专题1-1 全等三角形（考点清单，知识导图+3个考点梳理+11种题型解读+5种方法解读）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（苏科版）

考点清单1-1 全等三角形 （3个考点梳理+11种题型解读+5种方法解读） 【清单01】全等三角形的概念及表示 全等图形的概念：能完全重合的两个图形叫做全等图形. 特征：①形状相同.②大小相等.③对应边相等、对应角相等.④周长、面积相等. 全等三角形的概念：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 全等三角形的表示：全等用符号“≌”，读作“全等于”. 【补充】书写三角形全等时，要注意对应顶点字母要写在对应位置上. 如△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，读作△ABC全等于△DEF. 全等变换定义：只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换. 常见的全等变换：平移变换、翻折变换、旋转变换，即过平移、翻折、旋转后得到的图形与原图形是全等图形. 【清单02】全等三角形的性质 性质：1）全等三角形的对应边相等，对应角相等. 2）全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等． 3）全等三角形的周长相等，面积相等（但周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形）. 【清单03】三角形全等的条件 1）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）； 2）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）； 3）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）； 4）角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）； 5）斜边、直角边：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 【考点题型一】全等三角形的识别 解题方法：判断是否为全等图形，主要看这几个图形的形状和大小是否完全相同，与它们所处的位置无关. 1．（24-25八年级上·江苏南京·期中）下图是2024年巴黎奥运会和残奥会的吉祥物“弗里热”，它的座右铭是“独行快，众行远”，下列与该图片是全等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等图形的定义，根据全等图形定义直接选择即可． 【详解】解：由题意得，与题中图片形状、大小都相同的全等图形的是D， 故选：D． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）下列各组图形中，属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等图形，根据定义逐项判断即可．能够重合的两个图形是全等图形． 【详解】图B中的两个图形能够重合，所以符合题意． 故选：B． 3．（22-23八年级·全国·课堂例题）如图所示，下列图形中的全等图形是 . 【答案】（1）（9），（2）（3），（4）（8），（5）（7），（11）（12） 【分析】本题主要考查了全等图形的识别，能够完全重合的两个图形叫做全等图形，据此逐一判断即可。 【详解】解；由全等图形的定义可知，（1）（9），（2）（3），（4）（8），（5）（7），（11）（12）是全等图形， 故答案为：（1）（9），（2）（3），（4）（8），（5）（7），（11）（12）． 【考点题型二】利用全等图形求正方形网格中的角度和 4．（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用全等的性质求网格中的角度，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质，得出是解题的关键．观察图形可知与所在的直角三角形全等，则，根据外角的性质卡得，即可求解． 【详解】解：观察图形可知与所在的直角三角形全等（两直角边分别为1和2）， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·陕西安康·期中）如图，网格中的所有小正方形的边长相同，则 【答案】/90度 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，先证明得出，即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图， 在和中 ， ， ， ， ， 故答案为：． 6．（2022·山东济南·二模）如图，在的正方形网格中，求 度． 【答案】45 【分析】连接，根据正方形网格的特征即可求解． 【详解】解：如图所示，连接     ∵图中是的正方形网格 ∴，， ∴ ∴， ∵ ∴，即 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故答案为：45． 【点睛】本题考查了正方形网格中求角的度数，利用了平行线的性质、同角的余角相等、等腰直角三角形的性质等知识点，解题的关键是能够掌握正方形网格的特征． 7．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图是一个的正方形网格，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．如图，先根据判定，可得，然后可得，同理，，，，进一步即可求出答案． 【详解】解：如图，在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 同理，，， ， ∴， 故选：A． 【考点题型三】将已知图形分割成几个全等图形 8．（21-22七年级下·北京·期中）方格纸上有2个图形，你能沿着格线把每一个图形都分成完全相同的两个部分吗？请画出分割线． 【答案】见解析 【分析】观察第一个图，图中共有20个小方格，要分成完全相同两部分，则每个有10个小格，则可按如图所示，沿A→B→C→D分割；第二个图同理沿E→F→G→H→P→Q分割即可． 【详解】解：如图所示，第一个图，图中共有20个小方格，要分成完全相同两部分，则每个有10个小格，则可按如图所示，沿A→B→C→D分割；第二个图同理沿E→F→G→H→P→Q分割即可． 将分割出的两个图形，逆时针旋转90度，再通过平移，两部分能够完全重合，所以分割出的两部分完全相同． 