清单06对数函数（考点清单，知识导图+2考点清单+9题型解读）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（苏教版2019必修第一册）

清单06 对数函数 【清单01】对数函数的定义 1．对数函数的概念 函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 2.两种特殊的对数函数 （1）常用对数函数：以10为底的对数函数. （2）自然对数函数：以无理数e为底的对数函数. 【清单02】对数函数的图像与性质 对数函数的图象与性质列表如下： y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值特点 x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称 注意：掌握对数函数的图象和性质，其关键是理解图象的特征，利用几何直观掌握函数的性质. 【考点题型一】对数函数求值 【例1】（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】分段函数求值根据自变量所属范围代入相应部分的解析式求值. 【详解】因为， 所以. 故选：. 【变式1-1】（23-24高一上·江苏镇江·期末）已知，则 . 【答案】6 【分析】根据分段函数解析式结合对数的性质分析求解. 【详解】因为， 所以. 故答案为：6. 【变式1-2】（22-23高一上·江苏淮安·期末）函数，则 ． 【答案】9 【分析】根据函数解析式代值计算即可. 【详解】因为， 所以， 所以. 故答案为：9. 【变式1-3】（23-24高一上·江苏常州·期末）已知函数，则 ． 【答案】 【分析】根据给定的分段函数，依次代入计算即得. 【详解】函数，则， 所以. 故答案为： 【变式1-4】（21-22高一上·江苏常州·期末）已知函数，且，． (1)求函数的解析式； (2)设，判断函数g(x)的单调性并用定义证明． 【答案】(1) (2)函数在定义域上是增函数；证明见解析 【分析】（1）利用待定系数法，即可求出函数的解析式； （2）先求出函数在定义域，再根据定义法证明函数单调递增即可. 【详解】（1）解：由得，，解得， 所以 （2）解：， 在定义域上为增函数，证明如下： 设任意，且， ， 因为，且， 所以由知，即， 所以，因此， 所以函数在定义域上是增函数． 【考点题型二】对数函数比较大小 方法总结： 比较对数值大小的常用方法 1同底数的利用对数函数的单调性. 2同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化. 3底数和真数都不同，找中间量. 注意：比较数的大小时先利用性质比较出与零或1的大小. 【例2】（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知 ，则的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数以及对数函数的单调性，即可与之间值0，1比较求解. 【详解】由于，故. 故选：C 【变式2-1】（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把点代入幂函数的解析式求出的值，进而可得在上单调递减，再结合对数函数的性质可知，从而比较出，，的大小． 【详解】点在幂函数的图象上， ，， ，在上单调递减， ，，， ， ，即 故选：D. 【变式2-2】（23-24高一上·江苏南京·期末）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的单调性比较大小可得答案. 【详解】因为， ， 所以. 故选：D. 【变式2-3】（多选）（23-24高一上·江苏苏州·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据换底公式即可求解A，根据对数的运算性质即可求解BCD. 【详解】对于A，，故A正确， ，， 由于，，故， ，所以， 故，故BC错误，D正确， 故选：AD 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用换底公式转化对数式，结合临界值得解. 【考点题型三】对数函数的定义域与不等式 方法总结：解对数不等式， 可以采用“同底法”，利用对数的单调性求解.要注意以下两点： 1.对数的真数大于0，底数大于0且不等于1. 2.     指对互化： 【例3】（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数，则的定义域为 ． 【答案】 【分析】先求出函数的定义域，进而根据复合函数的定义域，即可求解． 【详解】由题意得，，解得， 令，则， 故的定义域为. 故答案为： 【变式3-1】（23-24高一上·江苏连云港·期末）函数是定义在上的单调递减函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】 根据函数单调性直接求解即可. 