专题03 均值不等式归类（考题猜想，易错必刷30题15种题型）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（苏教版2019必修第一册）

专题03 均值不等式归类 （易错必刷30题15种题型专项训练） 题型大集合 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 均值基础：区等条件 · 均值基础：对勾型 · 均值基础：分离构造型 · 均值基础：“1”的代换型 · 有和有积无常数代换型 · 整体化解不等式型 · 因式分解型 · 反解代入消元型 · 分母构造型 · 换元型 · 三元均值型 · 多结论型 · 齐次型 · 无条件型 · 综合压轴难题 题型大通关 一．均值基础：取等条件 （共 2小题） 1．（22-23高一上·重庆渝中·期末）下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高一上·广东汕头·期末）下列结论中正确的是（    ） A．当时，无最大值 B．当时，的最小值为3 C．当且时， D．当时， 2． 均值基础：对勾型（共 2小题） 3．（22-23高一上·江西吉安·期末）已知，则使得取得最小值时x的值为（    ） A．1 B．2 C．±1 D．±2 4．（22-23高一上·福建厦门·期末）若函数的值域是，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 三． 均值基础：分离构造型（共 2小题） 5．（22-23高一下·山东青岛·开学考试）已知，，，则（    ） A．S的最大值是 B．S的最大值是 C．S的最大值是 D．S的最大值是 6．（2023高一上·全国·期末）当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 四．均值基础：“1”的代换型（共 2小题） 7．（23-24高一下·陕西榆林·期末）若正数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 8．（23-24高一下·吉林延边·期中）如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别交两边于两点，且，，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 五．有和有积无常数代换型（共 2小题） 9．（23-24高一上·江苏盐城·期末）若，且，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 10．（2023高一·广东深圳·期末）若两个正实数x，y满足，且存在这样的x，y使不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 六．整体化解不等式型（共 2小题） 11．（23-24高一上·广西·期末）已知，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D． 12．（22-23高一上·浙江宁波·期末）已知，，则（    ） A．的最大值为且的最大值为 B．的最大值为且的最小值为0 C．的最小值为且的最大值为 D．的最小值为且的最小值为0 7． 因式分解型（共 2小题） 13．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知，且，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．5 14．（23-24高三上·江苏南通·期末）已知，，且，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 八．反解代入消元型（共 2小题） 15．（24-25高一上·江苏淮安·期末）已知，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高二下·天津红桥·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 九．分母构造型（共 2小题） 17．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知，且，，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D． 18．（2024·全国·模拟）设正实数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 十．换元型 （共 2小题） 19．（19-20高三下·浙江·期末）已知x，y∈R，且满足4x+y+2xy+1=0，则x2+y2+x+4y的最小值是 . 20．（2021·浙江·模拟）已知且满足，则的最小值是 . 十一．三元均值型（共 2小题） 21．（24-25高一上·浙江·期中）已知a，b，，，则的最小值为 . 22．（24-25高一上·浙江嘉兴·）已知，，满足，则的最小值为 . 十二．多结论型（共 2小题） 23．（24-25高一上·重庆·期中）已知，都为正数，且，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为4 B．的最小值为12 C．的最小值为 D．的最大值为 24．（24-25高一上·河南）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 十三．齐次型（共 2小题） 25．（23-24高一上·辽宁·期中）若，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 26．（22-23高一上·辽宁大连·期末）若，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 十四．无条件型 （共 2小题） 27．（23-24高一·浙江宁波·期末）设实数x，y满足，，不等式恒成立，则实数k的最大值为（    ） A．12 B．24 C． D． 28．（23-24高一上·甘肃兰州·期末）对任意实数，不等式恒成立，则实数的最大值（    ） A．2 B．4 C． D． 十五．综合难题（共 2小题） 29．（24-25高一上·新疆·期中）已知，，且不等式恒成立，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 30．（2016·江苏南京·三模）若实数满足，则的最大值为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 均值不等式归类 （易错必刷 题 种题型专项训练） 题型大集合 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 均值基础：区等条件 · 均值基础：对勾型 · 均值基础：分离构造型 · 均值基础：“1”的代换型 · 有和有积无常数代换型 · 整体化解不等式型 · 因式分解型 · 反解代入消元型 · 分母构造型 · 换元型 · 三元均值型 · 多结论型 · 齐次型 · 无条件型 · 综合压轴难题 题型大通关 一．