专题1-1 一元二次方程（考点清单，知识导图+8个考点清单&9种题型解读+5种方法解读）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（苏科版）

考点清单1-1 一元二次方程 （8个考点梳理+9种题型解读+5种方法解读） 【清单01】一元二次方程的基础 一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程. 一元二次方程的一般形式： ，它的特征：等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是0.其中：是二次项，a是二次项系数，是一次项，b是一次项系数，c是常数项. 【易错/热考】如果明确了为一元二次方程，就隐含了这个条件. 一元二次方程的根的定义：能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）. 【清单02】一元二次方程的解法-直接开平方法 定义：通过开平方运算解一元二次方程的方法叫直接开平法. 具体方法：形如（a≠0）的一元二次方程： 1）当＞0时，则x1=，x2= -，此时方程有两个不相等的实数根； 2）当＝0时，则，此时方程有两个相等的实数根； 3）当＜0时，则方程无实数根. 【清单03】一元二次方程的解法-配方法 定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法叫做配方法. 配方的实质：将方程化为的形式，当m≥0时，直接用直接开平方法求解. 用配方法解一元二次方程的一般步骤： 1）移项：将常数项移到等号右边,含未知数的项移到等号左边； 2）二次项系数化为1：如果二次项系数不是1，将方程两边同时除以二次项系数； 3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的形式； 4）求解：若q≥0时，直接用直接开平方法求解. 【清单04】一元二次方程的解法-公式法 定义：一般地，对于一元二次方程，当时，它的根是（），这个公式叫做一元二次方程的求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)； 2）求出的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解； 3）如果, 将a、b、c的值代入求根公式：； 4）最后求出. 【补充说明】求根公式的使用条件： 【清单05】根的判别式 根的判别式的定义：一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即. 根的情况与判别式的关系：在实数范围内，一元二次方程的根的情况由其系数a，b，c，即确定. 1）方程有两个不相等的实根:； 2）方程有两个相等的实根：； 3）方程无实根. 【补充说明】由此可知，一元二次方程有解分两种情况：1）有两个相等的实数根；2）有两个不相等的实数根． 【清单06】一元二次方程的解法-因式分解法 定义：利用因式分解，将方程化为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法. 依据：如果两个一次因式的积为0，那么这两个因式中至少一个为0，即若ab=0，则a=0或b=0. 1）将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0； 2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； 3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 4）求解. 口诀：右化零，左分解，两因式，各求解. 【清单07】一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程的两个根是，则与方程的系数a，b，c之间有如下关系：+＝，＝ 【补充说明】 1）一元二次方程的根与系数的关系又称之为“韦达定理”； 2）一元二次方程根与系数关系的使用条件：. 【清单08】一元二次方程与实际问题 用一元二次方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 【考点题型一】判断方程是一元二次方程 1．（24-25九年级上·江苏南京·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【考点题型二】根据一元二次方程的定义求参数 3．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 4．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知关于的一元二次方程的常数项是0，则 ． 【考点题型三】已知一元二次方程的解求参数值 5．（24-25九年级上·江苏南通·期中）若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为（    ） A． B．1 C． D．4 6．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．3 【考点题型四】已知一元二次方程的解求代数式的值 7．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）若是一元二次方程的解，则的值为 ． 8．（2024·福建·模拟预测）已知为方程的根，那么的值为 9．（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）已知是一元二次方程的一个根，求的值． 【考点题型五】选用合适的方法解一元二次方程 10．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）用合适的方法解下列方程： (1)； (2)． 11．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）解下列方程： (1) (2) (3) 12．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）解方程： (1)； (2)（用配方法）； (3)； (4)（用公式法）． 13．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，一元一次方程是各类方程的重要基础．解二元一次方程组时，通过“消元”转化为一元一次方程：解一元二次方程时，通过“降次”转化为一元一次方程；解分式方程时，通过“去分母”转化为整式方程．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如：方程的解法如下： 解：原方程变形为 设，得方程 解这个方程得， 当时，，∴ 当时，无意义． 