【详解】为定义在的减函数，由得：，， 即不等式的解集为. 故答案为：. 【变式3-2】（多选）（23-24高一上·江苏苏州·期末）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式可得，结合对数函数的性质可判断A；取可判断B；利用1的妙用和基本不等式可判断C；结合可得，从而，即可判断D． 【详解】对于A，因为当且仅当时取等号， 所以，A正确； 对于B，取 则，B错误； 对于C， 当且仅当，即时取等号，C正确； 对于D，因为 所以，D正确． 故选：ACD. 【变式3-3】（22-23高一上·江苏南京·期末）解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对数函数单调性解不等式，求出解集； （2）先换元得到，求出，从而得到，求出解集. 【详解】（1）因为，所以， 解得， 所以原不等式的解集为. （2）变形为， 令，则，解得或（舍去）， 即，解得， 所以原不等式的解集为 . 【变式3-4】（23-24高一上·江苏徐州·期末）已知函数. (1)证明：是奇函数； (2)判断的单调性，并用定义证明； (3)若对任意的，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)增函数，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数的定义，结合对数型函数的定义域进行求解即可； （2）根据对数运算性质，结合单调性的定义、对数函数的单调性进行运算证明即可； （3）根据函数的单调性，给合指数函数的性质进行求解即可. 【详解】（1）函数， 由，所以的定义域为，显然关于原点对称， 因为， 所以是奇函数； （2）由，因此函数的定义域为， ， 设， 于是有， 因此有， 所以是上的增函数； （3）， 所以由， 因为函数是奇函数， 所以由， 因为函数的图象是由函数的图象向右平移2个单位得到，而是上的增函数， 所以函数是上的增函数， 于是由， 因为，所以，设， ， 显然， 由， 因为，所以， 因此要想恒成立，只需， 由， 因为，所以，当且仅当时取等号， 于是有， 综上所述： 因此实数的取值范围. 【点睛】关键点睛：根据函数的平移性质确定函数的单调性是解题的关键. 【考点题型四】对数函数的图像与性质 方法总结： y＝logax (a>0，且a≠1)图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 【例4】（22-23高一上·江苏泰州·期末）函数且的图象恒过定点，且点在直线上，，则的最小值为（    ） A． B．10 C． D．8 【答案】B 【分析】先得出，再由基本不等式得出答案. 【详解】当时，，即函数的图象恒过定点， 因为在直线上，所以， 当且仅当时，取等号，即的最小值为10. 故选：B 【变式4-1】（21-22高一上·江苏淮安·期末）已知函数f（x）=（3m-2）xm+2（m∈R）是幂函数，则函数g（x）=loga（x-m）+1（a>0，且a≠1）的图象所过定点P的坐标是（    ） A．（2，1） B．（0，2） C．（1，2） D．（-1，2） 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义，结合对数函数的性质进行求解即可. 【详解】解：∵函数f（x）=（3m-2）xm+2（m∈R）是幂函数， ∴3m-2=1，∴m=1， ∴g（x）=loga（x-1）+1， 令x-1=1得x=2，此时g（2）=loga1+1=1， ∴函数g（x）的图象所过定点P的坐标是（2，1）， 故选：A． 【变式4-2】（20-21高一上·江苏盐城·期末）设a与b均为实数，且，已知函数的图象如图所示，则的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【解析】根据函数过的点即可求出，进而求出的值. 【详解】解：令， 由图可知：，， 即， 解得：， 故， 故选：C. 【变式4-3】（23-24高一上·江苏常州·期末）若函数对于任意，都有，则称具有性质．下列函数中，具有性质的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】 根据条件得到函数图像应该是上凸的或者是直线，画出函数图像，根据图像得到答案. 【详解】对于任意，， 故函数图像应该是上凸的，此时，如图所示： 或者函数图像是一条直线，此时， 画出函数图像，如图所示： 根据图像知：ACD满足条件. 故选：ACD 【变式4-4】（21-22高一上·江苏宿迁·期末）函数且a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数的图象上，则b的值为 【答案】-1 【分析】根据对数函数恒过定点求出点A的坐标，再代入函数的解析式计算作答. 【详解】依题意，由解得，此时，于是得点， 而点A在函数的图象上，即有，解得， 所以b的值为-1. 