第14讲 二次函数的实际应用与综合（课件PPT）-【中考总动员】2024年中考数学讲义（泸州专用）

第14讲　二次函数的实际 应用与综合 2024泸州数学 目 录 1 素养储备 2 素养积累 3 素养提升 4 素养发展 1 素养储备 二次函数的实际应用 模型 (2)最大面积 类型 (1)最大利润 (3)拱桥问题(隧洞问题) (4)线段最值问题 (5)动点问题 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 总目录 (1)自变量的取值范围是全体实数，函数在顶点处取最值； 模型 顶点 x1 ③_____对应的函数值 x2 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 总目录 (1)最大利润 此升彼降(单价升，销量降；单价降，销量升) 总利润＝单件利润×总销售量 (2)最大面积 方法：相似三角形对应高之比等于相似比 方法：相似三角形 关键：用一个量表示另一个量 (3)拱桥问题 (隧洞问题) 汽车能否通过(设车宽为x，求出y的值，再与车高作比较) 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 总目录 (4)线段最值问题：线段和最小、差最大， 周长最小(三角形，四边形) (5)动点问题 构成△≌△，△∽△，Rt△，等腰△ 构成四 边形 已知A，B 两点 AB为边 (如图1) AB为对角线 (如图2) 图1 图2 已知A，B，C三点(如图3) 图3 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 总目录 2 素养积累 面积问题 核心知识 1 C (2022·自贡)九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙(墙足够长)的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形(底边靠墙)、半圆形这三种方案，最佳方案是(  ) A.方案1 B.方案2 C.方案3 D.方案1或方案2 例 1 方案1 方案2 方案3 [解析] 分别计算三个方案的菜园面积或 最大面积进行比较即可. 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 如图，院子里有块直角三角形空地ABC，∠C＝90°.直角边AC＝3 m，BC＝4 m，现准备修一个如图所示的矩形DEFG的养鱼池，当矩形DEFG面积最大时，EF的长为_________. 变式 2.5 m 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 解题反思 结合面积公式、相似等知识，将几何问题代数化，用二次函数表示几何图形的面积，根据二次函数求(最)值. 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 拱形桥及隧道问题 核心知识 2 例 2 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 [解析] 以水面所在的直线AB为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，O为原点.进而求出抛物线的解析式，当x＝4时求出y，即可得出答案. 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 如图，隧道的截面由抛物线BEC和矩形ABCD构成，矩形的长AD为8 m，宽AB为2 m，以AD所在直线为x轴，线段AD的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，抛物线顶点E到坐标原点O的距离为5 m. (1)求这条抛物线的解析式； 变式 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 (2)如果隧道是双向通道，现有一辆货车高3.6 m，宽2.4 m，这辆货车能否通过该隧道？请通过计算进行说明. 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 解题反思 拱形桥及隧道转化为二次函数模型，运用二次函数的知识解决拱形桥或隧道的实际问题. 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 抛物线形问题 核心知识 3 (2023·长春)2023年5月28日，C919商业首航完成——中国民航商业运营国产大飞机正式起步.12时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”(寓意“接风洗尘”，是国际民航中高级别的礼仪).如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分. 例 3 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 如图②，当两辆消防车喷水口A，B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇.此时相遇点H距地面20米，喷水口A，B距地面均为4米.若两辆消防车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口A′，B′到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点H′距地面_____米. 19 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 (2022·成都)距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物 体，物体离地面的高度h(米)与物体运动的时间t(秒)之间满足函数关系h＝－5t2＋mt＋n，其图象如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒.设w表示0秒到t秒时h的值的“极差” (即0秒到t秒时h的最大值与最小值的差)，则当0≤t≤1时，w的取值范围是____________；当2≤t≤3时，w的取值范围是___________. 变式 0≤w≤5 5≤w≤20 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 解题反思 实际生活中的抛物线形问题转化为二次函数模型，运用二次函数的最值、增减性等知识解决实际问题. 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 销售问题 核心知识 4 (2022·巴中)端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵10元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元. (1)求每盒猪肉粽和豆沙粽的进价； 例 4 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 (2)在销售中，某商家发现当每盒猪肉粽售价为50元时，每天可售出100盒，若每盒售价提高1元，则每天少售出2盒.设每盒猪肉粽售价为a元，销售猪肉粽的利润为w元，求该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润. 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 (2021·阿坝州)某商家准备销售一种防护品，进货价格为每件50元，并且每件的售价不低于进货价.经过市场调查，每月的销售量y(件)与每件的售价x(元)之间满足如图所示的函数关系. (1)求每月的销售量y(件)与每件的售价x(元)之间的函数关系式；(不必写出自变量的取值范围) 变式 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 (2)物价部门规定，该防护品每件的利润不允许高于进货价的30%.设这种防护品每月的总利润为w(元)，那么每件的售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？ 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 解题反思 借助二次函数的关系式、增减性、最值等相关知识，同时结合一次函数、分段函数解决生活中的销售问题. 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 3 素养提升 (2022·泸州)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋x＋c经过A(－2，0)，B(0，4)两点，直线x＝3与x轴交于点C. (1)求a，c的值； 例 5 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 总目录 (2)经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式； 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 总目录 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 总目录 (3)P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使以B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由. 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 总目录 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 总目录 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 总目录 4 素养发展 10 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 1 2 总目录 (1)求证：∠ACB＝90°； 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 1 2 总目录 (2)点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交直线BC于点E，交x轴于点F. ①求DE＋BF的最大值； 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 1 2 总目录 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 1 2 总目录 ②点G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，求点D的坐标. 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 1 2 总目录 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 1 2 总目录 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 1 2 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P36～37第14讲 (2)x1≤x≤x2：当－在x1，x2之间时，函数最值在①_____处取得； 当－不在x1，x2之间时，函数最值为②_____或 (2022·广安)如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽 6 m，水面下降_____m，水面宽8 m. 