【点睛】本题考查图形全等，掌握全等图形的定义是解题的关键． 9．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）用不同的方法沿着网格线把正方形分割成两个全等的图形．（至少画3种，分割线用粗实线） 【答案】见详解 【分析】题目主要考查了全等图形的定义，理解全等图形的定义是解题关键； 观察图形发现：这个正方形网格的总面积为16，因此只要将面积分为8，且图形形状相同即可． 【详解】解：如图所示即为所求． 【考点题型四】理解全等三角形的概念 10．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．周长相等的两个三角形一定全等 B．形状相同的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．全等三角形的面积一定相等 【答案】D 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质．根据全等图形的判定和性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、周长相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误； B、形状相同，边长不对应相等的两个三角形不全等，故本选项错误； C、面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误； D、全等三角形的面积一定相等，故本选项正确． 故选：D． 11．（23-24八年级上·福建福州·开学考试）如图，，C，B是对应点，下列结论错误的是（    ）    A．和是对应角 B．和是对应角 C．与是对应边 D．和是对应边 【答案】C 【分析】全等三角形中，能够重合的边是对应边，能够重合的角是对应角，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴和是对应角，和是对应角，和是对应边； 故A，B，D不符合题意； 而与是对应边，故C符合题意； 故选C 【点睛】本题考查的是全等三角形的对应边与对应角的含义，理解对应边与对应角的概念是解本题的关键． 12．（22-23八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，．下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的是 ．（填序号）    【答案】②④ 【分析】本题主要考查了全等三角形的有关概念，解题时应注重识别全等三角形中的对应边、对应角． 根据全等三角形的有关概念，即可求解． 【详解】解：∵， ∴与是对应边，故①错误； 与是对应边，故②正确； 与是对应角，故③错误； 与是对应角，故④正确． 所以正确的有②④． 故答案为：②④ 【考点题型五】利用全等三角形的性质求解 13．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，，请根据图中提供的信息，写出 ． 【答案】18 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据角度确定出全等三角形的对应边是解题的关键． 先利用三角形的内角和定理求出，然后根据全等三角形对应边相等解答． 【详解】解：如图，， ， ， 即， 故答案为：18． 14．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）一个三角形的三边为2、4、x，另一个三角形的三边为y、2、5，若这两个三角形全等，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查全等三角形的性质，熟记全等三角形对应边相等是解题的关键． 根据全等三角形对应边相等求出x、y，然后相加计算即可得解． 【详解】解：两个三角形全等， ，， 故答案为： 15．（20-21七年级下·陕西西安·期中）如图，全等于，E在边 上，与交于点 F．若， (1)求线段的长． (2)求 的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点， （1）先根据图形和已知判定出全等三角形的对应边，然后根据全等三角形的性质得到，，结合图形计算，得到答案； （2）根据全等三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理求出，计算即可得解； 掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键． 【详解】（1）∵ ， ∴， 如图所示，为中的最短边，为中的最短边， ∵， ∴和不可能是全等三角形的对应边， ∵E在边上， ∴， ∵全等于， ∴， ∴，， ∴； （2）∵，，， ∴，， ∴， ∴． 16．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在四边形中，，，，动点，分别在线段，上，连接，，． (1)若，，求的度数； (2)若与全等，点与点为对应点，求的长． 【答案】(1) (2)3或3.5 【分析】该题主要考查了三角形内角和定理以及全等三角形的性质， （1）根据三角形内角和算出，再根据平角定义算出，最后再运用三角形内角和即可求解； （2）根据和分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：，，， ， ，， ， ，， ； （2）解：当时，则， ， ， 当时，则， ， ． 综上可得：为3或3.5． 17．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，已知． (1)若，则______°； (2)若的周长为20，，则的长为______； (3)若的面积为6，则的面积为______． 【答案】(1)50； (2)7； (3)6 【分析】本题考查了全等三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为全等三角形的对应角相等，所以，再结合，即可作答． （2）因为全等三角形的对应边相等，所以，即可作答． （3）因为全等三角形的面积相等，所以，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴ （2）解：∵的周长为20，， ∴ ∵ ∴ （3）解：∵ ∴ 【考点题型六】添加一个条件使两个三角形全等 18．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，点D在边上，，，请你添加一个适当的条件： ，使． 