故答案为：-1 【考点题型五】已知定义域值域求参 方法总结： 对于，值域是，则恒成立，满足值域是，如果是一元二次函数，满足值域是，则需要开口向上，且判别式大于等于0 【例5】（23-24高一上·江苏南京·期末）已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则函数在上的值域为等价于在上，结合基本不等式求解即可. 【详解】设， 因为的值域为，所以， 又，，所以， 即，解得：且， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 【变式5-1】（23-24高一上·江苏常州·期末）已知函数的定义域为，若存在，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知结合函数的单调性可求的最大值与最小值，然后结合存在性问题与最值关系的转化即可求解. 【详解】令，且在单调递减，所以的最小值为， 可得，且， 所以在上单调递增，所以 因为存在，满足， 则， 所以 解得：， 故选：D. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集. 【变式5-2】（22-23高一上·江苏无锡·期末）函数的定义域为，值域是，则的最大值为 . 【答案】. 【分析】利用换元法转化函数，结合二次函数的性质及的值域求得的定义域，进而求得的最大值. 【详解】由题意知，， 令 ，则， 令 ， 画出的图象如图所示， ，， 由， 要使得的值域为，则t的范围为，且， 则，解得：，， 所以当的定义域为，其中时，值域为. 所以，，， 所以，， 所以当时，取得最大值为. 故答案为：. 【变式5-3】（22-23高一上·重庆北碚·期末）函数的值域是，则的定义域可以是 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用换元法转化函数，结合二次函数的性质以及的值域求得的定义域的一个可能取值范围. 【详解】由，解得. 令，则， 令， 画出的图象如下图所示， ，由解得， 要使的值域为，的范围可取，其中 则，解得， 所以的定义域为，，取定义域为， 故答案为：（答案不唯一） 【考点题型六】对数函数的值域与最值 方法总结： 与对数函数有关的值域与最值问题的处理方法 1. 求解最值问题： ①求与对数函数有关的二次函数的最大值、最小值问题： 一般要转化为求二次函数的最值问题，求二次函数的最值时常用配方法，配方时注意自变量的取值范围. 2. 求形如y=logaf（x）（a>0，且a≠1）的复合函数值域的步骤∶ ①分解成两个函数y=logau，u=f（x）； ②求f（x）的定义域； ③求u的取值范围； ④利用单调性求解y=logau（a>0，且a≠1）的值域. 【例6】（21-22高一上·江苏南京·期末）设函数 ．若函数有最小值，且无最大值，则实数的取值范围是 ． 【答案】 /-0.5 【分析】由可得，从而可求出的值，先求出每段函数的值域，然后由有最小值，且无最大值，可得，从而可求得实数的取值范围 【详解】因为 所以，， 解得， 当时，， 当时，， 因为函数有最小值，且无最大值， 所以，解得， 所以实数的取值范围是， 故答案为：， 【变式6-1】（22-23高一上·江苏南通·期末）已知函数. (1)解关于的不等式； (2)求函数的最小值. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据对数函数的性质和分式不等式的解法即可求解；（2）根据对数加减法计算和换元法，结合二次函数的特点和分析参数范围以及单调性即可求解. 【详解】（1）不等式可化为：, 所以0， 即, 解得或， 所以不等式的解集为. （2） 当时， 则. ①若，则在单调递减，则的最小值为. ②， 当，即时，在单调递增，则的最小值为. 当，即时，在单调递减，在单调递增，则的最小值为. 综上：当时，; 当时，; 当时，. 【变式6-2】（21-22高一上·江苏镇江·期末）已知函数. (1)怎样将函数的图象平移得到函数的图象？ (2)判断并证明函数在上的单调性，并求函数在上的值域. 【答案】(1)函数的图象向左平移一个单位，再向下平移一个单位得到的图象. (2)函数在上为减函数，证明见解析；值域为： 【分析】（1）首先根据题意得到，再根据平移变换的性质即可得到答案. （2）根据单调性的定义证明即可得到在上的单调性，再利用复合函数的单调性即可得到函数在上的值域. 【详解】（1）， 函数的图象向左平移一个单位得到， 再向下平移一个单位得到的图象. （2）设任意，且， ， 因为，，， 所以，即. 所以在上为减函数. 设任意，且， ， 因为，，， 所以，即. 所以在上为减函数. 所以函数在上为减函数， 时，， 时，， 故值域为： 【变式6-3】（20-21高一上·江苏镇江·期末）设函数 （1）解不等式. （2）若，求函数的最大值. 【答案】（1）；（2）最大值为. 【解析】（1）令，将原式变为，判断得的值恒大于零，原不等式等价于，由此可求得不等式的解集； （2）当时，由（1）中换元得.分时，，当时，，根据基本不等式可求得的最大值. 