清单06 圆（20个考点梳理+题型解读+提升训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（华东师大版）

清单06 圆（20个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】 圆的定义及性质 圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形 成的图形叫圆。这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。 圆的表示方法：以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。 圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。 确定圆的条件：1）圆心；2）半径。 圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； 2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 【清单02】圆的有关概念 弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。 直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。 备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。 弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以为端点的弧记作，读作圆弧AB或弧AB。 等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。 劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。 【清单03】 圆心角的概念 圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。 【清单04】圆周角的概念 圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=） 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 【清单05】 圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在⊙中， ∵四边是内接四边形 ∴ 【清单06】垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； 2） 有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分 【清单07】点与圆的位置关系 设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有： d<r点P在⊙O内； d=r点P在⊙O上； d>r点P在⊙O外。 【清单08】过三点的圆 1、 过三点的圆 不在同一直线上的三个点确定一个圆。 2、 三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 3、三角形的外心 三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。 【清单09】直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 无交点； 2、直线与圆相切 有一个交点； 3、直线与圆相交 有两个交点； 、 【清单10】 切线的性质与判定定理 1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵且过半径外端 ∴是⊙的切线 2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线 【清单11】切线长定理 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵、是的两条切线 ∴；平分 【清单12】三角形的内切圆和内心 1、三角形的内切圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2、三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 注意：内切圆及有关计算。 （1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。 （2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。 （3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。 （4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。 如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。 B O A D 【清单13】圆内正多边形的计算 （1）正三角形 在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：； （2）正四边形 同理，四边形的有关计算在中进行，： （3）正六边形 同理，六边形的有关计算在中进行，. 【清单14】 与正多边形有关的概念 1、正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 2、正多边形的半径 正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 3、正多边形的边心距 正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。 4、中心角 正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 【清单15】 正多边形的对称性 1、正多边形的轴对称性 正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。 2、正多边形的中心对称性 边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。 3、正多边形的画法 先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。 【清单16】 扇形的弧长和面积计算 扇形：（1）弧长公式：； （2）扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积 【清单17】扇形与圆柱、圆锥之间联系 1、圆柱： （1）圆柱侧面展开图 = （2） 圆柱的体积： 2、圆锥侧面展开图 （1）= （2）圆锥的体积： 注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（） 【考点题型一】圆的定义及性质 【典例1】如图，中，，，以为圆心、为半径的圆交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的有关概念，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，先求得，再由等腰三角形的性质求出，则与互余，解题的关键是掌握等腰三角形的性质． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式1-1】已知是半径为5的圆的一条弦，那么的长不可能是（   ） A．1 B．5 C．3 D．11 【答案】D 【分析】本题考查了圆的半径，直径，弦的关系，掌握直径是圆中最长的弦是解题的关键． 根据圆的相关概念，及直径是圆中最长的弦的相关知识进行判定即可求解． 【详解】解：已知半径为5的圆， ∴该圆的中最长的弦即为直径，值为， ∴弦最长不能超过， ∴D选项不符合题意， 故选：D ． 【变式1-2】已知是的弦，且，，则的半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查圆的基本性质，勾股定理，作出图形是解决问题的关键，由，，可知，再结合勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，∵，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 【考点题型二】运用垂径定理直接求线段的长度 【典例2】如图，是的直径，弦于点，若，． (1)求线段的长； (2)求弦的长． 【答案】(1)线段的长为； (2)线段的长为． 【分析】（）根据，，则，故有，然后利用线段和差即可求解； （）由得，，然后由勾股定理求出的长即可； 本题考查了圆的有关性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴线段的长为； （2）解：由（）得，， ∵， ∴，， ∴由勾股定理得：， ∴， ∴线段的长为． 【变式2-1】如图，线段是的直径，弦于．如果，，那么的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，由垂径定理得，在中，勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：设的半径为， ∵弦于，， ∴， ∵， ∴， 在中， ∴ 解得： ∴，， 故选：A． 