专题02 不等式（4大基础题+2大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（江西专用）

专题02 不等式 不等式的性质直接应用 1．（江西省部分学校2023-2024学年高一上学期1月期末教学质量检测）“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一上·江西萍乡·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 3. （23-24高一上·江西上饶·期末）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 4．（多选题）（23-24高一上·江西·期末）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 利用基本不等式求代数式的最值 1.（多选题）（23-24高一上·江西赣州·期末）已知正数，满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高一上·江西吉安·期末）设，，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 3. （23-24高一上·江西上饶·期末）已知x，y为正实数，且，则的最小值为（    ） A．24 B．25 C． D． 4.（23-24高一上·江西南昌·期末）已知，则的最小值是 ． 5．（23-24高一上·江西新余·期末）已知，则的最小值为 ． 基本不等式的实际应用 1. （23-24高二下·江西·期末）某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为750的矩形花园.图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹､郁金香､月季（其中区域的形状､大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. (1)用含有的代数式表示，并写出的取值范围； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 2．（23-24高一上·江西吉安·期末）狗牯脑茶是江西珍贵名茶之一，产于罗霄山脉南麓支脉，吉安市遂川县汤湖镇狗牯脑山，该山形似狗头，取名“狗牯脑”所产之茶即从名之．某茶叶种植户欲生产狗牯脑茶，经过市场调研，生产狗牯脑茶需投入年固定成本3万元，每生产x（）吨另需投入流动成本万元，已知在年产量不足12吨时，，在年产量不少于12吨时，，每千克狗牯脑茶售价140元，通过市场分析，该茶叶种植户的狗牯脑茶当年能全部售完． (1)写出年利润（单位：万元）关于年产量x（）（单位：吨）的函数解析式（年利润＝年销售收入－年固定成本－流动成本）； (2)年产量为多少吨时，该茶叶种植户在狗牯脑茶的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？ 3．（23-24高一上·江西上饶广丰·期末）国家主席习近平在2024年新年贺词中指出，“2023年，我们接续奋斗､砥砺前行，经历了风雨洗礼，看到了美丽风景，取得了沉甸甸的收获”“粮食生产“二十连丰，绿水青山成色更足，乡村振兴展现新气象”.某乡镇响应国家号召，计划修建如图所示的矩形花园，其占地面积为，花园四周修建通道，花园一边长为，且. (1)设花园及周边通道的总占地面积为，试求与的函数解析式； (2)当时，试求的最小值. 4．（江西省庐山市第一中学2023-2024学年高一上学期期末）某地政府指导本地建扶贫车间､搭建就业平台，帮助贫困群众实现精准脱贫，实现困难群众就地就近就业.已知扶贫车间生产某种产品的年固定成本为8万元，每生产()万件，该产品需另投入流动成本万元.在年产量不足6万件时，；在年产量不小于6万件时，.每件产品的售价为6元.由于该扶货车间利用了扶贫政策及企业产业链优势，因此该种产品能在当年全部售完. （1）写出年利润(万元)关于年产量(万件)的函数解析式； （2）当年产量为多少时，该扶贫车间的年利润最大？并求出最大年利润. 不含参数的一元二次不等式的解法 1. （23-24高一下·江西宜春·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D． 2. （江西省新余市2023-2024学年高一下学期期末质量检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江西·期末）若存在正实数满足，且使不等式有解，则实数的取值范围是 . 含参不等式与三个“二次”关系的应用 1. （多选题）（23-24高一上·江西上饶·期末） 若函数的图象与x轴的两个交点是，，则下列结论正确的是（    ） A． B．方程的两根是，1 C．不等式的解集是 D．不等式的解集是 2. （23-24高一上·江西萍乡·期末）已知关于x的一元二次不等式的解集为，则的最小值为 ． 3. （23-24高一上·江西上饶·期末）已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)求不等式的解集. 4. （23-24高一上·江西吉安·期末）已知关于的不等式. (1)若不等式的解集为，求实数、的值； (2)若，求此不等式的解集. 5. （23-24高一上·江西上饶婺源·期末）已知二次函数． (1)若关于的不等式的解集是，求实数，的值； (2)若，，解关于的不等式． 不等式恒成立与能成立 1. （23-24高二下·江西南昌·期末）“ ” 成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 2. （23-24高一上·江西抚州·期末）关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 . 