【详解】解：（1）令，则原式变为，对于其，所以的值恒大于零， ∴，等价于，解得，∴，， 所以不等式的解集为； （2）当时，由（1）中换元得. 当时，； 当时，，，当且仅当时取等号， ∴的最大值为，经检验满足题意 综上所述，的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题考查对数不等式的解法和对数函数的值域问题，解决问题的关键在于利用换元法，将原函数简化，换元时，注意不可改变自变量的取值范围． 【考点题型七】对数函数的单调性 方法总结： 1.单调性的运算关系： ①一般情况下，－和均与函数的单调性 相反 ；     ②同区间，↑+↑= ↑ ，↓+↓= ↓ ，↑－↓= ↑ ，↓－↑= ↓ ； 2.单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，那么有： ①>0⇔f（x）是[，b]上的 增函数 ；             ②<0⇔f（x）是[，b]上的__减函数__； （3）复合函数单调性结论：    同增异减   （4）对数函数单调性，在定义域内，结合底数大于1还是小于1，分类讨论 【例7】（22-23高一上·江苏徐州·期末）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的解析式直接判断函数的单调性，即可得答案. 【详解】对于A，为指数函数，在区间上单调递增，A错误； 对于B，为对数函数，在区间上单调递增，B错误； 对于C，为幂函数，在区间上单调递增，C错误； 对于D, 为反比例函数，在区间上单调递减，D正确， 故选：D 【变式7-1】（23-24高一上·江苏泰州·期末）函数的减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意根据复合函数单调性、二次函数以及对数函数单调性即可得解. 【详解】由题意在定义域内单调递增，若要单调递减， 只需关于单调递减， 所以函数的减区间为. 故选：B. 【变式7-2】(多选)（21-22高一上·江苏连云港·期末）下列函数中，在区间内单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由函数单调性的性质可判断AC，由二次函数的性质可判断B，由指数函数的性质可判断D 【详解】对于A：因为在单调递减， 所以在内单调递减，故A错误． 对于B：的对称轴为，开口向上， 在上单调递减，在上单调递增，故B错误． 对于C：因为在单调递增， 所以在区间内单调递增，故C正确． 对于D：因为在定义域上单调递增， 所以在区间内单调递增，故D正确． 故选：CD． 【变式7-3】（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】对进行分类讨论，得出若要满足题意，当且仅当且在上有定义，由此即可转换为恒成立问题求解. 【详解】若，则在上不单调递减，故不符合题意； 若，则在上单调递增， 即使在上有定义，由复合函数单调性可知此时在上单调递增， 从而在上不单调递减，故不符合题意； 若，则在上单调递减， 若在上有定义，由复合函数单调性可知此时在上单调递减， 从而在上单调递减， 所以若要满足题意，当且仅当且在上有定义， 若，恒成立，即，恒成立， 当时，的取值范围是，      所以当且仅当且时，满足题意. 故答案为：. 【变式7-4】（23-24高一上·江苏南通·期末）已知函数. (1)求的定义域； (2)判断并证明的奇偶性； (3)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)偶函数，证明见解析 (3)在上单调递增，在上单调递减； 【分析】（1）利用对数的真数大于零可求得函数的定义域； （2）判断出函数为偶函数，然后利用函数奇偶性的定义证明即可； （3）利用复合函数的单调性可得出函数的单调性. 【详解】（1）对于函数，有，解得， 所以，函数的定义域为. （2）函数为偶函数，证明如下： 函数的定义域为，定义域关于原点对称， 且，故函数为偶函数. （3）因为， 令，因为内层函数在上单调递增，在上单调递减， 外层函数为上的增函数， 由复合函数的单调性可知，函数在上单调递增，在上单调递减. 【考点题型八】对数函数恒成立问题 方法总结： 恒成立问题 ①x∈D，f（x）<a恒成立，则f（x）max<a ②x∈D，f（x）>a恒成立，则f（x）min >a ③x∈D， f（x）< g（x）恒成立， 则 F（x）=f（x）-g（x）<0，∴F（x）max<0 ④x∈D， f（x）> g（x）恒成立， 则 F（x）=f（x）-g（x）>0，∴F（x）min>0 【例8】（22-23高一上·江苏淮安·期末）已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出函数的奇偶性和单调性，再根据得到的函数性质化简不等式，，最后结合基本不等式计算求解即可 【详解】, , 所以为奇函数, 为单调增函数, , , 恒成立, , . 故选：D. 