专题07 二次函数（考题猜想，易错必刷50题9种题型专项训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（北师大版）

专题07二次函数（易错必刷50题9种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 二次函数的图象 · 二次函数的性质 · 二次函数图象与系数的关系 · 二次函数图象上点的坐标特征 · 二次函数图象与几何变换 · 抛物线与x轴的交点 · 二次函数与不等式（组） · 二次函数的应用 · 二次函数综合题 一．二次函数的图象（共2小题） 1．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝ax2+c的图象大致为（　　） A．B．C．D． 2．函数y＝与y＝﹣kx2+k（k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A．B． C．D． 二．二次函数的性质（共5小题） 3．小明在学习函数后，在“几何画板”软件中绘制了函数y＝x2（x﹣3）的图象，如图所示．通过观察此图象，下列说法错误的是（　　） A．点（2，﹣4）在y＝x2（x﹣3）的图象上 B．若x＜3，则y＜0 C．x3﹣3x2﹣kx+2k＝0最多有三个实数根 D．当0＜x＜2时，y随x的增大而减小 4．对于抛物线y＝3（x﹣2）2﹣1，下列说法正确的是（　　） A．y随x的增大而减小 B．当x＝2时，y有最大值﹣1 C．若点A（3，y1），B（1，y2）都在抛物线y＝3（x﹣2）2﹣1上，则y1＞y2 D．经过第一、二、四象限 5．如图，“爱心”图案是由函数y＝﹣x2+10的部分图象与其关于直线y＝x的对称图形组成．点A是直线y＝x上方“爱心”图案上的任意一点，点B是其对称点．若，则点A的坐标是 　 　． 6．已知关于x的二次函数y＝﹣（x﹣5）2+1，当1≤x≤4时，函数的最大值为 　 　． 7．对任意实数a，b，记min{a，b}＝已知实数t＞0，若定义函数：f（x）＝min{x2，x2﹣x+t}． （1）求使得等式f（x）＝x2﹣x+t成立的x的取值范围； （2）求函数f（x）的最小值； （3）求函数f（x）当﹣1≤x≤1时的最大值． 三．二次函数图象与系数的关系（共5小题） 8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），下列结论：①b2＞4ac；②4a+b＝0；③4a+c＞2b，④﹣3b+c＞0，⑤若顶点坐标为（2，4），则方程ax2+bx+c＝5没有实数根．其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③a﹣b+c＞0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1，直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B作垂直于y轴的直线l与抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1有两个交点，在抛物线对称轴右侧的交点记为P，当△OAP为锐角三角形时，则m的取值范围是（　　） A．m＞﹣1 B．m＜﹣2 C．m＜﹣2或m＞1 D．﹣2＜m＜1 11．已知二次函数y＝x2+2x+2m﹣1的图象只经过三个象限，则m的取值范围是（　　） A．m＜1 B．m≥ C．＜m＜1 D．≤m＜1 12．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，3），（1，﹣1）两点． （1）求b的值； （2）求证该二次函数的图象与x轴的总有两个公共点； （3）设该函数图象与x轴的两个公共点分别为（m，0）、（n，0）．当mn＜0时，直接写出a的取值范围． 四．二次函数图象上点的坐标特征（共2小题） 13．若A（﹣1，y1），B（﹣5，y2），C（0，y3）为二次函数y＝x2+4x﹣m的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3 14．在直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），若抛物线y＝x2﹣2x+n﹣1与线段OA有且只有一个公共点，则n的取值范围为　 　． 五．二次函数图象与几何变换（共2小题） 15．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（　　） A．y＝（x+2）2+2 B．y＝（x﹣2）2﹣2 C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x+2）2﹣2 16．一位同学在画二次函数y＝2x2﹣bx+3的图象时，把﹣b看成了+b，结果所画图象是由原图象向左平移6个单位长度所得的图象，则b的值为（　　） A．24 B．﹣24 C．﹣12 D．12 六．抛物线与x轴的交点（共8小题） 17．已知抛物线y＝ax2+bx+c上的某些点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … ﹣7.21 ﹣7.20 ﹣7.19 ﹣7.18 ﹣7.17 … y … ﹣0.04 ﹣0.03 0.01 0.02 0.03 … 则该函数与x轴的其中一个交点的横坐标的范围是（　　） A．﹣7.21＜x＜﹣7.20 B．﹣7.20＜x＜﹣7.19 C．﹣7.19＜x＜﹣7.18 D．﹣7.18＜x＜﹣7.17 18．抛物线y＝﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表所示： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 0 4 6 6 4 … 从表可知，下列说法中，错误的是（　　） A．抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0） B．抛物线与y轴的交点坐标为（0，6） C．抛物线的对称轴是直线 D．抛物线在对称轴左侧部分y随x的增大而减小 19．已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　） A．k≤4且k≠3 B．k＜4且k≠3 C．k＜4 D．k≤4 20．如图一段抛物线y＝x2﹣3x（0≤x≤3），记为C1，它与x轴于点O和A1：将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕旋转180°得到C3，交x轴于A3，如此进行下去，若点P（2020，m）在某段抛物线上，则m的值为（　　） A．0 B．﹣ C．2 D．﹣2 21．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根为x＝4，则另一个根为 　 　． 22．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小蕾同学画出“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列四个结论： ①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）； ②当x＝1时，函数有最大值4； ③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大； ④函数与直线y＝m有4个公共点，则m的取值范围是0＜m≤4． 其中所有正确结论的序号是 　 　． 23．如图，抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），点C关于抛物线对称轴的对称点为点D，动点E在y轴上，点F在以点B为圆心，半径为1的圆上，则DE+EF的最小值是 　 　． 24．已知函数y＝|x2﹣2x﹣3|的大致图象如图所示，如果方程|x2﹣2x﹣3|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根，则m的取值范围是 　 　． 七．二次函数与不等式（组）（共3小题） 25．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1）、B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是 　 　． 26．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，对称轴为直线x＝1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是 　 　． 27．如图，直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+c都经过点A（1，0）和B（3，2），不等式x2+bx+c＞x+m的解集为 　 　． 八．二次函数的应用（共15小题） 28．掷实心球是中学生体质健康检测中的一项，体育老师给出标准示范图，小明发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（米）与飞行的水平距离x（米）之间具有函数关系，则小明这次实心球训练的成绩为（　　） A． B．3 C．8 D．10 29．一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度h（米）与经过时间t（秒）的关系式为h＝12t﹣6t2，那么球从弹起后又回到地面所经过的总路程是（　　） A．4米 B．6米 C．8米 D．12米 30．如图是某抛物线型的拱桥示意图，已知该抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+10，为了给行人提供生命保障，在该拱桥上距水面AB高为8米的点E、F处悬挂了两个救生圈，则这两个救生圈间的水平距离EF为 　 　米． 