专题06 反比例函数（考点串讲，3大考点+7大题型突破+6大易错剖析）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（人教版）

九年级数学上学期·期末复习大串讲 专题06 反比例函数 人教版 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 三大常考点：知识梳理+典例剖析 七大题型典例剖析 六大易错易混经典例题 精选5道期末真题对应考点练 目 录 考点透视 0 b＞2或b＜－2 A D B B 6 反比例函数中几何图形 题型剖析 D 6 10 A D 7 易混易错 35 1.（2023秋•东莞市期末）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b和反比例函数y= 在同一平面直角坐标系中的图象可能是( ____ ) A.___ B._ C C. D.___ 【解析】解：因为二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，得出a＞0，与y轴交点在y轴的 负半轴，得出c＜0，利用对称轴x=- ＜0，得出b＞0， 所以一次函数y=ax+b经过一、二、三象限，反比例函数y= 经过二、四象限，故选：C 押题预测 41 2.（2023秋•富锦市校级期末）如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1= (x＞0)及y2= (x＞0)的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知k1-k2的值为8，则△OAB的面积为( ____ ) A.2 B.3 C.4 D.-4 C 【解析】解：根据反比例函数k的几何意义可知：△AOP的面积为 ，△BOP的面积为 ， ∴△AOB的面积为( - )= (k1-k2)， ∵k1-k2=8， ∴△AOB的面积为 ×8=4， 故选：C． 42 3.（2023秋•东莞市期末）已知反比例函数y= 的图象位于第一、三象限，则k的取值范围是 _____ ． 【解析】解：由于反比例函数y= 的图象位于第一、三象限， 则k-2＞0， 解得：k＞2． 故答案为：k＞2． k＞2 43 4.（2023秋•德城区期末）如图，过 的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交 的图象于B，D两点，以AB，AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为S1，S2，S3，S4，若 ，则k的值为 ____ ． 2 【解析】解：设 ，在 中，令 得 ， 令x=m得 ，∴ ， ， ∴ ，∴S2=S4=1， ， ∵ ，∴ ， ∴k=2．故答案为：2． 44 5.（2023秋•武侯区校级期末）如图1，反比例函数 与一次函数y=kx+b(k≠0)的图象交于点A(1，3)，点B(n,1)，一次函数y=kx+b(k≠0)与y轴相交于点C． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接OA，OB，求△OAB的面积； (3)如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接AE，把线段AE绕点A顺时针旋转90°，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标． 45 【解析】解：(1)∵点A(1，3)，点B(n,1)在反比例函数 上， ∴m=1×3=n×1， ∴m=3，n=3， ∴反比例函数为y= ，点B(3，1)， 把A、B的坐标代入y=kx+b得 ， 解得 ，∴一次函数为：y=-x+4； (2)令x=0，则y=-x+4=4， ∴C(0，4)， ∴S△AOB=S△BOC-S△AOC= =4； 46 (3)如图2，过A点作x轴的平行线CD，作FC⊥CD于C，ED⊥CD于D， 设E(a, )(a＞1)，∵A(1，3)，∴AD=a-1，DE=3- ， ∵把线段AE绕点A顺时针旋转90°，点E的对应点为F，恰好也落在这个反比例函数的图象上， ∴∠EAF=90°，AE=AF，∴∠EAD+∠CAF=90°，∵∠EAD+∠AED=90°， ∴∠CAF=∠AED，在△ACF和△EDA中， ， ∴△ACF≌△EDA(AAS)，∴CF=AD=a-1，AC=DE=3- ，∴F( -2，4-a)， ∵F恰好也落在这个反比例函数的图象上，∴( -2)(4-a)=3， 解得a=6或a=1(舍去)，∴E(6， )． 47 【考点分类训练】 　反比例函数解析式的确定 1．