清单04指对运算（考点清单，知识导图+2考点清单+4题型解读）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（苏教版2019必修第一册）

清单04 指对运算 【清单01】对数的运算法则 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)=logaM+logaN； ②loga=logaM-logaN； ③logaMn=nlogaM (n∈R)； 【清单02】对数的换底公式 1.换底公式：(a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)． 2.可用换底公式证明以下结论： ①； ②； ③； ④； ⑤. 3.对换底公式的理解： 换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子． 【考点题型一】指对化简运算 方法总结： 1．利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系． 2．对于复杂的运算式，可先化简再计算．化简问题的常用方法： (1)“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)； (2)“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数． 【例1】（23-24高一上·江苏南京·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据式子结构，对所求式子平方后即可求解. 【详解】由，可得. 故选：B. 【变式1-1】（23-24高一上·江苏盐城·期末）计算 . 【答案】/ 【分析】根据指数幂的运算法则，直接计算即可得出结果. 【详解】 . 故答案为： 【变式1-2】（23-24高一上·江苏南京·期末） . 【答案】 【分析】利用对数和指数运算求解. 【详解】解： ， 故答案为： 【变式1-3】（23-24高一上·江苏泰州·期末）求下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）直接由分数指数幂的运算即可得解. （2）直接由对数运算性质即可得解. 【详解】（1）. （2） . 【变式1-4】（22-23高一上·江苏南京·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)7 (2) 【分析】（1）利用分数指数幂的运算性质求解即可， （2）利用对数的运算性质求解即可 【详解】（1） . （2） . 【考点题型二】对数的表示 方法总结： 利用不同的对数值求新的对数值，此类题特征： 1.多底数，多真数，都给它降幂为基数， 2.条件与结论，特别是条件，有没有底数真数共同数 3.如果没有共同数，则 结合求的对数真数，寻找共同底数，实在不好找，全部转化为10为底，或者e为底（尽量找共同数） 4.结论对数的底数，真数，转化为条件的底数真数积与商， 【例2】（23-24高一上·江苏扬州·期末）若，，则下列答案不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，，，结合对数性质，基本不等式，指数性质判断四个选项即可. 【详解】依题意，， 所以，. 对于A，，A正确. 对于B，，B正确. 对于C，，C错误. 对于D，，， ,所以，D正确. 故选：C. 【变式2-1】（21-22高一上·江苏常州·期末）已知，，那么2x+y的值为（    ） A．8 B．3 C．1 D．log23 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用指数运算求解作答. 【详解】由，得，而，因此， 所以 故选：B 【变式2-2】（21-22高一上·江苏无锡·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由换底公式和对数运算法则进行化简计算. 【详解】由换底公式得：， ，其中，，故 故选：C 【变式2-3】(多选)（22-23高一上·江苏盐城·期末）已知正实数满足，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据指数与对数的互化，设，得，，，然后根据对数的运算性质以及换底公式对各个选项逐个化简即可判断求解． 【详解】已知正实数，则设，所以，，， 对于A，因为 ， 又，所以，所以，即，故A正确； 对于B，因为，，所以，即，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D， ， 又因为，故等号不成立，所以，即，故D正确， 故选：ACD． 【变式2-4】（22-23高一上·江苏连云港·期末）设，，则 ．（用a，b表示） 【答案】 【分析】利用对数的运算即可求解. 【详解】， 故答案为：. 【考点题型三】对数换底公式的应用 方法总结： 1.(a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)． 2.可用换底公式证明以下结论： ①；②；③；④；⑤. 【例3】（22-23高一上·江苏南通·期末）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式，结合指数函数的单调性、函数单调性的性质进行判断即可. 【详解】因为，且， 所以，即， 因为函数是单调递增函数， 所以函数是单调递增函数， 所以当时，有， 因为， 所以有， 由， 因为函数是单调递减函数， 所以函数是单调递减函数， 因为，所以， 因此， 故选：A 【点睛】关键点睛：根据等式的形式构造函数，利用指数函数的单调性是解题的关键. 【变式3-1】（18-19高一上·江苏南通·期末）已知且，则k的值为 A．