专题训练：幂函数的综合复习题-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（北师大版2019必修第一册）

幂函数的综合复习题 题型一：幂函数的概念及求值 1．“”是“幂函数是幂函数”的一个（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义可得或，即可根据子集关系求解. 【详解】若为幂函数，则，解得或， 由于， 故“”是“幂函数是幂函数”的一个充分不必要条件， 故选：A 2．已知幂函数的图象经过点，则＝（    ） A． B．9 C． D． 【答案】D 【分析】求出幂函数的解析式，再代入求值. 【详解】设，由的图象经过点，得，解得，即， 所以. 故选：D 3．已知幂函数的图象经过点，则的值等于（   ） A．16 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】设幂函数为，再将代入，求出函数的解析式，即可得答案. 【详解】设幂函数为， 因为幂函数的图象经过点， 将点代入得：， 所以，则， 所以. 故选：A. 4．已知幂函数满足，求的值（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】设幂函数的一般式，代入题干即可求解. 【详解】设幂函数的解析式为，，所以. 故选：D 5．若幂函数的图象关于原点对称，则（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】利用幂函数概念可知系数为1，再检验是否为奇函数即可. 【详解】因为是幂函数，所以，解得或, 当时，的图象关于原点对称，符合题意； 当时，的图象关于轴对称，不符合题意. 故选：D. 6．已知为幂函数，则（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】根据幂函数求出参数，即可得解. 【详解】因为是幂函数，所以，得， 则，． 故选：C 7．已知点在幂函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由幂函数的定义求出，代入点坐标求出，即可求解. 【详解】由是幂函数知，得，故在的图象上，即，得，所以. 故选：B. 题型二：幂函数的定义域 8．若幂函数的图象过点，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据幂函数的图象过点求出的值，即可求出的定义域，再根据抽象函数的定义域计算规则得到，解得即可. 【详解】设，依题意可得，解得，所以， 所以的定义域为，值域为，且， 对于函数，则，解得， 即函数的定义域是. 故选：B 9．已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据题意设出解析式，求出解析式后求解具体函数定义域即可. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，解得，故，则， 故，解得 故选：B 10．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求使函数有意义的的取值范围可得答案. 【详解】由已知解得，所以f(x)的定义域为． 故选：B． 11．已知集合是函数的定义域，是函数的定义域，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的定义域求出集合，，由此能求出． 【详解】解：集合是函数的定义域， 则， 是函数的定义域， 则， ，． 故选：D． 12．设函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出函数的定义为，，再由，解出的取值范围，即为函数的定义域． 【详解】解：由，解得，所以，函数的定义域为，， 对于函数，则有，解得， 因此，函数的定义域为，. 故选：B． 13．若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为 ． 【答案】1 【分析】根据已知条件列出约束式即可求解. 【详解】若幂函数（为整数）的定义域为，则，解得， 而是整数，则只能，经检验符合题意. 故答案为：1 14．已知幂函数的图象过点，则的定义域为 ． 【答案】 【分析】首先求幂函数的解析式，再求函数的定义域，根据复合函数的形式，求函数的定义域. 【详解】∵的图象过点，∴，，应该满足：，即，∴的定义域为． 故答案为： 题型三：幂函数的值域问题 15．已知是幂函数，则“是正偶数”是“的值域为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用幂函数的性质结合充分、必要条件的定义判定即可. 【详解】当是正偶数时，显然，即其值域为． 当时，的值域为，但不是正偶数． 故“是正偶数”是“的值域为”的充分不必要条件． 故选：A 16．已知定义在上的幂函数同时满足以下条件：①，②，③，.则可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，将各个选项依次代入验证排除得到答案. 