专题5.1统计（考点清单，7个考点梳理+6题型解读）（期末复习知识清单）高一数学上学期人教B版

专题5.1 统计 【清单01】几个概念 总体：统计中所考察对象的全体叫做总体． 个体：总体中的每一个考察对象叫做个体． 样本：从总体中抽取的一部分个体叫做样本． 样本容量：样本的个体的数目叫做样本容量． 【清单02】简单随机抽样 (1)定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．这样抽取的样本，叫做简单随机样本． (2)常用方法：抽签法和随机数法． 【清单03】分层抽样 (1)在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样． (2)分层抽样的应用范围 当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样． 【清单04】数据的数字特征 1.最值：一组数据的最大值与最小值，反映这组数据的极端情况. 2众数：一组数据出现次数最多的数叫众数，众数反应一组数据的多数水平； 3.中位数：一组数据中间的数，（起到分水岭的作用）中位数反应一组数据的中间水平； 4.平均数：反应一组数据的平均水平； 5．百分位：一般地，一组数据的第p百分位是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有（100-p）%的数据大于或等于这个值. 6.极差：即一组数据中最大值和最小值的差． 7.方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，方差是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）并把它叫做这组数据的方差．在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．方差的简化计算公式：s2＝[(x＋x＋…＋x)－n 2]或写成s2＝(x＋x＋…＋x)－2，即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方． 8.标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，通常用以下公式来计算 s＝ 标准差是方差的算术平方根，意义在于反映一个数据集的离散程度．标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度和离散程度的大小．标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较小. 【清单05】数据的直观表示 1.柱形图（条形图）：建立直角坐标系，用横轴(横轴上的数字)表示样本数据类型，用纵轴上的单位长度表示一定的数量，根据每个样本(或某个范围内的样本)的数量多少画出长短不同的等宽矩形，然后把这些矩形按照一定的顺序排列起来，这样一种表达和分析数据的统计图称为条形图． 2.折线图：建立直角坐标系，用横轴上的数字表示样本值，用纵轴上的单位长度表示一定的数量，根据样本值和数量的多少描出相应各点，然后把各点用线段顺次连接，得到一条折线，用这种折线表示出样本数据的情况，这样的一种表示和分析数据的统计图称为折线图． 3.扇形图：用一个圆表示总体，圆中各扇形分别代表总体中的不同部分，每个扇形的大小反映所表示的那部分占总体的百分比的大小，这样的一种表示和分析数据的统计图称为扇形图． 4.茎叶图 茎叶图是统计中用来表示数据的一种图，茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数． ①“叶”位置只有一个数字，而“茎”位置的数字位数一般不需要统一； ②茎叶图上重复出现的数据要重复记录，不能遗漏. 【清单06】频数分布直方图与频率分布直方图 1．频数分布直方图的画法 第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝； 第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间； 第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表． 第四步：做出有关图示 2.频率分布直方图 (1)找出最值，计算极差：即一组数据中最大值和最小值的差． (2)合理分组，确定区间：决定组距与组数：将数据分组时，组数应力求合适，以使数据的分布规律能较清楚地呈现出来．这时应注意：①一般样本容量越大，所分组数越多；②为方便起见，组距的选择应力求“取整”；③当样本容量不超过100时，按照数据的多少，通常分成5～12组．④将数据分组：按组距将数据分组，分组时，各组均为左闭右开区间，最后一组是闭区间． (3)整理数据 （4）做出有关图示. 【清单07】用样本估计总体 常用结论与知识拓展 1.频率分布直方图与众数、中位数、平均数的关系 (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数． (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的． (3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和． 2．平均数、方差的公式推广 (1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a. (2)若数据x1，x2，…，xn的方差为s2，那么 ①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2； ②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2. 【考点题型一】简单随机抽样 【例1】（23-24高一下·福建宁德·阶段练习）某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行： 66  67  40  37  14  64  05  71  11  05  65  09  95  86  68  76  83  20  37  90 57  16  03  11  63  14  90  84  45  21  75  73  88  05  90  52  23  59  43  10 若从表中第1行第7列开始向右依次读取数据，则得到的第5个样本编号是 ． 【答案】09 【知识点】随机数表法 【分析】结合随机数表法定义，按照题意依次读出前个数即可. 【详解】从随机数表第1行的第7列数字开始由左向右每次连续读取2个数字， 删除超出范围及重复的编号，符合条件的编号有37，14，05，11，09， 所以选出来的第5个个体的编号为09. 故答案为：09. 【变式1-1】（2024高三·全国·专题练习）在对101个人进行一次抽样时，先采用抽签法从中剔除1个人，再在剩余的100个人中随机抽取10个人，那么下列说法正确的是（   ） A．这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会 B．每个人在整个抽样过程中被抽到的机会均等 C．由于采用了两步进行抽样，所以无法判断每个人被抽到的可能性是多少 D．