第04讲 二次根式（课件）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（全国通用）

第一章 数与式 第04讲 二次根式 2025年中考 一轮复习讲练测 数学 2大考点精讲+专训 2大中考命题点+12大题型探究 目录 01 考情透视·目标导航 02 知识导图·思维引航 03 考点突破·考法探究 04 题型精研·考向洞悉 01 考情透视·目标导航 中考考点 考查频率 新课标要求 二次根式的相关概念 二次根式的性质 二次根式的运算 ★★ ★★ 了解二次根式、最简二次根式的概念 掌握二次根式的性质. 了解二次根式(根号下仅限于数)加，减、乘、除运算法则,会用它们进行简单的四则运算 【考情分析】中考中，对二次根式的考察主要集中在对其取值范围、化简计算等方面，其中取值范围类考点多出选择题、填空题形式出现，而化简计算则多以解答题形式考察.此外，二次根式还常和锐角三角函数、实数、其他几何图形等结合出题，难度不大，但是也多属于中考必考题. ★★ 02 知识导图·思维引航 03 考点突破·考法探究 二次根式的运算 考点三 二次根式的性质与化简 考点二 二次根式的相关概念 考点一 二次根式的相关概念 二次根式的相关概念 考点一 1.二次根式 定 义 一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数． 易错易混 两个要素 （判断依据） 01 含有二次根号且根指数为2 02 被开方数为非负数 任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果， 例：，- 二次根式的被开方数a可以是一个数，也可以是一个式子，但都要满足𝑎≥0 在具体问题中，如果已知a是二次根式，相当于给出了𝑎≥0. 二次根式的相关概念 考点一 2.二次根式有意义的条件 01 单个二次根式，如有意义的条件是𝑎≥0 02 二次根式作为分母时，如有意义的条件是𝑎>0 03 二次根式与分式相加，如+有意义的条件是𝑎≥0且b＞0. 二次根式的相关概念 考点一 针对练习 1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数 中， 自变量的取值范围是 ． 且 方法指导 2．（2023·四川绵阳·中考真题） 使代数式 有意义的整数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 B 使代数式有意义的整数有，，0，1共有4个． 方法指导 根据题意可得： ， 8 03 考点突破·考法探究 二次根式的运算 考点三 二次根式的性质与化简 考点二 二次根式的相关概念 考点一 二次根式的性质与化简 二次根式的性质与化简 考点二 1.二次根式的性质 式子（𝑎≥0）既表示二次根式，又表示非负数a的算术平方根（），所以具有双重非负性； 01 02 03 一个非负数的算术平方根的平方等于它本身 一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 二次根式的性质与化简 考点二 2.二次根式的化简 01 02 利用二次根式的基本性质进行化简 利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简 易错易混 01 02 在使用 = • 时一定要注意： 在使用（a≥0，b＞0）时一定要注意： 二次根式的性质与化简 考点二 针对练习 1．（2024·内蒙古包头·中考真题）计算所得结果是（     ） A．3 B． C． D． 2．（2024·四川乐山·中考真题） 已知，化简的结果为（    ） A． B．1 C． D． 3．（2023·广东广州·中考真题） 已知关于x的方程有两个实数根，则的化简结果是（     ） A． B．1 C． D． C B A 由判别式， 【解析】 整理得：， ∴ ． 03 考点突破·考法探究 二次根式的运算 考点三 二次根式的性质与化简 考点二 二次根式的相关概念 考点一 二次根式的运算 二次根式的运算 考点三 1.二次根式的乘法 2.二次根式的除法 乘法法则 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变. 除法法则 两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变 二次根式的运算 考点三 3.最简二次根式 满足下述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： 1）被开方数不含分母 2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 最简二次根式必须同时满足以下两个条件： 01 ①开方数所含因数是整数或字母，因式是整式（分母中不应含有根号） 02 ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. 定 义 二次根式的运算 考点三 4.二次根式的加减 同类二次根式 二次根式的加减 一化、二找、三合并 把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式 补充 几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同 、、是同类二次根式 如： ∵ =2 = 化简后被开方数相同 一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】 二次根式的运算 考点三 5.