专题06 圆（考题猜想，易错必刷40题13种题型专项训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（华东师大版）

专题06 圆（易错必刷40题13种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 垂径定理 · 圆周角定理 · 圆内接四边形的性质 · 点与圆的位置关系 · 切线的判定 · 切线的判定与性质 · 三角形的内切圆与内心 · 正多边形和圆 · 确定圆的条件 · 三角形的外接圆与外心 · 切线的性质 · 扇形面积的计算 · 圆锥的计算 一．垂径定理（共2小题） 1．如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为（　　） A．3 B．4 C．3 D．4 2．半径为5的圆内有长为的弦，则此弦所对的圆周角为（　　） A．60° B．120° C．60°或120° D．30°或120° 二．圆周角定理（共5小题） 3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC、AD．若∠BAC＝28°，则∠D的度数是（　　） A．56° B．58° C．60° D．62° 4．如图，半圆O的直径AB＝20，弦AC＝12，弦AD平分∠BAC，AD的长为（　　） A． B． C． D． 5．如图，已知圆心角∠AOB的度数为100°，则圆周角∠ACB的度数是（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 6．如图，在⊙O中，AB为直径，C为圆上一点，∠BAC的角平分线与⊙O交于点D，若∠ADC＝20°，则∠BAD＝　 　°． 7．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，∠CAB＝135°，D是AB上一个动点，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则BE长的最小值为 　 　． 三．圆内接四边形的性质（共1小题） 8．如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC＝∠CPB＝60°． （1）判断△ABC的形状并证明你的结论； （2）当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由． （3）求证：PA+PB＝PC． 四．点与圆的位置关系（共3小题） 9．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　） A．+1 B．+ C．2+1 D．2﹣ 10．如图，二次函数y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于C点，若点D坐标为（0，2），以D点为圆心，R为半径作圆，P为⊙D上一动点，当△APC面积最小为5时，则R＝　 　． 11．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），⊙A的半径为2，点C为⊙A上一动点，D为BC的中点，连接OD，则OD的最大值为 　 　． 五．确定圆的条件（共1小题） 12．如图，点A、B、C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四个点中的任意3个，能画的圆有（　　） A．1 个 B．2个 C．3个 D．4 个 六．三角形的外接圆与外心（共4小题） 13．如图，在3×3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点△ABC外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（　　） A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣ 14．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB＝105°，，连接OA、OB，则弧AB的长是（　　） A．2π B． C． D． 15．如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝45°，⊙O的半径r＝4，则阴影部分的面积为（　　） A．4 B．2 C．4π﹣8 D．4π﹣16 16．如图，∠AOB＝45°，在边OA，OB上分别有两个动点C、D．连接CD，以CD为直角边作等腰直角三角形CDE，当CD的长度保持不变且等于2cm时，则OE的最大值是　 　． 七．切线的性质（共5小题） 17．已知点M（2.0），⊙M的半径为1，OA切⊙M于点A，点P为⊙M上的动点，当P的坐标为 　 　时，△POA是等腰三角形． 18．如图，已知∠AOB＝30°，在射线OA上取点O1，以O1为圆心的圆与OB相切；在射线O1A上取点O2，以O2为圆心，O2O1为半径的圆与OB相切；在射线O2A上取点O3，以O3为圆心，O3O2为半径的圆与OB相切；…；在射线O9A上取点O10，以O10为圆心，O10O9为半径的圆与OB相切．若⊙O1的半径为1，则⊙O10的半径长是　 　． 19．如图，P是抛物线y＝x2﹣4x+3上的一点，以点P为圆心、1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线y＝0相切时，点P的坐标为　 　． 20．如图，AB是⊙O的直径，AD、BC是⊙O的切线，P是⊙O上一动点，若AD＝3，AB＝4，BC＝6，则△PDC的面积的最小值是　 　． 21．如图，AD是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，连接PO交⊙O于点C，作PB，PD分别切⊙O于点B，D，连接AB，AC． （1）求证：AB∥OP； （2）连接PA，若PA＝4，tan∠BAD＝2，求线段AB的长． 八．切线的判定（共1小题） 22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC＝CD，点E在AB的延长线上，∠ECB＝∠DAC． （1）若AB为⊙O的直径，求证：EC是⊙O的切线； （2）若CE＝7，∠ECB＝45°，，求AD的长． 