第13讲 二次函数的图象及性质（课件PPT）-【中考总动员】2024年中考数学讲义（泸州专用）

第13讲　二次函数的图 象及性质 2024泸州数学 目 录 1 素养储备 2 素养积累 3 素养提升 4 素养发展 1 素养储备 二次函数的图象及性质 定义 形式 图象与性质 解析式求法 待定系数法 对称变换 平移变换 二次函数的图象与a，b，c的符号关系 与方程、不等式的关系 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 总目录 定义：形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫二次函数 图象与性质 图象：二次函数图象都是抛物线，关于某条直线对称，这条直线叫对称轴，对称轴与抛物线的交点叫顶点(最高点或最低点) 函数 y＝ax2 y＝ax2＋c y＝a(x－h)2 y＝a(x－h)2＋k y＝ax2＋bx＋c 开口 方向 a＞0⇔开口向上；a＜0⇔开口向下 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 总目录 图象与性质 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 总目录 图象与性质 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 总目录 待定系数法：(1)设；(2)代；(3)解；(4)答 形式 一般式：y＝ax2＋bx＋c，适合已知三个点或三对x，y的值 顶点式：y＝a(x－h)2＋k，适合已知顶点，对称轴或最值 交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)，适合已知与x轴交点坐标 对称 变换 对于抛物线y＝2x2－4x＋1，顶点式：y＝2(x－1)2－1， (1)关于x轴对称：－y＝2x2－4x＋1，即y＝－2x2＋4x－1 (2)关于y轴对称：y＝①__________________，即y＝②__________ (3)关于原点对称：－y＝2(－x)2－4(－x)＋1，即y＝－2x2－4x－1 (4)关于顶点对称：y＝－2(x－1)2－1，即y＝－2x2＋4x－3 2(－x)2－4(－x)＋1 2x2＋4x＋1 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 总目录 (1)抛物线y＝2x2向左平移3个单位，向上平移1个单位，得y＝2(x＋3)2＋1 (2)抛物线y＝2(x＋3)2＋1向右平移4个单位，向下平移2个单位，得y＝2(x＋3－4)2＋1－2，即y＝2(x－1)2－1 【提分点拨】 平移变换的关键：(1)弄清哪个函数图象向哪个方向平移；(2)实质是点平移，重点关注顶点平移；(3)方法：左加右减，上加下减；(4)平移坐标轴与此方法相反． 平移变换 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 总目录 二次函数的图象与 a，b，c的符号关系 (1)a⇔确定开口方向 (2)c⇔确定与y轴交点位置 (3)a，b⇔确定对称轴位置(左同右异) (4)Δ⇔确定抛物线与x轴交点个数 (5) a＋b＋c的符号由x＝1时决定 a－b＋c的符号由x＝－1时决定 (6) 4a＋2b＋c符号由x＝2时决定 4a－2b＋c符号由x＝－2时决定 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 总目录 (10)特殊值法：取三个特殊点，代入一般式，求出a，b，c，再判断以上各式的符号 二次函数的图象与a，b，c的符号关系 (7) a为负数时， 注意变号 (9)两根异号⇔ Δ＞0， x1x2＜0； 两根中一根大于2， 另一根小于2⇔ Δ＞0， (x1－2)(x2－2)＜0 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 总目录 与x轴有③____个交点⇔对应方程有两个不相等实数根⇔Δ＞0 与x轴有④____个交点⇔对应方程有两个相等实数根⇔Δ⑤___0 与x轴没有交点⇔对应方程没有实数根⇔Δ⑥_____0 与方程、不等式的关系 与方程 2 1 ＝ ＜ 与不等式 ax2＋bx＋c＞0解集⇔抛物线位于y轴上方对应点的横坐标的取值范围解集 ax2＋bx＋c＜0解集⇔抛物线位于y轴下方对应点的横坐标的取值范围解集 【提分点拨】 几个公式 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 总目录 2 素养积累 二次函数的定义 核心知识 1 3 　　 若y＝(m2＋m)xm2－2m－1－x＋3是关于x的二次函数，则m＝_____. [解析] 由题意，得m2－2m－1＝2，且m2＋m≠0.解得m＝3. 例 1 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 下列函数中，是二次函数的是(  ) 变式 C 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 解题反思 　　考查二次函数的定义，注意二次函数的二次项系数不为0这个关键条件. 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 用待定系数法求二次函数的解析式 核心知识 2 1.