【答案】（或或） 【分析】本题考查了全等三角形的判定；根据已知得出，已知一组对应边和一组对应角相等，再添加一组角相等，或者添加一组边使得已知角为夹角，即可证明． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 又∵， 添加，可以根据证明， 添加，可以根据证明， 添加，可以根据证明， 故答案为：（或或）． 19．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，要使，还需添加一个条件是 【答案】（或或或） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质等知识点，根据平行线的性质可得，，添加条件为：或，根据可证明；添加条件为：或，根据可证明，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】∵，， ∴，， ①添加条件为：， 在和中， ， ∴； ②添加条件为：， 在和中， ， ∴； ③添加条件为：， ∴， 在和中， ， ∴； ④添加条件为： ， 在和中， ， ∴； ∴这个条件可以是（或或或）, 故答案为：（或或或）． 20．（2024·江苏盐城·中考真题）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，． 若________，则． 请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 【答案】①或③（答案不唯一），证明见解析 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，①根据平行线的性质得出，再由全等三角形的判定和性质得出，结合图形即可证明；②得不出相应的结论；③根据全等三角形的判定得出，结合图形即可证明；熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 【详解】解：选择①； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； 选择②； 无法证明， 无法得出； 选择③； ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴，即； 故答案为：①或③（答案不唯一） 21．（2023·广东佛山·二模）如图，已知点在直线上，点在异侧，且，．    (1)请你添加一个适当的条件：_______，使得．结合所添加的条件证明； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)添加条件：（不唯一），证明见解析 (2) 【分析】（1）添加条件：，再证明，结合已知条件可得结论； （2）证明，可得，从而可得答案． 【详解】（1）添加条件：（不唯一） 证明：∵， ， 在与中， ， ∴； （2）∵， ， ， ， ，， ． 【点睛】本题考查的是添加条件证明三角形全等，全等三角形的性质，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键． 【考点题型七】选用合适的方法证明两个三角形全等 22．（20-21八年级上·重庆綦江·期末）如图，，垂足为，垂足为．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）直接用即可证明； （2）由，可得出，由， 可得出，由即可得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：在和中 ∴ （2）∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用各种方法进行判定三角形全等是解题的关键． 23．（20-21八年级上·江苏镇江·期末）已知：如图，AB∥CD，AB=CD，AD、BC相交于点O，BE∥CF，BE，CF分别交AD于点E、F． （1）求证：△ABO≌△DCO； （2）求证：BE=CF． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）由，证明结合 可得结论； （2）由可得 由 证明，从而可得结论． 【详解】（1）证明： （2）证明：     ． 【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 24．（22-23八年级下·山西运城·期中）已知：如图，点B、C、E、F在同一直线上，，，，垂足分别为B、E，连接、，且．    (1)学过的所有三角形全等的判定方法中，能判定两个直角三角形全等的方法共有几个． (2)求证：． 【答案】(1)5个 (2)见解析 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理罗列即可； （2）利用等量代换可得，再利用判定，全等三角形的对应角相等从而得到． 【详解】（1）解：能判定两个直角三角形全等的方法有： ，，，，，共5个； （2）， ，即． ，， ． 在与中， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，常用的判定方法有，，，，等，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 25．（22-23八年级上·山东威海·期中）如图，． (1)写出与全等的理由； (2)判断线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）由得出，再根据判断与全等即可； （2）由与全等得出判断与全等，最后利用全等三角形的性质可得． 【详解】（1）全等，理由如下： ∵ ， ∴ ， 在与中 ∴ （2），理由如下： 在与中 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 在与中 ， ∴ ， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，此题比较典型． 【考点题型八】判断全等三角形证明过程的错误步骤 26．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图， 点、、在一条直线上，， ，求证：. 小虎同学的证明过程如下： 证明： ， ，    第一步 又 ，， ≌，     第二步 ．                 第三步 (1)小虎同学的证明过程中，第 步出现错误； (2)请写出正确的证明过程. 