九．切线的判定与性质（共3小题） 23．如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过OA上的点P作PD⊥AC，交CB的延长线于点D，交AB于点E，点F为DE的中点，连接BF． （1）求证：BF与⊙O相切； （2）若AP＝OP，cosA＝，AP＝4，求BF的长． 24．如图，AB是⊙O的直径，点E，C在⊙O上，点C是的中点，AE垂直于过C点的直线DC，垂足为D，AB的延长线交直线DC于点F． （1）求证：DC是⊙O的切线； （2）若AE＝2，sin∠AFD＝， ①求⊙O的半径； ②求线段DE的长． 25．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，且D为弧BC中点，过点D的直线DE⊥AC交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连接AD． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若∠DAB＝30°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积； （3）若sin∠EAF＝，DF＝4，求AE的长． 一十．三角形的内切圆与内心（共6小题） 26．如图将△ABC沿着直线DE折叠，点A恰好与△ABC的内心I重合，若∠DIB+∠EIC＝195°，则∠BAC的大小是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 27．如图，等边三角形ABC的边长为4，点O是△ABC的内心，∠FOG＝120”，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD＝OE：②S△ODE＝S△BDE：③四边形ODBE的面积始终等于；④△BDE周长的最小值为6． 上述结论中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 28．如图，⊙I是Rt△ABC中的内切圆，∠ACB＝90°，过点I作EF∥AB分别交CA，CB于E，F，若EA＝4，BF＝3，则⊙I的半径是（　　） A． B． C． D． 29．如图所示，已知⊙I是△ABC的内切圆，点I是内心，若∠A＝28°，则∠BIC等于（　　） A．100° B．104° C．105° D．114° 30．如图，⊙O内切于Rt△ABC，点P、点Q分别在直角边BC、斜边AB上，PQ⊥AB，且PQ与⊙O相切，若AC＝2PQ，则sin∠B的值为（　　） A． B． C． D． 31．如图，把Rt△OAB置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（3，0），点P是Rt△OAB内切圆的圆心．将Rt△OAB沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后圆心为P1，第二次滚动后圆心为P2，…，依此规律，第2020次滚动后，Rt△OAB内切圆的圆心P2020的坐标是 　 　． 一十一．正多边形和圆（共5小题） 32．如图，⊙O的内接正六边形ABCDEF的边心距为，分别以B、D、F为圆心，正六边形的边长为半径画弧，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 33．如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的两边AB、BC上的点．且AM＝BN，点O是正五边形的中心，则∠MON的度数是　 　度． 34．如图1，作∠BPC平分线的反向延长线PA，现要分别以∠APB，∠APC，∠BPC为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以∠BPC为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时∠BPC＝90°，而＝45°是360°（多边形外角和）的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图2所示． 图2中的图案外轮廓周长是 　 　； 在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是 　 　． 35．如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度b＝3cm，则螺帽边长a＝　 　cm． 36．以正六边形ABCDEF的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新正六边形A′B′CD′E′F′的顶点D′落在直线BC上，则正六边形ABCDEF至少旋转 　 　°． 一十二．扇形面积的计算（共3小题） 37．如图，AB为半圆O的直径，C为AO的中点，CD⊥AB交半圆于点D，以C为圆心，CD为半径画弧交AB于E点，若AB＝4，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 38．如图，CD是以AB为直径的半圆的一条弦，且CD∥AB，∠CAD＝α，设△ACD的面积为S1，阴影部分面积为S2，则＝（　　） A． B． C． D． 39．如图，将△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C′，已知AC＝6，BC＝4，则线段AB扫过图形（阴影部分）的面积为　 　．（结果保留π） 一十三．圆锥的计算（共1小题） 40．如图，圆锥的底面半径r为6，高h为8，则圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数为　 　 $$ 专题06 圆（易错必刷40题13种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 垂径定理 · 圆周角定理 · 圆内接四边形的性质 · 点与圆的位置关系 · 切线的判定 · 切线的判定与性质 · 三角形的内切圆与内心 · 正多边形和圆 · 确定圆的条件 · 三角形的外接圆与外心 · 切线的性质 · 扇形面积的计算 · 圆锥的计算 一．