清单07函数的奇偶性与单调性（考点清单，知识导图+2考点清单+9题型解读）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（苏教版2019必修第一册）

清单07 函数的奇偶性与单调性 【清单01】函数奇偶性的定义 奇偶性 偶函数 奇函数 条件 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I 结论 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) 图象特点 关于y轴对称 关于原点对称 注意：判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(-x)＝0(奇函数)或f(x)-f(-x)＝0(偶函数)是否成立． (3)若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下： ①f(x)为奇函数⇔f(-x)＝-f(x)⇔f(-x)＋f(x)＝0⇔＝-1. ②f(x)为偶函数⇔f(-x)＝f(x)⇔f(-x)-f(x)＝0⇔＝1. 【清单02】函数单调性的定义 单调函数的定义 增函数 减函数 定 义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图 象 描 述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 【考点题型一】已知单调性解不等式 方法总结： 若在区间上递增且 若在区间上递减且 注意：首先确定函数的定义域，然后根据单调性去符号“”；若为增函数，去掉“”不变号；若为减函数，去掉“”要变号。 【例1】（21-22高一上·江苏泰州·期末）设定义在上的函数满足：当时，总有，且，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 【变式1-1】（21-22高一上·江苏盐城·期中）定义在上的函数满足，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（22-23高一上·江苏常州·期末）已知函数，若对任意，不等式，则实数的取值范围为 . 【变式1-3】（21-22高一上·江苏无锡·期末）已知定义在上的函数满足，当时，，且，则不等式的解集为 . 【变式1-4】（19-20高一上·江苏扬州·期末）已知函数为定义在上的奇函数． （1）求实数的值； （2）解关于的不等式； （3）设，当时，函数的最小值为，求的取值范围. 【考点题型二】函数的单调性 方法总结： 判断函数单调性的基本方法： 1定义法：取值、作差、变形因式分解、配方、有理化、通分、定号、下结论. 2复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数. 3图象法：如果fx是以图象形式给出的，或者fx的图象易作出，可由图象的直观性判断函数单调性. 【例2】（23-24高一上·江苏苏州·期末）“实数”是“函数在上具有单调性”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-1】（22-23高一上·江苏南京·期末）若函数在区间上为单调减函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】(多选)（23-24高一上·江苏南京·期末）已知命题函数在上单调递减，则下列是命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高一上·江苏泰州·期末）已知函数. (1)判断在上的单调性，并证明； (2)若，且，，都为正数，求证：. 【变式2-4】（22-23高一上·江苏泰州·期末）已知正数x，y满足. (1)将y表示为x的函数，并证明在其定义域内单调递减； (2)求的最小值. 【考点题型三】函数单调性求最值 方法总结：解题步骤 第一步 确定函数的定义域; 第二步 求出函数的单调区间; 第三步 确定函数的最值。 【例3】（23-24高一上·江苏南通·期末）函数的最小值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 【变式3-1】（多选）（22-23高一上·江苏南通·期末）已知函数其中a为实数，则下列结论中一定成立的是（    ） A． B． C．函数一定不存在最大值 D．函数一定不存在最小值 【变式3-2】（多选）（22-23高一上·江苏常州·期末）已知函数的最小值为，则的可能取值是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【变式3-3】（22-23高一上·江苏连云港·期末）已知函数，． (1)当时，求的最值； (2)若的最小值为，求实数的值． 【变式3-4】（18-19高一上·江苏南通·期末）若函数， （1）若函数为奇函数，求m的值； （2）若函数在上是增函数，求实数m的取值范围； （3）若函数在上的最小值为，求实数m的值． 【考点题型四】函数奇偶性的定义 方法总结： 1．定义法：利用奇、偶函数的定义或定义的等价形式：＝±1(f(x)≠0)判断函数的奇偶性． 2．图象法：利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性． 3．验证法：即判断f(x)±f(－x)是否为0. 4．性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上，有下面结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 【例4】（22-23高一上·江苏南京·期末）下列函数中，既是奇函数，又在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（22-23高一上·江苏宿迁·期末）对于定义在上的函数，下列说法正确的是（    ） A．若，则函数是增函数 B．若，则函数不是减函数 C．若，则函数是偶函数 D．若，则函数不是奇函数 【变式4-2】（多选）（20-21高一上·江苏泰州·期末）下列说法正确的是（    ） A．若定义在上的函数满足，则是偶函数 B．若定义在上的函数满足，则不是偶函数 C．若定义在上的函数满足，则在上是增函数 D．若定义在上的函数满足，则在上不是减函数 【变式4-3】（22-23高一上·江苏连云港·期末）已知a∈R，函数的图象经过点． (1)求实数a的值； (2)判断的奇偶性并证明； (3)判断在区间上的单调性并证明． 