专题08 圆（考题猜想，易错必刷42题13种题型专项训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（北师大版）

专题08 圆（易错必刷42题13种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 垂径定理 · 垂径定理的应用 · 圆周角定理 · 点与圆的位置关系 · 切线的判定与性质 · 切线长定理 · 三角形的内切圆与内心 · 正多边形和圆 · 三角形的外接圆与外心 · 直线与圆的位置关系 · 切线的性质 · 弧长的计算 · 扇形面积的计算 一．垂径定理（共3小题） 1．如图，⊙O的半径为13，弦AB＝24，OC⊥AB于点C．则OC的长为（　　） A．.10 B．.6 C．.5 D．.12 2．已知⊙O的半径是5cm，弦AB∥CD，AB＝6cm，CD＝8cm，则AB与CD的距离是（　　） A．1 cm B．7 cm C．1 cm或7 cm D．无法判断 3．半径为5的圆内有长为的弦，则此弦所对的圆周角为（　　） A．60° B．120° C．60°或120° D．30°或120° 二．垂径定理的应用（共1小题） 4．“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为10cm，开口AB宽为12cm，这个水容器所能装水的最大深度 是 　 　cm． 三．圆周角定理（共10小题） 5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC、AD．若∠BAC＝28°，则∠D的度数是（　　） A．56° B．58° C．60° D．62° 6．如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C在格点上，以AB为直径的圆过C，D两点，则sin∠BDC的值为（　　） A． B． C． D． 7．如图，⊙O中，OA⊥弦BC，点E为垂足，点D在优弧上，则下列语句中，错误的是（　　） A．BE＝CE B． C．∠AOB＝2∠ADC D．∠BCD＝∠CBO 8．如图，点A在⊙O上，∠OBC＝25°，则∠BAC的度数为（　　） A．55° B．65° C．75° D．130° 9．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝36°，斜边AC与量角器的直径重合（A点的刻度为0），将射线BF绕着点B转动，与量角器的外圆弧交于点D，与AC交于点E，若△ABE是等腰三角形，则点D在量角器上对应的刻度为（　　） A．72° B．144° C．36° D．72°或144° 10．如图，在⊙O中，点C在上，，若∠BOD＝114°，则∠ACD的大小是（　　） A．114° B．66° C．57° D．52° 11．如图所示，⊙O是正方形ABCD的外接圆，P是⊙O上不与A、B重合的任意一点，则∠APB等于（　　） A．45° B．60° C．45° 或135° D．60° 或120° 12．如图，点A，B，C都在⊙O上，如果∠AOC＝∠ABC，那么∠A+∠C的度数为 　 　． 13．如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且点B是的中点，BD交OC于点E，∠OED＝60°，∠OCD＝35°，那么∠AOC的度数是 　 　． 14．如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB，AB，∠PBA＝∠C．连接OP，若OP∥BC，且OP＝8，OA＝x，BC＝y，则y关于x的函数解析式为 　 　． 四．点与圆的位置关系（共3小题） 15．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　） A．+1 B．+ C．2+1 D．2﹣ 16．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝7，点D在边BC上，且BD＝3，连接AD．以点D为圆心，以r为半径画圆，若点A，B，C中只有1个点在圆内，则r的值可能为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 17．如图，二次函数y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于C点，若点D坐标为（0，2），以D点为圆心，R为半径作圆，P为⊙D上一动点，当△APC面积最小为5时，则R＝　 　． 五．三角形的外接圆与外心（共4小题） 18．如图，在3×3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点△ABC外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（　　） A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣ 19．如图，等腰△ABC内接于⊙O，点D是圆中优弧上一点，连接DB、DC，已知AB＝AC，∠ABC＝70°，则∠BDC的度数为（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 20．