清单05指数函数（考点清单，知识导图+2考点清单+8题型解读）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（苏教版2019必修第一册）

清单05 指数函数 【清单01】指数函数的定义 一般地，函数（且）叫做指数函数，其中是自变量． 【结构特征】 (1) 底数：大于零且不等于1的常数； (2) 指数：仅有自变量； (3)系数：的系数是1. 【清单02】指数函数的图像与性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 注意∶ 底数a与1的大小关系决定了指数函数图像的“升”与“降”.当a>1时，指数函数的图像是“上升”的；当0<a<1时，指数函数的图像是"下降"的. 【考点题型一】指数函数比较大小 方法总结：指数幂比较大小 ①同底幂比较，构造指数函数，用单调性比较；         ②同指数幂比较，构造幂函数，用单调性比较； ③不同底也不同指幂比较，借助媒介“1”. 【例1】（22-23高一上·江苏连云港·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定，，，得到大小关系. 【详解】，，， 故. 故选：B 【变式1-1】（21-22高一下·江苏盐城·期末）已知函数，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂函数的性质比较、、大小，再由单调性比较a、b、c大小. 【详解】由，，即， 所以，又， 所以，而递增， 故 故选：D 【变式1-2】（20-21高一上·江苏宿迁·期末）设，，，则，，大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用指数函数单调性比较大小. 【详解】由函数在上单调递增，且，得， 所以 故选：A 【点睛】方法点晴：比较大小常用方法有： 函数单调性法，化同底指数幂，构造中间量，图像法. 【变式1-3】（23-24高一上·江苏无锡·期末）若，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据指数函数的性质化简“”，得到的结论与“”加以比较，可得到答案． 【详解】根据指数函数是上的增函数， 可知等价于，即， 因为“”是“”的充要条件， 所以“”是“”的充要条件． 故选：C. 【变式1-4】（16-17高一下·江苏苏州·期末） ，则、、的大小关系为 ． 【答案】 【分析】根据指数函数的性质和幂函数的性质比较大小即可. 【详解】因为是上的增函数，且， 所以， 所以， 因为指数函数是上的减函数，且， 所以， 所以， 综上知， 故答案为： ． 【考点题型二】指数函数定义域与不等式 方法总结： 解简单指数不等式问题的注意点 (1)形如ax>ay的不等式，可借助y＝ax的单调性求解．如果a的值不确定，需分0<a<1和a>1两种情况进行讨论． (2)形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解． (3)形如ax>bx的不等式，可借助图象求解． 【例2】（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数为上的奇函数，当时，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由奇偶性求出的解析式，再由指数函数单调性求解不等式得解. 【详解】函数为上的奇函数，当时，， 则当时，，有，显然， 不等式转化或，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：C 【变式2-1】(多选)（23-24高一上·江苏盐城·期末）设实数，，且满足，则下列不等关系中一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用不等式的性质和指数函数的单调性对四个选项逐一判断，即可得出答案. 【详解】因为，所以，故A正确； 因为，所以，故B正确； 因为函数在上单调递增，且，所以，故C不正确； 当时，结合，可得，当时，，故D不正确. 故选：AB. 【变式2-2】（22-23高一上·江苏无锡·期末）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】结合换元法及指数函数单调性求解. 【详解】令，则可得， 由指数函数单调性可得. 故答案为：. 【变式2-3】（17-18高一上·江苏宿迁·期末）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】直接利用指数函数的单调性解不等式即可. 【详解】 , 所以不等式的解集为 故答案为： 【变式2-4】（22-23高一上·江苏南京·期末）设函数，则满足的的取值范围是 . 