垂径定理（共2小题） 1．如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为（　　） A．3 B．4 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD， 由垂径定理、勾股定理得：OM＝ON＝＝3， ∵弦AB、CD互相垂直， ∴∠DPB＝90°， ∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N， ∴∠OMP＝∠ONP＝90° ∴四边形MONP是矩形， ∵OM＝ON， ∴四边形MONP是正方形， ∴OP＝3 故选：C． 2．半径为5的圆内有长为的弦，则此弦所对的圆周角为（　　） A．60° B．120° C．60°或120° D．30°或120° 【答案】C 【解答】解：如图所示， ∵OD⊥AB， ∴D为AB的中点，即AD＝BD＝， 在Rt△AOD中，OA＝5，AD＝， ∴sin∠AOD＝＝， 又∵∠AOD为锐角， ∴∠AOD＝60°， ∴∠AOB＝120°， ∴∠ACB＝∠AOB＝60°， 又∵圆内接四边形AEBC对角互补， ∴∠AEB＝120°， 则此弦所对的圆周角为60°或120°． 故选：C． 二．圆周角定理（共5小题） 3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC、AD．若∠BAC＝28°，则∠D的度数是（　　） A．56° B．58° C．60° D．62° 【答案】D 【解答】解：连接BC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠BAC＝28°， ∴∠B＝90°﹣∠BAC＝62°， ∴∠B＝∠D＝62°， 故选：D． 4．如图，半圆O的直径AB＝20，弦AC＝12，弦AD平分∠BAC，AD的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：连接BC，OD，相交于点E，连接BD， ∵AB是半⊙O的直径， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°， ∵AB＝20，AC＝12， ∴BC＝＝＝16， ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAB＝2∠DAB， ∵∠DOB＝2∠DAB， ∴∠DOB＝∠CAB， ∴AC∥DO， ∴∠OEB＝∠ACB＝90°， ∴CE＝BE＝BC＝8， ∴OE是△ACB的中位线， ∴OE＝AC＝6， ∵OD＝AB＝10， ∴DE＝OD﹣OE＝10﹣6＝4， 在Rt△DEB中，DB＝＝＝4， 在Rt△ADB中，AD＝＝＝8， 故选：C． 5．如图，已知圆心角∠AOB的度数为100°，则圆周角∠ACB的度数是（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 【答案】D 【解答】解：如图： ∵∠AOB＝100°， ∴∠1＝360°﹣∠AOB＝260°， ∴∠ACB＝∠1＝130°， 故选：D． 6．如图，在⊙O中，AB为直径，C为圆上一点，∠BAC的角平分线与⊙O交于点D，若∠ADC＝20°，则∠BAD＝　35　°． 【答案】35． 【解答】解：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠ADC＝20°， ∴∠ADC＝∠ABC＝20°， ∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝70°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠BAC＝35°， 故答案为：35． 7．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，∠CAB＝135°，D是AB上一个动点，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则BE长的最小值为 　﹣2　． 【答案】﹣2． 【解答】解：取AC的中点F，过点F作FM⊥BA，交BA的延长线于点M，连接EF，AE，BF， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠AED＝90°， ∴∠AEC＝180°﹣∠AED＝90°， ∴EF＝AF＝AC＝2， ∵∠BAC＝135°， ∴∠CAM＝180°﹣∠BAC＝45°， ∴△AFM是等腰直角三角形， ∴FM＝AM＝＝2， ∵AB＝5， ∴BM＝AM+AB＝2+5＝7， 在Rt△FMB中，BF＝＝＝， 在△BEF中，BE＞BF﹣EF， ∴BE＞﹣2， ∴当B、E、F三点共线时，BE最小，且最小值为﹣2， 故答案为：﹣2． 三．圆内接四边形的性质（共1小题） 8．如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC＝∠CPB＝60°． （1）判断△ABC的形状并证明你的结论； （2）当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由． （3）求证：PA+PB＝PC． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）证明：（1）△ABC是等边三角形． 证明如下：在⊙O中， ∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角， ∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC， 又∵∠APC＝∠CPB＝60°， ∴∠ABC＝∠BAC＝60°， ∴△ABC为等边三角形； （2）当点P位于中点时，四边形PBOA是菱形， 连接OP， ∵∠AOB＝2∠ACB＝120°，P是的中点， ∴∠AOP＝∠BOP＝60° 又∵OA＝OP＝OB， ∴△OAP和△OBP均为等边三角形， ∴OA＝AP＝OB＝PB， ∴四边形PBOA是菱形； （3）如图2，在PC上截取PD＝AP， 又∵∠APC＝60°， ∴△APD是等边三角形， ∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°，即∠ADC＝120°． 