专题03 分式方程重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （沪教版2024）

专题03 分式方程重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 分式方程的定义 题型二 解分式方程 题型三 根据分式方程解的情况求值 题型四 分式方程的增根问题 题型五 分式方程的无解问题 题型六 列分式方程 题型七 分式方程的实际应用 题型八 分式方程的综合问题 知识点1：分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 注意： （1） 分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2） 分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）. 分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 知识点2：分式方程的解法 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【经典例题一 分式方程的定义】 【例1】（24-25七年级上·广西贵港·期中）下列各式中是关于x的分式方程的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·全国·课后作业）给出下列关于x的方程：①，②，③，④．其中，分式方程有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24七年级上·吉林松原·期末）有下列方程：①，②，③（为不等于2的常数），其中，属于分式方程的有 （填序号）． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）下列方程哪些是分式方程？ （1）；（2）；（3）；（4）（a是常数）． 【经典例题二 解分式方程】 【例2】（24-25七年级上·河北唐山·期中）对于两个不相等的实数a，b，规定：表示a，b中的较大值，如，按照这个规定，方程的解为（      ） A． B． C．或 D．或 1．（2024·安徽六安·模拟预测）若代数式和的值相等，则x的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）定义运算“※”：若，则的值为 ． 3．（24-25七年级上·贵州铜仁·期中）阅读理解，并根据所得规律答题． 小明同学在一次教学活动中发现：方程的解为，；方程的解为，；方程的解为，……以此类推： (1)请你依据小明的发现，猜想关于的方程的解是______； (2)根据上述的规律，猜想由关于的方程得到______； (3)拓展延伸：由（）可知，在解方程：时，可变形转化为的形式求值，按要求写出你的变形求解过程． 【经典例题三 根据分式方程解的情况求值】 【例3】（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）关于x的方程的解是负数，则k的取值范围是（   ） A．且 B． C． D． 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 2．（23-24七年级上·四川内江·阶段练习）如果关于x的不等式组的解集为，且关于x的分式方程的解为正整数，则符合条件的m的所有值的和是 ． 3．（2024七年级上·河南安阳·学业考试）已知关于x的分式方程． (1)当时，甲同学的解题过程如下： 解：（第一步）去分母，得：， （第二步）去括号，得：， （第三步）合并同类项，得：， （第四步）系数化为1，得：， （第五步）检验：当时，，所以是增根， （第六步）所以原分式方程无解． 甲同学从第__________步开始出现错误，请你写出正确的解法； (2)若该方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求m的值． 【经典例题四 分式方程的增根问题】 【例4】（23-24七年级上·山东烟台·期末）若关于x的分式方程＝1有增根，则m的值为（　 　） A． B． C．2 D．3 1．（23-24七年级下·浙江金华·期末）有一分式方程．若该方程有增根，则m的值是（   ） A．-5 B． C． D．0 2．（2024八年级·全国·竞赛）若关于的方程不会产生增根，则的取值满足的条件为 ． 3．（2024八年级·全国·竞赛）关于的方程． (1)若，求这个方程的解； (2)若这个方程有增根，求的值． 【经典例题五 分式方程的无解问题】 【例5】（24-25七年级上·云南曲靖·期末）关于x的方程无解，则k的值为（    ） A． B．3 C． D．无法确定 1．（24-25七年级上·山东青岛·期中）已知关于的分式方程无解，则所有满足条件的整数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25七年级上·山东淄博·期中）关于的分式方程无解，则的值为 ． 3．（23-24七年级上·湖南娄底·期中）已知关于x的分式方程． (1)若分式方程的根是，求a的值； (2)若分式方程有增根，求a的值； (3)若分式方程无解，求a的值． 【经典例题六 列分式方程】 【例6】（23-24七年级上·湖北恩施·期末）今年夏天干旱严重，某村准备请工程队从乌江引水，为了尽快解决村民用水难问题，工程队增加了人力进行管道铺设，现在平均每小时比原计划多铺设，现在铺设所需时间与原计划铺设所需时间相同．设现在平均每小时铺设，则列出的方程为（　　）． A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·重庆·开学考试）在物理学中，压强p等于物体所受压力F的大小与受力面积S之比，即．小明将底面积为、重100N的均匀长方体铁块A和底面积为、重150N的均匀长方体铁块B放置在水平桌面上，A、B两个铁块对桌面的压强之比为，求底面积S为多少？则可列方程（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·湖南岳阳·阶段练习）某班同学到距离学校的烈士陵园扫墓．一部分同学骑自行车先行，20分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是自行车的3倍．设骑自行车的速度为千米/小时，则列出的方程是 ． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）某危险品工厂采用甲型、乙型两种机器人代替人力搬运产品．甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运产品，甲型机器人搬运产品所用时间与乙型机器人搬运产品所用时间相等． 