【答案】 【分析】结合函数解析式，对分三种情况讨论，分别计算可得. 【详解】当时，，则在时无解； 当时，，在单调递增，时，则的解集为； 当时，，则在时恒成立； 综上，的解集为. 故答案为：． 【考点题型三】指数函数的图像与性质 方法总结： 处理函数图象问题的策略 (1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点． (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性． 【例3】（22-23高一上·江苏无锡·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断的奇偶性，排除B；再由得，排除C，再取特殊点法推得在上并不单调递增，从而排除D；再分析A中的图像性质，满足的性质，从而得解. 【详解】因为，所以的定义域为，关于原点对称， 又因为， 所以函数是奇函数， 所以的图象关于原点对称，故B错误； 当时，因为，所以，故C错误； 因为，， 又，所以，则， 所以，即， 所以在上并不单调递增，故D错误； 由于排除了选项BCD，而且选项A中的图像满足上述的性质，故A正确. 故选：A. 【变式3-1】（20-21高一上·江苏南通·期末）若函数的值域为，则a的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出和时的的范围，然后结题意可得且，从而可求出的范围，进而可得答案 【详解】解：当时，，则，即 当时，，则，即， 因为的值域为， 所以且，解得， 所以a的最大值为， 故选：B 【变式3-2】（多选）（23-24高一上·江苏常州·期末）若函数（其中且）的图象过第一、三、四象限，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据图象的性质可得：，即可求解. 【详解】函数（其中且）的图象在第一、三、四象限， 根据图象的性质可得：， 即， 故选：BD. 【变式3-3】（23-24高一上·江苏盐城·期末）函数且 过定点，则________ 【答案】-2 【分析】根据指数函数的性质求解. 【详解】当时，即函数恒过， 此时 故答案为： 【变式3-4】（23-24高一上·江苏南通·期末）已知函数在上单调递增，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】 根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 易知函数在上单调递增， 函数在上单调递增，则，且有，解得， 所以，，即实数的取值范围是. 故答案为：. 【考点题型四】指数函数的值域与最值问题 方法总结： 求解形如的指数型函数值域的思路： 1.分析的单调性以及值域； 2.分析的单调性； 3.根据复合函数单调性的判断方法，分析出的单调性并计算出值域. 【例4】（22-23高一上·江苏南京·期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：.已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，再根据指数函数的性质讨论，和时，函数的单调性与值域，即可得出答案. 【详解】因为，定义域为， 因为在定义域上单调递增，则在定义域上单调递减， 所以在定义域上单调递减， 时，， 时，； 则时， 时，， 时，. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题解题关键在于理解题中高斯函数的定义，才能通过研究的性质来研究的值域，突破难点. 【变式4-1】(多选)（23-24高一上·江苏泰州·期末）已知函数，若的值域为，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】分别求出值域，根据值域的并集为建立不等式，逐项判断即可. 【详解】当时，单调递增，其值域为， 当时，单调递增，其值域为， 由题意的值域为，所以 ，所以， 记，且，在一个坐标系内作出函数图象，如图：    因为，所以， 又因为，所以， 所以，要使，则， 因为，所以， 因为，所以，所以， 结合选项可知，实数的值可以是，. 故选：BD 【变式4-2】（21-22高一上·江苏南京·期末）设定义在上的函数､奇函数和偶函数，满足，若函数. (1)求的解析式； (2)求在上的最小值. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）求出，利用函数奇偶性可得，进而可得答案； （2）利用求出，再利用基本不等式求最值. 【详解】（1）由，可知， 由为奇函数，为偶函数，可知， 则， 则； （2）由（1）得 当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 则在上的最小值为1. 