第4讲 二次根式（课件PPT）-【中考总动员】2024年中考数学讲义（泸州专用）

第4讲　二次根式 2024泸州数学 目 录 1 素养储备 2 素养积累 3 素养提升 4 素养发展 1 素养储备 二次根式 开平方 二次根式 性质 最简二次根式 常见二次根式化简 运算 分母有理化 估值 非负数 典型问题 返回首页 第4讲　二次根式 首页 总目录 性质 a a －a 注意 a a 返回首页 第4讲　二次根式 首页 总目录 (1)被开方数不含⑥_______ (也就是说最终结果中分母不含根号) (2)被开方数中不含开得尽方的因数或因式 最简二次根式 分母 返回首页 第4讲　二次根式 首页 总目录 运算 返回首页 第4讲　二次根式 首页 总目录 分母有理化 定义：将分子、分母同乘分母的有理化因式，把分母中的根号去掉的运算 类型 估值 返回首页 第4讲　二次根式 首页 总目录 非负数 0 －1 2 典型问题 1 3 11 返回首页 第4讲　二次根式 首页 总目录 2 素养积累 二次根式的概念及性质 核心知识 1 1.下列式子一定不是二次根式的是( ) 例 1 D D 返回首页 第4讲　二次根式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 B 100 返回首页 第4讲　二次根式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 [解析] 由数轴知，b＜a＜0＜2. ∴a＋2＞0，b－2＜0，a－b＞0. ∴原式＝|a＋2|－|b－2|＋|a－b|＝a＋2＋(b－2)＋a－b＝a＋2＋b－2＋a－b＝2a. 2a 返回首页 第4讲　二次根式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 返回首页 第4讲　二次根式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 1.(2022·成都七中)下列二次根式中，是最简二次根式的是( ) 变式 C A 2 返回首页 第4讲　二次根式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 解题反思 二次根式相关概念的解决以隐含条件“被开方数是非负数”与最简二次根式的条件为前提，二次根式具有非负性，它与一个数的偶次方和绝对值为初中三种重要的非负数.同类二次根式可类比同类项学习，它是二次根式加减运算的基础. 返回首页 第4讲　二次根式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 二次根式的运算 核心知识 2 例 2 ＝ 返回首页 第4讲　二次根式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 返回首页 第4讲　二次根式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 返回首页 第4讲　二次根式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 返回首页 第4讲　二次根式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 1.计算： 变式 返回首页 第4讲　二次根式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 返回首页 第4讲　二次根式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 解题反思 进行二次根式的混合运算时，熟练掌握运算法则是解题的关键，但也要注意运算方法的选择以简化运算. 返回首页 第4讲　二次根式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 二次根式的应用 核心知识 3 海伦—秦九韶公式：如果一个三角形三边长分别为a，b，c，设 例 3 返回首页 第4讲　二次根式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 返回首页 第4讲　二次根式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 (2)请想一想是否有其他方法？试试看. 解：过点C作CD⊥AB于点D.设BD＝x，则AD＝6－x. 在Rt△BCD中，BC2－BD2＝CD2. 在Rt△ACD中，AC2－AD2＝CD2. ∴BC2－BD2＝AC2－AD2， 返回首页 第4讲　二次根式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 如图，矩形ABCD内三个相邻的正方形的边长分别为m，n和1. (1)求图中阴影部分的面积(用含m和n的式子表示)； 解：由题意知，AB＝m＋n＋1，BC＝m. ∴S阴影＝(n＋1)m－n2－12＝－n2＋(n＋1)m－1. 变式 返回首页 第4讲　二次根式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 返回首页 第4讲　二次根式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 返回首页 第4讲　二次根式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 解题反思 二次根式的应用以运算为起点，将有关问题化为二次根式，然后利用二次根式的有关性质进行求解是关键. 返回首页 第4讲　二次根式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 3 素养提升 (2022·石室中学)阅读材料：我们已经学习了《二次根式》和《乘 例 4 15 返回首页 第4讲　二次根式 首页 总目录 (2)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB，△COD的面积分别为12和27，则四边形ABCD的面积的最小值为______. 