专题11 圆的最值问题之瓜豆模型-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都九年级数学下册题型全攻略（北师大版）

专题11 圆的最值问题之瓜豆模型 【知识点梳理】 思考1 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点． 当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ 揭秘：Q点轨迹是一个圆，考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，． 小结：确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线， 由Q为AP中点可得：AM=1/2AO．Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放． 根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系； 根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系． 思考2：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP． 当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ 揭秘： Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径．考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM． 思考3：如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°，且AP=2AQ， 当P在圆O运动时，Q点轨迹是？ 揭秘： 考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP：AQ=2：1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO：AM=2：1．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2． 推理： （1）如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为一边作等边△APQ． 当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是和圆O全等的一个圆. （2）如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为斜边作等腰直角△APQ． 当点P在圆O上运动时，Q点轨迹为按AP：AQ=AO：AM=：1的比例缩放的一个圆. 总结： 为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”． 此类问题的必要条件：两个定量，即： ①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）； ②主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP：AQ是定值）． 【例题精讲】 例1．如图，在平面直角坐标系中，已知，以点C为圆心的圆与y轴相切，点A、B在x轴上，且．点P为上的动点，，则长度的最小值为 ．    【答案】4 【分析】本题考查了切线的性质，坐标和图形的性质，圆周角定理，找到的最小值是解题的关键． 连接，交上一点P，以O为圆心，以为半径作，交x轴于A、B，此时的长度最小，根据勾股定理和题意求得，则的最小长度为4． 【详解】解：连接，交⊙C上一点P，以O为圆心，以为半径作，交x轴于A、B，此时的长度最小，    ∵， ∴， ∵以点C为圆心的圆与y轴相切． ∴的半径为3， ∴， ∴， ∵是直径，∴， ∴长度的最小值为4， 故答案为：4． 例2．如图，在等腰中，斜边的长为8，点P在以为直径的半圆上，M为的中点．当点P沿半圆从点A运动至点C时，点M运动的路径长为 ；连接，则的最小值为 ． 【答案】 / 【分析】取的中点O，连接，取的中点，连接，利用勾股定理求出，根据三角形中位线的性质求出，确定点M的运动轨迹，即可求出点M运动的路径长；再根据点到圆上的距离即可求出的最小值． 【详解】解：取的中点O，连接，取的中点，连接， 在等腰中，斜边的长为8， ， ， 点O为的中点， ， 为的中点，点为的中点， 是的中位线， ， ∴点M在以为半径的上运动． ∵当点P从点A运动至点C时， 点M所经过的路径为半圆， ∴点M运动的路径长为； ∵点M在以为半径的上， ∴当点M在与的交点处时，最小，最小值为． ， ， 的最小值为． 故答案为：，． 【点睛】本题考查点到圆上的距离，弧长公式，三角形中位线，直角三角形的性质，勾股定理及等腰三角形的性质，正确作出辅助线，确定点M的运动轨迹是解题的关键． 例3．如图，在中，，，分别是CB、AB的中点，连接EF，将绕点旋转一个角度，连接并延长，与直线交于点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质．证明点在以为直径的圆上，得到当为的切线时，有最小值，此时重合，据此求解即可． 【详解】解：连接，由题意得和都是等腰直角三角形，且，，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∴点在以为直径的圆上，点在以为圆心，为半径的圆上， ∴当为的切线时，有最小值，此时重合， ∴， 即的最小值是， 故答案为：． 例4．如图，正方形中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，，则的最小值为（    ）    A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】取点B关于直线的对称点M，连接，两线交于点O，连接，，，过O作于点N，根据勾定理求出，结合四点共线时最小即可得到答案； 【详解】解：取点B关于直线的对称点M，连接，两线交于点O，连接，，，，过O作于点N，    ∵正方形，E是的中点． ∴，，， ∵点Q是的中点， ∴， ∴点Q在以O为圆心，半径为1的圆上运动， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴当、 、、四点共线时的值最小， ， ∴的最小值为： ， 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称最小距离和问题，正方形的轴对称性质，圆上动点最小距离问题，勾股定理，解题的关键是找到点Q的轨迹． 