专题06 锐角三角函数（考题猜想，易错必刷30题7种题型专项训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（北师大版）

专题06锐角三角函数（易错必刷30题7种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 锐角三角函数的定义 · 特殊角的三角函数值 · 解直角三角形 · 解直角三角形的应用 · 解直角三角形的应用-坡度坡角问题 · 解直角三角形的应用-仰角俯角问题 · 解直角三角形的应用-方向角问题 一．锐角三角函数的定义（共5小题） 1．正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：如图，C为OB边上的格点，连接AC， 根据勾股定理，AO＝＝2， AC＝＝， OC＝＝， 所以，AO2＝AC2+OC2＝20， 所以，△AOC是直角三角形， cos∠AOB＝＝＝． 故选：B． 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，AB＝2，则AC长是（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【解答】解：∵∠C＝90°，sinA＝，AB＝2， ∴BC＝AB×sinA＝2×＝， 由勾股定理得：AC＝＝． 故选：A． 3．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A的坐标为（0，3），tan∠ABO＝，则菱形ABCD的周长为（　　） A．6 B．6 C．12 D．8 【答案】D 【解答】解：∵点A的坐标为（0，3）， ∴AO＝3， ∵tan∠ABO＝， ∴＝， ∴＝， ∴BO＝， ∵△AOB是直角三角形， ∴AB＝＝＝＝2， ∵菱形的四条边相等， ∴菱形ABCD的周长为2×4＝8． 故选：D． 4．在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，则cosA的值等于（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解答】解：当△ABC为直角三角形时，存在两种情况： ①当AB为斜边，∠C＝90°， ∵AC＝8，BC＝6， ∴AB＝＝＝10． ∴cosA＝＝＝； ②当AC为斜边，∠B＝90°， 由勾股定理得：AB＝＝＝2， ∴cosA＝＝； 综上所述，cosA的值等于或． 故选：C． 5．如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的正弦值是　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由图可知，AC2＝22+42＝20，BC2＝12+22＝5，AB2＝32+42＝25， ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°， ∴sin∠ABC＝＝． 故答案为：． 二．特殊角的三角函数值（共1小题） 6．△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且（tanB﹣）（2sinA﹣）＝0，则△ABC一定是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．有一个角是60°的三角形 【答案】D 【解答】解：∵△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且（tanB﹣）（2sinA﹣）＝0， ∴tanB﹣＝0或2sinA﹣＝0， 即tanB＝或sinA＝． ∴∠B＝60°或∠A＝60°． ∴△ABC有一个角是60°． 故选：D． 三．解直角三角形（共9小题） 7．将一副三角板如图摆放在一起，组成四边形ABCD，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∠ACB＝45°，连接BD，则tan∠CBD的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：如图所示，连接BD，过点D作DE垂直于BC的延长线于点E ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，在Rt△ACD中，∠ACD＝90° ∴∠DCE＝45°， ∵DE⊥CE ∴∠CED＝90°，∠CDE＝45° ∴设DE＝CE＝1，则CD＝ 在Rt△ACD中， ∵∠CAD＝30°， ∴tan∠CAD＝，则AC＝， 在Rt△ABC中，∠BAC＝∠BCA＝45° ∴BC＝， ∴在Rt△BED中，tan∠CBD＝＝＝ 故选：D． 8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，下列结论正确的是（　　） A．sinC＝ B．sinC＝ C．sinC＝ D．sinC＝ 【答案】C 【解答】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 在Rt△ADC中，cosC＝，tanC＝， 故A、B不符合题意； 在Rt△BAC中，sinC＝， 故C符合题意； ∵∠B+∠BAD＝90°，∠B+∠C＝90°， ∴∠C＝∠BAD， 在Rt△BAD中，cos∠BAD＝， ∴cosC＝cos∠BAD＝， 故D不符合题意； 故选：C． 