专题07 概率（4大基础题+2大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（江西专用）

专题07 概率 随机事件、频率与概率 1.（多选题）（23-24高一上·江西南昌·期末）下列说法正确的是（    ） A．一名篮球运动员，号称投篮“百发百中”，则他投篮一次，命中为必然事件 B．随机事件发生的可能性越大，它发生的概率越接近1 C．投掷两枚均匀的骰子，观察出现的点数和，点数和为2是一个样本点 D．试验“连续投掷一枚均匀的骰子直到出现3点停止，观察投掷的次数”的样本空间为 2.（23-24高一上·江西上饶·期末）某人抛掷一枚硬币80次，结果正面朝上有43次.设正面朝上为事件A，则事件A出现的概率为 ． 3．（23-24高一上·江西·期末）抽取样本容量为20的样本数据，分组后的频数如下表： 分组 频数 2 3 4 5 4 2 则样本数据落在区间的频率为 . 4．（23-24高一上·江西上饶沙溪·期末）在一个不透明的纸盒中装有2个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有 个. 古典概型 1.（江西省部分学校2023-2024学年高一下学期6月期末）甲在微信群中发出5元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完．若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“最佳手气”（即乙领取的钱数不少于其他任何人）的概率是（    ） A． B． C． D． 2. （23-24高一下·江西新余·期末）某校辩论赛小组共有5名成员，其中3名女生2名男生，现要从中随机抽取2名成员去参加外校交流活动，则抽到2名男生的概率为 ． 3．（23-24高一上·江西萍乡·期末）某班拟从2名男学生和1名女学生中随机选派2名学生去参加一项活动，则恰有一名女学生和一名男学生去参加活动的概率是 ． 4．（23-24高一上·江西上饶·期末）据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之.”围棋，起源于中国，至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵.现从2名男生和2名女生中任选2人参加围棋比赛，则所选2人中至少有1名男生的概率为 5. （23-24高一上·江西南昌·期末）如图，数轴上O为原点，点A对应实数6，现从1，2，3，4，5中随机取出两个数，分别对应数轴上的点B，C（点B对应的实数小于点C对应的实数）． (1)记事件E为：线段OB的长小于等于2，写出事件E的所有样本点； (2)记事件F为：线段OB，BC，CA能围成一个三角形，求事件F发生的概率． 6. （江西省部分学校2023-2024学年高一下学期6月期末考试）暑假将至，小梁计划外出旅游，翻出自己曾经买的一个带数字密码锁的密码箱，但因时间太久，小梁已经忘记了密码，只记得这个密码是一个三位数，并且每个数位上的数字都是7，8，9中的一个． (1)若小梁尝试输入一次密码，求输入的这个密码中恰有两位数字正确的概率； (2)若在小梁通过技术获得了这个密码的首位数字后，小梁尝试输入一次密码，求输入的这个密码正确的概率． 互斥事件、相互独立事件的判断 1.（23-24高一下·江西·期末）掷两枚骰子，观察所得点数.设“两个点数都是偶数”为事件E，“两个点数都是奇数”为事件F，“两个点数之和是偶数”为事件M，“两个点数之积是偶数”为事件N，则（    ） A．事件E与事件F互为对立事件 B．事件M与事件N相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件F与事件相互独立 2.（23-24高一上·江西九江·期末）给出下列四种说法： ①若事件A，B互斥，则与一定互斥； ②若A，B为两个事件，则； ③若事件A，B，C彼此互斥，则； ④若事件A，B满足，则A，B是对立事件. 其中错误的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3.（多选题）（23-24高一上·江西新余·期末）伯努利试验是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是每次试验只有两种可能结果．若连续抛郑一枚质地均匀的硬币次，记录这次实验的结果，设事件表示“次实验结果中，既出现正面又出现反面”，事件表示“次实验结果中，最多只出现一次反面”，则下列结论正确的是（    ）． A．若，则与不互斥 B．若，则与不相互独立 C．若，则与相互独立 D．若，则与互斥 4．（多选题）（23-24高一上·江西吉安·期末）某人连续掷两次骰子，表示事件“第一次掷出的点数是2”，表示事件“第二次掷出的点数是3”．表示事件“两次掷出的点数之和为5”，表示事件“两次掷出的点数之和为9”．则（    ） A．与相互独立 B．与相互独立 C．与不相互独立 D．