第2讲 代数式、整式及因式分解（课件PPT）-【中考总动员】2024年中考数学讲义（泸州专用）

第2讲　代数式、整式 及因式分解 2024泸州数学 目 录 1 素养储备 2 素养积累 3 素养提升 4 素养发展 素养储备 1 代数式、整式及因式分解 列代数式 乘法 代数式求值 整式的相关概念 整式的运算 加减 公式 典型问题 多项式 单项式 整式 同类项 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 总目录 列代数式：有代数式的和、差、积、商、乘方等类型 代数式求值 (1)直接代入：先化简，再代入求值 (2)整体代入(可消元降次)：先因式分解，把已知代数式恒等变形后再代入求值 单项式 定义：数与①__________的积叫单项式 字母 注意 单独一个数或一个②________也是单项式，如－a，0都是单项式． 字母 次数：单项式中所有字母的指数的和叫单项式的次数 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 总目录 定义：几个单项式的和叫多项式 次数：多项式中次数最高项的次数叫这个多项式的次数，如a＋2ab2＋25是③______次 排列：书写多项式时，一般按某个字母降幂排列，如－xy＋x2－1按x的降幂排列是x2－xy－1 多项式 3 整式：单项式和多项式统称为整式 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫同类项.几个常数项也是同类项 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 总目录 加减：实质是合并同类项，即把同类项的系数相加减，所得结果为新的系数，字母和字母指数不变．去(添)括号：a＋(b＋c)＝a＋b＋c，a－(b＋c)＝a－b－c(口诀：负“－”变正“＋”不变) 乘法 单×单：把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式的字母连同它的指数作为积的一个因式 单×多：等于单项式与多项式的每一项相乘，再把积相加 多×多：(a＋b)(m＋n)＝④___________________ am＋an＋bm＋bn 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 总目录 平方差公式：(a＋b)(a－b)＝⑤__________，口诀：两数和、两数差，同方异方来作差 完全平方公式：(a±b)2＝⑥_____________，口诀：首平方，尾平方，2倍乘积放中央，符号看前方，同号得正，异号得负 公式 a2－b2 a2±2ab＋b2 (如图2、图3) (如图1) 图形表示： 图1　　　 　图2　　　　　图3 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 总目录 整式型：已知x＋y＝3，x2＋y2＝5，则x－y＝⑦______ 典型问题 平方型 ±1 2(或6) 3(或7) 添项构成完全平方式：4x2＋1添一项构成完全平方式，则添的整式：⑩_____________ 添括号，运用简便运算：(a－2b＋3c)(a＋2b－3c)＝ ⑪______________ ±4x或4x4 a2－(2b－3c)2 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 总目录 代数式、整式及因式分解 幂的运算 整式的运算 除法 口诀 因式分解 定义 方法 原则 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 总目录 单÷单：把系数与同底数幂分别相除作为商的因式；对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式 多÷单：(am＋bm)÷m＝⑫__________ 除法 a＋b 同底数幂的乘法：am·an＝⑬______，底数不变，指数⑭_______ 同底数幂的除法：am÷an＝⑮______，底数不变，指数⑯______ 幂的乘方：(am)n＝⑰_____，底数不变，指数⑱______ 积的乘方：(3ab)n＝⑲________，括号内每一个因式分别乘方，切记不要忘记给系数乘方 幂的运算 am＋n 相加 am－n 相减 amn 相乘 3nanbn 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 总目录 定义：把一个多项式化成几个⑳__________的形式，这种变形叫因式分解，与整式乘法互为逆运算 口诀：一提(公因式)，二数(数项数)，三用(用公式)，四分组 整式的积 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 总目录 方法 提公因式法 公因式确定 系数：取各项系数的最大公约数 字母：取各项相同字母的最低次幂 ma＋mb＋mc＝㉑____________ m(a＋b＋c) 公式法 平方差公式：a2－b2＝㉒____________ 完全平方公式：a2±2ab＋b2＝㉓__________ (a＋b)(a－b) (a±b)2 十字相乘法：x2＋(a＋b)x＋ab＝㉔______________ 分组分解法：四项可以二、二分组，也可以三、一分组 (x＋a)(x＋b) 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 总目录 (1)分解到不能再分解为止，若字母的最高次数超过一次，检查是否还能继续分解； (2)首项为正； (3)无中括号； (4)无新的公因式 原则 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 总目录 素养积累 2 代数式的值 核心知识 1 (2022·金牛区)已知2a＋3b＝4，则代数式6a＋9b－4的值为_____. [解析] ∵2a＋3b＝4， ∴6a＋9b－4＝3(2a＋3b)－4＝3×4－4＝12－4＝8. 