31．“一河诗画，满城烟花”，每逢过年过节，人们会在美丽的浏阳河边上手持网红烟花加特林进行燃放，当发射角度与水平面成45度角时，烟花在空中的高度y（米）与水平距离x（米）接近于抛物线y＝﹣0.5x2+10x﹣38，烟花可以达到的最大高度是 　 　米． 32．已知某品牌汽车在进行刹车测试时发现，该品牌某款汽车刹车后行驶的距离S（单位：米）与行驶时间t（单位：秒）满足下面的函数关系：S＝12t﹣4t2（t≥0）．那么测试实验中该汽车从开始刹车到完全停止，共行驶了 　 　米． 33．如图是公园的一座抛物线型拱桥，建立坐标系得到函数，当拱顶到水面的距离为4米时，水面宽AB＝　 　米． 34．某商品进价为50元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，经市场调查反映，每涨价1元，每星期要少卖出10件，则在涨价的情况下，可获得最大利润 　 　元． 35．某日6时至10时，某交易平台上一种水果的每千克售价、每千克成本与交易时间之间的关系分别如图1、图2所示（图1、图2中的图象分别是线段和抛物线，其中点P是抛物线的顶点）．在这段时间内，出售每千克这种水果收益最大的时刻是　 　，此时每千克的收益是　 　． 36．2023年成都大运会期间，吉祥物“蓉宝”受到人们的广泛喜爱，某网店以每个32元的价格购进了一批蓉宝吉祥物，由于销售火爆，销售单价经过两次的调整，从每个50元上涨到每个72元，此时每天可售出200个蓉宝吉祥物． （1）若销售价格每次上涨的百分率相同，求每次上涨的百分率； （2）经过市场调查发现：销售单价每降价1元，每天多卖出10个，网店每个应降价多少元？才能使每天利润达到最大，最大利润为多少元？ 37．如图1，某公园一个圆形喷水池，在喷水池中心O处竖直安装一根高度为1.25m的水管OA，A处是喷头，喷出水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，喷出水流的运动路线可以看作是抛物线的一部分． 建立如图2所示的平面直角坐标系，测得喷出水流距离喷水池中心O的最远水平距离OB为2.5m，水流竖直高度的最高处位置C距离喷水池中心O的水平距离OD为1m． （1）求喷出水流的竖直高度y（m）与距离水池中心O的水平距离x（m）之间的关系式，并求水流最大竖直高度CD的长； （2）安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动（假设抛物线水流移动时，保持对称轴及形状不变），若水管OA的高度增加0.64m时，则水流离喷水池中心O的最远水平距离为 　 　m． 38．某超市销售一种商品，成本价为30元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元． （1）直接写出y与x之间的函数关系式： （2）如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为多少元？ （3）设每天的总利润为w元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ 39．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为160m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2 （1）是否存在x的值，使得矩形ABCD的面积是1500m2； （2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？ 40．某一抛物线形隧道，一侧建有垂直于地面的隔离墙，其横截面如图所示，并建立平面直角坐标系．已知抛物线经过（0，3），，三点． （1）求抛物线的解析式（不考虑自变量的取值范围）； （2）有一辆高5m，顶部宽4m的工程车要通过该隧道，该车能否正常通过？并说明理由； （3）现准备在隧道上A处安装一个直角形钢架BAC，对隧道进行维修．B，C两点分别在隔离墙和地面上，且AB与隔离墙垂直，AC与地面垂直，求钢架BAC的最大长度． 41．北京冬奥会的召开燃起了人们对冰雪运动的极大热情，如图是某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y＝﹣近似表示滑雪场地上的一座小山坡，小雅从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y＝ax2+x+c运动． （1）当小雅滑到离A处的水平距离为6米时，其滑行达到最高位置为米．求出a，c的值； （2）小雅若想滑行到坡顶正上方时，与坡顶距离不低于米，请求出a的取值范围． 42．某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4m，宽AB＝3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m． （1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝kx2+m（k≠0）表示．求该抛物线的函数表达式； （2）现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2．已知GM＝2m，求每个B型活动板房的成本是多少？（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本） （3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n（元）定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大？最大利润是多少？ 九．二次函数综合题（共8小题） 43．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝﹣x﹣1与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D（5，﹣6），已知P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值； （3）设M为直线l上的动点，以NC为一边且顶点为N，C，M，P的四边形是平行四边形，求所有符合条件的M点坐标． 44．如图1，抛物线y1＝ax2﹣3x+c的图象与x轴的交点为A和B，与y轴交点为D（0，4），与直线y2＝﹣x+b交点为A和C，且OA＝OD． （1）求抛物线的解析式和b值； （2）在直线y2＝﹣x+b上是否存在一点P，使得△ABP是等腰直角三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）将抛物线y1图象x轴上方的部分沿x轴翻折得一个“M”形状的新图象（如图2），若直线y3＝﹣x+n与该新图象恰好有四个公共点，请求出此时n的取值范围． 45．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+4与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线解析式及B，C两点坐标； （2）以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐标； （3）该抛物线对称轴上是否存在点E，使得∠ACE＝45°，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 46．如图1，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（3，0）和点B（﹣1，0），交y轴于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）若点D是直线AC上方抛物线上一动点，连接BC，AD和BD，BD交AC于点M，设△ADM的面积为S1，△BCM的面积为S2，当S1﹣S2＝1时，求点D的坐标； （3）如图2，若点P是抛物线上一动点，过点P作PQ⊥x轴交直线AC于Q点，请问在y轴上是否存在点E，使以P，Q，E，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 47．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中 A（﹣3，0），∠ACB＝90°． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过P作PM⊥AC 于M点，在射线MA上取一点N，使得2MN＝AC，连接PN，求△PMN面积的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，在（2）中△PMN面积取得最大值的条件下，将抛物线向左平移，当平移后的抛物线过点P时停止平移，平移后点C的对应点为 C'，D为原抛物线上一点，E为直线AC上一点，若以O、C′、D、E为顶点的四边形为平行四边形，求符合条件的D点横坐标． 48．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴正半轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），点C在该抛物线上且在第一象限． （1）求该抛物线的表达式； （2）将该抛物线向下平移m个单位，使得点C落在线段AB上的点D处，当AD＝3BD时，求m的值； （3）连接BC，当∠CBA＝2∠BAO时，求点C的坐标． 49．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A，B两点（B在A的右侧），与y轴交于点C，已知OA＝1，OB＝4OA，连接BC． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P为BC下方抛物线上一动点，连接BP、CP，当S△BCP＝S△BOC时，求点P的坐标； （3）如图2，点N为线段OC上一点，求AN+CN的最小值． 