与不相互独立 5．（多选题）（23-24高一上·江西抚州·期末）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙不相互独立 D．丙与丁不相互独立 6．（多选题）（23-24高一上·江西赣州·期末）有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，事件A表示“第一次取出的球的数字是1”，事件B表示“第二次取出的球的数字是偶数”，事件C表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，事件D表示“两次取出的球的数字之和是奇数”，则（    ） A．A与B互斥 B．C与D对立 C．B与C相互独立 D．B与D相互独立 互斥事件、相互独立事件的概率计算 1.（23-24高一下·江西宜春·期末）一个不透明袋子中有大小和质地均相同的3个小球，分别标有数字1，2，3，先后不放回地摸出两个球，若第二次摸出球的号码比第一次大，则选择第二次摸出的球，否则选择未被摸出的球，则选到3号球的概率为（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高一上·江西萍乡·期末）甲、乙两选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，若采用三局二胜制，则乙最终获胜的概率为（    ） A．0.36 B．0.352 C．0.288 D．0.648 3．（23-24高一上·江西抚州·期末）从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论错误的是（    ） A．2个球都是红球的概率为 B．2个球中恰有1个红球的概率为 C．至少有1个红球的概率为 D．2个球不都是红球的概率为 4．（23-24高一上·江西吉安·期末）已知事件A，B是互斥事件，，，则（    ） A． B． C． D． 5. （23-24高一上·江西上饶·期末）甲、乙两人组成“博学队”参加上饶市中学“博学少年”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响. (1)求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率； (2)求“博学队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率. 6．（23-24高一上·江西赣州·期末）我省从2024年开始，高考不分文理科，实行“”模式，其中“3”指的是语文、数学，外语这3门必选科目，“1”指的是考生需要在物理、历史这2门首选科目中选择1门，“2”指的是考生需要在思想政治、地理、化学、生物这4门再选科目中选择2门．已知某高校临床医学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学、生物至少1门． (1)从所有选科组合中任意选取1个，求该选科组合符合某高校临床医学类招生选科要求的概率； (2)假设甲、乙两人每人选择任意1个选科组合是等可能的且相互独立，求这两人中恰好有一人的选科组合符合某高校临床医学类招生选科要求的概率． 统计与古典概型综合 1.（23-24高一上·江西萍乡·期末）从某学校800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组的人数为4． (1)求第七组的频率； (2)估计该校800名男生身高的中位数； (3)从样本身高属于第六组和第八组的男生中随机抽取两名，若他们的身高分别为x，y，记为事件E，求． 2.（23-24高一上·江西新余·期末）某中学为研究本校高三学生在市联考中的语文成绩，随机抽取了100位同学的语文成绩作为样本，得到以分组的样本频率分布直方图如图. (1)请估计本次联考该校语文成绩的中位数和平均数； (2)样本内语文分数在的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求选出的两名学生中恰有一人成绩在中的概率. 3.（23-24高一下·江西·期末）一中学为了解某次物理考试的成绩，随机抽取了50名学生的成绩，根据这50名学生的成绩（成绩均在之间），将样本数据分为6组：、、…、、，绘制成频率分布直方图（如图所示）. (1)求频率分布直方图中a的值，并估计这50名学生的物理成绩的平均数（同一组中的数据以该组数据所在区间中点的值作代表）； (2)在样本中，从成绩在内的学生中，随机抽取2人，求这2人成绩都在内的概率. 4.（2023-2024·江西抚州·期末）镇安大板栗又称中国甘栗､东方珍珠，以味道甜脆，甘美可口，老幼皆宜，营养丰富而著称于世.现从某板栗园里随机抽取部分板栗进行称重（单位：克），将得到的数据按分成五组，绘制的频率分布直方图如图所示. (1)请估计该板栗园的板栗质量的中位数； (2)现采用分层抽样的方法从质量在和内的板栗中抽取5颗，再从这5颗板栗中随机抽取2颗，求抽取到的2颗板栗中至少有1颗的质量在内的概率. 