二次根式的混合运算 01 内 容 二次根式的混合运算指的是二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算. 运算顺序 先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的. 02 运算顺序易错易混 结果要化为最简二次根式或整式 如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件 二次根式的运算 考点三 6.分母有理化 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 分母有理化 分母有理化方法 通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分. 二次根式的运算 考点三 针对练习 1．（2024·山东济宁·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． B 2.（2024·重庆·中考真题）估计的值应在（　　） A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间 C 3．（2023·湖南·中考真题） 对于二次根式的乘法运算，一般地，有．该运算法则成立的条件是（    ） A． B． C． D． D 04 题型精研·考向洞悉 二次根式有意义的条件 题型01 二次根式的性质与化简 命题点一 与二次根式有关的开放性试题 题型02 利用二次根式的性质化简 题型03 二次根式与数轴 题型04 20 命题点一 二次根式的性质与化简 题型01 二次根式有意义的条件 方法与技巧 1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是： 各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 【例1】完成下列各题 （1）（2023·内蒙古通辽·中考真题） 二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（    ） A．   B．    C．   D． C （2）（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题） 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． B 命题点一 二次根式的性质与化简 题型02 与二次根式有关的开放性试题 方法指导 解题的关键： ٭利用二次根式的性质化简 ٭结合解一元一次不等式确定x的取值 【例2】 （2022·四川南充·中考真题）若为整数，x为正整数，则x的值是 ． 4或7或8 解：∵ ∴ ∵为正整数 ∴可以为1、2、3、4、5、6、7、8 ∵为整数 ∴为4或7或8 22 命题点一 二次根式的性质与化简 题型02 与二次根式有关的开放性试题 1.（2023·湖南永州·中考真题）已知x为正整数，写出一个使在实数的范围内没有意义的x值是 ． 解得， 为正整数， 可取1，2， 1 【解析】 当时，没有意义 2.湖北黄冈·中考真题）请写出一个正整数m的值使得是整数； ． 8 【解析】 ∵是整数， ∴要是完全平方数， ∴正整数m的值可以为8， 即， 即 ， 答案不唯一 m=2 m=18 … 也可以填2 命题点一 二次根式的性质与化简 题型03 利用二次根式的性质化简 方法与技巧 1）利用二次根式性质化简时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简． 2）化简后的最后结果应为最简二次根式，并且分母中不含二次根式． 【例1】 （2023·湖北宜昌·中考真题）下列运算正确的个数是（    ）． ①；②； ③；④． A．4 B．3 C．2 D．1 解：①，，故此项正确； ②， ，故此项正确； ③，此项正确； ④，故此项正确； 正确的个数是个． A 【例2】 （2022·四川宜宾·中考真题）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式， 即为．现有周长为18的三角形的三边满足，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为 ． 命题点一 二次根式的性质与化简 题型03 利用二次根式的性质化简 方法指导 解题的关键： ٭利用二次根式的性质化简 ٭正确的计算 解：∵周长为18的三角形的三边满足， 设 ∴ 解得 命题点一 二次根式的性质与化简 题型04 二次根式与数轴 【例1】 （2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）实数a,b在数轴上的对应位置如图所示，则(a-b)2-b-a-2的化简结果是（    ） A．2 B．2a-2 C．2-2b D．-2 方法指导 解题的关键： ٭二次根式的性质和绝对值的化简法则 ٭实数与数轴的关系 解∶由数轴知∶，， ∴， ∴ A 命题点一 二次根式的性质与化简 题型04 二次根式与数轴 1．（2024武威四中二模）实数a在数轴上对应的点的位置如图所示， 则化简后为（ ） A．7 B．-7 C．15-2a D．2a-15 D 由数轴可知， ∴， 2.（2022·四川遂宁·中考真题）实数a，b在数轴上的位置如图所示， 化简 ． 