每个人被抽到的可能性不相等 【答案】B 【知识点】简单随机抽样的特征及适用条件、抽签法 【分析】根据随机抽样的特征，即可判断出结果. 【详解】由于第一次剔除时采用抽签法，对每个人来说可能性相等， 然后随机抽取10人对每个人的机会也是均等的， 所以总的来说每个人的机会都是均等的，被抽到的可能性都是相等的. 故选：B. 【变式1-2】（2024高三·全国·专题练习）为了了解某地参加计算机水平测试的5 000名学生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行调查分析，在这个问题中，被抽取的200名学生的成绩是（   ） A．总体 B．个体 C．样本 D．样本量 【答案】C 【知识点】总体与样本 【分析】根据统计中抽样调查的概念即可得解. 【详解】从5000名学生的成绩中抽取了200名学生的成绩进行调查分析， 总体: 5000名学生的成绩； 个体:每个学生的成绩； 样本: 200名学生的成绩； 样本容量:200， 所以抽取的200名学生的成绩是样本 故选：C. 【变式1-3】（22-23高二上·陕西咸阳·开学考试）省农科站要检测某品牌种子的发芽率，计划采用随机数表法从该品牌800粒种子中抽取60粒进行检测，现将这800粒种子编号如下001，002，…，800，若从随机数表第8行第7列的数7开始向右读，则所抽取的第4粒种子的编号是 .（如下是随机数表第8行至第9行） 63  01  63  78  59  16  95  55  67  19  98  10  50  71  75  12  86  73  58  07  44  39  52  38  79  33  21  12  34  29  78  64  56  07  82  52  42  07  44  38  15  51  0  13  42  99  66  02  79  54 【答案】507 【知识点】随机数表法 【分析】根据随机数表法读取数据即可. 【详解】由题意，依次读取的种子的编号为： 785，916（舍去），955（舍去），567，199，810（舍去），507. 故所抽取的第4粒种子的编号为507. 故答案为：507 【变式1-4】（23-24高一下·四川内江·阶段练习）总体由编号为1，2，⋯，99，100的100个个体组成，现用随机数法选取60个个体，利用电子表格软件产生的若干个1~100范围内的整数随机数的开始部分数据，如下表，则选出来的第5个个体的编号为 8  44  2  17  8  31  57  4  55  6 88  8  31  47  7  21  76  33  50  63 【答案】31 【知识点】随机数表法 【分析】根据题意，结合随机数表选取的规则，结合题意，即可求解. 【详解】根据随机数表的选取的规则是选出的样本编号为1~100范围内的整数， 且与前面重复的数据不再出现，所以前5个个体编号为：8  44  2  17  31， 所以选出来的第5个个体的编号为31. 故答案为：31. 【考点题型二】分层抽样中的计算问题 【例2】（22-23高三上·云南曲靖·阶段练习）珠江源位于云南东部曲靖市以北47公里处，整个景区由马雄山珠江源､花山湖和城区部分景点组成，总面积50平方公里.珠江源风景区是森林公园､省级风景名胜区､国际水利风景名胜区.景区森林茂密，溪流淙淙，有“一水滴三江，一脉隔双盘”的奇异景观.其美景吸引着大批的游客前往参观，某旅行社分年龄段统计了前往珠江源的老､中､青旅客的人数比为5：2：3，现使用分层随机抽样的方法从这些旅客中随机抽取n名，若青年旅客抽到90人，则下列说法正确的是（    ） A．被抽到的老年旅客和中年旅客人数之和超过200 B．n=300 C．中年旅客抽到40人 D．老年旅客抽到150人 【答案】ABD 【分析】利用分层抽样的方法求出n，然后分别求出各段抽取的人数逐项分析即可； 【详解】由题意从这些旅客中随机抽取n名，青年旅客抽到90人， 则， 所以，故B正确； 则中年旅客抽到人，故C错误； 老年旅客抽到人，故D正确； 被抽到的老年旅客和中年旅客人数之和为60+150=210人超过200人， 故A正确； 故选：ABD. 【变式2-1】（24-25高三上·河南许昌·期中）唐代以来，牡丹之盛，以“洛阳牡丹甲天下”的美名流传于世．唐已知根据花瓣类型可将牡丹分为单瓣类、重瓣类、千瓣类三类，现有牡丹花n朵，千瓣类比单瓣类多30朵，采用分层抽样方法从中选出12朵牡丹进行观察研究，其中单瓣类有4朵，重瓣类有2朵，千瓣类有6朵，则n＝（    ） A．360 B．270 C．240 D．180 【答案】D 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】利用分层抽样中各层之间的比例，结合已知条件列方程求解. 【详解】根据分层抽样的特点，设单瓣类、重瓣类、千瓣类的朵数分别为， 由题意可得，解得，所以． 故选：D． 【变式2-2】（24-25高二上·四川成都·期中）某校高一年级有900名学生，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为81的样本，其中抽取男生和女生的人数分别为45，36，则该校高一年级的女生人数为（   ） A．350 B．400 C．500 D．550 【答案】B 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】根据分层抽样定义计算即可. 【详解】设该校高一年级的女生人数为， 则，解得. 故选：B. 【变式2-3】（24-25高二上·四川成都·阶段练习）某学校高二年级选择“物化生”，“物化地”和“史地政”组合的同学人数分别为240，90和120.现采用分层抽样的方法选出30位同学进行某项调查研究，则“史地政”组合中选出的同学人数为（    ） A．8 B．12 C．16 D．6 【答案】A 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】根据分层抽样的定义列出式子，进行求解. 【详解】由题意得，史地政”组合中选出的同学人数为. 故选：A 【变式2-4】（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）某工厂生产三种不同型号的产品，它们的产量之比为，用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本.若样本中型号的产品有120件，则样本容量为（    ） A．150 B．180 C．200 D．250 【答案】C 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】根据分层抽样的性质分析求解即可. 【详解】由题意得，，解得. 故选：C. 【考点题型三】数据的数字特征 【例3】（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知一组数据满足 ，则下列说法正确的是（    ） A．这组数据的40%分位数是 B．的平均数小于的平均数 C．的方差大于的方差 D．的极差小于的极差 【答案】D 【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、总体百分位数的估计 【分析】根据百分位数、极差、平均数、方差的概念及含义计算分析可得． 