【变式4-3】（22-23高一上·江苏盐城·期末）已知函数为奇函数． (1)求的值 (2)解不等式 (3)求的值域． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用奇函数的定义待定系数法计算即可； （2）结合（1），解不等式即可； （3）转换自变量与因变量，利用表示，结合指数函数的性质解不等式即可. 【详解】（1）由题意可得：， 所以， 因为，所以． （2）不等式等价于，则，化简得， 所以，所以， 所以不等式的解集为． （3）令，则，整理得， 即， 又，所以，解之得：或， 所以的值域为. 【变式4-4】（22-23高一上·江苏南通·期末）定义在上的奇函数其中，且，其中是自然对数的底数，. (1)当时，求函数的解析式； (2)若存在，满足，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据奇函数的定义求解析式； （2）由函数解析式，根据的范围分类讨论：，，，分别得出的关系，把化为的函数，从而得其范围． 【详解】（1）是奇函数 ，则. 当时， 又是奇函数，则 当时， 又是奇函数，则 因为是定义在上的奇函数，则. 故, （2）若，则由，有，且， 从而有 若，则由，有，而 所以等式不成立. 若，则由，有，即，且 从而有 综上：的取值范围为 【考点题型五】指数函数的单调性 方法总结： 1.单调性的运算关系： ①一般认为，和均与函数的单调性 相反 ；②同区间，↑+↑= ↑ ，↓+↓= ↓ ，↑－↓= ↑ ，↓－↑= ↓ ； 2.单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，那么有： ①>0⇔f(x)是[a,b]上的 增函数 ；②<0⇔f(x)是[a,b]上的__减函数__； 3.复合函数单调性结论：同增异减． 【例5】(多选)（23-24高一上·江苏南通·期末）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】A选项，不满足单调性；BC选项，判断出函数为偶函数，且在上单调递增；D选项，不满足奇偶性. 【详解】A选项，，故在上单调递减，A错误； B选项，的定义域为R，且， 故为偶函数， 当时，，在上单调递增，B正确； C选项，定义域为， ，故为偶函数， 又在上单调递增，在上单调递减， 故在上单调递增，C正确； D选项，定义域为R，， 故为奇函数，D错误. 故选：BC 【变式5-1】（多选）（22-23高一上·江苏泰州·期末）已知函数为奇函数，则（    ） A． B．为上的增函数 C．的解集为 D．的值域为 【答案】AC 【分析】由奇函数的性质求出的值，再代入检验，即可判断A，再根据指数型复合函数的单调性判断B，由及指数函数的性质求出不等式的解集，即可判断C，首先求出，即得到的取值范围，即可求出的值域，从而判断D. 【详解】解：因为函数为奇函数， 所以，即，解得， 此时，则，符合题意， 故，即A正确； 因为在定义域上单调递增，且，又在上单调递减， 所以在定义域上单调递减，故B错误； 由，即，所以，即，即，解得， 所以不等式的解集为，故C正确； 因为，所以，所以，即的值域为，故D错误； 故选：AC 【变式5-2】（21-22高一上·江苏常州·期末）已知函数 (1)求证：函数是上的减函数； (2)已知函数的图象存在对称中心的充要条件是的图象关于原点中心对称，判断函数的图象是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标，若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在对称中心 【分析】（1）根据函数单调性的定义按照步骤证明即可得函数是上的减函数； （2）利用有对称中心的充要条件可知恒成立，即可得存在对称中心. 【详解】（1）证明：设， 则， 由，可得， 则，即， 所以函数是上的减函数； （2）由已知条件“函数的图象存在对称中心的充要条件是的图象关于原点中心对称”， 即可得，可得 所以 化简可得， 则需满足，代入可得， 解得， 所以函数的图象存在对称中心. 【变式5-3】（21-22高一上·江苏南通·期末）已知函数是奇函数． (1)求a的值； (2)判断函数f（x）的单调性，并证明． 【答案】(1) (2)增函数，证明见解析 【分析】（1）根据函数是R上的奇函数，可得，从而求得a的值； （2）由（1）可得函数f（x）的解析式，再根据增函数减去减函数的差为增函数，可得函数f（x）在R上是增函数，再利用定义证明． 【详解】（1）∵函数是R上的奇函数，，经验证，符合要求； （2）由（1）可得函数，再根据y＝2x在R上是增函数，且在R上是增函数，在R上是减函数， 可得函数在R上是增函数， 证明：∀x1，x2∈R，且x1＜x2， ， 因为单调递增，所以，即， 所以在R上是增函数． 