50．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣5），连接BC．N是线段BC上方抛物线上一点，过点N作NM⊥BC于M． （1）求抛物线的解析式和点B的坐标； （2）求线段NM的最大值； （3）若点P是y轴上的一点，是否存在点P，使以B，C，P为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由． $$ 专题07二次函数（易错必刷50题9种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 二次函数的图象 · 二次函数的性质 · 二次函数图象与系数的关系 · 二次函数图象上点的坐标特征 · 二次函数图象与几何变换 · 抛物线与x轴的交点 · 二次函数与不等式（组） · 二次函数的应用 · 二次函数综合题 一．二次函数的图象（共2小题） 1．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝ax2+c的图象大致为（　　） A．B． C．D． 【答案】D 【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c）， ∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误； 当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故C选项错误； 当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故A选项错误； 故选：D． 2．函数y＝与y＝﹣kx2+k（k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A．B． C．D． 【答案】B 【解答】解：解法一：由解析式y＝﹣kx2+k可得：抛物线对称轴x＝0； A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则﹣k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故A错误； B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故B正确； C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故C错误； D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故D错误． 解法二： ①k＞0，双曲线在一、三象限，﹣k＜0，抛物线开口向下，顶点在y轴正半轴上，选项B符合题意； ②K＜0时，双曲线在二、四象限，﹣k＞0，抛物线开口向上，顶点在y轴负半轴上，选项B符合题意； 故选：B． 二．二次函数的性质（共5小题） 3．小明在学习函数后，在“几何画板”软件中绘制了函数y＝x2（x﹣3）的图象，如图所示．通过观察此图象，下列说法错误的是（　　） A．点（2，﹣4）在y＝x2（x﹣3）的图象上 B．若x＜3，则y＜0 C．x3﹣3x2﹣kx+2k＝0最多有三个实数根 D．当0＜x＜2时，y随x的增大而减小 【答案】B 【解答】解：由题意，对于A，当x＝2时，y＝﹣4， ∴点（2，﹣4）在y＝x2（x﹣3）的图象上，故A正确，不合题意； 对于B，结合图象可得 若x＜3，则y≤0， ∴B错误，符合题意； 对于C，∵函数y＝x3﹣3x2与直线y＝kx﹣2k＝k（x﹣2）的交点如图所示， ∴函数y＝x3﹣3x2与直线y＝kx﹣2k＝k（x﹣2）的交点最多3个． ∴方程x3﹣3x2﹣kx+2k＝0最多有三个实数根，故C正确，不符合题意； 对于D，结合图象可得，当0＜x＜2时，y随x的增大而减小， ∴D正确，不合题意． 故选：B． 4．对于抛物线y＝3（x﹣2）2﹣1，下列说法正确的是（　　） A．y随x的增大而减小 B．当x＝2时，y有最大值﹣1 C．若点A（3，y1），B（1，y2）都在抛物线y＝3（x﹣2）2﹣1上，则y1＞y2 D．经过第一、二、四象限 【答案】D 【解答】解：由题意，∵抛物线y＝3（x﹣2）2﹣1， 又a＝3＞0， ∴当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大，故A错误，不合题意． ∵抛物线开口向上， ∴当x＝2时，y取最小值为﹣1，故B错误，不合题意． 由题意得，抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． ∵抛物线的对称轴是直线x＝2， 又|3﹣2|＝|1﹣2|， ∴y1＝y2，故C错误，不合题意． ∵当x＜2时，y随x的增大而减小，且当x＝0时，y＝11， ∴当x＜0时，y＞11，故图象不经过三象限，故D正确，符合题意． 故选：D． 5．如图，“爱心”图案是由函数y＝﹣x2+10的部分图象与其关于直线y＝x的对称图形组成．点A是直线y＝x上方“爱心”图案上的任意一点，点B是其对称点．若，则点A的坐标是 　（﹣2，6）或（1，9）　． 【答案】（﹣2，6）或（1，9）． 【解答】解：如图， 过点A作AD⊥x轴，交x轴于点E，交直线y＝x于点D，连接BD． ∵A、B关于直线y＝x对称， 设A（a，b）， ∴△ABD是等腰直角三角形，四边形OEDF是正方形． ∴B（b，a）． ∵AB＝． ∴8＝． ∴（8）2＝（b﹣a）2+（b﹣a）2． ∴128＝2（b﹣a）2． ∴（b﹣a）2＝64． ∴b﹣a＝8或b﹣a＝﹣8（舍去）， ∴b＝a+8． 又∵A（a，b）在y＝﹣x2+10上， ∴b＝﹣a2+10． ∴a+8＝﹣a2+10． ∴a2+a﹣2＝0． ∴a1＝﹣2，a2＝1． ①当a1＝﹣2时，b＝a+8＝﹣2+8＝6， ∴点A的坐标为（﹣2，6）． ②当a2＝1时，b＝a+8＝1+8＝9， ∴点A的坐标为（1，9）． 故答案为：（﹣2，6）或（1，9）． 6．已知关于x的二次函数y＝﹣（x﹣5）2+1，当1≤x≤4时，函数的最大值为 　0　． 【答案】0． 【解答】解：∵a＝﹣1，抛物线对称轴是直线x＝5， ∴x＜5时，y随着x的增大而增大， ∵1≤x≤4， ∴x＝4时，y有最大值＝0； 故答案为：0． 7．对任意实数a，b，记min{a，b}＝已知实数t＞0，若定义函数：f（x）＝min{x2，x2﹣x+t}． （1）求使得等式f（x）＝x2﹣x+t成立的x的取值范围； （2）求函数f（x）的最小值； （3）求函数f（x）当﹣1≤x≤1时的最大值． 【答案】（1）x≥t； （2）当x＞t时，f（x）最小值为， 当x≤t时，f（x）最小值为0； （3）1． 【解答】解：（1）由题可知：x2＞x2﹣x+t，解得x＞t； （2）当x≤t时，f（x）＝x2， ∵t＞0， ∴当x＝0时，f（x）有最小值0； 当x＞t时，f（x）＝， ∴当x＝时，f（x）＝， ∴当x＞t时，f（x）最小值为， 当x≤t时，f（x）最小值为0； （3）由题可知﹣1≤x≤1， 当0＜t≤时，有两种情况如下： 当﹣1≤x≤t时，f（x）＝x2，当x＝﹣1时，f（x）有最大值为1； 当t＜x≤1时，f（x）＝x2﹣x+t，当x＝1时，f（x）有最大值为t＜1． ∴当﹣1≤x≤1时，f（x）最大值为1． 三．二次函数图象与系数的关系（共5小题） 8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），下列结论：①b2＞4ac；②4a+b＝0；③4a+c＞2b，④﹣3b+c＞0，⑤若顶点坐标为（2，4），则方程ax2+bx+c＝5没有实数根．其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【解答】解：由题意，∵抛物线的对称轴是直线x＝2，且抛物线过（﹣1，0）， ∴抛物线必过点（2+3，0），即（5，0）． ∴抛物线与x轴有两个交点． ∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故①正确． ∵抛物线的对称轴是直线x＝2＝﹣， ∴b＝﹣4a，则4a+b＝0，故②正确． ∵由图象可得当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0， ∴4a+c＜2b，故③错误． ∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0， ∴b＝a+c 又b＝﹣4a， ∴﹣4a＝a+c，故c＝﹣5a． ∴﹣3b+c＝﹣3×（﹣4a）﹣5a＝7a， ∵抛物线的开口向下，a＜0， ∴7a＜0，故④错误． ∵顶点坐标为（2，4）， 又抛物线开口向下， ∴抛物线y＝ax2+bx+c有最大值为4． ∴直线y＝5与抛物线y＝ax2+bx+c没有交点． ∴方程ax2+bx+c＝5没有实数根，故⑤正确． 综上，正确的有3个． 故选：B． 9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③a﹣b+c＞0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：由题意，由图象可得， a＞0，c＜0． 又﹣＝﹣， ∴b＝a＞0． ∴abc＜0，故①错误，②正确． 又由图象知，当x＝﹣1时，y＜0， ∴a﹣b+c＜0，故③错误． ∵二次函数y＝ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，故④正确． 综上，正确的有：②④． 故选：B． 10．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1，直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B作垂直于y轴的直线l与抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1有两个交点，在抛物线对称轴右侧的交点记为P，当△OAP为锐角三角形时，则m的取值范围是（　　） A．