清单05 二元一次方程组（12个考点梳理+题型解读+提升训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（北师大版）

清单05二元一次方程组（12个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】二元一次方程（组）定义 1.二元一次方程组定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程． 2.二元一次方程组定义 方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． 如：把 x+y=2 和x-y=0 合在一起写成 ， 3.二元一次方程（组）的解 （1）使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． （2）二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【清单02】 解二元一次方程组 （1）消元思想 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．像这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想． （2）代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法． （3）加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 【清单03】 二元一次方程（组）应用的 一．解题步骤 步骤 1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系； 2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； 3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的； 4．解方程组； 5．检验：检验方程的根是否符合题意； 6．作答：检验后作出符合题目要求的答案． 二、基本公式 单价×数量=总价 利润=实际售价-成本 实际售价=标价（原价）×折扣 利润率= ×100 【清单04】一次函数与二元一次方程 一次函数y=kx+b的图像上任意一点的坐标都是二元一次方程kx-y+b=0的解；以二元一次方程kx-y+b=0的解为坐标的点都在一次函数y=kx+b的图像上. 【清单05】一次函数与二元一次方程组 在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解.用一次函数的图像求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图像解法. 注意： 1.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立. 2.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立. 【清单06】 方程组解的几何意义 1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标． 2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解的情况： 根据交点的个数，看出方程组的解的个数； 根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解． 3.对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数． 【考点题型1】二元一次方程（组）的概念 【典例1-1】方程是关于，的二元一次方程，则的值为 ． 【典例1-2】下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列方程组是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知方程是关于，的二元一次方程，则 ． 【考点题型2】二元一次方程（组）的解 【典例2-1】二元一次方程的解可以为（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】下列二元一次方程组的解为的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】已知是方程的一个解，那么k的值是 ． 【变式2-2】关于x，y的二元一次方程的正整数解的组数有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【变式2-3】已知是二元一次方程组的解，则 ． 【考点题型3】解二元一次方程组 【典例3】（1）用代入法解方程组； （2）用加减法解方程组． 【变式3-1】解下列方程组： (1) (2) 【变式3-2】解方程组： (1)； (2)． 【变式3-3】解方程． (1)； (2)． 【考点题型4】二元一次方程组-同解型 【典例4】已知方程组与方程组的解相等． (1)求相同的解 (2)求的值． 【变式4-1】方程组的解与方程组的解相同，则a、b的值是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知方程组和方程组的解相同，求的值． 【变式4-3】阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想： (1)解方程组，我们利用加减消元法，很快可以求得此方程组的解为 　 　； (2)如何解方程组呢，我们可以把m+5，n+3分别看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，很快可以求出原方程组的解为 　 　； 由此请你解决下列问题： (3)若关于m，n的方程组与有相同的解，求a，b的值． 【考点题型5】二元一次方程组-错解型 【典例5】甲、乙两人解方程组，甲正确地解得，乙因为把c看错，误认为d，解得，求、、、的值 【变式5-1】甲、乙两人同解方程组 时，甲看错了方程①中的a，解得 ，乙看错②中的b，解得 ． (1)求正确的a，b的值； (2)求原方程组的正确解． 【变式5-2】在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得解为，乙看错了方程组中的，得解为． (1)原方程组中的和各是多少？ (2)求原方程组的解． 【变式5-3】甲、乙两人解关于x、y的方程组时，甲因看错a得到方程组的解为，乙将方程②中的b写成了它的相反数得到方程组的解为． (1)求a、b的值； (2)求原方程组的解． 【考点题型6】二元一次方程组应用几何问题 【典例6】如图，在大长方形ABCD中，放入8个小长方形， (1)每个小长方形的长和宽分别是多少厘米？ (2)图中阴影部分面积为多少平方厘米？ 8【变式6-1】如图是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低，则每块墙砖的截面面积是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】一副三角扳按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大50°，若设∠1＝x°∠2＝y°，则可得到方程组为    A． B． C． D． 【变式6-3】学校为了提高绿化品位，美化环境，准备将一块周长为76m的长方形草地，设计分成长和宽分别相等的9块小长方形，（放置位置如图所示），种上各种花卉．经市场预测，绿化每平方米造价约为108元． （1）求出每一个小长方形的长和宽． （2）请计算完成这项绿化工程预计投入资金多少元？ 【考点题型7】二元一次方程组应用经济问题 【典例7】学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个奖品和2个奖品共需120元；购买5个奖品和4个B奖品共需210元． (1)求，两种奖品的单价； (2)学校准备购买，两种奖品共30个，且奖品的数量不少于10个，请用学过的函数知识说明怎样购买最省钱？按此方案购买奖品共需多少钱？ 【变式7-1】2023年的中秋节和国庆节恰逢同一周，为更好地满足本地市民和外地游客的消费需求，青岛市某商场在双节黄金周前投入13800元资金购进甲、乙两种水果共500箱，这两种水果的成本价和标价如下表所示： 类别/单价 成本价 标价（元/箱） 甲 24 乙 33 48 (1)该商场购进甲、乙两种水果各多少箱？ (2)为了促销，该商场将甲种水果按成本价提高后标价，又以7折销售；乙种水果以标价的9折销售．若这500箱水果在双节黄金周结束后全部售完，则该商场可获得利润多少元？ 【变式7-2】春节前夕，某商场从厂家购进了甲、 乙两种商品共50件，所用资金恰好为4400元． 这两种商品的进价如表： 商品名称 甲种 乙种 进价（元/件） 80 100 (1)该商场购进甲、乙两种商品各多少件? （列方程组解） (2)在销售时，甲种商品的每件售价为100元，要使得这50件商品所获总利润率为20%，每件乙商品的售价为多少元?（列方程解） 【变式7-3】某礼品店为迎接农历新年的到来，准备购进一批适合学生的礼品.已知购进4件A礼品和12件B礼品共需360元，购进8件A礼品和6件B礼品共需270元. (1)（列二元一次方程组）求A，B两种礼品每件的进价. (2)该店计划将5000元全部用于购进A，B这两种礼品，设购进A礼品m件，B礼品n件. ①求n与m之间的关系式； ②该店进货时，厂家要求A礼品的购进数量不少于100件.已知A礼品每件售价为20元，B礼品每件售价为35元.设该店全部售出这两种礼品可获利W元，求W与m之间的关系式和该店所获利润的最大值. 【考点题型8】二元一次方程组应用方案问题 【典例8】随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某4S店用120万元购进A，B两种新能源汽车进行销售，这两种汽车的进价和售价如下表所示，全部销售后可获毛利润16万元．[毛利润（售价进价）销售量] A B 进价/（万元/辆） 15 12 售价/（万元/辆） 16.5 14 (1)该4S店购进A，B两种新能源汽车各多少辆？ (2)由于销售状况特别好，该4S店决定再用240万元同时购进A，B两种新能源汽车（240万元资金刚好用完且两种汽车均购买），有哪几种购买方案？ 【变式8-1】随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们的新宠．某汽车店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进辆型新能源汽车、辆型新能源汽车共需万元；购进辆型新能源汽车、辆型新能源汽车共需万元． (1)问、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少？ (2)若销售辆型汽车可获利万元，销售辆型汽车可获利万元，该店正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），假如这些新能源汽车全部售出，问共有哪几种购买方案？其中最大利润是多少？ 【变式8-2】为了响应“绿色环保，节能减排”的号召，小华家准备购买，两种型号的节能灯，已知购买1盏型和2盏型节能灯共需要40元，购买2盏型和3盏型节能灯共需要70元． (1)，两种型号节能灯的单价分别是多少元？ (2)若要求这两种节能灯都买，且恰好用了50元，则有哪几种购买方案？ 【变式8-3】某物流公司运送捐赠物资，已知用3辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货 9 吨；用1 辆 A 型车和 2 辆 B 型车装满货物一次可运货 8 吨；若现有物资 19 吨，计划同时租用 A 型车 a 辆，B 型 车 b 辆，一次运完，且恰好每辆车都载满物资． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1 辆 A 型车和 1 辆 B 型车都载满物资一次可分别运送多少吨？ (2)求该物流公司的所有租车方案； (3)若 1 辆 A 型车需租金 90 元/次，1 辆 B 型车需租金 120 元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【考点题型9】二元一次方程组应用分配问题 【典例9】列方程或方程组解应用题 福林制衣厂现有24名制作服装的工人，每天都制作某种品牌的衬衫和裤子，每人每天可制作这种衬衫3件或裤子5条．已知制作一件衬衫可获得利润30元，制作一条裤子可获得利润16元，若该厂要求每天获得利润2100元，则需要安排多少名工人制作衬衫？多少名工人制作裤子？ 【变式9-1】张氏包装厂承接了一批纸盒加工任务，用如图①所示的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②所示的竖式与横式两种上面无盖的长方体纸盒（加工时接缝材料不计）． (1)做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，需正方形纸板___________张（直接填空），需长方形纸板___________张（直接填空）． (2)若该厂购进正方形纸板162张，长方形纸板338张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？（要求列二元一次方程组解决此问题） 【变式9-2】某学校现有若干间学生宿舍，准备安排给若干名学生住宿．原计划每间住8人，则有10间宿舍无人居住．由于疫情防控需要，每间宿舍只能住5人，则有10人无法入住．问该校现有多少间学生宿舍？有多少名学生？ 【变式9-3】用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制作24个盒身，或制作32个盒底，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有40张白铁皮请用二元一次方程组的知识解答下列问题． （1）问用多少张制作盒身，多少张制作盒底可以使盒身与盒底正好配套？ （2）已知一张白铁皮的成本为120元，每张制作盒底的加工费为30元/张，而制作盒身的加工方式有横切和纵切两种，横切的加工费为20元/张，纵切的加工费为25元/张，问在（1）的结论下，若想要总费用控制在5900元，应安排多少张横切，多少张纵切？ 【考点题型10】二元一次方程组应用古代问题 【典例10】被历代数学家尊为“算经之首”的九章算术是中国古代算法的扛鼎之作．九章算术中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文：“今有只雀、只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．只雀、只燕重量为斤．问雀、燕每只各重多少斤？”请列方程组解答上面的问题． 【变式10-1】我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊三，直金十二两．问牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只羊共12两银子，求那时候每头牛、每只羊各多少两银子？ 【变式10-2】《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1，图2所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图1表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是． (1)类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为：________． (2)解由图2列出的方程组． 【变式10-3】我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”大致意思是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”请你用二元一次方程组的方法求出绳子、木条各多少尺． 【考点题型11】两直线的交点与二元一次方程组的解 【典例11】如图，已知函数和图象交于点P，点P的横坐标为1，则关于x，y的方程组的解是（    ）. A． B． C． D． 【变式11-1】如图，已知直线和直线交于点P，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ．    【变式11-2】如图，直线和相交于点，则关于x,y的方程组的解为 ． 【变式11-3】如图，直线与相交于点，则关于x，y的方程组的解是 ． 【考点题型12】 二元一次方程与一次函数的综合 【典例12】如图，直线与直线相交于一点，其坐标为，直线过点， (1)求直线的解析式； (2)求直线，与轴围成的三角形的面积． 