【变式5-4】（21-22高一上·江苏宿迁·期末）设为实数，已知函数是奇函数． (1)求的值； (2)判断在上的单调性，并给出证明； (3)解关于的不等式． 【答案】(1)； (2)在上的单调递增，证明见解析； (3). 【分析】（1）由奇函数的定义可得出关于实数的等式，即可解得实数的值； （2）判断出函数为上的增函数，任取、且，作差，并判断的符号，由此可证得结论成立； （3）将所求不等式变形为，利用函数的单调性可得出关于的不等式，即可求得原不等式的解集. 【详解】（1）解：因为函数为奇函数，则， 即 ，解得. （2）证明：由（1）可得，则函数为上的增函数，理由如下： 任取、且，则， 则，即， 因此，函数为上的增函数. （3）解：因为函数为上的奇函数且为增函数， 由可得， 则，即，解得， 因此，不等式的解集为. 【考点题型六】指数函数最值问题 方法总结： 1.确定单调性:首先判断函数y=的单调性。如果a>1，函数单调递增;如果0<a<1，函数单调递减 2.计算端点值:根据函数的单调性，将定义域的两端点的值代入函数计算得到两个端点的函数值 3.比较大小:比较这两个端点的函数值，较大的值为最大值，较小的值为最小值 【例6】（23-24高一下·江苏盐城·期末）设函数，若恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】分与两类讨论，根据恒成立，得出的结论，从而得解. 【详解】若 当时，，因为恒成立，所以恒成立，则，即， 当时，，因为恒成立，所以恒成立，则，即， 综上，，同理时， 又， 所以，，当且仅当时，取等号 故选：C. 【变式6-1】（多选）（21-22高一上·江苏常州·期末）若函数（且）在区间上的最大值和最小值的和为，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】分、两种情况讨论，分析函数在上的单调性，根据已知条件可得出关于实数的等式，即可求得实数的值. 【详解】当时，函数在上为减函数， 则，解得； 当时，函数在上为增函数， 则，解得. 综上所述，或. 故选：BC. 【变式6-2】（多选）（20-21高一上·江苏泰州·期末）设函数，下列说法正确的是（    ） A．函数是偶函数 B．函数是奇函数 C．函数有最大值 D．函数在上单调递减 【答案】AC 【解析】利用奇偶性定义可判断AB，求函数的值域可判断C，求出的解析式可判断D. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，所以是偶函数，A正确，B错误； 令，则，所以，所以，C正确； 当时，，是单调递增函数，所以D错误. 故选：AC. 【变式6-3】（17-18高一上·江苏扬州·期末）设函数且是定义域为的奇函数．若， 且在上的最小值为，则的值为 ． 【答案】2 【分析】根据奇函数的性质求出的值，再根据求出的值，即可得到的解析式，令，根据指数函数的性质求出的取值范围，再根据二次函数的性质分类讨论，即可得解. 【详解】解：由于函数为定义域上的奇函数，故，解得， 故，又，解得或（舍去），所以， 所以， 令，则， 因为，函数在上单调递增，所以，所以， 故，，二次函数开口向上，对称轴为， 当时，，解得，所以. 当时，，解得（舍去）， 综上可得； 故答案为： 【变式6-4】（20-21高一上·江苏扬州·期末）定义域为R的函数可以表示为一个奇函数和一个偶函数的和，则 ；若关于x的不等式的解的最小值为1，其中，则a的取值范围是 . 【答案】 【解析】先根据为奇函数，为偶函数，求出，再与联立即可求出；先将代入，即可得到，将其转化为，令，求出即可求出a的取值范围. 【详解】解:由题意知： 为奇函数，为偶函数， ， ， 即， ， 即， 即， 即， 关于x的不等式的解的最小值为1， 等价于， 令， 当时， 易知：在单调递减， ， 故， 当时，， 在单调递减， ， 当趋近于时，趋近于， 故无解， 当时，， 当时，， ，， 故， 即， 综上所述：. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将关于x的不等式的解的最小值为1，转化为. 【考点题型七】指数函数函数存在有解问题 方法总结： 存在性问题 ①xo∈D，使得 f（xo）< a 成立，则 f（x）min<a ②xo∈D，使得f（xo）>a成立，则f（x）max>a ③xo∈D，使得 f（xo）<g（xo）恒成立，则F（x）=f（x）-g（x）<0，∴F（x）min<0 ④xo∈D，使得 f（xo）> g（xo）恒成立，则 F（x）=f（x）-g（x）>0，∴F（x）max>0 【例7】（22-23高一上·江苏连云港·期末）设a为实数，若关于x的方程有实数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】参变分离，换元后得到（），要想方程有实数解只需与有交点，根据单调性求出，从而得到，求出a的取值范围. 