9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，CD⊥AB，垂足为D，若AC＝，BC＝2．则sin∠ACD的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90，AC＝，BC＝2， ∴AB＝＝＝3， ∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠B+∠BCD＝90°， ∴∠ACD＝∠B， ∴sin∠ACD＝sin∠B＝＝． 故选：C． 10．在△ABC中，AB＝4，BC＝5，sinB＝，则△ABC的面积等于（　　） A．15 B． C．6 D． 【答案】D 【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D， 在△ABD中，AB＝4，sinB＝， ∴AD＝ABsinB＝4×＝3， ∴△ABC的面积＝BC•AD ＝×5×3 ＝， 故选：D． 11．在△ABC中，AB＝3，AC＝6，∠B＝45°，则BC＝　3+3或3﹣3　． 【答案】3+3或3﹣3． 【解答】解：①当△ABC为锐角三角形时， 过点A作AD⊥BC于点D，如图， ∵AB＝3，∠B＝45°， ∴AD＝BD＝AB•sin45°＝3， ∴CD＝＝3， ∴BC＝BD+CD＝3+3； ②当△ABC为钝角三角形时， 过点A作AD⊥BC交BC延长线于点D，如图， ∵AB＝3，∠B＝45°， ∴AD＝BD＝AB•sin45°＝3， ∴CD＝＝3， ∴BC＝BD﹣CD＝3﹣3； 综上，BC的长为3+3或3﹣3． 12．我们给出定义：如果两个锐角的和为45°，那么称这两个角互为半余角．如图，在△ABC中，∠A，∠B互为半余角，且，则tanA＝　　． 【答案】． 【解答】解：过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D， ∵， ∴设BC＝2a，AC＝3a， ∵∠A，∠B互为半余角， ∴∠A+∠B＝45°， ∴∠DCB＝∠A+∠B＝45°， 在Rt△CDB中，BD＝BCsin45°＝2a•＝2a， CD＝BCcos45°＝2a•＝2a， ∵AC＝3a， ∴AD＝AC+CD＝3a+2a＝5a， 在Rt△ABD中，tanA＝＝＝， 故答案为：． 13．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝4，D为直线AB上的一点，若AD＝2，则tan∠BDC的值为　或　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：作CE⊥AB于点E， ∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝4， ∴AB＝2BC＝8，∠B＝60°， ∴BE＝BC＝2，CE＝2， ①如图1，点D在AB边上时， ∵AD＝2，BE＝2，AB＝8， ∴DE＝AB﹣BE﹣AD＝4， ∴在Rt△DCE中， tan∠BDC＝＝＝； ②如图2，点D在BA延长线上时， DE＝AE+AD＝AB﹣BE+AD＝8﹣2+2＝8， 在Rt△DCE中， tan∠BDC＝＝＝． 综上所述：tan∠BDC的值为或． 故答案为：或． 14．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝30°，AB＝4，则AC＝　4　． 【答案】4． 【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D， 在Rt△ABD中，∠ABC＝45°，AB＝4， ∴AD＝AB•sin45°＝4×＝2， 在Rt△ADC中，∠ACB＝30°， ∴AC＝2AD＝4， 故答案为：4． 15．如图，△ABC中，AB＝AC＝3cm，BC＝4cm，点P从点B出发，沿线段BC以2cm/s的速度向终点C运动，点Q从点C出发，沿着C→A→B的方向以3cm/s的速度向终点B运动，P，Q同时出发，设点P运动的时间为t（s），△CPQ的面积为S（cm2）． （1）求sinB； （2）求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围． 【答案】（1）； （2）S＝． 【解答】解：（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D， ∵AB＝AC＝3cm，AD⊥BC， ∴BD＝BC＝2cm， 在Rt△ABD中，AB＝3cm，BD＝2cm， ∴AD＝＝＝， ∴sinB＝＝； （2）过点Q作QE⊥BC，垂足为E， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴sinB＝sinC＝， 分两种情况：当0＜t≤1时， 由题意得：CQ＝3t，BP＝2t， ∴CP＝BC﹣BP＝4﹣2t， 在Rt△CQE中，QE＝CQsinC＝3t•＝t， ∴S＝CP•QE＝•（4﹣2t）•t＝2t﹣t2＝﹣t2+2t， 当1＜t＜2时， 由题意得：CA+AQ＝3t，BP＝2t， ∴CP＝BC﹣BP＝4﹣2t， BQ＝AB+AC﹣（CA+AQ）＝6﹣3t， 在Rt△BQE中，QE＝BQsinB＝（6﹣3t）•＝2﹣t， ∴S＝CP•QE＝•（4﹣2t）•（2﹣t）＝t2﹣4t+4， ∴S＝． 四．解直角三角形的应用（共5小题） 16．