m＞﹣1 B．m＜﹣2 C．m＜﹣2或m＞1 D．﹣2＜m＜1 【答案】D 【解答】解：当y＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝3； 当x＝0时，y＝3， 由题意，如图． 当y＝3时，y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝3， 则x＝m±2，则点P（m+2，3）， 当△OAP为锐角三角形时， ∴0＜m+2＜3． ∴﹣2＜m＜1． 故选：D． 11．已知二次函数y＝x2+2x+2m﹣1的图象只经过三个象限，则m的取值范围是（　　） A．m＜1 B．m≥ C．＜m＜1 D．≤m＜1 【答案】D 【解答】解：∵二次函数y＝x2+2x+2m﹣1的图象只经过三个象限， ∴开口方向向上， 其对称轴为x＝﹣1， 则＜0，2m﹣1≥0， 解得≤m＜1． 如图： 故选：D． 12．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，3），（1，﹣1）两点． （1）求b的值； （2）求证该二次函数的图象与x轴的总有两个公共点； （3）设该函数图象与x轴的两个公共点分别为（m，0）、（n，0）．当mn＜0时，直接写出a的取值范围． 【答案】（1）b＝﹣2；（2）证明见过程；（3）a＜0或a＞1． 【解答】解：（1）由题意，∵二次函数图象经过（﹣1，3），（1，﹣1）两点， ∴a﹣b+c＝3①，a+b+c＝﹣1②． ∴②﹣①得，2b＝﹣4． ∴b＝﹣2． （2）由（1）得，b＝﹣2， 又a﹣b+c＝3， ∴a+c＝1． ∴c＝1﹣a． ∴Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4a（1﹣a） ＝4﹣4a+4a2 ＝（2a﹣1）2+3． ∵对于任意的a都有（2a﹣1）2≥0， ∴Δ＝（2a﹣1）2+3≥3＞0． ∴该二次函数的图象与x轴的总有两个公共点． （3）由题意，∵该函数图象与x轴的两个公共点分别为（m，0）、（n，0）， ∴mn＝＝． 又mn＜0， ∴＜0． ①当a＜0时， ∴1﹣a＞0． ∴a＜1． ∴a＜0． ②当a＞0时， ∴1﹣a＜0． ∴a＞1． 综上，a＜0或a＞1． 四．二次函数图象上点的坐标特征（共2小题） 13．若A（﹣1，y1），B（﹣5，y2），C（0，y3）为二次函数y＝x2+4x﹣m的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3 【答案】B 【解答】解：由题意，∵抛物线为y＝x2+4x﹣m＝（x+2）2﹣4﹣m， ∴抛物线的对称轴是直线x＝﹣2，且抛物线开口向上． ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． ∵A（﹣1，y1），B（﹣5，y2），C（0，y3），且﹣1﹣（﹣2）＝1＜0﹣（﹣2）＝2＜﹣2﹣（﹣5）＝3， ∴y1＜y3＜y2． 故选：B． 14．在直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），若抛物线y＝x2﹣2x+n﹣1与线段OA有且只有一个公共点，则n的取值范围为　﹣2≤n＜1或n＝2　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵点A的坐标为（3，0），抛物线y＝x2﹣2x+n﹣1＝（x﹣1）2+n﹣2与线段OA有且只有一个公共点， ∴n﹣2＝0或， 解得，﹣2≤n＜1或n＝2， 故答案为：﹣2≤n＜1或n＝2． 五．二次函数图象与几何变换（共2小题） 15．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（　　） A．y＝（x+2）2+2 B．y＝（x﹣2）2﹣2 C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x+2）2﹣2 【答案】B 【解答】解：将抛物线y＝x2﹣4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是y＝（x﹣2）2﹣4+2，即y＝（x﹣2）2﹣2． 故答案为：y＝（x﹣2）2﹣2． 故选：B． 16．一位同学在画二次函数y＝2x2﹣bx+3的图象时，把﹣b看成了+b，结果所画图象是由原图象向左平移6个单位长度所得的图象，则b的值为（　　） A．24 B．﹣24 C．﹣12 D．12 【答案】D 【解答】解：由题意，∵二次函数y＝2x2﹣bx+3＝2（x2﹣x+）+3﹣＝2（x﹣）2+3﹣， 又向左平移6个单位长度， ∴所得的解析式为y＝2（x﹣+6）2+3﹣． 又结合画错的解析式y＝2x2+bx+3＝2（x+）2+3﹣， ∴﹣+6＝． ∴b＝12． 故选：D． 六．抛物线与x轴的交点（共8小题） 17．已知抛物线y＝ax2+bx+c上的某些点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … ﹣7.21 ﹣7.20 ﹣7.19 ﹣7.18 ﹣7.17 … y … ﹣0.04 ﹣0.03 0.01 0.02 0.03 … 则该函数与x轴的其中一个交点的横坐标的范围是（　　） A．﹣7.21＜x＜﹣7.20 B．﹣7.20＜x＜﹣7.19 C．﹣7.19＜x＜﹣7.18 D．﹣7.18＜x＜﹣7.17 【答案】B 【解答】解：由题意，抛物线随x的增大而增大， 又∵当x＝﹣7.20时，y＝﹣0.03＜0，而当x＝﹣7.19时，y＝0.01＞0， ∴在﹣7.20＜x＜﹣7.19时，必有有一个x的值使得y＝0． ∴该函数与x轴的其中一个交点的横坐标的范围是﹣7.20＜x＜﹣7.19． 故选：B． 18．抛物线y＝﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表所示： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 0 4 6 6 4 … 从表可知，下列说法中，错误的是（　　） A．抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0） B．抛物线与y轴的交点坐标为（0，6） C．抛物线的对称轴是直线 D．抛物线在对称轴左侧部分y随x的增大而减小 【答案】D 【解答】解：由题意，抛物线过（﹣2，0），（0，6）， ∴抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），与y轴交于点（0，6），故A、B正确． 根据表格数据可得抛物线对称轴是直线x＝＝，故C正确． ∵a＝﹣1＜0， ∴当x＜时，y随x的增大而增大，故D错误． 综上，错误的是D． 故选：D． 19．已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　） A．k≤4且k≠3 B．k＜4且k≠3 C．k＜4 D．k≤4 【答案】D 【解答】解：当k＝3时，函数y＝2x+1是一次函数，它的图象与x轴有一个交点； 当k≠3，函数y＝（k﹣3）x2+2x+1是二次函数， 当22﹣4（k﹣3）≥0， k≤4 即k≤4时，函数的图象与x轴有交点． 综上k的取值范围是k≤4． 故选：D． 20．如图一段抛物线y＝x2﹣3x（0≤x≤3），记为C1，它与x轴于点O和A1：将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕旋转180°得到C3，交x轴于A3，如此进行下去，若点P（2020，m）在某段抛物线上，则m的值为（　　） A．0 B．﹣ C．2 D．﹣2 【答案】C 【解答】解：当y＝0时，x2﹣3x＝0， 解得：x1＝0，x2＝3， ∴点A1的坐标为（3，0）． 由旋转的性质，可知：点A2的坐标为（6，0）． ∵2020＝336×6+4， ∴当x＝4时，y＝m． 由图象可知：当x＝2时的y值与当x＝4时的y值互为相反数， ∴m＝﹣（2×2﹣3×2）＝2． 故选：C． 21．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根为x＝4，则另一个根为 　x＝﹣2　． 【答案】x＝﹣2． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1， ∴﹣＝1，即b＝﹣2a， 根据根与系数的关系得4+x＝﹣＝﹣＝2， 解得x＝﹣2， 即方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的另一个根为x＝﹣2． 故答案为：x＝﹣2． 22．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小蕾同学画出“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列四个结论： ①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）； ②当x＝1时，函数有最大值4； ③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大； ④函数与直线y＝m有4个公共点，则m的取值范围是0＜m≤4． 其中所有正确结论的序号是 　①③　． 【答案】①③． 【解答】解：令y＝|x2﹣2x﹣3|＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，即图象与x轴有两个交点（﹣1，0），（3，0）， 令x＝0，得y＝3，即图象与y轴的交点为（0，3）， 即图象与坐标轴的交点（﹣1，0），（3，0）和（0，3），故①正确． 由图象可知，当x＜﹣1时，函数值随x的减小而增大，当x＞3时，函数值随x的增大而增大，均存在大于顶点坐标的函数值，故当x＝1时的函数值4并非最大值，故②错误． 