专题05 反比例函数（考题猜想，易错必刷35题6种题型专项训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（北师大版）

专题05反比例函数（易错必刷35题6种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 反比例函数的图象 · 反比例函数的性质 · 反比例函数系数k的几何意义 · 反比例函数图象上点的坐标特征 · 反比例函数与一次函数的交点问题 · 反比例函数的应用 一．反比例函数的图象（共1小题） 1．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与（其中a，b是常数，ab≠0）的大致图象是（　　） A．B． C．D． 二．反比例函数的性质（共5小题） 2．若双曲线的图象的一支位于第三象限，则k的取值范围是（　　） A．k＜1 B．k＞1 C．0＜k＜1 D．k≤1 3．关于反比例函数，下列说法中错误的是（　　） A．图象必经过点（1，3） B．它的图象分布在第一、三象限 C．当x＞0时，y随x的增大而减小 D．当x＞﹣1时，y＜﹣3 4．已知反比例函数y＝﹣，利用图象可知当y≤4时自变量x的取值范围是（　　） A．x＜﹣3 B．x≥﹣3 C．x≤﹣3或x＞0 D．x≥3或x＜0 5．考查函数的图象，当y≥﹣1时，x的取值范围是 　 　． 6．若反比例函数y＝的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是 　 　． 三．反比例函数系数k的几何意义（共10小题） 7．在平面直角坐标系xOy中，点P在双曲线上，PA⊥x轴于点A，则△PAO的面积是（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 8．如图，是反比例函数y1＝和y2＝（k1＜k2）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条双曲线于A、B两点，若S△AOB＝3，则k2﹣k1的值是（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 9．如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y＝和y＝的图象的四个分支上，则实数n的值为（　　） A．﹣3 B．﹣ C． D．3 10．如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，点C，D在x轴上．若四边形ABCD是正方形，且面积为9，则k的值为（　　） A．11 B．15 C．﹣11 D．﹣15 11．如图所示，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D．若矩形OABC的面积为8，则k的值为（　　） A．2 B．2 C． D．2 12．如图，点A在曲线y1＝（x＞0）上，点B在双曲线y2＝（x＜0）上，AB∥x轴，点C是x轴上一点，连接AC、BC，若△ABC的面积是6，则k的值为 　 　． 13．如图，矩形ABCD的边AB平行于x轴，反比例函数的图象经过点B，D，对角线CA的延长线经过原点O，且AC＝2AO，若矩形ABCD的面积是12，则k的值为 　 　． 14．如图，点A是反比例函数y＝（x＜0）的图象上的一点，点B在x轴的负半轴上且AO＝AB，若△ABO的面积为4，则k的值为 　 　． 15．如图，矩形OABC与反比例函数（k1是非零常数，x＞0）的图象交于点M，N，与反比例函数（k2是非零常数，x＞0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k1﹣k2＝　 　． 16．如图，A、B两点在双曲线y＝上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S1+S2＝6，则S阴影＝　 　． 四．反比例函数图象上点的坐标特征（共8小题） 17．在平面直角坐标系中，点P（x1，y1），Q（x2，y2）是反比例函数y＝的图象上的两点，x1+x2＝0，且x1＜x2，则y1与y2的关系为（　　） A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1+y2＝0 D．y1﹣y2＝0 18．已知点（x1，﹣1），（x2，），（x3，3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　） A．