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝44cm，则高AD约为（　　） （参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51） A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm 【答案】B 【解答】解：∵AB＝AC，BC＝44cm， ∴BD＝CD＝22cm，AD⊥BC， ∵∠ABC＝27°， ∴tan∠ABC＝≈0.51， ∴AD≈0.51×22＝11.22cm， 故选：B． 17．胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”．已知主塔AB垂直于桥面BC于点B，其中两条斜拉索AD、AC与桥面BC的夹角分别为60°和45°，两固定点D、C之间的距离约为33m，求主塔AB的高度（结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈1.73）． 【答案】78m． 【解答】解：在Rt△ADB中，∠ADB＝60°，tan∠ADB＝， ∴BD＝＝， 在Rt△ABC中，∠C＝45°，tan∠C＝， ∴BC＝＝AB， ∵BC﹣BD＝CD＝33m， ∴AB﹣＝33， ∴AB＝≈78（m）． 答：主塔AB的高约为78m． 18．学科综合 我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把n＝称为折射率（其中α代表入射角，β代表折射角）． 观察实验 为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，即通过细管MN可以看见水底的物块C，但不在细管MN所在直线上，图3是实验的示意图，四边形ABFE为矩形，点A，C，B在同一直线上，测得BF＝12cm，DF＝16cm． （1）求入射角α的度数． （2）若BC＝7cm，求光线从空气射入水中的折射率n．（参考数据：，，） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图：过点D作DG⊥AB，垂足为G， 由题意得：四边形DGBF是矩形， ∴DG＝BF＝12cm，BG＝DF＝16cm， 在Rt△DGB中，tan∠BDG＝＝＝， ∴∠BDG＝53°， ∴∠PDH＝∠BDG＝53°， ∴入射角α的度数为53°； （2）∵BG＝16cm，BC＝7cm， ∴CG＝BG﹣BC＝9（cm）， 在Rt△CDG中，DG＝12cm， ∴DC＝＝＝15（cm）， ∴sinβ＝sin∠GDC＝＝＝， 由（1）得：∠PDH＝53°， ∴sin∠PDH＝sinα≈， ∴折射率n＝＝＝， ∴光线从空气射入水中的折射率n约为． 19．如图1，图2分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE＝BC＝AB，点B、F在线段AC上，点C在DE上，支杆DF＝40cm，CE：CD＝1：4，∠DCF＝45°，∠CDF＝37°． 请根据以上信息，解决下列问题： （1）求滑竿DE的长度； （2）求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果精确到0.1）．参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，≈1.414． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）过点F作FG⊥CD，垂足为G， 在Rt△DFG中，∠CDF＝37°．DF＝40cm， ∴FG＝DF•sin37°≈40×＝24（cm）， DG＝DF•cos37°≈40×＝32（cm）， 在Rt△CFG中，∠DCF＝45°， ∴CG＝＝24（cm）， ∴DC＝CG+DG＝24+32＝56（cm）， ∵CE：CD＝1：4， ∴CE＝CD＝14（cm）， ∴DE＝CE+CD＝70（cm）， ∴滑竿DE的长度约为70cm； （2）过点A作AH⊥CD，交CD的延长线于点H， ∵DE＝BC＝AB＝70cm， ∴AC＝AB+BC＝140（cm）， 在Rt△ACH中，∠ACH＝45°， ∴AH＝AC•sin45°＝140×＝70≈99.0（cm）， ∴拉杆端点A到水平滑杆ED的距离约为99.0cm． 20．如图①是某市地铁站的一组智能通道闸机，当行人通过智能闸机时会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会自动收回到机箱内，行人即可通行．图②是一个智能通道闸机的截面图，已知∠ABC＝∠DEF＝28°，AB＝DE＝60cm，点A、D在同一水平线上，且A、D之间的距离是10cm． （1）试求闸机通道的宽度（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53） （2）实验数据表明，一个智能闸机通道平均每分钟检票通过的人数是一个人工检票口通过的人数的2倍．若有240人的团队通过同一个人工检票口比通过同一个智能闸机检票口多用4分钟，求一个人工检票口和一个智能闸机通道平均每分钟检票各通过多少人？ 【答案】（1）闸机通道的宽度是66.4cm； （2）一个人工检票口每分钟检票通过30人，一个智能闸机检票口每分钟通过60人． 