【详解】对于A，，所以这组数据的40%分位数是，故A错误； 对于B，不妨取这组数据为1，2，3，4，5， 此时的平均数为3，的平均数均为3，故B错误； 对于C，由可知，数据比数据更分散， 所以的方差小于的方差，故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确； 故选：D． 【变式3-1】（24-25高二上·山东青岛·期中）为了了解某班学生数学成绩，利用分层随机抽样抽取了一个10人的样本，统计如下表：则可估计全班学生数学的平均分和方差分别为（    ） 学生数 平均分 方差 男生 6 80 4 女生 4 75 2 A．77.5，9.2 B．77.5，11 C．78，9.2 D．78，11 【答案】C 【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】由平均数及方差计算公式即可求解. 【详解】由均值和方差公式直接计算. 可估计全班学生数学的平均分为，方差为. 故选：C. 【变式3-2】（24-25高二上·四川成都·期中）2024年度最具幸福感城市调查推选活动于9月16日正式启动，在100个地级及以上的候选城市名单中，成都市入选.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高，现随机抽取10位成都市居民，他们的幸福感指数分别为4，5，6，7，7，7，8，8，9，9，则下列说法错误的是（   ） A．该组数据的第60百分位数为7.5 B．该组数据的极差为5 C．该组数据的平均数为7.5 D．该组数据的中位数为7 【答案】C 【知识点】计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、总体百分位数的估计 【分析】根据百分位数的计算即可判断A，根据极差的定义即可求解B，根据平均数的计算即可求解C，根据中位数的计算即可求解D. 【详解】A选项：，因此该组数据的第60百分位数为，故A正确； B选项：该组数据最大为9，最小为4，因此极差为，故B正确； C选项：该组数据的平均数为，故C错误； D选项：该组数据的中位数为第五个和第六个数据的平均值7，故D正确， 故选：C. 【变式3-3】（24-25高一上·四川雅安·开学考试）已知一组数据8，5，x，8，10的平均数是8，以下说法错误的是（　　） A．极差是5 B．众数是8 C．中位数是9 D．方差是2.8 【答案】C 【知识点】计算几个数的众数、计算几个数的中位数、根据平均数求参数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】根据平均数解得，将数据按升序排列，根据极差、众数、中位数和方差逐项分析判断. 【详解】由题意可知：，解得， 将数据按升序排列可得：5，8，8，9，10，则有： 极差为，故A正确； 众数是8，故B正确； 中位数为8，故C错误； 方差为，故D正确； 故选：C. 【变式3-4】（24-25高一上·湖南永州·开学考试）为了迎接中国共产党建党一百周年，某班50名同学进行了党史知识竞赛，测试成绩统计如下表，其中两个数据被遮盖． 成绩\分 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 人数 ■ ■ 1 2 3 5 6 8 10 12 下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（    ） A．平均数，方差 B．中位数，方差 C．中位数，众数 D．平均数，众数 【答案】C 【知识点】计算几个数的众数、计算几个数的中位数 【分析】根据题意，结合数据的中位数和众数的概念及求法，求得数据的中位数和众数为定值，即可求解. 【详解】由表格数据可知，成绩为91分、92人的人数为人， 成绩为100分的出现的次数最多，所以成绩的众数为100， 成绩从小到大排列后处在第25/26为的两个数都是98分，所以数据的中位数为98， 所以中位数和众数与被遮盖的数据无关. 故选：C. 【考点题型四】数据的直观表示 【例4】（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）为倡导健康生活方式，某大学社团联合学生会倡议全校学生参与“每日万步行”健走活动．如图为该校甲、乙两名同学在同一星期内每日步数的折线统计图，则下列说法正确的是（    ） A．这一星期内甲的日步数的中位数小于乙的日步数的中位数 B．这一星期内甲的日步数的平均数大于乙的日步数的平均数 C．这一星期内乙的日步数的标准差小于甲的日步数的标准差 D．这一星期内乙的日步数的第75百分位数是12400 【答案】BC 【知识点】计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、总体百分位数的估计 【分析】根据折线图得到这一星期内甲，乙的日步数，都从小到大进行排列，得到中位数后即可判断选项A；根据平均数计算公式，计算出这一星期内甲，乙的日步数的平均数，比较大小即可判断选项B；根据图象观察甲的波动程度较大，故方差较大，从而判断选项C；把乙一星期内的步数从小到大进行排列，并计算，故第六个数为所求，即可判断选项D. 【详解】由题中折线图可得甲这一星期内的日步数从小到大排列为： 11000，11800，12200，12600，13500，15400，18200，所以中位数为12600； 乙这一星期内的日步数从小到大排列为：11800，12200，12400，12600，13000，13800，14000， 所以中位数为12600．故这一星期内甲、乙的日步数的中位数都为12600，A错误； 这一星期内甲的日步数的平均数为 ， 这一星期内乙的日步数的平均数为 ， 因为，故B正确． 由图知，甲的波动程度较大，故方差、标准差较大，故C正确． ，则由A选项得这一星期内乙的日步数的第75百分位数是13800，故D错误． 故选：BC． 【变式4-1】（多选题）（23-24高一下·四川乐山·期末）小刘一周的总开支分布如图①所示，该周的食品开支如图②所示，则以下说法正确的是（    ） A．娱乐开支比通信开支多5元 B．日常开支比食品中的肉类开支多100元 C．娱乐开支金额为100元 D．肉类开支占储蓄开支的 【答案】BCD 【知识点】根据条形统计图解决实际问题、根据扇形统计图解决实际问题 【分析】先由图2计算出食品的开支，再由图1计算出总开支，从而对选项逐一分析即可得解. 【详解】对于C，由图2可知食品的开支为元， 由图1可知食品开支为，所以总开支为元， 则娱乐开支为元，故C正确； 对于A，通信开支为元，娱乐开支比通信开支多元，故A错误； 对于B，日常开支为元，肉类为元， 日常开支比肉类开支多元，故B正确； 对于D，储蓄开支为元，肉类开支占储蓄开支的，故D正确. 故选：BCD. 【变式4-2】（多选）（23-24高一下·重庆巫山·期末）某学校对高一学生选科情况进行了统计，发现学生选科仅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则（    ） A．该校高一学生总数为 B．该校高一学生中选考物化政组合的人数为 C．该校高一学生中选考物理的人数比选考历史的人数多 D．用比例分配的分层随机抽样方法从该校高一学生抽取人，则生史地组合抽取人 【答案】ACD 【知识点】分层抽样的特征及适用条件、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、根据条形统计图解决实际问题、根据扇形统计图解决实际问题 【分析】根据政史地的人数和占比求出高一学生总数判断A，根据选考物化地和物化政组合 的人数相等和图表中的信息求出各选科的人数判断BC，利用分层抽样的特点判断D. 