【答案】(1)二 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． （1）根据三角形全等的判定定理求解即可； （2）过点分别作交的延长线于点，交的延长线于点，利用证明 ≌ ，根据全等三角形的性质得出，利用证明≌，从而得出． 【详解】（1）小虎同学的证明过程中，第二步出现错误， 故答案为：二； （2）证明：如图：过点分别作交的延长线于点，交的延长线于点， ，，， ， ，， ， 在 和 中， ， ≌ ， ， ， ， 在和中， ， ≌ ， ． 27．（2023·江苏南通·中考真题）如图，点，分别在，上，，，相交于点，． 求证：． 小虎同学的证明过程如下： 证明：∵， ∴． ∵， ∴．第一步 又，， ∴第二步 ∴第三步    (1)小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误； (2)请写出正确的证明过程． 【答案】(1)二 (2)见解析 【分析】（1）根据证明过程即可求解． （2）利用全等三角形的判定及性质即可求证结论． 【详解】（1）解：则小虎同学的证明过程中，第二步出现错误， 故答案为：二． （2）证明：∵， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． 28．（2024·山西阳泉·三模）如图，，点在上，．求证：． 小虎同学的证明过程如下： 证明： ， ，    第一步 在和中， ，    第二步 ．    第三步 任务一： ①以上证明过程中，第一步依据的定理是：______； ②从第______步出现错误；具体错误是______； 任务二：请写出正确的证明过程． 【答案】任务一：①两直线平行内错角相等；②二，对应边相等应为；任务二：见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定；根据两直线平行内错角相等，证明两三角形全等即可求解． 【详解】任务一：①以上证明过程中，第一步依据的定理是：两直线平行内错角相等； ②从第二步出现错误；具体错误是对应边相等应为 任务二： ， ，    ， 在和中， ，    ． 【考点题型九】利用尺规作三角形 29．（24-25八年级上·江苏南京·期中）在中，若，，为的中线． (1)写出长的取值范围：__________； (2)如图，已知线段、．用直尺和圆规作，使得，，． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形中线的定义、三角形的三边关系，作三角形； （1）根据题意倍长中线，证明，得出 ，进而根据三角形的三边关系，即可求解； （2）作线段，分别以为圆心为半径作弧，交于点，连接，则即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，延长使得，连接， ∵为的中线． ∴ 又∵ ∴ ∴ 在中， 即 ∴ ∴， 故答案为：． （2）如图所示即为所求； 30．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知线段，，，用直尺和圆规求作，使得的两边分别为，，一内角等于． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图，作一个角等于已知角及作一条线段等于已知线段，熟练掌握尺规作图的步骤是解题的关键． 作法：作，在，上分别取，，连接，则为所求； 作法：作，在上分别取，以为原心，的长为半径作弧交于点，连接，则为所求； 作法3：作，在上分别取，以为原心，的长为半径作弧与没有交点，不能得三角形． 【详解】解∶ 作法，如图，为所求， 作法，如图，为所求， 作法3，如图，为所求. 31．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知线段a、b，请按以下要求作出等腰．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不用写作法）    (1)腰长，底边； (2)腰长，上的高为a． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作三角形； （1）作射线，在上截取，然后分别以B、C为圆心，b的长度为半径画弧，两条弧的交点即为点A的位置； （2）作线段，再作的垂直平分线交于F，然后作的垂直平分线交于H，截取，则点C在直线上时，上的高为a，再以A为圆心，b的长为半径画弧交于C，顺次连接可得． 【详解】（1）解：如图所示： （2）如图所示： 【考点题型十】与证明全等三角形有关的辅助线问题 32．（20-21八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，已知：，，，，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】连接，可证≌，根据全等三角形对应角相等可以得到，，代入角度即可求出和的度数，最后利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】连接，如图， 在与中 ， ≌ ， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，添加正确的辅助线是解题的关键． 33．（20-21八年级上·广西崇左·期末）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，只要量出的长，就能求出工件内槽的宽的长，依据是 ． 【答案】全等三角形的对应边相等 【分析】连接AB，，可以证△AOB≌△COD（SAS），依所据全等三角形对就边相等得所以测量CD的长也就等于测量了工件内槽AB的长． 【详解】解：连接AB，，如图， ∵点O分别是AC、BD的中点， ∴OA＝OC，OB＝OD． 在△AOB和△COD中， OA＝OC，∠AOB＝∠COD（对顶角相等），OB＝OD， ∴△AOB≌△COD（SAS）． ∴CD＝AB（全等三角形的对应边相等）． 故答案为：全等三角形的对应边相等． 【点睛】本题考查全等三角形的应用，在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解． 34．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图1，中，是中线，求证：． 【答案】证明过程见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，三角形三边数量关系，根据题意，延长至点，使得，连接，可证，可得，再根据三角形的三边数量关系即可求解． 