【变式4-4】（20-21高一上·江苏镇江·期末）已知函数. （1）判断并证明函数的奇偶性： （2）用定义证明函数在上为减函数： （3）已知，且，求x的值. 【考点题型五】函数的奇偶性求解析式 方法总结： 利用函数的奇偶性求函数解析式的一般方法是: （1）“求谁设谁”，即求函数在哪个区间上的解析式，就设在哪个区间上; （2）利用已知区间的函数解析式进行化简，得到的解析式; （3）利用函数的奇偶性写出或，即可得到函数的解析式. 注意:若是R上的奇函数时，不要遗漏的情形. 【例5】（多选）（22-23高一上·江苏宿迁·期中）是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，函数，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D．当时， 【变式5-1】（22-23高一上·江苏扬州·期末）设是定义在上的奇函数，且当时，． （1）当时， ； （2）关于的不等式的解集为 ． 【变式5-2】（23-24高一上·江苏淮安·期末）已知是定义在R上的函数，满足：，，且当时，． (1)求的值； (2)当时，求的表达式； (3)若函数在区间（）上的值域为，求的值． 【变式5-3】（22-23高一上·江苏南京·期末）已知函数是定义在上的奇函数. (1)求实数，，的值； (2)求不等式的解集. 【变式5-4】（22-23高一上·江苏南京·期末）设函数和的定义域为，若是偶函数，是奇函数，且. (1)求函数和的解析式； (2)判断在上的单调性，并给出证明. 【考点题型六】函数奇偶性的应用 方法总结： 利用奇偶性求函数值的思路： （1）已知求：判断的奇偶性与构造已知就行的函数，利用奇偶性找出与的关系即可； （2）已知两个函数的奇偶性，求由这两个函数的和、差构造出的新函数的函数值，可用替换后使用奇偶性变形，进而与原函数联立，解方程即可。 【例6】（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24高一上·江苏宿迁·期末）已知函数的定义域为R，函数是奇函数，．当时，．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高一上·江苏泰州·期末）已知是定义域为的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C．4 D．12 【变式6-3】(多选）（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知奇函数的定义域为，且满足：对任意的，都有设，且当时，的值域为，则下列说法正确的有（    ）． A． B．的一个周期是 C．在上的值域为 D．的图象关于直线轴对称 【变式6-4】（23-24高一上·江苏盐城·期末）若定义在区间上的函数满足：对于任意的，，都有，且时，有，若的最大值为，最小值为，则的值为 . 【考点题型七】函数奇偶性解不等式 方法总结： 函数奇偶性的五个重要结论： (1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集． (4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 【例7】（23-24高一上·江苏盐城·期末）若函数是偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知是定义域为的奇函数，当时，单调递增，且，则满足不等式的的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24高一上·江苏南京·期末）已知是定义在上的偶函数，对任意，且，都有，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（22-23高一上·江苏宿迁·期中）是定义域为R的偶函数，满足，对于任意的且，都有成立．如果，则实数m的取值范围是 ． 【变式7-4】（21-22高一上·江苏无锡·期末）已知函数，且为奇函数. (1)求的值； (2)判断函数的单调性并证明； (3)解不等式：. 【考点题型八】恒成立问题 方法总结： 恒成立问题 ①x∈D，f（x）<a恒成立，则f（x）max<a ②x∈D，f（x）>a恒成立，则f（x）min >a ③x∈D， f（x）< g（x）恒成立， 则 F（x）=f（x）-g（x）<0，∴F（x）max<0 ④x∈D， f（x）> g（x）恒成立， 则 F（x）=f（x）-g（x）>0，∴F（x）min>0 【例8】（21-22高一上·江苏连云港·期末）已知函数. (1)解关于x的不等式 (2)若在区间(-∞,1]上恒成立，求实数a的取值范围. 【变式8-1】（19-20高一下·江苏南通·期末）已知函数与，其中，，均为常数，且，，． （1）求，的值； （2）若对于任意恒成立，求实数的取值范围． 【变式8-2】（23-24高一上·江苏无锡·期末）设函数， (1)当时，判断的奇偶性，并说明理由； (2)当时，若对任意的，均有成立，求的最大值． 【变式8-3】（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知二次函数的图像过点，满足且函数是偶函数，函数. (1)求二次函数的解析式； (2)若，使成立，求实数的取值范围. 【变式8-4】（19-20高一上·江苏·期末）设函数且x，． （1）判断的奇偶性，并用定义证明； （2）若不等式在上恒成立，试求实数a的取值范围； （3）的值域为函数在上的最大值为M，最小值为m，若成立，求正数a的取值范围． 【考点题型九】存在有解问题 方法总结： 存在性问题 ①xo∈D，使得 f（xo）< a 成立，则 f（x）min<a ②xo∈D，使得f（xo）>a成立，则f（x）max>a ③xo∈D，使得 f（xo）<g（xo）恒成立，则F（x）=f（x）-g（x）<0，∴F（x）min<0 ④xo∈D，使得 f（xo）> g（xo）恒成立，则 F（x）=f（x）-g（x）>0，∴F（x）max>0 【例9】（22-23高一上·江苏泰州·期末）解决下列问题： (1)若不等式对于恒成立，求实数的范围； (2)函数，若存在使得成立，求实数的范围. 【变式9-1】（23-24高一上·江苏南京·期末）已知函数，函数. (1)求不等式的解集； (2)如果对于任意，都存在，使得，求实数的取值范围. 