【详解】由①得函数是定义域D上的增函数，排除C，D；由②可得值域为，排除B； 对于A选项，是定义在上的增函数，且， 对于，，，， ， 成立，故A正确. 故选：A. 17．下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出各个函数的定义域和值域，比较后可得答案． 【详解】函数的定义域和值域均为， 函数的定义域和值域均为R，不满足要求； 函数的定义域为，值域为R，不满足要求； 函数的定义域为R，值域为，不满足要求； 函数的定义域和值域均为，满足要求； 故选：D． 18．已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出分段函数在各段上的函数值集合，再根据给定值域，列出不等式求解作答. 【详解】函数在上单调递减，其函数值集合为， 当时，的取值集合为，的值域，不符合题意， 当时，函数在上单调递减，其函数值集合为， 因函数的值域为，则有，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D 19．已知幂函数在上单调递增，函数时，总存在使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数，利用函数单调性求最值或值域． 【详解】由已知，得或．当时，，当时，． 又在单调递增，， 在上的值域为在上的值域为， 因为函数时，总存在使得， 是的子集， ，即． 故选：B． 20．幂函数，，则下列结论正确的有（    ）. A． B．函数在定义域内单调递减 C． D．函数的值域为 【答案】AD 【分析】根据幂函数的性质可得，进而可得，由幂函数的性质即可结合选项逐一求解. 【详解】由为幂函数可得，解得或， 又，所以.所以，故A正确； 因为函数的定义域为，关于原点对称， 由，知函数为偶函数， 由于，故在区间上单调递减， 根据偶函数性质知在区间上单调递增，故B错误； ，故C错误； 因为的定义域为，则，所以的值域为，故D正确. 故选：AD. 21．已知函数的表达式为，则函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据幂函数和对数函数的单调性即可得到函数值域. 【详解】当，，此时单调递增，则， 当，，此时单调递增，则， 综上，函数的值域为. 故答案为：. 22．函数的值域为 . 【答案】 【分析】分和两种情况，结合幂函数以及指数函数单调性求值域. 【详解】解：当时，单调递减，所以函数的值域为， 当时，单调递增，所以函数的值域为， 综上所述，函数的值域为. 故答案为： 23．已知幂函数在上单调递减，函数，对任意，总存在使得，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据函数为幂函数及其单调性可求得的值，求出函数在上的值域，以及函数在上的值域，根据已知条件可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】因为函数是幂函数，则，， 在上单调递减，则，可得， ，在上的值域为， 在上的值域为， 根据题意有，的范围为. 故答案为：. 24．已知，，若对，，，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据，，，由求解. 【详解】因为对，，， 所以只需即可， 因为，， 所以，， 由， 解得 故答案为：. 【点睛】本题主要考查不等式恒能成立问题以及函数的最值的求法，属于中档题. 25．已知幂函数，且在区间内函数图象是上升的． （1）求实数k的值； （2）若存在实数a，b使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，求实数a，b的值． 【答案】（1）2；（2）a＝0，b＝1． 【分析】（1）根据幂函数的定义先求出的可能值，再根据幂函数的单调性判断正确的值； （2）根据函数的单调性即可判断的取值情况，列出式子即可求解. 【详解】（1）为幂函数， ∴，解得或， 又在区间内的函数图象是上升的， ， ∴k＝2； （2）∵存在实数a，b使得函数在区间上的值域为，且， ∴，即， ，∴a＝0，b＝1． 【点睛】本题考查幂函数的定义和单调性的运用，考查函数最值的求法，是一道基础题. 题型四：幂函数的单调性问题 26．已知函数，若正实数a，b满足，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据单调性和奇偶性得到，根据基本不等式“1”的妙用求解最小值， 【详解】的定义域为R，且， 所以函数是奇函数，又在R上单调递增， 由，得， 则，即， 而， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是． 故选：B． 27．“”是“幂函数在上是减函数”的一个（） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由幂函数在上是减函数,可得，由此求出的值，由充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】由题意，当时，在上是减函数，故充分性成立； 若幂函数在上是减函数， 则，解得或，故必要性不成立， 因此""是"幂函数在上是减函数"的一个充分不必要条件. 