根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，故③正确． 由图象可知，函数与直线y＝m有4个公共点，则m的取值范围是0＜m＜4，故④错误． 故答案为：①③． 23．如图，抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），点C关于抛物线对称轴的对称点为点D，动点E在y轴上，点F在以点B为圆心，半径为1的圆上，则DE+EF的最小值是 　﹣1　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：对于y＝x2﹣4x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，解得x＝1或3， 故点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（1，0）、（3，0）， 函数的对称轴为直线x＝﹣＝2，则点D（4，3）， 过点D作y轴的对称点H（﹣4，3），连接BH交y轴于点E，交圆B于点F，则点E、F为所求点， 理由：∵点H、D关于y轴对称，则EH＝ED， 则DE+EF＝HE+EF＝HF为最小， 则DE+EF最小＝HF＝HB﹣1＝﹣1＝﹣1． 故答案为：﹣1． 24．已知函数y＝|x2﹣2x﹣3|的大致图象如图所示，如果方程|x2﹣2x﹣3|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根，则m的取值范围是 　m＝0或m＞4　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：从图象可以看出当y＝0时，y＝|x2﹣2x﹣3|的x值对应两个不等实数根， 即m＝0时，方程|x2﹣2x﹣3|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根； 从图象可出y的值取其抛物线部分的顶点处纵坐标值时，在整个函数图象上对应的x的值有三个， 当y的值比抛物线顶点处纵坐标的值大时，对于整个函数图象上对应的x值有两个不相等的实数根． |x2﹣2x﹣3|＝|（x﹣1）2﹣4|，其最大值为4，所以当m＞4时，方程|x2﹣2x﹣3|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根， 综上所述当m＝0或m＞4时，方程|x2﹣2x﹣3|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根． 故答案为m＝0或m＞4． 七．二次函数与不等式（组）（共3小题） 25．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1）、B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是 　﹣1≤x≤3　． 【答案】﹣1≤x≤3． 【解答】解：∵y＝kx+m与y＝﹣kx+m的图象关于y轴对称， ∴直线y＝﹣kx+m与抛物线y＝ax2+c的交点A′、B′与点A、B也关于y轴对称， 如图所示： ∵A（﹣3，y1），B（1，y2）， ∴A′（3，y1），B′（﹣1，y2）， 根据函数图象得：不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是﹣1≤x≤3， 故答案为：﹣1≤x≤3． 26．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，对称轴为直线x＝1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是 　﹣1＜x＜3　． 【答案】﹣1＜x＜3． 【解答】解：由图象得：对称轴是直线x＝1，其中一个点的坐标为（3，0）， ∴图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）． 利用图象可知： ax2+bx+c＞0的解集即是y＞0的解集， ∴﹣1＜x＜3． 故答案为：﹣1＜x＜3． 27．如图，直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+c都经过点A（1，0）和B（3，2），不等式x2+bx+c＞x+m的解集为 　x＜1或x＞3　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+c都经过点A（1，0）和B（3，2）， ∴根据图象可知，不等式x2+bx+c＞x+m 的解集为x＜1或x＞3； 故答案为：x＜1或x＞3． 八．二次函数的应用（共15小题） 28．掷实心球是中学生体质健康检测中的一项，体育老师给出标准示范图，小明发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（米）与飞行的水平距离x（米）之间具有函数关系，则小明这次实心球训练的成绩为（　　） A． B．3 C．8 D．10 【答案】D 【解答】解：由题意，当y＝0时，则﹣x2+x+＝0， 解得x＝﹣2（舍去）或x＝10． 故选：D． 29．一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度h（米）与经过时间t（秒）的关系式为h＝12t﹣6t2，那么球从弹起后又回到地面所经过的总路程是（　　） A．4米 B．6米 C．8米 D．12米 【答案】D 【解答】解：由题意，h＝12t﹣6t2＝﹣6（t﹣1）2+6． 又∵﹣6＜0， ∴当t＝1时，h有最大值，最大值是6． ∴球距离地面的最大高度是6米． ∴球从弹起后又回到地面所经过的总路程是12米． 故选：D． 30．如图是某抛物线型的拱桥示意图，已知该抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+10，为了给行人提供生命保障，在该拱桥上距水面AB高为8米的点E、F处悬挂了两个救生圈，则这两个救生圈间的水平距离EF为 　10　米． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由题意，由“在该抛物线上距水面AB高为8米的点”， 可知y＝8， 把y＝8代入y＝﹣x2+10，得： 8＝﹣x2+10， ∴x＝±5． ∴由两点间距离公式可求出EF＝10（米）． 故答案为：10． 31．“一河诗画，满城烟花”，每逢过年过节，人们会在美丽的浏阳河边上手持网红烟花加特林进行燃放，当发射角度与水平面成45度角时，烟花在空中的高度y（米）与水平距离x（米）接近于抛物线y＝﹣0.5x2+10x﹣38，烟花可以达到的最大高度是 　12　米． 【答案】12． 【解答】解：由题意，∵y＝﹣0.5x2+10x﹣38＝﹣0.5（x﹣10）2+12， 又a＝﹣0.5＜0， ∴当x＝10时，烟花可以达到的最大高度，最大高度是12米． 故答案为：12． 32．已知某品牌汽车在进行刹车测试时发现，该品牌某款汽车刹车后行驶的距离S（单位：米）与行驶时间t（单位：秒）满足下面的函数关系：S＝12t﹣4t2（t≥0）．那么测试实验中该汽车从开始刹车到完全停止，共行驶了 　9　米． 【答案】9． 【解答】解：由题意，∵s＝12t﹣4t2＝﹣4（t﹣）2+9， ∵a＝﹣4， ∴当t＝时，前行的距离最大，最大距离为9米， ∴汽车从开始刹车到完全停下这段时间的行驶的距离为：9米． 故答案为：9． 33．如图是公园的一座抛物线型拱桥，建立坐标系得到函数，当拱顶到水面的距离为4米时，水面宽AB＝　8　米． 【答案】8． 【解答】解：由题意，当拱顶到水面的距离为4米时， ∴令y＝﹣4，得﹣4＝﹣x2． ∴x＝±4． ∴A（﹣4，﹣4），B（4，﹣4）． ∴AB＝4﹣（﹣4）＝8（米）． 故答案为：8． 34．某商品进价为50元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，经市场调查反映，每涨价1元，每星期要少卖出10件，则在涨价的情况下，可获得最大利润 　4000　元． 【答案】4000． 【解答】解：设涨价x时， ∴每星期售出商品的利润为y＝（60﹣50+x）（300﹣10x）＝﹣10x2+200x+3000＝﹣10（x﹣10）2+4000． ∴当x＝10时，y有最大值，最大值为4000． ∴定价为60+10＝70（元）． 答：每件商品定价为70元时利润最大，最大利润为4000元． 故答案为：4000． 35．某日6时至10时，某交易平台上一种水果的每千克售价、每千克成本与交易时间之间的关系分别如图1、图2所示（图1、图2中的图象分别是线段和抛物线，其中点P是抛物线的顶点）．在这段时间内，出售每千克这种水果收益最大的时刻是　9时　，此时每千克的收益是　元　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设图1中交易时间y1与每千克售价x1的函数关系式为： y1＝kx1+b， 将（5，10）（6，8）代入解得k＝﹣2，b＝20， 所以y1＝﹣2x1+20 设每千克成本y2与交易时间x2的函数关系式为： y2＝a（x2﹣10）2+3 将（6，7）代入，解得a＝ 所以y2＝（x2﹣10）2+3 ＝x22﹣5x2+28 设在这段时间内，出售每千克这种水果的收益为w元， 根据题意，得 y2＝x22﹣5x2+28 ＝（﹣2x1+20）2﹣5（﹣2x1+20）+28 ＝x12﹣10x1+28 w＝x1﹣y2 ＝x1﹣（x12﹣10x1+28） ＝﹣x12+11x1﹣28 ＝﹣（x1﹣）2+ 当x1＝时，y1＝﹣11+20＝9， w取得最大值，最大值为． 答：在这段时间内，出售每千克这种水果收益最大的时刻为9时， 此时每千克的收益是元． 故答案为：9时，元． 36．2023年成都大运会期间，吉祥物“蓉宝”受到人们的广泛喜爱，某网店以每个32元的价格购进了一批蓉宝吉祥物，由于销售火爆，销售单价经过两次的调整，从每个50元上涨到每个72元，此时每天可售出200个蓉宝吉祥物． （1）若销售价格每次上涨的百分率相同，求每次上涨的百分率； （2）经过市场调查发现：销售单价每降价1元，每天多卖出10个，网店每个应降价多少元？