均值基础：取等条件 （共 2小题） 1．（22-23高一上·重庆渝中·期末）下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据各项所给条件，结合均值不等式分析、判断作答. 【详解】对于A，当时，，A不正确； 对于B，当时，，且，若，则，B不正确； 对于C，，则，即C不正确； 对于D，当时，由均值不等式得成立，当且仅当时取等号，则D正确. 故选：D 2．（21-22高一上·广东汕头·期末）下列结论中正确的是（    ） A．当时，无最大值 B．当时，的最小值为3 C．当且时， D．当时， 【答案】D 【分析】利用在单调递增，可判断A；利用均值不等式可判断B，D；取可判断C 【详解】选项A，由都在单调递增，故在单调递增，因此在上当时取得最大值，选项A错误； 选项B，当时，，故，当且仅当，即时等号成立，由于，故最小值3取不到，选项B错误； 选项C，令，此时，不成立，故C错误； 选项D，当时，，故，当且仅当，即时，等号成立，故成立，选项D正确 故选：D 2． 均值基础：对勾型（共 2小题） 3．（22-23高一上·江西吉安·期末）已知，则使得取得最小值时x的值为（    ） A．1 B．2 C．±1 D．±2 【答案】C 【分析】把化为，从而利用基本不等式即可. 【详解】解：， 当且仅当，即时取等号． 故选：C. 4．（22-23高一上·福建厦门·期末）若函数的值域是，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对勾函数的单调性求值域. 【详解】令，则， 由对勾函数的性质可知：在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取得最小值，最小值为， 又当时，，当时，， 故的值域为. 故选：B 三． 均值基础：分离构造型（共 2小题） 5．（22-23高一下·山东青岛·开学考试）已知，，，则（    ） A．S的最大值是 B．S的最大值是 C．S的最大值是 D．S的最大值是 【答案】B 【分析】根据题意整理得，令，利用基本不等式求得，进而整理可得，结合对勾函数求最值. 【详解】∵， 令， ∵，，则，当且仅当，即时等号成立， 故，可得， 又∵在上单调递增，则， ∴，即S的最大值是. 故选：B. 6．（2023高一上·全国·期末）当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】使用变量分离，将化为，使用基本不等式解决. 【详解】因为，所以， 当且仅当 ，即时，等号成立． 故选：B． 四．均值基础：“1”的代换型（共 2小题） 7．（23-24高一下·陕西榆林·期末）若正数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【详解】由正数，满足， 得， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． 故选：B 8．（23-24高一下·吉林延边·期中）如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别交两边于两点，且，，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】A 【分析】利用重心的性质结合平面向量共线定理得到，最后利用‘1’的代换结合基本不等式求解最值即可. 【详解】∵是的重心，， 又，结合题意知， 因为三点共线, 当且仅当即时取等号，的最小值为，故A正确. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量，解题关键是找到利用平面向量共线定理得到，然后利用基本不等式得到所要求的最值即可． 五．有和有积无常数代换型（共 2小题） 9．（23-24高一上·江苏盐城·期末）若，且，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，可得，由基本不等式可得． 【详解】，且， ，即， 当且仅当即且时取等号， 故选：D 10．（2023高一·广东深圳·期末）若两个正实数x，y满足，且存在这样的x，y使不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】利用基本不等式“1”的代换求左侧最小值，根据不等式有解得到，解一元二次不等式求范围即可. 【详解】由题设，则， 当且仅当，即时等号成立， 要使不等式有解，则， 所以或. 故选：C 六．整体化解不等式型（共 2小题） 11．（23-24高一上·广西·期末）已知，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式可得关于的一元二次不等式，解不等式即可. 【详解】，则有， 可得，即4，当且仅当时，等号成立. 所以的最大值为4. 故选：B 12．（22-23高一上·浙江宁波·期末）已知，，则（    ） A．的最大值为且的最大值为 B．的最大值为且的最小值为0 C．的最小值为且的最大值为 D．的最小值为且的最小值为0 【答案】C 【分析】利用可求出的最小值，利用可求出的最大值. 【详解】利用，则，整理得， 当且仅当，即时取得等号，即的最小值为； 利用，，即，整理得，即， 当且仅当时取得等号，故的最大值为. 故选：C 7． 因式分解型（共 2小题） 13．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知，且，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】D 【分析】由已知可得，再根据基本不等式求解即可. 【详解】由，得， 因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是. 故选：D. 14．（23-24高三上·江苏南通·期末）已知，，且，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】变形给定的等式，再利用基本不等式求解即得. 【详解】由，得，由，得， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为3. 故选：A 八．反解代入消元型（共 2小题） 15．（24-25高一上·江苏淮安·期末）已知，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可得，后由基本不等式可得答案. 【详解】因，则， 则. 当且仅当，结合，， 即，时取等号. 故选：A 16．（23-24高二下·天津红桥·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得，得到，进而，所以，由均值不等式求得最小值. 【详解】因为且，所以，所以，所以， 所以，所以， 所以， 当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为， 故选：A. 九．分母构造型（共 2小题） 17．