第25讲 矩形、菱形（课件PPT）-【中考总动员】2024年中考数学讲义（泸州专用）

第25讲　矩形、菱形 2024泸州数学 目 录 1 素养储备 2 素养积累 3 素养提升 4 素养发展 1 素养储备 矩形、菱形 矩形 菱形 返回首页 第25讲　矩形、菱形 首页 总目录 有一个角是直角的平行四边形是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形 对角线①__________的平行四边形是矩形 矩形 判定 相等 性质 具有平行四边形所有性质 四个角都是②__________ 对角线互相平分且③__________ 既是轴对称图形，又是中心对称图形 面积：S＝ab 直角 相等 返回首页 第25讲　矩形、菱形 首页 总目录 判定有一组④__________相等的平行四边形是菱形 ⑤__________边相等的四边形是菱形 对角线⑥__________的平行四边形是菱形 菱形 判定 性质 邻边 四条 互相垂直 具有平行四边形所有性质 对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一 组对角既是轴对称图形，又是中心对称图形 返回首页 第25讲　矩形、菱形 首页 总目录 2 素养积累 矩形 核心知识 1 D 1. 如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时，∠AED的大小为(　　) A.27° B.53° C.57° D.63° 例 1 实物模型 [解析] 延长DC交水平面于点H. ∵∠BCH＝90°，∠CBH＝27°， ∴∠BHC＝63°.∵AE∥BH， ∴∠AED＝∠BHC＝63°.故选D. 返回首页 第25讲　矩形、菱形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 2.(2023·上海)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD.下列说法能使四边形ABCD为矩形的是(　　) A.AB∥CD B.AD＝BC C.∠A＝∠B D.∠A＝∠D C 返回首页 第25讲　矩形、菱形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 3.如图，四边形ABCD是矩形，AB＝2，AD＝4，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝CF，连接BD，EF. (1)求证：四边形BFDE是平行四边形； [解答] 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，AD∥BC. ∵AE＝CF，∴DE＝BF，DE∥BF. ∴四边形BFDE是平行四边形. 返回首页 第25讲　矩形、菱形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 (2)若EF⊥BD，求AE的长度. 返回首页 第25讲　矩形、菱形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 4.(2023·新疆)如图，AD和BC相交于点O，∠ABO＝∠DCO＝90°， OB＝OC，点E，F分别是AO，DO的中点. (1)求证：OE＝OF； 返回首页 第25讲　矩形、菱形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 (2)当∠A＝30°时，求证：四边形BECF是矩形. 返回首页 第25讲　矩形、菱形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 　　 1.要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是(　　) A.测量两条对角线是否相等 B.度量两个角是否是90° C.测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等 D.测量两组对边是否分别相等 变式 C 返回首页 第25讲　矩形、菱形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 D 返回首页 第25讲　矩形、菱形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 3.(2023·创编)在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长 度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10，G，H分别是AD，BC的中点，当四边形EGFH为矩形时，t的值为            . 2或8 返回首页 第25讲　矩形、菱形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 解题反思 由定义知矩形是有一个角为直角的平行四边形，它不仅是中心对称图形也是轴对称图形，因而它从内角与对角线上均有特殊的性质(直角三角形是解决矩形问题的突破口)，判定也从特殊之处加以考虑. 返回首页 第25讲　矩形、菱形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 菱形 核心知识 2 [解析] 连接EF交CD于点O.证得四边形CEDF是菱形，利 用三角函数求出CE的长， 即可求出四边形CEDF的周长. 例 2 16 返回首页 第25讲　矩形、菱形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 2.(2023·创编)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点(不与点A，B重合)，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若 AC＝8，BD＝6，则EF的最小值为           . 返回首页 第25讲　矩形、菱形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 3.(2023·创编)如图，AB＝8 cm，分别以A，B为圆心，5 cm长为半径画弧，两弧相交于M，N两点.连接AM，BM，AN，BN，则四边形AMBN的面积为            cm2. 24 返回首页 第25讲　矩形、菱形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 4.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝8 cm，BD＝ 6 cm，E为BC的中点. (1)求菱形ABCD的面积； 返回首页 第25讲　矩形、菱形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 (2)求OE的长. 