x1＞ x2＞x3 B．x1 ＞x3 ＞x2 C．x2 ＞x1 ＞x3 D．x3 ＞x1＞x2 19．已知双曲线，下列各点不在此双曲线上的是（　　） A．（6，﹣1） B．（﹣6，﹣1） C．（2，3） D．（，） 20．若在反比例函数图象的每一支上，y都随x的增大而增大，则常数m的取值范围是（　　） A．m＞0 B．m＜0 C．m＞3 D．m＜3 21．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（0，4）、（4，0），点C在第一象限内，∠BAC＝90°，AB＝2AC，函数y＝（x＞0）的图象经过点C，将△ABC沿x轴的正方向向右平移m个单位长度，使点A恰好落在函数y＝（x＞0）的图象上，则m的值为（　　） A． B． C．3 D． 22．如图，矩形ABCD的边AB在y轴正半轴上，AB＝3，BC＝4，函数的图象经过点C和边AD的中点E，则k的值为 　 　． 23．在反比例函数y＝的图象的每一支上，y都随x的增大而减少，则k的取值范围是　 　． 24．如图，直角三角板的直角顶点C在x轴上，两直角边（足够长）分别与双曲线y＝（x＜0）和y＝（x＞0）相交于A、B两点，已知点A的坐标为（﹣1，2），且AC：BC＝2：1，则点C的坐标是　 　． 五．反比例函数与一次函数的交点问题（共6小题） 25．如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数的图象交于点A（1，2），B（﹣2，﹣1）．则关于x的不等式的解集是（　　） A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣1或0＜x＜2 C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．﹣1＜x＜0或x＞2 26．如图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣2，0）为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为，则k的值为（　　） A． B． C． D． 27．如图，点A是反比例函数图象上的一点，经过点A的直线与坐标轴分别交于点C和点D，过点A作AB⊥y轴于点B，，连接BC，若△BCD的面积为2，则k的值为 　 　． 28．如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2＝的图象交于点A（﹣，2）和点B（n，﹣1），当y1＜y2时，自变量x的取值范围是 　 　． 29．在平面直角坐标系中，直线y＝x经过点A（m，2），反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A和点B（8，n）． （1）求反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）直线y＝x上有一点C，使得S△ABC＝，直接写出点C的坐标． 30．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象相交于第一，三象限内的A（3，5），B（a，﹣3）两点，与x轴交于点C． （1）求该反比例函数和一次函数的表达式； （2）在y轴上找一点P使PB﹣PC最大，求PB﹣PC的最大值． 六．反比例函数的应用（共5小题） 31．某杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，阻力臂保持不变，在使杠杆平衡的情况下，小明通过改变动力臂L，测量出相应的动力F数据如表：（动力×动力臂＝阻力×阻力臂） 动力臂（L/m） … 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 … 动力（F/N） … 300 150 100 a 60 … 请根据表中数据规律探求，当动力臂L长度为2.0m时，所需动力是（　　） A．150N B．90N C．75N D．60N 32．如图，小华设计了一个探索杠杆平衡条件的实验，在一根匀质的木杆中点O处用一根细绳挂在支架上，在点O的左侧固定位置B处悬挂重物A，在点O的右侧用一个弹簧测力计向下拉木杆，使木杆达到平衡（杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂）．