3.（23-24高一上·江西抚州·期末）已知函数 (1)是否存在实数使得关于的不等式的解集为，若存在．求实数的值或取值范围，若不存在，请说明理由； (2)若关于的不等式的解集是，集合，若，求实数的取值范围. 4. （江西省南昌市第二中学2023-2024学年期末）设． (1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)解关于x的不等式． ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 不等式 不等式的性质直接应用 1．（江西省部分学校2023-2024学年高一上学期1月期末教学质量检测）“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等式的性质结合充分条件、必要条件的定义即可判断作答. 【详解】若且，根据不等式的性质知不等式成立， 若，如，，，而且不成立， 所以“且”是“”的充分不必要条件 故选：A. 2．（23-24高一上·江西萍乡·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】C 【分析】利用不等式的性质证明正确选项，举反例排除错误选项即可. 【详解】对于A，当时，无意义，故A错误， 对于B，当时，无意义，故B错误， 对于C，若且，则，，故C正确， 对于D，令，则，，显然，故D错误， 故选：C 3. （23-24高一上·江西上饶·期末）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】根据不等式的性质、特殊值对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，若，，如， 则，所以A选项错误. B选项，若，则，所以B选项错误. C选项，若，则， 所以由两边乘以得，所以C选项正确. D选项，若，， 则，所以D选项错误. 故选：C. 4．（多选题）（23-24高一上·江西·期末）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】对于AD，利用完全平方公式，结合指数幂的运算法则即可判断；对于BC，举反例即可判断. 【详解】对于A，因为恒成立， 所以恒成立，故A正确； 对于B，取，满足， 但，故B错误； 对于C，取，满足， 但，显然无意义，故C错误； 对于D，因为， 所以恒成立，故D正确. 故选：AD. 利用基本不等式求代数式的最值 1.（多选题）（23-24高一上·江西赣州·期末）已知正数，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由已知条件，结合基本不等式，判断各选项的结论是否正确. 【详解】，所有，当且仅当，等号成立，A选项正确； ，，当且仅当，等号成立，B选项错误； ，，当且仅当，等号成立，C选项正确； ，当且仅当，等号成立，D选项正确. 故选：ACD. 2．（多选题）（23-24高一上·江西吉安·期末）设，，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式及基本不等式“1”的妙用，逐项求解即得. 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，，当且仅当时取等号，B错误； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，当且仅当时取等号，D正确． 故选：ACD 【点睛】方法点睛：运用基本不等式求最值，要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧，使用其满足基本不等式的“一正”、“二定”、“三相等”的条件. 3. （23-24高一上·江西上饶·期末）已知x，y为正实数，且，则的最小值为（    ） A．24 B．25 C． D． 【答案】B 【分析】把变为，然后利用基本不等式中常数代换技巧求解最值即可. 【详解】因为x，y为正实数，且，所以 ， 当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为25. 故选：B 4.（23-24高一上·江西南昌·期末）已知，则的最小值是 ． 【答案】16 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】由题意得，解得， 等号成立当且仅当，所以的最小值是16. 故答案为：16. 5．（23-24高一上·江西新余·期末）已知，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】化为，分别求出，，根据已知条件确定，确定原式满足基本不等式成立的条件，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以有，所以，即； 因为，即；又因为所以， 所以， 当且仅当时，解得，又因为，所以， 时等号成立，所以的最小值为； 故答案为：. 基本不等式的实际应用 1. （23-24高二下·江西·期末）某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为750的矩形花园.