如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，若∠ABD＝62°，则∠C的度数是 　 　． 21．如图，AB为⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，∠ADC＝45°，CD交AB于点E． （1）求∠BAC的度数； （2）若点E为OB中点，CE＝5，求AE的长． 六．直线与圆的位置关系（共1小题） 22．在同一平面内，已知⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为6，P为圆上的一个动点，则点P到直线l的距离不可能是（　　） A．2 B．6 C．10 D．14 七．切线的性质（共9小题） 23．如图，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，点C在优弧上，∠P＝70°，则∠C的度数为（　　） A．110° B．70° C．55° D．65° 24．如图，OA交⊙O于点B，AC切⊙O于点C，D点在⊙O上，若∠D＝24°，则∠A为（　　） A．48° B．60° C．64° D．42° 25．如图，AB是⊙O的切线，以点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD，CD，OA，若∠B＝20°，则∠ADC的度数为（　　） A．40° B．35° C．30° D．20° 26．如图，△ABC中，∠A＝90°，AC＝3，AB＝4，半圆的圆心O在BC上，半圆与AB、AC分别相切于点D、E，则半圆的半径为（　　） A． B． C． D． 27．如图，平面直角坐标系中，⊙P与x轴分别交于A、B两点，点P的坐标为（3，﹣1），AB＝2．若将⊙P向上平移，则⊙P与x轴相切时点P坐标为（　　） A．（3，2） B．（3，3） C．（3，4） D．（3，5） 28．如图，P是抛物线y＝x2﹣4x+3上的一点，以点P为圆心、1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线y＝0相切时，点P的坐标为　 　． 29．如图，△ABC中，AB＝AC，点O是BC边上一点，以点O为圆心，OB为半径作⊙O与边AC相切于点A，若BC＝9，则OB的长等于 　 　． 30．如图，在△ABC中，直线AF⊥BC，垂足为C，点D在AB上，以AD为直径作⊙O与BC相切于点E，连接DE并延长交AC的延长线于点F． （1）求证：AF＝AD； （2）若AC＝3，CE＝1，求⊙O的半径． 31．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过点C作⊙O的切线FC，过点B作BD⊥FC于点D，DB的延长线交⊙O于点E． （1）求证：∠ABC＝∠DBC； （2）若⊙O的半径为5，BC＝6，求CE的长． 八．切线的判定与性质（共3小题） 32．如图，∠ABC＝70°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，长为半径作圆．将射线BA绕点B顺时针旋转，使射线BA与⊙O相切，则旋转角的度数是 　 　． 33．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，D是的中点，DE⊥BC交BC的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AB＝10，BC＝8，求BD的长． 34．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF． （1）求证：直线AF是⊙O的切线； （2）若∠AOF＝30°，，求阴影部分的面积． 九．切线长定理（共1小题） 35．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为 　 　． 一十．三角形的内切圆与内心（共2小题） 36．如图，把Rt△OAB置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（3，0），点P是Rt△OAB内切圆的圆心．将Rt△OAB沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后圆心为P1，第二次滚动后圆心为P2，…，依此规律，第2020次滚动后，Rt△OAB内切圆的圆心P2020的坐标是 　 　． 37．如图1～4，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S1，S2，S3，…，S10，则S1+S2+S3+…+S10＝　 　． 一十一．正多边形和圆（共3小题） 38．如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度b＝3cm，则螺帽边长a＝　 　cm． 39．如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝　 　． 40．如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的两边AB、BC上的点．且AM＝BN，点O是正五边形的中心，则∠MON的度数是　 　度． 一十二．弧长的计算（共1小题） 41．