若y＝(a＋2)xa2＋2a－1为反比例函数解析式，则a＝　 　. 2．已知点P在正比例函数y＝2x的图象上，且横坐标为2.若将点P向右平移1个单位长度后得点P′，则图象经过点P′的反比例函数的关系式是　y＝eq \f(12,x)　. 3. (深圳中考)如图，四边形ABCO是平行四边形，OA＝2，AB＝6，点C在x轴的负半轴上，将▱ABCO绕点A逆时针旋转得到▱ADEF，AD经过点O，点F恰好落在x轴的正半轴上，若点D在反比例函数y＝eq \f(k,x)(x＜0)的图象上，则k的值为　 　. 4eq \r(3) 4. (临沂中考)在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋2与反比例函数y＝eq \f(1,x)的图象有唯一公共点．若直线y＝－x＋b与反比例函数y＝eq \f(1,x)的图象有2个公共点，则b的取值范围是　 　. 　反比例函数的图象与性质 5. (大庆中考)已知A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)是反比例函数y＝eq \f(2,x)上的三点，若x1＜x2＜x3，y2＜y1＜y3，则下列关系式不正确的是( ) A．x1·x2＜0　　　　　 B．x1·x3＜0 C．x2·x3＜0 D．x1＋x2＜0 6. (娄底中考)反比例函数y＝－eq \f(2,x)的图象上有两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是( ) A．y1＜y2＜0 B．y1＜0＜y2 C．y1＞y2＜0 D．y1＞0＞y2 7. (深圳中考)如图，A、B是函数y＝eq \f(12,x)上两点，P为一动点，作PB∥y轴，PA∥x轴，下列说法正确的是( ) ①△AOP≌△BOP；②S△AOP≌S△BOP；③若OA＝OB，则OP平分∠AOB；④若S△BOP＝4，则S△ABP＝16. A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 8. (泰安中考)一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝eq \f(m,x)图象相交于A(－1,4)、B(2，n)两点，直线AB交x轴于点D. (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)过点B作BC⊥y轴，垂足为C，连接AC交x轴于点E，求△AED的面积S. 解：(1)∵A(－1,4)，∴m＝－1×4＝－4.∴反比例函数表达式为y＝－eq \f(4,x).∵B(2，n)在y＝－eq \f(4,x)图象上，∴n＝－2，∴B(2，－2)，∴直线AB的解析式为y＝－2x＋2；　 (2)∵BC⊥y轴，垂足为C，B(2，－2)，∴C(0，－2)．∴直线AC的解析式为y＝－6x－2.当y＝0时，－6x－2＝0，∴x＝－eq \f(1,3)，∴E(－eq \f(1,3)，0)．∵AB的解析式为y＝－2x＋2，∴直线AB与x轴交点D的坐标为(1,0)，∴DE＝1－(－eq \f(1,3))＝eq \f(4,3)，∴S△AED＝eq \f(1,2)×eq \f(4,3)×4＝eq \f(8,3). 9. (枣庄中考)如图，一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝eq \f(6,x)(x＞0)的图象交于A(m,6)、B(3，n)两点． (1)求一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出使kx＋b＜eq \f(6,x)成立的x的取值范围； (3)求△AOB的面积． 解：(1)∵A(m,6)、B(3，n)两点在反比例函数y＝eq \f(6,x)(x＞0)的图象上．∴m＝1，n＝2，即A(1,6)、B(3,2)．又∵A(1,6)、B(3,2)在一次函数y＝kx＋b的图象上，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(6＝k＋b,2＝3k＋b))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k＝－2,b＝8))，即一次函数解析式为y＝－2x＋8；　 (2)根据图象可知，使kx＋b＜eq \f(6,x)成立的x的取值范围是0＜x＜1或x＞3；　 (3)分别过点A、B作AE⊥x轴，BC⊥x轴，垂足分别为E、C两点，直线AB交x轴于D点．令－2x＋8＝0，得x＝4，即D(4,0)．∵A(1,6)、B(3,2)，∴AE＝6，BC＝2.∴S△AOB＝S△AOD－S△BOD＝eq \f(1,2)×4×6－eq \f(1,2)×4×2＝8. 　