例 1 8 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 第2讲　代数式、整式及因式分解 第2讲　代数式、整式及因式分解 总目录 (2022·都江堰)赋值法是给代数式中的某些字母赋予一定的特殊 值，从而解决问题的一种方法，已知(2x－3)2＝ax2＋bx＋c.例如：给x赋值使x＝0，则可求得c＝9；给x赋值使x＝1，则可求得a＋b＋c＝1；给x赋值使x＝－1，则可求得代数式a－b的值为______. [解析] (2x－3)2＝ax2＋bx＋c， 当x＝－1时，(－2－3)2＝a－b＋c，即a－b＝25－c. ∵给x赋值使x＝0，则可求得c＝9， ∴a－b＝25－c＝25－9＝16. 变式 16 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 第2讲　代数式、整式及因式分解 第2讲　代数式、整式及因式分解 总目录 解题反思 求代数式的值可直接代入或构造整体再代入. 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 第2讲　代数式、整式及因式分解 第2讲　代数式、整式及因式分解 总目录 整式的相关概念 核心知识 2 例 2 3 5 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 第2讲　代数式、整式及因式分解 第2讲　代数式、整式及因式分解 总目录 1.(2022·石室天府)已知(m－2)a|m＋1|b3是关于a，b的六次单项式，则m＝______. 变式 －4 －2 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 第2讲　代数式、整式及因式分解 第2讲　代数式、整式及因式分解 总目录 解题反思 单项式的次数是各字母指数之和，多项式的次数是最高次项的次数，要注意区分这两种次数. 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 第2讲　代数式、整式及因式分解 第2讲　代数式、整式及因式分解 总目录 整式的运算 核心知识 3 1.(2023·泸州)下列运算正确的是( ) A.m3－m2＝m B.3m2·2m3＝6m5 C.3m2＋2m3＝5m5 D.(2m2)3＝8m5 例 3 B 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 第2讲　代数式、整式及因式分解 第2讲　代数式、整式及因式分解 总目录 2.(2022·武侯区)已知多项式x2＋ax－y＋b与bx2－3x＋6y－3差的值与字母x的取值无关，求代数式3(a2－2ab－b2)－4(a2＋ab＋b2)的值. [解答] 解：根据题意，得(x2＋ax－y＋b)－(bx2－3x＋6y－3) ＝x2＋ax－y＋b－bx2＋3x－6y＋3＝(1－b)x2＋(a＋3)x－7y＋b＋3. 由差的值与字母x的取值无关，得1－b＝0，a＋3＝0. 解得a＝－3，b＝1. 则原式＝3a2－6ab－3b2－4a2－4ab－4b2 ＝－a2－10ab－7b2＝－9＋30－7＝14. 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 第2讲　代数式、整式及因式分解 第2讲　代数式、整式及因式分解 总目录 3.(2023·创编)若(x2＋px＋q)(x－3)展开后不含x的一次项，则p与q的关系是( ) A.q＝3p B.p＝3q C.p＋3q＝0 D.q＋3p＝0 [解析] (x2＋px＋q)(x－3) ＝x3－3x2＋px2－3px＋qx－3q ＝x3＋(－3＋p)x2＋(－3p＋q)x－3q. ∵(x2＋px＋q)(x－3)展开后不含x的一次项，∴－3p＋q＝0.∴q＝3p. 故选A. A 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 第2讲　代数式、整式及因式分解 第2讲　代数式、整式及因式分解 总目录 1.(2022·成都)下列计算正确的是( ) A.m＋m＝m2 B.2(m－n)＝2m－n C.(m＋2n)2＝m2＋4n2 D.(m＋3)(m－3)＝m2－9 变式 D 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 第2讲　代数式、整式及因式分解 第2讲　代数式、整式及因式分解 总目录 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 第2讲　代数式、整式及因式分解 第2讲　代数式、整式及因式分解 总目录 解题反思 整式的运算要分清计算类型，确定运算顺序，选择计算方法，化简求值一般要先化简再代入求值. 