【解答】解：（1）过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥EF于点N，如图： 在Rt△AMB中，AB＝60cm，∠ABM＝28°， ∴sin28°＝， ∴AM＝AB×sin28°＝0.47×60＝28.2（cm）， 同理 DN＝28.2cm， ∴闸机通道的宽度BE＝AM+AD+DN＝28.2×2+10＝66.4（cm）； 答：闸机通道的宽度是66.4cm； （2）解：设一个人工检票口每分钟检票通过的人数为x人，则一个智能闸机检票口每分钟通过的人数为2x人， 由题意得：﹣＝4， 解得：x＝30， 经检验：x＝30是原方程的解， ∴2x＝2×30＝60（人）， 答：一个人工检票口每分钟检票通过30人，一个智能闸机检票口每分钟通过60人． 五．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题） 21．如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（　　） A．5cosα B． C．5sinα D． 【答案】B 【解答】解：如图，过点B作BC⊥AF于点C． ∵BC＝5米，∠CBA＝∠α． ∴AB＝＝． 故选：B． 六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共7小题） 22．数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度．如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°，再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为 　37m　．（精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，tan22°≈0.40，sin58°≈0.85，tan58°≈1.60） 【答案】37m 【解答】解：由题意得：AB⊥BC，CD＝70m， 设BD＝x m，则BC＝CD+BD＝（x+70）m， 在Rt△ABD中，∠ADB＝58°， ∴AB＝BD•tan58°≈1.6x（m）， 在Rt△ABC中，∠ACB＝22°， ∴AB＝BC•tan22°≈0.4（x+70）m， ∴1.6x＝0.4（x+70）， 解得：x＝， ∴AB＝1.6x≈37（m）， 故答案为：37m． 23．在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB． （结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732） 【答案】建筑物的高度AB约为31.9米． 【解答】解：过点D作DE⊥AC，垂足为E，过点D作DF⊥AB，垂足为F， 则DE＝AF，DF＝AE， 在Rt△DEC中，tanθ＝＝， 设DE＝3x米，则CE＝4x米， ∵DE2+CE2＝DC2， ∴（3x）2+（4x）2＝400， ∴x＝4或x＝﹣4（舍去）， ∴DE＝AF＝12米，CE＝16米， 设BF＝y米， ∴AB＝BF+AF＝（12+y）米， 在Rt△DBF中，∠BDF＝30°， ∴DF＝＝＝y（米）， ∴AE＝DF＝y米， ∴AC＝AE﹣CE＝（y﹣16）米， 在Rt△ABC中，∠ACB＝60°， ∴tan60°＝＝＝， 解得：y＝6+8， 经检验：y＝6+8是原方程的根， ∴AB＝BF+AF＝18+8≈31.9（米）， ∴建筑物的高度AB约为31.9米． 24．图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度OA＝160cm，识别的最远水平距离OB＝150cm． （1）身高208cm的小杜，头部高度为26cm，他站在离摄像头水平距离130cm的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别？ （2）身高120cm的小若，头部高度为15cm，踮起脚尖可以增高3cm，但仍无法被识别，社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20°（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明． （精确到0.1cm，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36） 【答案】（1）小杜最少需要下蹲12.9厘米才能被识别； （2）踮起脚尖小若能被识别． 【解答】解：（1）过C作OB的垂线分别交仰角、俯角线于点E，D，交水平线于点F， 在Rt△AEF中，tan∠EAF＝， ∴EF＝AF•tan15°≈130×0.27＝35.1（cm）， ∵AF＝AF，∠EAF＝∠DAF，∠AFE＝∠AFD＝90°， ∴△ADF≌△AEF（ASA）， ∴EF＝DF＝35.1cm， ∴CE＝160+35.1＝195.1（cm）， ∴小杜最少需要下蹲208﹣195.1＝12.9厘米才能被识别； （2）如图2，过B作OB的垂线分别交仰角、俯角线于M．N．交水平线于P， 在Rt△APM中，tan∠MAP＝， ∴MP＝AP•tan20°≈150×0.36＝54.0（cm）， ∵AP＝AP，∠MAP＝∠NAP，∠APM＝∠APN＝90°， ∴△AMP≌△ANP（ASA）， ∴PN＝MP＝54.0cm， ∴BN＝160﹣54.0＝106.0（cm）， ∴小若踮起脚尖后头顶的高度为120+3＝123（cm）， ∴小若头顶超出点N的高度为：123﹣106.0＝17.0（cm）＞15cm， ∴踮起脚尖小若能被识别． 