反比例函数与实际问题 10. (青岛中考)把一个长、宽、高分别为3cm、2cm、1cm的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体的底面积S(cm2)与高h(cm)之间的函数关系为 　 　. S＝eq \f(6,h) 11．一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t(h)与行驶速度v(km/h)满足函数关系：t＝eq \f(k,v)，其图象为如图所示的一段曲线，且端点为点A(40,1)和点B(m,0.5)，若行驶速度不得超过60(km/h)，则汽车通过该路段最少需要时间为( ) A.eq \f(2,3)分钟 B．40分钟 C．60分钟 D．eq \f(200,3)分钟 12. (德州中考)某中学组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作，已知该运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如表所示： 第1天 第2天 第3天 第4天 售价x (元/双) 150 200 250 300 销售量y (双) 40 30 24 20 (1)观察表中数据，x、y满足什么函数关系？请求出这个函数关系式； (2)若商场计划每天的销售利润为3000元，则其单价应定为多少元？ 解：(1)由表中数据得：xy＝6000，∴y＝eq \f(6000,x)，∴y是x的反比例函数，解析式为y＝eq \f(6000,x)；　 (2)由题意，得(x－120)y＝3000，∴(x－120)eq \f(6000,x)＝3000，解得x＝240，经检验，x＝240是原方程的根．答：其单价应定为240元． 13. (衡阳中考)某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体实验．测得成人服药后血液中药物浓度y (微克/毫升)与服药时间x (小时)之间的函数关系如图所示(当4≤x≤10时，y与x成反比)． (1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式； (2)问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为多少小时？ 解：(1)y＝2x(0≤x≤4)，y＝eq \f(32,x)(4≤x≤10)；　 (2)当y＝4时，则4＝2x，∴x＝2，当y＝4时，则eq \f(32,x)＝4，∴x＝8，∵8－2＝6(小时)，∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为6小时． 强化角度1　反比例函数中的直角三角形 1．如图，已知A点是反比例函数y＝eq \f(k,x)(k≠0，x＞0)的图象上一点，AB⊥y轴于B，且△ABO的面积为3，则k的值为　 　　. 2．如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数y＝eq \f(6,x)在第一象限的图象经过点B，则△OAC和△BAD的面积之差S△OAC－S△BAD为( ) A．36　　　 B．12　　　 C．6　　　 D．3 强化角度2　反比例函数中的等腰三角形 3. (宁波中考)如图，点A为函数y＝eq \f(9,x)(x＞0)图象上一点，连接OA，交函数y＝eq \f(1,x)(x＞0)的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO＝AC，则△ABC的面积为　 　. 4. (广东中考)如图，已知等边△OA1B1，顶点A1在双曲线y＝eq \f(\r(3),x)(x＞0)上，点B1的坐标为(2,0)．过B1作B1A2∥OA1交双曲线于点A2，过A2作A2B2∥A1B1交x轴于点B2，得到第二个等边△B1A2B2；过B2作B2A3∥B1A2交双曲线于点A3，过A3作A3B3∥A2B2交x轴于点B3，得到第三个等边△B2A3B3；以此类推，…，则点B6的坐标为　(2eq \r(6)，0)　. 点拨：过A2作A2C⊥x轴于点C，设B1C＝x，则A2C＝eq \r(3)x，∵eq \f(\r(3),x＋2)＝eq \r(3)x，∴x＝eq \f(－2＋2\r(2),2)，∴B2(2eq \r(2)，0)．依次可算得，B3(2eq \r(3)，0)，B4(4,0)，B5(2eq \r(5)，0)，B6(2eq \r(6)，0)． 强化角度3　反比例函数中的一般三角形 5．