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知，且，，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】结合“1”的代换和基本不等式求解即可. 【详解】由得， 于是， 又，，所以， 因此， 当且仅当，即时，等号成立.故.故选：B. 18．（2024·全国·模拟）设正实数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得，根据“1”的代换化简得出.进而根据基本不等式，即可求得答案. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为． 故选：C． 十．换元型 （共 2小题） 19．（19-20高三下·浙江·期末）已知x，y∈R，且满足4x+y+2xy+1=0，则x2+y2+x+4y的最小值是 . 【答案】 【解析】将已知整理为，令2，得，即可将所求最值的关于xy的表达式转化为mn的表达式，整理后由均值不等式可求得最小值. 【详解】因为4x+y+2xy+1=0，则4x+y+2xy+2=1，即 令2，所以 所以x2+y2+x+4y 由均值不等式，当且仅当取等号 所以x2+y2+x+4y的最小值为. 故答案为： 【点睛】本题考查利用均值不等式求最值，属于难题. 20．（2021·浙江·模拟）已知且满足，则的最小值是 . 【答案】 【分析】将因式分解，令，，即可求得，代入利用均值不等式即可求得最小值． 【详解】解：， 令，， 则，，且， 所以 当且仅当时取等号，此时的最小值 故答案为：． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方． 十一．三元均值型（共 2小题） 21．（24-25高一上·浙江·期中）已知a，b，，，则的最小值为 . 【答案】5 【分析】由基本不等式得，再结合已知利用基本不等式求出的最小值可得解. 【详解】①， 当且仅当时取等号， ， 即②，当且仅当时，即，时取等号， 将②式代入①式得， 当且仅当，，时取等号. 故答案为：5. 22．（24-25高一上·浙江嘉兴·）已知，，满足，则的最小值为 . 【答案】1 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】正数，， 则 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为1. 故答案为：1 【点睛】思路点睛：在运用基本不等式时，要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧，使用其满足基本不等式的“一正”、“二定”、“三相等”的条件. 十二．多结论型（共 2小题） 23．（24-25高一上·重庆·期中）已知，都为正数，且，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为4 B．的最小值为12 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，艇基本不等式及“1”的妙用逐项求解判断. 【详解】正数，，满足， 对于A，，当且仅当取等号，A正确； 对于B，，当且仅当取等号，B错误； 对于C，，当且仅当取等号，C正确； 对于D，，当且仅当取等号，D正确. 故选：ACD 24．（24-25高一上·河南）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由基本不等式逐项判断即可. 【详解】对于A，，即，当且仅当时取“”，A选项正确； 对于B，因为（等号取不到），B选项错误； 对于C，， 当且仅当时取“”，C选项错误； 对于D，，所以， 当且仅当时取“”，D选项正确； 故选：AD. 十三．齐次型（共 2小题） 25．（23-24高一上·辽宁·期中）若，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合条件等式，利用基本不等式求和的最小值. 【详解】若，且满足，则有，所以，， ， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为. 故选：D 26．（22-23高一上·辽宁大连·期末）若，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得，进而有，结合基本不等式求最大值，注意取值条件. 【详解】由题设，，而，， 所以， 所以且， 又，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 即目标式最大值为. 故选：D 十四．无条件型 （共 2小题） 27．（23-24高一·浙江宁波·期末）设实数x，y满足，，不等式恒成立，则实数k的最大值为（    ） A．12 B．24 C． D． 【答案】B 【分析】令，不等式变形为，求出的最小值，从而得到实数的最大值. 【详解】，，变形为， 令， 则转化为 ，即， 其中      当且仅当，即时取等号，可知. 故选：B 28．（23-24高一上·甘肃兰州·期末）对任意实数，不等式恒成立，则实数的最大值（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】首先不等式变形为恒成立，再利用两次基本不等式求的最小值，即可求解的取值. 【详解】不等式恒成立，可转化为 恒成立，其中， 令， ， ， 第二次使用基本不等式，等号成立的条件是且， 得且，此时第一次使用基本不等式，说明两次基本不等式能同时取得， 所以的最小值为， 即，则， 所以实数的最大值为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键是再求的最值时，需变形为，再通过两次基本不等式求最值. 十五．综合难题（共 2小题） 29．（24-25高一上·新疆·期中）已知，，且不等式恒成立，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】将不等式变为，利用柯西不等式和基本不等式可求得的最小值，进而构造不等式求得的取值范围，从而得到结果. 【详解】由得：， （当且仅当，即时取等号）， （当且仅当时取等号）， 即当时，， ，解得：，可能的取值为. 故选：BCD. 30．（2016·江苏南京·三模）若实数满足，则的最大值为 . 【答案】 【解析】已知条件可化为，故可设，从而目标代数式可化为，利用基本不等式可求其最大值. 【详解】由，得， 设，其中. 则，从而， 记，则， 不妨设，则, 当且仅当，即时取等号，即最大值为. 故答案为：. 【点睛】本题考查二元二次等式条件下二元分式的最大值，注意根据已知条件可因式分解从而采用换元法来改造目标代数式，再根据目标代数式的特征再次换元，从而得到能使用基本不等式的结构形式，本题属于难题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 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