【详解】因为，所以， 令（），则（）， 要想方程有实数解只需与有交点即可； 设，当时，单调递增，所以， 即时，解得：， 故a的取值范围是为：. 故选：C. 【变式7-1】（23-24高一上·江苏宿迁·期末）若命题“，”是假命题，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意可知此命题的否定为真命题，从而可求出的取值范围. 【详解】因为“，”是假命题， 所以“，”是真命题，即在上恒成立， 因为在上单调递增，所以， 则. 故答案为：. 【变式7-2】（23-24高一上·江苏苏州·期末）写出满足条件“存在，使得”的一个实数的值为 . 【答案】0（答案不唯一） 【分析】举例，再验证即可. 【详解】取，则原条件为“存在，使得”， 当时，，满足题意； 故答案为：0（答案不唯一）. 【变式7-3】（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数，为实数． (1)当时，求的值域； (2)设，若对任意的，总存在，使得成立，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换元法来求得的值域. （2）通过求在区间上的最值、在区间上的最值，以及对进行分类讨论来求得的取值范围. 【详解】（1）当时，，令， 则在区间上单调递增，， 所以的值域为. （2）对于函数，， 所以在区间上的值域为，最小值为. 对于函数，令， 则的开口向上，对称轴为. 当时，函数在上单调递增， ， 要使“对任意的，总存在，使得成立”， 则. 当时，函数在处取得最小值， 即，不符合题意. 当时，函数函数在上单调递减， ， 要使“对任意的，总存在，使得成立”， 则，与矛盾，不符合. 综上所述，. 【点睛】求解含指数的二次项函数的最值，主要的解题方法是换元法，换元后，利用二次函数的性质来求得函数的最值.求解不等式恒成立、能成立的问题，往往转化为求函数的值域或最值来进行求解. 【变式7-4】（22-23高一上·江苏连云港·期末）设为实数，已知函数． (1)若为奇函数，求的值和此时不等式的解集； (2)若关于x的不等式在上有解，求的取值范围． 【答案】(1)，解集 (2) 【分析】（1）先利用为奇函数求得，再将不等式转化为指数不等式即可求得其解集； （2）先将题给条件转化为在上有解，再求得在上的值域，进而求得的取值范围． 【详解】（1）函数定义域为R， 因为为奇函数，所以对恒成立， 即对恒成立，所以， 此时，即， 解得，所以原不等式解集为． （2）关于x的不等式 可化为，化简得， 因为，即在上有解， 因为，设，则在上有解， 因为， 当且仅当，即时取等号， 所以的取值范围为． 【考点题型八】指数函数函数恒成立问题 方法总结： 恒成立问题 ①x∈D，f（x）<a恒成立，则f（x）max<a ②x∈D，f（x）>a恒成立，则f（x）min >a ③x∈D， f（x）< g（x）恒成立， 则 F（x）=f（x）-g（x）<0，∴F（x）max<0 ④x∈D， f（x）> g（x）恒成立， 则 F（x）=f（x）-g（x）>0，∴F（x）min>0 【例8】（22-23高一上·江苏无锡·期末）已知指数函数的图象过点，令，（b是常数），且是定义在上的奇函数． (1)求b的值； (2)若关于x的不等式在上恒成立，求整数m的最大值． 【答案】(1)b的值为1； (2)整数m的最大值为-1． 【分析】(1)由条件结合指数函数定义求，再根据奇函数的定义求b的值； (2)判断函数的单调性，根据函数性质化简不等式可得，求函数的最小值确定的范围，由此可得结论. 【详解】（1）因为函数为指数函数，故可设 且， 又函数的图象过点，所以， 所以，故，， 又是定义在上的奇函数， 所以，即恒成立， 所以恒成立，所以恒成立， 所以； （2）由(1)可得， 因为函数在上单调递增，值域为， 所以函数在上单调递减， 所以函数在上单调递增， 所以不等式可化为， 则，即，即， 所以， 由已知在上恒成立， 故在上恒成立， 令，则在上恒成立， 当时，， 当时，， 设，任取，且， 则， 因为，，所以， 故，所以函数在上单调递减， 所以，故， 所以在上最小值为，故， 所以整数m的最大值为-1． 【变式8-1】（20-21高一上·江苏苏州·期末）已知函数(a>0且a≠1). （1）求函数f(x)的定义域､值域； （2）是否存在实数a，使得函数f(x)满足：对于任意x∈[-1，+∞)，都有f(x)≤0？若存在，求出a的取值范围：若不存在，请说明理由. 【答案】（1）答案见解析；（2）存在，. 【解析】（1）对分类讨论解不等式可得定义域，换元令，化为关于的二次函数可求得值域； （2）根据定义域可知，换元令，将化为，即对于任意x∈[-1，+∞)恒成立，根据指数函数的单调性求出最值即可得解. 【详解】（1）由，得. 当时，；当时，. 所以当时，的定义域为； 当时，的定义域为. 