【课后练习】 1．如图，分别经过原点O和点的动直线a，b，其夹角，点M是中点，连接，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】作的外接圆，连接，取的中点Q，连接，证明是等边三角形，求出，得到点M在以Q为圆心，4为半径的圆上运动，画出，当M在与的交点时，连接交于M，此时有最小值，根据等边三角形的性质及勾股定理即可求解． 【详解】解：作的外接圆，连接，取的中点Q，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴点M在以Q为圆心，4为半径的圆上运动，画出， 当M在与的交点时，连接交于M，此时有最小值， ∵是等边三角形，， ∴， ∵，， ∴． ∴的最小值是， 故选：C． 【点睛】本题考查坐标与图形，点到圆上的距离，等边三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确作出辅助线构造三角形外接圆是解题的关键． 2．如图，在中，，，D是以点A为圆心，3为半径的圆上一点，连接是的中点，则线段长度的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理的知识，作的中点E，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得和的长，即可求解． 【详解】解：作的中点E，连接， 在直角中，， ∵E是直角斜边上的中点， ∴， ∵M是的中点，E是的中点， ∴， M轨迹为以E为圆心，为半径的圆， ∴线段长度的最小值为． 故答案为：5． 3．如图，正方形中，，M是边上一个动点，以为直径的圆与相交于点Q，P为上另一个动点，连接，，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是找出定点和动点，以及动点在什么图形上运动．中，A点是定点，P，Q是动点，P在线段上，想到将军饮马，Q在以为直径的圆上，最终转化为点圆最值问题． 【详解】解：连接，以为一条边在右侧作正方形，如图所示： 则， ∴， ∴点Q在以为直径的圆上运动， 即点Q在上， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∴当E、P、Q、O在同一直线上时，最小，且最小值为， ∵， ∴O、C、F在同一直线上， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 4．如图，已知中，，，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理、直径所对的圆周角是直角、求一点到圆上点距离的最值，分析得出“动点在以中点为圆心，为半径的圆上运动”是解题的关键． 根据勾股定理计算，由直径所对的圆周角是直角，推出，推出动点在以中点为圆心，为半径的圆上运动，当，，在同一直线上时，最小，根据勾股定理求出，则，计算得出答案即可． 【详解】解：∵中，，，， ∴， 如图，连接， ∵以为直径作， ∴， ∴， ∴如图，动点在以中点为圆心，为半径的圆上运动， ∴， ∴当，，在同一直线上时，最小，， ∴，即的最小值， 故答案为：． 5．如图，是中的两条弦，相交于点E，且，，点H为劣弧上一动点，G为中点，若，，连接，则最小值为 ．    【答案】 【分析】连接，过点O作，交于点K，，交于点F，构造正方形，计算圆的半径，然后作的中点M，连接，，推导出点G的运动轨迹是以M为圆心的圆，连接与圆M的交点就是的最小值．进而求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，过点O作，交于点K，，交于点F，    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，， 如图所示，作的中点M，连接，，    ∵点M是的中点，G为中点， ∴， ∴点G在以点M为圆心，以为半径的圆上运动， 连接交于点，过点M作于N， ∴当点A，G，M三点共线时，即点G和点重合时，的值最小， ∵点M是的中点，， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 则， ∴的最小值为 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆的综合，涉及垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形的中位线定理等知识，正确添加辅助线构造直角三角形，得到点G的运动轨迹是解答的关键． 6．如图，已知扇形中，圆心角，半径，点为．上一点，将沿翻折后交于点，点分别为中点，过点作与翻折后的弧线交于点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】作关于的对称点，在上，可得，过点作，交延长线于点，连接，，证为等边三角形，得，又证为等边三角形，得，，，进而证明，得，由，即可得解． 【详解】解：作关于的对称点，在上，可得，过点作，交延长线于点，连接，， ∵是的中点，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∵， ∴最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短，垂径定理及推论，勾股定理，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，轴对称的性质，熟练掌握垂径定理及推论，勾股定理，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 7．如图，为的直径，，D为弧上一动点，连结，作交于E，连结． （1）当D为弧的中点时， ； （2）当D在弧上运动时，的最小值为 ． 