专项2 绝对值的化简与几何意义-人教版七年级上册期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 2 绝对值的化简与几何意义 答案解析 1．C 【分析】本题考查了绝对值运算．根据�、�、�的符号分情况讨论，再根据绝对值运算进行化 简即可得． 【详解】解：由题意，分以下四种情况： ①当�、�、�全为正数时，原式= 1 + 1 + 1 = 3， ②当�、�、�中两个正数、一个负数时，原式= 1 + 1 − 1 = 1， ③当�、�、�中一个正数、两个负数时，原式= 1 − 1 − 1 =− 1， ④当�、�、�全为负数时，原式=− 1 − 1 − 1 =− 3， 综上所述，所求式子的所有可能的值有 4个， 故选：C． 2．A 【分析】本题主要了数轴，绝对值，有理数的加法和乘法法则，解题的关键是掌握和的符号与 加数的关系．根据已知得出� < 0, � > 0， � > � ，b的符号无法确定，再逐个判断即可． 【详解】解：∵�� < 0， ∴� < 0, � > 0， ∵� + � < 0， ∴ � > � ， ①b的符号无法确定，故��� < 0不一定成立，故①不符合题意； ②∵b的符号无法确定，故� + � < 0 不一定成立，故②不符合题意； ③∵ � > � ，∴ � − � > 0，故③一定成立，符合题意； ④∵� < 0, � > 0， ∴原点在点 A和点 C之间， ∵ � − � 表示点 A与点 C之间的距离， � 表示点 A到原点距离， ∴ � − � > � ，故④不成立，不符合题意； 综上：一定成立的结论有③，共 1个， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 故选：A． 3．（1）−1，−5或 3；（2）� + 1 3 �的值是14 3 或− 4 3 【分析】本题考查代数式求值，倒数、相反数、绝对值的意义，熟练理解相关定义，能据此得 出式子的值是解题关键． （1）利用相反数，倒数，以及绝对值的代数意义求出各式的值，代入原式计算即可求出值． （2））利用相绝对值的代数意义求出各数的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：（1）由题意得： � � =− 1， 故答案为−1， 0a b  ，�� = 1， � = 4，即� =± 4， 当� = 4时，原式= 0 2024 − 1+ −1 × 4 =− 5； 当� =− 4时，原式= 0 2024 − 1+ −1 × −4 = 3； 综上所述，原式的值是−5或 3． （2）∵ � = 3， � = 5， ∴ � =± 3，� =± 5 ∵ � < �， ∴ � =± 3，� = 5． 当� = 3，� = 5时，� + 1 3 � = 3 + 1 3 × 5 = 14 3 ； 当� =− 3，� = 5时，� + 1 3 � =− 3 + 1 3 × 5 =− 4 3 ； 综上所述，� + 1 3 �的值是14 3 或− 4 3 ． 4．−� 【分析】根据数轴得出� < � < 0 < �，即可求解． 【详解】解：由图可知，� < � < 0 < �，且 � > � ， 原式= � − � − � − � + � + 2� = � − � − (� − �) + � − 2� = � − � − � + � + � − 2� c  ． 故答案为−�． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 【点睛】本题主要考查了绝对值的计算，根据图得出数值之间的大小是解题的关键． 5．B 【分析】本题考查了整式的加减运算，应用到的知识有：绝对值的代数意义，数轴，整式的加 减，其中判断出绝对值号里式子的正负是解本题的关键．由图示可得� < � < 0 �， � � ，所 以� + � > 0， − 3� > 0，� + � − � > 0，然后化简绝对值，再算加减即可． 【详解】解：∵� < � < 0 �， � � ， ∴� + � > 0， − 3� > 0，� + � − � > 0， ∴ | | | 3 | | |a b c a b c      = � + � + 3� − � − � + � = 4�． 故选 B． 6．(1) 3 4 , � 是“有趣数对”，理由见解析 (2)64 (3) �, � 不是“有趣数对”，理由见解析 【分析】（1）本题考查新定义及一元一次方程的应用，根据新定义列方程求解，在代入判断 即可得到答案； （2）本题考查根据新定义求解，根据新定义列式求出�2 = 9，�4 = 81，代入求解即可得到答 案； （3）本题考查新定义，根据相反数及新定义列式判断左右两边是否相等即可得到答案． 