【变式2-2】把一个球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，求这个球的直径 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理．过作于交于，求得，设半径为，则，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：过作于交于，如图所示： 则， 设半径为，则， 根据勾股定理得，， 解得：， 这个球的直径为． 故答案为：． 【变式2-3】如图，已知圆O的弦的长为8，弦的弦心距的长为3，则圆O半径的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了垂径定理的性质和勾股定理，根据题意连接，根据垂径定理及勾股定理解答即可． 【详解】解：连接，由垂径定理知， ， ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∴的半径长为5． 故答案为：5． 【变式2-4】点P到的点最短距离为，最长距离为，则的半径为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查点和圆的位置关系，分别考虑点P在圆内和点P在圆外两种情况是解题的关键．根据点P在圆内时，圆的直径为最短距离与最长距离的和，点P在圆外时，圆的直径为最长距离与最短距离的差，由此即可得出答案． 【详解】若点P在圆内，如图①， 则，， ， 的半径为． 若点P在圆外，如图②， 则，， ， 的半径为． 故答案为：或． 【考点题型三】垂径定理的实际应用 【典例3】如图，隧道的截面由圆弧和矩形构成，矩形的长为宽为，隧道的顶端E（圆弧的中点）高出道路（） (1)求圆弧所在圆的半径： (2)如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高宽，那么这辆货运卡车能否通过该隧道? 【答案】(1) (2)能通过，见解析 【分析】（1）设圆心为点O，半径为，再根据垂径定理、勾股定理即可求解； （2）在圆弧上取一点H，过点H作于点G，且使得， 根据勾股定理，得，进而求出点G到到的距离，然后与车高进行大小比较即可． 本题考查了勾股定理，垂径定理，平行线的性质，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】（1）解：设圆心为点O，半径为，连接，设与交于点F， ∵ 隧道的顶端E是圆弧的中点，高出道路（）， ∴， ∵ 矩形的长为宽为， ∴，且之间的距离为， ∴，， ∴， 根据勾股定理，得， 解得， 故圆弧所在圆的半径为． （2）解：在圆弧上取一点H，过点H作于点G，且使得， 根据勾股定理，得， 由点O到的距离为， 故点G到到的距离为， 故这辆货运卡车能通过该隧道． 【变式3-1】“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.7m，地面入口宽为1.8m，求该门洞的半径． 【答案】该门洞的半径为． 【分析】本题主要考查垂径定理的应用．设半径为，根据垂径定理和勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设圆的半径为， 由题意可知，，，， 中，，即， 解得． 答：该门洞的半径为． 【变式3-2】如图，一座石桥的主桥拱是四弧形，某时刻添得水面的宽度为8米，拱高（的中点C到水面的距离）为2米． (1)求主桥拱所在圆的半径． (2)在主桥拱所在圆的圆心处有一水位检测仪，若过几天某时刻的水面为，检测仪观测点的仰角为，求此时水面的宽度．（参考数据：，，） 【答案】(1)主桥拱所在圆的半径长为5米 (2)此时水面的宽度约为9米 【分析】（1）连接，，构造，通过垂径定理得出是直角三角形，再利用勾股定理即可求解． （2）设与相交于点，根据平行线的性质得出，为直角三角形，再利用锐角三角形的余弦值即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，． ∵是的中点，， ∴，所在的直线经过圆心． 设半径，则． ∵在中，， ∴，解得． 答：主桥拱所在圆的半径长为5米． （2）（2）如图，设与相交于点． 由题意得． ∵，∴． ∵， ∴，∴． ∵在中，， ∴， ∴． 答：此时水面的宽度约为9米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形及应用，涉及垂径定理，勾股定理的应用及平行线的性质等知识，解决问题的关键是学会添加辅助线，构造直角三角形解决问题． 【变式3-3】如图，某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽为，离地面的高度，拱顶最高处C离地面的高度为．若在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等，都为． (1)求圆弧形拱顶的半径的长度； (2)求的长度． 【答案】(1)13m (2)10m 【分析】本题考查了垂径定理的应用： （1）设与交于G，与交于H，根据题意和垂径定理可得，，，利用勾股定理求半径即可； （2）利用勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）解：设与交于G，与交于H． ，，，， ，，， 设圆拱的半径为r， 在中，， ， 解得， 圆弧形拱顶的半径的长度为； （2）解：， ， 在中，， ， 解得， ， ． 【考点题型四】同心圆 【典例4】如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点C、D． (1)求证； (2)若，大圆和小圆的半径分别为12和8，则的长度是 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，圆与圆的位置关系，勾股定理，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）过点作于点，利用垂径定理及等式的性质即可求证； （2）连接，设，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，即可建立方程，解方程即可，利用求解． 【详解】（1）证明：过点作于点， ∵过圆心， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， 设， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【变式4-1】如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于C、D两点，若，． (1)求证：； (2)若大圆半径为，求小圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）作，垂足为E，根据垂径定理求出，，得到，即可推出； （2）连接，，在中，利用勾股定理求出，在中，利用勾股定理求出． 【详解】（1）证明：作，垂足为E， 由垂径定理知，点E是的中点，也是的中点， ∴，， ， 即； （2）解：连接，， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴小圆的半径为． 【变式4-2】如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点B、C． (1)求证： (2)当时，求大圆与小圆的面积之差． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）过点作于点，利用垂径定理可得，，即可证明； （2）连接，作于点E，根据垂径定理得，，再根据圆的面积公式，勾股定理和平方差公式计算即可． 【详解】（1）证明：如下图，过点作于点， 则，， ∴， 即； （2）解：如图，连接，作于点E，则，，    大圆与小圆的面积之差为： ． 【变式4-3】高致病性禽流感是—种传染性极强的传染病． (1)养殖场有4万只鸡．假设有一只鸡得了禽流感，如果不采取任何措施，那么第二天将新增病鸡10只，到第三天又将新增病鸡100只，以后每天新增病鸡数依此类推，请问到第四天，共有多少只鸡得了禽流感？到第几天，所有的鸡都会感染禽流感？ (2)为防止禽流感蔓延，防疫部门规定：离疫点3千米范围内为捕杀区，所有的禽类全部捕杀；离疫点3~5千米范围内为免疫区，所有的禽类强制免疫；同时对捕杀区和免疫区的村庄，道路实行全封闭管理．现有一条笔直的公路通过禽流感病区．如图所示，O为疫点，到公路的最短距离为1千米，问这条公路在该免疫区内有多少千米？（结果保留根号） 【答案】(1)第四天共有只鸡得了禽流感；到第六天所有鸡都会被感染； (2) 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，数字类的规律探索： （1）根据题意可得规律第n天新增只病鸡，据此求出第四天，第五天，第六天得了禽流感的鸡的数量即可得到答案； （2）过点O作于E，利用勾股定理求出，再利用垂径定理求出的值即可． 【详解】（1）解：第一天新增1只病鸡， 第二天新增10只病鸡， 第三天新增100只病鸡， ……， 以此类推，可知，第n天新增只病鸡， ∴第四天共有只鸡得了禽流感； 到第五天得禽流感病鸡数为只 到第六天得禽流感病鸡数为， ∴到第六天所有鸡都会被感染； （2）解：如图所示，过点O作于E， 由题意得，， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得 ， 由垂径定理可得， ∴， ∴这条公路在该免疫区内有． 