才能使每天利润达到最大，最大利润为多少元？ 【答案】（1）20%；（2）网店每个应降价10元，才能使每天利润达到最大，最大利润为9000元． 【解答】解：（1）由题意，设每次上涨的百分率为m， 依题意，得：50（1+m）2＝72， 解得：m1＝0.2＝20%，m2＝﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：每次上涨的百分率为20%． （2）由题意，设每个售价为x元， ∴每天的利润w＝（x﹣32）[200+10（72﹣x）] ＝﹣10x2+1240x﹣29440 ＝﹣10（x﹣62）2+9000． ∴当x＝62时，每天的最大利润为9000． ∴网店每个应降价（72﹣62）元，即网店每个应降价10元． 答：网店每个应降价10元，才能使每天利润达到最大，最大利润为9000元． 37．如图1，某公园一个圆形喷水池，在喷水池中心O处竖直安装一根高度为1.25m的水管OA，A处是喷头，喷出水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，喷出水流的运动路线可以看作是抛物线的一部分． 建立如图2所示的平面直角坐标系，测得喷出水流距离喷水池中心O的最远水平距离OB为2.5m，水流竖直高度的最高处位置C距离喷水池中心O的水平距离OD为1m． （1）求喷出水流的竖直高度y（m）与距离水池中心O的水平距离x（m）之间的关系式，并求水流最大竖直高度CD的长； （2）安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动（假设抛物线水流移动时，保持对称轴及形状不变），若水管OA的高度增加0.64m时，则水流离喷水池中心O的最远水平距离为 　2.7　m． 【答案】（1）y＝﹣（x﹣1）2+2.25（0≤x≤2.5 ）；2.25 m；（2）2.7． 【解答】解：（1）由题意，A点坐标为（0，1.25），B点坐标为（2.5，0）． 设抛物线的解析式为 y＝a（x﹣1）2+k（a≠0）， ∵抛物线经过点A，点B， ∴． ∴． ∴y＝﹣（x﹣1）2+2.25（0≤x≤2.5 ）． ∴x＝1时，y＝2.25． ∴水流喷出的最大高度为2.25 m． （2）由题意，∵抛物线水流移动时，保持对称轴及形状不变， ∴可设抛物线为y＝﹣（x﹣1）2+m． 又此时A为（0，1.89）， ∴1.89＝﹣1+m． ∴m＝2.89． ∴抛物线为y＝﹣（x﹣1）2+2.89． 令y＝0， ∴x＝2.7或x＝﹣0.7（x＜0，不合题意）． ∴水流离喷水池中心O的最远水平距离为2.7 m． 故答案为：2.7． 38．某超市销售一种商品，成本价为30元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元． （1）直接写出y与x之间的函数关系式： （2）如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为多少元？ （3）设每天的总利润为w元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 将（30，150）；（80，100）分别代入得： ， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+180； （2）设利润为w元， 由题意得： w＝（x﹣30）（﹣x+180） ＝﹣x2+210x﹣5400， ∴w＝﹣x2+210x﹣5400（30≤x≤80）； 令﹣x2+210x﹣5400＝3600， 解得x＝60或x＝150（舍）， ∴如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为60元； （3）由（2）知，w＝﹣（x﹣105）2+5625， ∵﹣1＜0， ∴当x≤105时，w随x的增大而增大， ∵30≤x≤80， ∴当x＝80时，w最大，最大为5000元． ∴当销售单价定为80元时，该超市每天的利润最大，最大利润是5000元． 39．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为160m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2 （1）是否存在x的值，使得矩形ABCD的面积是1500m2； （2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设AE＝a，由题意得： AE•AD＝2BE•BC ∵AD＝BC ∴BE＝a，AB＝ 由题意可得：2x+3a+2×a＝160 ∴a＝40﹣x ∴y＝AB•BC＝ax＝（40﹣x）x ∴y＝﹣x2+60x （0＜x＜80） 令y＝1500得：﹣x2+60x＝1500 化简得：x2﹣80x+2000＝0 ∵△＝802﹣4×2000＝6400﹣8000＜0 ∴方程无解 答：不存在x的值，使得矩形ABCD的面积是1500m2 （2）∵y＝﹣x2+60x＝﹣（x﹣40）2+1200 ∴当x＝40时，y有最大值，最大值是1200m2． 40．某一抛物线形隧道，一侧建有垂直于地面的隔离墙，其横截面如图所示，并建立平面直角坐标系．已知抛物线经过（0，3），，三点． （1）求抛物线的解析式（不考虑自变量的取值范围）； （2）有一辆高5m，顶部宽4m的工程车要通过该隧道，该车能否正常通过？并说明理由； （3）现准备在隧道上A处安装一个直角形钢架BAC，对隧道进行维修．B，C两点分别在隔离墙和地面上，且AB与隔离墙垂直，AC与地面垂直，求钢架BAC的最大长度． 【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）不能正常通过；（3）钢架BAC的最大长度为9m． 【解答】解：（1）由题意，设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c， ∴． ∴． ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3． （2）工程车不能正常通过．理由如下： ∵工程车高5m， ∴令y＝5，即5＝﹣x2+2x+3． ∴x＝3±． ∴纵坐标为5时，两点的距离为3+﹣（3﹣）＝2≈3.46＜4． 故高5m，顶部宽4m的工程车不能正常通过． （3）由题意，如图， 设A（m，﹣m2+2m+3）． 当OB＝3时，令y＝3＝﹣m2+2m+3， ∴m＝0或m＝6． ∴B（0，﹣m2+2m+3）． ∵B在墙面上， ∴m≥6． 由AB+AC＝m﹣m2+2m+3 ＝﹣m2+3m+3 ＝﹣（m﹣）2+， 又当m＞时，（AB+AC）的值随m的增大而减小， ∴当m＝6时，（AB+AC）取最大值，最大值为9． ∴钢架BAC的最大长度为9m． 41．北京冬奥会的召开燃起了人们对冰雪运动的极大热情，如图是某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y＝﹣近似表示滑雪场地上的一座小山坡，小雅从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y＝ax2+x+c运动． （1）当小雅滑到离A处的水平距离为6米时，其滑行达到最高位置为米．求出a，c的值； （2）小雅若想滑行到坡顶正上方时，与坡顶距离不低于米，请求出a的取值范围． 【答案】（1）a＝﹣，c＝4； （2）﹣≤a＜0． 【解答】解：（1）由题意可知抛物线C2：y＝ax2+x+c过点（0，4）和（6，）， 将其代入得：， 解得，． ∴a＝﹣，c＝4； （2）∵抛物线C2经过点（0，4）， ∴c＝4， 抛物线C1：y＝﹣＝﹣（x﹣8）2+， 当x＝8时，运动员到达坡顶， 即82a+8×+4＞+， 解得a≥﹣， ∴﹣≤a＜0． 42．某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4m，宽AB＝3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m． （1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝kx2+m（k≠0）表示．求该抛物线的函数表达式； （2）现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2．已知GM＝2m，求每个B型活动板房的成本是多少？（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本） （3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n（元）定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大？最大利润是多少？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵长方形的长AD＝4m，宽AB＝3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m． ∴OH＝AB＝3， ∴EO＝EH﹣OH＝4﹣3＝1， ∴E（0，1），D（2，0）， ∴该抛物线的函数表达式为：y＝kx2+1， 把点D（2，0）代入，得k＝﹣， ∴该抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+1； （2）∵GM＝2， ∴OM＝OG＝1， ∴当x＝1时，y＝， ∴N（1，）， ∴MN＝， ∴S矩形MNFG＝MN•GM＝×2＝， ∴每个B型活动板房的成本是： 425+×50＝500（元）． 答：每个B型活动板房的成本是500元； （3）根据题意，得 w＝（n﹣500）[100+] ＝﹣2（n﹣600）2+20000， ∵每月最多能生产160个B型活动板房， ∴100+≤160， 解得n≥620， ∵﹣2＜0， ∴n≥620时，w随n的增大而减小， ∴当n＝620时，w有最大值为19200元． 