改变弹簧测力计与点O的距离x（单位：cm），观察弹簧测力计的示数y（单位：N）的变化情况，实验数据记录如下： x（cm） … 10 15 20 25 30 … y（N） … 30 20 15 15 10 … 其中有一组数据记录错了，这组数据对应的x是 　 　． 33．为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒．消毒药物在一间教室内空气中的浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：min）的函数关系如图所示：校医进行药物熏蒸时y与x的函数关系式为y＝2x，药物熏蒸完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A（m，n）．教室空气中的药物浓度不低于2mg/m3时，对杀灭病毒有效．当m＝3时，本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为 　 　min． 34．大约在两千四五百年前，如图①墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图②，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x＝6时，y＝2． （1）求y关于x的函数表达式； （2）若小孔到蜡烛的距离为4cm，求火焰的像高； （3）若火焰的像高不得超过3cm，求小孔到蜡烛的距离至少是多少厘米？ 35．通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分）变化的函数图象如图所示，当0≤x＜10和10≤x＜20时，图象是线段；当20≤x≤40时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： （1）点A的注意力指标数是 　 　． （2）当0≤x＜10时，求注意力指标数y随时间x（分）的函数解析式； （3）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要21分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于36？请说明理由． $$ 专题05反比例函数（易错必刷35题6种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 反比例函数的图象 · 反比例函数的性质 · 反比例函数系数k的几何意义 · 反比例函数图象上点的坐标特征 · 反比例函数与一次函数的交点问题 · 反比例函数的应用 一．反比例函数的图象（共1小题） 1．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与（其中a，b是常数，ab≠0）的大致图象是（　　） A．B． C．D． 【答案】A 【解答】解：若a＞0，b＞0， 则y＝ax+b经过一、二、三象限，反比例函数y＝（ab≠0）位于一、三象限， 若a＞0，b＜0， 则y＝ax+b经过一、三、四象限，反比例函数y＝（ab≠0）位于二、四象限， 若a＜0，b＞0， 则y＝ax+b经过一、二、四象限，反比例函数y＝（ab≠0）位于二、四象限， 若a＜0，b＜0， 则y＝ax+b经过二、三、四象限，反比例函数y＝（ab≠0）位于一、三象限， 故选：A． 二．反比例函数的性质（共5小题） 2．若双曲线的图象的一支位于第三象限，则k的取值范围是（　　） A．k＜1 B．k＞1 C．0＜k＜1 D．k≤1 【答案】B 【解答】解：∵双曲线的图象的一支位于第三象限， ∴k﹣1＞0， ∴k＞1； 故选：B． 3．关于反比例函数，下列说法中错误的是（　　） A．图象必经过点（1，3） B．它的图象分布在第一、三象限 C．当x＞0时，y随x的增大而减小 D．当x＞﹣1时，y＜﹣3 【答案】D 【解答】解：由题意，∵反比例函数为y＝， ∴当x＝1时，y＝3，故A正确，不合题意． ∵k＝3＞0， ∴函数图象分布在第一、三象限，故B正确，不合题意；当x＞0时，y随x的增大而减小，故C正确，不合题意． ∵x＜0时，y随x的增大而减小， 又x＝﹣1时，y＝﹣3， ∴当﹣1＜x＜0时，y＜﹣3，故D错误，符合题意． 故选：D． 4．已知反比例函数y＝﹣，利用图象可知当y≤4时自变量x的取值范围是（　　） A．x＜﹣3 B．x≥﹣3 C．x≤﹣3或x＞0 D．x≥3或x＜0 【答案】C 【解答】解：∵反比例函数y＝﹣的大致图象如图所示， ∴当y≤4时自变量x的取值范围是x≤﹣3或x＞0． 故选：C． 5．考查函数的图象，当y≥﹣1时，x的取值范围是 　x≥4或x＜0　． 