如图，在单位长度为1的正方形网格图中，一条圆弧经过网格点A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）三点，请在网格中进行下列操作： （1）在图中确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，写出D点坐标为　 　． （2）连接AD、CD，求⊙D的半径及弧AC的长． 一十三．扇形面积的计算（共1小题） 42．如图，将△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C′，已知AC＝6，BC＝4，则线段AB扫过图形（阴影部分）的面积为　 　．（结果保留π） $$ 专题08圆（易错必刷42题13种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 垂径定理 · 垂径定理的应用 · 圆周角定理 · 点与圆的位置关系 · 切线的判定与性质 · 切线长定理 · 三角形的内切圆与内心 · 正多边形和圆 · 三角形的外接圆与外心 · 直线与圆的位置关系 · 切线的性质 · 弧长的计算 · 扇形面积的计算 一．垂径定理（共3小题） 1．如图，⊙O的半径为13，弦AB＝24，OC⊥AB于点C．则OC的长为（　　） A．.10 B．.6 C．.5 D．.12 【答案】C 【解答】解：∵OC⊥AB，AB＝12， ∴AC＝BC＝AB＝×24＝12， ∵⊙O的半径为13， ∴在Rt△OAC中，OA＝13， ∴OC＝＝5． 故选：C． 2．已知⊙O的半径是5cm，弦AB∥CD，AB＝6cm，CD＝8cm，则AB与CD的距离是（　　） A．1 cm B．7 cm C．1 cm或7 cm D．无法判断 【答案】C 【解答】解：分为两种情况：①当AB和CD在O的同旁时，如图1， 过O作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA、OC， ∵AB∥CD， ∴OF⊥CD， ∴由垂径定理得：AE＝AB＝3cm，CF＝CD＝4cm， 在Rt△OAE中，由勾股定理得：OE＝＝＝4（cm） 同理求出OF＝3cm， EF＝4cm﹣3cm＝1cm； ② 当AB和CD在O的两侧时，如图2，同法求出OE＝4cm，OF＝3cm， 则EF＝4cm+3cm＝7cm； 即AB与CD的距离是1cm或7cm， 故选：C． 3．半径为5的圆内有长为的弦，则此弦所对的圆周角为（　　） A．60° B．120° C．60°或120° D．30°或120° 【答案】C 【解答】解：如图所示， ∵OD⊥AB， ∴D为AB的中点，即AD＝BD＝， 在Rt△AOD中，OA＝5，AD＝， ∴sin∠AOD＝＝， 又∵∠AOD为锐角， ∴∠AOD＝60°， ∴∠AOB＝120°， ∴∠ACB＝∠AOB＝60°， 又∵圆内接四边形AEBC对角互补， ∴∠AEB＝120°， 则此弦所对的圆周角为60°或120°． 故选：C． 二．垂径定理的应用（共1小题） 4．“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为10cm，开口AB宽为12cm，这个水容器所能装水的最大深度是 　18　cm． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：连接AB，OB，过点O作OC⊥AB于点C，延长CO交⊙O于点D， ∵OC⊥AB， ∴AC＝CB＝6cm， 由题意可知，OB＝10cm， ∴在Rt△OBC中，OC＝＝8（cm）， ∴CD＝OC+OD＝8+10＝18（cm）， 即这个水容器所能装水的最大深度是18cm． 三．圆周角定理（共10小题） 5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC、AD．若∠BAC＝28°，则∠D的度数是（　　） A．56° B．58° C．60° D．62° 【答案】D 【解答】解：连接BC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠BAC＝28°， ∴∠B＝90°﹣∠BAC＝62°， ∴∠B＝∠D＝62°， 故选：D． 6．如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C在格点上，以AB为直径的圆过C，D两点，则sin∠BDC的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵AB是圆的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴AB＝＝5， ∴sin∠BAC＝， ∵∠BAC＝∠BDC， ∴sin∠BDC＝sin∠BAC＝． 故选：A． 7．如图，⊙O中，OA⊥弦BC，点E为垂足，点D在优弧上，则下列语句中，错误的是（　　） A．BE＝CE B． C．∠AOB＝2∠ADC D．∠BCD＝∠CBO 【答案】D 【解答】解：连接OC， ∵OA⊥弦BC， ∴BE＝CE，＝， ∴∠AOB＝∠AOC， ∵∠AOC＝2∠ADC， ∴∠AOB＝2∠ADC， 故A，B，C都不符合题意； ∵OB＝OC， ∴∠CBO＝∠OCB， ∵∠BCD＞∠OCB， ∴∠BCD＞∠CBO， 故D符合题意； 故选：D． 8．如图，点A在⊙O上，∠OBC＝25°，则∠BAC的度数为（　　） A．55° B．65° C．75° D．