统计与相互独立事件综合 1. （23-24高一上·江西抚州·期末）2023年9月23日，中国农历象征收获的秋分时节，第19届亚洲运动会在浙江杭州隆重开幕．杭州基础设施全面升级、城市面貌焕然一新、民生服务格局大变．为了解杭州老百姓对城市基础设施升级工作满意度，从该地的A，B两地区分别随机调查了40户居民，根据大家对城市基础设施升级工作的满意度评分（单位：分），得到地区的居民满意度评分的频率分布直方图（如图）和地区的居民满意度评分的频数分布表（如表1）． 满意度评分 频数 2 8 14 10 6 表2 满意度评分 低于70分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 (1)根据居民满意度评分，将居民的满意度分为三个等级（如表2），估计哪个地区的居民满意度等级为不满意的可能性大，说明理由. (2)将频率看作概率，从A，B两地区居民中各随机抽查1户居民进行调查，求至少有一户居民评分满意度等级为“非常满意”的概率 2. （23-24高一上·江西上饶·期末）辽宁省数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)补全频率分布直方图，若只有的人能进决赛，入围分数应设为多少分（保留两位小数）； (2)采用分层随机抽样的方法从成绩为的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取2名学生进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90的概率； (3)进入决赛的同学需要再经过考试才能参加冬令营活动．考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考2门学科，每科笔试成绩从高到低依次有，A，B，C，D五个等级．若两科笔试成绩均为，则直接参加；若一科笔试成绩为，另一科笔试成绩不低于，则要参加第二轮面试，面试通过也将参加，否则均不能参加．现有甲、乙二人报名参加，二人互不影响．甲在每科笔试中取得，A，B，C，D的概率分别为，，，，；乙在每科笔试中取得，A，B，C，D的概率分别为，，，，；甲、乙在面试中通过的概率分别为，．求甲、乙能同时参加冬令营的概率． ( 11 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 概率 随机事件、频率与概率 1.（多选题）（23-24高一上·江西南昌·期末）下列说法正确的是（    ） A．一名篮球运动员，号称投篮“百发百中”，则他投篮一次，命中为必然事件 B．随机事件发生的可能性越大，它发生的概率越接近1 C．投掷两枚均匀的骰子，观察出现的点数和，点数和为2是一个样本点 D．试验“连续投掷一枚均匀的骰子直到出现3点停止，观察投掷的次数”的样本空间为 【答案】BC 【分析】由随机事件以及它的概率范围即可判断AB，由样本点，样本空间的定义即可判断CD. 【详解】对于A，他投篮一次，命中为随机事件，故A错误； 对于B，随机事件发生的可能性越大，它发生的概率越接近1，故B正确； 对于C，点数和为2当且仅当两枚骰子出现的点数都为1，这是有可能的，故C正确； 对于D，试验“连续投掷一枚均匀的骰子直到出现3点停止，观察投掷的次数”的样本空间为，故D错误. 故选：BC. 2.（23-24高一上·江西上饶·期末）某人抛掷一枚硬币80次，结果正面朝上有43次.设正面朝上为事件A，则事件A出现的概率为 ． 【答案】/ 【分析】由题意知硬币正反面出现的机会是均等的，即可得答案. 【详解】由题意可知事件A出现的频率为，而概率是大量试验中，频率趋于的一个稳定值， 由于硬币正反面出现的机会是均等的，故事件A出现的概率为， 故答案为： 3．（23-24高一上·江西·期末）抽取样本容量为20的样本数据，分组后的频数如下表： 分组 频数 2 3 4 5 4 2 则样本数据落在区间的频率为 . 【答案】0.25 【分析】由表求出落在区间的频数，即可求出频率. 【详解】解：由题意知，落在的频数为，所以频率为. 故答案为:0.25. 【点睛】本题考查了频率的计算. 4．（23-24高一上·江西上饶沙溪·期末）在一个不透明的纸盒中装有2个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有 个. 【答案】 【分析】利用频率结合古典概型的计算公式代入即可得出答案. 【详解】因为摸到红球的频率稳定在0.8附近， 估计袋中红球个数是. 故答案为：. 古典概型 1.（江西省部分学校2023-2024学年高一下学期6月期末）甲在微信群中发出5元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完．