如图，在平面直角坐标系中，过点M(0,2)的直线l与x轴平行，且直线l分别与反比例函数y＝eq \f(6,x)(x＞0)和y＝eq \f(k,x)(x＜0)的图象交于点P、点Q. (1)求点P的坐标； (2)若△POQ的面积为8，求k的值． 解：(1)∵PQ∥x轴，∴点P的纵坐标为2，把y＝2代入y＝eq \f(6,x)，得x＝3，∴P点坐标为(3,2)； (2)∵S△POQ＝S△OMQ＋S△OMP，∴eq \f(1,2)×|k|＋eq \f(1,2)×|6|＝8，∴|k|＝10，而k＜0，∴k＝－10. 强化角度4　反比例函数中的一般四边形 6．如图，在平面直角坐标系中，过点M(－3,2)分别作x轴、y轴的垂线与反比例函数y＝eq \f(4,x)的图象交于A、B两点，则四边形MAOB的面积为　 　. 强化角度5　反比例函数中的矩形 7．如图，点A在双曲线y＝eq \f(4,x)上，点B在双曲线y＝eq \f(k,x)(k≠0)上，AB∥x轴，分别过点A、B向x轴作垂线，垂足分别为D、C.若矩形ABCD的面积是8，则k的值为( ) A．12 B．10 C．8 D．6 8. (泰安中考)如图，矩形ABCD的两边AD、AB的长分别为3、8，E是DC的中点，反比例函数y＝eq \f(m,x)的图象经过点E，与AB交于点F. (1)若点B的坐标为(－6,0)，求m的的值及图象经过A、E两点的一次函数的表达式； (2)若AF－AE＝2，求反比例函数的表达式． 解：(1)∵E是DC的中点，DC＝AB＝8，∴CE＝4，∵E在y＝eq \f(m,x)上，∴x＝eq \f(m,4).∵B(－6,0)，∴－6＝－3＋eq \f(m,4)，∴m＝－12.∴E(－3,4)，A(－6,8)，∴过A、E两点的一次函数解析式为y＝－eq \f(4,3)x；　 (2)连接AE，∵AD＝3，DE＝eq \f(1,2)AB＝4，∴AE＝eq \r(32＋42)＝5，∵AF－AE＝2，∴AF＝7，∵B(－6,0)，∴F(－6，－eq \f(m,6))，∴8－(－eq \f(m,6))＝7，∴m＝－6. 强化角度6　反比例函数中的菱形 9．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A、B两点的纵坐标分别为3,1，反比例函数y＝eq \f(3,x)的图象经过点A、B两点，则菱形ABCD的面积为( ) A．2 B．4 C．2eq \r(2) D．4eq \r(2) 10. (滨州中考)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C的坐标为(1, eq \r(3))． (1)求图象过点B的反比例函数的解析式； 解：∵C(1, eq \r(3))，∴OC＝2，∵四边形OABC是菱形，∴OA＝BC＝OC＝2.∴A(2,0)，B(3，eq \r(3))，∴过B点的反比例函数y＝eq \f(3\r(3),x)； (2)求图象过点A、B的一次函数的解析式； 解：∵A(2,0)，B(3，eq \r(3))，∴直线AB的解析式为y＝eq \r(3)x－2eq \r(3)； (3)在第一象限内，当以上所求一次函数的图象在所求反比例函数的图象下方时，请直接写出自变量x的取值范围． 解：0＜x＜3或x＜－1. 强化角度7　反比例函数中的正方形 11. (孝感中考)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标为(－1,1)，点B在x轴正半轴上，点D在第三象限的双曲线y＝eq \f(5,x)上，过点C作CE∥x轴交双曲线于点E，连接BE，则△BCE的面积为　 　. 12．如图，点A、B分别在x、y轴上，已知OA＝2，OB＝1，以线段AB的边在第一象限作正方形ABCD.若反比例函数y＝eq \f(k,x)经过AD的中点E. (1)求反比例函数的解析式； (2)正方形的顶点C是否在反比例函数y＝eq \f(k,x)的图象上，说明理由． 解：(1)过D作DF⊥x轴于F，∴∠DFO＝90°.∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∴∠BAD＝90°，∴∠BAO＋∠DAF＝90°.∵∠OAB＋∠OBA＝90°，∴∠DAF＝∠OBA.∵∠BOA＝∠DFO＝90°，∴△OAB≌△FDA，∴FD＝OA＝2，AF＝OB＝1.∴D(3,2)．∵A(2,0)，E是AD的中点，∴E(eq \f(5,2)，1)．∵点E在反比例函数y＝eq \f(k,x)上，∴k＝eq \f(5,2)×1＝eq \f(5,2)，所以反比例函数的解析式为y＝eq \f(5,2x)；　 (2)不在．理由是：过C作CG⊥y轴于G，易证∴△CGB≌△BOA，∴OG＝3，CG＝1.∴C(1,3)，当x＝1时，y＝eq \f(5,2)≠3，∴点C不在此反比例函数图象上． $$