令，则，且， ∴， 当时，是t的单调减函数， ，，，即， ∴函数的值域是. （2）由（1）知，当时，定义域为，所以在上不一定有意义，不满足条件； 所以，且，即. 令，则，由（1）知，， 由， 解得(舍)或，即有解得， 由题意知对任意，有恒成立， 因为，所以对任意，都有， 所以有，解得，即. ∴存在，对任意，都有. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： ①若在上恒成立，则； ②若在上恒成立，则； ③若在上有解，则； ④若在上有解，则； 【变式8-2】（22-23高一上·江苏常州·期末）已知函数，. (1)若，关于x的不等式的解集为，求，的值； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)定义：在闭区间的长度为，若对于任意长度为1的闭区间D，，使得，求正数的最小值. 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】（1）由二次不等式的解集，得到对应二次方程的两根，利用韦达定理求，的值； （2）由已知不等式，运用换元、分离常数法，构造函数求值域，求解实数的取值范围； （3）分类讨论时需要的条件，求正数的最小值. 【详解】（1）关于x的不等式的解集为，则的两根为和，所以，解得. （2）当时，恒成立，即恒成立， 令，则有，即， 令，函数图像抛物线开口向上，对称轴方程为， 在上单调递减，时，有最小值， 则有，又，所以实数的取值范围为. （3），函数图像抛物线开口向上，对称轴为， ∵，根据二次函数的对称性不妨设，则有： ①当时，在上单调递增，可得， ∴，得 ②当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 由，可得， ∵，有，，∴，. 综上，正数最小值为4. 【变式8-3】（21-22高一上·江苏无锡·期末）已知函数. (1)求的值域； (2)若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）换元法转化成二次函数在给定区间求值域即可解决； （2）分离参数后，再构造函数，并求其值域，即可解决. 【详解】（1）令，当时，， 则可将原函数转化为， 当时，；当时，. 所以在上的值域为. （2）令，当时，， 则关于x的不等式对恒成立，可化为 对恒成立， 所以，即， 又在上为减函数，在上为增函数， 在上的最大值为. 因此实数m的取值范围为. 【变式8-4】（21-22高一上·江苏镇江·期末）已知函数（a，b为常数，且）的图象经过点． (1)求函数的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数m取值范围； (3)若，求函数在R上的值域． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）待定系数法求解析式；（2）令，问题转化为只需，根据的单调性求出最小值，进而求出实数m取值范围；（3）通过换元表达出，利用基本不等式和函数单调性求出值域. 【详解】（1）由题意得：，解得：，所以 （2），即对恒成立，令，只需，其中单调递减，所以，所以，所以实数m取值范围是. （3）定义域为R，，令，（），则，其中由基本不等式得：，当且仅当，即时，等号成立，令，，故，当时，单调递增，所以，函数在R上的值域为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单05 指数函数 【清单01】指数函数的定义 一般地，函数（且）叫做指数函数，其中是自变量． 【结构特征】 (1) 底数：大于零且不等于1的常数； (2) 指数：仅有自变量； (3)系数：的系数是1. 【清单02】指数函数的图像与性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 注意∶ 底数a与1的大小关系决定了指数函数图像的“升”与“降”.当a>1时，指数函数的图像是“上升”的；当0<a<1时，指数函数的图像是"下降"的. 【考点题型一】指数函数比较大小 方法总结：指数幂比较大小 ①同底幂比较，构造指数函数，用单调性比较；         ②同指数幂比较，构造幂函数，用单调性比较； ③不同底也不同指幂比较，借助媒介“1”. 【例1】（22-23高一上·江苏连云港·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（21-22高一下·江苏盐城·期末）已知函数，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（20-21高一上·江苏宿迁·期末）设，，，则，，大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高一上·江苏无锡·期末）若，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-4】（16-17高一下·江苏苏州·期末） ，则、、的大小关系为 ． 