根据以上信息，解答下列问题． (1)小华同学设乙型机器人每小时搬运产品，可列方程为__________．小惠同学设甲型机器人搬运产品所用时间为y小时，可列方程为__________． (2)求乙型机器人每小时搬运多少千克产品． 【经典例题七 分式方程的实际应用】 【例7】（23-24七年级上·河北邢台·阶段练习）学期末，班主任为获得“文明学生”和“劳动积极分子”称号的学生准备了A，B两种礼物．已知A，B两种礼物的总价分别为450元和420元．且A种礼物比B种礼物多10份，A，B两种礼物的单价分别是这一批礼物平均单价的和1.2倍，则这一批礼物的平均单价是（    ） A．15元 B．元 C．10元 D．元 1．（23-24七年级上·广西玉林·期末）为响应“绿色出行”的号召，小李上班由自驾车改为乘坐公交车．已知小李家距上班地点20km，他乘公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程少12km．他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的，小李乘公交车上班平均每小时行驶（    ） A．30km B．36km C．40km D．46km 2．（2024八年级·全国·竞赛）为锻炼身体，小陈由开车上班改为骑自行车上班，已知小陈家距离上班地点14千米，开车每小时行驶的路程比骑自行车每小时行驶的路程的3倍还多5千米，且骑自行车上班所需时间是开车上班所需时间的倍，则小陈骑自行车上班需要 小时．                  3．（23-24七年级上·黑龙江牡丹江·期末）学校计划选购甲、乙两种图书作为“首届科技节”的奖品，已知甲种图书的单价比乙种图书单价多10元．用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本． (1)甲、乙两种图书每本分别为多少元？ (2)若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过1050元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？ (3)每名获奖学生发给甲、乙两种图书各一本，由于全校学生踊跃参加“校园读书节”这样学校还需要再拿出900元，购买甲、乙两种图书，直接写出此次“首届科技节”获奖学生人数． 【经典例题八 分式方程的综合问题】 【例8】（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）若且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（    ） A．277 B．240 C．272 D．256 1．（23-24七年级上·重庆渝中·期末）若关于的不等式组有且只有2个奇数解，且关于的分式方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和为（    ） A．3 B．4 C．11 D．12 2．（2024八年级·全国·竞赛）若实数都是整数，且，则 ． 3．（23-24七年级上·福建福州·期末）阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当__________时，式子取到最小值，最小值为__________； (2)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式__________；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有__________个； (3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 1．（24-25七年级上·山东威海·期中）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 2．（24-25七年级上·山东泰安·期中）下列说法正确的是（    ） A．代数式化简后得 B．分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变 C．分式的值为0，则x的值为 D．分式是最简分式 3．（24-25七年级上·河北·阶段练习）对于两个不相等的有理数，规定表示中较大的值，如果．按照这个规定，方程的解为（   ） A．或 B． C．无解 D．1 4．（24-25七年级上·贵州铜仁·期中）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题大意为：把一份文件送到900里外的城市，若用慢马送，需要的时间比规定的时间多1天；若用快马送，需要的时间比规定的时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍．根据题意列方程为，其中x表示（   ） A．快马的速度 B．慢马的速度 C．规定的时间 D．快马需要的时间 5．（23-24七年级上·辽宁本溪·期末）下表是学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程． 甲、乙两地相距1400km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍． 小明： 小红： 下列判断正确的是（    ） A．小明设的未知数是高铁列车的平均速度 B．小红设的未知数是乘特快列车从甲地到乙地的时间 C．高铁列车的平均速度是 D．特快列车从甲地到乙地的时间是 6．（24-25七年级上·山东泰安·期中）若关于x的分式方程无解，则m的值是 ． 7．（23-24七年级上·上海·阶段练习）若关于的分式方程有增根，则的值为 8．（23-24七年级上·上海·阶段练习）用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程是 9．（2024·浙江·模拟预测）仔细观察下面的等式，试解答下面的题目： （1）解方程：，解得 ； （2）解方程：，解得 ． 10．（24-25七年级上·广东肇庆·开学考试）某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的倍，结果甲比乙早到，设乙同学骑自行车的速度是．则方程是 ． 11．（24-25七年级上·山东淄博·期中）解方程： (1)； (2)． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）若关于的方程无解，求的值． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）若关于的方程有增根．求的值． 14．