故选：B 28．已知函数是幂函数，且在上单调递减，则实数的值为（   ） A．2 B． C．4 D．2或 【答案】A 【分析】运用幂函数定义，结合单调性可解. 【详解】由幂函数定义知，解得或， 当时，，则在上为常数函数，不符合题意； 当时，，则，在上单调递减，符合题意. 故. 故选：A. 29．已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（    ） A．或1 B．或2 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义和性质求解即可. 【详解】因为幂函数在上单调递减， 所以，解得. 故选：C. 30．已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由在上单调递增可得，由在上单调递增可得即可. 【详解】因为在上单调递增，所以，即， 因为， 又因为在上单调递增，所以，， 所以. 故选：A. 31．已知函数，其中，则之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数、幂函数、对数函数的单调性可得的大小，再判断出的单调性可得答案. 【详解】因为， 所以， ， 因为是上的单调递减函数， 是上的单调递增函数， 所以是上的单调递减函数， 所以. 故选：B. 32．已知定义在上的函数，若，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数和幂函数单调性得的单调性，再比较出即可. 【详解】因为均是在上的单调增函数， 则在上也单调递增， 因为，，即，， 则，则，即， 故选：A. 33．不等式 的解集为 ． 【答案】 【分析】由的单调性得到不等式，求出答案. 【详解】因为在上单调递增，， 所以，解得. 故答案为： 34．已知幂函数在区间上是严格增函数，则 . 【答案】 【分析】根据幂函数的定义及性质得到方程（不等式）组，解得即可. 【详解】因为幂函数在区间上是严格增函数， 所以，解得. 故答案为： 35．若幂函数在区间上单调递减，则 . 【答案】 【分析】根据幂函数的定义求出值，再根据在上单调递减求值即可. 【详解】因为为幂函数，所以；解得或， 又因为在上递减，所以，故. 故答案为： 36．已知幂函数的图像关于轴对称，且在上单调递增. (1)求的值及函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）由幂函数的单调性求得,由，通过检验即可求解； （2）由已知得，两边平方，即可求解实数的取值范围． 【详解】（1）由幂函数在上单调递增知, ,解得, 又,则. 当或时，，不符合的图像关于轴对称，故舍去. 当时，，图像关于轴对称，符合题意. 综上所述，. （2）由（1）得，为偶函数，且在上单调递增， 因为,所以, 两边平方，得, 化简得，解得或， 故实数的取值范围为. 37．已知函数，若实数m，n满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造，利用函数单调性与奇偶性的定义与判断得的性质，从而得到，再利用配凑法与基本不等式即可得解. 【详解】令，则的定义域为，， 又，所以为奇函数， 又，都在上单调递增，所以在上单调递增， 又，所以， 所以，则，即， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：B. 38．设，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造指数函数和幂函数，通过指数函数和幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】由题意， 对于，构造函数，函数在单调递增， 即 对于，构造函数，函数在单调递减， 即， 对于，构造函数，函数在单调递减， 即， 所以. 故选：B. 39．已知函数，记，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定函数的奇偶性与单调性，利用奇偶性转化，结合对数函数与指数函数性质比较大小,再利用单调性得结论． 【详解】是偶函数，在上是增函数， ， ，， 即，所以，即， 故选：B． 题型五：幂函数的奇偶性性问题 40．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，则满足的a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件知，，可得m＝1．再利用函数的单调性，分类讨论可解不等式. 【详解】幂函数在上单调递减，故，解得．又，故m＝1或2． 当m＝1时，的图象关于y轴对称，满足题意； 当m＝2时，的图象不关于y轴对称，舍去，故m＝1． 不等式化为， 函数在和上单调递减， 故或或，解得或． 故应选：D． 41．已知函数是幂函数，对任意，，且，满足.