【详解】由扇形图和条形图可知，选政史地的人数为人，占比， 所以该校高一学生总数为人，A说法正确； 由扇形图可知选择物化生的人数为人， 所以选择物化地和物化政的人数为人， 又因为选考物化地和物化政组合的人数相等， 所以选考物化地和物化政组合的人数均为人，B说法错误； 该校高一学生中选考物理的人数有人，选考历史的人数有人， 选考物理的人数比选考历史的人数多，C说法正确； 因为选考生史地的学生人数占比为， 所以用比例分配的分层随机抽样方法从该校高一学生抽取人，则生史地组合抽取人，D说法正确； 故选：ACD 【变式4-3】（多选）（24-25高三上·河北邯郸·开学考试）某公司计划组织秋游活动，定制了一套文化衫，女职工需要不同尺码文化衫的频数如图． 根据图中数据，下列结论正确的是（    ） A．文化衫尺码的众数为187 B．文化衫尺码的平均数为165 C．文化衫尺码的方差为28 D．文化衫尺码的中位数为165 【答案】BD 【知识点】由频率分布直方图估计中位数、计算几个数的平均数、由频率分布直方图估计平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】根据统计图可得样本数据的平均数、众数、中位数和方差，再逐一判断即可. 【详解】解：由题图知，众数为165，故A错误； 总数为， 平均数为，故B正确； 方差为，故C错误； 中位数为165，故D正确． 故选：BD 【变式4-4】（多选）（22-23高二上·浙江温州·开学考试）甲、乙两个跑步爱好者利用微信运动记录了去年下半年每个月的跑步里程（单位：公里），现将两人的数据绘制成如图所示的折线图，则下列结论中正确的是（ ） A．甲跑步里程的极差等于110 B．乙跑步里程的中位数是270 C．分别记甲、乙下半年每月跑步里程的平均数为，，则 D．分别记甲乙下半年每月跑步里程的标准差为，，则 【答案】AD 【知识点】根据折线统计图解决实际问题、计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】根据极差、中位数、平均数、标准差等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，甲跑步里程的极差为，A正确； 对于B，乙跑步里程的中位数为，B错误； 对于C，甲跑步里程的平均数， 乙跑步里程的平均数，，C错误； 对于D，根据折线图知，甲的波动大，乙的波动小，，D正确. 故选：AD 【考点题型五】频率分布直方图中的数字特征 【例5】（多选）（23-24高一下·江苏常州·期末）某校1000名学生在高一测试中数学成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），则（   ）    A． B．约有200人的成绩不低于110分 C．约有60人的成绩低于70分 D．本次考试的平均分约为93.6分 【答案】ABD 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、频率分布直方图的实际应用、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【分析】借助频率分布直方图定义计算可得A；借助频率分布直方图计算对应频数可得B、C；借助平均数定义计算可得D. 【详解】对A：，解得，故A正确； 对B：，则约有200人的成绩不低于110分，故B正确； 对C：，故约有120人的成绩低于70分，故C错误； 对D：， 故本次考试的平均分约为93.6分，故D正确. 故选：ABD. 【变式5-1】（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）某大学生暑假到工厂参加劳动，生产了100件产品，质检人员测量其长度（单位：厘米），将所得数据分成6组：，得到如图所示的频率分布直方图，则对这100件产品，下列说法中不正确的是（    ）    A． B．长度的平均数是93 C．长度的中位数一定落在区间内 D．长度落在区间内的个数为35 【答案】A 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数 【分析】按照频率分布直方图的含义，结合相关公式即可得解. 【详解】对于A，由频率和为1，得，解得，故A错误； 对于B，根据频率分布直方图长度的平均数为 ，故B正确； 对于D，长度落在区间内的个数为，故D正确； 对于C，有个数，内有个数， 所以长度的中位数一定落在区间内，故C正确. 故选：A 【变式5-2】（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．则下列说法错误的是（   ）    A．估计该年级学生成绩的众数约为75 B． C．估计该年级学生成绩的75百分位数约为85 D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数约为87.50 【答案】B 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、由频率分布直方图估计平均数、总体百分位数的估计、根据频率分布直方图计算众数 【分析】根据频率分布直方图中众数的估计方法可判断A；利用各组频率之和为1可判断B；根据百分位数的估计方法可判断C；根据平均数的估计方法可判断D． 【详解】由图易知成绩在分之间的人数最多， 故可估计该年级学生成绩的众数为75，A正确； 由频率分布直方图可知，解得，B错误； 由于前三组的频率之和为，前四组的频率之和为， 故估计该年级学生成绩的75百分位数约为，C正确； 由频率分布直方图可知成绩在分之间和分之间的频率之比为， 故估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为，D正确． 故选：B． 【变式5-3】（23-24高一下·河北张家口·期末）某时间段公路上车速的频率分布直方图如图所示，则（    ）    A． B．车速的众数估计值是70 C．车速的平均数估计值大于其中位数的估计值 D．车速的中位数估计值是62.5 【答案】D 【知识点】补全频率分布直方图、由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数、根据频率分布直方图计算众数 【分析】利用频率分布直方图求出、众数、平均数、中位数判断即得. 【详解】对于A，由，得，A错误； 对于B，车速在内的频率最大，车速的众数估计值是65，B错误； 对于C，车速的平均数为， 车速的中位数，则，解得，C错误； 对于D，车速的中位数估计值是62.5. 故选：D 【变式5-4】（24-25高二上·湖北·阶段练习）某校组织50名学生参加庆祝中华人民共和国成立75周年知识竞赛，经统计这50名学生的成绩都在区间内，按分数分成5组：，得到如图所示的频率分布直方图（不完整），根据图中数据，下列结论错误的是（    ） A．成绩在上的人数最少 B．成绩不低于80分的学生所占比例为 C．50名学生成绩的极差为50 D．50名学生成绩的平均分小于中位数 【答案】C 【知识点】补全频率分布直方图、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数 【分析】根据频率分布直方图求出的频率，再结合各组频率及统计的相关概念逐项判断. 