（2024七年级上·上海·专题练习）元旦前夕，某超市用4000元购进若干节日贺卡，很快售完，该超市又用7500元购进同种贺卡，第二批购入贺卡的数量比第一批多，每张贺卡的进价比第一批多元．那么购入的第一批贺卡的数量是多少张？ 15．（24-25七年级上·山东威海·期中）（1）班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有90公里，队伍8：00从学校出发．苏老师因有事情，8：30从学校自驾小车以大巴倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地．问：大巴与小车的平均速度各是多少？ （2）某一工程，在工程招标时，接到甲乙两个工程队的投标书．施工一天需付甲工程队工程款万元，付乙工程队工程款万元．工程领导们根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： 方案A：甲队单独完成这项工程刚好如期完成； 方案B：乙队单独完成这项工程比规定日期多用5天； 方案C：若甲乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成． 在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 分式方程重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 分式方程的定义 题型二 解分式方程 题型三 根据分式方程解的情况求值 题型四 分式方程的增根问题 题型五 分式方程的无解问题 题型六 列分式方程 题型七 分式方程的实际应用 题型八 分式方程的综合问题 知识点1：分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 注意： （1） 分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2） 分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）. 分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 知识点2：分式方程的解法 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【经典例题一 分式方程的定义】 【例1】（24-25七年级上·广西贵港·期中）下列各式中是关于x的分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是分式方程的定义，分式方程的定义：①形如的式子；②其中，均为整式，且中含有字母.根据分式方程的定义，即可得出答案. 【详解】解：A. ，B. ，C. 都是整式方程，故不符合题意； D. 是分式方程，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 1．（23-24七年级上·全国·课后作业）给出下列关于x的方程：①，②，③，④．其中，分式方程有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的概念，根据分式方程概念对上述方程进行判断，即可解题． 【详解】解：①，③，④是整式方程；②的分母中含有未知数x，是关于x的分式方程． 故分式方程有1个， 故选：A． 2．（23-24七年级上·吉林松原·期末）有下列方程：①，②，③（为不等于2的常数），其中，属于分式方程的有 （填序号）． 【答案】② 【分析】此题主要考查了分式方程的定义，利用分母中含有未知数的方程叫做分式方程，进而判断即可． 【详解】解：①是一元一次方程， ②是分式方程， ③（为不等于2的常数），是一元一次方程， 故答案为：②． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）下列方程哪些是分式方程？ （1）；（2）；（3）；（4）（a是常数）． 【答案】（1）（2）是分式方程 【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的字母的方程叫做分式方程即可判断． 【详解】解：（1）是分式方程；（2）是分式方程；（3）不是分式方程；（4）（a是常数）不是分式方程， 故（1）（2）是分式方程． 【点睛】本题考查了分式方程的定义，解题的关键是：会利用定义去判断是否为分式方程． 【经典例题二 解分式方程】 【例2】（24-25七年级上·河北唐山·期中）对于两个不相等的实数a，b，规定：表示a，b中的较大值，如，按照这个规定，方程的解为（      ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程．理解题意，熟练掌握解分式方程是解题的关键． 由题意知，当时，，即，计算求出满足要求的解即可；当时，，即，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：当时，， ∴， ， 解得，， 经检验，是原分式方程的解，且满足题意； 当时，， ∴， ， 解得，， 经检验，是原分式方程的解，且满足题意； 综上所述，或， 故选：C． 1．（2024·安徽六安·模拟预测）若代数式和的值相等，则x的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了解分式方程.根据代数式的值相等得到关于x的分式方程，去分母把分式方程变为整式方程，解方程并检验即可得到答案. 【详解】解：代数式和的值相等， 则， 去分母得， 解得， 经检验，是分式方程的解， 故选：C 2．（2024七年级上·全国·专题练习）定义运算“※”：若，则的值为 ． 【答案】或10 【分析】本题考查解分式方程，根据新定义，分两种情况，列出分式方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：当时，，解得， 经检验，是原分式方程的解； 当时，，解得， 经检验，是原分式方程的解． 综上所述，或10． 故答案为：或10． 3．（24-25七年级上·贵州铜仁·期中）阅读理解，并根据所得规律答题． 小明同学在一次教学活动中发现：方程的解为，；方程的解为，；方程的解为，……以此类推： (1)请你依据小明的发现，猜想关于的方程的解是______； (2)根据上述的规律，猜想由关于的方程得到______； (3)拓展延伸：由（）可知，在解方程：时，可变形转化为的形式求值，按要求写出你的变形求解过程． 【答案】(1)，； (2)或； (3),． 【分析】（）根据已知材料即可得出答案； （）根据已知材料即可得出答案； （）把方程转化成或，由材料得出或，求出方程的解即可； 此题考查了解分式方程，读懂题意并灵活变形是解题的关键． 