【答案】x≥4或x＜0． 【解答】解：由题意，∵k＝﹣4＜0， ∴当x＞0时，y随着x的增大而增大， ∵当y＝﹣1时，x＝4， 又当x＜0时，y＞0， ∴当y≥﹣1时，x≥4或x＜0， 故答案为：x≥4或x＜0． 6．若反比例函数y＝的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是 　k＜﹣2　． 【答案】k＜﹣2． 【解答】解：由题意，∵y＝的图象在其所在的每一象限内y随x的增大而增大， ∴k+2＜0． ∴k＜﹣2． 故答案为：k＜﹣2． 三．反比例函数系数k的几何意义（共10小题） 7．在平面直角坐标系xOy中，点P在双曲线上，PA⊥x轴于点A，则△PAO的面积是（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【解答】解：∵如图，点P为函数y＝图象上任意一点， ∴可设P（a，）， ∴AP＝﹣，OA＝﹣a， ∴△PAO的面积为：AP•OA＝•（﹣）•（﹣a）＝6． 故选：B． 8．如图，是反比例函数y1＝和y2＝（k1＜k2）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条双曲线于A、B两点，若S△AOB＝3，则k2﹣k1的值是（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【解答】解：由反比例函数比例系数k的几何意义可知， S△BOC＝ S△AOC＝ ∵S△BOC﹣S△AOC＝S△AOB＝3 ∴﹣＝3 ∴k2﹣k1＝6 故选：B． 9．如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y＝和y＝的图象的四个分支上，则实数n的值为（　　） A．﹣3 B．﹣ C． D．3 【答案】A 【解答】解：连接正方形的对角线，由正方形的性质知对角线交于原点O，过点A，B分别作x轴的垂线．垂足分别为C、D，点B在函数y＝上，如图： ∵四边形是正方形， ∴AO＝BO，∠AOB＝∠BDO＝∠ACO＝90°， ∴∠CAO＝90°﹣∠AOC＝∠BOD， ∴△AOC≌△BOD（AAS）， ∴S△AOC＝S△OBD＝＝， ∵点A在第二象限， ∴n＝﹣3， 故选：A． 10．如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，点C，D在x轴上．若四边形ABCD是正方形，且面积为9，则k的值为（　　） A．11 B．15 C．﹣11 D．﹣15 【答案】B 【解答】解：设D（a，0）， ∵四边形ABCD为正方形，且面积为9， ∴AD＝BC＝CD＝3， ∴C（a+3，0）， ∴A（a，3），B（a+3，3）， ∵点A在反比例函数y＝， ∴3a＝6， ∴a＝2， ∴B（5，3）， ∴k＝3×5＝15． 故选：B． 11．如图所示，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D．若矩形OABC的面积为8，则k的值为（　　） A．2 B．2 C． D．2 【答案】A 【解答】解：如图，过D作DE⊥OA于E， 设D（a，）， ∴OE＝a．DE＝， ∵点D是矩形OABC的对角线AC的中点， ∴OA＝2a，OC＝， ∵矩形OABC的面积为8， ∴OA•OC＝2a•＝8， ∴k＝2， 故选：A． 12．如图，点A在曲线y1＝（x＞0）上，点B在双曲线y2＝（x＜0）上，AB∥x轴，点C是x轴上一点，连接AC、BC，若△ABC的面积是6，则k的值为 　﹣10　． 【答案】﹣10． 【解答】解：如图，连接OA，OB，AB与y轴交于点M， ∵AB∥x轴，点A双在曲线y1＝（x＞0）上，点B在双曲线y2＝（x＜0）上， ∴S△AOM＝×|2|＝1，S△BOM＝×|k|＝﹣k， ∵S△ABC＝S△AOB＝6， ∴1﹣k＝6， ∴k＝﹣10． 故答案为：﹣10． 13．如图，矩形ABCD的边AB平行于x轴，反比例函数的图象经过点B，D，对角线CA的延长线经过原点O，且AC＝2AO，若矩形ABCD的面积是12，则k的值为 　9　． 【答案】9． 【解答】解：如图，延长CD交y轴于E，连接OD． ∵矩形ABCD的面积是12， ∴S△ADC＝6． ∵AC＝2AO， ∴S△ADO＝3． ∵AD∥OE， ∴△ACD∽△OCE， ∴AD：OE＝AC：OC＝2：3． ∴S△ACD：S△OCE＝4：9． ∴S△ODE＝4.5． 由几何意义得，＝4.5， ∵k＞0， ∴k＝9． 故答案为：9． 14．