【详解】设这一组的频率为，则由各组频率之和为1， 得，解得， 各组频率依次为：， 对于A，这一组频率最小，即成绩在上的人数最少，A正确； 对于B，成绩不低于80分的学生频率为，成绩不低于80分的学生所占比例为，B正确； 对于C，极差为数据中最大值与最小值的差，而50名学生的成绩都在区间内， 但成绩的最大值不一定是100，最小值也不一定是，则极差小于等于，但不一定等于50，C错误； 对于D，根据频率分布直方图，得50名学生成绩的平均数是 ，而50名学生成绩的中位数为80， 因此50名学生成绩的平均分小于中位数，D正确. 故选：C 【考点题型六】频率分布直方图的应用 【例6】（23-24高一下·广东广州·阶段练习）某公司为了解用户对其产品的满意程度，从地区随机抽取了名用户，从地区随机抽取了名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分，该公司将收集到的数据按照、、、分组，绘制成评分频率分布直方图如图． (1)从地区满意程度评分的第百分位数； (2)根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该区间的中点值代替，估计地区抽取的名用户对该公司产品的评分的平均值为，地区抽取的名用户对该公司产品的评分的平均值为，以及两地区抽取的名用户对该公司产品的评分的平均值为，试比较和的大小． 【答案】(1)75 (2) 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、总体百分位数的估计 【分析】（1）根据百分位数的定义结合频率分布直方图求解即可； （2）由每组区间的中点值乘对应的频率再求和得到，再由求出，比较大小即可. 【详解】（1）因为前2组的频率和为， 前3组的频率和为， 所以第百分位数在第3组，设第百分位数为， 则，解得， 所以地区满意程度评分的第百分位数为75； （2）由频率分布直方图可得 ， ， 所以， 因为地区和地区所抽取的用户人数之比为， 所以地区抽取用户人数占总数的，地区抽取用户人数占总数的， 所以两地区抽取的名用户对该公司产品的评分的平均值， 所以. 【变式6-1】（23-24高一下·青海·期末）为了解某批零件的质量，质检员从这批产品中随机抽取100件产品，测量它们的直径（单位：mm），根据测量所得数据，将其按分成5组，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)估计这批零件的直径的中位数； (2)已知这批零件共有10000件，若零件的直径在内为优等品，估计这批零件中优等品的件数． 【答案】(1) (2)5000 【知识点】由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【分析】（1）根据频率分布直方图，利用中位数的含义，列式计算，可得答案； （2）由频率分布直方图求得直径在内的频率,计算即可得出结果. 【详解】（1）因为 所以这批零件的直径的中位数在内． 设这批零件的直径的中位数为，则， 解得， 即这批零件的直径的中位数为． （2）由频率分布直方图可知这批零件的直径在内的频率为， 则可估计这批零件中优等品的件数为． 【变式6-2】（2024高一下·江苏·专题练习）某工厂人员及月工资构成如下： 人员 经理 管理人员 高级技工 工人 学徒 合计 月工资（元） 22 000 2 500 2 200 2 000 1 000 29 700 人数 1 6 5 10 1 23 合计 22 000 15 000 11 000 20 000 1 000 69 000 (1)指出这个表格中的众数、中位数、平均数； (2)这个表格中，平均数能客观地反映该工厂的月工资水平吗？为什么？ 【答案】(1)众数为2000元，中位数为2200元，平均数为3000元 (2)不能，理由见解析 【知识点】计算几个数的众数、计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、用平均数的代表意义解决实际问题 【分析】（1）从表中数据可知人数最多的是众数，把23个数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，排在中间的数是中位数，根据平均数的方法计算即可 （2）从表中的数据可知，只有经理和管理人员在平均数以上，其余的多数人都在平均数以下，故平均数不能客观地反映该工厂人员的月工资水平 【详解】（1）由表格可知，众数为2 000元. 把23个数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，排在中间的数应是第12个数，其值为2 200，故中位数为2 200元. 平均数为（22 000＋15 000＋11 000＋20 000＋1 000）÷23＝69 000÷23＝3 000（元）. （2）虽然月工资的平均数为3 000元，但由表格中所列出的数据可见，只有经理在平均数以上，其余的人都在平均数以下，故用平均数不能客观真实地反映该工厂的工资水平. 【变式6-3】（23-24高一上·浙江台州·开学考试）为积极响应“弘扬传统文化”的号召，某学校倡导全校1200名学生进行经典诗词诵背活动，并在活动之后举办经典诗词大赛，为了解本次系列活动的持续效果，学校团委在活动启动之初，随机抽取部分学生调查“一周诗词诵背数量”，根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示． 大赛结束后一个月，再次抽查这部分学生“一周诗词诵背数量”，绘制成统计表 一周诗词诵背数量 3首 4首 5首 6首 7首 8首 人数 10 10 15 40 25 20 请根据调查的信息分析： (1)活动启动之初学生“一周诗词诵背数量”的中位数为______． (2)估计大赛结束后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的人数； (3)选择适当的统计量，从两个不同的角度分析两次调查的相关数据，评价该校经典诗词诵背系列活动的效果． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【知识点】根据条形统计图解决实际问题、根据扇形统计图解决实际问题、计算几个数的中位数、计算几个数的平均数 【分析】（1）根据统计图表中的数据可以求得这组数据的中位数，得到答案； （2）根据表格中的数据，结合样本估计总体的知识分析，即可求解； （3）根据统计图表和表格中的数据，可以分别计算得出比赛前后的中位数和平均数，进而得到结论. 【详解】（1）解：本次调查的学生有：（名）， 背诵4首的有：（人）， 把这些数据从小到大排列，中位数第60和61个数的平均数， 所以这组数据的中位数为（首）. （2）解：根据题意，可得（人）， 即估计大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的有850人. （3）解：活动启动之初一周诗词诵背数量的中位数为， 平均数为（首） 大赛比赛后一个月时一周诗词诵背数量的中位数为6首， 平均数为（首）， 由此，比赛前后的中位数和平均数看，学生在大赛之后“一周诗词诵背数量”都好于活动之初，根据样本估计总体，说明这次活动效果明显. 