【详解】（1）解：∵ �, 3 4 是“有趣数对”， ∴�+ 3 4 + 1 = 3 4 �， ∴ 7m   ， 把� = 3 4 ，� =− 7代入� + � + 1 = ��中，左边=右边=− 21 4 所以 3 4 , � 是“有趣数对”； （2）解：依题意得 � + 2 + 1 = 2 � ， 解得 � = 3 ∴�2 = 9，�4 = 81， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 ∴�4 − 2�2 + 1 = 81 − 2 × 9 + 1 = 64； （3）解：∵a和 b互为相反数， ∴ 0a b  ，且�� ≤ 0 ∴� + � + 1 = 1 ≠ ��， ∴ �, � 不是“有趣数对”． 7．−2� − 2� 【分析】本题主要考查了化简绝对值，整式的加减计算，根据数轴上点的位置判断式子符号， 先推出� + � < 0，� + � > 0，� − � < 0，据此去绝对值，然后根据整式的加减计算法则化简 即可． 【详解】解：由数轴上点的位置可知� < 0 < � < �， � > � > � ， ∴� + � < 0，� + � > 0，� − � < 0， ∴ � + � − � + � + � − � =− � + � − � + � − � − � =− � − � − � − � − � + � =− 2� − 2�． 8．（1）5；2；（2）5或−5；（3）①−2或 8；② 2 3a   ，6；③2020． 【分析】（1）根据两点之间的距离公式进一步计算即可； （2）根据绝对值的定义求解即可； （3）①利用绝对值的定义可知� − 3 = 5或−5，然后进一步计算即可；②|� + 2| + |� − 3| = 5 的意义是表示数轴上到表示−2和表示 3 的点的距离之和是 5的点的坐标，据此进一步求解即 可；③|� − 3| + |� + 2017|是表示数轴上表示 3与表示− 2017 的点的距离之和，然后进一步求 解即可. 【详解】（1）数轴上表示数 8的点和表示数 3的点之间的距离是：8 − 3=5； 数轴上表示数−1的点和表示数−3的点之间的距离是：−1 − −3 =2， 故答案为：5，2； （2）若 | | 5a  ，则� = 5或−5， 故答案为：5或−5； （3）①若|� − 3| = 5，则� − 3 = 5或−5， ∴� = 8或−2， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 故答案为：−2或 8； ②∵|� + 2| + |� − 3| = 5的意义是表示数轴上到表示−2和表示 3的点的距离之和是 5的点的 坐标， ∴ 2 3a   ，其中整数有−2、−1、0、1、2、3共 6个， 故答案为： 2 3a   ，6； ③∵|� − 3| + |� + 2017|是表示数轴上表示 3与表示− 2017 的点的距离之和， ∴当−2017 ≤ � ≤ 3时，|� − 3| + |� + 2017|有最小值， 此时最小值为：3 − ( − 2017)=2020， 故答案为：2020. 【点睛】本题主要考查了绝对值意义的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 9．(1)3，3 (2)3 或-1，-4 或 2 (3)0、1 (4)8 或-4 【分析】（1）根据绝对值的几何意义即可得到答案； （2）由绝对值的几何意义，找出满足条件的点表示的数即可； （3）根据绝对值的几何意义可得 a的范围，从而得到答案； （4）表示出 P、Q表示的数，列方程即可解得答案． 【详解】（1）解：表示 1和 4的两点的距离是|1-4|=|-3|=3， 表示-1 和-4 的两点之间的距离是|-1-（-4）|=|3|=3， 故答案为：3，3； （2）∵|a-1|=2， ∴表示 a 的点到表示 1的点的距离为 2， ∴a=3或-1， ∵|a-1|+|a+3|=6， ∴表示 a 的点到表示 1和-3的点的距离之和为 6， ∴a=-4或 2， 故答案为：3或-1，-4或 2； （3）|a-1|+|a+3|的意义是：表示数 a 的点到表示 1和-3的点的距离之和， ∴当-3≤a≤1时，|a-1|+|a+3|的值最小，最小值为 4， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 此时 a 可以取的非负整数是 0、1， 故答案为：0、1； （4）由已知可得，点 P表示的数是 50-3t，点 Q表示的数是-30+2t， ∵两只蚂蚁相距 10 个单位长度， ∴|（50-3t）-（-30+2t）|=10，即|80-5t|=10， ∴80-5t=10或 80-5t=-10， 解得 t=14或 t=18， 当 t=14时，50-3t=50-3×14=8， 当 t=18时，50-3t=50-3×18=-4， ∴点 P表示的数是 8或-4． 【点睛】本题考查数轴上的点表示的数及两点间的距离，涉及绝对值，解方程等知识，综合程 度较高，掌握绝对值的几何意义是解题的关键． 10．