【考点题型五】圆周角与圆心角的运用 【典例5】如图，点A，B，C、D四点均在上，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，等边对等角等知识点，能求出的度数是解此题的关键． 根据平行线的性质得出，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，求出的度数，根据圆内接四边形的性质得出，再求出答案即可． 【详解】解：连接， ，， ， ，， ， ， 四边形是的内接四边形， ， ． 故选：B． 【变式5-1】如图，点A，B，C在上，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：D． 【变式5-2】如图，是的直径，点，在上，．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，圆心角、弧、弦的关系，掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键． 根据，求出，再根据等弧所对的圆周角相等得出，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式5-3】如图， 点A， B， C均在上， 若， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了圆周角定理、等边对等角、三角形内角和定理等知识．先利用等边对等角求出，由三角形内角和定理求出，最后由圆周角定理即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴, 故选：A 【考点题型六】圆内接四边形的综合运用 7【典例6】如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理；先根据圆周角定理计算出，然后根据圆内接四边形的性质求的度数． 【详解】解： ，而， ﹣． 故选：A． 【变式6-1】如图，在内，若圆周角，则圆心角的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，在优弧上取一点，连接，利用圆内接四边形的性质得到，然后根据圆周角定理得到的度数，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：在优弧上取一点，连接，如图， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【变式6-2】如图，四边形是的内接四边形，连接，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，先由圆周角定理得到，再由圆内接四边形对角互补可得． 【详解】解；∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 故选：D． 【考点题型七】点与圆的位置关系 【典例7】已知的半径是5，点P到圆心O的距离是7，则点P在（　　） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系．熟练掌握点到圆心的距离大于圆的半径，点在圆外，是解题关键．根据点P到圆心O的距离大于圆的半径，可知点P在外． 【详解】解：∵的半径为5，点P到圆心O的距离为7，且， ∴点P在外． 故选：C． 【变式7-1】已知的半径为2，点到圆心的距离为1，则点在（    ） A．内 B．上 C．外 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系：当点到圆心距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离大于半径时，点在圆外． 根据点到圆心的距离即可得出答案． 【详解】解∶根据题意可知：点到圆心距离1半径2， ∴点在内， 故选：A． 【变式7-2】若点在内，且，则的半径可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点在圆内即可判断求解，掌握点和圆的位置关系是解题的关键． 【详解】解：∵点在内，且， ∴的半径大于， ∴的半径可能为， 故选：． 【考点题型八】确定圆的条件 【典例8】如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查了确定圆的条件，根据不在一条直线上三点确定一个圆即可解得，解题的关键是熟练掌握圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，只要有一段弧，即可确定圆心和半径， ∴小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是， 故选：B． 【变式8-1】如图，在每个小正方形边长为1 的网格图中，经过格点、、，则该弧所在圆的半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，确定圆心，作的垂直平分线交于点，连接，勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，作的垂直平分线交于点，连接， ∴， 故答案为：． 【变式8-2】若过平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，圆的确定，根据不在同一直线的三个点确定一个圆，得到当点不在直线上，三个点确定一个圆，进行求解即可． 【详解】解：∵、， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， ∴当时，， ∴当时，平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆， 故答案为：4 【考点题型九】根据三角形的外接圆的性质的运用 【典例9】如图，在平面直角坐标系中，若的三个顶点都在格点上，则的外心坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心、两点间的距离公式，假设的外接圆的圆心为点，则点必在线段的垂直平分线上，即点的纵坐标为，设点，由三角形外接圆的性质得，得出，求出的值，即可得出答案． 【详解】解：假设的外接圆的圆心为点，则点必在线段的垂直平分线上，即点的纵坐标为， 设点， 由图可得：，， 由三角形外接圆的性质得， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 【变式9-1】如图，在中，，于点，且，则面积的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的外接圆的半径，垂径定理，作的外接圆，连接，，，过点作于点，根据圆周角定理可得，则，设的半径为，则，，根据得出，求得半径的范围，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】作的外接圆，连接，，，过点作于点，    ， ， ， ， 设的半径为，则，， ， ， ， 解得：， ， ， 的面积的最小值为， 故答案为：. 【变式9-2】如图，内接于，为的直径，，，则 ． 【答案】15 【分析】本题考查了三角形外接圆与外心，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．连接，根据圆周角定理得到，根据三角形的内角和定理得到，根据等腰三角形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：连接， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：15． 【变式9-3】（1）如图，已知，用尺规作图画出的外接圆（不写画法，保留作图痕迹）； （2）若是直角三角形，且，，则的外接圆的半径为______． 【答案】（1）见解析；（2）． 【分析】本题考查了作图—复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形的外接圆和圆周角定理． （1）作和的垂直平分线，它们相交于点，然后以点为圆心，为半径作圆即可； （2）根据圆周角定理得到为直角的直径，从而得到的外接圆的半径． 【详解】解：（1）如图，为所作； （2）， 为的外接圆的直径， 的外接圆的半径． 故答案为：． 【考点题型十】直线与圆的位置关系的判定 【典例10】已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 【答案】B 【分析】本题主要考查解一元二次方程以及直线和圆的关系，熟练掌握直线和圆的关系是解题的关键．先解一元二次方程，得到圆的半径，比较半径与圆心到直线的距离的大小，即可得到答案． 【详解】解： ， ， 解得， 的半径是， ， 直线与的位置关系是相交． 故选B． 【变式10-1】已知中，，，以点为圆心，以长为半径作圆，则与的位置关系是（    ）    A．相离 B．相切 C．相交 D．外离 【答案】D 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系与数量之间的关系：圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离．过点A作于点D，根据等腰三角形三线合一求得的值，再利用勾股定理可求得的长，把与圆的半径4比较大小，根据直线与圆的位置关系即可求解． 【详解】过点A作于点D，    根据等腰三角形三线合一得：， 根据勾股定理得：， 以长为半径的与的位置关系是相离， 故选：D． 【变式10-2】如图，中，以点A为圆心，r为半径作，当时，与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了由三角函数解直角三角形，直线和圆的位置关系等知识，根据中，， ，求出的值，比较与半径的大小，即可得出与的位置关系．