【变式6-4】（24-25高二上·四川成都·期中）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，，[90,100]得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中的值及样本成绩的第75百分位数； (2)求样本成绩的众数，中位数和平均数； (3)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差. 【答案】(1)，第75百分位数为84； (2)众数为75，中位数为75，平均数为74； (3)平均数为62，方差为37. 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、估计总体的方差、标准差、总体百分位数的估计、根据频率分布直方图计算众数 【分析】（1）根据频率和为1求得，结合百分数定义求第75百分位数； （2）根据直方图，及众数、中位数、平均数求法求值； （3）根据已知求样本总均值，再由总方差公式求样本总方差. 【详解】（1）由每组小矩形的面积之和为1，得，解得， 成绩在内的频率为，在内的频率为， 显然第75百分位数，由，解得， 所以第75百分位数为84. （2）由，得样本成绩的众数为75， 成绩落在[40,70)内的频率为， 成绩落在内的频率为， 故中位数在[70,80)内，由，得样本成绩的中位数为75， 由. 得样本成绩的平均数为74. （3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为，成绩在的市民人数为， 所以， 总方差为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.1 统计 【清单01】几个概念 总体：统计中所考察对象的全体叫做总体． 个体：总体中的每一个考察对象叫做个体． 样本：从总体中抽取的一部分个体叫做样本． 样本容量：样本的个体的数目叫做样本容量． 【清单02】简单随机抽样 (1)定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．这样抽取的样本，叫做简单随机样本． (2)常用方法：抽签法和随机数法． 【清单03】分层抽样 (1)在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样． (2)分层抽样的应用范围 当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样． 【清单04】数据的数字特征 1.最值：一组数据的最大值与最小值，反映这组数据的极端情况. 2众数：一组数据出现次数最多的数叫众数，众数反应一组数据的多数水平； 3.中位数：一组数据中间的数，（起到分水岭的作用）中位数反应一组数据的中间水平； 4.平均数：反应一组数据的平均水平； 5．百分位：一般地，一组数据的第p百分位是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有（100-p）%的数据大于或等于这个值. 6.极差：即一组数据中最大值和最小值的差． 7.方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，方差是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）并把它叫做这组数据的方差．在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．方差的简化计算公式：s2＝[(x＋x＋…＋x)－n 2]或写成s2＝(x＋x＋…＋x)－2，即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方． 8.标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，通常用以下公式来计算 s＝ 标准差是方差的算术平方根，意义在于反映一个数据集的离散程度．标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度和离散程度的大小．标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较小. 【清单05】数据的直观表示 1.柱形图（条形图）：建立直角坐标系，用横轴(横轴上的数字)表示样本数据类型，用纵轴上的单位长度表示一定的数量，根据每个样本(或某个范围内的样本)的数量多少画出长短不同的等宽矩形，然后把这些矩形按照一定的顺序排列起来，这样一种表达和分析数据的统计图称为条形图． 2.折线图：建立直角坐标系，用横轴上的数字表示样本值，用纵轴上的单位长度表示一定的数量，根据样本值和数量的多少描出相应各点，然后把各点用线段顺次连接，得到一条折线，用这种折线表示出样本数据的情况，这样的一种表示和分析数据的统计图称为折线图． 3.扇形图：用一个圆表示总体，圆中各扇形分别代表总体中的不同部分，每个扇形的大小反映所表示的那部分占总体的百分比的大小，这样的一种表示和分析数据的统计图称为扇形图． 4.茎叶图 茎叶图是统计中用来表示数据的一种图，茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数． ①“叶”位置只有一个数字，而“茎”位置的数字位数一般不需要统一； ②茎叶图上重复出现的数据要重复记录，不能遗漏. 【清单06】频数分布直方图与频率分布直方图 1．频数分布直方图的画法 第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝； 第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间； 第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表． 第四步：做出有关图示 2.频率分布直方图 (1)找出最值，计算极差：即一组数据中最大值和最小值的差． (2)合理分组，确定区间：决定组距与组数：将数据分组时，组数应力求合适，以使数据的分布规律能较清楚地呈现出来．这时应注意：①一般样本容量越大，所分组数越多；②为方便起见，组距的选择应力求“取整”；③当样本容量不超过100时，按照数据的多少，通常分成5～12组．④将数据分组：按组距将数据分组，分组时，各组均为左闭右开区间，最后一组是闭区间． (3)整理数据 （4）做出有关图示. 【清单07】用样本估计总体 常用结论与知识拓展 1.频率分布直方图与众数、中位数、平均数的关系 (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数． (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的． (3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和． 2．平均数、方差的公式推广 (1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a. (2)若数据x1，x2，…，xn的方差为s2，那么 ①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2； ②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2. 