【详解】证明：如图所示，延长至点，使得，连接， ∵点是的中点， ∴，且， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【考点题型十一】全等三角形的实际问题 解题方法：根据实际问题的特点，建立全等三角形模型，将问题转化为全等三角形的边或角之间的关系，利用全等三角形的性质解决问题. 35．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）数学实践活动课中，老师布置了“测量小口瓶底部内径”的探究任务，某学习小组设计了如下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒的中点O固定（点O是的中点），现测得C，D之间的距离为，求小口瓶底部的内径的长度． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是熟练应用全等三角形的判定方法证明．根据点是、的中点可得，，再根据对顶角相等即可证明，根据全等三角形的性质可得． 【详解】解：点是、的中点， ，， 在和中， ， ， ． 即小口圆柱形瓶底部的内径的长度为． 36．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）小明和小亮准备用所学数学知识测一池塘的长度，经过实地测量，绘制如下图，点在直线l上（点F、C之间的距离为池塘的长度），点A、D在直线l的异侧，且，，测得．    (1)求证：； (2)若，，求池塘的长度． 【答案】(1)证明详见解析； (2)44m． 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，平行线的性质等． （1）根据题意利用平行线的性质，全等三角形判定即可得到本题答案； （2）根据题意利用第（1）问结论由全等三角形性质即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵在和中， ， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴池塘的长为． 37．（23-24八年级上·广西北海·期末）八年级数学兴趣小组开展了测量学校教学楼高度的实践活动，测量方案如下表： 课题 测量学校教学楼高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 （1）在教学楼外，选定一点； （2）测量教学楼顶点视线与地面夹角； （3）测的长度； （4）放置一根与长度相同的标杆，垂直于地面； （5）测量标杆顶部视线与地面夹角． 测量数据 ，，， 请你根据兴趣小组测量方案及数据，计算教学楼高度的值． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的应用．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先证明，再证明，得到，即可求解． 【详解】解：，， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， 答：教学楼高度为． 38．（23-24八年级上·吉林松原·期中）生活中的数学： (1)如图①，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定利用了_____； (2)如图②，要测量池塘沿岸上两点A、E之间的距离，可以在池塘周围取两条互相平行的线段和，且使，连接、交于点E，要想知道A、E之间的距离，只需要测量线段的长度，这样做合适吗？请说明理由． 【答案】(1)三角形的稳定性 (2)这样做合适，理由见解析 【分析】（1）根据三角形的稳定性解答即可； （2）首先证明，根据全等三角形的性质可得． 【详解】（1）解：一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定利用了三角形具有稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． （2）解：这样做合适， 理由：∵， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了三角形的稳定性，全等三角形的应用，解题的关键是掌握全等三角形，对应边相等． 39．（23-24八年级上·河南洛阳·期中）鹿邑老子文化广场位于河南省周口市鹿邑县太清宫镇，在太清宫对面，与太清宫相互辉映．广场中央矗立着地标性建筑老子雕像，总高27米，、两点分别为雕像底座的两端（其中、两点均在地面上）．因为、两点间的实际距离无法直接测量，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可． 乙：如图2，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可． (1)甲、乙两同学的方案哪个可行？_______（填“甲”或“乙”），并说明方案可行的理由； (2)对于（1）中不可行的方案，请添加一个使该方案可行的条件：_______． 【答案】(1)甲，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用， （1）甲同学作出的是全等三角形，然后根据全等三角形对应边相等测量的，所以是可行的； （2）甲根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； 熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键． 【详解】（1）甲同学的方案可行． 理由：由题意得， 在与中， ， ∴， ∴， 故甲同学的方案可行． （2）； 理由： ∵， 在与中， ， ∴， ∴． 故答案为：． 40．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）如图，小明和小华住在同一个小区不同单元楼，他们想要测量小明家所在单元楼的高度．首先他们在两栋单元楼之间选定一点E，然后小华在自己家阳台C处测得E处的俯角为．小明站在E处，眼睛F望向楼顶A的仰角为，发现与互余．过点F作于点G．已知BG=1.5米，米，BD=60米，点B、E、D在一条直线上．，试求单元楼的高．（注：与互余）． 【答案】单元楼的高为41.5米 【分析】证明，得出，即可求解． 【详解】解：由图可得， ∴， ，， ∴， ，， ，               在与中， ∴， 米 米 答：单元楼的高为41.5米． 【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 考点清单1-1 全等三角形 （3个考点梳理+11种题型解读+5种方法解读） 【清单01】全等三角形的概念及表示 全等图形的概念：能完全重合的两个图形叫做全等图形. 