75 返回首页 第4讲　二次根式 首页 总目录 解题反思 利用非负性得出“基本不等式”，然后用此式解决实际问题的最值，其前提是存在某个值能使等号成立. 返回首页 第4讲　二次根式 首页 总目录 4 素养发展 C 返回首页 第4讲　二次根式 首页 1 2 3 4 总目录 x≥1 返回首页 第4讲　二次根式 首页 1 2 3 4 总目录 返回首页 第4讲　二次根式 首页 1 2 3 4 总目录 返回首页 第4讲　二次根式 首页 1 2 3 4 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P7第4讲 ()3＝④_____，＝⑤_____＝. 开平方：求一个数a的平方根的运算叫开平方．中，a叫被开方数 二次根式：一般地，形如的式子叫二次根式 (1)具有双重非负性，即≥0，a≥0 (2)()2＝①______(a≥0)，如()2＝3 (3)＝|a|＝ ②_____(a≥0)，如＝3； ③______(a<0)，如＝3 常见二次根式化简：，，，，，，，，如＝＝4 加减法：先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并 乘法：·＝⑦__________(a≥0，b≥0).积的算术平方根：＝·(a≥0，b≥0) 除法：＝⑧__________(a≥0，b＞0).商的算术平方根：＝(a≥0，b＞0) ＝＝＝；＝＝＝ ＝＝＝ 夹逼法：如估算(误差小于0.1)，∵5.52＝30.25，5.62＝31.36，∴≈5.5或5.6 牢记：≈1.414，≈1.732，≈2.236 常见非负数：a2，|a|，(a≥0) 性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数值为0，如a2＋|b＋1|＋＝0，则a＝⑨_____，b＝⑩______，c＝⑪______ (1)y＝＋＋3，则x＝⑫______y＝⑬______ (2)7＋的整数部分a＝⑭______，7＋的小数部分b＝ ⑮_________ －4 A. B. C. D. 2.若二次根式有意义，则x的取值范围是( ) A.x≠2 B.x≠1 C.x≥－2 D.x≠1且x≥－2 3. (2023·创编)将下列二次根式化为最简二次根式后，不能与合并的是( ) A. B. C. D. [解析] A.＝；B.＝5； C.＝3；D.＝5.故选B. 4.(2022·锦江区)如果y＝＋＋2，那么xy的值是______. 5.(2022·成都七中)如图，化简代数式：－＋＝________. 6.(2021·金牛区)若等式＝·成立，试化简：|x－4|＋＋|x－2|. [解答] 解：根据题意，得3x＋1≥0，2－x≥0.∴－≤x≤2. ∴x－4＜0，x－2≤0. ∴原式＝|x－4|＋＋|x－2| ＝|x－4|＋|3x＋1|＋|x－2|＝4－x＋3x＋1＋2－x＝x＋7. A. 　 B. 　 C. D. 2.(2014·泸州)已知实数x，y满足＋|y＋3|＝0，则x＋y的值为 ( ) A.－2 B.2 C.4 D.－4 3.已知最简二次根式与可以合并，则a＋b的值为________. 1.若(2＋)(2＋m)的积是有理数，则无理数m的值为______. － 2.若a＝3－，b＝，则a______b(用“＞”“＜”或“＝”填空). [解析] ∵b＝＝＝3－，∴a＝b. 3.化简下列各式： (1)6×(－2)；　　(2)； (3)××；　(4)÷. [解答] 解：(1)原式＝－12＝－108. (2)原式＝＝. (3)原式＝＝30. (4)原式＝＝＝. 4.计算：(1)－＋2； (2)－9＋|2－|. [解答] 解：(1)原式＝2－＋2×＝2－＋＝2. (2)原式＝2－9×＋2－＝2－3＋2－＝2－2. 5.(2023·甘肃)计算： ÷×2－6. [解答] 解：原式＝3××2－6＝12－6＝6. (1)(3＋)(3－)＋＋； (2)(＋)×－3÷. 解：(1)原式＝32－()2＋＋1－ ＝9－7＋＋1－＝3＋. (2)原式＝＋－3＝3＋3－3＝3. 2.计算：(－)×＋|－2|－()－1. 解：原式＝－2＋2－－2＝－3. p＝，则三角形的面积为S＝. (1)用公式计算△ABC的面积； [解答] 解：p＝＝＝， ∴S＝ ＝ ＝ ＝(cm2). 即42－x2＝52－(6－x)2.解得x＝. ∴CD＝＝＝. ∴S△ABC＝AB·CD＝×6×＝(cm2). (2)若m＝(a＋)2＋2，n＝a－＝－1，求图中阴影部分的面积. 解：∵n＝a－＝－1，∴n2＝(a－)2＝(－1)2， 即n2＝a2－2＋＝6－2，则a2＋＝8－2. ∵m＝(a＋)2＋2，∴m＝a2＋＋2＋2＝10. ∴－n2＋(n＋1)m－1＝－(6－2)＋(－1＋1)×10－1 ＝12－7. ∴图中阴影部分的面积为12－7. 法公式》，可以发现：当a＞0，b＞0时，有(－)2＝a－2＋b≥0，∴a＋b≥2，当且仅当a＝b时取等号.请利用上述结论解决以下问题： (1)当x＞0时，代数式的最小值为______； [解析]根据公式， 得＝x＋3＋≥2＋3＝2×6＋3＝15， 当且仅当x＝6时，原式取得最小值15. [解析]设S△AOD＝x.∵S△AOB＝12，S△COD＝27， ∴＝＝.∴＝. ∴S△BOC＝＝. ∴四边形ABCD的面积为12＋27＋x＋≥39＋2＝ 39＋2×18＝75. 当且仅当x＝18时取等号，即四边形ABCD的面积最小值为75. 1.(2022·泸州)与2＋最接近的整数是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 2.(2018·泸州)若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________. 3.(2022·成都七中)如果y＝＋＋3，那么x＋y的平方根为__________. ± 4.计算： (1)(＋6－2)×； (2)(＋3)(－2). 解：(1)原式＝×＋6×－2× ＝＋6×－2＝3＋2－4＝1. (2)原式＝3＋3－2－6＝－3. $$