如图，点A是反比例函数y＝（x＜0）的图象上的一点，点B在x轴的负半轴上且AO＝AB，若△ABO的面积为4，则k的值为 　﹣4　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：过点A作AC⊥x轴，设点A（x，y）， ∵OA＝AB， ∴OC＝BC， ∴点B（2x，0）， ∵顶点A在反比例函数y＝（x＜0）的图象上， ∴xy＝k， ∵△OAB的面积为4， ∴OB•AC＝4， 即×2|x|×y＝4， ∴xy＝﹣4， 即k＝﹣4． 故答案为：﹣4． 15．如图，矩形OABC与反比例函数（k1是非零常数，x＞0）的图象交于点M，N，与反比例函数（k2是非零常数，x＞0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k1﹣k2＝　﹣3　． 【答案】﹣3． 【解答】解：∵y1、y2的图象均在第一象限， ∴k1＞0，k2＞0， ∵点M、N均在反比例函数y1＝（k1是非零常数，x＞0）的图象上， ∴S△OAM＝S△OCN＝k1， ∵矩形OABC的顶点B在反比例函数y2＝（k2是非零常数，x＞0）的图象上， ∴S矩形OABC＝k2， ∴S四边形OMBN＝S矩形OABC﹣S△OAM﹣S△OCN＝3， ∴k2﹣k1＝3， ∴k1﹣k2＝﹣3， 故答案为：﹣3． 16．如图，A、B两点在双曲线y＝上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S1+S2＝6，则S阴影＝　3　． 【答案】3． 【解答】解：∵点A、B是双曲线y＝上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段， 则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|＝6， ∴S阴影+S1+S2＝2×6，即2S阴影＝12﹣6＝6， ∴S阴影＝3； 故答案为：3． 四．反比例函数图象上点的坐标特征（共8小题） 17．在平面直角坐标系中，点P（x1，y1），Q（x2，y2）是反比例函数y＝的图象上的两点，x1+x2＝0，且x1＜x2，则y1与y2的关系为（　　） A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1+y2＝0 D．y1﹣y2＝0 【答案】C 【解答】解：∵P（x1，y1），Q（x2，y2）为反比例函数的图象上两点， ∵x1+x2＝0，且x1＜x2， ∴P（x1，y1），Q（x2，y2）不在同一象限， 当k＞0时，P（x1，y1）在第三象限，Q（x2，y2）在第一象限，y1＜y2， 当k＜0时，P（x1，y1）在第二象限，Q（x2，y2）在第四象限，y1＞y2， ∵x1+x2＝0， ∴x1＝﹣x2， ∵k＝x1y1＝x2y2， ∴﹣x2y1＝x2y2， ∴﹣y1＝y2，即y1+y2＝0， 故选项C正确． 故选：C． 18．已知点（x1，﹣1），（x2，），（x3，3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　） A．x1＞ x2＞x3 B．x1 ＞x3 ＞x2 C．x2 ＞x1 ＞x3 D．x3 ＞x1＞x2 【答案】B 【解答】解：由于点（x1，﹣1），（x2，），（x3，3）都在反比例函数y＝﹣的图象上， ∴y＝﹣1时，x1＝2；y＝时，x2＝﹣3；y＝3时，x3＝﹣； ∴x1，x2，x3的大小关系是x1＞x3＞x2． 故选：B． 19．已知双曲线，下列各点不在此双曲线上的是（　　） A．（6，﹣1） B．（﹣6，﹣1） C．（2，3） D．（，） 【答案】A 【解答】解：由题意，对于A选项，点（6，﹣1）满足6×（﹣1）＝﹣6≠6， ∴点（6，﹣1）不在此双曲线上，符合题意． 对于B选项，点（﹣6，﹣1）满足﹣6×（﹣1）＝6， ∴点（﹣6，﹣1）在此双曲线上，不符合题意． 对于C选项，点（2，3）满足2×3＝6， ∴点（2，3）在此双曲线上，不符合题意． 对于D选项，点（，）满足×＝6， ∴点（，）在此双曲线上，不符合题意． 故选：A． 20．若在反比例函数图象的每一支上，y都随x的增大而增大，则常数m的取值范围是（　　） A．m＞0 B．m＜0 C．m＞3 D．m＜3 【答案】D 【解答】解：由题意得：m﹣3＜0， ∴解得m＜3． 故选：D． 21．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（0，4）、（4，0），点C在第一象限内，∠BAC＝90°，AB＝2AC，函数y＝（x＞0）的图象经过点C，将△ABC沿x轴的正方向向右平移m个单位长度，使点A恰好落在函数y＝（x＞0）的图象上，则m的值为（　　） A． B． C．