若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“最佳手气”（即乙领取的钱数不少于其他任何人）的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用列举法求得基本事件的总数，以及所求事件所包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解. 【详解】设乙领到元，丙领到元，丁领到元，则可用表示1个样本点， 可得，所以样本点总数个， 设乙获得“最佳手气”为事件，则包含的样本点有，，，共3个， 即，所以概率为． 故选：A． 2. （23-24高一下·江西新余·期末）某校辩论赛小组共有5名成员，其中3名女生2名男生，现要从中随机抽取2名成员去参加外校交流活动，则抽到2名男生的概率为 ． 【答案】/ 【分析】利用列举法，结合古典概型即可得解. 【详解】设名女生为，名男生为， 则有，共种抽法， 其中抽到2名男生的抽法有， 所以抽到2名男生的概率为. 故答案为：. 3．（23-24高一上·江西萍乡·期末）某班拟从2名男学生和1名女学生中随机选派2名学生去参加一项活动，则恰有一名女学生和一名男学生去参加活动的概率是 ． 【答案】 【分析】由列举法求古典概型概率即可. 【详解】设2名男学生分别为,1名女学生为， 所以选派2名学生去参加一项活动共有：三种情况， 符合题意的情况有两种， 所以恰有一名女学生和一名男学生去参加活动的概率是. 故答案为：. 4．（23-24高一上·江西上饶·期末）据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之.”围棋，起源于中国，至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵.现从2名男生和2名女生中任选2人参加围棋比赛，则所选2人中至少有1名男生的概率为 【答案】 【分析】利用列举法得到“从2名男生和2名女生中任选2人”的基本事件总数，及“至少有1名男生”包含的的基本事件个数，从而利用古典概型求解即可. 【详解】记2名男生为，2名女生为， 任选2人参加围棋比赛，则可能情况有，共6个， 所以“至少有1名男生”的情况有，共5个， 故所选2人中至少有1名男生的概率为. 故答案为： 5. （23-24高一上·江西南昌·期末）如图，数轴上O为原点，点A对应实数6，现从1，2，3，4，5中随机取出两个数，分别对应数轴上的点B，C（点B对应的实数小于点C对应的实数）． (1)记事件E为：线段OB的长小于等于2，写出事件E的所有样本点； (2)记事件F为：线段OB，BC，CA能围成一个三角形，求事件F发生的概率． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）分别令或，一一列举，写出事件的所有样本点； （2）按古典概型的概率计算公式进行计算. 【详解】（1）事件E的样本点有：． （2）样本空间为：， 其中事件F包含的样本点只有：， 所以事件F发生的概率． 6. （江西省部分学校2023-2024学年高一下学期6月期末考试）暑假将至，小梁计划外出旅游，翻出自己曾经买的一个带数字密码锁的密码箱，但因时间太久，小梁已经忘记了密码，只记得这个密码是一个三位数，并且每个数位上的数字都是7，8，9中的一个． (1)若小梁尝试输入一次密码，求输入的这个密码中恰有两位数字正确的概率； (2)若在小梁通过技术获得了这个密码的首位数字后，小梁尝试输入一次密码，求输入的这个密码正确的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，写出所有的密码情况，设定一个正确密码，按要求统计“恰有两位数字正确”的密码种数，由古典概型概率公式计算即得； （2）按要求列出确定首位密码后的所有密码情况，即可求得题中事件的概率. 【详解】（1）由题可知，所有的密码情况包括，，，，， ，，，，，，，， ，，，，，，， ，，，，，，共27种． 不妨设正确的密码为，则恰有两位数字正确的密码包括： ，，，，，共6种， 故小梁尝试输入一次密码，输入的这个密码中恰有两位数字正确的概率为． （2）不妨设正确的密码为，小梁通过技术获得了这个密码的首位数字为9， 则小梁尝试输入一次密码，输入的这个密码可能为，，， ，，，，，，共9种， 故小梁尝试输入一次密码，输入的这个密码正确的概率为． 互斥事件、相互独立事件的判断 1.（23-24高一下·江西·期末）掷两枚骰子，观察所得点数.设“两个点数都是偶数”为事件E，“两个点数都是奇数”为事件F，“两个点数之和是偶数”为事件M，“两个点数之积是偶数”为事件N，则（    ） A．事件E与事件F互为对立事件 B．事件M与事件N相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件F与事件相互独立 【答案】D 【分析】用表示掷两枚骰子得到的点数，列出相关事件包含的样本点.对于A，运用对立事件的定义判断；对于B，分别计算的概率，利用独立事件的概率乘法公式检验即得；对于C，根据与的交集是否为空集判断；对于D，与选项B同法判断. 【详解】依题意，可用表示掷两枚骰子得到的点数，则. 