【详解】（1）解：∵方程的解为，； 方程的解为，； 方程的解为，； …； ∴方程的解是，； 故答案为：，； （2）解：解：∵方程的解为，； 方程的解为，； 方程的解为，； …； ∴由关于的方程得到或； 故答案为：或； （3）解：， ， ， ∴或， ∴，． 【经典例题三 根据分式方程解的情况求值】 【例3】（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）关于x的方程的解是负数，则k的取值范围是（   ） A．且 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先解分式方程得到，再根据分式方程的解为负数得到，则，再由，得到，据此可得答案． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于x的方程的解是负数， ∴， ∴， ∵， ∴， 综上，， 故选：B． 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数，先求出分式方程的解，然后根据解的情况求出的取值范围即可． 【详解】解：解方程，得：， ∵关于的分式方程的解是非负数， ∴且， ∴且， ∴且； 故选D． 2．（23-24七年级上·四川内江·阶段练习）如果关于x的不等式组的解集为，且关于x的分式方程的解为正整数，则符合条件的m的所有值的和是 ． 【答案】8 【分析】此题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则，求得m的取值范围以及解分式方程是解本题的关键．表示出不等式组的解集，根据分式方程有正整数解确定出m的值，即可得到符合条件的m的所有值的和． 【详解】解：解不等式组，可得， ∵该不等式组的解集为， ∴， 解关于x的分式方程，可得， ∵该分式方程解为正整数， ∵ ∴， ∴或或或或， ∴或或1或3或5， ∵， ∴， ∴或1或3或5， ∴符合条件的m的所有值的和是， 故答案为：8． 3．（2024七年级上·河南安阳·学业考试）已知关于x的分式方程． (1)当时，甲同学的解题过程如下： 解：（第一步）去分母，得：， （第二步）去括号，得：， （第三步）合并同类项，得：， （第四步）系数化为1，得：， （第五步）检验：当时，，所以是增根， （第六步）所以原分式方程无解． 甲同学从第__________步开始出现错误，请你写出正确的解法； (2)若该方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求m的值． 【答案】(1)一，正确解法见解析 (2) 【分析】本题考查了分式方程的增根，步骤如下：①分式方程化为整式；②最简公分母为0确定增根；③将增根代入整式方程求解．也考查了解分式方程． （1）检查甲同学解方程过程，找出错误步骤分析即可； （2）原分式方程化为整式方程，根据方程有增根，得到，将其代入整式方程即可求解． 【详解】（1）解：甲同学从第一步开始出现错误， 正确的解法： 去分母，得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解； （2）解：去分母，得：， ∵原方程有增根， ∴，即， 把代入整式方程得， 解得， ∴原方程有增根时，． 【经典例题四 分式方程的增根问题】 【例4】（23-24七年级上·山东烟台·期末）若关于x的分式方程＝1有增根，则m的值为（　 　） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出的值． 【详解】解：方程两边同乘以，得①， ∵原方程有增根， 即． 把代入①，得 故选：B． 1．（23-24七年级下·浙江金华·期末）有一分式方程．若该方程有增根，则m的值是（   ） A．-5 B． C． D．0 【答案】D 【分析】由该方程有增根，可得：或，代入分式方程的解，即可求出m的值，本题考查了分式方程的增根，方程解的情况，解题的关键是：熟练掌握根据分式方程解的情况求参数的值． 【详解】解：， 去分母，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项得： 当时，方程无解， 当时，， 方程有增根， 或，即：或， 或，解关于的方程，得：无解或， 故选：． 2．（2024八年级·全国·竞赛）若关于的方程不会产生增根，则的取值满足的条件为 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式方程的增根，分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程不会产生增根，得到，即可得出k的值． 【详解】解：， 去分母，得：， 由分式方程不会有增根，得到，即， 将代入整式方程，得，无解， 将代入整式方程，得， 解得：， 综上，不会产生增根，则的取值满足的条件为， 故答案为：． 3．（2024八年级·全国·竞赛）关于的方程． (1)若，求这个方程的解； (2)若这个方程有增根，求的值． 【答案】(1) (2)或4 【分析】此题考查了解分式方程和分式方程的增根问题， （1）代入后解关于x的分式方程并检验即可的答案； （2）分式方程去分母化为整式方程，再把增根代入求出k的值即可； 读懂题意，正确计算是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，原方程为， 方程两边同时乘以得：， 解这个方程得：， 检验：当时，， ∴是原方程的解. （2） 方程两边同时乘以得：， 原方程有增根，则或， 即或，代入整式方程得或 解得或4. 【经典例题五 分式方程的无解问题】 【例5】（24-25七年级上·云南曲靖·期末）关于x的方程无解，则k的值为（    ） A． B．3 C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程无解问题，先将分式方程移项，去分母，合并同类项得，再由原方程无解得，联立方程组，求解即可． 【详解】解：原方程移项得：， 去分母得：， 合并同类项得：， 原方程无解， ， 解得， 故选：B． 1．（24-25七年级上·山东青岛·期中）已知关于的分式方程无解，则所有满足条件的整数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先把分式方程中的分母分解因式，再把分式方程化成整式方程，解方程求出，然后根据分式方程无解，分整式方程无解和分式方程无解两种情况，列出关于的方程，解方程求出即可．本题主要考查了分式方程的解，解题关键是熟练掌握把分式方程化成整式方程． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴， 则， ∴， 即， 关于的分式方程无解，，， 解得：，， 或， 解得：或， 所有满足条件的整数为或或0，共3个， 故选：C． 2．