专题10 圆的最值问题之隐圆模型-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都九年级数学下册题型全攻略（北师大版）

专题10 圆的最值问题之隐圆模型 【知识点梳理】 （1）动点定长模型 若P为动点，但AB=AC=AP 原理：圆A中，AB=AC=AP 则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径 备注：常转全等或相似证明出定长 （2）直角圆周角模型 固定线段AB所对动角∠C恒为90° 原理：圆O中，圆周角为90°所对弦是直径 则A、B、C三点共圆，AB为直径 备注：常通过互余转换等证明出动角恒为直角 （3）定弦定角模型 固定线段AB所对动角∠P为定值 原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等 则点P运动轨迹为过A、B、C三点的圆 备注：点P在优弧、劣弧上运动皆可 （4）四点共圆模型① 若动角∠A+动角∠C=180° 原理：圆内接四边形对角互补 则A、B、C、D四点共圆 备注：点A与点C在线段AB异侧 （5）四点共圆模型② 固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C 原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等 则A、B、C、P四点共圆 备注：点P与点C需在线段AB同侧 【例题精讲】 例1．（定长模型）如图，在中，，E是直角边的中点，F是直角边上的一个动点，将沿所在直线折叠，得到，D是斜边的中点，若，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 例2．（定边对定角）如图，在以为直径半圆上，，，点是上的一动点，，连接，则的长的最小值是 ． 例3．（四点共圆模型）在中，，，，点是上一动点，于，于，线段的最小值为 ． 例4．（模型综合）探究 （1）发现：如图1，在平面内，已知的半径为r，且，P为上一动点，连接，易得的最大值为 ___________，最小值为___________；（用含a，r的代数式表示） （2）应用：①如图2，在矩形中，，E为边中点，F为边上一动点，沿将翻折得到，连接，则的最小值为___________； ②如图3，点P为线段外一动点，分别以为直角边，作等腰和等腰，连接．若，求的最大值； （3）拓展：如图4，已知以为直径的半圆O，C为弧上一点，且，P为弧上任意一点，交于D，若，则的最小值为___________． 【课后练习】 1．如图，是边长为1的正方形内的一个动点，且满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，且，点是的中点，、，则四边形面积的最小值为（  ） A．30 B．32 C．35 D．38 3．如图，在正方形中，，M，N分别为边 ， 的中点，E为边上一动点，以点 E为圆心，的长为半径画弧，交 于点F，P为的中点，Q为线段上任意一点，则 长度的最小值为（    ）    A． B． C． D． 4．如图，已知以为直径的半圆，为弧上一点，，为弧上任意一点，交于，连接，若，则的最小值为 ． 5．如图，已知正方形的边长为8，点和分别从、同时出发，以相同的速度沿、向终点、运动，连接、，交于点，连接，则长的最小值为 ． 6．如图，在中，，，，点D为线段上一动点．以为直径，作交于点E，连，则的最小值为 ． 7．如图，中，，，，D为内一动点，为的外接圆，直线交于P点，交于E点，，则的最小值为 ． 8．如图，E是边长为的等边所在平面内的一点，且是的中点，直线交于点N，则的最小值为 ． 9．如图，是的直径，弦是下半圆上的一动点，E为的中点，连接，则的最小值为 ．    10．如图，以为圆心，半径为6的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为上一动点，于F，点E在G的运动过程中，线段的长度的最小值为 ． 11．如图，在等腰直角三角形中，，点在以斜边为直径的圆上，为的中点．当点沿圆从点开始运动一周时，长度的最小值是 ． 12．【回归教材】 （1）苏科版数学九年级教材第42页第4题：如图1，是的高，M是的中点．点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？ 小明在完成此题解答后提出：如图2，若的交点为点O，则点A、D、O、E四点也在同一个圆上．请对教材原题或小明提出的问题进行解答．（选择一个解答即可） 【直接应用】 （2）如图3，锐角中，是高线，于G，于F，求证：． 【拓展延伸】 （3）如图4，等边三角形中，，P为边上一动点，，垂足分别为D、E．则的最小值为 ． （4）如图5，小明完成上面的问题后发现的两条高相交于点O，连接并延长交于点F．则为的边上的高．即三角形的三条高所在直线交于同一点．如图6，已知是的外接圆，是的高，相交于点P．若，请直接写出的面积 ．