【答案】 【分析】（1）利用垂径定理结合勾股定理求出，证明，即可解答； （2）过B作垂线交延长于G，设以为直径的圆的圆心为H，连接，证明点四点共圆，则可得E在以为直径的一段圆弧上．当点三点共线时，有最小值，，求出，再利用三角形中位线求出即可求解． 【详解】解：（1）连接， ∵D为的中点， ∴， ∴F为中点． ∵为直径， ∴， ∴， ∴． ∵O为中点，F为中点， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴， ∴． （2）过B作垂线交延长于G，设以为直径的圆的圆心为H，连接， ， ∴， ， ，， ， 点四点共圆，则可得E在以为直径的一段圆弧上． 当点三点共线时，有最小值， ∵，， ， ， ， ， ∴．， ∴．∴，∴． ∵点O，点H分别是中点， ∴是的中位线， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，点到圆上的距离，四点共圆，正确作出辅助线是解题的关键． 8．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C在第一象限内，直线与以为直径的圆相交于点B，连接，如果，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一点到圆上一点距离的最值问题，相似三角形的性质与判定，勾股定理，坐标与图形，直径所对的圆周角是直径等等，如图所示，过点C作且，连接，可证明，得到，进而得到，再证明，则点E在y轴上，即可得到点C在以为直径的圆上运动，取，连接，则当点C在上时，有最小值，据此求解即可． 【详解】解；如图所示，过点C作且，连接， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∵点A的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点E在y轴上， ∵， ∴点C在以为直径的圆上运动， 取，连接，则当点C在上时，有最小值， 由勾股定理得， ∴最小值为， 故答案为：． 9．如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使，连接，则长的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、两圆的位置关系、轨迹等知识，如图，作，使得，，则，，，由，推出，即（定长），由点是定点，是定长，推出点在半径为的上，由此即可解决问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 【详解】解：如图，作，使得，，则，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即（定长）， ∵点是定点，是定长， ∴点在半径为的上， ∵， ∴的最大值为， 故答案为：． 10．如图所示，在扇形中，，，点是上的动点，以为边作正方形，当点从点移动至点时，求点经过的路径长．    【答案】点经过的路径长为． 【分析】如图，由此BO交⊙O于F，取的中点H，连接FH、HB、BD．易知△FHB是等腰直角三角形，HF＝HB，∠FHB＝90°，由∠FDB＝45°＝∠FHB，推出点D在⊙H上运动，轨迹是（图中红线），易知∠HFG＝∠HGF＝15°，推出∠FHG＝150°，推出∠GHB＝120°，易知HB＝3，利用弧长公式即可解决问题． 【详解】解：如图，由此BO交⊙O于F，取的中点H，连接FH、HB、BD．    易知△FHB是等腰直角三角形，HF＝HB，∠FHB＝90°， ∵∠FDB＝45°＝∠FHB， ∴点D在⊙H上运动，轨迹是（图中红线）， 易知∠HFG＝∠HGF＝15°， ∴∠FHG＝150°， ∴∠GHB＝120°，易知HB＝3， ∴点D的运动轨迹的长为＝2π． 【点睛】本题考查轨迹、弧长公式、圆的有关知识、正方形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找点D的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题． 11．在中，把线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，已知，，，求的长； (2)如图2，已知，点F和点E分别为和的中点，连接，求证：； (3)如图3，已知且，把线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）过点作于点，过点作，交延长线于点，先求出，再证出，根据全等三角形的性质可得，，然后在中，利用勾股定理求解即可得； （2）作，交延长线于点，连接，并延长至，连接，先得出，再证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，从而可得，然后证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得证； （3）分别作和的外角的角平分线，交直线于点，则，先求出，，，从而可得点在以的中点为圆心、4为半径的上运动，连接，分别将和绕点和点顺时针和逆时针旋转至和，则点在以为圆心、为半径的上运动，点在以为圆心、为半径的上运动，连接，交于点，交于点，从而得出当点与点、点与点重合时，的值最小，最小值为，作于点，利用勾股定理求出，由此即可得． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，过点作，交延长线于点， ∵，， ∴， 解得， 由旋转的性质得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 则在中，． （2）证明：如图，作，交延长线于点，连接，并延长至，连接， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵点和点分别为和的中点， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，分别作和的外角的角平分线，交直线于点， ∴， 设点到的距离为，点到两边的距离分别为，则， ∴， ∴， 同理可得：， ∵， ∴，， ∴， ∴点在以的中点为圆心、4为半径的上运动， 连接，分别将和绕点和点顺时针和逆时针旋转至和， ∴， ∴，，，， ∴点在以为圆心、为半径的上运动，点在以为圆心、为半径的上运动， 连接，交于点，交于点， ∴当点与点、点与点重合时，的值最小，最小值为，此时点在的点处， 作于点， ∵，， ∴， ∴， 所以的最小值为． 