(2023·宁波)如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c图象经过点A(1，－2)和B(0，－5). (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标； 例 2 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 (2)当y≤－2时，请根据图象直接写出x的取值范围. 解：－3≤x≤1.　[如图，∵点A(1，－2)关于对称轴直线x＝－1的对称点C(－3，－2)，∴当y≤－2时，x的范围是－3≤x≤1.] 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 解题反思 　　考查用待定系数法求二次函数解析式. 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 2.(2023·创编)已知二次函数y＝x2－2x－3. (1)用配方法将解析式化为y＝(x－h)2＋k的形式，并写出顶点坐标和对称轴； (2)将解析式化为y＝a(x－x1)(x－x2)的形式，并写出函数图象与x轴的交点坐标. [解答] 解：(1)y＝x2－2x＋1－4＝(x－1)2－4，顶点(1，－4)，对称轴为直线x＝1. (2)y＝x2－2x－3＝(x－3)(x＋1)， 函数图象与x轴的交点坐标为(3，0)，(－1，0). 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 　　 (2023·五市区)将二次函数y＝2x2－8x＋13化成y＝a(x＋h)2＋k的形式为_______________. 变式 y＝2(x－2)2＋5 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 解题反思 　　熟练运用二次函数三种解析式的转换. 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 二次函数的图象与性质 核心知识 3 　　 (2023·大连)已知抛物线y＝x2－2x－1，则当0≤x≤3时，函数的最大值为(  ) A.－2 B.－1 C.0 D.2 [解析] ∵y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，∴对称轴为直线x＝1. ∵a＝1＞0，∴抛物线的开口向上.∴当0≤x＜1时，y随x的增大而减小. 当x＝0时，y最大＝－1；当1≤x≤3时，y随x的增大而增大. 当x＝3时，y最大＝9－6－1＝2.∴当0≤x≤3时，函数的最大值为2.故选D. 例 3 D 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 变式 C y2＜y3＜y1 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 解题反思 　　考查二次函数的对称性、增减性、最值以及各点距离对称轴的远近与函数值的关系. 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 二次函数的几何变换(平移、对称与旋转) 核心知识 4 [解析] 抛物线的平移不改变开口大小和开口方向，即a值不变.故选D. 例 4 D 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 2.(2023·创编)将抛物线y＝－x2＋2x＋3在x轴上方的部分沿x轴翻折至x轴下方，图象的剩余部分不变，得到一个新的函数图象，那么直线y＝x＋b与此新图象的交点个数的情况有(  ) A.6种 B.5种 C.4种 D.3种 [解析] 直线y＝x＋b与此新图象的交点个数如图所示， 有0或1或2或3或4个交点，共有5种情况.故选B. B 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 3.(2021·眉山)在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－4x＋5与y轴交于点C，则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为(  ) A.y＝－x2－4x＋5 B.y＝x2＋4x＋5 C.y＝－x2＋4x－5 D.y＝－x2－4x－5 [解析] 由抛物线y＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1知，抛物线顶点坐标是(2，1).由抛物线y＝x2－4x＋5知，C(0，5).∴该抛物线的顶点关于点C成中心对称的抛物线的顶点坐标是(－2，9).∴该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为y＝－(x＋2)2＋9＝－x2－4x＋5.故选A. A 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 1.(2023·徐州)在平面直角坐标系中，将二次函数y＝(x＋1)2＋3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为(  ) A.y＝(x＋3)2＋2 B.y＝(x－1)2＋2 C.y＝(x－1)2＋4 D.y＝(x＋3)2＋4 变式 B 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 2.