检验：把代入原方程，等式成立． ∴原方程的解为 仔细阅读该方程解法过程，尝试解下列新方程： (1)； (2)． 【考点题型六】不解方程，利用判别式判断根的情况 14．（24-25九年级上·江苏常州·期中）方程的根的情况是（    ） A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无实数根 15．（24-25九年级上·江苏南京·期中）关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 16．（23-24九年级上·江苏南京·期中）下列方程没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型七】已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围 17．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 18．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）已知整数，使方程无实数根，则的值可以是 ． 19．（24-25九年级上·江苏南通·期中）关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ． 20．（24-25九年级上·江苏南通·期中）关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是 ． 21．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程的一个根为3，求k的值； (2)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 【考点题型八】利用根与系数的关系求解 22．（23-24八年级下·江苏·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：m取任意实数、该方程总有两个实数根； (2)设该方程的两根分别为、，且满足，求m的值． 23．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)在（1）的条件下，该方程有一个实数根为，求方程的另一个根和的值． 24．（23-24九年级上·江苏·期末）关于的一元二次方程的两根为． (1)设，请用含的代数式表示； (2)当时，求此时方程的根． 25．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)设是方程的两个实根，是否存在k值使，若存在，求出k值，若不存在，请说明理由． 26．（20-21九年级上·云南丽江·期末）阅读下面的材料： ∵ 的根为，， ∴ ，；请利用这一结论解决下列问题： (1)若方程的两根为和3，求b和c的值． (2)设方程的两根为，，不解方程，求的值． 27．（23-24九年级上·河南周口·期末）设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： (1)； (2)． 28．（22-23九年级上·福建莆田·期末）已知关于的一元二次方程：． (1)求证：对于任意实数，方程都有实数根； (2)当为何值时，方程的一个根是另一个根的倍？请说明理由． 29．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）阅读材料，解答问题： 我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现，如果关于的一元二次方程的两个根是，，那么由求根公式可以推出，；已知实数，满足，，且，则，是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用：已知实数满足：，，且，则______，______； (2)间接应用：在（1）条件下，求的值； (3)拓展应用：已知实数m，n满足： ，且 ，求的值． 【考点题型九】利用一元二次方程解决实际问题 30．（21-22八年级下·江苏南通·期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有144个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 31．（23-24九年级下·江苏淮安·期末）某农场去年种植南瓜10亩，总产量为，今年该农场扩大了种植面积，并引进新品种，使总产量增大到，已知种植面积的增长率是平均亩产量增长率的2倍，求平均亩产量的增长率． 32．（23-24九年级下·江苏常州·期末）如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为34米，宽为20米．停车场内车道的宽都相等．若停车位的总占地面积为440平方米、求车道的宽度． 33．（23-24九年级上·江苏常州·期末）常州奥体中心（又称常州鸟巢）举办文艺演出．经调研，如果票价定为每张500元，那么36000张门票可以全部售出；如果票价每增加10元，那么售出的门票将会减少600张．要使门票收入达到18150000元，票价应定为多少元？ 34．（2022九年级·江苏·专题练习）如图，在中，，，，动点从点出发沿边向点以的速度移动，同时动点从点出发沿边向点以的速度移动，当运动到点时P，Q两点同时停止运动，设运动时间为． (1)_________；_________；（用含的代数式表示） (2)若是的中点，连接、、，当为何值时的面积为？ 35．（23-24八年级下·江苏·期末）某地一旅游风景区，有关收费信息公告如下： 旅游人数 收费标准 不超过30人 人均收费80元 超过30人 每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于60元 某校八年级（1）班组织学生到该风景区开展研学活动，一共支付了2800元．则该班参加这次研学活动的学生有多少人？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 考点清单1-1 一元二次方程 （8个考点梳理+9种题型解读+5种方法解读） 【清单01】一元二次方程的基础 一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程. 一元二次方程的一般形式： ，它的特征：等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是0.其中：是二次项，a是二次项系数，是一次项，b是一次项系数，c是常数项. 【易错/热考】如果明确了为一元二次方程，就隐含了这个条件. 