130° 【答案】B 【解答】解：∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝25°， ∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝130°， ∴∠BAC＝∠BOC＝65°， 故选：B． 9．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝36°，斜边AC与量角器的直径重合（A点的刻度为0），将射线BF绕着点B转动，与量角器的外圆弧交于点D，与AC交于点E，若△ABE是等腰三角形，则点D在量角器上对应的刻度为（　　） A．72° B．144° C．36° D．72°或144° 【答案】D 【解答】解：如图，点O是AC中点，连接DO． ∴点D在量角器上对应的度数＝∠AOD＝2∠ABD， ∵当射线BD将△ABC分割出的△ABE是等腰三角形时， ∠ABD＝36°或72°， ∴点D在量角器上对应的度数＝∠AOD＝2∠ABD＝72°或144°， 故选：D． 10．如图，在⊙O中，点C在上，，若∠BOD＝114°，则∠ACD的大小是（　　） A．114° B．66° C．57° D．52° 【答案】C 【解答】解：连接BC， ∵∠BOD＝114°， ∴∠BCD＝∠BOD＝57°， ∵， ∴∠ACD＝∠BCD＝57°， 故选：C． 11．如图所示，⊙O是正方形ABCD的外接圆，P是⊙O上不与A、B重合的任意一点，则∠APB等于（　　） A．45° B．60° C．45° 或135° D．60° 或120° 【答案】C 【解答】解：连接OA，OB， ∵⊙O是正方形ABCD的外接圆， ∴∠AOB＝90°， 若点P在优弧ADB上，则∠APB＝∠AOB＝45°； 若点P在劣弧AB上， 则∠APB＝180°﹣45°＝135°． ∴∠APB＝45°或135°． 故选：C． 12．如图，点A，B，C都在⊙O上，如果∠AOC＝∠ABC，那么∠A+∠C的度数为 　120°　． 【答案】120°． 【解答】解：如图： ∵∠AOC+∠1＝360°，∠1＝2∠ABC， ∴∠AOC+2∠ABC＝360°， ∵∠AOC＝∠ABC， ∴3∠AOC＝360°， ∴∠AOC＝∠ABC＝120°， ∴∠A+∠C＝360°﹣∠AOC﹣∠ABC＝120°， 故答案为：120°． 13．如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且点B是的中点，BD交OC于点E，∠OED＝60°，∠OCD＝35°，那么∠AOC的度数是 　100°　． 【答案】100°． 【解答】解：连接OB， ∵∠OED＝60°，∠OCD＝35°， ∴∠D＝∠OED﹣∠OCD＝25°， ∴∠BOC＝2∠D＝50°， ∵点B是的中点， ∴＝， ∴∠AOB＝∠BOC＝50°， ∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝100°， 故答案为：100°． 14．如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB，AB，∠PBA＝∠C．连接OP，若OP∥BC，且OP＝8，OA＝x，BC＝y，则y关于x的函数解析式为 　y＝x2　． 【答案】y＝x2． 【解答】解：连接OB， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°， ∴∠OBC+∠OBA＝90°， ∵OB＝OC， ∴∠C＝∠OBC， ∵∠PBA＝∠C， ∴∠PBA＝∠OBC， ∴∠PBA+∠OBA＝90°， ∴∠OBP＝90°， ∴∠OBP＝∠CBA， ∵OP∥BC， ∴∠BOP＝∠OBC， ∴∠BOP＝∠C， ∴△OBP∽△CBA， ∴＝， ∴＝， ∴y＝x2， ∴y关于x的函数解析式为：y＝x2， 故答案为：y＝x2． 四．点与圆的位置关系（共3小题） 15．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　） A．+1 B．+ C．2+1 D．2﹣ 【答案】B 【解答】解：如图， ∵点C为坐标平面内一点，BC＝1， ∴C在⊙B上，且半径为1， 取OD＝OA＝2，连接CD， ∵AM＝CM，OD＝OA， ∴OM是△ACD的中位线， ∴OM＝CD， 当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大， ∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°， ∴BD＝2， ∴CD＝2+1， ∴OM＝CD＝，即OM的最大值为+； 故选：B． 16．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝7，点D在边BC上，且BD＝3，连接AD．以点D为圆心，以r为半径画圆，若点A，B，C中只有1个点在圆内，则r的值可能为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解答】解：在Rt△ABD中，∠B＝90，AB＝4，BD＝3， ∴AD＝＝5． ∵BC＝7，BD＝3， ∴CD＝BC﹣BD＝7﹣3＝4． ∵以点D为圆心，以r为半径画圆，若点A，B，C中只有1个点在圆内， ∴r的范围是3＜r≤4， 故选：B． 17．