图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹､郁金香､月季（其中区域的形状､大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. (1)用含有的代数式表示，并写出的取值范围； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 【答案】(1) (2)当时，才能使鲜花种植的总面积最大 【分析】（1）根据题意，设矩形花园的长为，由条件可得，即可得到结果； （2）由（1）中的结论可得鲜花种植的总面积为与矩形花园的一条边长的函数关系式，再由基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）设矩形花园的长为， 矩形花园的总面积为， ，可得， 又阴影部分是宽度为的小路， 可得，可得， 即关于的关系式为. （2）由（1）知，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 2．（23-24高一上·江西吉安·期末）狗牯脑茶是江西珍贵名茶之一，产于罗霄山脉南麓支脉，吉安市遂川县汤湖镇狗牯脑山，该山形似狗头，取名“狗牯脑”所产之茶即从名之．某茶叶种植户欲生产狗牯脑茶，经过市场调研，生产狗牯脑茶需投入年固定成本3万元，每生产x（）吨另需投入流动成本万元，已知在年产量不足12吨时，，在年产量不少于12吨时，，每千克狗牯脑茶售价140元，通过市场分析，该茶叶种植户的狗牯脑茶当年能全部售完． (1)写出年利润（单位：万元）关于年产量x（）（单位：吨）的函数解析式（年利润＝年销售收入－年固定成本－流动成本）； (2)年产量为多少吨时，该茶叶种植户在狗牯脑茶的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1) (2)当年产量为18吨时，该茶叶种植户在狗牯脑茶的生产中所获年利润最大，最大年利润是54万元 【分析】（1）根据给出的计算公式，分段写出函数解析式； （2）分段求函数的最大值，再进行比较. 【详解】（1）由题意知，1吨狗牯脑茶售价为14万元，当时，， 当时，， 故年利润（万元）关于年产量x（吨）的函数解析式为． （2）当时，，当时，取得最大值． 当时，． 当且仅当，即时取等号，即当时，取得最大值． ∵50＜54， ∴当年产量为18吨时，该茶叶种植户在狗牯脑茶的生产中所获年利润最大，最大年利润是54万元. 3．（23-24高一上·江西上饶广丰·期末）国家主席习近平在2024年新年贺词中指出，“2023年，我们接续奋斗､砥砺前行，经历了风雨洗礼，看到了美丽风景，取得了沉甸甸的收获”“粮食生产“二十连丰，绿水青山成色更足，乡村振兴展现新气象”.某乡镇响应国家号召，计划修建如图所示的矩形花园，其占地面积为，花园四周修建通道，花园一边长为，且. (1)设花园及周边通道的总占地面积为，试求与的函数解析式； (2)当时，试求的最小值. 【答案】(1) (2)答案详见解析 【分析】（1）根据矩形面积公式求得正确答案. （2）利用基本不等式或函数的单调性，以及对进行分类讨论来求得的最小值. 【详解】（1）花园的一边长为，面积为花园的另一边长为. . （2）由（1）得： ， 由得， 若，则，若，则， 当时，. 当且仅当时取等号，. 当时，函数在上单调递减， 当时，取得最小值，即. 综上得：当时，的最小值为； 当时，的最小值为. 4．（江西省庐山市第一中学2023-2024学年高一上学期期末）某地政府指导本地建扶贫车间､搭建就业平台，帮助贫困群众实现精准脱贫，实现困难群众就地就近就业.已知扶贫车间生产某种产品的年固定成本为8万元，每生产()万件，该产品需另投入流动成本万元.在年产量不足6万件时，；在年产量不小于6万件时，.每件产品的售价为6元.由于该扶货车间利用了扶贫政策及企业产业链优势，因此该种产品能在当年全部售完. （1）写出年利润(万元)关于年产量(万件)的函数解析式； （2）当年产量为多少时，该扶贫车间的年利润最大？并求出最大年利润. 【答案】（1）；（2）当年产量为9万件时，该扶贫车间的年利润最大，最大年利润为14万元. 【分析】（1）根据题意结合分段函数即可求解； （2）结合二次函数在固定区间上的最值以及均值不等式即可求出函数的最值. 【详解】解：（1）每件产品的售价为6元，则万件产品的销售收入为万元. 依题意得，当时，. 当时，. 所以. （2）当时，， 故当时，取得最大值4.5万元. 当时，， 当且仅当，即时，取得最大值14万元. 所以当年产量为9万件时，该扶贫车间的年利润最大，最大年利润为14万元. 不含参数的一元二次不等式的解法 1. （23-24高一下·江西宜春·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】直接解一元二次不等式可得答案. 【详解】原不等式即为，解得， 故原不等式的解集为. 故选：B. 2. （江西省新余市2023-2024学年高一下学期期末质量检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解不等式可得集合与，进而可得. 【详解】因为，， 所以， 故选：D. 3．（23-24高一上·江西·期末）若存在正实数满足，且使不等式有解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求得的最小值，再利用能成立问题得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】因为正实数满足， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 若不等式有解，则，解得或， 则实数m的取值范围是. 故答案为：. 含参不等式与三个“二次”关系的应用 1. （多选题）（23-24高一上·江西上饶·期末） 若函数的图象与x轴的两个交点是，，则下列结论正确的是（    ） A． B．方程的两根是，1 C．不等式的解集是 D．