一元二次方程的根的定义：能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）. 【清单02】一元二次方程的解法-直接开平方法 定义：通过开平方运算解一元二次方程的方法叫直接开平法. 具体方法：形如（a≠0）的一元二次方程： 1）当＞0时，则x1=，x2= -，此时方程有两个不相等的实数根； 2）当＝0时，则，此时方程有两个相等的实数根； 3）当＜0时，则方程无实数根. 【清单03】一元二次方程的解法-配方法 定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法叫做配方法. 配方的实质：将方程化为的形式，当m≥0时，直接用直接开平方法求解. 用配方法解一元二次方程的一般步骤： 1）移项：将常数项移到等号右边,含未知数的项移到等号左边； 2）二次项系数化为1：如果二次项系数不是1，将方程两边同时除以二次项系数； 3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的形式； 4）求解：若q≥0时，直接用直接开平方法求解. 【清单04】一元二次方程的解法-公式法 定义：一般地，对于一元二次方程，当时，它的根是（），这个公式叫做一元二次方程的求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)； 2）求出的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解； 3）如果, 将a、b、c的值代入求根公式：； 4）最后求出. 【补充说明】求根公式的使用条件： 【清单05】根的判别式 根的判别式的定义：一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即. 根的情况与判别式的关系：在实数范围内，一元二次方程的根的情况由其系数a，b，c，即确定. 1）方程有两个不相等的实根:； 2）方程有两个相等的实根：； 3）方程无实根. 【补充说明】由此可知，一元二次方程有解分两种情况：1）有两个相等的实数根；2）有两个不相等的实数根． 【清单06】一元二次方程的解法-因式分解法 定义：利用因式分解，将方程化为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法. 依据：如果两个一次因式的积为0，那么这两个因式中至少一个为0，即若ab=0，则a=0或b=0. 1）将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0； 2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； 3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 4）求解. 口诀：右化零，左分解，两因式，各求解. 【清单07】一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程的两个根是，则与方程的系数a，b，c之间有如下关系：+＝，＝ 【补充说明】 1）一元二次方程的根与系数的关系又称之为“韦达定理”； 2）一元二次方程根与系数关系的使用条件：. 【清单08】一元二次方程与实际问题 用一元二次方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 【考点题型一】判断方程是一元二次方程 1．（24-25九年级上·江苏南京·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程概念，根据“只含有一个未知数，未知数最高次数为的整式方程是一元二次方程”判断，即可解题． 【详解】解：A、是一元一次方程，不符合题意； B、是分式方程，不符合题意； C、是二元一次方程，不符合题意； D、是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 2．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、方程不是整式方程，故不是一元二次方程，该选项不符合题意； B、方程是一元二次方程，该选项符合题意； C、方程整理得，故不是一元二次方程，该选项不符合题意； D、方程含有两个未知数，故不是一元二次方程，该选项不符合题意； 故选：B． 【考点题型二】根据一元二次方程的定义求参数 3．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程的定义．利用定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程判定即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，且． 解得． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知关于的一元二次方程的常数项是0，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及相关概念，解题的关键是确定常数项，并注意二次项系数不为零的前提条件． 根据一元二次方程的定义以及常数项为0，列出方程解答即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴解得：或， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【考点题型三】已知一元二次方程的解求参数值 5．（24-25九年级上·江苏南通·期中）若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为（    ） A． B．1 C． D．4 【答案】A 【分析】本题主要查了一元一次方程的解．把代入得到关于m的方程，即可求解． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， 解得：． 故选：A． 6．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．3 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ，即 由一个根，代入， 可得，解之得； ∴； 故选：A． 【考点题型四】已知一元二次方程的解求代数式的值 7．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）若是一元二次方程的解，则的值为 ． 【答案】2028 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键；由题意易得，然后利用整体代入进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故答案为2028． 