15 B． C． D．6 【答案】C 【解析】由3m=2n=k，将指数式转化为对数式得m=log3k，n=log2k，再代入，利用换底公式求解. 【详解】∵3m=2n=k， ∴m=log3k，n=log2k， ∴logk6=2， ∴k2=6， 又 ∴， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了指数与对数互化，换底公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 【变式3-2】（23-24高一上·江苏扬州·期末）若实数，满足，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把指数式转化为对数式，利用对数的运算法则进行计算. 【详解】因为，所以，， 由换底公式得：，. 所以. 故选：A 【变式3-3】（20-21高一·江苏·课后作业）已知，由此可以推断是位整数. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，两边取对数后求得，由此可得的整数位. 【详解】解：∵，令， ∴，则， ∴是位整数. 故选：C. 【变式3-4】（22-23高一上·江苏南京·期末）若，且，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】化指数式为对数式，得到，从而得到方程，求出答案. 【详解】因为，所以，， 故， 则， 所以，解得. 故答案为： 【考点题型四】指对实际应用 【例4】（23-24高一上·江苏宿迁·期末）人类是数据的创造者和使用者，自结绳记事起，它就已慢慢产生，随着计算机和互联网的广泛应用，人类产生创造的数据量呈爆炸式增长，中国已成为全球数据总量最大、数据类型最丰富的国家之一，人类采集、存储和处理数据能力大幅提升，使数据应用渗透到我们生活中的每个角落．目前，数据量已经从级别跃升到，乃至级别．国际数据公司的研究结果表明，2008年全球产生的数据量为，2010年增长到．若从2008年起，全球产生的数据量与年份的关系为，其中均是正的常数，则2024年全球产生的数据量是2023年的（    ）倍． A．0.5 B．2.25 C．1.5 D．15 【答案】C 【分析】根据题意数据求出函数解析式，然后利用指数运算即可求解. 【详解】由题意，，， 又，解得， . 所以2024年全球产生的数据量是2023年的倍. 故选：C. 【变式4-1】（22-23高一上·吉林·期末）科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设Ⅰ为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级y可定义为，2021年3月13日下午江西鹰潭余江区发生里氏3.1级地震，2020年1月1日四川自贡发生里氏4.9级地震，则自贡地震所散发出来的能量是余江地震所散发出来的能量的（    ）倍． A．2 B．10 C．100 D．1000 【答案】D 【分析】根据题意得到方程组，两式相减后得到答案. 【详解】设里氏3.1级地震所散发出来的能量为，里氏4.9级地震所散发出来的能量为，则，两式相减， 得：，解得：． 故选：D． 【变式4-2】（22-23高一上·江苏盐城·期末）我们知道，任何一个正数可以用科学记数法表示成（为正整数），此时，当时，称的位数是.根据以上信息可知的位数是（    ）（） A．27 B．28 C．29 D．30 【答案】C 【分析】 通过求，根据已知估值计算即可求解． 【详解】 ， 则的位数是是． 故选：C． 【变式4-3】（22-23高一上·江苏盐城·期末）英国数学家泰勒（B. Taylor，1685-1731）以发现泰勒公式和泰勒级数闻名于世.由泰勒公式，我们能得到（其中e为自然对数的底数，），其拉格朗日余项是可以看出，右边的项用得越多，计算得到的e的近似值也就越精确.若近似地表示e的泰勒公式的拉格朗日余项 不超过时，正整数n的最小值是 . 【答案】5 【分析】根据题意建立不等式，利用验证的方式求解即可． 【详解】依题意得，即， 又，， 所以的最小值是5． 故答案为：6． 【变式4-4】（19-20高一上·江苏南通·期末）请先阅读下面的材料：对于等式（，且），如果将视为自变量，视为常数，为关于（即）的函数，记为，那么，是幂函数；如果将视为常数，视为自变量，为关于（即）的函数，记为，那么，是指数函数；如果将视为常数，视为自变量，为关于（即）的函数，记为，那么，是对数函数.事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型.例如，如果为常数e（自然对数的底），将视为自变量，则为的函数，记为，那么 ，若将表示为的函数，则 （，且）. 【答案】 ． 【解析】根据定义及指数和对数的关系计算可得； 【详解】解：对于等式， 如果为常数（自然对数的底），将视为自变量，则为的函数，记为，那么， 若将表示为的函数，则，． 故答案为：；． 【点睛】本题考查函数的求法，考查函数的定义等基础知识，对数和指数的互化，考查运算求解能力，属于基础题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04 指对运算 【清单01】对数的运算法则 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)=logaM+logaN； ②loga=logaM-logaN； ③logaMn=nlogaM (n∈R)； 【清单02】对数的换底公式 1.换底公式：(a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)． 2.可用换底公式证明以下结论： ①； ②； ③； ④； ⑤. 3.