返回首页 第25讲　矩形、菱形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 已知：如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，BE平分∠ABC.请从以下三个条件：①AE＝BF；②AB＝EF；③AB∥EF中，选择一个合适的条件，使四边形ABFE为菱形. (1)你添加的条件是            (填序号)； 变式 ①(或③) 返回首页 第25讲　矩形、菱形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 (2)添加了条件后，请证明四边形ABFE为菱形. 解：添加①AE＝BF. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC. ∵点E，点F分别在AD，BC上，∴AE∥BF.∴∠AEB＝∠CBE. ∵AE＝BF，∴四边形ABFE是平行四边形. ∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE. ∵∠AEB＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB. ∴AB＝AE.∴四边形ABFE是菱形. 返回首页 第25讲　矩形、菱形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 添加③AB∥EF. 证明：∵AE∥BF，AB∥EF， ∴四边形ABFE是平行四边形. ∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE. ∵∠AEB＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB. ∴AB＝AE.∴四边形ABFE是菱形. 返回首页 第25讲　矩形、菱形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 解题反思 由定义知菱形是有一组邻边相等的平行四边形，它不仅是中心对称图形也是轴对称图形，因而它从边与对角线上均有特殊的性质(等腰三角形、直角三角形是解决菱形问题的突破口)，判定也从特殊之处加以考虑，因对角线具有垂直的位置关系，面积也产生了新的计算方法(对角线乘积的一半). 返回首页 第25讲　矩形、菱形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 矩形与菱形的综合 核心知识 3 如图，菱形ABCD的对角线，AC，BD相交于点O，分别过点B和C作BE∥AC，CE∥BD. (1)求证：四边形BECO是矩形； 例 3 [解答] 证明：∵BE∥AC，CE∥BD， ∴四边形BECO是平行四边形. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD.∴∠BOC＝90°.∴四边形BECO是矩形. 返回首页 第25讲　矩形、菱形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 (2)连接DE交AC于点P，连接BP.若AC＝2，∠ABC＝60°，求BP的长. 返回首页 第25讲　矩形、菱形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 返回首页 第25讲　矩形、菱形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 (2023·创编)如图，矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从点A，C同时出发，相向而行，速度均为2 cm/s，运动时间为t(0≤t≤5). (1)若G，H分别是AB，DC的中点，且t≠2.5，求证：以E，G，F，H为顶点的四边形始终是平行四边形； 变式 返回首页 第25讲　矩形、菱形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 返回首页 第25讲　矩形、菱形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 ∵E，F是对角线AC上的两个动点，分别从点A，C同时出发，相向而行，速度均为2 cm/s， ∴AE＝CF.∴AF＝CE. ∴△AGF≌△CHE(SAS). ∴GF＝HE，∠AFG＝∠CEH(或得∠EFG＝∠FEH). ∴GF∥HE.∴以E，G，F，H为顶点的四边形始终是平行四边形. 返回首页 第25讲　矩形、菱形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 (2)在(1)的条件下，当t为何值时，以E，G，F，H为顶点的四边形为 矩形？ 解：连接GH.由(1)可知四边形 EGFH是平行四边形. ∵G，H分别是AB，DC的中点，∴GH＝BC＝8 cm. ∴当EF＝GH＝8 cm时，四边形EGFH是矩形，分两种情况：①若AE＝CF＝2t，则EF＝10－4t＝8，解得t＝0.5；②若AE＝CF＝2t，则EF＝2t＋2t－10＝8，解得t＝4.5. ∴当t为4.5或0.5时，以E，G，F，H为顶点的四边形是矩形. 返回首页 第25讲　矩形、菱形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 (3)若G，H分别是折线A－B－C，C－D－A上的动点，分别从A，C开始，与E，F相同的速度同时出发，当t为何值时，以E，G，F，H为顶点的四边形为菱形？ 请直接写出t的值. 返回首页 第25讲　矩形、菱形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 返回首页 第25讲　矩形、菱形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 解题反思 考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键. 返回首页 第25讲　矩形、菱形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 3 素养提升 例 4 ①③ 返回首页 第25讲　矩形、菱形 首页 总目录 返回首页 第25讲　矩形、菱形 首页 总目录 返回首页 第25讲　矩形、菱形 首页 总目录 返回首页 第25讲　矩形、菱形 首页 总目录 解题反思 返回首页 第25讲　矩形、菱形 首页 总目录 4 素养发展 1. (2015·泸州)菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是(　　) A.两组对边分别平行 B.两组对角分别相等 C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直 D 返回首页 第25讲　矩形、菱形 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 2. (2019·泸州)一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为(　　) A.8 B.12 C.16 D.32 C 返回首页 第25讲　矩形、菱形 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 3.