（24-25七年级上·山东淄博·期中）关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或1 【分析】本题考查的是分式方程无解问题．分式方程无解，即有增根，此时，整理分式方程得，则由无解或者的解是分式方程的增根求得的值． 【详解】解：， 去分母得，，整理得， ∵分式方程无解， ∴无解或者的解是分式方程的增根， ∴或， ∴或， 故答案为：或1． 3．（23-24七年级上·湖南娄底·期中）已知关于x的分式方程． (1)若分式方程的根是，求a的值； (2)若分式方程有增根，求a的值； (3)若分式方程无解，求a的值． 【答案】(1)1 (2) (3)3或 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数的值， （1）将分式方程转化为整式方程，把代入，求解即可； （2）将分式方程转化为整式方程，求出最简公分母为0时的的值，代入，求解即可； （3）将分式方程转化为整式方程，在（2）的基础上，增加整式方程无解，求解即可； 【详解】（1）解：方程去分母，得：， 整理，得：， ∵分式方程的根是， ∴， ∴； （2）由（1）将分式化为整式方程为：， ∵分式方程有增根， ∴或， ∴或， 当时，，解得：； 当时，无解，舍去； ∴； （3）由（1）将分式化为整式方程为：， 由（2）知，当时，分式方程有增根，无解； 当无解时，即时，分式方程也无解， ∴； 综上：或． 【经典例题六 列分式方程】 【例6】（23-24七年级上·湖北恩施·期末）今年夏天干旱严重，某村准备请工程队从乌江引水，为了尽快解决村民用水难问题，工程队增加了人力进行管道铺设，现在平均每小时比原计划多铺设，现在铺设所需时间与原计划铺设所需时间相同．设现在平均每小时铺设，则列出的方程为（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题列分式方程，关键在于寻找相等关系，列出方程．设现在平均每小时铺设，则原计划每天铺m，根据现在铺设所需时间与原计划铺设所需时间相同列出分式方程即可． 【详解】解：设现在平均每小时铺设，则原计划每天铺，根据题意，可列方程： ， 故选：A． 1．（24-25七年级上·重庆·开学考试）在物理学中，压强p等于物体所受压力F的大小与受力面积S之比，即．小明将底面积为、重100N的均匀长方体铁块A和底面积为、重150N的均匀长方体铁块B放置在水平桌面上，A、B两个铁块对桌面的压强之比为，求底面积S为多少？则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的实际应用，根据，结合A、B两个铁块对桌面的压强之比为，列出方程即可． 【详解】解：由题意，得：， 整理，得：； 故选A． 2．（23-24七年级上·湖南岳阳·阶段练习）某班同学到距离学校的烈士陵园扫墓．一部分同学骑自行车先行，20分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是自行车的3倍．设骑自行车的速度为千米/小时，则列出的方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查从实际问题中抽象出分式方程，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．骑自行车的速度为，则汽车的速度是，用时间作等量可列出方程． 【详解】解：根据题意得：，即， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）某危险品工厂采用甲型、乙型两种机器人代替人力搬运产品．甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运产品，甲型机器人搬运产品所用时间与乙型机器人搬运产品所用时间相等． 根据以上信息，解答下列问题． (1)小华同学设乙型机器人每小时搬运产品，可列方程为__________．小惠同学设甲型机器人搬运产品所用时间为y小时，可列方程为__________． (2)求乙型机器人每小时搬运多少千克产品． 【答案】(1)， (2)乙型机器人每小时搬运产品 【分析】（1）设乙型机器人每小时搬运产品，则甲型机器人每小时搬运产品，根据甲型机器人搬运所用时间与乙型机器人搬运所用时间相等，即可得出关于的分式方程；设甲型机器人搬运所用时间为小时，根据甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运，即可得出关于的分式方程； （2）任选一位同学的思路，解分式方程即可得出结论． 【详解】（1）设乙型机器人每小时搬运产品，则甲型机器人每小时搬运产品， 依题意得：； 设甲型机器人搬运所用时间为小时， 依题意得：． 故答案为：；． （2）选择小华同学的思路：， 化简得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 选择小惠同学的思路：， 变形得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 所以乙型机器人每小时搬运30kg产品． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【经典例题七 分式方程的实际应用】 【例7】（23-24七年级上·河北邢台·阶段练习）学期末，班主任为获得“文明学生”和“劳动积极分子”称号的学生准备了A，B两种礼物．已知A，B两种礼物的总价分别为450元和420元．且A种礼物比B种礼物多10份，A，B两种礼物的单价分别是这一批礼物平均单价的和1.2倍，则这一批礼物的平均单价是（    ） A．15元 B．元 C．10元 D．元 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用，设这一批礼物平均单价是x元，则A礼物的单价是元，B礼物的单价是元，利用数量=总价÷单价，结合A种礼物比B种礼物多10份，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：设这一批礼物平均单价是x元，则A礼物的单价是元，B礼物的单价是元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 所以，这一批礼物平均单价是15元． 故选：A． 1．（23-24七年级上·广西玉林·期末）为响应“绿色出行”的号召，小李上班由自驾车改为乘坐公交车．已知小李家距上班地点20km，他乘公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程少12km．他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的，小李乘公交车上班平均每小时行驶（    ） A．30km B．