对换底公式的理解： 换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子． 【考点题型一】指对化简运算 方法总结： 1．利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系． 2．对于复杂的运算式，可先化简再计算．化简问题的常用方法： (1)“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)； (2)“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数． 【例1】（23-24高一上·江苏南京·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高一上·江苏盐城·期末）计算 . 【变式1-2】（23-24高一上·江苏南京·期末） . 【变式1-3】（23-24高一上·江苏泰州·期末）求下列各式的值： (1)； (2). 【变式1-4】（22-23高一上·江苏南京·期末）计算： (1)； (2)． 【考点题型二】对数的表示 方法总结： 利用不同的对数值求新的对数值，此类题特征： 1.多底数，多真数，都给它降幂为基数， 2.条件与结论，特别是条件，有没有底数真数共同数 3.如果没有共同数，则 结合求的对数真数，寻找共同底数，实在不好找，全部转化为10为底，或者e为底（尽量找共同数） 4.结论对数的底数，真数，转化为条件的底数真数积与商， 【例2】（23-24高一上·江苏扬州·期末）若，，则下列答案不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（21-22高一上·江苏常州·期末）已知，，那么2x+y的值为（    ） A．8 B．3 C．1 D．log23 【变式2-2】（21-22高一上·江苏无锡·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】(多选)（22-23高一上·江苏盐城·期末）已知正实数满足，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】（22-23高一上·江苏连云港·期末）设，，则 ．（用a，b表示） 【考点题型三】对数换底公式的应用 方法总结： 1.(a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)． 2.可用换底公式证明以下结论： ①；②；③；④；⑤. 【例3】（22-23高一上·江苏南通·期末）设，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（18-19高一上·江苏南通·期末）已知且，则k的值为 A．15 B． C． D．6 【变式3-2】（23-24高一上·江苏扬州·期末）若实数，满足，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（20-21高一·江苏·课后作业）已知，由此可以推断是位整数. A． B． C． D． 【变式3-4】（22-23高一上·江苏南京·期末）若，且，则实数的值为 ． 【考点题型四】指对实际应用 【例4】（23-24高一上·江苏宿迁·期末）人类是数据的创造者和使用者，自结绳记事起，它就已慢慢产生，随着计算机和互联网的广泛应用，人类产生创造的数据量呈爆炸式增长，中国已成为全球数据总量最大、数据类型最丰富的国家之一，人类采集、存储和处理数据能力大幅提升，使数据应用渗透到我们生活中的每个角落．目前，数据量已经从级别跃升到，乃至级别．国际数据公司的研究结果表明，2008年全球产生的数据量为，2010年增长到．若从2008年起，全球产生的数据量与年份的关系为，其中均是正的常数，则2024年全球产生的数据量是2023年的（    ）倍． A．0.5 B．2.25 C．1.5 D．15 【变式4-1】（22-23高一上·吉林·期末）科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设Ⅰ为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级y可定义为，2021年3月13日下午江西鹰潭余江区发生里氏3.1级地震，2020年1月1日四川自贡发生里氏4.9级地震，则自贡地震所散发出来的能量是余江地震所散发出来的能量的（    ）倍． A．2 B．10 C．100 D．1000 【变式4-2】（22-23高一上·江苏盐城·期末）我们知道，任何一个正数可以用科学记数法表示成（为正整数），此时，当时，称的位数是.根据以上信息可知的位数是（    ）（） A．27 B．28 C．29 D．30 【变式4-3】（22-23高一上·江苏盐城·期末）英国数学家泰勒（B. Taylor，1685-1731）以发现泰勒公式和泰勒级数闻名于世.由泰勒公式，我们能得到（其中e为自然对数的底数，），其拉格朗日余项是可以看出，右边的项用得越多，计算得到的e的近似值也就越精确.若近似地表示e的泰勒公式的拉格朗日余项 不超过时，正整数n的最小值是 . 【变式4-4】（19-20高一上·江苏南通·期末）请先阅读下面的材料：对于等式（，且），如果将视为自变量，视为常数，为关于（即）的函数，记为，那么，是幂函数；如果将视为常数，视为自变量，为关于（即）的函数，记为，那么，是指数函数；如果将视为常数，视为自变量，为关于（即）的函数，记为，那么，是对数函数.事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型.例如，如果为常数e（自然对数的底），将视为自变量，则为的函数，记为，那么 ，若将表示为的函数，则 （，且）. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$