25．如图，某校无人机兴趣小组为测量教学楼的高度，在操场上展开活动．此时无人机在离地面30m的D处，操控者从A处观测无人机D的仰角为30°，无人机D测得教学楼BC顶端点C处的俯角为37°，又经过人工测量测得操控者A和教学楼BC之间的距离AB为60m，点A，B，C，D都在同一平面上． （1）求此时无人机D与教学楼BC之间的水平距离BE的长度（结果保留根号）； （2）求教学楼BC的高度（结果取整数）（参考数据：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）． 【答案】（1）此时无人机D与教学楼BC之间的水平距离BE的长度为（60﹣30）m； （2）教学楼BC的高度约为24m． 【解答】解：（1）在Rt△ADE中，∠A＝30°，DE＝30m， ∴AE＝DE＝30（m）， ∵AB＝60m， ∴BE＝AB﹣AE＝（60﹣30）m， ∴此时无人机D与教学楼BC之间的水平距离BE的长度为（60﹣30）m； （2）过点C作CF⊥DE，垂足为F， 由题意得：CF＝BE＝（60﹣30）m，BC＝EF，CF∥DG， ∴∠DCF＝∠CDG＝37°， 在Rt△DCF中，DF＝CF•tan37°≈（60﹣30）×0.75＝（45﹣22.5）m， ∴EF＝DE﹣DF＝30﹣（45﹣22.5）＝22.5﹣15≈24（m）， ∴BC＝EF＝24m， ∴教学楼BC的高度约为24m． 26．《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》．这本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥梁．直至近代，重差测量法仍有借鉴意义． 如图2，为测量海岛上一座山峰AH的高度，直立两根高2米的标杆BC和DE，两杆间距BD相距6米，D、B、H三点共线．从点B处退行到点F，观察山顶A，发现A、C、F三点共线，且仰角为45°；从点D处退行到点G，观察山顶A，发现A、E、G三点共线，且仰角为30°．（点F、G都在直线HB上） （1）求FG的长（结果保留根号）； （2）山峰高度AH的长（结果精确到0.1米）．（参考数据：≈1.41，≈1.73） 【答案】（1）FG的长为（4+2）米； （2）山峰高度AH的长约为10.2米． 【解答】解：（1）由题意得：CB⊥FH，ED⊥HG， 在Rt△FBC中，∠BFC＝45°，BC＝2， ∴BF＝＝2（米）， 在Rt△DEG中，∠G＝30°，DE＝2， ∴DG＝＝＝2（米）， ∵BD＝6米， ∴FG＝BD+DG﹣BF＝6+2﹣2＝（4+2）米， ∴FG的长为（4+2）米； （2）设AH＝x米， 在Rt△AHF中，∠AFH＝45°， ∴FH＝＝x（米）， ∵FG＝（4+2）米， ∴HG＝HF+FG＝（x+4+2）米， 在Rt△AHG中，∠G＝30°， ∴HG＝＝＝AH， ∴x+4+2＝x， 解得：x＝5+3≈10.2， ∴AH＝10.2米， ∴山峰高度AH的长约为10.2米． 27．如图，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一座古塔CD．小山斜坡AB的坡度为i＝1：2.4，坡长AB为39米，在小山的坡底A处测得该塔的塔顶C的仰角为45°，在坡顶B处测得该塔的塔顶C的仰角为74°． （1）求坡顶B到地面AH的距离BH的长； （2）求古塔CD的高度（结果精确到1米）． （参考数据：sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49） 【答案】（1）坡顶B到地面AH的距离BH的长15米； （2）古塔CD的高度约为29米． 【解答】解：（1）由题意得：BH⊥AH， ∵斜坡AB的坡度为i＝1：2.4， ∴＝＝， ∴设BH＝5x米，则AH＝12x米， 在Rt△ABH中，AB＝＝＝13x（米）， ∵AB＝39米， ∴13x＝39， 解得：x＝3， ∴BH＝15米．AH＝36米， ∴坡顶B到地面AH的距离BH的长15米； （2）延长CD交AN于点E， 由题意得：BD＝HE，BH＝DE＝15米， 设BD＝HE＝x米， ∵AH＝36米， ∴AE＝AH+HE＝（36+x）米， 在Rt△AEC中，∠CAE＝45°， ∴CE＝AE•tan45°＝（36+x）米， 在Rt△CBD中，∠CBD＝74°， ∴CD＝BD•tan74°≈3.49x（米）， ∵DE+CD＝CE， ∴15+3.49x＝36+x， 解得：x≈8.4， ∴CD＝3.49x≈29（米）， ∴古塔CD的高度约为29米． 28．某市在地铁施工期间，相关部门在施工路段设立了矩形安全警示牌ABCD（如图所示），小东同学在距离安全警示牌8米（EF的长）远的建筑物上的窗口P处，测得安全警示牌顶端A点和底端B点的俯角分别是30°和45°，求安全警示牌宽AB的值．（结果保留根号） 【答案】安全警示牌宽AB的值为（8﹣）米． 【解答】解：如图：延长BA交PH于点G， 由题意得： EF＝PG＝8米，∠PGA＝90°， 在Rt△PAG中，∠GPA＝30°， ∴AG＝PG•tan30°＝8×＝（米）， 在Rt△PGB中，∠GPB＝45°， ∴GB＝PG•tan45°＝8×1＝8（米）， ∴AB＝GB﹣GA＝（8﹣）米， ∴安全警示牌宽AB的值为（8﹣）米． 七．解直角三角形的应用-方向角问题（共2小题） 29．