利用勾三角函数解求出是解题的关键． 【详解】解：∵中，， ， ∴ ∵， ∴， 当时，与的位置关系是：相切， 故选：B． 【变式10-3】已知的半径是，点在上，如果点到直线的距离是，那么与直线的位置关系是 （   ） A．相交 B．相离 C．相切或相交 D．相切或相离 【答案】D 【分析】此题考查直线与圆的位置关系，掌握数形结合是解题的关键．根据圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的大小关系解答． 【详解】解：如图，      当点 与 重合时， 与直线 相切； 当点 与 不重合时， 与直线 相离， ∴ 与直线 的位置关系是相切或相离． 故选：D． 【考点题型十一】利用切线的性质求有关的角度/边长的运算 【典例11】如图，已知、分别切于、，切于，，，则周长为（     ） A．20 B．22 C．24 D．26 【答案】C 【分析】本题考查切线的性质、切线长定理，根据切线的性质得到，根据勾股定理求出的长，根据切线长定理、三角形周长公式计算即可． 【详解】 、分别切于、， ，， ， 、分别切于、，切于， ，， ， 故选：C． 【变式11-1】如图，射线与相切于点B，经过圆心O的射线与相交于点D、C，连接，若，则 ． 【答案】24 【分析】本题考查了切线的性质，三角形外角性质和等腰三角形的性质．连接，如图，利用切线的性质得，再利用互余得到，然后根据三角形外角性质和等腰三角形的性质计算∠C的度数． 【详解】解：连接，如图， ∵边与相切， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：24． 【变式11-2】如图，，是的切线，若，， ． 【答案】 【分析】本题考查的是切线的性质、等边三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键，根据切线的性质得到，，根据等边三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵，是的切线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：． 【变式11-3】如图，AB是的直径，AC与相切，A为切点，连接BC交于点D．已知，则的度数为 ． 【答案】/50度 【分析】此题考查了切线的性质以及圆周角定理推论．熟练掌握圆的切线垂直于经过切点的半径，直径对的圆周角是直角，是解决问题的关键． 根据圆切线性质得到，得到，根据直径性质得到，得到． 【详解】解：∵与相切， ∴． 又∵， ∴． ∵是的直径， ∴． ∴． 故答案为：． 【变式11-4】如图，是⊙的直径，、、、是上的点，过点作为切线交延长线于点，若，，则半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查切线的性质，连接，设的半径为，证明和都是等边三角形，得，继而得到，根据切线的性质得，，根据角所对的直角边等于斜边的一半得，即可得解．解题的关键是掌握切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径． 【详解】解：连接，设的半径为， ∴， ∵，， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴半径是是． 故答案为：． 【考点题型十二】切线的性质与判定的综合运用 【典例12】如图，在中，是的直径，与相切于，连接，过点作，与交于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用切线的性质得到，利用平行线性质结合等量代换得到，证明,得到，即可证明是的切线； （2）连接，利用圆周角定理得到，利用勾股定理得到，证明，利用相似的性质即可得到的长度． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的切线， ， ， ， ，， 又， ， ， 在和中， ， ， ， ， 又是的半径， 是的切线； （2）如图，连接， 是的直径，， ，， 在中，，， 又， ， ，即， 解得：． 【点睛】本题考查了切线的性质与判定，平行线性质，全等三角形性质和判定，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，相似三角形性质和判定，掌握以上知识是解题的关键． 【变式12-1】如图，已知是的直径，交于点D，E是的中点，与交于点F，． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由E是的中点可得，进而可得．再证，即可求证是的切线． （2）先根据求出，再证，则可得，进而可得，最后再根据勾股定理即可求出的长． 本题考查了勾股定理，与圆有关的计算，涉及圆切线的证明，锐角三角函数等知识点，正确作出辅助线，熟练掌握好圆切线的判定与性质以及能熟练解直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵E是的中点， ∴， ， ， ， 是的直径， ， ， ， 即， ， 是圆的直径， 是的切线； （2）解：在中，， ， 是的切线， ， 是圆的直径， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式12-2】如图，与相切于点为的直径，为上的一点，且．的延长线相交于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）连接，证明，，  可得，从而可得结论； （2）证明，设的半径为，利用，再建立方程求解即可； 【详解】（1）证明：连接， 是的切线 ， ，即， 在和中 ， ，   ， ， 又是的半径 ， 是的切线； （2）解： ，   ， ∴ 设的半径为， 在中，， ∵，   ，解得， 检验：当时，， 是原方程的解． 的半径是4； 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 【变式12-13如图，为等腰三角形，是底边的中点，腰与半圆相切于点，底边与半圆交于，两点． (1)求证：与半圆相切； (2)连接．若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，角平分线的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）连接、，作交于，根据等腰三角形三线合一可知，，平分，结合与半圆相切于点，可推出，得证； （2）由题意可得出，根据，在中利用勾股定理可求得的长度，从而得到的长度，最后根据即可求得答案． 【详解】（1）证明：连接、，作交于，如图 为等腰三角形，是底边的中点 ，平分 与半圆相切于点 由 是半圆的切线 （2）解：由（1）可知， ， ， 又 ， 在中，， ， 解得： 【考点题型十三】利用切线长定理的性质求线段长度或周长 【典例13】如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若， ，则的长为 ．    【答案】 【分析】连接、，根据切线的判定可证是的切线，再根据切线长定理可得，，由切线的性质可得，再由平行线的性质与等腰三角形的判定可得，可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接、， ∵，是的半径， ∴是的切线， ∵是的切线， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题考查切线的判定与性质、切线长定理、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质和切线长定理是解题的关键． 【变式13-1】如图，、分别为相切于点、，的切线分别交、于点、，切点在上，若的周长为18，则长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查切线的性质，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，再根据三角形的周长进行计算即可． 【详解】解： 切相切于点， ， 切相切于点， ， 切相切于点， ， 的周长为18， ， ， 故答案为：． 【变式13--2】如图，分别切⊙于两点，点为上一点，过点作⊙的切线分别交于两点，若的周长为10，则切线长等于 ． 【答案】5 【分析】本题考查切线长定理，根据切线长定理可得，，结合的周长 ，即可求解． 【详解】解：∵分别切⊙于两点， ∴ 又∵过点作⊙的切线分别交于两点， ∴ ∵的周长为10， ∴ ∴， 故答案为：． 【考点题型十四】三角形的内切圆与内心 【典例14】如图，在中，，其内切圆分别与、、相切于点D、E、F，若，，则圆的半径为（   ） A．2 B．4 C．5 D．3 【答案】D 【分析】本题考查切线长定理、正方形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．根据切线长定理得：，，，先证明四边形是正方形，再利用勾股定理列方程可得的长，即可求解． 【详解】解：如图，设在内切圆圆心为点，连接， 的内切圆分别与、、相切于点、、， ，，，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 在中，， ， 解得：（负值舍去， ， 圆的半径为3， 故选：D． 【变式14-1】如图，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，，则的周长为（    ） A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】A 【分析】本题考查切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，根据即可得到的周长． 