8．（2024·福建·模拟预测）已知为方程的根，那么的值为 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义；将方程的根代入方程，化简得，将代数式变形，整体代入求值即可． 【详解】∵为方程的根， ∴， ∴， ∴原式 ． 故答案为：． 9．（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）已知是一元二次方程的一个根，求的值． 【答案】2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，代数式求值，根据是一元二次方程的一个根，得出，，再整体代入求解即可． 【详解】解：由题意，将代入方程， 得， ∴，， ∴ ， ∴的值为2． 【考点题型五】选用合适的方法解一元二次方程 10．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）用合适的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据公式法解一元二次方程，即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：，，， ， ， ， （2）解：， ∴， ∴或， 解得：，. 11．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）解下列方程： (1) (2) (3) 【答案】(1)，； (2)，； (3)，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （）整理后，再利用直接开平方法解答即可求解； （）移项，再利用因式分解法解答即可求解； （）利用公式法解答即可求解 【详解】（1）解：∵， 整理得， 开方得或， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，； （3）解： ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 12．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）解方程： (1)； (2)（用配方法）； (3)； (4)（用公式法）． 【答案】(1)， (2) (3)， (4)， 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键． （1）利用直接开平方法进行求解即可； （2）利用配方法进行求解即可； （3）利用因式分解法进行求解即可； （4）利用公式法进行求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴，． （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：， ∴， ∴或， ∴，． （4）解：， ∴， ∴， ∴， ∴，． 13．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，一元一次方程是各类方程的重要基础．解二元一次方程组时，通过“消元”转化为一元一次方程：解一元二次方程时，通过“降次”转化为一元一次方程；解分式方程时，通过“去分母”转化为整式方程．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如：方程的解法如下： 解：原方程变形为 设，得方程 解这个方程得， 当时，，∴ 当时，无意义． 检验：把代入原方程，等式成立． ∴原方程的解为 仔细阅读该方程解法过程，尝试解下列新方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或； (2)，． 【分析】本题考查解高次方程和分式方程，解题的关键是读懂阅读材料，把未知转化为已知，注意解分式方程必须检验． （1）设，得方程，利用阅读材料中的方法求解即可； （2）方程整理得，设，得方程，利用阅读材料中的方法求解即可． 【详解】（1）解：设，得方程， 解这个方程得，， 当时，，解得， 经检验，，是原方程的解； 当时，， 解得， 经检验，，是原方程的解； ∴原方程的解为或； （2）解：原方程变形为， 设，得方程， 整理得， 解这个方程得，， 当时，，即， 解得，； 当时，，即， ， 方程没实数解，舍去， ∴原方程的解为，． 【考点题型六】不解方程，利用判别式判断根的情况 14．（24-25九年级上·江苏常州·期中）方程的根的情况是（    ） A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无实数根 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：①当，方程有两个不相等的实数根；②当，方程有两个相等的实数根；③当，方程没有实数根．先求出的值，再判断，即可解题． 【详解】解：在一元二次方程中， ∵，，， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 15．（24-25九年级上·江苏南京·期中）关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，将原方程整理为一般形式是解题关键．首先将原方程整理为一般形式，再根据一元二次方程的根的判别式判断该方程的根的情况即可． 【详解】解：将方程整理为一般形式，可得， ∵， ∴， ∴该方程有两个相等的实数根． 故选：C． 16．（23-24九年级上·江苏南京·期中）下列方程没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的情况．一元二次方程，在实数范围内根的情况由根的判别式确定，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 根据一元二次方程根的判别式逐一判断即可． 【详解】A．∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； B．∵， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； C．∵， ∴， ∴方程没有实数根； D．∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 【考点题型七】已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围 17．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， 即的取值范围是． 故答案为：． 18．