3 D． 【答案】C 【解答】解：如图，作CH⊥y轴于H． ∵A（0，4）、B（4，0）， ∴OA＝OB＝4， ∵∠BAC＝90°， ∴∠OAB+∠CAH＝90°， ∵∠ABO+∠OAB＝90°， ∴∠ABO＝∠CAH， 又∵∠AOB＝∠AHC＝90°， ∴△ABO∽△CAH， ∴＝＝＝2， ∴CH＝AH＝2， ∴OH＝OA+AH＝6， ∴C（2，6）， ∵点C在y＝的图象上， ∴k＝2×6＝12， ∴y＝， ∴当y＝4时，x＝3， ∵将△ABC沿x轴的正方向向右平移m个单位长度，使点A恰好落在函数y＝（x＞0）的图象上， ∴m＝3， 故选：C． 22．如图，矩形ABCD的边AB在y轴正半轴上，AB＝3，BC＝4，函数的图象经过点C和边AD的中点E，则k的值为 　12　． 【答案】12． 【解答】解：由题意，∵E是AD的中点，AD＝BC＝4， ∴AE＝2． ∴可设E（2，）． 又AB＝3， ∴C（4，﹣3）． 又C在函数y＝， ∴4（﹣3）＝k． ∴k＝12． 故答案为：12． 23．在反比例函数y＝的图象的每一支上，y都随x的增大而减少，则k的取值范围是　k＞1　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵在反比例函数y＝的图象的每一支上，y都随x的增大而减少， ∴k﹣1＞0， ∴k＞1， ∴k的取值范围为：k＞1． 故答案为：k＞1． 24．如图，直角三角板的直角顶点C在x轴上，两直角边（足够长）分别与双曲线y＝（x＜0）和y＝（x＞0）相交于A、B两点，已知点A的坐标为（﹣1，2），且AC：BC＝2：1，则点C的坐标是　（3，0）　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，过A作AD⊥x轴于D，过B作BE⊥x轴于E， ∵∠ADC＝∠ACB＝∠BEC＝90°， ∴∠ACD＝∠BCE＝90°＝∠CBE+∠BCE， ∴∠ACD＝∠CBE， ∴△ACD∽△CBE， ∴＝＝＝， ∵点A的坐标为（﹣1，2）， ∴DO＝1，AD＝2， 设CO＝a，则DC＝1+a， ∴， ∴CE＝1，BE＝（1+a）， ∴OE＝a+1， ∴B（a+1，）， ∵点B在双曲线y＝（x＞0）上， ∴（a+1）×＝8， 解得a＝3或a＝﹣5（舍去）， ∴点C的坐标是（3，0）， 故答案为：（3，0）． 五．反比例函数与一次函数的交点问题（共6小题） 25．如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数的图象交于点A（1，2），B（﹣2，﹣1）．则关于x的不等式的解集是（　　） A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣1或0＜x＜2 C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．﹣1＜x＜0或x＞2 【答案】C 【解答】解：由题意，∵点A（1，2），B（﹣2，1）， ∴不等式ax+b＞的解集是一次函数y＝ax+b的图象在反比例函数y＝图象上方的部分对应的自变量的取值范围． ∴结合图象，﹣2＜x＜0或x＞1． 故选：C． 26．如图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣2，0）为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：连接BP， 由对称性得：OA＝OB， ∵Q是AP的中点， ∴OQ＝BP， ∵OQ长的最大值为， ∴BP长的最大值为×2＝3， 如图，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D， ∵CP＝1， ∴BC＝2， ∵B在直线y＝2x上， 设B（t，2t），则CD＝t﹣（﹣2）＝t+2，BD＝﹣2t， 在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2＝CD2+BD2， ∴22＝（t+2）2+（﹣2t）2， t＝0（舍）或﹣， ∴B（﹣，﹣）， ∵点B在反比例函数y＝（k＞0）的图象上， ∴k＝﹣＝； 故选：C． 27．如图，点A是反比例函数图象上的一点，经过点A的直线与坐标轴分别交于点C和点D，过点A作AB⊥y轴于点B，，连接BC，若△BCD的面积为2，则k的值为 　6　． 【答案】6． 