（结果请用m，n的代数式表示，并保留） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 圆的最值问题之隐圆模型 【知识点梳理】 （1）动点定长模型 若P为动点，但AB=AC=AP 原理：圆A中，AB=AC=AP 则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径 备注：常转全等或相似证明出定长 （2）直角圆周角模型 固定线段AB所对动角∠C恒为90° 原理：圆O中，圆周角为90°所对弦是直径 则A、B、C三点共圆，AB为直径 备注：常通过互余转换等证明出动角恒为直角 （3）定弦定角模型 固定线段AB所对动角∠P为定值 原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等 则点P运动轨迹为过A、B、C三点的圆 备注：点P在优弧、劣弧上运动皆可 （4）四点共圆模型① 若动角∠A+动角∠C=180° 原理：圆内接四边形对角互补 则A、B、C、D四点共圆 备注：点A与点C在线段AB异侧 （5）四点共圆模型② 固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C 原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等 则A、B、C、P四点共圆 备注：点P与点C需在线段AB同侧 【例题精讲】 例1．（定长模型）如图，在中，，E是直角边的中点，F是直角边上的一个动点，将沿所在直线折叠，得到，D是斜边的中点，若，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短、三角形的中位线定理、圆的定义，确定动点的运动轨迹是解题的关键．根据折叠的性质可得，，结合E是直角边的中点，得到，由此可判断点在以为圆心，为半径的圆上运动，当、、共线时，此时的值最小，根据三角形中位线定理求出，即可求出此时的最小值． 【详解】解： 将沿所在直线折叠，得到， ， ， E是直角边的中点， ， 点在以为圆心，为半径的圆上运动，如图所示， ， 当、、共线时，即与重合时，取得最小值， 又， 此时的值最小， D是斜边的中点， 是的中位线， ， 此时，， 的最小值为4． 故选：C． 例2．（定边对定角）如图，在以为直径半圆上，，，点是上的一动点，，连接，则的长的最小值是 ． 【答案】 【分析】取中点，连接，，，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，点在以为圆心，为半径的圆上运动，进而解求得，即可求解． 【详解】解：取中点，连接，，，如图， ，， ， 即点在以为圆心，为半径的圆弧上运动， ， ， 在中，， 的长最小是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，求到圆上一点的最小距离，斜边上的中线等于斜边的一半，三角函数，勾股定理，求得点的轨迹是解题的关键． 例3．（四点共圆模型）在中，，，，点是上一动点，于，于，线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，作于，于．连接，，．设，则．根据，可得，解得，推出，由，，，四点共圆，推出当的直径最小时，的长最小，根据垂线段最短可知：当与重合时，的值最小，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，作于，于．连接，，．设，则． ， ， 解得， ，， ，，， ， ， ，， ， ，，，四点共圆， 当的直径最小时，的长最小， 根据垂线段最短可知：当与重合时，的值最小，的最小值为， 此时，，的最小值为，故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂线段最短，勾股定理，四点共圆，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 例4．（模型综合）探究 （1）发现：如图1，在平面内，已知的半径为r，且，P为上一动点，连接，易得的最大值为 ___________，最小值为___________；（用含a，r的代数式表示） （2）应用：①如图2，在矩形中，，E为边中点，F为边上一动点，沿将翻折得到，连接，则的最小值为___________； ②如图3，点P为线段外一动点，分别以为直角边，作等腰和等腰，连接．若，求的最大值； （3）拓展：如图4，已知以为直径的半圆O，C为弧上一点，且，P为弧上任意一点，交于D，若，则的最小值为___________． 【答案】（1），；（2）①；②13（3） 【分析】（1）当在延长线上时，最大，最大为，当在线段上时，最小，最小为：； （2）①由沿将翻折得到，可知，即的轨迹是以为圆心，以2为半径的半圆，故当、、共线时，最小，此时，即得最小值为：； ②连接，由和是等腰直角三角形，可证明，即得，故当最大时，就最大，而，是等腰直角三角形，可得当、、共线时，最大此为，故最大为13； （3）以为边，在异侧作等边，连接、，由为半圆的直径，，可得，，，从而有，根据，即知的轨迹是以为圆心，为半径的，由，得，即有中，，可得当、、共线时，最小为． 