对于A，， 而, 显然事件E与事件F互斥但不对立，如,但,故A错误； 对于B，易得，故 因，故, 而,则,因,即事件M与事件N不独立，故B错误； 对于C，由上分析，，故事件E与事件不可能互斥，即C错误； 对于D，由上分析，而,则， 因，则, 即，故事件F与事件相互独立，即D正确. 故选：D. 【点睛】方法点睛：本题主要考查随机事件的关系判断，属于较难题. 解题方法有： （1）判断事件对立：必须同时成立； （2）判断事件相互独立：必须成立； （3）判断事件互斥：只需即可. 2.（23-24高一上·江西九江·期末）给出下列四种说法： ①若事件A，B互斥，则与一定互斥； ②若A，B为两个事件，则； ③若事件A，B，C彼此互斥，则； ④若事件A，B满足，则A，B是对立事件. 其中错误的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据互斥事件及对立事件的定义及概率计算公式，逐个判定即可. 【详解】对于①，若事件A，B互斥，则与不一定是互斥事件， 故①错误； 对于②，若A，B为两个事件， 则,故②错误； 对于③，若事件A，B，C彼此互斥， 则，故③正确； 对于④，若事件A，B满足， 则A，B不一定是对立事件， 例如：设投一枚硬币3次，事件“至少出现一次正面”， 事件“出现3次正面”， 则,满足， 但A，B不是对立事件，故④错误， 故错误的命题有3个， 故选:D. 3.（多选题）（23-24高一上·江西新余·期末）伯努利试验是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是每次试验只有两种可能结果．若连续抛郑一枚质地均匀的硬币次，记录这次实验的结果，设事件表示“次实验结果中，既出现正面又出现反面”，事件表示“次实验结果中，最多只出现一次反面”，则下列结论正确的是（    ）． A．若，则与不互斥 B．若，则与不相互独立 C．若，则与相互独立 D．若，则与互斥 【答案】ABC 【分析】根据已知条件，分析和时所有的基本事件的结果，利用事件互斥和两事件相互独立的定义分别判断即可. 【详解】A选项：时，若两次实验中结果为一次正面，一次反面，则事件与同时发生， 由互斥事件定义，与不互斥，A正确； B选项：时，两次实验的结果有（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）种， ，，，， 所以与不相互独立，B正确； C选项：时，三次实验的结果有（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正）， （正，反，反），（反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（反，反，反）种情 况，，，，， 所以与相互独立，C正确； D选项：时，若三次实验结果为（正，正，反），则事件与同时发生， 由互斥事件定义，与不互斥，D错误. 故选：ABC 4．（多选题）（23-24高一上·江西吉安·期末）某人连续掷两次骰子，表示事件“第一次掷出的点数是2”，表示事件“第二次掷出的点数是3”．表示事件“两次掷出的点数之和为5”，表示事件“两次掷出的点数之和为9”．则（    ） A．与相互独立 B．与相互独立 C．与不相互独立 D．与不相互独立 【答案】ACD 【分析】根据根据独立事件的乘法公式，结合题意，逐一判断即可. 【详解】由题意知，， ， ． 对A：∵，∴与相互独立，故A正确． 对B：∵，∴与不相互独立，故B错误． 对C：∵，∴与不相互独立，故C正确． 对D：∵，∴与不相互独立，故D正确． 故选：ACD. 5．（多选题）（23-24高一上·江西抚州·期末）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙不相互独立 D．丙与丁不相互独立 【答案】BCD 【分析】计算各事件概率，再根据独立事件概率的关系依次判断每个选项得到答案. 【详解】两次取出的球的数字之和为8，有共5种情况， 所以；两次取出的球的数字之和为7，有共6种情况， 所以；； 对于A，，故甲与丙不相互独立，错误； 对于B，，故甲与丁相互独立，正确； 对于C，，故乙与丙不相互独立，正确； 对于D，，故丙与丁不相互独立，正确. 故选：BCD. 6．（多选题）（23-24高一上·江西赣州·期末）有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，事件A表示“第一次取出的球的数字是1”，事件B表示“第二次取出的球的数字是偶数”，事件C表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，事件D表示“两次取出的球的数字之和是奇数”，则（    ） A．A与B互斥 B．C与D对立 C．B与C相互独立 D．B与D相互独立 【答案】BCD 【分析】利用列举法列出所有可能结果，再根据互斥事件及相互独立事件的概念判断即可. 