又∵∠APB＝∠APC+∠BPC＝120°， ∴∠ADC＝∠APB， 在△APB和△ADC中， ， ∴△APB≌△ADC（AAS）， ∴BP＝CD， 又∵PD＝AP， ∴CP＝BP+AP． 四．点与圆的位置关系（共3小题） 9．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　） A．+1 B．+ C．2+1 D．2﹣ 【答案】B 【解答】解：如图， ∵点C为坐标平面内一点，BC＝1， ∴C在⊙B上，且半径为1， 取OD＝OA＝2，连接CD， ∵AM＝CM，OD＝OA， ∴OM是△ACD的中位线， ∴OM＝CD， 当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大， ∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°， ∴BD＝2， ∴CD＝2+1， ∴OM＝CD＝，即OM的最大值为+； 故选：B． 10．如图，二次函数y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于C点，若点D坐标为（0，2），以D点为圆心，R为半径作圆，P为⊙D上一动点，当△APC面积最小为5时，则R＝　　． 【答案】． 【解答】解：如图，作PH⊥AC所在直线，垂足为点H．AC为定值，因此当PH取最小值时，△APC面积取最小值，连接PD，可知当P，H，D共线时，△APC面积最小． ∵二次函数y＝x2﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B左边）， 令y＝0，得x2﹣4＝0， 解得x＝2或x＝﹣2， ∴A（﹣2，0），B（2，0）． 令x＝0，得y＝0﹣4＝﹣4， ∴C（0，﹣4）， ∴OA＝2，OC＝4， ∴． ∵△APC面积最小为5，PH⊥AC， ∴， ∴． ∵C（0，﹣4），D（0，2）， ∴CD＝6， ∵， 即， ∴， ∴． 故答案为：． 11．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），⊙A的半径为2，点C为⊙A上一动点，D为BC的中点，连接OD，则OD的最大值为 　3.5　． 【答案】3.5． 【解答】解：∵点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3）， ∴OA＝4，OB＝3， 如图1，作点B关于x轴的对称点B'，连接B'C， ∴OB＝OB'＝3， ∵D是BC的中点， ∴OD是△BB'C的中位线， ∴OD＝B'C， ∴当B'C最大时，OD有最大值， 如图2，当B'，C，A共线时，B'C有最大值， 由勾股定理得：AB'＝＝5， ∴B'C＝B'A+AC＝5+2＝7， 此时OD有最大值是B'C＝3.5， 故答案为：3.5． 五．确定圆的条件（共1小题） 12．如图，点A、B、C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四个点中的任意3个，能画的圆有（　　） A．1 个 B．2个 C．3个 D．4 个 【答案】C 【解答】解：∵点A、B、C在同一条直线上， ∴经过点A、B、D，或点A、C、D，或点B、C、D分别能画一个圆， 故选：C． 六．三角形的外接圆与外心（共4小题） 13．如图，在3×3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点△ABC外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（　　） A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣ 【答案】D 【解答】解：如图：作AB的垂直平分线MN，作BC的垂直平分线PQ，设MN与PQ相交于点O，连接OA，OB，OC，则点O是△ABC外接圆的圆心， 由题意得：OA2＝12+22＝5， OC2＝12+22＝5， AC2＝12+32＝10， ∴OA2+OC2＝AC2， ∴△AOC是直角三角形， ∴∠AOC＝90°， ∵AO＝OC＝， ∴图中阴影部分的面积＝扇形AOC的面积﹣△AOC的面积﹣△ABC的面积 ＝﹣OA•OC﹣AB•1 ＝﹣××﹣×2×1 ＝﹣﹣1 ＝﹣， 故选：D． 14．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB＝105°，，连接OA、OB，则弧AB的长是（　　） A．2π B． C． D． 【答案】C 【解答】解：延长AO交⊙O于D，连接BD，过点O作OE⊥AB，垂足为E，作∠BOF＝∠ABO，交AB于点F， ∴BF＝OF， ∵四边形ACBD是⊙O的内接四边形， ∴∠ADB＝180°﹣∠ACB＝75°， ∴∠AOB＝2∠ADB＝150°， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠ABO＝（180°﹣∠AOB）＝15°， ∴∠BOF＝∠ABO＝15°， ∴∠AFO＝∠BOF+∠ABO＝30°， 设OE＝x， ∴BF＝OF＝2OE＝2x，EF＝OE＝x， ∴BE＝BF+EF＝2x+x＝（2+）x， ∵OE⊥AB， ∴BE＝AB＝， ∴（2+）x＝， 解得：x＝， ∴OE＝， ∴OB＝＝＝＝2， ∴弧AB的长＝＝， 故选：C． 15．如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝45°，⊙O的半径r＝4，则阴影部分的面积为（　　） A．4 B．2 C．4π﹣8 D．4π﹣16 【答案】C 【解答】解：∵∠A＝45°， ∴∠BOC＝2∠A＝90°， ∵⊙O的半径r＝4， ∴阴影部分的面积＝扇形BOC的面积﹣△BOC的面积 ＝﹣OB•OC ＝4π﹣×4×4 ＝4π﹣8， 故选：C． 16．如图，∠AOB＝45°，在边OA，OB上分别有两个动点C、D．