【变式9-2】（20-21高一上·江苏扬州·期末）若函数的图象关于点中心对称，则对函数定义域中的任意，恒有.如：函数的图象关于点中心对称，则对函数定义域中的任意，恒有.已知定义域为的函数，其图象关于点中心对称，且当时，，其中实数，为自然对数的底. （1）计算的值，并求函数在上的解析式； （2）设函数，对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【变式9-3】（17-18高一上·江苏宿迁·期末）已知函数 ，且满足. （1）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （2）设函数，求在区间上的最大值； （3）若存在实数m，使得关于x的方程恰有4个不同的正根，求实数m的取值范围. 【变式9-4】（22-23高一上·江苏盐城·期末）已知函数是奇函数. (1)若，对任意有恒成立，求实数的取值范围； (2)设，若，问是否存在实数使函数在上的最大值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单07 函数的奇偶性与单调性 【清单01】函数奇偶性的定义 奇偶性 偶函数 奇函数 条件 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I 结论 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) 图象特点 关于y轴对称 关于原点对称 注意：判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(-x)＝0(奇函数)或f(x)-f(-x)＝0(偶函数)是否成立． (3)若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下： ①f(x)为奇函数⇔f(-x)＝-f(x)⇔f(-x)＋f(x)＝0⇔＝-1. ②f(x)为偶函数⇔f(-x)＝f(x)⇔f(-x)-f(x)＝0⇔＝1. 【清单02】函数单调性的定义 单调函数的定义 增函数 减函数 定 义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图 象 描 述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 【考点题型一】已知单调性解不等式 方法总结： 若在区间上递增且 若在区间上递减且 注意：首先确定函数的定义域，然后根据单调性去符号“”；若为增函数，去掉“”不变号；若为减函数，去掉“”要变号。 【例1】（21-22高一上·江苏泰州·期末）设定义在上的函数满足：当时，总有，且，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将不等式变形后再构造函数，然后利用单调性解不等式即可. 【详解】由，令， 可知当时，，所以在定义域上单调递减， 又，即， 所以由单调性解得. 故选：A 【变式1-1】（21-22高一上·江苏盐城·期中）定义在上的函数满足，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对变形得到，构造新函数，得到在上单调递减，再对变形为，结合，得到，根据的单调性，得到解集. 【详解】，不妨设，故，即， 令，则，故在上单调递减，， 不等式两边同除以得：，因为，所以，即， 根据在上单调递减，故，综上： 故选：B 【变式1-2】（22-23高一上·江苏常州·期末）已知函数，若对任意，不等式，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】化简函数画出函数图像，利用函数的单调性，等价出不等式解出来即可. 【详解】因为，如图： 由图可知函数在上单调递增， 由函数， 所以， 即，在上恒成立， 即满足， 因为，所以 当时， 解得：， 当时， 解得：， 故实数的取值范围为：， 故答案为：. 【变式1-3】（21-22高一上·江苏无锡·期末）已知定义在上的函数满足，当时，，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】先判断函数单调性，再把抽象不等式转化为整式不等式即可解决. 【详解】由可得， 又，则 设任意，且，则，又当时，， 则 即，故函数在上为减函数. 则不等式 等价于，解之得 故答案为： 【变式1-4】（19-20高一上·江苏扬州·期末）已知函数为定义在上的奇函数． （1）求实数的值； （2）解关于的不等式； （3）设，当时，函数的最小值为，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】（1）利用列方程，由此求得的值. （2）利用函数单调性的定义证得在上为单调递增函数，结合为奇函数化简所求不等式，由此求得不等式的解集. （3）利用换元法化简解析式，利用最小值列方程，结合的取值范围，求得的取值范围. 【详解】（1）为定义在上奇函数， 在上恒成立， ， 在上恒成立，等价于，即；     （2），任取， 即在上为单调递增函数，    为奇函数， 等价于， 在上为单调递增函数， ，           （3） 令 由解得或（舍去），      即，    由三角函数图像可知，即. 【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数，考查定义法正函数的单调性，考查三角函数最值有关计算. 【考点题型二】函数的单调性 方法总结： 判断函数单调性的基本方法： 1定义法：取值、作差、变形因式分解、配方、有理化、通分、定号、下结论. 2复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数. 3图象法：如果fx是以图象形式给出的，或者fx的图象易作出，可由图象的直观性判断函数单调性. 【例2】（23-24高一上·江苏苏州·期末）“实数”是“函数在上具有单调性”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据二次函数的单调性求出，再根据充分不必要条件的判定即可. 【详解】当时，，则在上单调递增， 即其在上具有单调性，则正向可以推出； 若函数在上具有单调性， 则对称轴，解得，则反向无法推出； 故“实数”是“函数在上具有单调性”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式2-1】（22-23高一上·江苏南京·期末）若函数在区间上为单调减函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴方程，得到不等式，求出答案. 