答：公司将销售单价n（元）定为620元时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大，最大利润是19200元． 九．二次函数综合题（共8小题） 43．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝﹣x﹣1与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D（5，﹣6），已知P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值； （3）设M为直线l上的动点，以NC为一边且顶点为N，C，M，P的四边形是平行四边形，求所有符合条件的M点坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为：y＝﹣x2+3x+4． （2）当x＝2时，PE+PF取得最大值，最大值为18． （3）符合条件的M点有三个：，． 【解答】解：（1）∵直线l：y＝﹣x﹣1过点A， ∴A（﹣1，0）， 又∵D（5，﹣6）， 将点A，D的坐标代入抛物线表达式可得：， 解得． ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+3x+4． （2）如图， 设点P（x，﹣x2+3x+4）， ∵PE∥x轴，PF∥y轴， 则E（x2﹣3x﹣5，﹣x2+3x+4），F（x，﹣x﹣1）， ∵点P在直线l上方的抛物线上， ∴﹣1＜x＜5， ∴PE＝|x﹣（x2﹣3x﹣5）|＝﹣x2+4x+5，PF＝|﹣x2+3x+4﹣（﹣x﹣1）|＝﹣x2+4x+5， ∴PE+PF＝2（﹣x2+4x+5）＝﹣2（x﹣2）2+18． ∵﹣1＜x＜5， ∴当x＝2时，PE+PF取得最大值，最大值为18． （3）由（1）可求NC＝5， ∵NC是所求平行四边形的一边， ∴NC∥PM，设点p（t，﹣t2+3t+4），则M（t，﹣t﹣1）， 由题意知：|yP﹣yM|＝5，即|﹣t2+3t+4+t+1|＝5． 化简得：t2﹣4t＝0或t2﹣4t﹣10＝0， 解得：t1＝0（舍去），t2＝4，，． 则符合条件的M点有三个：，． 44．如图1，抛物线y1＝ax2﹣3x+c的图象与x轴的交点为A和B，与y轴交点为D（0，4），与直线y2＝﹣x+b交点为A和C，且OA＝OD． （1）求抛物线的解析式和b值； （2）在直线y2＝﹣x+b上是否存在一点P，使得△ABP是等腰直角三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）将抛物线y1图象x轴上方的部分沿x轴翻折得一个“M”形状的新图象（如图2），若直线y3＝﹣x+n与该新图象恰好有四个公共点，请求出此时n的取值范围． 【答案】（1）y1＝﹣x2﹣3x+4，b＝﹣4； （2）在直线y2＝﹣x﹣4上存在点P使得△ABP是等腰直角三角形，点P的坐标为（﹣，﹣）或（1，﹣5）； （3）﹣8＜n＜﹣4． 【解答】解：（1）∵D（0，4）， ∴OD＝4， ∵OA＝OD，点A在x的负半轴上， ∴A（﹣4，0）， 把A（﹣4，0），D（0，4）分别代入y1＝ax2﹣3x+c，得， 解得：， ∴该抛物线的解析式为y1＝﹣x2﹣3x+4， 把A（﹣4，0）代入y2＝﹣x+b，得4+b＝0， 解得：b＝﹣4； （2）存在． 在y1＝﹣x2﹣3x+4中，令y1＝0，得﹣x2﹣3x+4＝0， 解得：x1＝﹣4，x2＝1， ∴B（1，0）， 如图1，设直线y2＝﹣x﹣4与y轴交于点G， 则G（0，﹣4）， ∴OG＝4， ∵A（﹣4，0）， ∴OA＝4， ∴OA＝OG， ∴△AOG是等腰直角三角形， ∴∠BAC＝45°， 当∠APB＝90°时，如图1，过点P作PH⊥x轴于点H， ∵∠BAP＝45°，∠APB＝90°， ∴∠ABP＝45°＝∠BAP， ∴PA＝PB，即△ABP是等腰直角三角形， ∵PH⊥AB， ∴AH＝BH，即H是AB的中点， ∴H（﹣，0）， ∴点P的横坐标为﹣， 当x＝﹣时，y2＝﹣（﹣）﹣4＝﹣， ∴P1（﹣，﹣）； 当∠ABP＝90°时，则∠APB＝∠BAP＝45°， ∴BP＝AB＝5， ∴P2（1，﹣5）； 综上所述，在直线y2＝﹣x﹣4上存在点P使得△ABP是等腰直角三角形，点P的坐标为（﹣，﹣）或（1，﹣5）； （3）∵y1＝﹣x2﹣3x+4＝﹣（x+）2+， ∴抛物线y1＝﹣x2﹣3x+4的顶点为（﹣，），沿x轴翻折后的解析式为y＝（x+）2﹣， 把A（﹣4，0）代入y3＝﹣x+n，得4+n＝0， 解得：n＝﹣4， 联立抛物线y＝（x+）2﹣与直线y3得：（x+）2﹣＝﹣x+n， 整理得：x2+4x﹣（n+4）＝0， 当Δ＝16+4（n+4）＝0时，n＝﹣8， ∴当直线y3＝﹣x+n与该新图象恰好有四个公共点时，﹣8＜n＜﹣4． 45．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+4与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线解析式及B，C两点坐标； （2）以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐标； （3）该抛物线对称轴上是否存在点E，使得∠ACE＝45°，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+4，点C的坐标为（0，4），点B的坐标为（1，0）． （2）点D的坐标为（﹣4，4）或（﹣2，﹣4）或（4，4）， （3）E的坐标为（﹣1，）． 【解答】解：（1）把点A的坐标代入解析式得b＝， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+4， ∴点C的坐标为（0，4），点B的坐标为（1，0）． （2）以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况： ①若AC为对角线，设AC的中点为F，则根据中点坐标公式可得F的坐标为（﹣，2）， 设点D的坐标为（a，b），则有， 解得a＝﹣4，b＝4，此时点D的坐标为（﹣4，4）， ②若以AB为对角线，设AB的中点为F，则F的坐标为（﹣1，0）， 设点D的坐标为（a，b），则有， 解得a＝﹣2，b＝﹣4，此时点D的坐标为（﹣2，﹣4）， ③若以BC为对角线，设BC的中点为F，则点F的坐标为（，2）， 设点D的坐标为（a，b），则有， 解得a＝4，b＝4，此时点D的坐标为（4，4）， 综上所述，点D的坐标为（﹣4，4）或（﹣2，﹣4）或（4，4）； （3）存在，理由如下： ∵tan∠ACO＝＝＜1， ∴∠ACO＜45°， ∴E不可能出现在直线AC下方，也不可能在直线AC上， 当点E在直线AC上方时，∠ACE＝45°，过点E作EM⊥AC，如图： 根据点A（﹣3，0）和点C（0，4）可得直线AC的解析式为y＝，设直线AC与对称轴交于点H， ∴点H（﹣1，），HC＝， ∵EH∥y轴， ∴∠EHM＝∠HCO， ∴tan∠EHM＝tan∠HCO＝＝， ∴EM＝HM， ∵∠ACE＝45°， ∴EM＝CM， ∴HC＝HM+CM，即＝HM+HM， 解得HM＝， ∴EM＝， 在Rt△EMH中，EH＝， 解得EH＝， ∴E的纵坐标为＝， ∴点E的坐标为（﹣1，）． 46．如图1，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（3，0）和点B（﹣1，0），交y轴于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）若点D是直线AC上方抛物线上一动点，连接BC，AD和BD，BD交AC于点M，设△ADM的面积为S1，△BCM的面积为S2，当S1﹣S2＝1时，求点D的坐标； （3）如图2，若点P是抛物线上一动点，过点P作PQ⊥x轴交直线AC于Q点，请问在y轴上是否存在点E，使以P，Q，E，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）点D的坐标系为（1+，）或（1﹣，）； （3）符合条件的点E有三个，坐标分别为：（0，1）或（0，1﹣3）或（0，1+3）． 【解答】解：（1）把点A（3，0）和B（﹣1，0）代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）设D（x，y），对于y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，则y＝3， ∴C（0，3）， ∵S1﹣S2＝1， ∴S1＝S2+1， ∴S1+S△ABM＝S2+S△ABM+1，即S△ABD＝S△ABC+1， ∴×4×y＝×4×3+1， ∴y＝， ∴﹣x2+2x+3＝， 解得x＝1+或x＝1﹣； ∴点D的坐标为（1+，）或（1﹣，）； （3）存在，理由如下： 设直线AC的解析式为：y＝kx+b′， ∴， 解得， ∴直线AC的解析式为：y＝﹣x+3； ①当CQ为菱形的对角线时，如图，PE垂直平分CQ， ∵A（3，0），C（0，3）， ∴OA＝OC＝3， ∴∠OAC＝∠OCA＝45°， 此时四边形CEQP是正方形． ∴PQ＝EQ． 设P（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣m+3）， ∴PQ＝﹣m2+3m， ∴﹣m2+3m＝m，解得m＝0（不合题意舍去）或m＝2， 此时OE＝OC﹣m＝3﹣2＝1， ∴E（0，1）． ②当CQ为菱形的边时，作QH⊥OC于点H， 设P（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣m+3）， ∴HQ＝|m|，PQ＝|﹣m2+3m|， ∵∠OCA＝45°， ∴CQ＝HQ＝|m|， CE＝PQ＝|﹣m2+3m|＝|m|， 解得：m1＝3﹣，m2＝3+或m＝0（舍）． ∴E1（0，1﹣3），E2（0，1+3）， 综上所述，符合条件的点E有三个，坐标分别为：（0，1）或（0，1﹣3）或（0，1+3）． 