【考点题型一】简单随机抽样 【例1】（23-24高一下·福建宁德·阶段练习）某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行： 66  67  40  37  14  64  05  71  11  05  65  09  95  86  68  76  83  20  37  90 57  16  03  11  63  14  90  84  45  21  75  73  88  05  90  52  23  59  43  10 若从表中第1行第7列开始向右依次读取数据，则得到的第5个样本编号是 ． 【变式1-1】（2024高三·全国·专题练习）在对101个人进行一次抽样时，先采用抽签法从中剔除1个人，再在剩余的100个人中随机抽取10个人，那么下列说法正确的是（   ） A．这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会 B．每个人在整个抽样过程中被抽到的机会均等 C．由于采用了两步进行抽样，所以无法判断每个人被抽到的可能性是多少 D．每个人被抽到的可能性不相等 【变式1-2】（2024高三·全国·专题练习）为了了解某地参加计算机水平测试的5 000名学生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行调查分析，在这个问题中，被抽取的200名学生的成绩是（   ） A．总体 B．个体 C．样本 D．样本量 【变式1-3】（22-23高二上·陕西咸阳·开学考试）省农科站要检测某品牌种子的发芽率，计划采用随机数表法从该品牌800粒种子中抽取60粒进行检测，现将这800粒种子编号如下001，002，…，800，若从随机数表第8行第7列的数7开始向右读，则所抽取的第4粒种子的编号是 .（如下是随机数表第8行至第9行） 63  01  63  78  59  16  95  55  67  19  98  10  50  71  75  12  86  73  58  07  44  39  52  38  79  33  21  12  34  29  78  64  56  07  82  52  42  07  44  38  15  51  0  13  42  99  66  02  79  54 【变式1-4】（23-24高一下·四川内江·阶段练习）总体由编号为1，2，⋯，99，100的100个个体组成，现用随机数法选取60个个体，利用电子表格软件产生的若干个1~100范围内的整数随机数的开始部分数据，如下表，则选出来的第5个个体的编号为 8  44  2  17  8  31  57  4  55  6 88  8  31  47  7  21  76  33  50  63 【考点题型二】分层抽样中的计算问题 【例2】（22-23高三上·云南曲靖·阶段练习）珠江源位于云南东部曲靖市以北47公里处，整个景区由马雄山珠江源､花山湖和城区部分景点组成，总面积50平方公里.珠江源风景区是森林公园､省级风景名胜区､国际水利风景名胜区.景区森林茂密，溪流淙淙，有“一水滴三江，一脉隔双盘”的奇异景观.其美景吸引着大批的游客前往参观，某旅行社分年龄段统计了前往珠江源的老､中､青旅客的人数比为5：2：3，现使用分层随机抽样的方法从这些旅客中随机抽取n名，若青年旅客抽到90人，则下列说法正确的是（    ） A．被抽到的老年旅客和中年旅客人数之和超过200 B．n=300 C．中年旅客抽到40人 D．老年旅客抽到150人 【变式2-1】（24-25高三上·河南许昌·期中）唐代以来，牡丹之盛，以“洛阳牡丹甲天下”的美名流传于世．唐已知根据花瓣类型可将牡丹分为单瓣类、重瓣类、千瓣类三类，现有牡丹花n朵，千瓣类比单瓣类多30朵，采用分层抽样方法从中选出12朵牡丹进行观察研究，其中单瓣类有4朵，重瓣类有2朵，千瓣类有6朵，则n＝（    ） A．360 B．270 C．240 D．180 【变式2-2】（24-25高二上·四川成都·期中）某校高一年级有900名学生，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为81的样本，其中抽取男生和女生的人数分别为45，36，则该校高一年级的女生人数为（   ） A．350 B．400 C．500 D．550 【变式2-3】（24-25高二上·四川成都·阶段练习）某学校高二年级选择“物化生”，“物化地”和“史地政”组合的同学人数分别为240，90和120.现采用分层抽样的方法选出30位同学进行某项调查研究，则“史地政”组合中选出的同学人数为（    ） A．8 B．12 C．16 D．6 【变式2-4】（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）某工厂生产三种不同型号的产品，它们的产量之比为，用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本.若样本中型号的产品有120件，则样本容量为（    ） A．150 B．180 C．200 D．250 【考点题型三】数据的数字特征 【例3】（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知一组数据满足 ，则下列说法正确的是（    ） A．这组数据的40%分位数是 B．的平均数小于的平均数 C．的方差大于的方差 D．的极差小于的极差 【变式3-1】（24-25高二上·山东青岛·期中）为了了解某班学生数学成绩，利用分层随机抽样抽取了一个10人的样本，统计如下表：则可估计全班学生数学的平均分和方差分别为（    ） 学生数 平均分 方差 男生 6 80 4 女生 4 75 2 A．77.5，9.2 B．77.5，11 C．78，9.2 D．78，11 【变式3-2】（24-25高二上·四川成都·期中）2024年度最具幸福感城市调查推选活动于9月16日正式启动，在100个地级及以上的候选城市名单中，成都市入选.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高，现随机抽取10位成都市居民，他们的幸福感指数分别为4，5，6，7，7，7，8，8，9，9，则下列说法错误的是（   ） A．该组数据的第60百分位数为7.5 B．该组数据的极差为5 C．该组数据的平均数为7.5 D．该组数据的中位数为7 【变式3-3】（24-25高一上·四川雅安·开学考试）已知一组数据8，5，x，8，10的平均数是8，以下说法错误的是（　　） A．极差是5 B．众数是8 C．中位数是9 D．方差是2.8 【变式3-4】（24-25高一上·湖南永州·开学考试）为了迎接中国共产党建党一百周年，某班50名同学进行了党史知识竞赛，测试成绩统计如下表，其中两个数据被遮盖． 成绩\分 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 人数 ■ ■ 1 2 3 5 6 8 10 12 下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（    ） A．平均数，方差 B．中位数，方差 C．中位数，众数 D．平均数，众数 【考点题型四】数据的直观表示 【例4】（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）为倡导健康生活方式，某大学社团联合学生会倡议全校学生参与“每日万步行”健走活动．