如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向．有一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西60°的方向，从B处测得渔船在其东北方向，且测得B，P两点之间的距离为20海里． （1）求观测站A，B之间的距离（结果保留根号）； （2）渔船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时，从B测得渔船在北偏西15°的方向．在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点B出发，以每小时20海里的速度前往C处，请问补给船能否在83分钟之内到达C处？（参考数据：≈1.73） 【答案】（1）观测站A，B之间的距离为（10+10）海里； （2）补给船能在83分钟之内到达C处，理由见解答． 【解答】解：（1）过点P作PD⊥AB于D点， ∴∠BDP＝∠ADP＝90°， 在Rt△PBD中，∠PBD＝90°﹣45°＝45°，BP＝20海里， ∴DP＝BP•sin45°＝20×＝10（海里）， BD＝BP•cos45°＝20×＝10（海里）， 在Rt△PAD中，∠PAD＝90°﹣60°＝30°， ∴AD＝＝＝10（海里）， ∴AB＝BD+AD＝（10+10）海里， ∴观测站A，B之间的距离为（10+10）海里； （2）补给船能在83分钟之内到达C处， 理由：过点B作BF⊥AC，垂足为F， ∴∠AFB＝∠CFB＝90° 由题意得：∠ABC＝90°+15°＝105°，∠PAD＝90°﹣60°＝30°， ∴∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠PAD＝45°， 在Rt△ABF中，∠BAF＝30°， ∴BF＝AB＝（5+5）海里， 在Rt△BCF中，∠C＝45°， ∴BC＝＝＝（10+10）海里， ∴补给船从B到C处的航行时间＝×60＝30+30≈81.9（分钟）＜83分钟， ∴补给船能在83分钟之内到达C处． 30．为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为B点和C点，行进路线为A→B→C→A．B点在A点的南偏东25°方向3km处，C点在A点的北偏东80°方向，行进路线AB和BC所在直线的夹角∠ABC为45°． （1）求行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数； （2）求检查点B和C之间的距离（结果保留根号）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意得：∠NAC＝80°，∠BAS＝25°， ∴∠CAB＝180°﹣∠NAC﹣∠BAS＝75°， ∵∠ABC＝45°， ∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝60°， ∴行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数为60°； （2）过点A作AD⊥BC，垂足为D， 在Rt△ABD中，AB＝3km，∠ABC＝45°， ∴AD＝AB•sin45°＝3×＝3（km）， BD＝AB•cos45°＝3×＝3（km）， 在Rt△ADC中，∠ACB＝60°， CD＝＝＝（km）， ∴BC＝BD+CD＝（3+）km， ∴检查点B和C之间的距离（3+）km． $$ 专题06锐角三角函数（易错必刷30题7种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 锐角三角函数的定义 · 特殊角的三角函数值 · 解直角三角形 · 解直角三角形的应用 · 解直角三角形的应用-坡度坡角问题 · 解直角三角形的应用-仰角俯角问题 · 解直角三角形的应用-方向角问题 一．锐角三角函数的定义（共5小题） 1．正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为（　　） A． B． C． D． 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，AB＝2，则AC长是（　　） A． B． C． D．2 3．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A的坐标为（0，3），tan∠ABO＝，则菱形ABCD的周长为（　　） A．6 B．6 C．12 D．8 4．在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，则cosA的值等于（　　） A． B． C．或 D．或 5．如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的正弦值是　 　． 二．特殊角的三角函数值（共1小题） 6．△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且（tanB﹣）（2sinA﹣）＝0，则△ABC一定是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．有一个角是60°的三角形 三．解直角三角形（共9小题） 7．