如图，二次函数y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于C点，若点D坐标为（0，2），以D点为圆心，R为半径作圆，P为⊙D上一动点，当△APC面积最小为5时，则R＝　　． 【答案】． 【解答】解：如图，作PH⊥AC所在直线，垂足为点H．AC为定值，因此当PH取最小值时，△APC面积取最小值，连接PD，可知当P，H，D共线时，△APC面积最小． ∵二次函数y＝x2﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B左边）， 令y＝0，得x2﹣4＝0， 解得x＝2或x＝﹣2， ∴A（﹣2，0），B（2，0）． 令x＝0，得y＝0﹣4＝﹣4， ∴C（0，﹣4）， ∴OA＝2，OC＝4， ∴． ∵△APC面积最小为5，PH⊥AC， ∴， ∴． ∵C（0，﹣4），D（0，2）， ∴CD＝6， ∵， 即， ∴， ∴． 故答案为：． 五．三角形的外接圆与外心（共4小题） 18．如图，在3×3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点△ABC外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（　　） A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣ 【答案】D 【解答】解：如图：作AB的垂直平分线MN，作BC的垂直平分线PQ，设MN与PQ相交于点O，连接OA，OB，OC，则点O是△ABC外接圆的圆心， 由题意得：OA2＝12+22＝5， OC2＝12+22＝5， AC2＝12+32＝10， ∴OA2+OC2＝AC2， ∴△AOC是直角三角形， ∴∠AOC＝90°， ∵AO＝OC＝， ∴图中阴影部分的面积＝扇形AOC的面积﹣△AOC的面积﹣△ABC的面积 ＝﹣OA•OC﹣AB•1 ＝﹣××﹣×2×1 ＝﹣﹣1 ＝﹣， 故选：D． 19．如图，等腰△ABC内接于⊙O，点D是圆中优弧上一点，连接DB、DC，已知AB＝AC，∠ABC＝70°，则∠BDC的度数为（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 【答案】D 【解答】解：∵AB＝AC，∠ABC＝70°， ∴∠ABC＝∠C＝70°， ∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝40°， ∴∠A＝∠BDC＝40°， 故选：D． 20．如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，若∠ABD＝62°，则∠C的度数是 　28°　． 【答案】28°． 【解答】解：连接AD， ∵BD是⊙O的直径， ∴∠BAD＝90°， ∵∠ABD＝62°， ∴∠D＝90°﹣∠ABD＝28°， ∴∠C＝∠D＝28°， 故答案为：28°． 21．如图，AB为⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，∠ADC＝45°，CD交AB于点E． （1）求∠BAC的度数； （2）若点E为OB中点，CE＝5，求AE的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）连接OC， ∵∠ADC＝45°， ∴∠AOC＝2∠ADC＝90°， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA＝45°， ∴∠BAC的度数为45°； （2）设OE＝x， ∵点E为OB中点， ∴OB＝2OE＝2x， ∴AO＝OC＝OB＝2x， 在Rt△COE中，CE＝5， ∴OE2+OC2＝CE2， ∴x2+（2x）2＝52， 解得：x＝或x＝﹣（舍去）， ∴OE＝， ∴AE＝AO+OE＝3x＝3， ∴AE的长为3． 六．直线与圆的位置关系（共1小题） 22．在同一平面内，已知⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为6，P为圆上的一个动点，则点P到直线l的距离不可能是（　　） A．2 B．6 C．10 D．14 【答案】D 【解答】解：如图， 由题意得，OA＝4，OB＝6， 当点P在BO的延长线与⊙O的交点时，点P到直线l的距离最大， 此时，点P到直线l的最大距离是6+4＝10， 当点P在BO与⊙O的交点时，点P到直线l的距离最小， 此时，点P到直线l的最小距离是6﹣4＝2． ∴点P到直线l的距离2≤d≤10， 故点P到直线l的距离不可能是14． 故选：D． 七．切线的性质（共9小题） 23．如图，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，点C在优弧上，∠P＝70°，则∠C的度数为（　　） A．110° B．70° C．55° D．65° 【答案】C 【解答】解：连接OA，OB， ∵PA、PB分别切⊙O于A、B两点， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°， ∵∠P＝70°， ∴∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠P＝110°， ∴∠C＝∠AOB＝55°， 故选：C． 24．如图，OA交⊙O于点B，AC切⊙O于点C，D点在⊙O上，若∠D＝24°，则∠A为（　　） A．48° B．60° C．64° D．