(1)−1 (2) 3 2a b c  【分析】本题主要考查了化简绝对值，整式的加减计算，根据数轴上点的位置判断式子符号： （1）根据题意可得� < � < 0 < �，则�� > 0，据此化简绝对值即可； （2）先推出� + � < 0，� − � > 0，� + � < 0，据此化简绝对值即可． 【详解】（1）解：由题意得，� < � < 0 < �， ∴�� > 0， ∴ � � + � � + �� �� = −� � + −� � + �� �� =− 1 − 1 + 1 =− 1； （2）解：由题意得，� < � < 0 < �， � > � > � ， ∴� + � < 0，� − � > 0，� + � < 0， ∴ � + � − � − � − 2 � + � =− � + � − � − � + 2 � + � =− � − � − � + � + 2� + 2� 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 = � + 3� − 2�． 11．(1)5，2 (2)①8或−2；②9；③1023132 【分析】本题考查绝对值的性质、数轴上两点间的距离，熟练掌握绝对值的意义和性质，逐步 探索变化规律是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式求解即可； （2）①利用绝对值的定义可得� − 3 = 5或� − 3 =− 5，即可求解；②由 � − 3 + � + 6 表示： 数轴上表示数�的点到 3的距离与表示数�的点到−6的距离之和，根据两点间线段最短即可求 解；③该式子表示数轴上点�到−1、−2、−3、⋯、−2023的 距 离 之 和，根据两点之间线 段最短和绝对值的意义可知：当� =− 1012时，原式有最小值，然后去取绝对值，利用求和公 式计算即可． 【详解】（1）解：数轴上表示数 8的点和表示数 3的点之间的距离是： 8 − 3 = 5， 数轴上表示数−1的点和表示数−3的点之间的距离是： −3 − −1 = 2， 故答案为：5，2； （2）①若 � − 3 = 5，那么� − 3 = 5或� − 3 =− 5， 解得：� = 8或� =− 2， 故答案为：8或−2； ② � − 3 + � + 6 表示：数轴上表示数�的点到 3的距离与表示数�的点到−6的距离之和， 由两点间线段最短可知：当−6 ≤ � ≤ 3时，� − 3 + � + 6 有最小值，最小值是 6 − −3 = 9， 故答案为：9； ③ � + 1 + � + 2 + � + 3 +⋯+ � + 2021 + � + 2022 + � + 2023 的中间一项是 � + 1012 ， ∴当� =− 1012时，原式有最小值，  � + 1 + � + 2 + � + 3 +⋯+ � + 2021 + � + 2022 + � + 2023 = 2 × 1011 + 1010 + ⋯ + 3 + 2 + 1 = 2 × 1 + 1011 × 1011 2 = 1023132  � + 1 + � + 2 + � + 3 +⋯+ � + 2021 + � + 2022 + � + 2023 的最小值是 1023132． 12．（1）6,5；（2）|� + 3|；（3）5或 1 ；（4）3；1、2、3、4；（5）9 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 【分析】（1）用大数减小数便可求得两点的距离； （2）根据定义用代数式表示； （3）分两种情况：�点在 2的左边；�点在 2的右边；分别列式计算便可； （4）确定�与 1的距离加上�与 4的距离之和最小时，�的取舍范围，再在该范围内求整数； （5）|� + 1| + |� − 9| + |� − 16|表示数轴上某点到表示 1 、9、16 三点的距离之和，依此即 可求解． 【详解】解：（1）数轴上表示 1和 7两点之间的距离是：7 − 1=6； 数轴上表示 3和−2的两点之间的距离是 3 − ( − 2)=3+2=5， 故答案为：6；5； （2）数轴上表示�和−3的两点之间的距离表示为|� + 3|， 故答案为：|� + 3|； （3）|� − 2| = 3表示数�的点与表示数 2的点距离为 3， 当表示数�的点在 2的左边时，�=2 − 3=− 1， 当表示数�的点在 2的右边时，�=2+3=5， 所以� =− 1或 5， 故答案为： 1 或 5； （4）∵ |� − 1|表示数轴上�和 1两点之间的距离，|� − 4|表示数轴上�和 4两点之间的距离， 当且仅当 1⩽�⩽4时，两距离之和最小， ∴ �可取的整数有：1，2，3，4． （5）∵ |�+1|表示数轴上�和 1 两点之间的距离，|� − 9|表示数轴上�和 9两点之间的距离， |� − 16|表示数轴上�和 16 两点之间的距离， ∴当且仅当 =9m 时，距离之和最小， ∴当|� + 1| + |� − 9| + |� − 16|的值最小时，�的值为 9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是 解题的关键． 