【变式12-1】如图，一次函数的图像与正比例函数的图像交于点，与轴的负半轴交于点，与轴的负半轴交于点，且． (1)求点的坐标及一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)点为直线上一点，若面积为面积的一半，求点坐标． 【变式12-2】如图， 在平面直角坐标系中， 点， 点， 的平分线交y轴于点M． (1)求直线的函数解析式． (2)在直线上是否存在一点P，且在x轴上存在一点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形，是以为边的平行四边形?若存在，请写出所有点 P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式12-3】如图，在平面直角坐标系中，直线，与轴、轴分别交于点，直线与轴、轴分别交于点，交直线于点． (1)直线______定点（填“经过”或“不经过”）； (2)若点关于点对称，求此时直线的解析式； (3)若直线将的面积分为两部分，请求出的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单05二元一次方程组（12个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】二元一次方程（组）定义 1.二元一次方程组定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程． 2.二元一次方程组定义 方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． 如：把 x+y=2 和x-y=0 合在一起写成 ， 3.二元一次方程（组）的解 （1）使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． （2）二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【清单02】 解二元一次方程组 （1）消元思想 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．像这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想． （2）代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法． （3）加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 【清单03】 二元一次方程（组）应用的 一．解题步骤 步骤 1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系； 2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； 3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的； 4．解方程组； 5．检验：检验方程的根是否符合题意； 6．作答：检验后作出符合题目要求的答案． 二、基本公式 单价×数量=总价 利润=实际售价-成本 实际售价=标价（原价）×折扣 利润率= ×100 【清单04】一次函数与二元一次方程 一次函数y=kx+b的图像上任意一点的坐标都是二元一次方程kx-y+b=0的解；以二元一次方程kx-y+b=0的解为坐标的点都在一次函数y=kx+b的图像上. 【清单05】一次函数与二元一次方程组 在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解.用一次函数的图像求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图像解法. 注意： 1.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立. 2.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立. 【清单06】 方程组解的几何意义 1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标． 2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解的情况： 根据交点的个数，看出方程组的解的个数； 根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解． 3.对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数． 【考点题型1】二元一次方程（组）的概念 【典例1-1】方程是关于，的二元一次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，代数式求值，只含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，据此可得，则，再代值计算即可． 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【典例1-2】下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握含有两个未知数，且含有的未知数的项的次数为的方程是解题的关键．根据二元一次方程组的定义，含有两个未知数，且含有的未知数的项的次数为，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、方程组中不是整式方程，不符合题意； B、方程组中含有三个未知数，不符合题意； C、方程组中含有两个未知数，每个未知数的次数为，符合题意； D、方程组中含有两个未知数，中未知数的次数为，不符合题意． 故选：C． 【变式1-1】下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程． 【详解】解：A、是二元二次方程，不是二元一次方程，故A不符合题意； B、是二元一次方程，故B符合题意； C、是一元一次方程，不是二元一次方程，故C不符合题意； D、是二元二次方程，不是二元一次方程，故D不符合题意； 故选：B． 【变式1-2】下列方程组是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义； 如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次 ，那么这样的整式方程组叫做二元一次方程组，据此判断即可． 【详解】解：A、含有3个未知数，不是二元一次方程组； B、第一个方程不是整式方程，不是二元一次方程组； C、第一个方程不是二元一次方程，不是二元一次方程组； D、符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组； 故选：D． 【变式1-3】已知方程是关于，的二元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程指只含有两个未知数、且含未知数的项的次数都为1的方程，根据二元一次方程的定义得出，，求解即可得出答案，熟练掌握二元一次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：，， 解得：， 故答案为：． 【考点题型2】二元一次方程（组）的解 【典例2-1】二元一次方程的解可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将各组数代入二元一次方程的等号左边，看其值是否等于1即可得．本题考查了二元一次方程的解，掌握解二元一次方程的步骤是关键． 【详解】解：A．， 不是二元一次方程的解；不符合题意； B．， 是二元一次方程的解；符合题意； C．， 不是二元一次方程的解；不符合题意； D．， 不是二元一次方程的解．不符合题意； 故选：B． 【典例2-2】下列二元一次方程组的解为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．分别求出各项中方程组的解，即可作出判断． 【详解】解：A、， ①②得：，即， 把代入①得：， 不合题意； B、， ①②得：，即， 把代入①得：， 符合题意； C、， ①②得：，即， 把代入①得：， 不合题意； D、， ②①得：，即， 把代入①得：， 不合题意， 故选：B． 