【详解】解：∵的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且， ∴，，， ∵， ∴， ∴的周长， 故选：A． 【变式14-2】如图，是的内切圆，切点分别为D，E，F，且，，，则的半径是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】设，利用切线长定理，构建方程，解方程即可解决问题． 【详解】解：在中， ∵，，， ∴， ∵为的内切圆，切点分别为D，E，F， ∴，，， 如图，连接， ∵， ∴∠ODC=∠A=∠OFA=90°， ∴四边形是正方形， 设，则，， ∵， ∴， ∴， 则圆O的半径为2． 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线长定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 【变式14-3】中，，点是内心，那么 ． 【答案】/124度 【分析】本题考查了三角形的内心的定义，熟知三角形的内心是三角形角平分线的交点是解题关键．先求出，根据内心的定义得到，即可求出，最后求出． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵I是内心， ∴、分别平分、， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【考点题型十五】正多边形与圆求角度 【典例 15】已知一正多边形的一个外角等于，则该正多边形的中心角等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，熟悉掌握中心角的求法是解题的关键． 根据外角的度数求出多边形的边数，再由中心角求解即可． 【详解】解：∵正多边形的一个外角等于， ∴，此正多边形为边形， ∴中心角， 故选：D． 【变式15-1】一个正多边形的中心角为，则该正多边形的边数为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题考查的是正多边形中心角．熟练掌握中心角的计算公式是解题的关键． 根据正n边形的中心角的度数为，进行计算即可得到答案． 【详解】解：设正多边形的边数为n， 则有， 解得， 是所列方程的解，且符合题意， ∴该正多边形的边数为6． 故选：A． 【变式15-2】正多边形的一部分如图所示，若，则该正多边形的边数为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理．连接，，根据圆周角定理得到，即可得到结论． 【详解】解：连接，， 、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心， 点、、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ， ， 这个正多边形的边数． 故选：B． 【考点题型十六】正多边形与直角坐标系综合 【典例16】如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形绕O点顺时针旋转i个，得到正六边形，当时，顶点C的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以O为圆心，为半径作 得到将边长为1的正六边形绕点O顺时针旋转i个，即把绕点O顺时针旋转i个，与重合，利用正六边形的性质与锐角三角函数求解的坐标，根据对称性从而可得答案． 【详解】解：如图以O为圆心，为半径作 ； 将边长为1的正六边形绕点O顺时针旋转i个； 即把绕点O顺时针旋转i个； C旋转后对应点依次为，，……； ∵1周； ∴绕点O顺时针旋转12次回到原位置； ∵； ∴与重合； 如图： ∵多边形是正六边形； ∴每个内角为； 即； ∵正六边形是轴对称图形； ∴ ∵； ∴； ∴坐标为； 由对称性得点，， 即的坐标为； 故选：A． 【点睛】本题考查的是旋转的性质，正六边形的性质，对称性，锐角三角函数，掌握旋转的性质和轴对称以及中心对称是解题的关键； 【变式16-1】蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为，，则点M的坐标为（    ）        A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形与圆，解直角三角形等知识，设中间正六边形的中心为D，连接．判断出，的长，可得结论． 【详解】解：设中间正六边形的中心为D，连接．      ∵点P为，图中是7个全等的正六边形， ∴， ∴， 根据题意知垂直平分 ∴， ∴， 又Q的坐标为， ∴， ∵是等边三角形， ∴ ∴，即， 解得，， ∴， ∵点M在第四象限， ∴点M的坐标为， 【变式16-2】如图，正六边形ABCDEF的半径，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接OB，设BC交x轴于M，根据正六边形的性质求得OB=OA=AB=2，∠AOB=∠ABO=∠OBC=60°，进而求得∠BOM=30°，∠BMO=90°，然后利用含30°角的直角三角形的性质求得BM和OM即可解答． 【详解】解：连接OB，设BC交x轴于M， ∵正六边形ABCDEF的半径， ∴OB=OA=AB=2，∠AOB=∠ABO=∠OBC=60°， ∴∠BOM=30°，∠BMO=90°， ∴BM=OB=1， ∴， ∴点B的坐标为（－，1）， 故选：A． 【点睛】本题考查正多边形和圆、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、坐标与图形，熟练掌握正六边形的性质是解答的关键． 【变式16-3】如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转i个45°，得到正六边形OAiBiCiDiEi，则正六边形OAiBiCiDiEi（i＝4）的顶点Ci的坐标是（    ） A．（1，﹣） B．（1，） C．（1，﹣2） D．（2，1） 【答案】A 【分析】由于正六边形旋转4次，每次转45°，所以点C与C4关于原点对称，可以直接把的C4坐标写出来． 【详解】解：∵正六边形旋转4次，即45°×4＝180°， ∴点C与C4关于原点对称， ∵C的坐标为（﹣1，）， ∴C4的坐标为（1，﹣）． 故选：A． 【点睛】本题考查正多边形与圆，中心对称，解题的关键是读懂正六边形OABCDE绕点O每次顺时针旋转45°． 【考点题型十七】弧长的计算 【典例17】如图，在4×4的正方形网格中，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到，则的长为（    ）   A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查弧长的计算、旋转的性质．由旋转的性质可知，再利用弧长公式，可求出的长． 【详解】解：由旋转的性质得，， 的长． 故选：A． 【变式17-1】如图，为半圆的直径，为半圆上一点，且，连接，以为圆心，长为半径画弧交于点，若，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理、弧长公式；先根据圆周角定理可得等腰是等腰直角三角形，从而可得，再根据勾股定理可得的长，最后根据弧长公式即可求解． 【详解】连接， ∵为半圆的直径 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴在等腰中， ∴的长 故答案为：． 【变式17-2】在认识圆锥主题活动课上，芳芳用半径，圆心角的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的高是 ． 【答案】 【分析】先利用弧长公式得到圆心角为，半径为的扇形的弧长为，根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，则可计算出圆锥的底面圆的半径为，然后根据勾股定理可计算出圆锥的高． 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式和勾股定理． 【详解】解：∵半径，圆心角的扇形纸板， ∴扇形的弧长为， 设圆锥的底面圆半径为r， ∴， 解得， 故圆锥的高为：， 故答案为：． 【变式17-3】如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，夹角为，的长为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式，解题关键是熟记弧长公式；根据弧长公式直接计算即可． 【详解】解：的长为 ， 故答案为： 【考点题型十八】计算扇形的面积 【典例18】如图，的半径都是1，顺次连接这些圆心得到五边形，则图中的阴影部分的面积之和为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查多边形的内角和以及扇形的面积公式．解决本题的关键是把阴影部分当成一个扇形的面积来求，圆心角为五边形的内角和． 首先求得五边形的内角和，然后利用扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：五边形的内角和是：， 则阴影部分面积之和是：， 故选：B． 【变式18-1】如图，在两个同心圆中，两圆半径分别为2，1，，则阴影部分面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了扇形面积公式，阴影部分的面积是一个环形，可用大圆中角所对的扇形的面积减去小圆中角所对的面积来求得． 