13．(1)±5 (2)5或−1 (3)� = 5或−4 (4)2030 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 【分析】（1）由 � 的几何意义，即可求解； （2）可得� − 2 =± 3，即可求解； （3）可得 � − 3 + � − −2 = 9，所以表示�到表示 3的点与到表示−2的点的距离和为 9； ①当�在−2与 3之间时， � − 3 + � − −2 = 5 ≠ 9，可判断所以表示�点在表示 3的点右 边或在表示−2的点的左边；②当表示�点在表示 3的点右边时，此时� > 3，去绝对值即可求 解；③表示�点在表示−2的点的左边时；此时� <− 2，去绝对值即可求解； （4） � + 4 + � + 1 + � − 2 + � − 2023 = � − −4 + � − −1 + � − 2 + � − 2023 ， 由（3）的解法可得：①当� <− 4时，②当−4 ≤ � <− 1时，③当−1 ≤ � < 2时，④当 2 ≤ � < 2023时，⑤当� ≥ 2023时，分别去绝对值即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 � =± 5； 故答案：±5． （2）解：由题意得 � − 2 =± 3 解得：� = 5或−1； （3）解：由题意得 � − 3 + � − −2 = 9， 所以表示�到表示 3的点与到表示−2的点的距离和为 9； ①如图，当�在−2与 3之间时， 由图得： � − 3 + � − −2 = 5 ≠ 9， 所以表示�点在表示 3的点右边或在表示−2的点的左边； ②如图当表示�点在表示 3的点右边时，此时� > 3， 由图得：� − 3 + � + 2 = 9， 解得：� = 5； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 ③如图，表示�点在表示−2的点的左边时；此时� <− 2， 由图得：3 − � + −2 − � = 9， 解得：� =− 4； 综上所述：� = 5或−4． （4）解： � + 4 + � + 1 + � − 2 + � − 2023 = � − −4 + � − −1 + � − 2 + � − 2023 ， 由（3）的解法可得： ①当� <− 4时， 原式=− � − 4 − � − 1 − � + 2 − � + 2023 =− 4� + 2020， 此时没有最小值； ②当−4 ≤ � <− 1时， 原式= � + 4 − � − 1 − � + 2 − � + 2023 =− 2� + 2028， 此时没有最小值； ③当−1 ≤ � < 2时， 原式= � + 4 + � + 1 − � + 2 − � + 2023 = 2030， 此时最小值为 2030； ④当 2 ≤ � < 2023时， 原式= � + 4 + � + 1 + � − 2 − � + 2023 = 2� + 2026， 当� = 2时 此时最小值 2 × 2 + 2026 = 2030； ⑤当� ≥ 2023时， 原式= � + 4 + � + 1 + � − 2 + � − 2023 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 = 4� − 2020， 当� = 2023时 此时最小值 4 × 2023 − 2020 = 6072； 综上所述：最小值为 2030． 【点睛】本题考查了绝对值的几何意义及应用，理解意义是解题的关键． 14．(1)①−5或−1②−6 ≤ � ≤ 6 (2)①� = 1 2 或� = 5 2 ②0 7n  【分析】本题考查绝对值的意义，化简绝对值，绝对值方程．掌握绝对值的意义，利用数形结 合的思想进行求解，是解题的关键． （1）①根据绝对值的意义，求出方程的解即可；②分� <− 4，−4 ≤ � ≤ 2和� > 2 三种情况 进行讨论求解即可； （2）①表示出点�和点�表示的数，利用两点间的距离，列出方程进行求解即可； ②分点�在点�的左侧或者重合，以及点�在点�的右侧，两种情况进行讨论求解． 【详解】（1）解：① � + 3 = 2，表示数轴上一点到−3的距离等于 2， ∴� =− 3 − 2 =− 5或� =− 3 + 2 =− 1； 故答案为：−5或−1； ②∵� = |� − 2| − � + 4 表示数轴上一点到 2的距离与到−4的距离的差， ∴当� <− 4时，� = 2 − −4 = 6， 当−4 ≤ � ≤ 2，� = 2 − � − � − 4 =− 2 − 2�， ∴−6 ≤ � ≤ 6， 当� > 2时：� =− 4 − 2 =− 6； 综上：−6 ≤ � ≤ 6； （2）①由题意，得：点�表示的数为：1 + 3�，点�表示的数为4 t ， ∴ 1 + 3� − 4 − � = 2， 解得：� = 1 2 或� = 5 2 ； ②当点�在点�的左侧或者重合时，即：� ≤ 1，随着时间的增大， ,A B之间的距离会越来越大， ∵0 < � ≤ 3时，� �� ≤ 7， ∴1 − � + 3 × 3 − 1 ≤ 7， 解得：� ≥ 0， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 ∴0 ≤ � ≤ 1； 当点�在点�的右侧时，此时� > 1， 在 ,A B不重合的情况下， ,A B间的距离越来越小， ∴� ≤ 7， ∴1 < � ≤ 7， 综上：0 7n  ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 2 绝对值的化简与几何意义 1． � � + � � + � � (��� ≠ 0)的所有可能的值有（ ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 2．在数轴上表示有理数�，�，�的点如图所示，若� + � < 0，�� < 0，则下面四个结论：①��� < 0； ②� + � < 0；③ � − � > 0；④ � − � < � ，其中一定成立的结论个数为（ ）． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（1）如果�，�互为相反数（�，�均不为 0），�，�互为倒数， � = 4，则� � =______，求 �+� 2024 − �� + � � ×�的值； （2）若实数�，�满足 � = 3， � = 5，且� < �，求� + 1 3 �的值． 4．有理数 a，b，c 在数轴上的位置如图所示，且 � > � ，代数式 � − � − � − � + � + 2� 的结果是 ． 5．已知：数 a，b，c 在数轴上的对应点如图所示，化简 | | | 3 | | |a b c a b c      的值是（ ） A．−2� B．4� C．2� D．2� + 2� + 2� 6．我们记一对有理数 a，b为数对 �, � ．如果数对 �, � 使等式� + � + 1 = ��成立，则称之为 “有趣数对”． (1)如果数对 �, 3 4 是“有趣数对”，那么 3 4 , � 是“有趣数对”吗？请说明理由； (2)如果数对 � , 2 是“有趣数对”，求�4 − 2�2 + 1的值； (3)如果 a和 b互为相反数，那么 �, � 是“有趣数对”吗？请说明理由． 7．有理数�，�，�在数轴上的位置如图所示，化简： � + � − � + � + � − � ． 8．我们知道，|�|可以理解为|� − 0|，它表示：数轴上表示数�的点到原点的距离，这是绝对 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点 ,A B，分别用数�, �表示，那么 ,A B两点之间的距离 为 | | | |AB a b  ，反过来，式子|� − �|的几何意义是：数轴上表示数�的点和表示数�的点之间的 距离．利用此结论，回答以下问题： （1）数轴上表示数 8的点和表示数 3的点之间的距离是_________，数轴上表示数−1的点和 表示数−3的点之间的距离是__________． （2）数轴上点�用数�表示，若 | | 5a  ，那么�的值为_________． （3）数轴上点�用数�表示： ①若|� − 3| = 5，那么�的值是________． ②当|� + 2| + |� − 3| = 5时，数�的取值范围是________，这样的整数�有________个． ③|� − 3| + |� + 2017|有最小值，最小值是___________． 9．现们知道，在做轴上，|a|表示的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义..进一步地，数 轴上两个点 A、B，分别用 a、b表示.即么 A．B点之间的距离为；AB=|a-b|.利用此结论，回 答以下问题： (1)数轴上表示 1和 4的两点的距离是___________，数轴上我示-1 和-4 的两点之间的距离是 ___________. (2)|a-1|=2，则 a=___________，|a-1|+|a+3|=6，则 a=___________. (3)当|a-1|+|a+3|取最小值时，此时符合条件的非负整数 a 是___________. (4)如图，已知 AB 分别为数轴上的两点，点 A表示的数是-30，点 B表示的数是 50，现有一只 蚂蚁 P从点 B出发，以每秒 3个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时另一只蚂蚁 Q恰好从点 A出发，以每秒 2个单位长度的速度沿数轴向右移动，设 t秒后两只蚂蚁相距 10 个单位长度， 求此时点 P表示的数是多少？ 10．有理数 a，b，c表示的点在数轴上的位置如图所示： (1) � � + � � + �� �� 的值为________． (2)化简 � + � − � − � − 2 � + � 11．