特征：①形状相同.②大小相等.③对应边相等、对应角相等.④周长、面积相等. 全等三角形的概念：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 全等三角形的表示：全等用符号“≌”，读作“全等于”. 【补充】书写三角形全等时，要注意对应顶点字母要写在对应位置上. 如△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，读作△ABC全等于△DEF. 全等变换定义：只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换. 常见的全等变换：平移变换、翻折变换、旋转变换，即过平移、翻折、旋转后得到的图形与原图形是全等图形. 【清单02】全等三角形的性质 性质：1）全等三角形的对应边相等，对应角相等. 2）全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等． 3）全等三角形的周长相等，面积相等（但周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形）. 【清单03】三角形全等的条件 1）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）； 2）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）； 3）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）； 4）角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）； 5）斜边、直角边：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 【考点题型一】全等三角形的识别 解题方法：判断是否为全等图形，主要看这几个图形的形状和大小是否完全相同，与它们所处的位置无关. 1．（24-25八年级上·江苏南京·期中）下图是2024年巴黎奥运会和残奥会的吉祥物“弗里热”，它的座右铭是“独行快，众行远”，下列与该图片是全等的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）下列各组图形中，属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级·全国·课堂例题）如图所示，下列图形中的全等图形是 . 【考点题型二】利用全等图形求正方形网格中的角度和 4．（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则的度数为 ． 5．（24-25八年级上·陕西安康·期中）如图，网格中的所有小正方形的边长相同，则 6．（2022·山东济南·二模）如图，在的正方形网格中，求 度． 7．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图是一个的正方形网格，则等于（   ） A． B． C． D． 【考点题型三】将已知图形分割成几个全等图形 8．（21-22七年级下·北京·期中）方格纸上有2个图形，你能沿着格线把每一个图形都分成完全相同的两个部分吗？请画出分割线． 9．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）用不同的方法沿着网格线把正方形分割成两个全等的图形．（至少画3种，分割线用粗实线） 【考点题型四】理解全等三角形的概念 10．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．周长相等的两个三角形一定全等 B．形状相同的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．全等三角形的面积一定相等 11．（23-24八年级上·福建福州·开学考试）如图，，C，B是对应点，下列结论错误的是（    ）    A．和是对应角 B．和是对应角 C．与是对应边 D．和是对应边 12．（22-23八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，．下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的是 ．（填序号）    【考点题型五】利用全等三角形的性质求解 13．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，，请根据图中提供的信息，写出 ． 14．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）一个三角形的三边为2、4、x，另一个三角形的三边为y、2、5，若这两个三角形全等，则 ． 15．（20-21七年级下·陕西西安·期中）如图，全等于，E在边 上，与交于点 F．若， (1)求线段的长． (2)求 的度数． 16．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在四边形中，，，，动点，分别在线段，上，连接，，． (1)若，，求的度数； (2)若与全等，点与点为对应点，求的长． 17．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，已知． (1)若，则______°； (2)若的周长为20，，则的长为______； (3)若的面积为6，则的面积为______． 【考点题型六】添加一个条件使两个三角形全等 18．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，点D在边上，，，请你添加一个适当的条件： ，使． 19．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，要使，还需添加一个条件是 20．（2024·江苏盐城·中考真题）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，． 若________，则． 请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 21．（2023·广东佛山·二模）如图，已知点在直线上，点在异侧，且，．    (1)请你添加一个适当的条件：_______，使得．结合所添加的条件证明； (2)若，，求的长度． 【考点题型七】选用合适的方法证明两个三角形全等 22．（20-21八年级上·重庆綦江·期末）如图，，垂足为，垂足为．求证： (1)； (2)． 23．