【详解】解：， ∴阴影部分面积是． 故选：A． 【变式18-2】如图，在矩形中，，以点A为圆心，为半径的弧交于点，则阴影部分的扇形面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查扇形的面积，矩形的性质等知识，证明，再利用扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，, ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【变式18-3】在半径为2的圆中，一个扇形的圆心角是，则这个扇形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查求扇形面积，根据扇形面积公式为求解即可，也是解题关键． 【详解】解：这个扇形的面积是． 故答案为：． 【考点题型十九】计算不规则图形的阴影部分面积 【典例19】如图，中，，，，以点A为圆心、为半径画弧，交于点E，以点B为圆心、为半径画弧，交于点F，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查扇形面积的计算、含30度角的直角三角形、勾股定理，掌握特殊角的三角函数、扇形和三角形面积计算公式是解题的关键．求出，根据三角函数求出；利用扇形的面积公式，根据“阴影部分的面积扇形的面积扇形的面积三角形的面积”计算即可． 【详解】解：，，， ，， ， 阴影部分的面积为． 故选：A． 【变式19-1】如图，半径为6的沿弦折叠，弧恰好经过圆心O，则阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】连接，，过点作于交于．解直角三角形求出，勾股定理求出，然后求出，然后利用阴影部分的面积代数求解即可． 【详解】解：连接，，过点作于交于．    由题意垂直平分线段，， ， ∴， ， ， ， ， ， ∴阴影部分的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查翻折变换，垂径定理，勾股定理，解直角三角形，扇形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式19-2】如图，C为上一点，是的直径，，，现将绕点B按顺时针方向旋转后得到，交于点D，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了求其他不规则图形的面积，涉及了旋转的性质以及圆周角定理等知识点，连接，可推出是等边三角形、是等边三角形，进而得；根据，可得图中阴影部分的面积． 【详解】解：连接，如图所示： ∵是的直径，， ∴的半径为，且， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； 由旋转可知：， ∴， ∵， ∴是等边三角形； ∴， ∴； ∵， ∴图中阴影部分的面积， 故答案为： 【变式19-3】如图，在中，E为边中点．以C为圆心，为半径画弧，恰好经过点A．以C为圆心，为半径画弧，与相切于点F．若，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π） 【答案】 【分析】根据切线的性质得到，得到，根据平行四边形的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，，根据扇形、正方形、三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：与切于， ， 由题意可知：， ， 四边形是平行四边形， ， ， 为边中点， ，， ， ， ， ，， ， 四边形是正方形， 阴影部分的面积扇形的面积的面积正方形的面积扇形的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确地识别图形是解题的关键． 【变式19-4】如图，在长方形中，，以点D为圆心，长为半径画弧，交线段延长线于点E，点F为边上一点，若，连接，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积的计算及长方形的性质，明确是解答本题的关键． 用长方形的面积加上扇形的面积减去三角形的面积即可求得阴影部分的面积． 【详解】解：在长方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 【考点题型二十】某点弧形的运动轨迹弧长 【典例20】如图，一小孩在荡秋千，秋千的纤绳长为2米，当小孩在最低位置时，秋千底部距离地面米，当小孩达到最大高度时，秋千底部距离地面米，那么小孩从最低位置达到最高位置秋千底部所经过的路径长为（    ）． A．2米 B．π米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了求弧长，过点A作于点C，得出，求出，则，最后根据弧长公式，即可解答． 【详解】解：过点A作于点C， ∵当小孩在最低位置时，秋千底部距离地面米，当小孩达到最大高度时，秋千底部距离地面米， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴秋千底部所经过的路径长， 故选：C． 【变式20-1】如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，，将矩形绕点O逆时针旋转，则旋转后点B的对应点的坐标和点B在旋转过程中绕过的路径长分别是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理、矩形的性质以及旋转变换的性质，弧长的计算．利用勾股定理、矩形的性质以及旋转变换的性质，弧长公式解决问题即可． 【详解】解：连接， ∵是矩形， ∴， ∴点B的坐标为， 由旋转可得点的坐标为， ∵， ∴点B在旋转过程中绕过的路径长为 故选A． 【变式20-2】一块含角的直角三角板按如图所示的方式摆放，边与直线重合，．现将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上，则点A经过的路径长至少为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、弧长公式等知识点，掌握弧长公式成为解题的关键． 由旋转的性质可得,即，再根据点A经过的路径长至少为以B为圆心，以为半径的圆弧的长即可解答． 【详解】解：∵将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上， ∴,即， ∴点A经过的路径长至少为． 故答案为：． 【变式20-3】如图，一条直线上放着一个长方形①，它的长和宽分别为厘米和厘米，对角线为 厘米，让这个长方形依次顺时针旋转，最终长方形的点到达了点的位置，求点 所走过的总路程． 【答案】 【分析】本题考查弧长的计算，明确每一次旋转的运动轨迹是解题的关键．利用弧长公式求出每一段的路程即可求解． 【详解】解：以E为圆心旋转时，路程为：； 以F为圆心旋转时，路程为：； 以G为圆心旋转时，路程为：； 所以点 所走过的总路程为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单06 圆（20个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】 圆的定义及性质 圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形 成的图形叫圆。这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。 圆的表示方法：以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。 圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。 确定圆的条件：1）圆心；2）半径。 圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； 2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 【清单02】圆的有关概念 弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。 直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。 备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。 弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以为端点的弧记作，读作圆弧AB或弧AB。 等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。 劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。 【清单03】 圆心角的概念 圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。 