【详解】开口向上，对称轴为， 要想在区间上为单调减函数，则. 故选：D 【变式2-2】(多选)（23-24高一上·江苏南京·期末）已知命题函数在上单调递减，则下列是命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】求出命题为真时的范围，再根据必要不充分条件的定义判断． 【详解】由命题函数在上单调递减，可得或，即， 由必要不充分条件的定义知只有C,D选项符合. 故选：CD. 【变式2-3】（23-24高一上·江苏泰州·期末）已知函数. (1)判断在上的单调性，并证明； (2)若，且，，都为正数，求证：. 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据函数单调性的定义，结合作差法以及分解因式，可得答案； （2）利用分类讨论的解题思想，结合基本不等式以及函数单调性与奇偶性，可得答案. 【详解】（1）在上单调递增，证明如下： 任取，设， ， 由，则，故， 所以在上单调递增. （2）当都是正数时， ， 当目仅当时等号成立，则； 当中只有一个负数时，不妨设，则， 且，由，则， 由，则，则， ，当且仅当时，等号成立，则， ， 当中有两个负数或三个都是负数时，不合题意. 故得证. 【变式2-4】（22-23高一上·江苏泰州·期末）已知正数x，y满足. (1)将y表示为x的函数，并证明在其定义域内单调递减； (2)求的最小值. 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）先求得的解析式，然后根据函数单调性的定义证得结论成立. （2）利用基本不等式求得的最小值. 【详解】（1）因为，所以， 又x，y为正数，故，解得， 从而，， 任取，且， ， 因为，且，所以，，， 从而，即， 故在其定义域上单调递减. （2）由（1）得，， 所以， （当且仅当，即时取等号） 所以当时，取得最小值. 【考点题型三】函数单调性求最值 方法总结：解题步骤 第一步 确定函数的定义域; 第二步 求出函数的单调区间; 第三步 确定函数的最值。 【例3】（23-24高一上·江苏南通·期末）函数的最小值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】去掉绝对值得到分段函数，结合函数单调性得到最小值. 【详解】， 由于在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递增， 又，即分段处端点值相等， 故在处取得最小值，最小值为. 故选：B 【变式3-1】（多选）（22-23高一上·江苏南通·期末）已知函数其中a为实数，则下列结论中一定成立的是（    ） A． B． C．函数一定不存在最大值 D．函数一定不存在最小值 【答案】ABC 【分析】对的值进行分类讨论，结合分段函数解析式即可判断A、B选项的正误；结合分段函数每一段上的值域即可判断C、D选项的正误. 【详解】对于A选项，当时，，当时，，故A选项正确； 对于B选项，当时，，当时，，故B选项正确； 对于C选项，当时，函数的值域为，故函数一定不存在最大值，故C选项正确； 对于D选项，当时，时，函数的值域为， ，函数的值域为，故分段函数存在最小值，最小值为，故D选项错误. 故选：ABC 【变式3-2】（多选）（22-23高一上·江苏常州·期末）已知函数的最小值为，则的可能取值是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】AB 【分析】根据二次函数的单调性、对钩函数的单调性，结合最小值的性质进行求解判断即可. 【详解】函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，函数， ，对称轴为， 当时， 当时，， 要想函数的最小值为，只需，即， 显然选项AB符合， 当时， 当时，，显然不是， 综上所述：只有选项AB符合条件， 故选：AB 【变式3-3】（22-23高一上·江苏连云港·期末）已知函数，． (1)当时，求的最值； (2)若的最小值为，求实数的值． 【答案】(1)，； (2)或. 【分析】（1）把代入后结合二次函数在区间上的单调性即可求解最值； （2）由已知结合对称轴与已知区间的位置关系进行分类讨论进而求解即可. 【详解】（1）时，，                                 关于对称， 当时，单调递减，当时，单调递增． ，， ∴． （2）， 对称轴为，函数图象开口向上，                                  ①当时，在上单调递增， 所以，即，∴； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，无解； ③当时，在上单调递减， 所以，即，∴， 综上，当时，或． 【变式3-4】（18-19高一上·江苏南通·期末）若函数， （1）若函数为奇函数，求m的值； （2）若函数在上是增函数，求实数m的取值范围； （3）若函数在上的最小值为，求实数m的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【分析】（1）由奇函数得到，代入计算得到答案. （2）讨论，，三种情况，分别计算得到答案. （3）根据（2）的讨论，分别计算函数的最小值，对比范围得到答案. 【详解】（1）是奇函数，定义域为 ，令，得， 经检验：时，． （2）①时，开口向上，对称轴为， 在上单调递增 ②时，开口向下，对称轴为， 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，，． ③时， 函数在和上单调递增，则上单调递减， 在上不单调，不满足题意. 综上所述：的取值范围是． （3）由（2）可知 ①时，，在上单调递增， 解得或 ②时，， 在上单调递增，在上单调递减， 当即时， 解得：（舍） 当即时， 解得：，， ③时， 函数在和上单调递增，则上单调递减， 当时， 解得：（舍） 综上所述：或． 【点睛】本题考查了函数的奇偶性，单调性，最值，意在考查学生的分类讨论的能力和计算能力. 【考点题型四】函数奇偶性的定义 方法总结： 1．定义法：利用奇、偶函数的定义或定义的等价形式：＝±1(f(x)≠0)判断函数的奇偶性． 2．图象法：利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性． 3．验证法：即判断f(x)±f(－x)是否为0. 