（20-21八年级上·江苏镇江·期末）已知：如图，AB∥CD，AB=CD，AD、BC相交于点O，BE∥CF，BE，CF分别交AD于点E、F． （1）求证：△ABO≌△DCO； （2）求证：BE=CF． 24．（22-23八年级下·山西运城·期中）已知：如图，点B、C、E、F在同一直线上，，，，垂足分别为B、E，连接、，且．    (1)学过的所有三角形全等的判定方法中，能判定两个直角三角形全等的方法共有几个． (2)求证：． 25．（22-23八年级上·山东威海·期中）如图，． (1)写出与全等的理由； (2)判断线段与的数量关系，并说明理由． 【考点题型八】判断全等三角形证明过程的错误步骤 26．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图， 点、、在一条直线上，， ，求证：. 小虎同学的证明过程如下： 证明： ， ，    第一步 又 ，， ≌，     第二步 ．                 第三步 (1)小虎同学的证明过程中，第 步出现错误； (2)请写出正确的证明过程. 27．（2023·江苏南通·中考真题）如图，点，分别在，上，，，相交于点，． 求证：． 小虎同学的证明过程如下： 证明：∵， ∴． ∵， ∴．第一步 又，， ∴第二步 ∴第三步 (1)小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误； (2)请写出正确的证明过程． 28．（2024·山西阳泉·三模）如图，，点在上，．求证：． 小虎同学的证明过程如下： 证明： ， ，    第一步 在和中， ，    第二步 ．    第三步 任务一： ①以上证明过程中，第一步依据的定理是：______； ②从第______步出现错误；具体错误是______； 任务二：请写出正确的证明过程． 【考点题型九】利用尺规作三角形 29．（24-25八年级上·江苏南京·期中）在中，若，，为的中线． (1)写出长的取值范围：__________； (2)如图，已知线段、．用直尺和圆规作，使得，，． 30．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知线段，，，用直尺和圆规求作，使得的两边分别为，，一内角等于． 31．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知线段a、b，请按以下要求作出等腰．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不用写作法）    (1)腰长，底边； (2)腰长，上的高为a． 【考点题型十】与证明全等三角形有关的辅助线问题 32．（20-21八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，已知：，，，，则（    ） A． B． C．或 D． 33．（20-21八年级上·广西崇左·期末）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，只要量出的长，就能求出工件内槽的宽的长，依据是 ． 34．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图1，中，是中线，求证：． 【考点题型十一】全等三角形的实际问题 解题方法：根据实际问题的特点，建立全等三角形模型，将问题转化为全等三角形的边或角之间的关系，利用全等三角形的性质解决问题. 35．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）数学实践活动课中，老师布置了“测量小口瓶底部内径”的探究任务，某学习小组设计了如下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒的中点O固定（点O是的中点），现测得C，D之间的距离为，求小口瓶底部的内径的长度． 36．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）小明和小亮准备用所学数学知识测一池塘的长度，经过实地测量，绘制如下图，点在直线l上（点F、C之间的距离为池塘的长度），点A、D在直线l的异侧，且，，测得．    (1)求证：； (2)若，，求池塘的长度． 37．（23-24八年级上·广西北海·期末）八年级数学兴趣小组开展了测量学校教学楼高度的实践活动，测量方案如下表： 课题 测量学校教学楼高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 （1）在教学楼外，选定一点； （2）测量教学楼顶点视线与地面夹角； （3）测的长度； （4）放置一根与长度相同的标杆，垂直于地面； （5）测量标杆顶部视线与地面夹角． 测量数据 ，，， 请你根据兴趣小组测量方案及数据，计算教学楼高度的值． 38．（23-24八年级上·吉林松原·期中）生活中的数学： (1)如图①，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定利用了_____； (2)如图②，要测量池塘沿岸上两点A、E之间的距离，可以在池塘周围取两条互相平行的线段和，且使，连接、交于点E，要想知道A、E之间的距离，只需要测量线段的长度，这样做合适吗？请说明理由． 39．（23-24八年级上·河南洛阳·期中）鹿邑老子文化广场位于河南省周口市鹿邑县太清宫镇，在太清宫对面，与太清宫相互辉映．广场中央矗立着地标性建筑老子雕像，总高27米，、两点分别为雕像底座的两端（其中、两点均在地面上）．因为、两点间的实际距离无法直接测量，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可． 乙：如图2，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可． (1)甲、乙两同学的方案哪个可行？_______（填“甲”或“乙”），并说明方案可行的理由； (2)对于（1）中不可行的方案，请添加一个使该方案可行的条件：_______． 40．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）如图，小明和小华住在同一个小区不同单元楼，他们想要测量小明家所在单元楼的高度．首先他们在两栋单元楼之间选定一点E，然后小华在自己家阳台C处测得E处的俯角为．小明站在E处，眼睛F望向楼顶A的仰角为，发现与互余．过点F作于点G．已知BG=1.5米，米，BD=60米，点B、E、D在一条直线上．，试求单元楼的高．（注：与互余）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$