我们知道， � 可以理解为 0a  ，它表示：数轴上表示数�的点到原点的距离，这是绝对 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点�，�，分别用数�，�表示，那么�，�两点之间的 距离为�� = � − � ，反过来，式子 � − � 的几何意义是：数轴上表示数�的点和表示数�的点 之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数 8的点和表示数 3的点之间的距离是_________，数轴上表示数−1的点和表 示数−3的点之间的距离是_________． (2)数轴上点�用数�表示，则 ①若 � − 3 = 5，那么�的值是_________． ② � − 3 + � + 6 有最小值，最小值是_________； ③求 � + 1 + � + 2 + � + 3 +⋯+ � + 2021 + � + 2022 + � + 2023 的最小值． 12．综合与实践： 问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题： 点�、�在数轴上分别表示有理数�、�，�、�两点之间的距离表示为��，在数轴上�、�两点 之间的距离 | |AB a b  ．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示 1和 7两点之间的距离是__________；数轴上表示 3和−2的两点之间的距离 是__________； 独立思考： （2）数轴上表示 x和−3的两点之间的距离表示为__________； （3）试用数轴探究：当|� − 2| = 3时 m的值为__________． 实践探究：利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究： （4）利用数轴求出|� − 1| + |� − 4|的最小值，并写出此时 x可取哪些整数值？ （5）当|� + 1| + |� − 9| + |� − 16|的值最小时，m的值为__________（直接写出答案即可）． 13．我们知道 � 的几何意义是在数轴上数 x对应的点与原点的距离，即 � = � − 0 ，也就是 说 � 表示在数轴上数 x与数 0对应点之间的距离．例： � − 3 = 2表示在数轴上数 x与数 3 对应点之间的距离为 2．这个结论可以推广为： � − � 表示在数轴上数 x、y对应点之间的距 离．在解题中，我们常常运用绝对值的几何意义． 根据上面的阅读材料，结合数轴解答下列问题： (1)方程 � = 5的解是� =___________ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 (2)方程 � − 2 = 3的解是� =___________ (3)解方程 � − 3 + � + 2 = 9 (4)代数式 � + 4 + � + 1 + � − 2 + � − 2023 的最小值为___________ 14．阅读下列材料： 我们知道|x|的几何意义是在数轴上数 x对应的点与原点的距离；即 � = � − 0 ，这个结论可 以推广为 �1 − �2 表示在数轴上数�1、�2对应点之间的距离；在解题过程中，我们经常会应用 绝对值的几何意义来帮助我们分析问题． 例如在解含有绝对值的方程 2 1x   时，我们可以利用绝对值的几何意义把问题理解成在数轴 上找一点到 2的距离等于 1，如图 1所示，显然这样的点有 2个，对应的数分别为 1，3，即原 方程的解为� = 1或� = 3；并且我们还可以把图中阴影部分理解成到 2的距离大于 1的点在数 轴上所对应的取值范围，即不等式 � − 2 > 1的解可表示为� > 3或� < 1；同样的，我们可以 利用绝对值的几何意义把解方程 � + 1 + � − 2 = 5的过程理解成在数轴上找到一点使它与 −1和 2的距离之和为 5． (1)参考以上阅读材料，回答下列问题： ①求出方程 � + 3 = 2的解为 ； ②若� = |� − 2| − � + 4 ，则 m的取值范围可表示为； (2)现给出如下定义：对于数轴上的任意点 P、Q，若点 P到点 Q的距离为 d（� ≥ 0），则称 d 为点 P到点 Q的追随值，记作� �� ．例如，在数轴上点 P表示的数是 2，点 Q表示的数是−5， 则点 P到点 Q的追随值为� �� = 7．如图，点 C表示的数是 1，在数轴上有两个动点 A、B都 沿着正方向同时移动，其中 A点的速度为每秒 3个单位，B点的速度为每秒 1个单位，点 A从 点 C出发，点 B从点 D出发，点 D表示的数是 n，设运动时间为 t（t＞0）． ①当� = 4时，问 t为何值时，点 A到点 B的追随值� �� = 2； ②若 0 < � ≤ 3时，点 A到点 B的追随值� �� ≤ 7，求 n的取值范围．