【解答】解：设A（a，）， ∴AB＝a，BO＝． ∵AB⊥y轴，CO⊥y轴， ∴AB∥CO． ∴＝＝． ∴CO＝2AB＝2a，BD＝BO＝． 又∵S△BCD＝BD•OC＝××2a＝＝2， ∴k＝6． 故答案为：6． 28．如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2＝的图象交于点A（﹣，2）和点B（n，﹣1），当y1＜y2时，自变量x的取值范围是 　x＞1和﹣＜x＜0　． 【答案】围是x＞1、﹣＜x＜0． 【解答】解：∵图象交于点A（﹣，2）和点B（n，﹣1）， ∴y2＝， 得到2＝， m＝﹣1， ∴y2＝﹣， 把点B（n，﹣1）代入得﹣1＝﹣， n＝1， ∴B（1，﹣1）， 由图象可知，当y1＜y2时， 自变量x的取值范围是x＞1、﹣＜x＜0． 故答案为：围是x＞1、﹣＜x＜0． 29．在平面直角坐标系中，直线y＝x经过点A（m，2），反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A和点B（8，n）． （1）求反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）直线y＝x上有一点C，使得S△ABC＝，直接写出点C的坐标． 【答案】（1）y＝；（2）S△AOB＝6；（3）C（6，3）或（2，1）． 【解答】解：（1）由题意，∵直线y＝x经过点A（m，2）， ∴＝2． ∴m＝4． ∴A（4，2）． ∵反比例函数y＝的图象经过点A， ∴＝2． ∴k＝8． ∴反比例函数解析式为y＝． （2）如图，连接AB、OB，分别过A，B作AG⊥OH于G，作BH⊥OH于H． ∵B（8，n）在反比例函数y＝上， ∴n＝1． ∴B（8，1）． ∵A（4，2）， ∴S△AOB＝S△AOG+S梯形AGHB﹣S△BOH ＝OG•AG+（AG+BH）•GH﹣OH•BH ＝×4×2+（2+1）×4﹣×8×1 ＝4+6﹣4 ＝6． ∴S△AOB＝6． （3）由题意，作图如下． ①C在A上方．作CE⊥OH于E． ∵S△ABC＝， ∴AC•h＝×OA•h． ∴AC＝OA． ∴＝． ∵CE⊥OH，AG⊥OH， ∴AG∥CE． ∴． ∴CE＝AG＝＝3，OE＝OG＝＝6． ∴C（6，3）． ②当C在A下方时，作CD⊥OH． ∵S△ABC＝， ∴AC•h＝×OA•h． ∴AC＝OA． ∵CD⊥OH，AG⊥OH， ∴AG∥CD． ∴． ∴OD＝OG＝＝2，CD＝AG＝＝1． ∴C（2，1）． 综上，C（6，3）或（2，1）． 30．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象相交于第一，三象限内的A（3，5），B（a，﹣3）两点，与x轴交于点C． （1）求该反比例函数和一次函数的表达式； （2）在y轴上找一点P使PB﹣PC最大，求PB﹣PC的最大值． 【答案】（1）反比例函数的解析式为y2＝，一次函数的解析式为y1＝x+2． （2）3． 【解答】解：（1）把A（3，5）代入y2＝（m≠0），可得m＝3×5＝15， ∴反比例函数的解析式为y2＝． 把点B（a，﹣3）代入，可得a＝﹣5， ∴B（﹣5，﹣3）． 把A（3，5），B（﹣5，﹣3）代入y1＝kx+b，可得． ∴． ∴一次函数的解析式为y1＝x+2． （2）一次函数的解析式为y1＝x+2，令x＝0，则y＝2． ∴一次函数与y轴的交点为P（0，2）， 此时，PB﹣PC＝BC最大，P即为所求， 令y＝0，则x＝﹣2， ∴C（﹣2，0）． 过B点向x轴作垂线， 由勾股定理可得： BC＝＝3． 故所求PB﹣PC的最大值为3． 六．反比例函数的应用（共5小题） 31．某杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，阻力臂保持不变，在使杠杆平衡的情况下，小明通过改变动力臂L，测量出相应的动力F数据如表：（动力×动力臂＝阻力×阻力臂） 动力臂（L/m） … 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 … 动力（F/N） … 300 150 100 a 60 … 请根据表中数据规律探求，当动力臂L长度为2.0m时，所需动力是（　　） A．150N B．90N C．75N D．60N 【答案】C 【解答】解：由表可知动力臂与动力成反比的关系， 设方程为：L＝， 从表中取一个有序数对， 可取（0.5，300）代入L＝， ∴K＝150． ∴L＝． 把L＝2.0m代入上式， ∴F＝75N． 故选：C． 32．