【详解】设采用不放回方式从中任意摸球两次，每次摸出一个球， 全部的基本事件有：，，，，，，，，， ，，共个， 事件发生包含的基本事件有：，，有个， 事件发生包含的基本事件有：，，，，，有个， 事件发生包含的基本事件：，，，有个， 事件发生包含的基本事件：，，，，，，，有个， 显然当出现，时事件、同时发生，故事件与不互斥，故A错误； 事件与不可能同时发生，即事件与互斥，又事件与包含所有的结果， 所以C与D对立，故B正确； 又，，，所以， 所以事件与相互独立，故C正确； 又，，，所以， 所以事件与相互独立，故D正确. 故选：BCD. 互斥事件、相互独立事件的概率计算 1.（23-24高一下·江西宜春·期末）一个不透明袋子中有大小和质地均相同的3个小球，分别标有数字1，2，3，先后不放回地摸出两个球，若第二次摸出球的号码比第一次大，则选择第二次摸出的球，否则选择未被摸出的球，则选到3号球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别列举选球的可能性，再根据互斥事件的概率公式求解即可. 【详解】从标有数字1，2，3，先后不放回地摸出两个球，则所有可能结果有，，，，，， 选到3号球有两种可能：第二次摸出的为3号球，或第一次摸出2号球，第二次摸出1号球， 则满足第二次摸出的为3号球的有，，所以第二次摸出的为3号球的概率； 第一次摸出2号球，第二次摸出1号球的概率； 所以选到3号球的概率. 故选：C. 2.（23-24高一上·江西萍乡·期末）甲、乙两选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，若采用三局二胜制，则乙最终获胜的概率为（    ） A．0.36 B．0.352 C．0.288 D．0.648 【答案】B 【分析】由题意可得乙最终获胜有两种情况：一是前两局乙获胜，二是前两局乙胜一局，第三局乙获胜，然后由独立事件和互斥事件的概率公式求解即可. 【详解】由题意可得乙最终获胜有两种情况： 一是前两局乙获胜，则获胜的概率为， 二是前两局乙胜一局，第三局乙获胜，则获胜的概率为， 而这两种情况是互斥的，所以乙最终获胜的概率为. 故选：B. 3．（23-24高一上·江西抚州·期末）从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论错误的是（    ） A．2个球都是红球的概率为 B．2个球中恰有1个红球的概率为 C．至少有1个红球的概率为 D．2个球不都是红球的概率为 【答案】D 【分析】根据独立事件乘法公式计算2个球都是红球的概率可判断A；根据独立事件乘法公式、互斥事件加法公式计算可判断B；根据对立事件的概率计算可判断CD. 【详解】记从甲袋中摸出一个红球的事件为，从乙袋中摸出一个红球的事件为，且，，相互独立， 对于A选项，2个球都是红球的事件为，则有，故A正确； 对于B选项，2个球中恰有1个红球的事件为， 则，故B正确； 对于C选项，至少有1个红球的事件的对立事件是， 则， 所以至少有1个红球的概率为，故C正确； 对于D选项，2个球不都是红球的事件是事件的对立事件，其概率为， 故D不正确． 故选：D. 4．（23-24高一上·江西吉安·期末）已知事件A，B是互斥事件，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算出，利用互斥事件概率加法公式求出答案. 【详解】∵，， ∴， ∵事件A，B是互斥事件， ∴． 故选：C 5. （23-24高一上·江西上饶·期末）甲、乙两人组成“博学队”参加上饶市中学“博学少年”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响. (1)求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率； (2)求“博学队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据相互独立事件的乘法概率公式计算即可； （2）两人分别猜两次，总共四次中有一次没猜对，分四种情况计算可得答案. 【详解】（1）设甲两轮至少猜对一个数学名词为事件，则 . （2）设事件“甲第一轮猜对”，“乙第一轮猜对”，“甲第二轮猜对”，“乙第二轮猜对”， ““博学队”猜对三个数学名词”，所以， ，则， 由事件的独立性与互斥性，得 ， 故“博学队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率为. 6．（23-24高一上·江西赣州·期末）我省从2024年开始，高考不分文理科，实行“”模式，其中“3”指的是语文、数学，外语这3门必选科目，“1”指的是考生需要在物理、历史这2门首选科目中选择1门，“2”指的是考生需要在思想政治、地理、化学、生物这4门再选科目中选择2门．