4．性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上，有下面结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 【例4】（22-23高一上·江苏南京·期末）下列函数中，既是奇函数，又在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇函数的定义和基本函数的单调性逐个分析判断 【详解】对于A，的定义域为，因为定义域不关于原点对称，所以此函数为非奇非偶函数，所以A错误， 对于B，的定义域为，因为，所以此函数为奇函数， 因为在上为增函数，所以B正确， 对于C，在上为减函数，所以C错误， 对于D，的定义域为，因为，所以此函数为偶函数，所以D错误， 故选：B 【变式4-1】（22-23高一上·江苏宿迁·期末）对于定义在上的函数，下列说法正确的是（    ） A．若，则函数是增函数 B．若，则函数不是减函数 C．若，则函数是偶函数 D．若，则函数不是奇函数 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义分别进行判断即可． 【详解】函数单调递增，需要变量大小关系恒成立，故A错误， 若，则函数一定不是减函数，故B正确， 若恒成立，则是偶函数，故C错误， 当时，也有可能是奇函数，故D错误， 故选：B． 【变式4-2】（多选）（20-21高一上·江苏泰州·期末）下列说法正确的是（    ） A．若定义在上的函数满足，则是偶函数 B．若定义在上的函数满足，则不是偶函数 C．若定义在上的函数满足，则在上是增函数 D．若定义在上的函数满足，则在上不是减函数 【答案】BD 【解析】取函数，可判断A选项的正误；利用函数奇偶性的定义可判断B选项的正误；取函数，可判断C选项的正误；利用反证法可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，取函数，则， 函数的定义域为，，此时，函数为奇函数，A选项错误； 对于B选项，若函数为定义在上的偶函数，对任意的，必有， 因为，所以，不是偶函数，B选项正确； 对于C选项，取函数，则，，， 但函数在上不单调，C选项错误； 对于D选项，假设函数是定义在上的减函数，则，这与题设矛盾， 假设不成立，所以，函数在上不是减函数，D选项正确. 故选：BD. 【变式4-3】（22-23高一上·江苏连云港·期末）已知a∈R，函数的图象经过点． (1)求实数a的值； (2)判断的奇偶性并证明； (3)判断在区间上的单调性并证明． 【答案】(1)2； (2)奇函数，证明见解析； (3)减函数，证明见解析. 【分析】（1）把给定点的坐标代入函数解析式求出a值作答. （2）利用奇函数定义推理判断作答. （3）利用函数式判断单调性，再利用函数单调性定义推理作答. 【详解】（1）因函数的图象经过点，则，解得， 所以实数a的值2. （2）由（1）知，，函数定义域为，是奇函数， ， 所以函数是奇函数. （3）函数在上是减函数， ， ，因，则，， 因此，即， 所以函数在上是减函数. 【变式4-4】（20-21高一上·江苏镇江·期末）已知函数. （1）判断并证明函数的奇偶性： （2）用定义证明函数在上为减函数： （3）已知，且，求x的值. 【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）证明见解析；（3）或. 【解析】（1）由已知得函数的定义域关于原点对称，再由，可得结论； （2）任取，作差 ，判断其差的符号，可得证； （3）由三角函数的值域和（1），（2）的结论可得在也是减函数，由此可得，解之可得答案． 【详解】解.（1）奇函数；证明： 函数，定义域，关于原点对称，又， 故为奇函数； （2）任取， ， 因为，，，所以， 则， 所以在上为减函数. （3），，， 又在R上为奇函数且在为减函数，所以在也是减函数， 所以， 又，则或. 【点睛】方法点睛：利用定义判断函数单调性的步骤： 1、在区间D上，任取，令； 2、作差； 3、对的结果进行变形处理； 4、确定符号的正负； 5、得出结论． 【考点题型五】函数的奇偶性求解析式 方法总结： 利用函数的奇偶性求函数解析式的一般方法是: （1）“求谁设谁”，即求函数在哪个区间上的解析式，就设在哪个区间上; （2）利用已知区间的函数解析式进行化简，得到的解析式; （3）利用函数的奇偶性写出或，即可得到函数的解析式. 注意:若是R上的奇函数时，不要遗漏的情形. 【例5】（多选）（22-23高一上·江苏宿迁·期中）是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，函数，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D．当时， 【答案】ACD 【分析】由题意可得，把2代入求得可判断A；当时，，时，，由此可知，进而可判断BCD 【详解】因为是奇函数，是偶函数， 所以， 解得， 对于A：，故A正确； 由， 当时，， 所以， 当时，，， 所以， 又， 则有， ， 所以，故B错误； 对于C： ，故C正确； 对于D：由B可知，故D正确； 故选：ACD 【变式5-1】（22-23高一上·江苏扬州·期末）设是定义在上的奇函数，且当时，． （1）当时， ； （2）关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】（1）根据奇函数，利用换元法即可求出当时，的解析式； （2）分别对当，，三种情况解即可. 【详解】（1）当时，， 当时，，则， 是定义在上的奇函数， ， ； （2）当时，中，， 则，而， 在上无解； 当时， 是定义在上的奇函数， ，而， 在上无解； 当时，， 则，化为， ， 则， 令，， 与在上都为单调递增函数， 在上也为单调递增函数， ， 的解集为， 则当时，的解集为， 综上所述，的解集为. 【变式5-2】（23-24高一上·江苏淮安·期末）已知是定义在R上的函数，满足：，，且当时，． (1)求的值； (2)当时，求的表达式； (3)若函数在区间（）上的值域为，求的值． 【答案】(1)； (2) (3)或或. 【分析】（1）根据抽象函数的对称性和周期性计算即可； （2）根据奇函数的定义与性质计算即可； （3）根据二次函数的单调性先确定，再分类讨论计算即可. 【详解】（1）因为，， 所以， 故是奇函数，且为其一个周期，且关于轴对称， 所以； （2）结合（1）的结论可令，则， 所以； （3）由（1）（2）可知， 由二次函数单调性可知在上单调递增，且， 所以，则， 若，则，此时， 若，则，此时， 若，则，此时. 