若，，且的值为负值，则下列结论可能成立的有（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BC 【解析】首先根据函数是幂函数，求得的两个值，然后根据题意判断函数在上是增函数，确定的具体值，再结合函数的奇偶性可判断得正确选项. 【详解】由于函数为幂函数，故，即，解得.当时，，当时，.由于“对任意，且，满足”知，函数在上为增函数，故. 易见，故函数是单调递增的奇函数. 由于，即，得，所以，此时，若当时，，故；当时，，故，故；当时，由知，，故或或，即或或. 综上可知，，且或或. 故选：BC. 【点睛】本题解题关键是熟知幂函数定义和性质突破参数m，再综合应用奇偶性和单调性的性质确定和的符号情况. 42．已知幂函数的图象关于轴对称且在上单调递减，则满足的的取值范围 . 【答案】或 【分析】根据题意，先得到，将所求不等式化为，结合幂函数的单调性转化为自变量的不等式（组），解得即可. 【详解】因为幂函数在上单调递减， 所以，解得. 又因为，所以或； 因为幂函数的图象关于轴对称， 所以为偶数，故. 不等式可化为， 因为在，上单调递减， 所以或或， 解得或. 故的取值范围是或. 故答案为：或. 43．已知幂函数的图象不过原点，且关于轴对称，则（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据幂函数定义得到方程，解出，最后验证即可. 【详解】由题意得，，解得或． 当时，，满足题意； 当时，，其图象关于原点中心对称，不满足题意． 故选：A． 44．若幂函数的图象不过原点，且关于原点对称，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义和性质即可求解. 【详解】由幂函数的定义，得，解得或. 若，则，其图象不关于原点对称，不符合题意，舍去； 若，则，其图象不过原点，且关于原点对称，符合题意. 故选：A 45．已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义与奇偶性求出的值，可得出函数的解析式，再利用二次函数的单调性可得出关于实数的不等式，从而得解. 【详解】因为幂函数是上的偶函数， 则，解得或， 当时，，该函数是定义域为的奇函数，不合乎题意； 当时，，该函数是定义域为的偶函数，合乎题意. 所以，则，其对称轴方程为， 因为在区间上单调递减，则，解得. 故选：C． 46．“幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】要使函数是幂函数，且在上为增函数，求出，可得函数为奇函数，即充分性成立；函数为奇函数，求出，故必要性不成立，可得答案. 【详解】要使函数是幂函数，且在上为增函数， 则，解得：，当时，，， 则，所以函数为奇函数，即充分性成立； “函数为奇函数”， 则，即， 解得：，故必要性不成立， 故选：A． 47．已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（    ） A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数 B．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数 C．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数 D．时，幂函数在上是减函数 【答案】AC 【分析】根据幂函数中结论一一分析即可. 【详解】 对A，当m，n是奇数时，的定义域为，关于原点对称， ，则幂函数是奇函数，故A中的结论正确； 对B，当m是偶数，n是奇数，幂函数在时无意义，故B中的结论错误； 对C，当m是奇数，n是偶数时，的定义域为，关于原点对称， ，则幂函数是偶函数，故C中的结论正确； 对D，时，幂函数在上是增函数，故D中的结论错误； 故选：AC. 48．已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（    ） A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数 B．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数 C．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数 D．时，幂函数在上是减函数 E．m，n是奇数时，幂函数的定义域为 【答案】ACE 【解析】将函数还原成根式形式：，分别讨论m，n是奇数偶数的时候辨析函数的奇偶性和单调性. 【详解】， 当m，n是奇数时，幂函数是奇函数，故A中的结论正确； 当m是偶数，n是奇数，幂函数/在时无意义，故B中的结论错误 当m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数，故C中的结论正确； 时，幂函数在上是增函数，故D中的结论错误； 当m，n是奇数时，幂函数在上恒有意义，故E中的结论正确. 故选：ACE. 【点睛】此题考查幂函数的奇偶性和单调性的辨析，关键在于准确掌握幂函数的指数变化对第一象限的图象的影响，利用m，n是奇数偶数的变化讨论函数的奇偶性. 49．