42° 【答案】D 【解答】解：∵AC切⊙O于点C， ∴∠OCA＝90°， ∵∠D＝24°， ∴∠O＝2∠D＝48°， ∴∠A＝90°﹣∠O＝42°， 故选：D． 25．如图，AB是⊙O的切线，以点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD，CD，OA，若∠B＝20°，则∠ADC的度数为（　　） A．40° B．35° C．30° D．20° 【答案】B 【解答】解：∵AB是⊙O的切线， ∴OA⊥AB， ∴∠OAB＝90°， ∴∠B＝20°， ∴∠O＝90°﹣20°＝70°， ∴∠ADC＝∠O＝×70°＝35°． 故选：B． 26．如图，△ABC中，∠A＝90°，AC＝3，AB＝4，半圆的圆心O在BC上，半圆与AB、AC分别相切于点D、E，则半圆的半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：连接OE，OD， ∵圆O切AC于E，圆O切AB于D， ∴∠OEA＝∠ODA＝90°， ∵∠A＝90°， ∴∠A＝∠ODA＝∠OEA＝90°， ∵OE＝OD， ∴四边形ADOE是正方形， ∴AD＝AE＝OD＝OE， 设OE＝AD＝AE＝OD＝R， ∵∠A＝90°，∠OEC＝90°， ∴OE∥AB， ∴△CEO∽△CAB， 同理△BDO∽△BAC， ∴△CEO∽△ODB， ∴＝， 即＝， 解得：R＝， 故选：A． 27．如图，平面直角坐标系中，⊙P与x轴分别交于A、B两点，点P的坐标为（3，﹣1），AB＝2．若将⊙P向上平移，则⊙P与x轴相切时点P坐标为（　　） A．（3，2） B．（3，3） C．（3，4） D．（3，5） 【答案】A 【解答】解： 当P移到P′点时，⊙P与x轴相切， 过P作直径MN⊥AB与D，连接AP， 由垂径定理得：AD＝BD＝AB＝， ∵DP＝|﹣1|＝1， 由勾股定理得：AP＝＝2， ∴PP′＝2+1＝3， ∵P（3，﹣1）， ∴P′的坐标是（3，2）， 故选：A． 28．如图，P是抛物线y＝x2﹣4x+3上的一点，以点P为圆心、1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线y＝0相切时，点P的坐标为　（2+，1）或（2﹣，1）或（2，﹣1）　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：当y＝1时，x2﹣4x+3＝1， 解得：x＝2±， ∴P（2+，1）或（2﹣，1）， 当y＝﹣1时，x2﹣4x+3＝﹣1， 解得：x1＝x2＝2， ∴P（2，﹣1）， 则点P的坐标为：（2+，1）或（2﹣，1）或（2，﹣1）． 29．如图，△ABC中，AB＝AC，点O是BC边上一点，以点O为圆心，OB为半径作⊙O与边AC相切于点A，若BC＝9，则OB的长等于 　3　． 【答案】3． 【解答】解：∵⊙O与边AC相切于点A， ∴∠OAC＝90°， ∴∠B+∠OAB+∠C＝180°﹣∠OAC＝90°， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵OB＝OA， ∴∠B＝∠BAO， ∴∠B＝∠C＝∠BAO＝30°， ∴OA＝OC， ∵OD＝OA， ∴OD＝OC， ∴OD＝DC， ∵OB＝OD， ∴OB＝OD＝DC＝BC＝3， 故答案为：3． 30．如图，在△ABC中，直线AF⊥BC，垂足为C，点D在AB上，以AD为直径作⊙O与BC相切于点E，连接DE并延长交AC的延长线于点F． （1）求证：AF＝AD； （2）若AC＝3，CE＝1，求⊙O的半径． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）⊙O的半径为． 【解答】（1）证明：连接OE， ∵AF⊥BC， ∴∠ACB＝∠ECF＝90°， ∵⊙O与BC相切于点E， ∴∠OEB＝90°， ∴∠ACB＝∠OEB＝90°， ∴AF∥OE， ∴∠F＝∠OED， ∵OE＝OD， ∴∠OED＝∠ODE， ∴∠F＝∠ODE， ∴AF＝AD； （2）解：连接AE， ∵AD为⊙O的直径， ∴∠AED＝90°， ∴∠AEF＝180°﹣∠AED＝90°， ∴∠EAF+∠F＝90°， ∵∠ACE＝∠ECF＝90°， ∴∠F+∠CEF＝90°， ∴∠CEF＝∠EAF， ∴△CAE∽△CEF， ∴＝， ∴＝， ∴CF＝， ∴AF＝AC+CF＝， ∵AF＝AD， ∴AD＝， ∴⊙O的半径为． 31．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过点C作⊙O的切线FC，过点B作BD⊥FC于点D，DB的延长线交⊙O于点E． （1）求证：∠ABC＝∠DBC； （2）若⊙O的半径为5，BC＝6，求CE的长． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）CE的长为8． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵DF与⊙O相切于点C， ∴∠OCF＝90°， ∵BD⊥FC， ∴∠D＝90°， ∴∠D＝∠OCF＝90°， ∴OC∥ED， ∴∠OCB＝∠CBD， ∵OC＝OB， ∴∠OCB＝∠OBC， ∴∠ABC＝∠DBC； （2）解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵AB＝10，BC＝6， ∴AC＝＝＝8， ∵∠D＝∠ACB＝90°，∠ABC＝∠DBC， ∴△CBA∽△DBC， ∴＝， ∴＝， ∴CD＝4.8， ∵∠D＝∠ACB＝90°，∠A＝∠E， ∴△ACB∽△EDC， ∴＝， ∴＝， ∴EC＝8， ∴CE的长为8． 