【考点题型二】指数函数定义域与不等式 方法总结： 解简单指数不等式问题的注意点 (1)形如ax>ay的不等式，可借助y＝ax的单调性求解．如果a的值不确定，需分0<a<1和a>1两种情况进行讨论． (2)形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解． (3)形如ax>bx的不等式，可借助图象求解． 【例2】（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数为上的奇函数，当时，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】(多选)（23-24高一上·江苏盐城·期末）设实数，，且满足，则下列不等关系中一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 【变式2-2】（22-23高一上·江苏无锡·期末）不等式的解集是 ． 【变式2-3】（17-18高一上·江苏宿迁·期末）不等式的解集为 ． 【变式2-4】（22-23高一上·江苏南京·期末）设函数，则满足的的取值范围是 . 【考点题型三】指数函数的图像与性质 方法总结： 处理函数图象问题的策略 (1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点． (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性． 【例3】（22-23高一上·江苏无锡·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（20-21高一上·江苏南通·期末）若函数的值域为，则a的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（多选）（23-24高一上·江苏常州·期末）若函数（其中且）的图象过第一、三、四象限，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高一上·江苏盐城·期末）函数且 过定点，则________ 【变式3-4】（23-24高一上·江苏南通·期末）已知函数在上单调递增，则的取值范围是 . 【考点题型四】指数函数的值域与最值问题 方法总结： 求解形如的指数型函数值域的思路： 1.分析的单调性以及值域； 2.分析的单调性； 3.根据复合函数单调性的判断方法，分析出的单调性并计算出值域. 【例4】（22-23高一上·江苏南京·期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：.已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】(多选)（23-24高一上·江苏泰州·期末）已知函数，若的值域为，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（21-22高一上·江苏南京·期末）设定义在上的函数､奇函数和偶函数，满足，若函数. (1)求的解析式； (2)求在上的最小值. 【变式4-3】（22-23高一上·江苏盐城·期末）已知函数为奇函数． (1)求的值 (2)解不等式 (3)求的值域． 【变式4-4】（22-23高一上·江苏南通·期末）定义在上的奇函数其中，且，其中是自然对数的底数，. (1)当时，求函数的解析式； (2)若存在，满足，求的取值范围. 【考点题型五】指数函数的单调性 方法总结： 1.单调性的运算关系： ①一般认为，和均与函数的单调性 相反 ；②同区间，↑+↑= ↑ ，↓+↓= ↓ ，↑－↓= ↑ ，↓－↑= ↓ ； 2.单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，那么有： ①>0⇔f(x)是[a,b]上的 增函数 ；②<0⇔f(x)是[a,b]上的__减函数__； 3.复合函数单调性结论：同增异减． 【例5】(多选)（23-24高一上·江苏南通·期末）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（多选）（22-23高一上·江苏泰州·期末）已知函数为奇函数，则（    ） A． B．为上的增函数 C．的解集为 D．的值域为 【变式5-2】（21-22高一上·江苏常州·期末）已知函数 (1)求证：函数是上的减函数； (2)已知函数的图象存在对称中心的充要条件是的图象关于原点中心对称，判断函数的图象是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标，若不存在，说明理由. 