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据幂函数的单调性和奇偶性得到，代入不等式得到，根据函数的单调性解得答案. 【详解】幂函数在上单调递减，故，解得. ，故，，. 当时 ，不关于轴对称，舍去； 当时 ，关于轴对称，满足； 当时 ，不关于轴对称，舍去； 故，，函数在和上单调递减， 故或或，解得或. 故答案为： 50．已知幂函数为偶函数，且在区间上单调递减. （1）求函数的解析式； （2）讨论的奇偶性.（直接给出结论，不需证明） 【答案】（1）（2）见解析 【解析】(1)由幂函数在上单调递减,可推出(),再结合为偶函数,即可确定,得出结论; (2)将代入,即可得到,再依次讨论参数是否为0的情况即可. 【详解】(1)∵幂函数在区间上是单调递减函数, ∴,解得, ∵,∴或或. ∵函数为偶函数, ∴, ∴; (2), 当时,既是奇函数又是偶函数; 当,时,是奇函数; 当,时,是偶函数; 当,时,是非偶非偶函数. 【点睛】本题主要考查了幂函数单调性与奇偶性的综合应用,学生需要熟练掌握好其定义并灵活应用. 51．已知幂函数的图象关于原点对称． (1)求实数m的值； (2)设，（且），若不等式对任意恒成立，求t的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据幂函数定义得到方程，求出或2，由奇偶性舍去不合要求的解； （2）方法一：换元后得到，分和两种情况，变形后，结合对勾函数的单调性，求出答案；方法二：换元后得到，分和两种情况，结合二次函数的对称轴和最值，得到不等式，求出答案. 【详解】（1）由幂函数的定义可知，所以或2， 当时，为偶函数，不关于原点对称，舍去， 当时，关于原点对称， 所以； （2）方法一：由（1）得，， 令，，，记， 若函数在上恒成立， ①若时，则函数，即恒成立， 令，， 由对勾函数性质得在上单调递增，故， 则，所以，故． ②若时，则需在恒成立， 所以，，由对勾函数性质可得，故． 综上所述：函数在上恒成立时． 方法二：由（1）得，， 令，，，记， 若函数在上恒成立， ①若时，则函数， 由于对称轴，函数在区间上为增函数， 恒成立，所以，故符合题意． ②若时，则需在恒成立， 则：或， 或，解得， 综上所述：函数在上恒成立．则． 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法： 一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件； 二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论； 三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 题型六：幂函数有关新定义 52．若函数对，同时满足：（1）当时有；（2）当时有，则称为函数．下列函数中是函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据题意可知，函数是定义在上单调递增的奇函数，即可判断求出． 【详解】由条件（1）可知，对，都有，故是奇函数， 由条件（2）可知，当时，，故是增函数， 对于，是奇函数也是增函数，故A符合； 对于，， 又，是奇函数也是增函数，故B符合； 对于，，,是奇函数，但不是增函数，故C不符合； 对于，当时，，而当时，，故在定义域上不是增函数，不满足条件（2）, 故D不符合；． 故选：AB． 53．若函数在区间上的值域为，则称为函数的“保值区间”，下列说法正确的是（    ） A．函数存在保值区间 B．函数存在保值区间 C．若一次函数存在保值区间，则或 D．若函数存在保值区间，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【分析】利用二次函数、反比例函数、一次函数等幂函数的图象与性质结合新定义一一判定选项即可. 【详解】对于A，函数在区间上的值域为，故函数存在保值区间，A正确； 对于B，当时，；当时，， 故函数不存在保值区间，B错误； 对于C，当时，若函数存在保值区间，则有，解得； 当时，若函数存在保值区间，则有 解得，所以或，C正确； 对于D，函数在上单调递增， 若函数存在保值区间，则有 即关于的方程有两个不相等的实数根， 令，则，所以， 结合二次函数的图象可知，，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】思路点睛：所谓“保值区间”可通过判定该函数的单调性，分类讨论代入定义域端点建立方程组计算求解即可. 54．若闭区间满足：①函数在上单调；②函数在上的值域为，，则称区间为函数的次方膨胀区间. 函数的2次方膨胀区间为 ；若函数存在4次方膨胀区间，则的取值范围是 . 【答案】 且， 【分析】根据的单调性，结合2次方膨胀区间的定义即可列方程求解空1，根据二次函数的单调性，分类讨论，结合4次方膨胀区间的定义，由二次方程根的分布即可求解空2. 