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）已知整数，使方程无实数根，则的值可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的不等式，解之即可求出的值． 【详解】解：，． ， ． 则c的值可以是2． 故答案为：（答案不唯一）． 19．（24-25九年级上·江苏南通·期中）关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查根的判别式，将方程整理后，根据，构建不等式求解． 【详解】解：， 整理得，， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：． 20．（24-25九年级上·江苏南通·期中）关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】，且 【分析】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）的根的判别式，根据题意可得关于m的不等式组，解不等式组即可得出答案． 【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根， ∴， 解得：，且， 故答案为：，且． 21．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程的一个根为3，求k的值； (2)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 【答案】(1)； (2)k的取值范围为． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根是解题的关键． （1）由于是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出的值； （2）根据根的判别式公式，令，得到关于的一元一次不等式，解之即可． 【详解】（1）解：把代入得， ； （2）解：方程有两个不相等的实数根， ， ． 的取值范围为． 【考点题型八】利用根与系数的关系求解 22．（23-24八年级下·江苏·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：m取任意实数、该方程总有两个实数根； (2)设该方程的两根分别为、，且满足，求m的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式： （1）求出即可证明结论； （2）利用根与系数的关系得到，进而得到，解之即可． 【详解】（1）证明：由题意得，， ∴m取任意实数、该方程总有两个实数根； （2）解：∵该方程的两根分别为、， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)在（1）的条件下，该方程有一个实数根为，求方程的另一个根和的值． 【答案】(1)； (2)方程另一根为，． 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系以及判别式的运用： （1）根据该方程有两个不相等的实数根，得，代入数值化简计算，即可作答． （2）运用根与系数的关系：，代入数值化简计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根 ∴ 解得； （2）解：∵一元二次方程有一个实数根为，设另一个根为， ∴ 解得； ∵ ∴解得． 24．（23-24九年级上·江苏·期末）关于的一元二次方程的两根为． (1)设，请用含的代数式表示； (2)当时，求此时方程的根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程： （1）利用一元二次方程根与系数的关系，可得，再代入，即可求解； （2）把代入，可求出，再解出原方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵方程的两根为， ∴， ∴； （2）解：当时，， 解得：， 经检验，是原方程的解， 此时原方程为， 解得：． 25．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)设是方程的两个实根，是否存在k值使，若存在，求出k值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式与根与系数的关系． （1）根据一元二次方程的判别式，然后解不等式即可； （2）假设存在，代入两根和，两根积，求出k，再作出判断． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：，即k的取值范围为； （2）解：是方程的两个实根， ， ， ， 解得， ∵方程有实根时k的取值为， ∴不存在k值使得． 26．（20-21九年级上·云南丽江·期末）阅读下面的材料： ∵ 的根为，， ∴ ，；请利用这一结论解决下列问题： (1)若方程的两根为和3，求b和c的值． (2)设方程的两根为，，不解方程，求的值． 【答案】(1)，； (2)3． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系等知识点， （1）可以直接利用阅读材料的结论，其中，则b为两根之和的相反数，c为两根之积即可得解； （2）把所求式子通分，然后把两根之和、两根之积代入即可求出其值； 熟练掌握若方程的两根为，，则，的性质是解决此题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴． 27．（23-24九年级上·河南周口·期末）设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查一元二次方程根与系数之间的关系，能根据根与系数之间的关系解决相关问题． （1）分析题意，先得出和的值，把原式变形为，再代入求值，就可得出答案． （2）把原式变形为，再代入求值，就可得出答案． 【详解】（1）解：根据根与系数的关系得， ； （2）解：． 28．（22-23九年级上·福建莆田·期末）已知关于的一元二次方程：． (1)求证：对于任意实数，方程都有实数根； (2)当为何值时，方程的一个根是另一个根的倍？请说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)当或时，方程的一个根是另一个根的2倍，理由见解析 【分析】本题考查根的判别式，相反数，以及根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键； （1）根据方程的系数结合根的判别式，可以得到，由此得证； （2）设方程的两根分别为、，由方程两根关系结合根与系数的关系，从而求解； 【详解】（1）证明：在方程中，， 对于任意实数，方程都有实数根； （2）解：∵方程的一个根是另一个根的倍， ∴设方程的两根分别为、， 则，； ， 解得：，； 解得：，． ∴当或时，方程的一个根是另一个根的2倍． 