故的值为或或. 【变式5-3】（22-23高一上·江苏南京·期末）已知函数是定义在上的奇函数. (1)求实数，，的值； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)，，； (2) 【分析】（1）根据奇函数的定义即可求解； （2）分段讨论求解一元二次不等式，最后再求并集即可. 【详解】（1）因为时，， 若，则，所以， 因为函数是定义在上的奇函数，所以， 而时，，所以，，； （2）由（1）知， 当时，等价于，即，解得或， 又，所以； 当时，等价于，即，解得， 又，所以； 综上，不等式的解集为. 【变式5-4】（22-23高一上·江苏南京·期末）设函数和的定义域为，若是偶函数，是奇函数，且. (1)求函数和的解析式； (2)判断在上的单调性，并给出证明. 【答案】(1)， (2)单调递减，证明见解析 【分析】（1）根据函数奇偶性构造关于和得方程组，进而求出它们的解析式； （2）根据函数单调性定义进行证明. 【详解】（1）由，可得， 由为偶函数，为奇函数，可得， 则，； （2）由（1）得 在单调递减，证明如下： 取任意， 由，可得，则， 则， 则，则在单调递减. 【考点题型六】函数奇偶性的应用 方法总结： 利用奇偶性求函数值的思路： （1）已知求：判断的奇偶性与构造已知就行的函数，利用奇偶性找出与的关系即可； （2）已知两个函数的奇偶性，求由这两个函数的和、差构造出的新函数的函数值，可用替换后使用奇偶性变形，进而与原函数联立，解方程即可。 【例6】（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据求解即可. 【详解】由题意， 故，又，则. 故选：C 【变式6-1】（23-24高一上·江苏宿迁·期末）已知函数的定义域为R，函数是奇函数，．当时，．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析出函数的对称性和周期性，再根据求出值，最后利用对称性和周期性计算的值即可. 【详解】因为是奇函数，所以， 则，故， 又，所以，即， 所以，则的周期为， 当时，，又， 则，即，即，解得， 则当时，， 由，得，又， 则. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题的关键是通过函数的对称性和奇偶性解得，再通过其对称性和周期性求出的值. 【变式6-2】（23-24高一上·江苏泰州·期末）已知是定义域为的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C．4 D．12 【答案】C 【分析】由奇函数的性质代入求值即可. 【详解】由题意是定义域为的奇函数，当时，， 所以. 故选：C. 【变式6-3】(多选）（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知奇函数的定义域为，且满足：对任意的，都有设，且当时，的值域为，则下列说法正确的有（    ）． A． B．的一个周期是 C．在上的值域为 D．的图象关于直线轴对称 【答案】ABC 【分析】根据给定条件，利用奇函数的性质、结合赋值法逐项分析判断即可. 【详解】对于A，由为上的奇函数，得，，A正确； 对于B，由，得，则的一个周期是，B正确； 对于C，显然函数的定义域为，，即是奇函数， 当时，的值域为，则当时，的值域为， 即函数在上的值域为，当时，，， 因此，C正确； 对于D，由，得，没有条件求得成立，D错误. 故选：ABC 【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可求解. 【变式6-4】（23-24高一上·江苏盐城·期末）若定义在区间上的函数满足：对于任意的，，都有，且时，有，若的最大值为，最小值为，则的值为 . 【答案】4048 【分析】先计算得到，再构造函数，定义法判断奇偶性，利用对称性有，即可求解. 【详解】令得，所以， 令得，所以， 令，则，， 因为，又定义域关于原点对称，所以是奇函数， 所以，即，所以. 故答案为：4048 【考点题型七】函数奇偶性解不等式 方法总结： 函数奇偶性的五个重要结论： (1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集． (4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 【例7】（23-24高一上·江苏盐城·期末）若函数是偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性和单调性，利用特殊函数法判断即可． 【详解】由于函数是偶函数，在区间上单调递增，且， 所以，且函数在上单调递减． 由此画出满足条件的一个函数的图象，如图所示，    由图可知，的解集是， 故选：B． 【变式7-1】（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知是定义域为的奇函数，当时，单调递增，且，则满足不等式的的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数奇偶性结合函数单调性求解不等式即可. 【详解】因为是定义域为的奇函数，所以， 当时，在上单调递增，且，， 当时，根据奇函数的性质可知在上单调递增，且， ， 所以. 故选：D. 【变式7-2】（23-24高一上·江苏南京·期末）已知是定义在上的偶函数，对任意，且，都有，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断出函数在上的单调性以及函数值正负情况，结合奇偶性，可判断函数在上的单调性，以及函数值的正负情况，由此可得不等式的解集. 【详解】由题意知对任意，且，都有，， 则在上单调递减，且当时，；当时，； 又是定义在上的偶函数，则在上单调递增，， 且当时，；当时，； 不妨画出图象示意图如图： 则不等式的解集是， 故选：A 【变式7-3】（22-23高一上·江苏宿迁·期中）是定义域为R的偶函数，满足，对于任意的且，都有成立．如果，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先构造函数，然后根据已知条件判断的奇偶性与单调性，根据构造的函数将问题转化为，最后根据的单调性与奇偶性解出参数的取值范围即可. 【详解】已知对于任意的，且，都有， 得，即. ，，. 