【点睛】本题考查了勾股定理、旋转的性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、圆周角定理等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 圆的最值问题之瓜豆模型 【知识点梳理】 思考1 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点． 当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ 揭秘：Q点轨迹是一个圆，考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，． 小结：确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线， 由Q为AP中点可得：AM=1/2AO．Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放． 根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系； 根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系． 思考2：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP． 当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ 揭秘： Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径．考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM． 思考3：如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°，且AP=2AQ， 当P在圆O运动时，Q点轨迹是？ 揭秘： 考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP：AQ=2：1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO：AM=2：1．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2． 推理： （1）如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为一边作等边△APQ． 当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是和圆O全等的一个圆. （2）如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为斜边作等腰直角△APQ． 当点P在圆O上运动时，Q点轨迹为按AP：AQ=AO：AM=：1的比例缩放的一个圆. 总结： 为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”． 此类问题的必要条件：两个定量，即： ①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）； ②主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP：AQ是定值）． 【例题精讲】 例1．如图，在平面直角坐标系中，已知，以点C为圆心的圆与y轴相切，点A、B在x轴上，且．点P为上的动点，，则长度的最小值为 ．    例2．如图，在等腰中，斜边的长为8，点P在以为直径的半圆上，M为的中点．当点P沿半圆从点A运动至点C时，点M运动的路径长为 ；连接，则的最小值为 ． 例3．如图，在中，，，分别是CB、AB的中点，连接EF，将绕点旋转一个角度，连接并延长，与直线交于点，则的最小值是 ． 例4．如图，正方形中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，，则的最小值为（    ）    A． B． C．6 D． 【课后练习】 1．如图，分别经过原点O和点的动直线a，b，其夹角，点M是中点，连接，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 2．如图，在中，，，D是以点A为圆心，3为半径的圆上一点，连接是的中点，则线段长度的最小值为 ． 3．如图，正方形中，，M是边上一个动点，以为直径的圆与相交于点Q，P为上另一个动点，连接，，则的最小值是 ． 4．如图，已知中，，，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值为 ． 5．如图，是中的两条弦，相交于点E，且，，点H为劣弧上一动点，G为中点，若，，连接，则最小值为 ．    7．如图，已知扇形中，圆心角，半径，点为．上一点，将沿翻折后交于点，点分别为中点，过点作与翻折后的弧线交于点，则的最小值为 ． 8．如图，为的直径，，D为弧上一动点，连结，作交于E，连结． （1）当D为弧的中点时， ； （2）当D在弧上运动时，的最小值为 ． 9．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C在第一象限内，直线与以为直径的圆相交于点B，连接，如果，则的最小值为 ． 10．如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使，连接，则长的最大值为 ． 11．如图所示，在扇形中，，，点是上的动点，以为边作正方形，当点从点移动至点时，求点经过的路径长．    12．在中，把线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，已知，，，求的长； (2)如图2，已知，点F和点E分别为和的中点，连接，求证：； (3)如图3，已知且，把线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，请直接写出的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$