【详解】设函数的2次方膨胀区间为， 由于函数为上的单调递增函数， 所以且，由于，解得， 故的2次方膨胀区间为， 由于为开口向上的二次函数，且对称轴为， 设存在4次方膨胀区为， 若，则为上的单调递减函数， 所以且， 相减可得，这与矛盾，故不符合题意舍去， 若，则为上的单调递增函数， 所以且， 因此是方程的两个不相等非负实数根， 令，则有两个不相等非负实数根， 记， 所以，解得且， 故答案为：，且， 【点睛】思路点睛：主要是利用函数满足的两个条件①和②，利用条件①，根据函数的单调性即可求解函数的值域，根据条件②列出满足的方程，结合二次方程根的分布，即可找到求解途径. 55．已知函数的定义域为，若最多存在个实数，，，，，使得，，则称函数为“级函数”. (1)函数①，②是否为“级函数”，如果是，求出的值，如果不是，请说明理由； (2)若函数，求的值； (3)若函数，求，的取值范围.（用表示） 【答案】(1)为“级函数”，且；不为“级函数”，理由见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据幂函数和反比例函数的性质，结合“级函数”的定义求解； （2）由，分和求解； （3）由，分，则，，则求解. 【详解】（1）①函数为偶函数，图象关于轴对称，且在上递增，在上递减， 所以为“级函数”，且； ②在上递减，且此时； 在上递减，且此时；所以不为“级函数”. （2），的图象关于直线轴对称， 当时，，； 当时，，. （3），易得， ①当，时，，即， 所以，令， 当时，在递增，在递增， 所以； 当时，在递增，在递增，在递减， 所以； 当时，在递减，在递增，在递增， 在递减， 所以； ②当，时，，即， 所以，令， 对称轴是， 在上递减，所以， 因为：； 故：当时，的取值范围为， 当时，的取值范围为， 当时，的取值范围为. 【点睛】思路点睛：本题第三问，由，根据断点和二次函数的对称轴，分当时，由，得到，利用对勾函数的性质求解；当，时，由，得到，从而，利用二次函数的性质而得解. 56．已知幂函数是其定义域上的增函数． (1)求函数的解析式； (2)若函数，，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (3)若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在 (3) 【分析】（1）因为是幂函数，所以； （2）考虑函数中x的次数，换元成二次函数解题； （3）因为在定义域范围内为减函数，故有，相减后得，进而，换元成二次函数解题. 【详解】（1）因为是幂函数，所以， 解得或 当时，，在为减函数，当时，， 在为增函数，所以. （2），令，因为，所以， 则令，，对称轴为． ①当，即时，函数在为增函数， ，解得． ②当，即时，， 解得，不符合题意，舍去． 当，即时，函数在为减函数，， 解得．不符合题意，舍去． 综上所述：存在使得的最小值为. （3），则在定义域范围内为减函数， 若存在实数，使函数在上的值域为， 则， ②-①得：， 所以， 即③． 将③代入②得：． 令，因为，，所以． 所以，在区间单调递减， 所以 故存在实数，使函数在上的值域为， 实数的取值范围且为． 57．若函数满足：存在整数，使得关于的不等式的解集恰为（），则称函数为函数. (1)若函数为函数，请直接写出（不要过程）； (2)判断函数是否为函数，并说明理由； (3)是否存在实数使得函数为函数，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不是，理由见解析 (3)存在， 【分析】（1）结合函数的定义列方程、不等式，由此求得的值. （2）结合函数的定义以及反证法进行判断. （3）结合函数的定义列方程、不等式，由此求得的值，从而确定正确答案. 【详解】（1）函数为二次函数，对称轴为，开口向上， 若函数为函数，则， 所以，解得. （2）函数不是P函数，理由如下： 在上递减， 因为m，n为整数，由题意可知，即， 令，即，解得， 假设函数为P函数， 则，即，与已知矛盾，所以不存在这样的m，n， 所以函数不是P函数； （3）函数为二次函数，对称轴为，开口向上， 因为关于x的不等式的解集恰为 所以，即 将①代入③得，， 又m，n为整数，，所以，解得，此时，满足题意， 综上所述，存在实数使得函数为P函数. 【点睛】对于函数新定义的题目，解题的关键点在于将“新定义”的问题转化为所学过的知识进行求解.本题中，第（1）（3）两问是二次函数，函数图象有对称性；第（2）问是单调函数.这两种情况列式不一样，但也是围绕 “新定义”去列式. 58．设函数的定义域为D，如果存在，使得在上的值域也为，则称为“A佳”函数．已知幂函数在内是单调增函数． (1)求函数的解析式； (2)若函数，当的最小值是0时，求m的值； (3)若函数，且是“A佳”函数，试求出实数n的取值范围． 【答案】(1)； (2)-1； (3) 【分析】（1）由幂函数的定义及性质即可求解的值； （2）求得，，，令，则函数转化为则，，，对分类讨论，求出最小值，即可求得的值； （3）在，上单调递减，由“佳”函数的概念可得，利用换元法可求得，再利用换元法及二次函数的性质即可求解的取值范围． 【详解】（1）（1）因为幂函数在内是单调增函数， 所以，解得， 所以函数的解析式为． （2），，， 令，则，，则，，， 当，即时，的最小值为（1）， 所以，解得； 当，即时，的最小值为， 所以，解得（舍； 当，即时，的最小值为（2）， 所以，解得（舍． 