,∠��� = 110°. (1)如图 1,求∠���的度数; (2)如图 2,过点�作射线��,使∠��� = 90°,作∠���的平分线��,求∠���的度数; (3)如图 3,在(2)的条件下,作射线��,若∠���与∠���互余,请画出图形,并求∠��� 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 2 的度数. 4.如图 1,��平分∠���,��是∠���内部从点 O 出发的一条射线,��平分∠���. (1)【基础尝试】如图 2,若∠��� = 120°,∠��� = 10°,求∠���的度数; (2)【画图探究】设∠��� = �°,用 x 的代数式表示∠���的度数; (3)【拓展运用】若∠���与∠���互余,∠���与∠���互补,求∠���的度数. 5.将一副三角板的直角顶点重合按图①方式摆放,图②是依据图①而作出的几何图形,试 依据图②回答下列问题. (1)若 150ACB  ,求∠���度数; (2)设∠��� = �,∠��� = �,试探究�、之间的数量关系,并说明理由; (3)请探究∠���与∠���之间有何数量关系?直接写出你的结论. 6.综合实践课上,同学们动手折叠一张正方形纸片,如图,点 M是边�� 的中点,点 P、Q 是��边上的两个动点,连接��、��,将∠���折叠,使点 A 落在线段��上的点�'处,�� 是折痕,将∠���折叠,使点 B落在线段��上的点�'处,��是折痕. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 3 (1)如图 1,当点 P与点 Q重合时. ①线 段��与 线 段 ��的位置关系是_______; ②找出∠�'��的一个补角,并说明理由; (2)如图 2,当点 P在点 Q的左侧时,∠��� = 30°,求出∠���的度数; (3)若∠��� = �,直接写出∠���的度数(用含α的代数式表示). 7.点�为直线��上一点,在直线��同侧任作一个∠���,使得∠��� = 90°. (1)如图 1,过点�作射线��,当��恰好为∠���的角平分线时,请直接写出∠���与∠��� 之间的倍数关系,即∠��� =______∠���(填一个数字); (2)如图 2 ∠��� < 30° ,过点�作射线��,使��恰好为∠���的角平分线,另作射线��,使 得��平分∠���,求 FOB COF  的度数; (3)在(2)的条件下,若 30AOC FOD EOF    ,作射线��,使得 DOG AOC   ,求 COG 的度数. 8.阅读理解: 如图,从∠��� 90° < ∠��� < 180° 的顶点出发,在∠���的内部作一条射线��,将∠��� 分得的两个角为∠���和∠���,其中至少有一个角与∠���互为补角,则称该射线��为 ∠���的“分补线”.请回答以下问题: 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 4 (1)若∠��� = 140°,∠��� = 100°,请判断此时��是否为∠���的“分补线”,并说明理由; (2)若��平分∠���,��为∠���的“分补线”, ①当��与��重合时,求∠���的度数; ②当��为∠���的“分补线”时,请画出图形并求出此时∠���的度数. 9.如图,点�在直线��上,∠��� = 150°,在平面内,过点�任画射线��. (1)填空:若∠���与∠��� 互余,则∠���的度数是________; (2)射线��绕点�从射线��的位置出发,顺时针旋转�°(0° < � < 180°),��平分∠���. ①若∠��� = 90°,求∠���的度数; ②在射线��旋转过程中,是否存在�的值,使得∠���与∠���互余?若存在,求出�的值; 若不存在,请说明理由.

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专项10 综合余角补角求角度-人教版七年级上册期末专项(初中数学)
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