连接CD，以CD为直角边作等腰直角三角形CDE，当CD的长度保持不变且等于2cm时，则OE的最大值是　+　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图所示，在CD的左边，以CD为斜边，作等腰直角△CDF，则O、F、E三点共线时OE的值最大， ∵△CDF和△CDE是等腰直角三角形， ∴∠CDF＝∠CDE＝45°， ∴∠EDF＝90°， ∵CD＝2， ∴DE＝2，DF＝， 由勾股定理得：EF＝＝＝， ∴OE＝OF+EF＝+， ∴OE的最大值是+， 故答案为：+． 七．切线的性质（共5小题） 17．已知点M（2.0），⊙M的半径为1，OA切⊙M于点A，点P为⊙M上的动点，当P的坐标为 　（1，0），（3，0）（，）　时，△POA是等腰三角形． 【答案】（1，0），（3，0），（，）． 【解答】解：如图，当P的坐标为（1，0），（3，0），（，）时，△POA是等腰三角形．理由如下： 连接AM， ∵M（2.0），⊙M的半径为1， ∴OM＝2，AM＝PM＝1， ∴OP＝1， ∵OA切⊙M于点A， ∴∠MAO＝90°， ∴∠AOM＝30°， ∴∠AMO＝60°， ∴PA＝AM＝PM＝1， ∴OP＝PA＝1， ∴P（1，0）； 当OA＝OP′时，连接AP′交x轴于点H， ∵OA切⊙M于点A， ∴OP′切⊙M于点P′， ∴∠P′OM＝∠AOM＝30°， ∴∠AOP′＝60°， ∴△AOP′是等边三角形， ∴AP′＝OA＝＝＝， ∴OH＝OA＝，P′H＝AP′＝， ∴P′（，）； ∵MA＝MP″，∠AMO＝60°， ∴∠MAP″＝∠MP″A＝30°， ∴∠AOP″＝∠MP″A＝30°， ∴OA＝OP″， ∴P″（3，0）． 综上所述：当P的坐标为（1，0），（3，0），（，）时，△POA是等腰三角形． 故答案为：（1，0），（3，0），（，）． 18．如图，已知∠AOB＝30°，在射线OA上取点O1，以O1为圆心的圆与OB相切；在射线O1A上取点O2，以O2为圆心，O2O1为半径的圆与OB相切；在射线O2A上取点O3，以O3为圆心，O3O2为半径的圆与OB相切；…；在射线O9A上取点O10，以O10为圆心，O10O9为半径的圆与OB相切．若⊙O1的半径为1，则⊙O10的半径长是　29　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：作O1C、O2D、O3E分别⊥OB， ∵∠AOB＝30°， ∴OO1＝2CO1，OO2＝2DO2，OO3＝2EO3， ∵O1O2＝DO2，O2O3＝EO3， ∴圆的半径呈2倍递增， ∴⊙On的半径为2n﹣1 CO1， ∵⊙O1的半径为1， ∴⊙O10的半径长＝29， 故答案为29． 19．如图，P是抛物线y＝x2﹣4x+3上的一点，以点P为圆心、1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线y＝0相切时，点P的坐标为　（2+，1）或（2﹣，1）或（2，﹣1）　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：当y＝1时，x2﹣4x+3＝1， 解得：x＝2±， ∴P（2+，1）或（2﹣，1）， 当y＝﹣1时，x2﹣4x+3＝﹣1， 解得：x1＝x2＝2， ∴P（2，﹣1）， 则点P的坐标为：（2+，1）或（2﹣，1）或（2，﹣1）． 20．如图，AB是⊙O的直径，AD、BC是⊙O的切线，P是⊙O上一动点，若AD＝3，AB＝4，BC＝6，则△PDC的面积的最小值是　4　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由CD是固定的，所以当P到CD的距离最小时△PCD的面积最小，如图，过P作EF∥CD，交AD于点E，交BC于点F， 当EF与⊙O相切时，P到CD的距离最短，连接OP并延长交CD于点Q， 过O作OH∥BC，交EF于点G，交CD于点H， 则可知OH为梯形ABCD的中位线，OG为梯形ABFE的中位线， ∴OH＝（AD+BC）＝4.5， 过D作DM⊥BC于点M，则DM＝AB＝4，MC＝BC﹣AD＝3， ∴CD＝EF＝5， 由切线长定理可知AE＝EP，BF＝PF， ∴AE+BF＝EF＝5， ∴OG＝（AE+BF）＝2.5， ∴GH＝OH﹣OG＝4.5﹣2.5＝2， 又∵OP＝2，且＝， ∴＝， ∴PQ＝1.6， ∴S△PCD＝PQ•CD＝×1.6×5＝4， 故答案为：4． 21．如图，AD是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，连接PO交⊙O于点C，作PB，PD分别切⊙O于点B，D，连接AB，AC． （1）求证：AB∥OP； （2）连接PA，若PA＝4，tan∠BAD＝2，求线段AB的长． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）线段AB的长为． 【解答】（1）证明：连接OB， ∵PB，PD分别切⊙O于点B，D， ∴∠OBP＝∠ODP＝90°， ∵OB＝OP，OP＝OP， ∴Rt△OBP≌Rt△ODP（HL）， ∴∠BOP＝∠DOP＝∠BOD， ∵∠BAD＝∠BOD， ∴∠BAD＝∠DOP， ∴AB∥OP； （2）解：连接BD， ∵∠BAD＝∠DOP， ∴tan∠BAD＝tan∠DOP＝2， 在Rt△DOP中，tan∠DOP＝＝2， ∴DP＝2OD， ∵AD＝2OD， ∴DP＝AD， ∵PA＝4， ∴AD＝DP＝＝4， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ABD＝90°， ∵tan∠BAD＝＝2， ∴BD＝2AB， ∵AB2+BD2＝AD2， ∴AB2+4AB2＝16， ∴AB＝或AB＝﹣（舍去）， ∴线段AB的长为． 八．切线的判定（共1小题） 22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC＝CD，点E在AB的延长线上，∠ECB＝∠DAC． （1）若AB为⊙O的直径，求证：EC是⊙O的切线； （2）若CE＝7，∠ECB＝45°，，求AD的长． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）AD的长为． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACO+∠BCO＝90°， ∵OA＝OC， ∴∠ACO＝∠CAO， ∵DC＝BC， ∴＝， ∴∠DAC＝∠CAO， ∴∠DAC＝∠ACO， ∵∠ECB＝∠DAC， ∴∠ECB＝∠ACO， ∴∠ECB+∠OCB＝90°， ∴∠OCE＝90°， ∵OC是⊙O的半径， ∴EC是⊙O的切线； （2）过点B作BF⊥CE，垂足为F， ∴∠BFC＝∠BFE＝90°， ∵∠ECB＝45°， ∴tan45°＝＝1， ∴BF＝CF， 设BF＝CF＝x， ∵CE＝7， ∴EF＝CE﹣CF＝7﹣x， 在Rt△BFE中，， ∴tanE＝＝＝， ∴x＝3， 经检验：x＝3是原方程的根据， ∴BF＝CF＝3，EF＝7﹣3＝4， ∴CD＝BC＝BF＝3， 在Rt△BFE中，BE＝＝＝5， ∵四边形ADCB是⊙O的内接四边形， ∴∠ADC+∠ABC＝180°， ∵∠ABC+∠CBE＝180°， ∴∠ADC＝∠CBE， ∵∠ECB＝∠DAC， ∴△CBE∽△ADC， ∴＝， ∴＝， ∴AD＝， ∴AD的长为． 九．切线的判定与性质（共3小题） 23．如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过OA上的点P作PD⊥AC，交CB的延长线于点D，交AB于点E，点F为DE的中点，连接BF． （1）求证：BF与⊙O相切； （2）若AP＝OP，cosA＝，AP＝4，求BF的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：连接OB， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°， ∴∠ABD＝180°﹣∠ABC＝90°， ∵点F为DE的中点， ∴BF＝EF＝DE， ∴∠FEB＝∠FBE， ∵∠AEP＝∠FEB， ∴∠FBE＝∠AEP， ∵PD⊥AC， ∴∠EPA＝90°， ∴∠A+∠AEP＝90°， ∵OA＝OB， ∴∠A＝∠OBA， ∴∠OBA+∠FBE＝90°， ∴∠OBF＝90°， ∵OB是⊙O的半径， ∴BF与⊙O相切； （2）解：在Rt△AEP中，cosA＝，AP＝4， ∴AE＝＝＝5， ∴PE＝＝＝3， ∵AP＝OP＝4， ∴OA＝OC＝2AP＝8， ∴PC＝OP+OC＝12， ∵∠A+∠AEP＝90°，∠A+∠C＝90°， ∴∠AEP＝∠C， ∵∠APE＝∠DPC＝90°， ∴△APE∽△DPC， ∴＝， ∴＝， ∴DP＝16， ∴DE＝DP﹣PE＝16﹣3＝13， ∴BF＝DE＝， ∴BF的长为． 24．如图，AB是⊙O的直径，点E，C在⊙O上，点C是的中点，AE垂直于过C点的直线DC，垂足为D，AB的延长线交直线DC于点F． （1）求证：DC是⊙O的切线； （2）若AE＝2，sin∠AFD＝， ①求⊙O的半径； ②求线段DE的长． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）①⊙O的半径为3； ②线段DE的长为2． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵AD⊥DF， ∴∠D＝90°， ∵点C是的中点， ∴＝， ∴∠DAC＝∠CAB， ∴OA＝OC， ∴∠CAB＝∠OCA， ∴∠DAC＝∠OCA， ∴AD∥OC， ∴∠OCF＝∠D＝90°， ∵OC是⊙O的半径， ∴DC是⊙O的切线； （2）解：①过点O作OG⊥AE，垂足为G， ∴AG＝EG＝AE＝1， ∵OG⊥AD， ∴∠AGO＝∠DGO＝90°， ∵∠D＝∠AGO＝90°， ∴OG∥DF， ∴∠AFD＝∠AOG， ∵sin∠AFD＝， ∴sin∠AOG＝sin∠AFD＝， 在Rt△AGO中，AO＝＝＝3， ∴⊙O的半径为3； ②∵∠OCF＝90°， ∴∠OCD＝180°﹣∠OCF＝90°， ∵∠OGE＝∠D＝90°， ∴四边形OGDC是矩形， ∴OC＝DG＝3， ∵GE＝1， ∴DE＝DG﹣GE＝3﹣1＝2， ∴线段DE的长为2． 25．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，且D为弧BC中点，过点D的直线DE⊥AC交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连接AD． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若∠DAB＝30°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积； （3）若sin∠EAF＝，DF＝4，求AE的长． 【答案】（1）证明过程解解答； （2）阴影部分的面积为2﹣π； （3）AE的长为． 【解答】（1）证明：连接OD， ∵DE⊥AC， ∴∠E＝90°， ∵D为弧BC中点， ∴＝， ∴∠CAD＝∠BAD， ∵OA＝OD， ∴∠BAD＝∠ADO， ∴∠CAD＝∠ADO， ∴AC∥OD， ∴∠E＝∠ODF＝90°， ∵OD是⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线； （2）∵∠DAB＝30°， ∴∠DOF＝2∠DAB＝60°， 在Rt△ODF中，DO＝2， ∴DF＝OD•tan60°＝2， ∴阴影部分的面积＝△ODF的面积﹣扇形BOD的面积 ＝OD•DF﹣ ＝×2×2﹣π ＝2﹣π， ∴阴影部分的面积为2﹣π； （3）∵AC∥OD， ∴∠EAF＝∠DOF， ∴sin∠EAF＝sin∠DOF＝， 在Rt△ODF中，sin∠DOF＝＝， ∴OF＝5， ∴OD＝＝＝3， ∴OA＝OD＝3， ∴AF＝OA+OF＝3+5＝8， ∵∠F＝∠F， ∴△AEF∽△ODF， ∴＝， ∴＝， ∴AE＝， ∴AE的长为． 一十．三角形的内切圆与内心（共6小题） 26．如图将△ABC沿着直线DE折叠，点A恰好与△ABC的内心I重合，若∠DIB+∠EIC＝195°，则∠BAC的大小是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【答案】B 【解答】解：∵I是△ABC的内心， ∴∠IBC＝∠ABC，∠ICB＝∠BCA， ∵∠DIB+∠EIC＝195°， ∴∠DIE+∠BIC＝165°， 由折叠过程知∠BAC＝∠DIE， ∴∠BAC+∠BIC＝165° ∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC， ∴∠IBC+∠ICB＝90°﹣∠BAC， 又∵∠BIC+（∠IBC+∠ICB）＝180°， ∠BIC+（90°﹣∠BAC）＝180°， ∴∠BIC＝90°+∠BAC， ∴∠BAC+90°+∠BAC＝165°， ∴∠BAC＝50° 故选：B． 