(2023·创编)如图是函数y＝x2－2x－3(0≤x≤4)的图象，直线l∥x轴且过点(0，m)，将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线l下方的图象保持不变，得到一个新图象.若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是(  ) A.m≥1 B.m≤0 C.0≤m≤1 D.m≥1或m≤0 C 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 3.在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2＋2x－1先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位长度，所得到的抛物线的顶点坐标是__________. (1，－3) 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 解题反思 　　二次函数图象的平移熟记“左加右减自变量、上加下减常数项”口诀，对称和旋转几何图象分析. 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 3 素养提升 (2023·泸州)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋2x＋c与坐标轴分别相交于A，B，C(0，6)三点，其对称轴为x＝2. (1)求该抛物线的解析式； 例 5 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 总目录 (2)点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF分别与y轴，直线BC交于点D，E. ①当CD＝CE时，求CD的长； 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 总目录 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 总目录 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 总目录 ②若△CAD，△CDE，△CEF的面积分别为S1，S2，S3，且满足S1＋S3＝2S2，求点F的坐标. 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 总目录 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 总目录 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 总目录 4 素养发展 1.在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝(x－2)2＋1，下列说法中错误的是(  ) A.y的最小值为1 B.图象顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线x＝2 C.当x＜2时，y的值随x值的增大而增大；当x≥2时，y的值随x值的增大 而减小 D.它的图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个 单位长度得到 C 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 2.(2023·泸州)已知二次函数y＝ax2－2ax＋3(其中x是自变量)，当0＜x＜3时对应的函数值y均为正数，则a的取值范围为(  ) A.0＜a＜1 B.a＜－1或a＞3 C.－3＜a＜0或0＜a＜3 D.－1≤a＜0或0＜a＜3 D 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 3.(2019·泸州)已知二次函数y＝(x－a－1)(x－a＋1)－3a＋7(其中x是自变量)的图象与x轴没有公共点，且当x<－1时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是(  ) A.a<2 B.a>－1 C.－1<a≤2 D.－1≤a<2 D 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 D 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 C 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 6.(2019·泸州)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A(－2，0)，C(0，－6)，其对称轴为直线x＝2. (1)求该二次函数的解析式； 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 (3)点B是该二次函数图象与x轴的另一个交点，点D是直线x＝2上位于x轴下方的动点，点E是第四象限内该二次函数图象上的动点，且位于直线x＝2右侧.