令，得对于任意的，且，都有成立， 即得在上单调递减. 又 为偶函数， 为偶函数. 已知，，得，即. 为偶函数，故得. 又 在上单调递减， ，解得或. 故实数的取值范围为. 故答案为： 【变式7-4】（21-22高一上·江苏无锡·期末）已知函数，且为奇函数. (1)求的值； (2)判断函数的单调性并证明； (3)解不等式：. 【答案】(1) (2)函数在定义域上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）由函数为奇函数且定义为，，可求得a的值； （2）利用函数的单调性进行证明，即可求得答案； （3）利用函数是奇函数和函数在定义域上单调递增的性质解不等式，即可求得答案. 【详解】（1）由函数为奇函数且定义为 当时，可得的 故 则，得 （2）由（1）知 设 由在定义域内是单调增函数 ∵ ∴ 即 ∴ 即函数在定义域上单调递增. （3），且为奇函数， ∴ ∵函数单调递增 ∴ ∴ ∴不等式的解集为. 【考点题型八】恒成立问题 方法总结： 恒成立问题 ①x∈D，f（x）<a恒成立，则f（x）max<a ②x∈D，f（x）>a恒成立，则f（x）min >a ③x∈D， f（x）< g（x）恒成立， 则 F（x）=f（x）-g（x）<0，∴F（x）max<0 ④x∈D， f（x）> g（x）恒成立， 则 F（x）=f（x）-g（x）>0，∴F（x）min>0 【例8】（21-22高一上·江苏连云港·期末）已知函数. (1)解关于x的不等式 (2)若在区间(-∞,1]上恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）分，，，，讨论即得； （2）由题可得对于任意的，有恒成立，然后分类讨论求函数最值即得. 【详解】（1）当时，，不等式的解集为； 当时，由可得； 方程的根为，2， 当时，，不等式的解集为}； 当时, 当时，即，不等式的解集为； 当时，即，不等式的解集为或}； 当时，即，不等式的解集为或. （2）由，得， 所以对于任意的，有恒成立 设函数，对称轴为， ①当，即，时取得最小值， ， 解得， 所以. ②当，即，函数g(x)在单调递减， 所以时取得最小值，，解得， 所以. 综上有①，②得. 【变式8-1】（19-20高一下·江苏南通·期末）已知函数与，其中，，均为常数，且，，． （1）求，的值； （2）若对于任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）；；（2）. 【分析】（1）分别根据，．代入求值，求出，的值即可； （2）问题转化为恒成立，根据基本不等式的性质得到关于的不等式，解出即可． 【详解】解：（1）因为且，，所以； 又因为且，，所以． （2）因为对于任意恒成立，即恒成立 又因为 ，所以 即 解得，所以实数的取值范围为． 【点睛】本题考查了函数代入求值问题，考查函数恒成立以及基本不等式的性质，考查转化思想，属于中档题． 【变式8-2】（23-24高一上·江苏无锡·期末）设函数， (1)当时，判断的奇偶性，并说明理由； (2)当时，若对任意的，均有成立，求的最大值． 【答案】(1)非奇非偶函数；理由见解析 (2) 【分析】由题意得当时，函数，且函数的定义域为，利用函数奇偶性的定义进行判定，即可得出答案； 讨论去绝对值，然后讨论，以及对称轴与区间的位置关系，可求出与的关系式，然后分别求出的最大值，从而可求出所求． 【详解】（1）由题意得当时，函数，且函数的定义域为， ， ，， 是非奇非偶函数； （2）因为当时，若对任意的， 均有成立， 令， 当时，，对任意的恒成立， 即，解得，的最大值为； 当时，，， 对称轴为， ，则，不等号方向改变，即， 所以，则，的最大值为； 时，，即，所以，即，无解； 时，，所以，即， 即，所以无解； 当时，，， 对称轴为， ，则，即，无解； 时，，即，，，则， 则， ，的最大值为； 时，，，， 则且， ，则，的最大值为； 当时，， ，，， 即，则， 而， ，则， 令，， 则，即在上单调递减，在上单调递增， 又，， 所以的最大值为 综上所述，对任意的，均有成立， 则的最大值为所有最大值中的最小值 【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的判定，以及函数恒成立问题，同时考查了分类讨论的数学思想和转化的能力，属于难题． 【变式8-3】（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知二次函数的图像过点，满足且函数是偶函数，函数. (1)求二次函数的解析式； (2)若，使成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由待定系数法即可求得二次函数解析式； （2）由（1）可得在单调递增，结合条件转化为，然后构造函数，求得其最小值即可. 【详解】（1）设二次函数解析式为， 由题意可得，所以， 又函数是偶函数，则其函数图像关于轴对称， 所以的图像关于对称，即，所以， 故，所以. （2）由（1）可得，则， 当时，单调递增，则， 若，使成立， 即，即， 令， 当时，，不符合； 当时，在单调递减，则， 即，解得； 当时，在单调递增，， 即，解得，且，则； 综上所述，，即实数的取值范围为. 【变式8-4】（19-20高一上·江苏·期末）设函数且x，． （1）判断的奇偶性，并用定义证明； （2）若不等式在上恒成立，试求实数a的取值范围； （3）的值域为函数在上的最大值为M，最小值为m，若成立，求正数a的取值范围． 【答案】（1）奇函数；见解析（2）；（3） 【解析】（1）可看出是奇函数，根据奇函数的定义证明即可； （2）由题意可得出在上恒成立，然后令，，从而得出，只需，配方求出y的最小值，即可求解； （3）容易求出，从而得出时，，可讨论a：容易得出时，不符合题意；时，可知在上是减函数，在上是增函数，从而可讨论，和，然后分别求出在上的最小值和最大值，根据求出a的范围即可． 【详解】的定义域为， 且， 为奇函数； 若不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则，， 当，即时，函数取最小值，故； 是上的减函数， 在上的值域为， 在区间上，恒有， 时，在上单调递增， ，， ，解得，不满足； 时，在上是增函数， ，，不满足题意； 时，在上单调递减，在上单调递增， ，即时，在上是增函数， ，， ，解得； ，即时，在上单调递减， ，， ，解得； ，即时，在上单调递减， 在上单调递增， ，， 当，即时，， 解得，， 当，即时，， 解得，， 综上，a的取值范围是． 