解：设这条抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由对称轴是y轴，得b＝0. ∵EO＝5，∴c＝5. ∵矩形的长BC为8 m，宽AB为2 m， ∴B(4，2).∵抛物线经过点B(4，2)， ∴16a＋4b＋5＝2.解得a＝－. ∴这条抛物线的解析式为y＝－x2＋5. 解：当x＝±2.4时，y＝－x2＋5＝－×(±2.4)2＋5＝3.92＞3.6. ∴这辆货车能通过该隧道. [解析] 由题意可知A (－40，4)，B (40，4)，H (0，20).设抛物线解析式为y＝ax2＋20.将 A (－40，4)代入y＝ax2＋20可得a＝－.∴y＝－＋20.消防车同时后退10米，即抛物线 y＝－＋20向左平移后的抛物线解析式为y＝－＋20.令x＝0，得y＝19.故答案为19. [解答] 解：设每盒猪肉粽的进价为x元，每盒豆沙粽的进价为y元. 由题意，得解得 答：每盒猪肉粽的进价为40元，每盒豆沙粽进价为30元. 解：由题意，得w＝(a－40)[100－2(a－50)]＝－2(a－70)2＋1 800. ∵－2＜0，∴当a＝70时，w有最大值，最大值为1 800. ∴该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润为1 800元. 解：由图象可知每月的销售量y(件)与每件的售价x(元)之间为一次函数关系，设其函数关系式为y＝kx＋b(k≠0，x≥50). 将点(60，600)，(80，400)代入上式，得 解得 ∴每月的销售量y(件)与每件的售价x(元)的函数关系式为y＝－10x＋1 200(x≥50). 解：由题意，得w＝(－10x＋1 200)(x－50)＝－10x2＋1 700x－60 000＝ －10(x－85)2＋12 250. ∵－10＜0， ∴当x≤85时，w随x的增大而增大. ∵该防护品每件的利润不允许高于进货价的30%， ∴x≤50×(1＋30%)，即x≤65. ∴每件的售价定为65元可获得最大利润，最大利润是8 250元. [解答] 解：把A(－2，0)，B(0，4)代入抛物线y＝ax2＋x＋c，得 解得 解：由(1)知，抛物线解析式为y＝－x2＋x＋4. 设直线AB的解析式为y＝kx＋b，则 解得 ∴直线AB的解析式为y＝2x＋4. 设直线DE的解析式为y＝mx， ∴2x＋4＝mx.∴x＝. 当x＝3时，y＝3m，∴E(3，3m). ∵△BDO与△OCE的面积相等，CE⊥OC， ∴·3·(－3m)＝·4·. ∴9m2－18m－16＝0. ∴(3m＋2)(3m－8)＝0. ∴m1＝－，m2＝(舍去). ∴直线DE的解析式为y＝－x. 解：存在.设P(t，－t2＋t＋4)，以B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形有两种情况： ①如图1，过点P作PH⊥y轴于点H. ∵四边形BPGF是矩形， ∴BP＝FG，∠PBF＝∠BFG＝90°. ∴∠CFG＋∠BFO＝∠BFO＋∠OBF＝∠CFG＋∠CGF＝∠OBF＋∠PBH＝90°. ∴∠PBH＝∠OFB＝∠CGF. ∵∠PHB＝∠FCG＝90°， ∴△PHB≌△FCG(AAS). ∴PH＝CF.∴CF＝PH＝t，OF＝3－t. ∵∠PBH＝∠OFB，∴tan ∠PBH＝tan ∠OFB. ∴＝，即＝. 解得t1＝0(舍去)，t2＝1.∴F(2，0)； ②如图2，过点G作GN⊥y轴于点N，过点P作PM⊥x轴于点M， 同①可得：NG＝FM＝3，OF＝t－3. ∵∠OFB＝∠FPM，∴tan ∠OFB＝tan ∠FPM. ∴＝，即＝. 解得t1＝，t2＝(舍去). ∴F(，0). 综上所述，点F的坐标为(2，0)或(，0). 1.(2023·宜昌)如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系是y＝－(x－10)(x＋4)，则铅球推出的距离OA＝______m. 2.(2021·泸州)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－x2＋x＋4与两坐标轴分别相交于A，B，C三点. 证明：在y＝－x2＋x＋4中， 令x＝0，得y＝4；令y＝0，得x1＝－2，x2＝8. ∴A(－2，0)，B(8，0)，C(0，4). ∴OA＝2，OB＝8，OC＝4，AB＝10. ∴AC2＝OA2＋OC2＝20，BC2＝OB2＋OC2＝80. ∴AC2＋BC2＝100＝AB2.∴∠ACB＝90°. 解：①设直线BC的解析式为y＝kx＋b. 将B(8，0)，C(0，4)代入上式，得 解得 ∴直线BC的解析式为y＝－x＋4. 设D(m，－m2＋m＋4)，则E(m，－m＋4). ∵点D在第一象限内，∴0＜m＜8. ∴DE＝(－m2＋m＋4)－(－m＋4)＝－m2＋2m，BF＝8－m. ∴DE＋BF＝(－m2＋2m)＋(8－m)＝－m2＋m＋8＝－(m－2)2＋9. ∴当m＝2时，DE＋BF取得最大值，最大值是9. 解：②由(1)知，∠ACB＝90°. ∴∠CAB＋∠CBA＝90°. ∵DF⊥x轴，∴∠FEB＋∠CBA＝90°. ∴∠CAB＝∠FEB＝∠DEC. ∵以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似， ∴＝或＝. ∵G是AC的中点，A(－2，0)，C(0，4)， ∴G(－1，2)，OA＝2.∴AG＝. 由①知，DE＝－m2＋2m，E(m，－m＋4). ∴CE＝＝m. 当＝时，＝. ∴m＝4或m＝0(此时点D与点C重合，舍去). ∴D(4，6)； 当＝时，＝. ∴m＝3或m＝0(舍去).∴D(3，). 综上所述，点D的坐标为(4，6)或(3，). $$