数轴可得出 ∴ 2 04 题型精研·考向洞悉 应用乘法公式求二次根式的值 题型01 二次根式的运算 命题点二 最简二次公式的判断 题型02 分母有理化 题型03 二次根式的混合运算 题型04 二次根式估值 题型05 与二次根式有关新定义问题 题型06 与二次根式有关的规律探究 题型07 二次根式的应用 题型08 28 命题点二 二次根式的运算 ►题型01 应用乘法公式求二次根式的值 方法与技巧 常用公式 平方差公式 完全平方公式 例如：当，时， 根据以上材料解答下列问题： (1)当，时，______，______； (2)当，时，把边长为的正方形面积记作，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想； (3)当，时，令，，，…，，且，求T的值． 【例1】 （2023·湖南张家界·中考真题）阅读下面材料：将边长分别为a，，，的正方形面积分别记为，，，． 则 =- =a-b 命题点二 二次根式的运算 ►题型01 应用乘法公式求二次根式的值 【例1】 （2023·湖南张家界·中考真题）阅读下面材料：将边长分别为a，，，的正方形面积分别记为，，，． 则 例如：当，时， 方法指导 解题的关键： ٭利用完全平方公式进行计算，理解题意，得出相应规律 ٭结合题意会利用前面小题中的结论 根据以上材料解答下列问题： (1)当，时， ， ； （1）解： 当，时， 原式； 当，时， 原式； 命题点二 二次根式的运算 ►题型01 应用乘法公式求二次根式的值 (2)当，时，把边长为的正方形面积记作，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想； 【例1】 （2023·湖南张家界·中考真题）阅读下面材料：将边长分别为a，，，的正方形面积分别记为，，，． 则 例如：当，时， 猜想结论： 证明： ； 命题点二 二次根式的运算 ►题型01 应用乘法公式求二次根式的值 【例1】 （2023·湖南张家界·中考真题）阅读下面材料：将边长分别为a，，，的正方形面积分别记为，，，． 则 例如：当，时， (3)当，时， 令， ， ，…， ，且，求T的值． （3）解： ． 注意： 边长为的正方形面积记作 命题点二 二次根式的运算 ►题型01 应用乘法公式求二次根式的值 1．（2023·内蒙古·中考真题）先化简，再求值： ，其中，． 解： 2.（2023·山东淄博·中考真题）先化简，再求值：， 其中，． 解： 原式 当，时 原式 原式 当 时, 原式 ． 命题点二 二次根式的运算 ►题型02 最简二次根式的判断 【例1】 （2021·广西桂林·中考真题）下列根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． D A、被开方数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、是有理数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、符合最简二次根式的定义，是最简二次根式，故本选项正确． 【解析】 方法指导 解题的关键： 最简二次根式的两个条件： ٭被开方数是整数或整式 ٭被开方数不能再开方 命题点二 二次根式的运算 ►题型02 最简二次根式的判断 1．（2021·湖南益阳·中考真题）将化为最简二次根式，其结果是（    ） A． B． C． D． 2．（2021·上海·中考真题）下列实数中，有理数是（    ） A． B． C． D． 3．（2022·广西桂林·中考真题）化简的结果是（     ） A．2 B．3 C．2 D．2 D C A 原式= ＝2 命题点二 二次根式的运算 ►题型03 分母有理化 【例1】 （2024·江苏宿迁·中考真题）先化简再求值：，其中． 解： 当时 原式 ． 方法指导 解题的关键： ٭分式的化简求值 ٭分母有理化 命题点二 二次根式的运算 ►题型03 分母有理化 1.（2023·湖北恩施·中考真题）先化简，再求值： ，其中． 2．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）先化简，再求代数式 的值，其中． 解：原式 当时, 原式． 解： ， 当时 原式． 命题点二 二次根式的运算 ►题型04 二次根式的混合运算 方法与技巧 1）在二次根式的混合运算中，乘方公式和实数的运算律仍然适用； 2）在二次根式混合运算中，要结合题目特点，灵活运用二次根式的性质 注意事项： 1）结果要化为最简二次根式或整式； 2）如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件. 【例1】 （2024·四川凉山·中考真题）计算：． 解： ． 分母有理化 命题点二 二次根式的运算 ►题型04 二次根式的混合运算 1．（2023·甘肃武威·中考真题）计算： ． 解： ． 化为最简二次根式 2．（2023·四川内江·中考真题）计算： 解： =4． 实数去绝对值 命题点二 二次根式的运算 ►题型05 二次根式估值 方法指导 解题的关键： ٭无理数及代数式化简求值 ٭熟练掌握无理数估算方法和无理数整数和小数部分的求解方法． 【例1】 （2022·湖北荆州·中考真题）若的整数部分为a，小数部分为b，则代数式的值是 ． 解：∵ ， ∴， ∵ 的整数部分为a， 小数部分为b， ∴， ． ∴ = ， 2 命题点二 二次根式的运算 ►题型05 二次根式估值 【例2】 （2024·河北石家庄·三模）计算的结果为 ，这个数落在了数轴上的 段． 