综上，的值为． （3），，则在，上单调递减， 因为是“佳”函数， 所以， 令，， 则，，所以， 所以， 所以， 因为，所以，所以，， 所以，代入， 得， 因为，所以，得， 令，，， 所以，该函数在，上单调递减， 所以， 所以实数的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：关于函数新定义问题，一般需要理解定义的内容，根据定义直接处理比较简单问题，加深对新定义的理解，本题中，需要根据是“A佳”函数，及函数的单调性转化为，换元后求出的关系，利用函数值域求解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 幂函数的综合复习题 题型一：幂函数的概念及求值 1．“”是“幂函数是幂函数”的一个（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 2．已知幂函数的图象经过点，则＝（    ） A． B．9 C． D． 3．已知幂函数的图象经过点，则的值等于（   ） A．16 B． C．2 D． 4．已知幂函数满足，求的值（   ） A．3 B． C．4 D． 5．若幂函数的图象关于原点对称，则（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 6．已知为幂函数，则（    ） A． B． C．4 D． 7．已知点在幂函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 题型二：幂函数的定义域 8．若幂函数的图象过点，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 9．已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 10．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 11．已知集合是函数的定义域，是函数的定义域，则（    ） A． B． C． D． 12．设函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 13．若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为 ． 14．已知幂函数的图象过点，则的定义域为 ． 题型三：幂函数的值域问题 15．已知是幂函数，则“是正偶数”是“的值域为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 16．已知定义在上的幂函数同时满足以下条件：①，②，③，.则可能为（　　） A． B． C． D． 17．下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（    ） A． B． C． D． 18．已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 19．已知幂函数在上单调递增，函数时，总存在使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（多选）幂函数，，则下列结论正确的有（    ）. A． B．函数在定义域内单调递减 C． D．函数的值域为 21．已知函数的表达式为，则函数的值域为 . 22．函数的值域为 . 23．已知幂函数在上单调递减，函数，对任意，总存在使得，则的取值范围为 . 24．已知，，若对，，，则实数的取值范围是 . 25．已知幂函数，且在区间内函数图象是上升的． （1）求实数k的值； （2）若存在实数a，b使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，求实数a，b的值． 题型四：幂函数的单调性问题 26．已知函数，若正实数a，b满足，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 27．“”是“幂函数在上是减函数”的一个（） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 28．已知函数是幂函数，且在上单调递减，则实数的值为（   ） A．2 B． C．4 D．2或 29．已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（    ） A．或1 B．或2 C．1 D． 30．已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 31．已知函数，其中，则之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 32．已知定义在上的函数，若，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 33．不等式 的解集为 ． 34．已知幂函数在区间上是严格增函数，则 . 35．若幂函数在区间上单调递减，则 . 36．