27．如图，等边三角形ABC的边长为4，点O是△ABC的内心，∠FOG＝120”，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD＝OE：②S△ODE＝S△BDE：③四边形ODBE的面积始终等于；④△BDE周长的最小值为6． 上述结论中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：连接OB、OC，如图， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵点O是等边△ABC的内心， ∴OB＝OC，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB， ∴∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°， ∴∠BOC＝120°，即∠BOE+∠COE＝120°， 而∠DOE＝120°，即∠BOE+∠BOD＝120°， ∴∠BOD＝∠COE， 在△BOD和△COE中， ∴△BOD≌△COE， ∴BD＝CE，OD＝OE，所以①正确； ∴S△BOD＝S△COE， ∴四边形ODBE的面积＝S△OBC＝S△ABC＝××42＝，所以③错误； 作OH⊥DE，如图，则DH＝EH， ∵∠DOE＝120°， ∴∠ODE＝∠OEH＝30°， ∴OH＝OE，HE＝OH＝OE， ∴DE＝OE， ∴S△ODE＝•OE•OE＝OE2， 即S△ODE随OE的变化而变化， 而四边形ODBE的面积为定值， ∴S△ODE≠S△BDE；所以②错误； ∵BD＝CE， ∴△BDE的周长＝BD+BE+DE＝CE+BE+DE＝BC+DE＝4+DE＝4+OE， 当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时OE＝， ∴△BDE周长的最小值＝4+2＝6，所以④正确． 故选：B． 28．如图，⊙I是Rt△ABC中的内切圆，∠ACB＝90°，过点I作EF∥AB分别交CA，CB于E，F，若EA＝4，BF＝3，则⊙I的半径是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：如图，设切点分别为P，N，H，连接IP，IN，IH，过点E作ED⊥AB于D，过点F作FM⊥AB于M， ∵⊙I是Rt△ABC中的内切圆， ∴IP⊥AC，IN⊥BC，IH⊥AB， ∴∠ADE＝∠IPE＝90°， ∵EF∥AB， ∴∠A＝∠PEI， ∴△ADE∽△EPI， ∴＝， ∵PI＝ED＝IH， ∴EI＝AE＝4， 同理可得IF＝BF＝3， ∵∠C＝∠INF＝90°， ∴IN∥AC， ∴∠IEP＝∠FIN， ∵∠EPI＝∠INF＝90°， ∴△EPI∽△INF， ∴＝＝， 设IN＝3x，EP＝4x，则PI＝3x， 在Rt△EPI中，由勾股定理得：EP2+PI2＝EI2， ∴EI＝5x， ∵EI＝4， ∴5x＝4， ∴x＝， ∴⊙I的半径是：3x＝． 故选：C． 29．如图所示，已知⊙I是△ABC的内切圆，点I是内心，若∠A＝28°，则∠BIC等于（　　） A．100° B．104° C．105° D．114° 【答案】B 【解答】解：∵∠A＝28°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝152°， ∵⊙I是△ABC的内切圆，点I是内心， ∴BI平分∠ABC，CI平分∠ACB， ∴∠IBC＝∠ABC，∠ICB＝∠ACB， ∴∠IBC+∠ICB＝∠ABC+∠ACB ＝（∠ABC+∠ACB） ＝76°， ∴∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB） ＝180°﹣76° ＝104°， 故选：B． 30．如图，⊙O内切于Rt△ABC，点P、点Q分别在直角边BC、斜边AB上，PQ⊥AB，且PQ与⊙O相切，若AC＝2PQ，则sin∠B的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：如图： 设⊙O的半径是R，PE＝PF＝x，BQ＝y， 连接OD，OG，OF，OE， ∵⊙O内切于Rt△ABC， ∴∠ODC＝∠OEC＝90°＝∠C，AD＝AG， ∵OD＝OE， ∴四边形CDOE是正方形， ∴OD＝CD＝CE＝OE＝R， 同理OG＝GQ＝FQ＝OF＝R， 则PQ＝CP，AC＝AQ， ∵PQ⊥AB，∠C＝90°， ∴∠C＝∠PQB＝90°， ∵∠B＝∠B， ∴△BQP∽△BCA， ∴＝＝， ∴BC＝2BQ＝2y， 根据BG＝BE得：y+R＝2y﹣R， 解得：y＝2R， 在Rt△PQB中，由勾股定理得：PQ2+BQ2＝BP2， 即（R+x）2+（2R）2＝（4R﹣R﹣x）2， 解得：x＝R， 即PQ＝R，BP＝4R﹣R﹣R＝R， sinB＝＝＝． 故选：B． 31．如图，把Rt△OAB置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（3，0），点P是Rt△OAB内切圆的圆心．将Rt△OAB沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后圆心为P1，第二次滚动后圆心为P2，…，依此规律，第2020次滚动后，Rt△OAB内切圆的圆心P2020的坐标是 　（8081，1）　． 【答案】（8081，1）． 【解答】解：∵点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（3，0）， ∴OA＝4，OB＝3， ∴AB＝＝5， ∴Rt△OAB内切圆的半径＝（3+4﹣5）＝1， ∴P的坐标为（1，1）， ∵将Rt△OAB沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合， 所以第一次滚动后圆心为P1（5，1），第二次滚动后圆心为P2（11，1），…， ∴P3（3+5+4+1，1），即（13，1）， 每滚动3次一个循环， ∵2020÷3＝673…1， ∴第2020次滚动后，Rt△OAB内切圆的圆心P2020的横坐标是673×（3+5+4）+5＝8081， 即P2020的横坐标是8081， ∴P2020的坐标是（8081，1）； 故答案为：（8081，1）． 