方法指导 解题的关键： ٭实数与数轴的对应关系 ٭二次根式的乘法、无理数的估算方法． 解： ， ∵ ∴ 即 ∴ 即 ② ∴这个数落在了数轴上的②段 命题点二 二次根式的运算 ►题型05 二次根式估值 1.（2023·湖北荆州·中考真题） 已知，则与最接近的整数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2024·江苏盐城·中考真题）矩形相邻两边长分别为、，设其面积为，则S在哪两个连续整数之间（    ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 3．（23-24八年级下·山西吕梁·阶段练习）关于，下列说法不正确的是（    ） A．是无理数 B．能与合并 C．整数部分是4 D．一定能够在数轴上找到表示的点 B C C ∵， ∴, ∴与最接近的整数为， ， ， ， ， 即， 整数部分是5， C说法错误,符合题意； 命题点二 二次根式的运算 ►题型06 与二次根式有关的新定义问题 【例1】 （2023·湖南娄底·一模）定义一种运算：， 例如：当，时， ， 则的值为(　　) A． B． C． D． 解：由题意可得 ， B 方法指导 解题的关键： ٭明确题意，利用新定义解答． ٭熟记特殊角的三级函数值、二次根式的混合运算 （1）求； （2）若，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集． 命题点二 二次根式的运算 题型06 与二次根式有关的新定义问题 1．（2020·青海·中考真题）对于任意不相等的两个数，定义一种运算※如下：，如．那么 ． 2.（2020·内蒙古通辽·中考真题）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定，如：． 【解析】 【解析】 （1） = = = （2）∵， ∴ 解得： 命题点二 二次根式的运算 ►题型07 与二次根式有关的规律探究 方法指导 解题的关键： ٭找出的规律 ab=1, =n． ٭分式的加减法，二次根式的混合运算 【例1】 （2022·四川达州·中考真题） 人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设，，记，，…， ，则 ． 解： ，， ， ， ， … 命题点二 二次根式的运算 ►题型07 与二次根式有关的规律探究 1.（2023·内蒙古·中考真题）观察下列各式： ， ， ，… 请利用你所发现的规律，计算： ． 【解析】 ， 命题点二 二次根式的运算 ►题型07 与二次根式有关的规律探究 2.（2022·四川眉山·中考真题）将一组数，2，，，…，，按下列方式进行排列： ，2，，； ，，，4； … 若2的位置记为，的位置记为， 则的位置记为 ． 【解析】 数字可以化成： ，，，； ，，，； 规律为： 被开数为从2开始的偶数，每一行4个数， ∵，28是第14个偶数， 又 ∴的位置记为 先找出被开方数的规律 命题点二 二次根式的运算 ►题型08 二次根式的应用 【例1】 （2024·江苏南京·二模）（n为正整数）的近似值可以这样估算：，其中m是最接近n的完全平方数．例如：，这与科学计算器计算的结果4.8989…很接近． (1)按照以上方法，估计的近似值（精确到0.1）； (2)结合图中思路，解释该方法的合理性． 方法指导 解题的关键： ٭理解新定义的含义 ٭根据新定义的法则进行估算 （1）解：由新定义可得： ； （2）解：设，其中． 则． 将两边平方，得． ∵ ， ∴  的值会更接近于0，不妨近似为0． ∴  ． ∴ ， 即． ②a是4的倍数，不妨设（n是整数） 当 时，最小， ∴②正确； 1.（2024·山东菏泽·一模）已知为整数，将其除以4所得的商记为，余数记为，即（n是整数），我们称属于数组，记作，则下列说法正确的是 ．（直接填写序号） ①； ②若为4的倍数，则点到点的距离的最小值为； ③所有整数组成的数组； ④若，则，属于同一个数组． 命题点二 二次根式的运算 ►题型08 二次根式的应用 ② ①根据数组定义，因此，所以①错误； 【解析】 1.（2024·山东菏泽·一模）已知为整数，将其除以4所得的商记为，余数记为，即（n是整数），我们称属于数组，记作，则下列说法正确的是 ．（直接填写序号） ①； ②若为4的倍数，则点到点的距离的最小值为； ③所有整数组成的数组； ④若，则，属于同一个数组． 命题点二 二次根式的运算 ►题型08 二次根式的应用 ④ 【解析】 ③a除以4的余数可能是0，1，2，3； 所以③错误； ④不妨设（m为整数） （n为整数） 由可知， a和b属于同一数组， 所以④正确； ② 命题点二 二次根式的运算 ►题型08 二次根式的应用 2．（2022·湖南常德·中考真题）我们发现： ，，，…，， 一般地，对于正整数，，如果满足时， 称为一组完美方根数对．如上面是一组完美方根数对． 则下面4个结论： ①是完美方根数对； ②是完美方根数对； ③若是完美方根数对，则； ④若是完美方根数对，则点在抛物线上． 其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个故选 【解析】 ， 是完美方根数对，故①正确； 不是完美方根数对；故②不正确； 若是完美方根数对，则 即解得或 是正整数，则，故③正确； 若是完美方根数对，则 , 即 故④正确 C 谢谢 聆听 2025年中考 一轮复习讲练测 数学 $$