【变式8-1】（21-22高一上·江苏镇江·期末）若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把不等式变形为，分和情况讨论，数形结合求出答案. 【详解】变形为：，即在上恒成立， 若，此时在上单调递减，，而当时，，显然不合题意； 当时，画出两个函数的图像，    要想满足在上恒成立，只需，即， 解得：，综上：实数a的取值范围是. 故选：C 【变式8-2】（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数 (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】由对数的运算性质和换元法，结合二次函数的最值求法，可得所求值域； 由题意可得，恒成立，运用换元法和参数分离，以及二次函数的图象和性质，解不等式可得所求范围． 【详解】（1）， 令，则函数化为，， 因此当时，取得最小值， 当时，，取得最大值0， 即当时，函数取得最小值；当时，函数取得最大值0， 可得函数的值域为； （2），恒成立， 即，恒成立， 令，则，恒成立， 令，， 则， 解得， 所以实数的取值范围为 【变式8-3】（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数是偶函数. (1)求实数的值； (2)若时，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据偶函数的性质求解即可； （2）化简可得恒成立，再根据，结合与基本不等式求解即可. 【详解】（1）函数的定义域为R， ，解得， 此时 成立， 所以. （2）由题，不等式，所以，即， 有，则，所以 因为（当且仅当时取“=”）， 所以. 【变式8-4】（23-24高一上·江苏苏州·期末）已知t为实数，函数，其中 (1)若函数是偶函数，求实数的值； (2)当时，的图象始终在的图象的下方，求t的取值范围； (3)设，当时，函数的值域为，若的最小值为，求实数a的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由是偶函数，得到对任意恒成立，列出方程，即可求解； （2）设，根据题意，化简得到不等式，进而得到在上恒成立，结合二次函数的性质，即可求解； （3）根据题意，得到在上递减，在递增，由时，函数的值域为，令，求得或，进而得出的最小值为，列出方程，即可求解. 【详解】（1）解：由函数， 因为是偶函数，可得对任意恒成立， 即对任意恒成立， 所以，可得. （2）解：设， 因为当时，的图象始终在的图象的下方， 可得在上恒成立， 即在上恒成立， 因为，且，可得， 即在上恒成立， 又由， 所以，当时，，所以，即实数的取值范围为. （3）解：因为且，可得函数， 可得函数在上单调递减，在单调递增， 因为当时，函数的值域为，且， 所以（其中，等号不能同时取得）， 令，可得，解得或， 又因为，所以， 所以的最小值为，解得. 【考点题型九】对数函数有解问题 方法总结： 存在性问题 ①xo∈D，使得 f（xo）< a 成立，则 f（x）min<a ②xo∈D，使得f（xo）>a成立，则f（x）max>a ③xo∈D，使得 f（xo）<g（xo）恒成立，则F（x）=f（x）-g（x）<0，∴F（x）min<0 ④xo∈D，使得 f（xo）> g（xo）恒成立，则 F（x）=f（x）-g（x）>0，∴F（x）max>0 【例9】（20-21高一上·江苏常州·期末）已知函数，函数. （1）填空：函数的增区间为___________ （2）若命题“”为真命题，求实数的取值范围； （3）是否存在实数，使函数在上的最大值为？如果存在，求出实数所有的值.如果不存在，说明理由. 【答案】（1）（写出开区间亦可）；（2）；（3）. 【解析】（1）根据单调性的定义结合奇偶性可得解； （2）令，问题转化为“”为真命题，根据基本不等式找函数的最小值即可； （3）当时，，记，若函数在上的最大值为，分和，结合对数函数的单调性列式求解即可. 【详解】（1）函数的增区间为（写出开区间亦可）； 理由：，为偶函数， 任取，， 所以的增区间为. （2）， 令，当且仅当时取“”， “”为真命题可转化为“”为真命题， 因为，当且仅当时取“”， 所以， 所以； （3）由（1）可知，当时，，记， 若函数在上的最大值为，则 1）当，即时，在上最小值为1， 因为图象的对称轴为，所以， 解得，符合题意； 2）当，即时，在上最大值为1，且恒成立， 因为图象是开口向上的抛物线，在的最大值可能是或， 若，则，不符合题意， 若，则， 此时对称轴，由，不合题意0. 综上所述，只有符合条件. 【点睛】本题主要考查了对数型、指数型的复合函数的单调性及最值问题。解题的关键是换元，将复杂的函数化为简单的函数，解决对数型的复合函数时要注意真数大于0这个隐含条件，属于难题. 