已知幂函数的图像关于轴对称，且在上单调递增. (1)求的值及函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 37．已知函数，若实数m，n满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 38．设，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 39．已知函数，记，，，则（   ） A． B． C． D． 题型五：幂函数的奇偶性性问题 40．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，则满足的a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 41．已知函数是幂函数，对任意，，且，满足.若，，且的值为负值，则下列结论可能成立的有（    ） A．， B．， C．， D．， 42．已知幂函数的图象关于轴对称且在上单调递减，则满足的的取值范围 . 43．已知幂函数的图象不过原点，且关于轴对称，则（   ） A． B． C．或 D． 44．若幂函数的图象不过原点，且关于原点对称，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 45．已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 46．“幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 47．已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（    ） A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数 B．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数 C．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数 D．时，幂函数在上是减函数 48．已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（    ） A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数 B．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数 C．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数 D．时，幂函数在上是减函数 E．m，n是奇数时，幂函数的定义域为 49．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为 . 50．已知幂函数为偶函数，且在区间上单调递减. （1）求函数的解析式； （2）讨论的奇偶性.（直接给出结论，不需证明） 51．已知幂函数的图象关于原点对称． (1)求实数m的值； (2)设，（且），若不等式对任意恒成立，求t的取值范围． 题型六：幂函数有关新定义 52．若函数对，同时满足：（1）当时有；（2）当时有，则称为函数．下列函数中是函数的为（   ） A． B． C． D． 53．若函数在区间上的值域为，则称为函数的“保值区间”，下列说法正确的是（    ） A．函数存在保值区间 B．函数存在保值区间 C．若一次函数存在保值区间，则或 D．若函数存在保值区间，则实数的取值范围为 54．若闭区间满足：①函数在上单调；②函数在上的值域为，，则称区间为函数的次方膨胀区间. 函数的2次方膨胀区间为 ；若函数存在4次方膨胀区间，则的取值范围是 . 55．已知函数的定义域为，若最多存在个实数，，，，，使得，，则称函数为“级函数”. (1)函数①，②是否为“级函数”，如果是，求出的值，如果不是，请说明理由； (2)若函数，求的值； (3)若函数，求，的取值范围.（用表示） 56．已知幂函数是其定义域上的增函数． (1)求函数的解析式； (2)若函数，，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (3)若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由． 57．若函数满足：存在整数，使得关于的不等式的解集恰为（），则称函数为函数. (1)若函数为函数，请直接写出（不要过程）； (2)判断函数是否为函数，并说明理由； (3)是否存在实数使得函数为函数，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 58．设函数的定义域为D，如果存在，使得在上的值域也为，则称为“A佳”函数．已知幂函数在内是单调增函数． (1)求函数的解析式； (2)若函数，当的最小值是0时，求m的值； (3)若函数，且是“A佳”函数，试求出实数n的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$