【变式5-3】（21-22高一上·江苏南通·期末）已知函数是奇函数． (1)求a的值； (2)判断函数f（x）的单调性，并证明． 【变式5-4】（21-22高一上·江苏宿迁·期末）设为实数，已知函数是奇函数． (1)求的值； (2)判断在上的单调性，并给出证明； (3)解关于的不等式． 【考点题型六】指数函数最值问题 方法总结： 1.确定单调性:首先判断函数y=的单调性。如果a>1，函数单调递增;如果0<a<1，函数单调递减 2.计算端点值:根据函数的单调性，将定义域的两端点的值代入函数计算得到两个端点的函数值 3.比较大小:比较这两个端点的函数值，较大的值为最大值，较小的值为最小值 【例6】（23-24高一下·江苏盐城·期末）设函数，若恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【变式6-1】（多选）（21-22高一上·江苏常州·期末）若函数（且）在区间上的最大值和最小值的和为，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（多选）（20-21高一上·江苏泰州·期末）设函数，下列说法正确的是（    ） A．函数是偶函数 B．函数是奇函数 C．函数有最大值 D．函数在上单调递减 【变式6-3】（17-18高一上·江苏扬州·期末）设函数且是定义域为的奇函数．若， 且在上的最小值为，则的值为 ． 【变式6-4】（20-21高一上·江苏扬州·期末）定义域为R的函数可以表示为一个奇函数和一个偶函数的和，则 ；若关于x的不等式的解的最小值为1，其中，则a的取值范围是 . 【考点题型七】指数函数函数存在有解问题 方法总结： 存在性问题 ①xo∈D，使得 f（xo）< a 成立，则 f（x）min<a ②xo∈D，使得f（xo）>a成立，则f（x）max>a ③xo∈D，使得 f（xo）<g（xo）恒成立，则F（x）=f（x）-g（x）<0，∴F（x）min<0 ④xo∈D，使得 f（xo）> g（xo）恒成立，则 F（x）=f（x）-g（x）>0，∴F（x）max>0 【例7】（22-23高一上·江苏连云港·期末）设a为实数，若关于x的方程有实数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24高一上·江苏宿迁·期末）若命题“，”是假命题，则的取值范围为 . 【变式7-2】（23-24高一上·江苏苏州·期末）写出满足条件“存在，使得”的一个实数的值为 . 【变式7-3】（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数，为实数． (1)当时，求的值域； (2)设，若对任意的，总存在，使得成立，求m的取值范围． 【变式7-4】（22-23高一上·江苏连云港·期末）设为实数，已知函数． (1)若为奇函数，求的值和此时不等式的解集； (2)若关于x的不等式在上有解，求的取值范围． 【考点题型八】指数函数函数恒成立问题 方法总结： 恒成立问题 ①x∈D，f（x）<a恒成立，则f（x）max<a ②x∈D，f（x）>a恒成立，则f（x）min >a ③x∈D， f（x）< g（x）恒成立， 则 F（x）=f（x）-g（x）<0，∴F（x）max<0 ④x∈D， f（x）> g（x）恒成立， 则 F（x）=f（x）-g（x）>0，∴F（x）min>0 【例8】（22-23高一上·江苏无锡·期末）已知指数函数的图象过点，令，（b是常数），且是定义在上的奇函数． (1)求b的值； (2)若关于x的不等式在上恒成立，求整数m的最大值． 【变式8-1】（20-21高一上·江苏苏州·期末）已知函数(a>0且a≠1). （1）求函数f(x)的定义域､值域； （2）是否存在实数a，使得函数f(x)满足：对于任意x∈[-1，+∞)，都有f(x)≤0？若存在，求出a的取值范围：若不存在，请说明理由. 【变式8-2】（22-23高一上·江苏常州·期末）已知函数，. (1)若，关于x的不等式的解集为，求，的值； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)定义：在闭区间的长度为，若对于任意长度为1的闭区间D，，使得，求正数的最小值. 【变式8-3】（21-22高一上·江苏无锡·期末）已知函数. (1)求的值域； (2)若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【变式8-4】（21-22高一上·江苏镇江·期末）已知函数（a，b为常数，且）的图象经过点． (1)求函数的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数m取值范围； (3)若，求函数在R上的值域． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$