【变式2-1】已知是方程的一个解，那么k的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查二元一次方程的解，把代入方程进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：， ∴； 故答案为：1． 14．已知二元一次方程，用含的代数式表示 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程及等式的性质，掌握等式的基本性质是解题的关键． 根据等式的性质表示即可． 【详解】解：∵， 根据等式的性质可得 ， ∴． 故答案为： 【变式2-2】关于x，y的二元一次方程的正整数解的组数有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】B 【分析】本题是求不定方程的整数解．先把其中一个未知数用另一个未知数表示，然后分析它的解的情况． 【详解】解：先将方程变形，得． 要使x，y都是正整数，根据以上条件得： x取1，2时，相应的y取4，1． ∴有二组，分别为，． 故选：B． 【变式2-3】已知是二元一次方程组的解，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解及其解法，解题的关键是正确求解方程组．利用二元一次方程组的解先求出m，n的值，再求的值． 【详解】解：把代入，得， 解得， 所以， 故答案为． 【考点题型3】解二元一次方程组 【典例3】（1）用代入法解方程组； （2）用加减法解方程组． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组： （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：（1） 由①，可得：， 把③代入②得：，解得， 把代入①得：， ∴原方程组的解是． （2） 由，可得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解是． 【变式3-1】解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，掌握消元法是解题关键． （1）①+②解得；把代入①即可求解； （2）原方程组可化为，①+②解得，把代入①即可求解； 【详解】（1）解： ①+②，得，解得 把代入①，得，解得， 所以原方程组的解为； （2）解：原方程组可化为 ①+②得，解得 把代入①得 则原方程组的解为 【变式3-2】解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键． 应用加减消元法，求出两个方程组的解即可． 【详解】（1）解：， ①+②，得：， 解得：， 把代入①，得：， 解得：， 方程组的解为； （2）， ①×2，得：③， ②③，得：， 解得：， 把代入①，得：， 解得：， 方程组的解为． 【变式3-3】解方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解方程组，根据方程组的特点选择合适的方法解方程组． （1）两式相加得：，然后利用加减消元法解方程组即可； （2）将第一个方程变形为，然后利用代入消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 两式相加得：， 解得：， 把代入得， 所以方程组的解为． （2）， 由得， 把代入得： ， 解得：． 把代入得， 所以方程组的解为． 【考点题型4】二元一次方程组-同解型 【典例4】已知方程组与方程组的解相等． (1)求相同的解 (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，联立，解关于的二元一次方程组即可求解； （2）将（1）中的值代入原方程组，联立，解关于的二元一次方程组即可求解． 【详解】（1）解：方程组与方程组的解相等， ∴，解得：， ∴相同的解是． （2）解：将代入原方程， 联立得，解得：， ∴的值，的值． 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，掌握解加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． 【变式4-1】方程组的解与方程组的解相同，则a、b的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由于两个方程组的解相同，所以这个相同的解是，把代入方程中其余两个方程，得关于a、b的方程组，解答即可． 【详解】解：由于两个方程组的解相同，所以这个相同的解是， 把代入方程中其余两个方程得， 解得，． 故选：B． 【点睛】题考查了对方程组解的理解，另外此题还有一巧办法，把两个方程相加得． 【变式4-2】已知方程组和方程组的解相同，求的值． 【答案】100 【分析】由题意可得方程组，则有可求出方程组的解，然后再代入进行求解a、b，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴，化简得：， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查同解方程组的问题，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 【变式4-3】阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想： (1)解方程组，我们利用加减消元法，很快可以求得此方程组的解为 　 　； (2)如何解方程组呢，我们可以把m+5，n+3分别看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，很快可以求出原方程组的解为 　 　； 由此请你解决下列问题： (3)若关于m，n的方程组与有相同的解，求a，b的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可得； （2）直接根据（1）的结论可得，由此即可得； （3）根据两个方程组有相同的解求出的值，继而求出的值即可得． 【详解】（1）解：， 由①②得：， 解得， 由②①得：， 解得， 则方程组的解为， 故答案为：． （2）解：由（1）得：， 解得， 即原方程组的解为， 故答案为：． （3）解：关于的方程组与有相同的解， ， 解得， 将代入方程得：，解得， 将代入方程得：，解得， 则， 解得． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法，理解同解方程组的意义，并利用整体思想解题是关键． 【考点题型5】二元一次方程组-错解型 【典例5】甲、乙两人解方程组，甲正确地解得，乙因为把c看错，误认为d，解得，求、、、的值 【答案】、、、的值是：4，5，，． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解．本题需先根据二元一次方程组的解得方法和已知条件分别把与的值代入原方程组，即可求出、、、的值． 【详解】解：把代入得： ， ， 再根据乙把看错，误认为，解得代入得： ， ， ， 、、、的值是：4，5，，． 【变式5-1】甲、乙两人同解方程组 时，甲看错了方程①中的a，解得 ，乙看错②中的b，解得 ． (1)求正确的a，b的值； (2)求原方程组的正确解． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的错解复原问题： （1）把代入②，把代入①，可求出a和b的值； （2）把a和b的值代入原方程组，利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：把代入②，得， 解得， 把代入①，得， 解得； （2）解：将，代入原方程组，得， 整理得， 得：， 解得：， 将代入，得：， 解得：， 因此原方程组的正确解为． 【变式5-2】在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得解为，乙看错了方程组中的，得解为． (1)原方程组中的和各是多少？ (2)求原方程组的解． 【答案】(1)，； (2) 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组等知识． （1）分别将两组解代入方程组，求出a与b的值，即可； （2）将a与b的值代入方程组，确定出方程组，求出解即可． 