如图，小华设计了一个探索杠杆平衡条件的实验，在一根匀质的木杆中点O处用一根细绳挂在支架上，在点O的左侧固定位置B处悬挂重物A，在点O的右侧用一个弹簧测力计向下拉木杆，使木杆达到平衡（杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂）．改变弹簧测力计与点O的距离x（单位：cm），观察弹簧测力计的示数y（单位：N）的变化情况，实验数据记录如下： x（cm） … 10 15 20 25 30 … y（N） … 30 20 15 15 10 … 其中有一组数据记录错了，这组数据对应的x是 　25　． 【答案】25． 【解答】解：观察表格数据可得，y与x成反比例函数关系，设y＝， ∴k＝10×30＝300． ∴函数为y＝． 又当x＝25时，y＝＝12， ∴根据表格数据，当x＝25，y＝15数据错误． 故答案为：25． 33．为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒．消毒药物在一间教室内空气中的浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：min）的函数关系如图所示：校医进行药物熏蒸时y与x的函数关系式为y＝2x，药物熏蒸完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A（m，n）．教室空气中的药物浓度不低于2mg/m3时，对杀灭病毒有效．当m＝3时，本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为 　8　min． 【答案】8． 【解答】解：当m＝3是，y＝2×3＝6， ∴A（3，6）， 设熏蒸完后函数的关系式为：y＝， ∴k＝3×6＝18， ∴熏蒸完后函数的关系式为：y＝， ∵药物浓度不低于2mg/m3， ∴当2x≥2时，x≥1， 当y＝≥2时，x≤9， ∴有效时长为9﹣1＝8（min）， 故答案为：8． 34．大约在两千四五百年前，如图①墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图②，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x＝6时，y＝2． （1）求y关于x的函数表达式； （2）若小孔到蜡烛的距离为4cm，求火焰的像高； （3）若火焰的像高不得超过3cm，求小孔到蜡烛的距离至少是多少厘米？ 【答案】（1）y关于x的函数表达式为：y＝； （2）火焰的像高为3cm； （3）火焰的像高不得超过3cm，小孔到蜡烛的距离至少是4cm． 【解答】解：（1）设y＝， 把x＝6，y＝2代入y＝中得：2＝， 解得：k＝12， ∴y关于x的函数表达式为：y＝； （2）把x＝4代入y＝中得：y＝＝3， ∴火焰的像高为3cm； （3）由（2）可得：当火焰的像高为3cm，小孔到蜡烛的距离为4cm， ∴火焰的像高不得超过3cm，小孔到蜡烛的距离至少是4cm． 35．通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分）变化的函数图象如图所示，当0≤x＜10和10≤x＜20时，图象是线段；当20≤x≤40时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： （1）点A的注意力指标数是 　24　． （2）当0≤x＜10时，求注意力指标数y随时间x（分）的函数解析式； （3）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要21分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于36？请说明理由． 【答案】（1）24； （2）y＝2.4x+24； （3）张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于36． 【解答】解：（1）设CD：y＝，由C（20，48）得k＝960， ∴D（40.24）， 由图可知：点A的注意力指标数是24． （2）当0≤x＜10时，AB的解析式为y＝kx+b， ∴ ∴ ∴． （3）张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于36． 理由：当y≥36时，，解之得x≥5； 当20≤x≤40时，反比例函数解析为：． 当y≥36时，，解之得． ∴当时，注意力指标数都不低于36． 而， ∴张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于36． $$