如图为该校甲、乙两名同学在同一星期内每日步数的折线统计图，则下列说法正确的是（    ） A．这一星期内甲的日步数的中位数小于乙的日步数的中位数 B．这一星期内甲的日步数的平均数大于乙的日步数的平均数 C．这一星期内乙的日步数的标准差小于甲的日步数的标准差 D．这一星期内乙的日步数的第75百分位数是12400 【变式4-1】（多选题）（23-24高一下·四川乐山·期末）小刘一周的总开支分布如图①所示，该周的食品开支如图②所示，则以下说法正确的是（    ） A．娱乐开支比通信开支多5元 B．日常开支比食品中的肉类开支多100元 C．娱乐开支金额为100元 D．肉类开支占储蓄开支的 【变式4-2】（多选）（23-24高一下·重庆巫山·期末）某学校对高一学生选科情况进行了统计，发现学生选科仅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则（    ） A．该校高一学生总数为 B．该校高一学生中选考物化政组合的人数为 C．该校高一学生中选考物理的人数比选考历史的人数多 D．用比例分配的分层随机抽样方法从该校高一学生抽取人，则生史地组合抽取人 【变式4-3】（多选）（24-25高三上·河北邯郸·开学考试）某公司计划组织秋游活动，定制了一套文化衫，女职工需要不同尺码文化衫的频数如图． 根据图中数据，下列结论正确的是（    ） A．文化衫尺码的众数为187 B．文化衫尺码的平均数为165 C．文化衫尺码的方差为28 D．文化衫尺码的中位数为165 【变式4-4】（多选）（22-23高二上·浙江温州·开学考试）甲、乙两个跑步爱好者利用微信运动记录了去年下半年每个月的跑步里程（单位：公里），现将两人的数据绘制成如图所示的折线图，则下列结论中正确的是（ ） A．甲跑步里程的极差等于110 B．乙跑步里程的中位数是270 C．分别记甲、乙下半年每月跑步里程的平均数为，，则 D．分别记甲乙下半年每月跑步里程的标准差为，，则 【考点题型五】频率分布直方图中的数字特征 【例5】（多选）（23-24高一下·江苏常州·期末）某校1000名学生在高一测试中数学成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），则（   ）    A． B．约有200人的成绩不低于110分 C．约有60人的成绩低于70分 D．本次考试的平均分约为93.6分 【变式5-1】（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）某大学生暑假到工厂参加劳动，生产了100件产品，质检人员测量其长度（单位：厘米），将所得数据分成6组：，得到如图所示的频率分布直方图，则对这100件产品，下列说法中不正确的是（    ）    A． B．长度的平均数是93 C．长度的中位数一定落在区间内 D．长度落在区间内的个数为35 【变式5-2】（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．则下列说法错误的是（   ）    A．估计该年级学生成绩的众数约为75 B． C．估计该年级学生成绩的75百分位数约为85 D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数约为87.50 【变式5-3】（23-24高一下·河北张家口·期末）某时间段公路上车速的频率分布直方图如图所示，则（    ）    A． B．车速的众数估计值是70 C．车速的平均数估计值大于其中位数的估计值 D．车速的中位数估计值是62.5 【变式5-4】（24-25高二上·湖北·阶段练习）某校组织50名学生参加庆祝中华人民共和国成立75周年知识竞赛，经统计这50名学生的成绩都在区间内，按分数分成5组：，得到如图所示的频率分布直方图（不完整），根据图中数据，下列结论错误的是（    ） A．成绩在上的人数最少 B．成绩不低于80分的学生所占比例为 C．50名学生成绩的极差为50 D．50名学生成绩的平均分小于中位数 【考点题型六】频率分布直方图的应用 【例6】（23-24高一下·广东广州·阶段练习）某公司为了解用户对其产品的满意程度，从地区随机抽取了名用户，从地区随机抽取了名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分，该公司将收集到的数据按照、、、分组，绘制成评分频率分布直方图如图． (1)从地区满意程度评分的第百分位数； (2)根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该区间的中点值代替，估计地区抽取的名用户对该公司产品的评分的平均值为，地区抽取的名用户对该公司产品的评分的平均值为，以及两地区抽取的名用户对该公司产品的评分的平均值为，试比较和的大小． 【变式6-1】（23-24高一下·青海·期末）为了解某批零件的质量，质检员从这批产品中随机抽取100件产品，测量它们的直径（单位：mm），根据测量所得数据，将其按分成5组，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)估计这批零件的直径的中位数； (2)已知这批零件共有10000件，若零件的直径在内为优等品，估计这批零件中优等品的件数． 【变式6-2】（2024高一下·江苏·专题练习）某工厂人员及月工资构成如下： 人员 经理 管理人员 高级技工 工人 学徒 合计 月工资（元） 22 000 2 500 2 200 2 000 1 000 29 700 人数 1 6 5 10 1 23 合计 22 000 15 000 11 000 20 000 1 000 69 000 (1)指出这个表格中的众数、中位数、平均数； (2)这个表格中，平均数能客观地反映该工厂的月工资水平吗？为什么？ 【变式6-3】（23-24高一上·浙江台州·开学考试）为积极响应“弘扬传统文化”的号召，某学校倡导全校1200名学生进行经典诗词诵背活动，并在活动之后举办经典诗词大赛，为了解本次系列活动的持续效果，学校团委在活动启动之初，随机抽取部分学生调查“一周诗词诵背数量”，根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示． 大赛结束后一个月，再次抽查这部分学生“一周诗词诵背数量”，绘制成统计表 一周诗词诵背数量 3首 4首 5首 6首 7首 8首 人数 10 10 15 40 25 20 请根据调查的信息分析： (1)活动启动之初学生“一周诗词诵背数量”的中位数为______． (2)估计大赛结束后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的人数； (3)选择适当的统计量，从两个不同的角度分析两次调查的相关数据，评价该校经典诗词诵背系列活动的效果． 【变式6-4】（24-25高二上·四川成都·期中）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，，[90,100]得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中的值及样本成绩的第75百分位数； (2)求样本成绩的众数，中位数和平均数； (3)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$