(2023·泸州)若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2－10x＋m＝0的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为(　　) C 返回首页 第25讲　矩形、菱形 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 4. A.72 cm B.36 cm C.20 cm D.16 cm A 返回首页 第25讲　矩形、菱形 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 5. (2016·泸州)如图，矩形ABCD的边长AD＝3，AB＝2，E为AB的中 点，F在边BC上，且BF＝2FC，AF分别与DE，DB相交于点M，N，则MN的长为(　　) B 返回首页 第25讲　矩形、菱形 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 6. (2020·泸州)如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AB，AD的中点，BF与EC，ED分别交于点M，N.已知AB＝4，BC＝6，则MN的长为          　 . 返回首页 第25讲　矩形、菱形 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P60～61第25讲 面积：S＝mn＝ah 解：∵四边形BFDE是平行四边形，EF⊥BD， ∴四边形BFDE是菱形.∴DE＝BE. ∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°. 在Rt△ABE中，BE＝DE＝AD－AE＝4－AE，AB＝2， 根据勾股定理，得BE2＝AE2＋AB2. ∴(4－AE)2＝AE2＋22.∴AE＝. [解答] 证明：∵∠ABO＝∠DCO＝90°，∴AB∥CD.∴∠A＝∠D. 在△AOB和△DOC中， ∴△AOB≌△DOC(AAS).∴AO＝DO. ∵点E，F分别是AO，DO的中点， ∴OE＝OA，OF＝OD.∴OE＝OF. 解：∵OB＝OC，OE＝OF， ∴四边形BECF是平行四边形. ∵∠A＝30°，∴OB＝OA＝OE. ∵OE＝OF， ∴OB＝EF.∴∠EBF＝90°. ∴四边形BECF是矩形. 2.(2023·杭州)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若∠AOB＝60°，则＝(　　) A. B. C. D. 　　 1.如图，CD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC，BC的平行线，交BC于点E，交AC于点F.若∠ACB＝60°，CD＝4，则四边形CEDF的周长是           . 解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8 cm，BD＝6 cm， ∴S菱形ABCD＝AC·BD＝24 cm2. 解：∵四边形ABCD为菱形， ∴OA＝OC＝AC＝4 cm，OB＝OD＝BD＝3 cm， ∠AOB＝90°. ∴AB＝＝5 cm. ∵E为BC的中点，O为AC的中点， ∴OE是△ABC的中位线. ∴OE＝AB＝ cm. 解：∵菱形ABCD中，BO＝DO， 矩形BECO中，BO∥CE，BO＝CE， ∴DO＝CE，∠ODP＝∠CEP， 且∠OPD＝∠CPE. ∴△OPD≌△CPE(AAS).∴DP＝EP. 又∵矩形BECO中，∠EBO＝90°， ∴Rt△BED中，BP＝DE. 在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形，AB＝AC＝BC＝2. ∴BE＝OC＝OA＝AC＝1. 在Rt△ABO中，BO＝＝， ∴BD＝2. 在Rt△BED中，DE＝＝， ∴BP＝. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B＝90°. ∴∠BAC＝∠DCA. ∵AB＝6 cm，BC＝8 cm， ∴在Rt△ABC中，AC＝＝＝10（cm）. ∵G，H分别是AB，DC的中点， ∴AG＝AB，CH＝CD.∴AG＝CH. 解：t＝. [如备用图，连接AG，CH. ∵四边形GEHF是菱形， ∴GH⊥EF，OG＝OH，OE＝OF. ∵AF＝CE，∴OA＝OC. ∴四边形AGCH是菱形. ∴AG＝CG.设AG＝CG＝x，则BG＝8－x.由勾股定理， 得AB2＋BG2＝AG2，即62＋(8－x)2＝x2.解得x＝. ∴BG＝8－＝.∴AB＋BG＝6＋＝. ∴t＝÷2＝.] (2015·泸州)如图，在矩形ABCD中，BC＝AB，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE于点H，连接CH并延长交边AB于点F，连接AE交CF于点O.给出下列命题：①∠AEB＝∠AEH；②DH＝2EH；③HO＝AE；④BC－BF＝EH.其中正确命题的序号是    .(填上所有正确命题的序号) [解析]在矩形ABCD中，AD＝BC＝AB＝CD. ∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝45°. ∵AH⊥DE，∴△ADH是等腰直角三角形. ∴AD＝AH.∴AH＝AB＝CD. ∵△DEC是等腰直角三角形， ∴DE＝CD.∴AD＝DE.∴∠AED＝67.5°. ∴∠AEB＝180°－45°－67.5°＝67.5°. ∴∠AEB＝∠AEH.故①正确； 设DH＝1，则AH＝DH＝1，AD＝DE＝. ∴EH＝－1.∴2EH＝2(－1)≠1.故②错误； ∵∠AEH＝67.5°，∴∠EAH＝22.5°. ∵DH＝CD，∠CDE＝45°，∴∠DHC＝67.5°. ∴∠OHA＝22.5°.∴∠OAH＝∠OHA.∴OA＝OH. ∵∠AEH＝∠OHE＝67.5°， ∴OH＝OE.∴HO＝AE.故③正确； ∵AH＝DH，CD＝CE，DH＝CD，∴AH＝CE. 又∵∠AHF＝∠ECH＝22.5°，∠FAH＝∠HEC＝45°， ∴△AFH≌△EHC(ASA).∴AF＝EH. ∵AE＝AE，AB＝AH， ∴Rt△ABE≌Rt△AHE(HL).∴BE＝EH. ∴BC－BF＝(BE＋CE)－(AB－AF)＝(CD＋EH)－(CD－EH)＝2EH. 故④错误. 故答案为①③. 本题中边的倍关系常需找到或构造等腰直角三角形，根据相等度数得到角相等，从而判定三角形全等和等腰三角形，利用转化思想进行边关系的转化，体现了核心素养下的几何直观. A. B.2 C. D.2 (2013·泸州)如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，已知折痕AE＝10 cm，且tan ∠EFC＝，那么该矩形的周长为(　　) A. B. C. D. $$