八．切线的判定与性质（共3小题） 32．如图，∠ABC＝70°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，长为半径作圆．将射线BA绕点B顺时针旋转，使射线BA与⊙O相切，则旋转角的度数是 　40°或100°　． 【答案】40°或100°． 【解答】解：如图： ①当BA′与⊙O相切，且BA′位于BC上方时，设切点为P，连接OP，则∠OPB＝90°， Rt△OPB中，OB＝2OP， ∴∠A′BO＝30°， ∵∠ABC＝70°， ∴∠ABA′＝40°； ②当BA′与⊙O相切，且BA′位于BC下方时， 同①，可求得∠A′BO＝30°； 此时∠ABA′＝70°+30°＝100°， 故旋转角α的度数为40°或100°． 故答案为：40°或100°． 33．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，D是的中点，DE⊥BC交BC的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AB＝10，BC＝8，求BD的长． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）3． 【解答】（1）证明：连接OD， ∵DE⊥BC， ∴∠DEC＝90°， ∵D是的中点， ∴＝， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠OBD， ∴∠ODB＝∠CBD， ∴OD∥BC， ∴∠ODE＝180°﹣∠DEC＝90°， ∴OD⊥DE， ∵OD是⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：过点D作DF⊥AB，垂足为F， 由（1）得：∠ABD＝∠CBD， ∴BD平分∠ABC， ∵DF⊥AB，DE⊥BC， ∴DF＝DE， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠A+∠DCB＝180°， ∵∠DCB+∠DCE＝180°， ∴∠A＝∠DCE， ∵∠DFA＝∠DEC＝90°， ∴△ADF≌△CDE（AAS）， ∴AF＝EC， ∵∠DFB＝∠DEC＝90°，BD＝BD， ∴△BDF≌△BDE（AAS）， ∴BF＝BE， 设AF＝EC＝x，则BE＝BF＝8+x， ∵AB＝10， ∴AF+BF＝10， ∴x+8+x＝10， ∴x＝1， ∴BF＝9， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ABD＝∠DBF， ∴△BFD∽△BDA， ∴BD2＝BF•BA， ∴BD2＝90， ∴BD＝3． 34．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF． （1）求证：直线AF是⊙O的切线； （2）若∠AOF＝30°，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）阴影部分的面积为18﹣6π． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵PC为⊙O的切线， ∴∠OCP＝90°， ∵OF∥BC， ∴∠AOF＝∠B，∠COF＝∠OCB， ∵OC＝OB， ∴∠OCB＝∠B， ∴∠AOF＝∠COF， ∵在△AOF和△COF中， ， ∴△AOF≌△COF（SAS）， ∴∠OAF＝∠OCF＝90°， ∵OA为⊙O的半径， ∴AF为⊙O的切线； （2）解：在Rt△AOF中，∠AOF＝30°，， ∴OA＝AF＝6， ∵∠AOF＝∠COF， ∴∠AOC＝2∠AOF＝60°， 在Rt△OCP中，OC＝OA＝6， ∴CP＝OC•tan60°＝6， ∴阴影部分的面积＝△OCP的面积﹣扇形AOC的面积 ＝OC•CP﹣ ＝×6×6﹣6π ＝18﹣6π． ∴阴影部分的面积为18﹣6π． 九．切线长定理（共1小题） 35．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为 　44　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形， ∴AD+BC＝AB+CD＝22， ∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝44， 故答案为：44． 一十．三角形的内切圆与内心（共2小题） 36．如图，把Rt△OAB置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（3，0），点P是Rt△OAB内切圆的圆心．将Rt△OAB沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后圆心为P1，第二次滚动后圆心为P2，…，依此规律，第2020次滚动后，Rt△OAB内切圆的圆心P2020的坐标是 　（8081，1）　． 【答案】（8081，1）． 