若以点E为直角顶点的△BED与△AOC相似，求点E的坐标. 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P30～31第13讲 增减性 a＞0⇔对称轴左侧，y随x增大而减小；右侧，y随x增大而增大 a＜0⇔对称轴左侧，y随x增大而增大；右侧，y随x增大而减小 |a|越大⇔抛物线开口越小，越靠近对称轴，y变化越快 |a|相同⇔抛物线形状相同⇔开口大小相同 对称轴 直线x＝0(y轴) 直线x＝0 (y轴) 直线x＝h 直线x＝h 直线x＝－ 顶点 (0，0) (0，c) (h，0) (h，k) 最大(小)值 y最值＝0 y最值＝c y最值＝0 y最值＝k y最值＝ 具体 函数 y＝3x2 y＝2x2＋1 y＝ 4(x－1)2 y＝2(x＋3)2－2 y＝x2＋2x－3 图象 2a＋b符号⇔对称轴x＝－与1比大小确定 2a－b符号⇔对称轴x＝－与－1比大小确定 (8)只含ac的关系与对称轴x＝－＝±1时有关 (1)与x轴两个交点A，B点间距离公式：AB＝|x1－x2|＝. (2)中点公式：x中点＝，y中点＝. A.y＝2x－1 B.y＝ C.y＝3－x2 D.y＝(x－1)2－x2 [解答] 解：把A(1，－2)和B(0，－5)代入y＝x2＋bx＋c，得 解得 ∴该二次函数的表达式为y＝x2＋2x－5. ∵y＝x2＋2x－5＝(x＋1)2－6， ∴该二次函数图象的顶点坐标为(－1，－6). 1.(2021·雅安)定义：min{a，b}＝若函数y＝min{x＋1，－x2＋2x＋3}，则该函数的最大值为(  ) A.0 B.2 C.3 D.4 2.(2020·广安)已知二次函数y＝a(x－3)2＋c(a，c为常数，a＜0)，当自变量x分别取，0，4时，所对应的函数值分别为y1，y2，y3，则y1，y2，y3的大小关系为_______________ (用“＜”连接). 1.(2022·泸州)抛物线y＝－x2＋x＋1经平移后，不可能得到的抛物线是(  ) A.y＝－x2＋x B.y＝－x2－4 C.y＝－x2＋2 021x－2 022 D.y＝－x2＋x＋1 [解答] 解：由题意，得 解得 ∴该抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋6. 解：令y＝－x2＋2x＋6＝0， 则x＝6或－2.∴A(－2，0)，B(6，0). ①设F(m，－m2＋2m＋6)，0＜m＜6. 由点A，F的坐标，得 直线AF的解析式为y＝－(m－6)(x＋2). 当x＝0时，y＝－(m－6)(x＋2)＝6－m， 即D(0，6－m). 则CD＝6－6＋m＝m. 由点B，C的坐标，得 直线BC的解析式为y＝－x＋6. 令－(m－6)(x＋2)＝－x＋6， 解得x＝.则E(，6－). 由点C，E的坐标，得CE＝. ∵CD＝CE，∴m＝. 解得m＝0(舍去)或m＝8－2. ∴CD＝m＝8－2. 解：令y＝－x2＋2x＋6＝0， 则x＝6或－2. ∴A(－2，0)，B(6，0). ②分别过点E，F作x轴的垂线，垂足分别为M，N. ∵△CAD，△CDE，△CEF同高，则其面积之比为AD∶DE∶EF， ∴＝＝2. ∵OD∥EM∥FN， ∴＝＝，＝. ∴＝＝＋＝2， 即＋＝2. 整理，得3xE－xF＝2. 由①知，xE＝，xF＝m. ∴3×－m＝2. 解得m＝4(负值已舍去). 经检验，m＝4是上述方程的根. ∴点F的坐标为(4，6). 4.(2018·泸州)已知二次函数y＝ax2＋2ax＋3a2＋3(其中x是自变量)，当x≥2时，y随x的增大而增大，且－2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为(  ) A.1或－2 B.－或 C. D. 1 5.(2017·泸州)已知抛物线y＝x2＋1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x轴的距离相等，如图，点M的坐标为(，3)，P是抛物线y＝x2＋1上一动点，则△PMF周长的最小值是(  ) A.3 B.4 C.5 D.6 解：由已知，得解得 ∴该二次函数的解析式为y＝x2－2x－6. (2)若直线y＝－x＋m将△AOC的面积分成相等的两部分，求m的值； 解：由(1)得直线AC的解析式为y＝－3x－6. 联立可得x＝－(m＋6). 直线y＝－x＋m与y轴的交点为(0，m)， S△AOC＝×2×6＝6.由题意，得×(m＋6)(m＋6)＝3. 解得m＝－2或m＝－10(舍去).∴m＝－2. 解：∵OA＝2，OC＝6，∴＝3. ①当△DEB∽△AOC时， ＝＝3. 如图1，过点E作EF垂直于直线x＝2，垂足为F，过点B作BG⊥EF，垂足为G， 则Rt△BEG∽Rt△EDF.∴＝＝3， 即BG＝3EF. 设E(h，k)，则BG＝－k，EF＝h－2. ∴－k＝3(h－2)，即－(h2－2h－6)＝3h－6. 解得h＝4或h＝－6(舍去).∴E(4，－6)； ②当△BED∽△AOC时，＝＝. 如图2，过点E作ME垂直于直线x＝2，垂足为M，过点B作BN⊥ME，垂足为N， 则Rt△BEN∽Rt△EDM. ∴＝＝，即BN＝EM. 设E(p，q)，则BN＝－q，EM＝p－2. ∴－q＝(p－2)， 即－(p2－2p－6)＝p－. 解得p＝或p＝(舍去). 故E点坐标为(4，－6)或(，). $$