【清单04】圆周角的概念 圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=） 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 【清单05】 圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在⊙中， ∵四边是内接四边形 ∴ 【清单06】垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； 2） 有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分 【清单07】点与圆的位置关系 设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有： d<r点P在⊙O内； d=r点P在⊙O上； d>r点P在⊙O外。 【清单08】过三点的圆 1、 过三点的圆 不在同一直线上的三个点确定一个圆。 2、 三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 3、三角形的外心 三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。 【清单09】直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 无交点； 2、直线与圆相切 有一个交点； 3、直线与圆相交 有两个交点； 、 【清单10】 切线的性质与判定定理 1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵且过半径外端 ∴是⊙的切线 2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线 【清单11】切线长定理 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵、是的两条切线 ∴；平分 【清单12】三角形的内切圆和内心 1、三角形的内切圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2、三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 注意：内切圆及有关计算。 （1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。 （2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。 （3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。 （4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。 如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。 B O A D 【清单13】圆内正多边形的计算 （1）正三角形 在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：； （2）正四边形 同理，四边形的有关计算在中进行，： （3）正六边形 同理，六边形的有关计算在中进行，. 【清单14】 与正多边形有关的概念 1、正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 2、正多边形的半径 正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 3、正多边形的边心距 正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。 4、中心角 正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 【清单15】 正多边形的对称性 1、正多边形的轴对称性 正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。 2、正多边形的中心对称性 边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。 3、正多边形的画法 先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。 【清单16】 扇形的弧长和面积计算 扇形：（1）弧长公式：； （2）扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积 【清单17】扇形与圆柱、圆锥之间联系 1、圆柱： （1）圆柱侧面展开图 = （2） 圆柱的体积： 2、圆锥侧面展开图 （1）= （2）圆锥的体积： 注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（） 【考点题型一】圆的定义及性质 【典例1】如图，中，，，以为圆心、为半径的圆交于点，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知是半径为5的圆的一条弦，那么的长不可能是（   ） A．1 B．5 C．3 D．11 【变式1-2】已知是的弦，且，，则的半径是 ． 【考点题型二】运用垂径定理直接求线段的长度 【典例2】如图，是的直径，弦于点，若，． (1)求线段的长； (2)求弦的长． 【变式2-1】如图，线段是的直径，弦于．如果，，那么的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式2-2】把一个球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，求这个球的直径 ． 【变式2-3】如图，已知圆O的弦的长为8，弦的弦心距的长为3，则圆O半径的长为 ． 【变式2-4】点P到的点最短距离为，最长距离为，则的半径为 ． 【考点题型三】垂径定理的实际应用 【典例3】如图，隧道的截面由圆弧和矩形构成，矩形的长为宽为，隧道的顶端E（圆弧的中点）高出道路（） (1)求圆弧所在圆的半径： (2)如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高宽，那么这辆货运卡车能否通过该隧道? 【变式3-1】“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.7m，地面入口宽为1.8m，求该门洞的半径． 【变式3-2】如图，一座石桥的主桥拱是四弧形，某时刻添得水面的宽度为8米，拱高（的中点C到水面的距离）为2米． (1)求主桥拱所在圆的半径． (2)在主桥拱所在圆的圆心处有一水位检测仪，若过几天某时刻的水面为，检测仪观测点的仰角为，求此时水面的宽度．（参考数据：，，） 【变式3-3】如图，某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽为，离地面的高度，拱顶最高处C离地面的高度为．若在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等，都为． (1)求圆弧形拱顶的半径的长度； (2)求的长度． 【考点题型四】同心圆 【典例4】如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点C、D． (1)求证； (2)若，大圆和小圆的半径分别为12和8，则的长度是 ． 【变式4-1】如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于C、D两点，若，． (1)求证：； (2)若大圆半径为，求小圆的半径． 【变式4-2】如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点B、C． (1)求证： (2)当时，求大圆与小圆的面积之差． 【变式4-3】高致病性禽流感是—种传染性极强的传染病． (1)养殖场有4万只鸡．假设有一只鸡得了禽流感，如果不采取任何措施，那么第二天将新增病鸡10只，到第三天又将新增病鸡100只，以后每天新增病鸡数依此类推，请问到第四天，共有多少只鸡得了禽流感？到第几天，所有的鸡都会感染禽流感？ (2)为防止禽流感蔓延，防疫部门规定：离疫点3千米范围内为捕杀区，所有的禽类全部捕杀；离疫点3~5千米范围内为免疫区，所有的禽类强制免疫；同时对捕杀区和免疫区的村庄，道路实行全封闭管理．现有一条笔直的公路通过禽流感病区．如图所示，O为疫点，到公路的最短距离为1千米，问这条公路在该免疫区内有多少千米？（结果保留根号） 【考点题型五】圆周角与圆心角的运用 【典例5】如图，点A，B，C、D四点均在上，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，点A，B，C在上，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，是的直径，点，在上，．若，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】如图， 点A， B， C均在上， 若， 则（    ） A． B． C． D． 【考点题型六】圆内接四边形的综合运用 7【典例6】如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（      ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，在内，若圆周角，则圆心角的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，四边形是的内接四边形，连接，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【考点题型七】点与圆的位置关系 【典例7】已知的半径是5，点P到圆心O的距离是7，则点P在（　　） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．