47．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中 A（﹣3，0），∠ACB＝90°． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过P作PM⊥AC 于M点，在射线MA上取一点N，使得2MN＝AC，连接PN，求△PMN面积的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，在（2）中△PMN面积取得最大值的条件下，将抛物线向左平移，当平移后的抛物线过点P时停止平移，平移后点C的对应点为 C'，D为原抛物线上一点，E为直线AC上一点，若以O、C′、D、E为顶点的四边形为平行四边形，求符合条件的D点横坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+； （2）S△PMN最大值为×＝，点P的坐标为（﹣，）； （3）满足条件的点D坐标为（，）或（，）或（1，0）或（﹣4，﹣）． 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝，则C（0，），OC＝， ∵A（﹣3，0）， ∴OA＝3， 则tan∠OAC＝＝， ∴∠OAC＝30°，又∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°， ∴OB＝＝1，则B（1，0）， 设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1）， 将C（0，）代入，得﹣3a＝，解得a＝﹣， ∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣x+； （2）如图1，过P作PH∥y轴交AC于H，则∠PHM＝∠ACO＝90°﹣∠OAC＝60°， ∵PM⊥AC， ∴PM＝PH•sin∠PHM＝PH， ∵AC＝2OC＝2，2MN＝AC， ∴MN＝， ∴S△PMN＝•MN•PM＝PM＝PH，当PH最大时，S△PMN最大； 设直线AC解析式为y＝kx+b′， 将A（﹣3，0）、C（0，）代入，得， 解得， ∴直线AC的解析式为y＝x+， 由题意，设P（p，﹣p2﹣p+），则H（p，p+）， ∴PH＝﹣p2﹣p+﹣（p+） ＝﹣p2﹣p ＝﹣（p+）2+， ∵﹣＜0，﹣3＜p＜0， ∴当p＝﹣时，PH有最大值，最大值为， 即S△PMN最大，最大值为×＝，此时，点P的坐标为（﹣，）； （3）y＝﹣x2﹣x+＝﹣（x+1）2+， 设抛物线向左平移a个单位，则新的抛物线解析式为y＝﹣（x+1+a）2+， 将点P（﹣，）代入，得＝﹣（﹣+1+a）2+， 解得a＝1或a＝0（不合题意，舍去）， ∴抛物线向左平移1个单位， ∵C（0，）， ∴平移后点C的对应点C′的坐标为（﹣1，）， 由题意，设D（m，﹣m2﹣m+），E（n，n+）， 若以O、C′、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则分三种情况： 当OC′、DE为对角线时， 则， 消去n，得m2+3m﹣2＝0， 解得：m＝， 则点D坐标为（，）或（，）； 当OD、C′E为对角线时， 则， 消去n，得m2+3m+4＝0， ∵Δ＝32﹣4×1×4＝﹣7＜0， ∴方程无实数根，即点D不存在； 当OE、C′D为对角线时， 则， 消去n，得m2+3m﹣4＝0， 解得：m＝1或m＝﹣4， ∴点D的坐标为（1，0）或（﹣4，﹣）， 综上，满足条件的点D坐标为（，）或（，）或（1，0）或（﹣4，﹣）． 48．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴正半轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），点C在该抛物线上且在第一象限． （1）求该抛物线的表达式； （2）将该抛物线向下平移m个单位，使得点C落在线段AB上的点D处，当AD＝3BD时，求m的值； （3）连接BC，当∠CBA＝2∠BAO时，求点C的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2； （2）m＝； （3）C（2，3）． 【解答】解：（1）把点A（4，0）和点B（0，2）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2； （2）如图1，过点D作DG⊥x轴于G， ∴DG∥OB， ∴△ADG∽△ABO， ∴， ∵AD＝3BD， ∴AG＝3OG， ∵A（4，0），B（0，2）， ∴OA＝4，OB＝2， ∴OG＝1，DG＝， ∵D（1，）， 由平移得：点C的横坐标为1， 当x＝1时，y＝﹣×1+×1+2＝3， ∴m＝3﹣＝； （3）∵∠CBA＝2∠BAO，点C在该抛物线上且在第一象限， ∴点C在AB的上方， 如图2，过A作AF⊥x轴于A，交BC的延长线于点F，过B作BE⊥AF于点E， ∴BE∥OA， ∴∠BAO＝∠ABE， ∵∠CBA＝2∠BAO＝∠ABE+∠EBF， ∴∠FBE＝∠ABE， ∵∠BEF＝∠AEB＝90°， ∴∠F＝∠BAF， ∴AB＝BF， ∴AE＝EF＝OB＝2， ∴F（4，4）， 设BF的解析式为：y＝kx+n， 则， 解得：， ∴BF的解析式为：y＝x+2， ∴， 解得或， ∴C（2，3）． 49．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A，B两点（B在A的右侧），与y轴交于点C，已知OA＝1，OB＝4OA，连接BC． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P为BC下方抛物线上一动点，连接BP、CP，当S△BCP＝S△BOC时，求点P的坐标； （3）如图2，点N为线段OC上一点，求AN+CN的最小值． 【答案】（1）抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣4； （2）P（2，﹣6）； （3）． 【解答】解：（1）∵OA＝1，OB＝4OA， ∴OB＝4， ∴A（﹣1，0），B（4，0）， 将A，B坐标代入抛物线解析式得，， 解得， ∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣4； （2）过点P作y轴的平行线，交BC于点Q， 设点P的横坐标为t，则P（t，t2﹣3t﹣4）， 由（1）知抛物线的解析式为y＝x2﹣3x﹣4， 令x＝0，则y＝﹣4， ∴C（0，﹣4）， ∴OB＝OC＝4， ∴S△BOC＝×4×4＝8． 设直线BC的解析式为y＝mx+n， 则，解得， ∴直线MN的解析式为y＝x﹣4， ∴Q（t，t﹣4）， ∴QP＝t﹣4﹣（t2﹣3t﹣4）＝﹣t2+4t， ∴S△BCP＝S△BPQ+S△QCP＝PQ•（xB﹣xQ）+PQ•（xQ﹣xC）＝PQ•（xB﹣xC）＝•（﹣t2+4t）×（4﹣0）＝﹣2t2+8t， ∵S△BCP＝S△BOC， ∴﹣2t2+8t＝8， 解得t＝2； 此时y＝22﹣3×2﹣4＝﹣6， ∴P（2，﹣6）； （3）如图，过点N作NM⊥BC于点M， ∴∠CMN＝90°， 由（2）知，OB＝OC＝4， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°， ∴△CNM是等腰直角三角形， ∴NM＝CN， ∴AN+CN＝AN+NM， 则当A，N，M三点共线时，即AM⊥BC时，取到最小值，如图，过点A作AM′⊥BC于点M′， 则△AM′B是等腰直角三角形， ∴AM′＝AB＝． ∴AN+CN的最小值为：． 50．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣5），连接BC．N是线段BC上方抛物线上一点，过点N作NM⊥BC于M． （1）求抛物线的解析式和点B的坐标； （2）求线段NM的最大值； （3）若点P是y轴上的一点，是否存在点P，使以B，C，P为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）二次函数的解析式为：y＝﹣x2﹣6x﹣5，B（﹣5，0）； （2）NM的最大值为． （3）以B，C，P为顶点的三角形与△ABC相似，点P（0，﹣1），（0，）． 【解答】解：（1）将A（﹣1，0），C（0，﹣5）代入y＝﹣x2+bx+c， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2﹣6x﹣5， 令﹣x2﹣6x﹣5＝0，解得，x1＝﹣5，x2＝﹣1， ∴B（﹣5，0）； （2）如图，过点N作NG⊥x轴与BC交于点G， 设直线BC的解析式为y＝kx+m， 把B（﹣5，0），C（0，﹣5）分别代入得： ，解得，， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣5， ∴NG＝（﹣x2﹣6x﹣5）﹣（﹣x﹣5）＝﹣x2﹣5x， ∴当x＝﹣＝﹣时，NG有最大值为， 又∵MN＝NG， ∴NM的最大值为． （3）存在，以B，C，P为顶点的三角形与△ABC相似，此时点P（0，﹣1），（0，）；理由如下： ∵C（0，﹣5）， ∴OC＝5， ∵A（﹣1，0），B（﹣5，0）， ∴OB＝5， ∴OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°， ∴∠BAC＜135°，即点P只能在点C上方的y轴上， ∴∠PCB＝∠ABC＝45°， 设P（0，a），则a＞﹣5， ∴AB＝4，BC＝5，CP＝a+5， ∵以点B，C，P为顶点的三角形与△ABC相似， ∴①△PCB∽△ABC， ∴PC：AB＝BC：BC＝1，即（5+a）：4＝1， 解得a＝﹣1， ∴P（0，﹣1）； ②△BCP∽△ABC， ∴BC：AB＝PC：BC，即5：4＝（5+a）：5， 解得a＝， ∴P（0，）． 综上，以B，C，P为顶点的三角形与△ABC相似，此时P（0，﹣1），（0，）． $$