已知某高校临床医学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学、生物至少1门． (1)从所有选科组合中任意选取1个，求该选科组合符合某高校临床医学类招生选科要求的概率； (2)假设甲、乙两人每人选择任意1个选科组合是等可能的且相互独立，求这两人中恰好有一人的选科组合符合某高校临床医学类招生选科要求的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用古典概型求概率的方法求概率即可； （2）根据互斥事件概率加法公式求概率即可. 【详解】（1）用，分别表示“选择物理”“选择历史”，，，，分别表示“选择化学”“选择生物”“选择思想政治”“选择地理”， 则所有选科组合的样本空间 则 设表示“从所有选科组合中任意选取1个，有选科组合符合该医科大学临床医学类招生选科要求” 则 则 则． （2）设甲、乙两人每人的选科组合符合该医科大学临床医学类招生选科要求的事件分别为，，由题意知事件，相互独立 由（1）知 记“甲、乙两人中恰好有一人的选科组合符合该医科大学临床医学类招生选科要求”， 则 易知事件，两两互斥， 根据互斥事件概率加法公式得 ． 统计与古典概型综合 1.（23-24高一上·江西萍乡·期末）从某学校800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组的人数为4． (1)求第七组的频率； (2)估计该校800名男生身高的中位数； (3)从样本身高属于第六组和第八组的男生中随机抽取两名，若他们的身高分别为x，y，记为事件E，求． 【答案】(1)0.06 (2)174.5cm (3) 【分析】（1）由频率和（即小矩形的面积和）为，求得结果即可； （2）频率分布直方图中的中位数两侧矩形的面积和（频率）各占； （3）由古典概型的计算公式分别计算基本事件总数和事件E包含的基本事件个数，求解即可. 【详解】（1）第六组的频率为， 则第七组的频率为； （2）由图知，身高在的频率为， 在的频率为， 在的频率为， 在的频率为， 由于，， 设这所学校的800名男生的身高中位数为m，则， 由，得， 所以这所学校800名男生身高的中位数为174.5cm； （3）样本身高在第六组的人数为4，设为a，b，c，d， 在第八组的人数为，设为A，B， 则从中随机抽取两名男生有：，，，，，，，，，，，，，，共15种情况， 当且仅当随机抽取的两名男生在同一组时，事件E发生，所以事件E包含的基本事件为，，，，，，共7种情况， 所以． 2.（23-24高一上·江西新余·期末）某中学为研究本校高三学生在市联考中的语文成绩，随机抽取了100位同学的语文成绩作为样本，得到以分组的样本频率分布直方图如图. (1)请估计本次联考该校语文成绩的中位数和平均数； (2)样本内语文分数在的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求选出的两名学生中恰有一人成绩在中的概率. 【答案】(1)中位数为，平均数为； (2). 【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出，再求出中位数和平均数即得. （2）求出在内抽的人数，再利用列举法结合古典概型概率公式求解即得. 【详解】（1）由频率分布直方图知，解得 语文成绩在的 频率依次为， 显然语文成绩的中位数落在，则， 解得，所以语文成绩的中位数为； 语文成绩的平均数为. （2）语文成绩在区间内的人数比为， 因此5名学生中分数在的学生应抽4名，记为，在的学生应抽1名，记为， 则所有抽取情况有，共10种， 恰有一人成绩在有，共4种， 所以这5名学生中随机选出2人，恰有一人成绩在中的概率为. 3.（23-24高一下·江西·期末）一中学为了解某次物理考试的成绩，随机抽取了50名学生的成绩，根据这50名学生的成绩（成绩均在之间），将样本数据分为6组：、、…、、，绘制成频率分布直方图（如图所示）. (1)求频率分布直方图中a的值，并估计这50名学生的物理成绩的平均数（同一组中的数据以该组数据所在区间中点的值作代表）； (2)在样本中，从成绩在内的学生中，随机抽取2人，求这2人成绩都在内的概率. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用频率分布直方图中各组频率之和等于1求出的值，再根据平均数计算公式计算即可； （2）先计算出内的人数，分别表示出随机试验和事件所含的样本点，利用古典概型概率公式计算即得. 【详解】（1）由频率分布直方图可得，，解得，； 这50名学生的物理成绩的平均数为：； （2）由频率分布直方图可知，成绩在内的学生有人， 其中内有2人，设为，内有3人，设为， “从成绩在内的学生中随机抽取2人”对应的样本空间为： ，而事件 “2人成绩都在内”=， 由古典概型概率公式可得，. 即这2人成绩都在内的概率为. 4.（2023-2024·江西抚州·期末）镇安大板栗又称中国甘栗､东方珍珠，以味道甜脆，甘美可口，老幼皆宜，营养丰富而著称于世.现从某板栗园里随机抽取部分板栗进行称重（单位：克），将得到的数据按分成五组，绘制的频率分布直方图如图所示. (1)请估计该板栗园的板栗质量的中位数； (2)现采用分层抽样的方法从质量在和内的板栗中抽取5颗，再从这5颗板栗中随机抽取2颗，求抽取到的2颗板栗中至少有1颗的质量在内的概率. 