【变式9-1】（22-23高一上·江苏盐城·期末）已知函数. (1)求不等式的解集； (2)函数，若存在，使得成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求得的定义域和值域及函数的单调性，得，解不等式即可得到所求范围； （2）求得当时，的值域；以及讨论，时的值域，由题意可得和的值域存在交集，即可得到所求范围； 【详解】（1）由，可得，故函数定义域为，关于原点对称， 又，即为奇函数. 又， 函数在上单调递减，值域为. 由复合函数的单调性质知在上单调递减，且的值域为R， 不等式，转化为， 因为为奇函数，所以， 因为在上单调递减，所以， 即，即， 即，解得， 则原不等式的解集为. （2）因为存在，使得成立， 所以时，的值域与的值域有交集. 因为在上是减函数，， 所以的值域为， 当时，在上单调递减，故的值域为， 所以即， 当时，在上单调递增，故的值域为，不符. 综上所述，实数a的取值范围为. 【变式9-2】（22-23高一上·江苏南京·期末）设为实数，已知函数，. (1)若函数和的定义域为，记的最小值为，的最小值为.当时，求的取值范围； (2)设为正实数，当恒成立时，关于的方程是否存在实数解？若存在，求出此方程的解；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）利用指数函数的单调性及二次函数的性质，分别求出和的最小值，然后解不等式即可； （2）利用二次函数的性质，求得的最小值为，由题意可得，当时,，，可得，即可得出结论. 【详解】（1）当时，函数和均单调递增，所以函数单调递增，故当时，取最小值，则； 当时，，， 则当，即时，取最小值，即， 由题意得，则，即的取值范围是； （2）当时，，， 则当，即时，取最小值为， 则恒成立时，有，即， 当时，，， 则，则， 故关于的方程不存在实数解. 【变式9-3】（22-23高一上·江苏泰州·期末）已知函数，，其中，. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)若，都有成立，求的取值范围. 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2) 【分析】（1）首先求出函数解析式，从而求出函数的定义域，再根据奇偶性的定义判断即可； （2）依题意可得，则问题转化为，都有成立，分和两种情况讨论，结合函数的单调性，转化为二次函数恒成立，即可求出参数的取值范围. 【详解】（1）解：为奇函数， 因为， 由，解得，即的定义域为， 因为对任意，都有， 且， 所以为奇函数. （2）解：化为， 因为，且，所以且， 所以问题转化为，都有成立， ①当时，，都有成立， 即对恒成立， 因为对称轴，故在上单调递减， 所以，解得. ②当时，，都有成立， 即对恒成立， 因为对称轴，故在上单调递减， 所以，解得. 综上①②可知：的取值范围为. 【变式9-4】（23-24高一上·江苏南京·期末）若存在实数对，使等式对定义域中每一个实数都成立，则称函数为型函数. (1)若函数是型函数，求的值； (2)若函数是型函数，求和的值； (3)已知函数定义在上，恒大于0，且为型函数，当时，.若在恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定的定义，结合指数运算计算即得. （2）利用给定的定义，建立恒成立的等式，借助恒等式求解即得. （3）利用新定义建立关系，再分段讨论并借助函数不等式恒成立求解即得. 【详解】（1）由是型函数，得，即， 所以. （2）由是型函数，得， 则，因此对定义域内任意恒成立， 于是，解得， 所以. （3）由是型函数，得， ①当时，，而，则，满足； ②当时，恒成立， 令，则当时，恒成立，于是恒成立， 而函数在单调递增，则，当且仅当时取等号，因此； ③当时，，则， 由，得， 令，则当时，， 由②知，则只需时，恒成立，即恒成立， 又，当且仅当时取等号，因此， 所以实数的取值范围是. 【点睛】结论点睛：函数的定义区间为， ①若，总有成立，则； ②若，总有成立，则； ③若，使得成立，则； ④若，使得成立，则. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单06 对数函数 【清单01】对数函数的定义 1．对数函数的概念 函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 2.两种特殊的对数函数 （1）常用对数函数：以10为底的对数函数. （2）自然对数函数：以无理数e为底的对数函数. 【清单02】对数函数的图像与性质 对数函数的图象与性质列表如下： y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值特点 x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称 注意：掌握对数函数的图象和性质，其关键是理解图象的特征，利用几何直观掌握函数的性质. 【考点题型一】对数函数求值 【例1】（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【变式1-1】（23-24高一上·江苏镇江·期末）已知，则 . 