【解答】解：∵点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（3，0）， ∴OA＝4，OB＝3， ∴AB＝＝5， ∴Rt△OAB内切圆的半径＝（3+4﹣5）＝1， ∴P的坐标为（1，1）， ∵将Rt△OAB沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合， 所以第一次滚动后圆心为P1（5，1），第二次滚动后圆心为P2（11，1），…， ∴P3（3+5+4+1，1），即（13，1）， 每滚动3次一个循环， ∵2020÷3＝673…1， ∴第2020次滚动后，Rt△OAB内切圆的圆心P2020的横坐标是673×（3+5+4）+5＝8081， 即P2020的横坐标是8081， ∴P2020的坐标是（8081，1）； 故答案为：（8081，1）． 37．如图1～4，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S1，S2，S3，…，S10，则S1+S2+S3+…+S10＝　π　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）图1，过点O作OE⊥AC，OF⊥BC，垂足为E、F，则∠OEC＝∠OFC＝90° ∵∠C＝90° ∴四边形OECF为矩形 ∵OE＝OF ∴矩形OECF为正方形 设圆O的半径为r，则OE＝OF＝r，AD＝AE＝3﹣r，BD＝4﹣r ∴3﹣r+4﹣r＝5，r＝＝1 ∴S1＝π×12＝π （2）图2，由S△ABC＝×3×4＝×5×CD ∴CD＝ 由勾股定理得：AD＝＝，BD＝5﹣＝ 由（1）得：⊙O的半径＝＝，⊙E的半径＝＝ ∴S1+S2＝π×+π×＝π （3）图3，由S△CDB＝××＝×4×MD ∴MD＝ 由勾股定理得：CM＝＝，MB＝4﹣＝ 由（1）得：⊙O的半径＝，：⊙E的半径＝＝，：⊙F的半径＝＝ ∴S1+S2+S3＝π×+π×+π×＝π ∴图4中的S1+S2+S3+S4＝π 则S1+S2+S3+…+S10＝π 故答案为：π． 一十一．正多边形和圆（共3小题） 38．如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度b＝3cm，则螺帽边长a＝　　cm． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，连接AC，过点B作BD⊥AC于D， 由正六边形，得 ∠ABC＝120°，AB＝BC＝a， ∠BCD＝∠BAC＝30°． 由AC＝3，得CD＝1.5． cos∠BCD＝＝，即＝， 解得a＝， 故答案为：． 39．如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝　48°　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：连接OA， ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠AOB＝＝72°， ∵△AMN是正三角形， ∴∠AOM＝＝120°， ∴∠BOM＝∠AOM﹣∠AOB＝48°， 故答案为：48°． 40．如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的两边AB、BC上的点．且AM＝BN，点O是正五边形的中心，则∠MON的度数是　72　度． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：连接OA、OB、OC， ∠AOB＝＝72°， ∵∠AOB＝∠BOC，OA＝OB，OB＝OC， ∴∠OAB＝∠OBC， 在△AOM和△BON中， ∴△AOM≌△BON， ∴∠BON＝∠AOM， ∴∠MON＝∠AOB＝72°， 故答案为：72． 一十二．弧长的计算（共1小题） 41．如图，在单位长度为1的正方形网格图中，一条圆弧经过网格点A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）三点，请在网格中进行下列操作： （1）在图中确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，写出D点坐标为　（2，0）　． （2）连接AD、CD，求⊙D的半径及弧AC的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由垂径定理得到圆的圆心D点的坐标为D（2，0）， 故答案为：（2，0）； （2）CD＝＝2， tan∠OAD＝＝，tan∠EDC＝， ∴∠OAD＝∠EDC， ∵∠OAD+∠ODA＝90°， ∴∠EDC+∠ODA＝90°，即∠ADC＝90°， ∴的长＝＝π． 一十三．扇形面积的计算（共1小题） 42．如图，将△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C′，已知AC＝6，BC＝4，则线段AB扫过图形（阴影部分）的面积为　　．（结果保留π） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图：S扇形ACA′＝＝＝6π； S扇形BCB′＝＝＝π； 则S阴影＝6π﹣＝． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/28 15:20:24；用户：乐乐；邮箱：lhqfhf@163.com；学号：11297611 $$