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 第2讲　代数式、整式及因式分解 第2讲　代数式、整式及因式分解 总目录 因式分解的方法 核心知识 4 分解因式： (1)a2b＋ab2； (2)25x2－36； (3)2x2y－8xy＋8y. [解答] 解：(1)原式＝ab(a＋b). (2)原式＝(5x＋6)(5x－6). (3)原式＝2y(x2－4x＋4)＝2y(x－2)2. 例 4 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 第2讲　代数式、整式及因式分解 第2讲　代数式、整式及因式分解 总目录 1.分解因式： 2y3－12y2＋18y＝___________. 2.甲、乙两人在对x2＋ax＋b进行因式分解时，甲看错了a，得到的结果为(x＋4)2；乙看错了b，得到的结果为(x＋1)(x＋9)，则x2＋ax＋b因式分解的正确结果为_________________. 变式 2y(y－3)2 (x＋2)(x＋8) 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 第2讲　代数式、整式及因式分解 第2讲　代数式、整式及因式分解 总目录 解题反思 因式分解要能根据多项式的特点灵活选用相应方法，第一步首先应考虑有无公因式可提，另注意分解到不能再分解为止. 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 第2讲　代数式、整式及因式分解 第2讲　代数式、整式及因式分解 总目录 因式分解的应用 核心知识 5 1.用简便方法计算： (1)1252－50×125＋252； (2)652×11－352×11. [解答] 解：(1)原式＝1252－2×25×125＋252 ＝(125－25)2＝1002＝10 000. (2)原式＝(652－352)×11 ＝(65＋35)×(65－35)×11＝100×30×11＝33 000. 例 5 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 第2讲　代数式、整式及因式分解 第2讲　代数式、整式及因式分解 总目录 2.若xy＝2，y－x＝1，则代数式2x2y－2xy2的值为_______. [解析] 原式＝2xy(x－y)＝－2xy(y－x). ∵xy＝2，y－x＝1， ∴原式＝－2×2×1＝－4. －4 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 第2讲　代数式、整式及因式分解 第2讲　代数式、整式及因式分解 总目录 3.已知a，b，c是△ABC的三边，b2＋2ab＝c2＋2ac，则△ABC的形状是 ________________. [解析] ∵b2＋2ab＝c2＋2ac， ∴a2＋b2＋2ab＝a2＋c2＋2ac. ∴(a＋b)2＝(a＋c)2. ∵a＋b>0，a＋c>0，∴a＋b＝a＋c，即b＝c. ∴此三角形是等腰三角形. 等腰三角形 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 第2讲　代数式、整式及因式分解 第2讲　代数式、整式及因式分解 总目录 1.(2022·石室中学)248－1能被60到70之间的某两个整数整除，则这两个整数是( ) A.61和63 B.63和65 C.65和67 D.64和67 变式 B 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 第2讲　代数式、整式及因式分解 第2讲　代数式、整式及因式分解 总目录 2.如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a＞b).把余下的部分剪拼成一个长方形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是( ) A.a2－2ab＋b2＝(a－b)2 B.a2－ab＝a(a－b) C.a2－b2＝(a－b)2 D.a2－b2＝(a＋b)(a－b) D 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 第2讲　代数式、整式及因式分解 第2讲　代数式、整式及因式分解 总目录 解题反思 因式分解的应用主要有求值、整除讨论，以及数形结合的等积变形等方面的应用，都与因式分解的基本方法密切相关. 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 第2讲　代数式、整式及因式分解 第2讲　代数式、整式及因式分解 总目录 素养提升 3 (2023·树德中学)(1)已知a－b＝4，ab＝5，求a2＋b2和(a＋b)2的值； [解答] 解：∵a－b＝4，ab＝5， ∴a2＋b2＝(a－b)2＋2ab＝16＋10＝26， (a＋b)2＝(a－b)2＋4ab＝16＋20＝36. 