将一副三角板如图摆放在一起，组成四边形ABCD，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∠ACB＝45°，连接BD，则tan∠CBD的值等于（　　） A． B． C． D． 8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，下列结论正确的是（　　） A．sinC＝ B．sinC＝ C．sinC＝ D．sinC＝ 9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，CD⊥AB，垂足为D，若AC＝，BC＝2．则sin∠ACD的值为（　　） A． B． C． D． 10．在△ABC中，AB＝4，BC＝5，sinB＝，则△ABC的面积等于（　　） A．15 B． C．6 D． 11．在△ABC中，AB＝3，AC＝6，∠B＝45°，则BC＝　 　． 12．我们给出定义：如果两个锐角的和为45°，那么称这两个角互为半余角．如图，在△ABC中，∠A，∠B互为半余角，且，则tanA＝　 　． 13．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝4，D为直线AB上的一点，若AD＝2，则tan∠BDC的值为　 　． 14．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝30°，AB＝4，则AC＝　 　． 15．如图，△ABC中，AB＝AC＝3cm，BC＝4cm，点P从点B出发，沿线段BC以2cm/s的速度向终点C运动，点Q从点C出发，沿着C→A→B的方向以3cm/s的速度向终点B运动，P，Q同时出发，设点P运动的时间为t（s），△CPQ的面积为S（cm2）． （1）求sinB； （2）求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围． 四．解直角三角形的应用（共5小题） 16．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝44cm，则高AD约为（　　） （参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51） A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm 17．胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”．已知主塔AB垂直于桥面BC于点B，其中两条斜拉索AD、AC与桥面BC的夹角分别为60°和45°，两固定点D、C之间的距离约为33m，求主塔AB的高度（结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈1.73）． 18．学科综合 我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把n＝称为折射率（其中α代表入射角，β代表折射角）． 观察实验 为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，即通过细管MN可以看见水底的物块C，但不在细管MN所在直线上，图3是实验的示意图，四边形ABFE为矩形，点A，C，B在同一直线上，测得BF＝12cm，DF＝16cm． （1）求入射角α的度数． （2）若BC＝7cm，求光线从空气射入水中的折射率n．（参考数据：，，） 19．如图1，图2分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE＝BC＝AB，点B、F在线段AC上，点C在DE上，支杆DF＝40cm，CE：CD＝1：4，∠DCF＝45°，∠CDF＝37°． 请根据以上信息，解决下列问题： （1）求滑竿DE的长度； （2）求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果精确到0.1）．参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，≈1.414． 20．如图①是某市地铁站的一组智能通道闸机，当行人通过智能闸机时会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会自动收回到机箱内，行人即可通行．图②是一个智能通道闸机的截面图，已知∠ABC＝∠DEF＝28°，AB＝DE＝60cm，点A、D在同一水平线上，且A、D之间的距离是10cm． （1）试求闸机通道的宽度（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53） （2）实验数据表明，一个智能闸机通道平均每分钟检票通过的人数是一个人工检票口通过的人数的2倍．若有240人的团队通过同一个人工检票口比通过同一个智能闸机检票口多用4分钟，求一个人工检票口和一个智能闸机通道平均每分钟检票各通过多少人？ 五．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题） 21．如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（　　） A．5cosα B． C．5sinα D． 六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共7小题） 22．