36km C．40km D．46km 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键在于根据时间关系列出方程． 设小李乘公交车上班平均每小时行驶，则他自驾车平均每小时行驶，根据乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的列出方程，解方程即可． 【详解】解：设小李乘公交车上班平均每小时行驶，则他自驾车平均每小时行驶的路程，根据题意列方程， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴小李乘公交车上班平均每小时行驶36km 故选：B． 2．（2024八年级·全国·竞赛）为锻炼身体，小陈由开车上班改为骑自行车上班，已知小陈家距离上班地点14千米，开车每小时行驶的路程比骑自行车每小时行驶的路程的3倍还多5千米，且骑自行车上班所需时间是开车上班所需时间的倍，则小陈骑自行车上班需要 小时． 【答案】 【分析】设小陈开车上班所需时间为x小时，小陈骑自行车上班需要小时，再根据开车每小时行驶的路程比骑自行车每小时行驶的路程的3倍还多5千米列出方程，求出解检验后即可得到答案. 本题主要考查了分式方程应用，根据数量之间的关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：设小陈开车上班所需时间为x小时，小陈骑自行车上班需要小时，根据题意，得 ，      解得．                 经检验，是原方程的解且符合题意. ∴， 即小陈骑自行车上班需要小时． 故答案为： 3．（23-24七年级上·黑龙江牡丹江·期末）学校计划选购甲、乙两种图书作为“首届科技节”的奖品，已知甲种图书的单价比乙种图书单价多10元．用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本． (1)甲、乙两种图书每本分别为多少元？ (2)若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过1050元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？ (3)每名获奖学生发给甲、乙两种图书各一本，由于全校学生踊跃参加“校园读书节”这样学校还需要再拿出900元，购买甲、乙两种图书，直接写出此次“首届科技节”获奖学生人数． 【答案】(1)甲种图书每本30元，乙种图书每本20元； (2)6种； (3)30人． 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程． （1）设乙种图书的单价为元本，则甲种图书的单价为元本，根据数量总价单价结合用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设购买甲种图书本，则购买乙种图书本，根据购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，且投入的经费不超过1050元，即可得出关于的一元一次不等式组，再求解即可； （3）由题意直接解答即可． 【详解】（1）设乙种图书的单价为元本，则甲种图书的单价为元本， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的根，且符合题意， ． 答：甲种图书的单价为30元本，乙种图书的单价为20元本． （2）设购买甲种图书本，则购买乙种图书本， 根据题意得：， 解得：， 为整数， 可取的值有6个． 共有6种购买方案； （3）由题意可得：此次“首届科技节”获奖学生人数为人． 【经典例题八 分式方程的综合问题】 【例8】（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）若且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（    ） A．277 B．240 C．272 D．256 【答案】C 【分析】此题考查了分式方程的解的含义，正确的计算与检验是解本题的关键．把代入方程，再解方程可得，且，；，再分类讨论即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 两边都乘以，得 ， 解得，且，；， ∴且， 解得：，， ∵正整数使关于的分式方程的解为整数， ∴， ∴或15或39或65或195， 即或5或29或55或185， 其中不符合题意， ∴， 故选C． 1．（23-24七年级上·重庆渝中·期末）若关于的不等式组有且只有2个奇数解，且关于的分式方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和为（    ） A．3 B．4 C．11 D．12 【答案】C 【分析】先解一元一次不等式组，再解分式方程，从而确定的值，进而解决此题． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 关于的不等式组有且只有2个奇数解， ， ， ， ， ， ， ， ， 关于的分式方程的解为非负数， ，且， 且， 所有满足条件的整数为：或或0或2或3或4或5， 所有满足条件的整数的值的和为：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组、解分式方程，熟练掌握一元一次不等式组、分式方程的解法是解决本题的关键． 2．（2024八年级·全国·竞赛）若实数都是整数，且，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查分式的方程的应用，熟练解分式方程是正确解决本题的关键． 利用已知条件建立分式方程，并全面地进行分类讨论即可得出． 【详解】解：当时，， ， 不是整数，与题设矛盾， ， 令， 由题设m、n为正整数， 设， 由①得， 代入②，整理得， 是正整数， 或2或3， 又， 或， 当时， 由①②解得，（不合题意，舍去）， 当时， 由①②解得，， ． 故答案为：8. 3．