【点睛】本题考查了奇函数的定义及证明，指数函数的单调性，配方求二次函数最值的方法，换元法求函数最值的方法，函数的单调性，根据函数单调性求函数在闭区间上的最值的方法，考查了计算和推理能力，属于中档题． 【考点题型九】存在有解问题 方法总结： 存在性问题 ①xo∈D，使得 f（xo）< a 成立，则 f（x）min<a ②xo∈D，使得f（xo）>a成立，则f（x）max>a ③xo∈D，使得 f（xo）<g（xo）恒成立，则F（x）=f（x）-g（x）<0，∴F（x）min<0 ④xo∈D，使得 f（xo）> g（xo）恒成立，则 F（x）=f（x）-g（x）>0，∴F（x）max>0 【例9】（22-23高一上·江苏泰州·期末）解决下列问题： (1)若不等式对于恒成立，求实数的范围； (2)函数，若存在使得成立，求实数的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】对于（1），， 分两种情况讨论可得答案； 对于（2），存在使得等价于，其中. 【详解】（1）. ①当时，有，则符合题意； ②当时，有. 综上，实数的范围是. （2）存在使得等价于，其中. 又. ①当，在上单调递增， 则，得此时； ②当时，在在单调递减，在 上单调递增，则 或，结合，可知此时不存在； ③当时，在上单调递减， 则，结合，得此时不存在. 综上：实数的范围是 【变式9-1】（23-24高一上·江苏南京·期末）已知函数，函数. (1)求不等式的解集； (2)如果对于任意，都存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用函数单调性解不等式； （2）分别求出在上和在上的值域，利用包含关系求实数的取值范围. 【详解】（1）函数，定义域为R，， 函数为奇函数， 时，，则在上单调递增，所以在R上单调递增， 不等式，即，得，解得， 所以不等式的解集为. （2）函数在上单调递减，在上单调递增， ，，，则时； 在上单调递增，当时，， 依题意有：，解得. 所以实数的取值范围为. 【变式9-2】（20-21高一上·江苏扬州·期末）若函数的图象关于点中心对称，则对函数定义域中的任意，恒有.如：函数的图象关于点中心对称，则对函数定义域中的任意，恒有.已知定义域为的函数，其图象关于点中心对称，且当时，，其中实数，为自然对数的底. （1）计算的值，并求函数在上的解析式； （2）设函数，对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），；（2）. 【解析】（1）根据题意有，令得；当时，，代入及化简即可； （2）题意等价于的值域是值域的子集，讨论，情况下的值域是值域的子集成立时的范围. 【详解】（1）因为图象关于点中心对称，所以 则，即. 当时，， 则. 综上，. （2）设在区间上值域为， 在的值域为，则. 因为对任意，总存在， 使得成立，所以. ①当时，. 当时，， 当时，， 所以值域为. 又因为，所以，， 所以，符合题意. ②当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 又图象关于点中心对称， 所以在和上单调递减，在上单调递增， 又，，，， 因为，， 所以要使得，只需，解得. 又，所以. 综上，的取值范围是. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若若，，有，则的值域是值域的子集. 【变式9-3】（17-18高一上·江苏宿迁·期末）已知函数 ，且满足. （1）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （2）设函数，求在区间上的最大值； （3）若存在实数m，使得关于x的方程恰有4个不同的正根，求实数m的取值范围. 【答案】(1)见解析(2) 时，. (3) 【详解】试题分析：（1）根据确定a.再任取两数，作差，通分并根据分子分母符号确定差的符号，最后根据定义确定函数单调性（2）先根据绝对值定义将函数化为分段函数，都可化为二次函数，再根据对称轴与定义区间位置关系确定最值，最后取两个最大值中较大值（3）先对方程变形得，设,转化为方程方程在有两个不等的根，根据二次函数图像，得实根分布条件，解得实数m的取值范围. 试题解析：(1) 由，得或0. 因为，所以，所以.        当时，，任取，且， 则 ， 因为，则，， 所以在上为增函数；                （2），             当时，， 因为，所以当时，；   当时，， 因为时，所以，所以当时，； 综上，当即时，.        （3）由（1）可知，在上为增函数,当时，. 同理可得在上为减函数，当时，. 方程可化为，   即.                设,方程可化为.                          要使原方程有4个不同的正根， 则方程在有两个不等的根， 则有，解得， 所以实数m的取值范围为. 【变式9-4】（22-23高一上·江苏盐城·期末）已知函数是奇函数. (1)若，对任意有恒成立，求实数的取值范围； (2)设，若，问是否存在实数使函数在上的最大值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)不存在 【分析】先根据函数为奇函数得到，再结合函数的单调性，脱去得到在上恒成立，后根据二次函数恒成立得到实数的取值范围； 根据得到，利用，用换元法整理，再结合对数函数的单调性，得到真数的最值，后利用二次函数性质即可. 【详解】（1）， ， 因为奇函数，所以， 得， 所以， 若，因，， 所以， 故在上单调递减. 因对任意，恒成立， 所以在上恒成立 设 当时，，此时函数在区间上单调递增， 则，得， 当时，，此时函数在对称轴，时取得最小值， 则， 得， 又因，此时无解. 当时，，此时函数在区间上单调递减， 则，得， 又因，此时无解. 综上，实数的取值范围为. （2）若，则， 得，或（舍去） 所以. 设， 则， 当时，， 此时 ， 故当时在上的最小值为1， 当时，在上的最大值为1， 设， 当时，函数在处取得最小值， 此时，得（舍去）， 当时，函数的对称轴，函数在处取得最大值， 此时，解得（舍去）. 当时，函数的对称轴，函数在处取得最大值， 此时， 综上所述，不存在这样的实数. 【点睛】方法点睛：对于单调函数恒成立问题 若在上单调递增，，恒成立可转化为， 若在上单调递减，，恒成立可转化为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$