29．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）阅读材料，解答问题： 我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现，如果关于的一元二次方程的两个根是，，那么由求根公式可以推出，；已知实数，满足，，且，则，是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用：已知实数满足：，，且，则______，______； (2)间接应用：在（1）条件下，求的值； (3)拓展应用：已知实数m，n满足： ，且 ，求的值． 【答案】(1)7；1 (2)的值为47 (3)的值为 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，弄懂题干所给的例子，灵活应用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）由题意可知a、b是方程的两个不相等的实数根，再由根与系数的关系可得，； （2）将所求式子变形为，再将（1）的代数式代入求值即可； （3）由题意可知、是方程的两个不相等的实数根，再由根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：∵，，且， ∴a，b是方程的两个不相等的实数根， ∴，， 故答案为：7，1； （2）解： ， ∵，， ∴原式； （3）解：∵ ，且 ， ∴、是方程的两个不相等的实数根， ∴． 【考点题型九】利用一元二次方程解决实际问题 30．（21-22八年级下·江苏南通·期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有144个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 【答案】平均每轮一个人传染11个人 【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染，根据“有一个人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解∶设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得 ， 即， 解方程得：，（舍去）． 答：平均每轮一个人传染11个人． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． 31．（23-24九年级下·江苏淮安·期末）某农场去年种植南瓜10亩，总产量为，今年该农场扩大了种植面积，并引进新品种，使总产量增大到，已知种植面积的增长率是平均亩产量增长率的2倍，求平均亩产量的增长率． 【答案】平均亩产量的增长率为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据“总产量种植面积平均亩产量”求得原来平均亩产量；设平均亩产量的增长率为，根据总产量增大到，列一元二次方程，求解即可． 【详解】解：（亩）， 设平均亩产量的增长率为， 根据题意，得， 解得（舍去），， 答：平均亩产量的增长率为． 32．（23-24九年级下·江苏常州·期末）如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为34米，宽为20米．停车场内车道的宽都相等．若停车位的总占地面积为440平方米、求车道的宽度． 【答案】车道的宽度为米， 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设车道的宽度为x米，根据题意可知，停车位的面积可以看做是一个长为米，宽为米的长方形面积，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设车道的宽度为x米， 由题意得，， 整理得：， 解得或（舍去）， 答：车道的宽度为米． 33．（23-24九年级上·江苏常州·期末）常州奥体中心（又称常州鸟巢）举办文艺演出．经调研，如果票价定为每张500元，那么36000张门票可以全部售出；如果票价每增加10元，那么售出的门票将会减少600张．要使门票收入达到18150000元，票价应定为多少元？ 【答案】550元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程式解题的关键；可设票价应定为x元，根据票价×销售的票数=获得门票收入，即可列出一元二次方程解题． 【详解】解：设票价上涨了x元， 解得：． 答：票价应定为550元． 34．（2022九年级·江苏·专题练习）如图，在中，，，，动点从点出发沿边向点以的速度移动，同时动点从点出发沿边向点以的速度移动，当运动到点时P，Q两点同时停止运动，设运动时间为． (1)_________；_________；（用含的代数式表示） (2)若是的中点，连接、、，当为何值时的面积为？ 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系． （1）根据速度时间路程，列出代数式即可； （2）如图，过点D作于H，利用三角形中位线定理求得的长度；然后根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）根据题意得：，， 所以； （2）如图，过点D作于H， ∵，即， ∴， ∴ ∴ 又∵D是的中点， ∴ ∴，， ∴ ∵的面积为 ∴ ∴ ∴ 整理得， 解得：，， ∴当或4时，的面积是． 35．（23-24八年级下·江苏·期末）某地一旅游风景区，有关收费信息公告如下： 旅游人数 收费标准 不超过30人 人均收费80元 超过30人 每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于60元 某校八年级（1）班组织学生到该风景区开展研学活动，一共支付了2800元．则该班参加这次研学活动的学生有多少人？ 【答案】40人 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设该班参加这次研学活动的学生有x人，先证明，再根据每增加1人，人均收费降低1元，且总费用为2800元列出方程求解即可． 【详解】解：设该班参加这次研学活动的学生有x人， ∵， ∴， ∵不是整数， ∴人均收费高于60元， ∴，即， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：该班参加这次研学活动的学生有40人． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$