【答案】(1)57.5 (2). 【分析】（1）根据频率分布直方图可求判断板栗质量的中位数在内，然后设该板栗园的板栗质量的中位数为，列方程可求得结果； （2）根据分层抽样的定义结频率分布直方图可求出从质量在和内的板栗中所抽取的数量，然后利用列举法可求得答案. 【详解】（1）因为， 所以该板栗园的板栗质量的中位数在内. 设该板栗园的板栗质量的中位数为，则， 解得，即该板栗园的板栗质量的中位数约为57.5. （2）由题意可知采用分层抽样的方法从质量在内的板栗中抽取2颗，分别记为； 从质量在内的板栗中抽取颗，分别记为. 从这5颗板栗中随机抽取2颗的情况有，共10种， 其中符合条件的情况有，共7种， 故所求概率. 统计与相互独立事件综合 1. （23-24高一上·江西抚州·期末）2023年9月23日，中国农历象征收获的秋分时节，第19届亚洲运动会在浙江杭州隆重开幕．杭州基础设施全面升级、城市面貌焕然一新、民生服务格局大变．为了解杭州老百姓对城市基础设施升级工作满意度，从该地的A，B两地区分别随机调查了40户居民，根据大家对城市基础设施升级工作的满意度评分（单位：分），得到地区的居民满意度评分的频率分布直方图（如图）和地区的居民满意度评分的频数分布表（如表1）． 满意度评分 频数 2 8 14 10 6 表2 满意度评分 低于70分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 (1)根据居民满意度评分，将居民的满意度分为三个等级（如表2），估计哪个地区的居民满意度等级为不满意的可能性大，说明理由. (2)将频率看作概率，从A，B两地区居民中各随机抽查1户居民进行调查，求至少有一户居民评分满意度等级为“非常满意”的概率 【答案】(1)A地区居民的满意度等级为不满意的可能性更大，理由见解析 (2)0.1925 【分析】（1）根据频率和为1计算得到，分别计算两个地区的不满意频率，比较得到答案. （2）确定，，得到，计算得到答案. 【详解】（1），， 地区的居民满意度等级为不满意的频率为， 由表1可知地区的居民满意度等级为不满意的频率为， 故地区居民的满意度等级为不满意的可能性更大． （2）记事件表示“从地区随机抽取一户居民满意度评级为非常满意”， 则． 记事件表示“从地区随机抽取一户居民满意度评级为非常满意”， 则． 事件和事件相互独立，则事件和事件相互独立， ， 记事件表示“至少有一户居民评分满意度等级为非常满意”， 则. 2. （23-24高一上·江西上饶·期末）辽宁省数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)补全频率分布直方图，若只有的人能进决赛，入围分数应设为多少分（保留两位小数）； (2)采用分层随机抽样的方法从成绩为的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取2名学生进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90的概率； (3)进入决赛的同学需要再经过考试才能参加冬令营活动．考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考2门学科，每科笔试成绩从高到低依次有，A，B，C，D五个等级．若两科笔试成绩均为，则直接参加；若一科笔试成绩为，另一科笔试成绩不低于，则要参加第二轮面试，面试通过也将参加，否则均不能参加．现有甲、乙二人报名参加，二人互不影响．甲在每科笔试中取得，A，B，C，D的概率分别为，，，，；乙在每科笔试中取得，A，B，C，D的概率分别为，，，，；甲、乙在面试中通过的概率分别为，．求甲、乙能同时参加冬令营的概率． 【答案】(1)作图见解析，76.25分； (2)； (3). 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求解即可； （2）根据古典概型的概率计算公式求解即可； （3）根据独立事件的乘法公式求解即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可知的频率为 ， 所以组的纵轴为， 所以频率分布直方图如下所示： 又，， 所以第分位数位于，且， 所以入围分数应设为76.25分. （2）依题意从抽取人，标记为1,2,3,4； 从抽取，标记为，； 从6人中随机选2人其样本空间可记为 ， 共包含15个样本点，即有15种选法． 设事件A=“至少有1名学生成绩不低于90”， 则其中2人都是的样本空间可记为 ，共包含6个样本点，即有6种选法． 则； 所以至少有1名学生成绩不低于90的概率为. （3）依题意甲能参加冬令营的概率， 乙能参加冬令营的概率， 二人互不影响，所以甲、乙能同时参加冬令营的概率． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$