（23-24七年级上·福建福州·期末）阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当__________时，式子取到最小值，最小值为__________； (2)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式__________；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有__________个； (3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)3，6 (2)真分式，，4 (3)当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米 (4)当时，分式取到最大值，最大值为 【分析】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． （1）根据题中的公式确定出原式的最小值即可； （2）根据新定义判断分式是真分式，将假分式化为真分式再判断满足条件的整数x的值； （3）设这个矩形的长为x米，则宽=面积÷长，即宽米，则所用的篱笆总长为2倍的长倍的宽，本题就可以转化为两个负数的和的问题，从而根据： 求解； （4）根据实例剖析1和实例剖析2，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案；． 【详解】（1）解：令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6； 故答案为：3，6； （2）解：根据新定义分式是真分式， ， x为整数，且为整数， 或或或， 解得：或或或， 则满足条件的整数x的值有4个， 故答案为：真分式，，4； （3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米， 根据题意得： 由上述性质知：∵， ∴， 此时， ， ∴， 答：当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米； （4）解： ， ， ， 当且当时，即时，式子有最小值为4， 当时，分式取到最大值，最大值为． 1．（24-25七年级上·山东威海·期中）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的解及其解法，掌握分式方程的解法是解题的关键，理解分式有意义的条件是正确解答的前提． 先将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，由分式方程的解为正数以及分式有意义的条件确定m的取值范围． 【详解】解：关于x的分式方程化为整式方程得，， 解得， 由于分式方程的解为正数， 所以，即， 又∵，， 解得：， ∴ ∴ ∴m的取值范围为且， 故选：D． 2．（24-25七年级上·山东泰安·期中）下列说法正确的是（    ） A．代数式化简后得 B．分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变 C．分式的值为0，则x的值为 D．分式是最简分式 【答案】D 【分析】本题考查了分式的化简，解分式方程，最简分式等知识．熟练掌握分式的化简，解分式方程，最简分式是解题的关键． 根据分式的化简，解分式方程，最简分式对各选项判断作答即可． 【详解】解：A中，故不符合要求； B中分式中x，y都扩大3倍，为，故不符合要求； C中分式的值为0， ∴， 解得，（舍去），故不符合要求； D中分式是最简分式，故符合要求； 故选：D． 3．（24-25七年级上·河北·阶段练习）对于两个不相等的有理数，规定表示中较大的值，如果．按照这个规定，方程的解为（   ） A．或 B． C．无解 D．1 【答案】C 【分析】本题考查的是新定义的含义，分式方程的解法，根据新定义运算的规定可得，再解分式方程并检验即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 经检验，是方程的根． ∵， 故不是方程的根， 故原方程无解． 故选：C． 4．（24-25七年级上·贵州铜仁·期中）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题大意为：把一份文件送到900里外的城市，若用慢马送，需要的时间比规定的时间多1天；若用快马送，需要的时间比规定的时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍．根据题意列方程为，其中x表示（   ） A．快马的速度 B．慢马的速度 C．规定的时间 D．快马需要的时间 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识．根据各数量之间的关系及所列方程，找出x的意义是解题的关键． 由快、慢马的速度间的关系，结合所列的方程，可得出表示慢马的速度，表示快马的速度，结合快、慢马所需的时间与规定时间之间的关系，可得出表示x规定的时间， 【详解】解：已知快马的速度是慢马的2倍，根据题意列方程为， ∴， ∴表示慢马的速度，表示快马的速度， ∵需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所的时间比规定时间少3天， ∴x表示规定的时间， 故选：C． 5．（23-24七年级上·辽宁本溪·期末）下表是学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程． 甲、乙两地相距1400km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍． 小明： 小红： 下列判断正确的是（    ） A．小明设的未知数是高铁列车的平均速度 B．小红设的未知数是乘特快列车从甲地到乙地的时间 C．高铁列车的平均速度是 D．特快列车从甲地到乙地的时间是 【答案】D 【分析】此题考查分式方程的实际运用，掌握路程、时间、速度三者之间的关系是解决问题的关键． 由路程÷速度=时间，路程÷时间=速度，利用“乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍．”得出等量关系：特快列车所需时间－高铁所需时间=9，高铁速度=2.8×特快列车速度，即可建立方程求得答案即可． 【详解】解：设特快列车的平均行驶速度为，由题意得 解得：， 经检验是原分式方程的解， 设高铁列车从甲地到乙地的时间为，由题意得 ， 解得：， 经检验是原分式方程的解， 则特快列车从甲地到乙地的时间是， 故选项A、B、C错误， 故选：D 6．（24-25七年级上·山东泰安·期中）若关于x的分式方程无解，则m的值是 ． 【答案】1或 【分析】本题考查了分式方程的无解问题，先把分式方程化为整式方程得到，由于关于的分式方程无解，分两种情况可求得m． 【详解】解： 去分母，得， ． 关于的分式方程无解， 当时，原方程无解， ∴， ∵最简公分母， ， 当时，得， 综上的值为1或． 故答案为：1或． 7．（23-24七年级上·上海·阶段练习）若关于的分式方程有增根，则的值为 【答案】 【分析】本题考查分式方程有增根的问题，去分母将方程转化为整式方程，将代入整式方程，进行求解即可． 【详解】解：方程去分母，得：， ∵方程有增根， ∴把代入，得：， 解得：； 故答案为：1． 8．