一十一．正多边形和圆（共5小题） 32．如图，⊙O的内接正六边形ABCDEF的边心距为，分别以B、D、F为圆心，正六边形的边长为半径画弧，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：如图，连接OB，OA，作OM⊥AB于点M，则OM＝． ∵∠AOB＝＝60°，AO＝OB， ∴BO＝AB＝AO，AM＝AB＝AO，OM＝， ∴， ∴AO＝1， ∴BO＝AB＝AO＝1， ∴S△AOB＝AB×OM＝×1×＝， ∵S扇形AOB＝＝， ∴阴影部分面积是：（﹣）×6＝π﹣． 故选：A． 33．如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的两边AB、BC上的点．且AM＝BN，点O是正五边形的中心，则∠MON的度数是　72　度． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：连接OA、OB、OC， ∠AOB＝＝72°， ∵∠AOB＝∠BOC，OA＝OB，OB＝OC， ∴∠OAB＝∠OBC， 在△AOM和△BON中， ∴△AOM≌△BON， ∴∠BON＝∠AOM， ∴∠MON＝∠AOB＝72°， 故答案为：72． 34．如图1，作∠BPC平分线的反向延长线PA，现要分别以∠APB，∠APC，∠BPC为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以∠BPC为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时∠BPC＝90°，而＝45°是360°（多边形外角和）的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图2所示． 图2中的图案外轮廓周长是 　14　； 在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是 　21　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：图2中的图案外轮廓周长是：8+8﹣2＝14； 设∠BPC＝2x， ∴以∠BPC为内角的正多边形的边数为：＝， 以∠APB为内角的正多边形的边数为：， ∴图案外轮廓周长是：﹣2+﹣2+﹣2＝+﹣6， 根据题意可知：2x的值只能为60°，90°，120°，144°， ∴当x＝30时，周长最大，此时图案定为会标， 则会标的外轮廓周长是：+﹣6＝21， 故答案为：14，21． 35．如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度b＝3cm，则螺帽边长a＝　　cm． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，连接AC，过点B作BD⊥AC于D， 由正六边形，得 ∠ABC＝120°，AB＝BC＝a， ∠BCD＝∠BAC＝30°． 由AC＝3，得CD＝1.5． cos∠BCD＝＝，即＝， 解得a＝， 故答案为：． 36．以正六边形ABCDEF的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新正六边形A′B′CD′E′F′的顶点D′落在直线BC上，则正六边形ABCDEF至少旋转 　60　°． 【答案】60°． 【解答】解：∵多边形ABCDEF是正六边形， ∴∠BCD＝120°， 要使新正六边形A′B′CD′E′F′的顶点D′落在直线BC上， 则∠DCD'至少为60°，则正六边形ABCDEF至少旋转60°． 故答案为：60°． 一十二．扇形面积的计算（共3小题） 37．如图，AB为半圆O的直径，C为AO的中点，CD⊥AB交半圆于点D，以C为圆心，CD为半径画弧交AB于E点，若AB＝4，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：连接AD，OD，BD， ∵AB为半圆O的直径， ∴∠ADB＝90°，又CD⊥AB， ∴△ACD∽△CDB， ∴＝，即＝， ∴CD＝，又OC＝1， ∴∠COD＝60°， ∴S扇形OAD＝＝π， S△CDO＝×CO×CD＝， ∴S扇形OAD﹣S△CDO＝π﹣，S扇形CDE＝＝π， ∴阴影部分的面积＝S半圆﹣（S扇形OAD﹣S△CDO+S扇形CDE）＝π+． 故选：A． 38．如图，CD是以AB为直径的半圆的一条弦，且CD∥AB，∠CAD＝α，设△ACD的面积为S1，阴影部分面积为S2，则＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：连接OC、OD，过点O作OE⊥CD于点E，设⊙O的半径为r． ∵∠CAD＝α， ∴∠COD＝2α， ∵OC＝OD，OE⊥CD， ∴∠COE＝∠DOE＝∠COD＝α， ∴OE＝OC•cosα＝r•cosα，CD＝2CE＝2OC•sinα＝2r•sinα， ∴S1＝S△ACD＝CD•OE＝r2sinαcosα； ∵CD∥AB， ∴△ACD与△COD同底等高， ∴S△ACD＝S△COD， ∴S2＝S扇形COD＝πr2， ∴＝＝． 故选：A． 39．如图，将△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C′，已知AC＝6，BC＝4，则线段AB扫过图形（阴影部分）的面积为　　．（结果保留π） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图：S扇形ACA′＝＝＝6π； S扇形BCB′＝＝＝π； 则S阴影＝6π﹣＝． 一十三．圆锥的计算（共1小题） 40．如图，圆锥的底面半径r为6，高h为8，则圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数为　216°　 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数为n°， ∵圆锥的底面半径r为6，高h为8， ∴圆锥的母线长为：＝10， 则＝2π×6， 解得，n＝216， 故答案为：216° $$