【详解】（1）解：∵甲看错了方程组中的，得解为， ∴，解得：， ∵乙看错了方程组中的，得解为， ∴，解得：； （2）解：由（1）得：原方程组为， 由得：， 解得：， 把代入，得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 【变式5-3】甲、乙两人解关于x、y的方程组时，甲因看错a得到方程组的解为，乙将方程②中的b写成了它的相反数得到方程组的解为． (1)求a、b的值； (2)求原方程组的解． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将代入算出，将代入算出即可； （2）将 的值代入二元一次方程组中，解出即可． 【详解】（1）解：甲看错方程组中的 的a，得到方程组的解为． 将代入①得：， 乙把方程②中的b看成了它的相反数，得到方程组的解， 将代入中 得：； （2）解：将代入中得： ， 解得 ． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解，熟知方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值，掌握二元一次方程组的解是解题的关键． 【考点题型6】二元一次方程组应用几何问题 【典例6】如图，在大长方形ABCD中，放入8个小长方形， (1)每个小长方形的长和宽分别是多少厘米？ (2)图中阴影部分面积为多少平方厘米？ 【答案】(1)7厘米和2厘米 (2)53平方厘米 【分析】（1）设小长方形宽为x厘米，长为y厘米，由图象列二元一次方程组，代入消元法求解即可． （2）阴影面积为大长方形ABCD面积减去8个小长方形面积． 【详解】（1）设小长方形宽为x厘米，长为y厘米，则有 BC=4x+y=15，CD=2x+y，AB=9+x ∵AB=CD ∴2x+y =9+x 即x+y=9 故有二元一次方程组 将y=9-x代入4x+y=15有 4x+9-x =15 解得x=2 将x=2代入y=9-x 解得y=7 故小长方形的长和宽分别是7厘米和2厘米． （2）由（1）问可知大长方形长ABCD为15cm，宽为11cm，则长方形面积为15×11=165cm2 小长方形的面积为2×7=14cm2 由题干知长方形中有8个小长方形 故 即 【点睛】本题考查了列二元一次方程组，列二元一次方程组解应用题的一般步骤，审：审题，明确各数量之间的关系，设：设未知数（一般求什么，就设什么），找：找出应用题中的相等关系，列：根据相等关系列出两个方程，组成方程组，解：解方程组，求出未知数的值，答：检验方程组的解是否符合题意，写出答案． 8【变式6-1】如图是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低，则每块墙砖的截面面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设每块墙砖的长为，宽为，根据图形找到两个等量关系，求解即可 【详解】解：设每块墙砖的长为，宽为， 根据题意得：， 解得： ∴每块墙砖的截面面积：， 故选：C 【变式6-2】一副三角扳按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大50°，若设∠1＝x°∠2＝y°，则可得到方程组为    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据平角和直角定义，得方程x+y=90； 根据∠1比∠2的度数大50°，得方程x=y+50． 可列方程组为 x=y+50， x+y=90  ． 故选D． 【变式6-3】学校为了提高绿化品位，美化环境，准备将一块周长为76m的长方形草地，设计分成长和宽分别相等的9块小长方形，（放置位置如图所示），种上各种花卉．经市场预测，绿化每平方米造价约为108元． （1）求出每一个小长方形的长和宽． （2）请计算完成这项绿化工程预计投入资金多少元？ 【答案】（1）每个小长方形的长和宽分别是10米、4米；（2）完成这块绿化工程预计投入资金为38880元． 【分析】（1）弄清题意，找出等量关系：2[5个小长方形的宽+（一个小长方形的长+两个小长方形的宽）]=周长和5个长方形的宽等于2个长方形的长，列二元一次方程组解答． （2）直接求出每个小长方形的面积，然后求出答案即可． 【详解】解：（1）设小长方形的宽为x米，长为y 米．则 ， 解得：， 答：每个小长方形的长和宽分别是10米、4米； （2）（元）， 答：完成这块绿化工程预计投入资金为38880元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．要弄清小长方形长、宽和大长方形周长之间的关系． 【考点题型7】二元一次方程组应用经济问题 【典例7】学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个奖品和2个奖品共需120元；购买5个奖品和4个B奖品共需210元． (1)求，两种奖品的单价； (2)学校准备购买，两种奖品共30个，且奖品的数量不少于10个，请用学过的函数知识说明怎样购买最省钱？按此方案购买奖品共需多少钱？ 【答案】(1)A，B两种奖品的单价分别为30元、15元 (2)购买10个A奖品，20个B奖品时最省钱，此方案购买奖品共需600元 【分析】本题考查了方程组的应用，一次函数的应用． （1）设A，B两种奖品的单价分别为元、元，列出方程组解答即可． （2）设购买A，B两种奖品共需元，购买A奖品的数量为个，则购买B奖品的数量为元，则即,根据一次函数的性质解得即可． 【详解】（1）设A，B两种奖品的单价分别为元、元，由题意得： 解得：． 答：A，B两种奖品的单价分别为30元、15元． （2）设购买A，B两种奖品共需元，购买A奖品的数量为个，则购买B奖品的数量为元，则 即． 因为，所以随着的增大而增大，又取值不小于10个， 故当时，最小，最小值为． 此时． 所以，购买10个A奖品，20个B奖品时最省钱，此方案购买奖品共需600元． 【变式7-1】2023年的中秋节和国庆节恰逢同一周，为更好地满足本地市民和外地游客的消费需求，青岛市某商场在双节黄金周前投入13800元资金购进甲、乙两种水果共500箱，这两种水果的成本价和标价如下表所示： 类别/单价 成本价 标价（元/箱） 甲 24 乙 33 48 (1)该商场购进甲、乙两种水果各多少箱？ (2)为了促销，该商场将甲种水果按成本价提高后标价，又以7折销售；乙种水果以标价的9折销售．若这500箱水果在双节黄金周结束后全部售完，则该商场可获得利润多少元？ 【答案】(1)该商场购进甲种水果300箱，乙种水果200箱 (2)该商场可获得利润2400元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，列式计算． （1）设该商场购进甲种水果x箱，乙种水果y箱，利用进货总价=进货单价×进货数量，结合该商家用13800元购进甲、乙两种水果共500箱，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用总利润=每箱甲种水果的销售利润×销售数量（购进数量）+每箱乙种水果的销售利润×销售数量（购进数量），即可求出结论． 【详解】（1）解：设该商场购进甲种水果x箱，乙种水果y箱， 根据题意得： ， 解得：． 答：该商场购进甲种水果300箱，乙种水果200箱； （2）解：根据题意得： （元）． 答：该商场可获得利润2400元． 【变式7-2】春节前夕，某商场从厂家购进了甲、 乙两种商品共50件，所用资金恰好为4400元． 这两种商品的进价如表： 商品名称 甲种 乙种 进价（元/件） 80 100 (1)该商场购进甲、乙两种商品各多少件? （列方程组解） (2)在销售时，甲种商品的每件售价为100元，要使得这50件商品所获总利润率为20%，每件乙商品的售价为多少元?（列方程解） 【答案】(1)购进甲种商品30件，乙种商品20件； (2)每件乙商品的售价为114元． 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，找出题中的等量关系列出方程组是解题的关键． （1）设购进甲种商品x件，乙种商品y件，根据题意列出方程组，解方程组即可； （2）设每件乙商品的售价为元，根据题意列出方程即可． 【详解】（1）解：设购进甲种商品x件，乙种商品件， 由题意可得，， 解得， 答：购进甲种商品30件，乙种商品20件； （2）解：设每件乙商品的售价为元， 由题意得，， 解得， 答：每件乙商品的售价为114元． 