例 6 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 第2讲　代数式、整式及因式分解 总目录 (2)若x满足(x－2 023)2＋(x－2 010)2＝189，求(x－2 023)(x－2 010) 的值； 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 第2讲　代数式、整式及因式分解 总目录 (3)如图，在长方形ABCD中，AB＝11 cm，点E，F分别是边BC，CD上的点，EC＝6 cm，且BE＝DF＝x cm，分别以FC，CB为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和正方形CBMN，若长方形CBQF的面积为80 cm2，求图中阴影部分的面积和. 解：设CF＝p cm，BC＝q cm， 则p＋x＝11，q－x＝6，pq＝80. ∴p＋q＝17. ∴图中阴影部分的面积和为 p2＋q2＝(p＋q)2－2pq＝172－2×80＝129(cm2). 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 第2讲　代数式、整式及因式分解 总目录 解题反思 本题三问都以公式的恒等变形为基础，结合整体代入的思想，且层层深入，要注意体会一题多问之间的联系. 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 第2讲　代数式、整式及因式分解 总目录 素养发展 4 1. (2018·泸州)下列计算，结果等于a4的是( ) A.a＋3a B.a5－a C.(a2)2 D.a8÷a2 C 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 1 2 3 4 6 5 第2讲　代数式、整式及因式分解 第2讲　代数式、整式及因式分解 总目录 C 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 1 2 3 4 6 5 第2讲　代数式、整式及因式分解 第2讲　代数式、整式及因式分解 总目录 3. (2021·泸州)分解因式： 4－4m2＝___________________. 4(1＋m)(1－m) 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 1 2 3 4 6 5 第2讲　代数式、整式及因式分解 第2讲　代数式、整式及因式分解 总目录 4. (2018·泸州)分解因式： 3a2－3＝___________________. 3(a＋1)(a－1) 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 1 2 3 4 6 5 第2讲　代数式、整式及因式分解 第2讲　代数式、整式及因式分解 总目录 5. (2023·成都七中) (1)先化简，再求值：[(xy＋2)(xy－2)－2x2y2＋4]÷xy，其中x＝1，y＝－2； (2)先化简，再求值：(x＋4)(x－4)＋(x－3)2，其中x2－3x＋1＝0. 解：(1)原式＝(x2y2－4－2x2y2＋4)÷xy＝－x2y2÷xy＝－xy. 当x＝1，y＝－2时，原式＝－1×(－2)＝2. (2)原式＝x2－16＋x2－6x＋9＝2x2－6x－7. ∵x2－3x＋1＝0，∴x2－3x＝－1. ∴原式＝2(x2－3x)－7＝2×(－1)－7＝－2－7＝－9. 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 1 2 3 4 6 5 第2讲　代数式、整式及因式分解 第2讲　代数式、整式及因式分解 总目录 6.分解因式： (1)3ax2－6ax＋3a； (2)9x2(a－b)＋4y2(b－a). 解：(1)原式＝3a(x2－2x＋1)＝3a(x－1)2. (2)原式＝9x2(a－b)－4y2(a－b) ＝(a－b)(9x2－4y2) ＝(a－b)(3x＋2y)(3x－2y). 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 1 2 3 4 6 5 第2讲　代数式、整式及因式分解 第2讲　代数式、整式及因式分解 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P3～4第2讲 分式型：已知x＋＝2(或x－＝2)，则x2＋＝⑧________， ＝⑨_______ 1.单项式－的系数是_______，次数是______. 2.(2020·泸州)若xa－1y3与x4y3是同类项，则a的值是______. － 2.(2022·成外)关于a的多项式a|x|－(x－2)a－1是二次三项式，则x＝ _______. 2.(2023·温江区)先化简，再求值：[(a＋b)(a－b)－(a－b)2－2b(b－a)]÷ b，其中b－a＝－8. 解：原式＝(a2－b2－a2＋2ab－b2－2b2＋2ab)÷b＝(4ab－4b2)· ＝12a－12b. 当b－a＝－8时， 原式＝－12(b－a)＝－12×(－8)＝96. 解：设m＝x－2 023，n＝x－2 010， 则m2＋n2＝189，m－n＝－13. ∴(x－2 023)(x－2 010)＝mn ＝[(m2＋n2)－(m－n)2] ＝×(189－169)＝10. 2.(2021·泸州)已知10a＝20，100b＝50，则a＋b＋的值是( ) A.2 B. C.3 D. $$