【变式1-2】（22-23高一上·江苏淮安·期末）函数，则 ． 【变式1-3】（23-24高一上·江苏常州·期末）已知函数，则 ． 【变式1-4】（21-22高一上·江苏常州·期末）已知函数，且，． (1)求函数的解析式； (2)设，判断函数g(x)的单调性并用定义证明． 【考点题型二】对数函数比较大小 方法总结： 比较对数值大小的常用方法 1同底数的利用对数函数的单调性. 2同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化. 3底数和真数都不同，找中间量. 注意：比较数的大小时先利用性质比较出与零或1的大小. 【例2】（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知 ，则的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高一上·江苏南京·期末）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（多选）（23-24高一上·江苏苏州·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【考点题型三】对数函数的定义域与不等式 方法总结：解对数不等式， 可以采用“同底法”，利用对数的单调性求解.要注意以下两点： 1.对数的真数大于0，底数大于0且不等于1. 2.     指对互化： 【例3】（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数，则的定义域为 ． 【变式3-1】（23-24高一上·江苏连云港·期末）函数是定义在上的单调递减函数，则不等式的解集为 . 【变式3-2】（多选）（23-24高一上·江苏苏州·期末）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（22-23高一上·江苏南京·期末）解下列不等式： (1)； (2)． 【变式3-4】（23-24高一上·江苏徐州·期末）已知函数. (1)证明：是奇函数； (2)判断的单调性，并用定义证明； (3)若对任意的，都有，求实数的取值范围. 【考点题型四】对数函数的图像与性质 方法总结： y＝logax (a>0，且a≠1)图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 【例4】（22-23高一上·江苏泰州·期末）函数且的图象恒过定点，且点在直线上，，则的最小值为（    ） A． B．10 C． D．8 【变式4-1】（21-22高一上·江苏淮安·期末）已知函数f（x）=（3m-2）xm+2（m∈R）是幂函数，则函数g（x）=loga（x-m）+1（a>0，且a≠1）的图象所过定点P的坐标是（    ） A．（2，1） B．（0，2） C．（1，2） D．（-1，2） 【变式4-2】（20-21高一上·江苏盐城·期末）设a与b均为实数，且，已知函数的图象如图所示，则的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式4-3】（23-24高一上·江苏常州·期末）若函数对于任意，都有，则称具有性质．下列函数中，具有性质的有（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】（21-22高一上·江苏宿迁·期末）函数且a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数的图象上，则b的值为 【考点题型五】已知定义域值域求参 方法总结： 对于，值域是，则恒成立，满足值域是，如果是一元二次函数，满足值域是，则需要开口向上，且判别式大于等于0 【例5】（23-24高一上·江苏南京·期末）已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高一上·江苏常州·期末）已知函数的定义域为，若存在，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（22-23高一上·江苏无锡·期末）函数的定义域为，值域是，则的最大值为 . 【变式5-3】（22-23高一上·重庆北碚·期末）函数的值域是，则的定义域可以是 【考点题型六】对数函数的值域与最值 方法总结： 与对数函数有关的值域与最值问题的处理方法 1. 求解最值问题： ①求与对数函数有关的二次函数的最大值、最小值问题： 一般要转化为求二次函数的最值问题，求二次函数的最值时常用配方法，配方时注意自变量的取值范围. 2. 求形如y=logaf（x）（a>0，且a≠1）的复合函数值域的步骤∶ ①分解成两个函数y=logau，u=f（x）； ②求f（x）的定义域； ③求u的取值范围； ④利用单调性求解y=logau（a>0，且a≠1）的值域. 【例6】（21-22高一上·江苏南京·期末）设函数 ．若函数有最小值，且无最大值，则实数的取值范围是 ． 【变式6-1】（22-23高一上·江苏南通·期末）已知函数. (1)解关于的不等式； (2)求函数的最小值. 