【变式7-3】某礼品店为迎接农历新年的到来，准备购进一批适合学生的礼品.已知购进4件A礼品和12件B礼品共需360元，购进8件A礼品和6件B礼品共需270元. (1)（列二元一次方程组）求A，B两种礼品每件的进价. (2)该店计划将5000元全部用于购进A，B这两种礼品，设购进A礼品m件，B礼品n件. ①求n与m之间的关系式； ②该店进货时，厂家要求A礼品的购进数量不少于100件.已知A礼品每件售价为20元，B礼品每件售价为35元.设该店全部售出这两种礼品可获利W元，求W与m之间的关系式和该店所获利润的最大值. 【答案】(1)A礼品每个的进价是15元，B礼品每个的进价是25元 (2)①；②，最大利润为1900元 【分析】(1)设A、B两种礼品的进价分别是x元、y元，根据购进4件A礼品和12件B礼品共需360元，购进8件A礼品和6件B礼品共需270元，列出方程组，解方程组即可； (2)①该店计划用5000元全部购进A，B两种礼品，购进A种礼品m个，B种礼品n个，结合（1）中求出的进价，得到购进A种礼品需要元，B种礼品需要元，列出二元一次方程，整理可得n关于m的关系式； ②根据两种礼品的进价和售价列出W与m的关系式，根据W随m的变化情况及m的取值范围求最大利润即可． 本题主要考查了一次函数和二元一次方程组的应用，解决问题的关键是熟练掌握总价与单价和数量的关系，列出二元一次方程或方程组，一次函数关系式，并根据函数值的增减性和自变量的取值范围求出函数最值． 【详解】（1）设A礼品每个的进价是x元，B礼品每个的进价是y元， 依题意得，， 解得， 故A礼品每个的进价是15元，B礼品每个的进价是25元；． （2）(2)①依题意得，， ∴． ②∵W表示所获得的利润， ∴， ∵， ∴W随m的增大而减小， ∵， ∴当时，W取得最大值．即A礼品进货100件时，该店获利最大， 最大利润为， (元)． 【考点题型8】二元一次方程组应用方案问题 【典例8】随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某4S店用120万元购进A，B两种新能源汽车进行销售，这两种汽车的进价和售价如下表所示，全部销售后可获毛利润16万元．[毛利润（售价进价）销售量] A B 进价/（万元/辆） 15 12 售价/（万元/辆） 16.5 14 (1)该4S店购进A，B两种新能源汽车各多少辆？ (2)由于销售状况特别好，该4S店决定再用240万元同时购进A，B两种新能源汽车（240万元资金刚好用完且两种汽车均购买），有哪几种购买方案？ 【答案】(1)购进A型号的汽车4辆，B型号的汽车每5辆 (2)共有三种购买方案：购买A型号的汽车12辆，B种型号的汽车5辆；购买A型号的汽车8辆，B种型号的汽车10辆；购买A型号的汽车4辆，B种型号的汽车15辆 【分析】本题考查二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程（组）． （1）设购买A型号的汽车a辆，B种型号的汽车b辆，根据题意列二元一次方程组，即可求解； （2）设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆，根据总价为240万元列出二元一次方程，进而分析得出购买方案． 【详解】（1）解：设A种型号的汽车每辆进价为a万元，B种型号的汽车每辆进价为b万元， 由题意可得， 解得， 答：购进A型号的汽车4辆，B型号的汽车每5辆； （2）解：设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆， 由题意可得， ∴， ∵，，m和n均为整数， ∴或或． 答：共有三种购买方案：购买A型号的汽车12辆，B种型号的汽车5辆；购买A型号的汽车8辆，B种型号的汽车10辆；购买A型号的汽车4辆，B种型号的汽车15辆． 【变式8-1】随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们的新宠．某汽车店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进辆型新能源汽车、辆型新能源汽车共需万元；购进辆型新能源汽车、辆型新能源汽车共需万元． (1)问、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少？ (2)若销售辆型汽车可获利万元，销售辆型汽车可获利万元，该店正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），假如这些新能源汽车全部售出，问共有哪几种购买方案？其中最大利润是多少？ 【答案】(1)、两种型号的汽车每辆进价分别为万元、万元 (2)共有四种购买方案，分别为购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆；购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆；购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆；购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆；其中最大利润为万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键；（1）设种型号的汽车每辆进价为万元，种型号的汽车每辆进价为万元，根据题意建立一元二次方程组，求解即可；（2）设购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆，利用总价单价数量，可得出二元一次方程，结合，为正整数，即可得出该公司的四种购买方案，比较方案利润即可求解． 【详解】（1）设种型号的汽车每辆进价为万元，种型号的汽车每辆进价为万元， 由题意可得：， 解得：， 答：、两种型号的汽车每辆进价分别为万元、万元 （2）设购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆， 由题意可得，且，为正整数， 解得：或或或，共有四种购买方案： 当，时，获得的利润为：（万元）， 当，时，获得的利润为：（万元）， 当，时，获得的利润为：（万元）， 当，时，获得的利润为：（万元）， 由上可得，最大利润为万元． 【变式8-2】为了响应“绿色环保，节能减排”的号召，小华家准备购买，两种型号的节能灯，已知购买1盏型和2盏型节能灯共需要40元，购买2盏型和3盏型节能灯共需要70元． (1)，两种型号节能灯的单价分别是多少元？ (2)若要求这两种节能灯都买，且恰好用了50元，则有哪几种购买方案？ 【答案】(1)种型号节能灯的单价为20元，种型号节能灯的单价为10元； (2)方案①：购买种型号节能灯1盏，种型号节能灯3盏；方案②：购买种型号节能灯2盏，种型号节能灯1盏 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用： （1）设种型号节能灯的单价为元，种型号节能灯的单价为元，根据购买1盏型和2盏型节能灯共需要40元，购买2盏型和3盏型节能灯共需要70元列出方程组求解即可； （2）设购买种型号节能灯盏，种型号节能灯盏，根据恰好用了50列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设种型号节能灯的单价为元，种型号节能灯的单价为元， 由题意得，， 解得， 答：种型号节能灯的单价为20元，种型号节能灯的单价为10元； （2）解：设购买种型号节能灯盏，种型号节能灯盏， ，即， ∵、均为正整数， 或， 共有两种购买方案，分别是：方案①：购买种型号节能灯1盏，种型号节能灯3盏；方案②：购买种型号节能灯2盏，种型号节能灯1盏； 【变式8-3】某物流公司运送捐赠物资，已知用3辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货 9 吨；用1 辆 A 型车和 2 辆 B 型车装满货物一次可运货 8 吨；若现有物资 19 吨，计划同时租用 A 型车 a 辆，B 型 车 b 辆，一次运完，且恰好每辆车都载满物资． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1 辆 A 型车和 1 辆 B 型车都载满物资一次可分别运送多少吨？ (2)求该物流公司的所有租车方案； (3)若 1 辆 A 型车需租金 90 元/次，1 辆 B 型车需租金 120 元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)1辆A型车载满货物一次可运送2吨，1辆B型车载满货物一次可运送3吨 (2)共有3种租车方案，方案1：租用A型车8辆，B型车1辆；方案2：租用A型车5辆，B型车3辆；方案3：租用A型车2辆，B型车5辆 (3)选出租车方案3最省钱，最少租车费为780元 【分析】此题考查了一次不等式组的应用，二元一次方程的应用，以及二元一次方程组的应用，弄清题意是解本题的关键． （1）设1辆A型车载满货物一次可运送x吨，1辆B型车载满货物一次可运送y吨，根据题意列出方程组，求出方程组的解得到与的值，即可确定出所求； （2）根据某物流公司现有19吨货物，计划同时租用A型车辆，型车辆，列出方程，确定出的范围，根据为整数，确定出的值即可确定出具体租车方案． （3）根据几个租车方案得出租车费即可． 【详解】（1）解：设1辆A型车载满货物一次可运送x吨，1辆B型车载满货物一次可运送y吨， 依题意，得， 解得， 答：1辆A型车载满货物一次可运送2吨，1辆B型车载满货物一次可运送3吨； （2）解：依题意得：， ∴． 又∵a，b均为正整数， ∴或或, ∴共有3种租车方案，方案1：租用A型车8辆，B型车1辆；方案2：租用A型车5辆，B型车3辆；方案3：租用A型车2辆，B型车5辆； （3）解：选用方案1所需租车费为（元）； 选用方案2所需租车费为（元）； 选用方案3所需租车费为（元）． ∵， ∴选出租车方案3最省钱，最少租车费为780元． 【考点题型9】二元一次方程组应用分配问题 【典例9】列方程或方程组解应用题 福林制衣厂现有24名制作服装的工人，每天都制作某种品牌的衬衫和裤子，每人每天可制作这种衬衫3件或裤子5条．已知制作一件衬衫可获得利润30元，制作一条裤子可获得利润16元，若该厂要求每天获得利润2100元，则需要安排多少名工人制作衬衫？多少名工人制作裤子？ 【答案】安排18名工人制作衬衫，6名工人制作裤子 【分析】本题考查列二元一次方程组解决实际问题． 设安排x名工人制作衬衫，y名工人制作裤子，根据“现有24名制作服装的工人”和“要求每天获得利润2100元”列出二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：设安排x名工人制作衬衫，y名工人制作裤子，根据题意，得 ， 解得， 答：安排18名工人制作衬衫，6名工人制作裤子． 【变式9-1】张氏包装厂承接了一批纸盒加工任务，用如图①所示的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②所示的竖式与横式两种上面无盖的长方体纸盒（加工时接缝材料不计）． (1)做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，需正方形纸板___________张（直接填空），需长方形纸板___________张（直接填空）． (2)若该厂购进正方形纸板162张，长方形纸板338张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？（要求列二元一次方程组解决此问题） 【答案】(1)5；10 (2)制作竖式纸盒38个、横式纸盒62个，恰好能将购进的纸板全部用完 【分析】（1）根据1个竖式纸盒需要长方形纸板4张，正方形纸板1张，1个横式纸盒需要长方形纸板3张，正方形纸板2张，求出做1个竖式纸盒和2个横式纸盒需要的正方形纸板和长方形纸片的张数即可； （2）设制作竖式纸盒x个、横式纸盒y个，根据制作竖式纸盒和横式纸盒需要的正方形和长方形纸板数列出方程组，解方程即可． 【详解】（1）解：需正方形纸板：（张）， 长方形纸板：（张）， 故答案为：5；10． （2）解：设制作竖式纸盒x个、横式纸盒y个，根据题意得： ， 解得：， 答：制作竖式纸盒38个、横式纸盒62个，恰好能将购进的纸板全部用完． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据正方形和长方形张数列出方程组． 【变式9-2】某学校现有若干间学生宿舍，准备安排给若干名学生住宿．原计划每间住8人，则有10间宿舍无人居住．由于疫情防控需要，每间宿舍只能住5人，则有10人无法入住．问该校现有多少间学生宿舍？有多少名学生？ 【答案】有30间学生宿舍，有160名学生 【分析】设该校现有x间学生宿舍，共安排y名学生住宿，根据“原计划每间住8人，则有10间宿舍无人居住．由于疫情防控需要，每间宿舍只能住5人，则有10人无法入住”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设该校现有x间学生宿舍，共安排y名学生住宿， 依题意，得：， 解得：． 答：该校现有30间学生宿舍，有160名学生． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【变式9-3】用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制作24个盒身，或制作32个盒底，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有40张白铁皮请用二元一次方程组的知识解答下列问题． （1）问用多少张制作盒身，多少张制作盒底可以使盒身与盒底正好配套？ （2）已知一张白铁皮的成本为120元，每张制作盒底的加工费为30元/张，而制作盒身的加工方式有横切和纵切两种，横切的加工费为20元/张，纵切的加工费为25元/张，问在（1）的结论下，若想要总费用控制在5900元，应安排多少张横切，多少张纵切？ 【答案】（1）用16张制盒身，24张制盒底可以使盒身与盒底正好配套；（2）应安排4张横切，12张纵切才能使总费用控制在5900元． 【分析】（1）设用x张制盒身，y张制盒底可以使盒身与盒底正好配套，根据共有40张白铁皮且制作的盒底总数是制作的盒身的2倍，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设安排m张横切，则安排（16−m）张纵切，根据总费用＝40张白铁皮的成本＋总加工费，列出关于m的方程，即可解决问题． 【详解】解：（1）设用x张制盒身，y张制盒底可以使盒身与盒底正好配套， 依题意，得： ，解得：， 答：用16张制盒身，24张制盒底可以使盒身与盒底正好配套； （2）设安排m张横切，则安排（16−m）张纵切， 120×40＋30×24＋20m＋25（16−m）=5900 解得：m=4， 答：在（1）的结论下，应安排4张横切，12张纵切才能使总费用控制在5900元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组或一元一次方程． 【考点题型10】二元一次方程组应用古代问题 【典例10】被历代数学家尊为“算经之首”的九章算术是中国古代算法的扛鼎之作．九章算术中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文：“今有只雀、只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．只雀、只燕重量为斤．问雀、燕每只各重多少斤？”请列方程组解答上面的问题． 【答案】雀、燕每一只各重斤、斤 【分析】设雀、燕每1只各重x斤、y斤，根据等量关系：今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量为1斤，列出方程组求解即可． 【详解】解：设雀、燕每只各重斤、斤．根据题意，得 整理，得 解得 答：雀、燕每只各重斤、斤． 【点睛】考查二元一次方程组得应用，解题的关键是分析题意，找出题中的等量关系． 【变式10-1】我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊三，直金十二两．问牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只羊共12两银子，求那时候每头牛、每只羊各多少两银子？ 【答案】每头牛3两银子，每头羊为2两银子 【分析】设每头牛x两银子，每头羊y两银子，然后根据5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只羊共12两银子列出方程组求解即可． 【详解】解：设每头牛x两银子，每头羊y两银子， 由题意得，， 解得 答：每头牛3两银子，每头羊为2两银子． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 【变式10-2】《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1，图2所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图1表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是． (1)类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为：________． (2)解由图2列出的方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图形，结合题目所给的运算法则即可列出方程组； （2）利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：图2所示的算筹图我们可以表述为：， 故答案为：． （2）解： 将可得：， 将可得：， 将代入①中可得：， ∴方程组的解为． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及解方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组． 【变式10-3】我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”大致意思是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”请你用二元一次方程组的方法求出绳子、木条各多少尺． 【答案】绳子长11尺，木条长6.5尺． 【分析】设绳子长x尺，木条长y尺，根据“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设绳子长x尺，木条长y尺， 依题意得： ， 解得： ． 答：绳子长11尺，木条长6.5尺． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【考点题型11】两直线的交点与二元一次方程组的解 【典例11】如图，已知函数和图象交于点P，点P的横坐标为1，则关于x，y的方程组的解是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图像与二元一次方程（组），掌握方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标成为解题的关键． 先利用确定交点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标即可解答． 【详解】解：当时，，解得：，即两直线的交点坐标为， 所以关于x,y的方程组的解为． 故选：A． 【变式11-1】如图，已知直线和直线交于点P，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查一次函数图像的性质，两条直线相交的交点的公共解，掌握一元函数图像的性质是解题的关键． 根据函数图像可知，两条直线的交点坐标为，由此即可求解． 【详解】解：∵直线和直线的交点坐标为， ∴二元一次方程组的解为， 故答案为：． 【变式11-2】如图，直线和相交于点，则关于x,y的方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，利用数形结合是解题的关键． 【详解】解：由直线和相交于点， 所以关于x,y的方程组的解为, 故答案为：． 【变式11-3】如图，直线与相交于点，则关于x，y的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组之间的关系，明确一次函数与二元一次方程组的关系是解题的关键．根据一次函数与二元一次方程组的关系可知，方程组的解对应两个一次函数的交点坐标，从而可写出方程组的解． 【详解】解：∵直线与相交于点， ∴关于x，y的方程组的解是， 故答案为：． 【考点题型12】 二元一次方程与一次函数的综合 【典例12】如图，直线与直线相交于一点，其坐标为，直线过点， (1)求直线的解析式； (2)求直线，与轴围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，待定系数法求函数的解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求得； （2）求得两直线与轴的交点，然后根据三角形面积公式求得即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 直线过点，， ，解得， 直线的解析式为； （2）解：由直线可知直线与轴的交点为，，由直线可知直线与轴的交点为， 直线，与轴围成的三角形的面积是：． 【变式12-1】如图，一次函数的图像与正比例函数的图像交于点，与轴的负半轴交于点，与轴的负半轴交于点，且． (1)求点的坐标及一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)点为直线上一点，若面积为面积的一半，求点坐标． 【答案】(1)， (2)6 (3)， 【分析】本题主要考查了一次函数综合应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）结合点在上，即可确定点的坐标；再确定点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）首先确定点坐标，进而确定，然后计算的面积； （3）结合题意确定点的横坐标，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵在上， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线解析式为， 将点，代入， 得，解得， ∴该一次函数的解析式为； （2）对于一次函数， 令，可得，解得， ∴， ∴， ∴； （3）∵面积为面积的一半 ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴或， 又∵点在直线上， ∴，． 【变式12-2】如图， 在平面直角坐标系中， 点， 点， 的平分线交y轴于点M． (1)求直线的函数解析式． (2)在直线上是否存在一点P，且在x轴上存在一点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形，是以为边的平行四边形?若存在，请写出所有点 P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的表达式为： (2)或 【分析】本题考查的是一次函数的综合运用，涉及到平行四边形的性质、角平分线的性质，分类求解是解题的关键． （1）在中，，即，求出点，即可求解； （2）当为对角线时，由中点坐标公式列出等式，即可求解；当为对角线时，同理可解． 【详解】（1）解：过点M作于点N， 由点A、B的坐标得，， ∵的平分线交y轴于点M，则， 设，则，则， 在中，，即， 解得：， ∴点， 设直线的表达式为， 由点、的坐标得， 解得，， ∴直线的表达式为：； （2）解：存在，理由： 设点，点， 当为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得：，即点； 当为对角线时， 同理可得：， 解得：， 即点； 综上，点P的坐标为或． 【变式12-3】如图，在平面直角坐标系中，直线，与轴、轴分别交于点，直线与轴、轴分别交于点，交直线于点． (1)直线______定点（填“经过”或“不经过”）； (2)若点关于点对称，求此时直线的解析式； (3)若直线将的面积分为两部分，请求出的值． 【答案】(1)经过； (2)； (3)或． 【分析】本题考查了一次函数的性质，坐标与图形，中点坐标公式，三角形的面积公式，熟练掌握知识点的应用及分类讨论的思想是解题的关键． （）根据直线的解析式，即可判定； （）首先可求得点的坐标，再根据求线段中点坐标公式，即可求解； （）首先求得点的坐标，再分两种情况，根据三角形的面积公式，即可分别求得点的坐标，据此即可求解； 【详解】（1）由得，， 当时，， ∴经过定点， 故答案为：经过； （2）∵与轴交于点， ∴，点关于点对称， ∴， 将代入，即， ∴， ∴直线的解析式为； （3）∵与轴、轴分别交于点， ∴， ， ∴， ∵直线经过定点，且在直线上， ∴点的坐标为， ∵直线将的面积分为两部分，且， ∴当时即， ∴， ∴，即， ∴； 当时，即， ∴ ∴，即， ∴， 综上可知：的值为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$