（23-24七年级上·上海·阶段练习）用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程是 【答案】 【分析】本题考查换元法解分式方程，设，则：，将方程转化为：，再去分母转化为整式方程即可． 【详解】解：设，则：， ∴原方程化为：， 去分母，得：， 整理，得：； 故答案为：． 9．（2024·浙江·模拟预测）仔细观察下面的等式，试解答下面的题目： （1）解方程：，解得 ； （2）解方程：，解得 ． 【答案】 4或 【分析】本题考查了解分式方程，解决本题的关键是通过将等式两边构造成相似的形式， （1）通过将等式两边构造成相似的形式，可得，故可得 （2）由题意可得，故可得 【详解】（1）， ， 可得或， 故答案为：或； （2）， ， 故可得 故答案为： 10．（24-25七年级上·广东肇庆·开学考试）某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的倍，结果甲比乙早到，设乙同学骑自行车的速度是．则方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的应用，设乙骑自行车的速度为，则甲骑自行车的速度为，根据“结果甲比乙早到”列方程即可得到结论．找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【详解】解：设乙骑自行车的速度为，则甲骑自行车的速度为， 根据题意得：． 故答案为：． 11．（24-25七年级上·山东淄博·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原分式方程无解 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握将分式方程转化为一元一次方程，解一元一次方程的方法是解题的关键，注意分式方程需要检验根是否使方程有意义． （1）方程两边同时乘以去分母，化成一元二次方程，再运用去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验根的方法即可求解； （2）方程两边同时乘以去分母，化成一元二次方程，再运用去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验根的方法即可求解． 【详解】（1）解： 两边同时乘以得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 检验，当时，， ∴原分式方程的解为； （2）解： 原分式方程的分母分解因式得，， 两边同时乘以得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 检验，当时，，原分式方程分母为0，无意义， ∴原分式方程无解． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）若关于的方程无解，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解．熟练掌握解分式方程是解题的关键． 先解分式方程可得，根据方程无解，可知，最后把的值代入求解即可． 【详解】解：， ， 关于的方程无解， ， ， 解得． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）若关于的方程有增根．求的值． 【答案】3 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到或，然后代入化为整式方程的方程算出的值． 本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 【详解】解：方程两边都乘， 得， 整理得：， 原方程有增根， 最简公分母， 解得或， 当时，； 当时，，此时原方程为，，这个整式方程无解， 的值为3. 14．（2024七年级上·上海·专题练习）元旦前夕，某超市用4000元购进若干节日贺卡，很快售完，该超市又用7500元购进同种贺卡，第二批购入贺卡的数量比第一批多，每张贺卡的进价比第一批多元．那么购入的第一批贺卡的数量是多少张？ 【答案】购入的第一批贺卡的数量是2000张． 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设购入的第一批贺卡的数量是张，则购入的第二批贺卡的数量是张，根据第二批购入贺卡每张贺卡的进价比第一批多元．列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设购入的第一批贺卡的数量是张，则购入的第二批贺卡的数量是张， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：购入的第一批贺卡的数量是2000张． 15．（24-25七年级上·山东威海·期中）（1）班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有90公里，队伍8：00从学校出发．苏老师因有事情，8：30从学校自驾小车以大巴倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地．问：大巴与小车的平均速度各是多少？ （2）某一工程，在工程招标时，接到甲乙两个工程队的投标书．施工一天需付甲工程队工程款万元，付乙工程队工程款万元．工程领导们根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： 方案A：甲队单独完成这项工程刚好如期完成； 方案B：乙队单独完成这项工程比规定日期多用5天； 方案C：若甲乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成． 在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？ 【答案】（1）40，60（2）方案C 【分析】本题考查分式方程的应用． （1）根据“大巴车行驶全程所需时间小车行驶全程所需时间小车晚出发的时间小车早到的时间”列分式方程求解可得； （2）设甲单独完成这一工程需天，则乙单独完成这一工程需天．根据方案，可列方程得，解方程即可解决问题． 【详解】解：（1）设大巴的平均速度为公里小时，则小车的平均速度为公里小时， 根据题意，得：， 解得：， 经检验：是原方程的解， ， 答：大巴的平均速度为40公里小时，小车的平均速度为60公里小时； （2）设甲单独完成这一工程需天，则乙单独完成这一工程需天． 根据方案，可列方程得， 解这个方程得， 经检验：是所列方程的根． 即甲单独完成这一工程需20天，乙单独完成这项工程需25天． 所以方案的工程款为（万元）， 方案的工程款为（万元），但乙单独做超过了日期，因此不能选， 方案的工程款为（万元）， ∵， ∴在不耽误工期的前提下，选择方案最节省工程款． 学科网（北京）股份有限公司 $$