【变式6-2】（21-22高一上·江苏镇江·期末）已知函数. (1)怎样将函数的图象平移得到函数的图象？ (2)判断并证明函数在上的单调性，并求函数在上的值域. 【变式6-3】（20-21高一上·江苏镇江·期末）设函数 （1）解不等式. （2）若，求函数的最大值. 【考点题型七】对数函数的单调性 方法总结： 1.单调性的运算关系： ①一般情况下，－和均与函数的单调性 相反 ；     ②同区间，↑+↑= ↑ ，↓+↓= ↓ ，↑－↓= ↑ ，↓－↑= ↓ ； 2.单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，那么有： ①>0⇔f（x）是[，b]上的 增函数 ；             ②<0⇔f（x）是[，b]上的__减函数__； （3）复合函数单调性结论：    同增异减   （4）对数函数单调性，在定义域内，结合底数大于1还是小于1，分类讨论 【例7】（22-23高一上·江苏徐州·期末）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24高一上·江苏泰州·期末）函数的减区间为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】(多选)（21-22高一上·江苏连云港·期末）下列函数中，在区间内单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 ． 【变式7-4】（23-24高一上·江苏南通·期末）已知函数. (1)求的定义域； (2)判断并证明的奇偶性； (3)讨论的单调性. 【考点题型八】对数函数恒成立问题 方法总结： 恒成立问题 ①x∈D，f（x）<a恒成立，则f（x）max<a ②x∈D，f（x）>a恒成立，则f（x）min >a ③x∈D， f（x）< g（x）恒成立， 则 F（x）=f（x）-g（x）<0，∴F（x）max<0 ④x∈D， f（x）> g（x）恒成立， 则 F（x）=f（x）-g（x）>0，∴F（x）min>0 【例8】（22-23高一上·江苏淮安·期末）已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（21-22高一上·江苏镇江·期末）若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数 (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围． 【变式8-3】（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数是偶函数. (1)求实数的值； (2)若时，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【变式8-4】（23-24高一上·江苏苏州·期末）已知t为实数，函数，其中 (1)若函数是偶函数，求实数的值； (2)当时，的图象始终在的图象的下方，求t的取值范围； (3)设，当时，函数的值域为，若的最小值为，求实数a的值. 【考点题型九】对数函数有解问题 方法总结： 存在性问题 ①xo∈D，使得 f（xo）< a 成立，则 f（x）min<a ②xo∈D，使得f（xo）>a成立，则f（x）max>a ③xo∈D，使得 f（xo）<g（xo）恒成立，则F（x）=f（x）-g（x）<0，∴F（x）min<0 ④xo∈D，使得 f（xo）> g（xo）恒成立，则 F（x）=f（x）-g（x）>0，∴F（x）max>0 【例9】（20-21高一上·江苏常州·期末）已知函数，函数. （1）填空：函数的增区间为___________ （2）若命题“”为真命题，求实数的取值范围； （3）是否存在实数，使函数在上的最大值为？如果存在，求出实数所有的值.如果不存在，说明理由. 【变式9-1】（22-23高一上·江苏盐城·期末）已知函数. (1)求不等式的解集； (2)函数，若存在，使得成立，求实数a的取值范围. 【变式9-2】（22-23高一上·江苏南京·期末）设为实数，已知函数，. (1)若函数和的定义域为，记的最小值为，的最小值为.当时，求的取值范围； (2)设为正实数，当恒成立时，关于的方程是否存在实数解？若存在，求出此方程的解；若不存在，请说明理由. 【变式9-3】（22-23高一上·江苏泰州·期末）已知函数，，其中，. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)若，都有成立，求的取值范围. 【变式9-4】（23-24高一上·江苏南京·期末）若存在实数对，使等式对定义域中每一个实数都成立，则称函数为型函数. (1)若函数是型函数，求的值； (2)若函数是型函数，求和的值； (3)已知函数定义在上，恒大于0，且为型函数，当时，.若在恒成立，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$