数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度．如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°，再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为 　 　．（精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，tan22°≈0.40，sin58°≈0.85，tan58°≈1.60） 23．在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB． （结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732） 24．图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度OA＝160cm，识别的最远水平距离OB＝150cm． （1）身高208cm的小杜，头部高度为26cm，他站在离摄像头水平距离130cm的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别？ （2）身高120cm的小若，头部高度为15cm，踮起脚尖可以增高3cm，但仍无法被识别，社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20°（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明． （精确到0.1cm，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36） 25．如图，某校无人机兴趣小组为测量教学楼的高度，在操场上展开活动．此时无人机在离地面30m的D处，操控者从A处观测无人机D的仰角为30°，无人机D测得教学楼BC顶端点C处的俯角为37°，又经过人工测量测得操控者A和教学楼BC之间的距离AB为60m，点A，B，C，D都在同一平面上． （1）求此时无人机D与教学楼BC之间的水平距离BE的长度（结果保留根号）； （2）求教学楼BC的高度（结果取整数）（参考数据：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）． 26．《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》．这本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥梁．直至近代，重差测量法仍有借鉴意义． 如图2，为测量海岛上一座山峰AH的高度，直立两根高2米的标杆BC和DE，两杆间距BD相距6米，D、B、H三点共线．从点B处退行到点F，观察山顶A，发现A、C、F三点共线，且仰角为45°；从点D处退行到点G，观察山顶A，发现A、E、G三点共线，且仰角为30°．（点F、G都在直线HB上） （1）求FG的长（结果保留根号）； （2）山峰高度AH的长（结果精确到0.1米）．（参考数据：≈1.41，≈1.73） 27．如图，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一座古塔CD．小山斜坡AB的坡度为i＝1：2.4，坡长AB为39米，在小山的坡底A处测得该塔的塔顶C的仰角为45°，在坡顶B处测得该塔的塔顶C的仰角为74°． （1）求坡顶B到地面AH的距离BH的长； （2）求古塔CD的高度（结果精确到1米）． （参考数据：sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49） 28．某市在地铁施工期间，相关部门在施工路段设立了矩形安全警示牌ABCD（如图所示），小东同学在距离安全警示牌8米（EF的长）远的建筑物上的窗口P处，测得安全警示牌顶端A点和底端B点的俯角分别是30°和45°，求安全警示牌宽AB的值．（结果保留根号） 七．解直角三角形的应用-方向角问题（共2小题） 29．如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向．有一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西60°的方向，从B处测得渔船在其东北方向，且测得B，P两点之间的距离为20海里． （1）求观测站A，B之间的距离（结果保留根号）； （2）渔船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时，从B测得渔船在北偏西15°的方向．在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点B出发，以每小时20海里的速度前往C处，请问补给船能否在83分钟之内到达C处？（参考数据：≈1.73） 30．为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为B点和C点，行进路线为A→B→C→A．B点在A点的南偏东25°方向3km处，C点在A点的北偏东80°方向，行进路线AB和BC所在直线的夹角∠ABC为45°． （1）求行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数； （2）求检查点B和C之间的距离（结果保留根号）． $$