不等式的解集是 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，求出，再逐项判断即可得解. 【详解】依题意，方程的两根是，1，B正确； 显然，即，，A正确； 不等式，即的解集为或，C错误； 不等式，即的解集是，D正确. 故选：ABD 2. （23-24高一上·江西萍乡·期末）已知关于x的一元二次不等式的解集为，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】由题可得a，b是关于的一元二次方程的两个不同的实数根，由根与系数的关系可求出的值，进而可得，再由不等式“1”的代换即可求出答案. 【详解】因为区间是关于的一元二次不等式的解集， 则a，b是关于的一元二次方程的两个不同的实数根， 则有，，，， 所以，且a，b是两个不同的正数， 则有 ， 当且仅当时即，等号成立， 满足，故的最小值是. 故答案为： . 3. （23-24高一上·江西上饶·期末）已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由题意知道是函数的两个零点，由此即可求解. （2）首先因式分解二次式，进一步分类讨论即可求解. 【详解】（1）由题意若不等式的解集为，所以， 所以，解得. （2）由题意， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 综上所述，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为. 4. （23-24高一上·江西吉安·期末）已知关于的不等式. (1)若不等式的解集为，求实数、的值； (2)若，求此不等式的解集. 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）分析可知关于的方程的两根分别为、，利用韦达定理可求得实数、的值； （2）将原不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，利用二次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【详解】（1）解：由题意可知，关于的方程的两根分别为、，所以，， 由韦达定理可得，解得. （2）解：因为，原不等式即为. 当时，原不等式即为，解得； 当时，方程的两个根分别为、. ①当时，解不等式可得或； ②当时，若时，即，即时， 解不等式可得； 若时，即当时，原不等式即为，即，原不等式的解集为； 若时，即，即当时，解不等式可得. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. 5. （23-24高一上·江西上饶婺源·期末）已知二次函数． (1)若关于的不等式的解集是，求实数，的值； (2)若，，解关于的不等式． 【答案】(1)，； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据给定的解集，借助一元二次方程根与系数的关系列式计算即得. （2）分类讨论解一元二次不等式即得. 【详解】（1）由不等式的解集是， 得和是一元二次方程的两个实数根，且， 于是，解得，， 所以，. （2），不等式化为，即， 当，即时，解不等式，得或； 当，即时，不等式的解为； 当，即时，解不等式，得或， 所以当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 不等式恒成立与能成立 1. （23-24高二下·江西南昌·期末）“ ” 成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】先把已知化简为，再结合充分条件的定义得出条件即可. 【详解】因为所以恒成立， 因为，当取等号，所以， 因为，所以是的充分条件. 因为，所以是的充分条件， 又都不能推出，所以CD错误， 故选：AB. 2. （23-24高一上·江西抚州·期末）关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意将不等式转化为在能成立即可，再由二次函数性质求出即可得的取值范围是. 【详解】由不等式以及可得， 依题意可知即可， 令， 又，由可得， 利用二次函数性质可知，即可得； 即实数的取值范围是. 故答案为： 3.（23-24高一上·江西抚州·期末）已知函数 (1)是否存在实数使得关于的不等式的解集为，若存在．求实数的值或取值范围，若不存在，请说明理由； (2)若关于的不等式的解集是，集合，若，求实数的取值范围. 【答案】(1)存在 (2) 【分析】（1）设在恒成立，可得时不满足，当时，结合二次函数的开口方向、判别式可得答案； （2）由题意可设在上恒成立，分、、讨论，结合一元二次不等式恒成立可得答案． 【详解】（1）设在恒成立， 显然当，即时不满足在上恒成立； 当时， ， 综上，存在使得的解集为； （2）由题意可设在上恒成立， 当，即时，，满足在上恒成立； 当，即时， 在上恒成立； ，； 当，即时，可得，， 综上． 4. （江西省南昌市第二中学2023-2024学年期末）设． (1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）由题设对一切实数x恒成立，讨论参数m，结合一元二次不等式在实数集上恒成立列不等式组求范围即可. （2）讨论、，结合一元二次不等式的解法求解集. 【详解】（1）由题设，即对一切实数x恒成立， 当时，不恒成立； 当时，只需，可得； 综上，. （2）当时，，即，可得；解集为； 当时，， 若，则， 若，即时，可得或，解集为； 若，即时，可得，解集为； 若，即时，可得或，解集为； 若，则，可得，解集为. 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