不能确定 【变式7-1】已知的半径为2，点到圆心的距离为1，则点在（    ） A．内 B．上 C．外 D．无法确定 【变式7-2】若点在内，且，则的半径可能为（    ） A． B． C． D． 【考点题型八】确定圆的条件 【典例8】如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式8-1】如图，在每个小正方形边长为1 的网格图中，经过格点、、，则该弧所在圆的半径是 ． 【变式8-2】若过平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆，则 ． 【考点题型九】根据三角形的外接圆的性质的运用 【典例9】如图，在平面直角坐标系中，若的三个顶点都在格点上，则的外心坐标为 ． 【变式9-1】如图，在中，，于点，且，则面积的最小值为 ．    【变式9-2】如图，内接于，为的直径，，，则 ． 【变式9-3】（1）如图，已知，用尺规作图画出的外接圆（不写画法，保留作图痕迹）； （2）若是直角三角形，且，，则的外接圆的半径为______． 【考点题型十】直线与圆的位置关系的判定 【典例10】已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 【变式10-1】已知中，，，以点为圆心，以长为半径作圆，则与的位置关系是（    ）    A．相离 B．相切 C．相交 D．外离 【变式10-2】如图，中，以点A为圆心，r为半径作，当时，与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【变式10-3】已知的半径是，点在上，如果点到直线的距离是，那么与直线的位置关系是 （   ） A．相交 B．相离 C．相切或相交 D．相切或相离 【考点题型十一】利用切线的性质求有关的角度/边长的运算 【典例11】如图，已知、分别切于、，切于，，，则周长为（     ） A．20 B．22 C．24 D．26 【变式11-1】如图，射线与相切于点B，经过圆心O的射线与相交于点D、C，连接，若，则 ． 【变式11-2】如图，，是的切线，若，， ． 【变式11-3】如图，AB是的直径，AC与相切，A为切点，连接BC交于点D．已知，则的度数为 ． 【变式11-4】如图，是⊙的直径，、、、是上的点，过点作为切线交延长线于点，若，，则半径是 ． 【考点题型十二】切线的性质与判定的综合运用 【典例12】如图，在中，是的直径，与相切于，连接，过点作，与交于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长度． 【变式12-1】如图，已知是的直径，交于点D，E是的中点，与交于点F，． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的长． 【变式12-2】如图，与相切于点为的直径，为上的一点，且．的延长线相交于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【变式12-13如图，为等腰三角形，是底边的中点，腰与半圆相切于点，底边与半圆交于，两点． (1)求证：与半圆相切； (2)连接．若，，求的值． 【考点题型十三】利用切线长定理的性质求线段长度或周长 【典例13】如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若， ，则的长为 ．    【变式13-1】如图，、分别为相切于点、，的切线分别交、于点、，切点在上，若的周长为18，则长是 ． 【变式13--2】如图，分别切⊙于两点，点为上一点，过点作⊙的切线分别交于两点，若的周长为10，则切线长等于 ． 【考点题型十四】三角形的内切圆与内心 【典例14】如图，在中，，其内切圆分别与、、相切于点D、E、F，若，，则圆的半径为（   ） A．2 B．4 C．5 D．3 【变式14-1】如图，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，，则的周长为（    ） A．16 B．14 C．12 D．10 【变式14-2】如图，是的内切圆，切点分别为D，E，F，且，，，则的半径是（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式14-3】中，，点是内心，那么 ． 【考点题型十五】正多边形与圆求角度 【典例 15】已知一正多边形的一个外角等于，则该正多边形的中心角等于（    ）． A． B． C． D． 【变式15-1】一个正多边形的中心角为，则该正多边形的边数为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式15-2】正多边形的一部分如图所示，若，则该正多边形的边数为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【考点题型十六】正多边形与直角坐标系综合 【典例16】如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形绕O点顺时针旋转i个，得到正六边形，当时，顶点C的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式16-1】蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为，，则点M的坐标为（    ）        A． B． C． D． 【变式16-2】如图，正六边形ABCDEF的半径，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式16-3】如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转i个45°，得到正六边形OAiBiCiDiEi，则正六边形OAiBiCiDiEi（i＝4）的顶点Ci的坐标是（    ） A．（1，﹣） B．（1，） C．（1，﹣2） D．（2，1） 【考点题型十七】弧长的计算 【典例17】如图，在4×4的正方形网格中，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到，则的长为（    ）   A． B． C． D． 【变式17-1】如图，为半圆的直径，为半圆上一点，且，连接，以为圆心，长为半径画弧交于点，若，则的长是 ． 【变式17-2】在认识圆锥主题活动课上，芳芳用半径，圆心角的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的高是 ． 【变式17-3】如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，夹角为，的长为，则的长为 ． 【考点题型十八】计算扇形的面积 【典例18】如图，的半径都是1，顺次连接这些圆心得到五边形，则图中的阴影部分的面积之和为（  ） A． B． C． D． 【变式18-1】如图，在两个同心圆中，两圆半径分别为2，1，，则阴影部分面积是（   ） A． B． C． D． 【变式18-2】如图，在矩形中，，以点A为圆心，为半径的弧交于点，则阴影部分的扇形面积是（    ） A． B． C． D． 【变式18-3】在半径为2的圆中，一个扇形的圆心角是，则这个扇形的面积是 ． 【考点题型十九】计算不规则图形的阴影部分面积 【典例19】如图，中，，，，以点A为圆心、为半径画弧，交于点E，以点B为圆心、为半径画弧，交于点F，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式19-1】如图，半径为6的沿弦折叠，弧恰好经过圆心O，则阴影部分的面积为 ． 【变式19-2】如图，C为上一点，是的直径，，，现将绕点B按顺时针方向旋转后得到，交于点D，则图中阴影部分的面积为 ． 【变式19-3】如图，在中，E为边中点．以C为圆心，为半径画弧，恰好经过点A．以C为圆心，为半径画弧，与相切于点F．若，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π） 【变式19-4】如图，在长方形中，，以点D为圆心，长为半径画弧，交线段延长线于点E，点F为边上一点，若，连接，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）． 【考点题型二十】某点弧形的运动轨迹弧长 【典例20】如图，一小孩在荡秋千，秋千的纤绳长为2米，当小孩在最低位置时，秋千底部距离地面米，当小孩达到最大高度时，秋千底部距离地面米，那么小孩从最低位置达到最高位置秋千底部所经过的路径长为（    ）． A．2米 B．π米 C．米 D．米 【变式20-1】如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，，将矩形绕点O逆时针旋转，则旋转后点B的对应点的坐标和点B在旋转过程中绕过的路径长分别是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式20-2】一块含角的直角三角板按如图所示的方式摆放，边与直线重合，．现将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上，则点A经过的路径长至少为 ．（结果保留） 【变式20-3】如图，一条直线上放着一个长方形①，它的长和宽分别为厘米和厘米，对角线为 厘米，让这个长方形依次顺时针旋转，最终长方形的点到达了点的位置，求点 所走过的总路程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$