【详解】解：（1）当在延长线上时，最大，如图： 最大为：， 当在线段上时，最小，如图： 最小为：， 故答案为：，； （2）①如图： 沿将翻折得到， ，即的轨迹是以为圆心，以2为半径的半圆， 当、、共线时，最小，此时， 最小值为：； 故答案为：； ②连接，如图： 和是等腰直角三角形， ，，， ，即， ， ， 当最大时，就最大， ，是等腰直角三角形， ， ， 当、、共线时，最大，如图： 此时， 最大为13； （3）以为边，在异侧作等边，连接、，如图： 为半圆的直径，， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ，即的轨迹是以为圆心，为半径的， 而， ， 中，， ， 当、、共线时，最小，如图： 最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆的综合应用，涉及翻折变换、全等三角形的判定与性质、三角形两边之差小于第三边等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形、等边三角形及转化思想的应用，综合性较强． 【课后练习】 1．如图，是边长为1的正方形内的一个动点，且满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、圆周角定理，在凹四边形中，求出，得点在运动过程中，使得，即点在正方形内，以为圆心，长为半径的圆弧上，如解图，连接，，当、、三点共线时，取得最小值，最小值为，求出和的长度，即可得到结果，解本题的关键是证明是定值，从而得到点的轨迹． 【详解】解：四边形是正方形， ， 在凹四边形中，，，， 始终为， 得点在运动过程中，使得，即点在正方形内，以为圆心，长为半径的圆弧上，如解图，连接，， ， 由解图可得，当、、三点共线时，取得最小值，最小值为， 在中，，， ，， 故选：D． 2．如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，且，点是的中点，、，则四边形面积的最小值为（  ） A．30 B．32 C．35 D．38 【答案】D 【分析】首先连接，，证明在以为圆心，2为半径的圆弧上，过作于，当G在上时，面积取最小值，此时四边形面积取最小值，再进一步解答即可． 【详解】解：连接，， ∵矩形， ∴，， ∵，为的中点， ∴， ∴在以为圆心，2为半径的圆弧上， 过作于， 当G在上时，面积取最小值，此时四边形面积取最小值， 四边形面积=三角形面积+三角形面积， 即四边形面积=三角形面积+24． 设圆弧交于，此时四边形面积取最小值， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 即四边形面积的最小值=． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理及矩形中的与动点相关的最值问题，圆的确定，解题的关键是利用直角三角形斜边的直线等于斜边的一半确定出点的运动轨迹． 3．如图，在正方形中，，M，N分别为边 ， 的中点，E为边上一动点，以点 E为圆心，的长为半径画弧，交 于点F，P为的中点，Q为线段上任意一点，则 长度的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，为的中点，可得，则在以为圆心，为半径的圆弧上运动，当四点共线时，最小，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接，    ∵正方形，， ∴，， ∵分别，的中点， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴在以为圆心，为半径的圆弧上运动， 当四点共线时，最小， 此时，， ∴， ∴， 即的最小值为：， 故选B 【点睛】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，正方形的性质，圆的确定，熟练的确定P的运动轨迹是解本题的关键． 4．如图，已知以为直径的半圆，为弧上一点，，为弧上任意一点，交于，连接，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的想性质，三角形的外接圆，解直角三角形等知识，判断点D在的外接圆上运动是解题的关键． 先求出，，则可判断点D在的外接圆上，设圆心为E，在优弧取点G，连接，，，，，过E作于F，可求，利用等边三角形的判定和性质求出，，利用勾股定理求出，由，当E、D、B三点共线时，最小，最小值为，即可求解． 【详解】解∶连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴点D在的外接圆上，设圆心为E，在优弧取点G，连接，，，，，   ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， 当E、D、B三点共线时，最小，最小值为， 故答案为：． 5．如图，已知正方形的边长为8，点和分别从、同时出发，以相同的速度沿、向终点、运动，连接、，交于点，连接，则长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查求一点到圆上点距离的最值，正方形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质等．根据题意和正方形的性质可利用证明，得出，进而可证出，于是可得点P在以为直径的圆上运动，运动路径是弧，连接交圆O于P，此时最小，进一步即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ∵，，， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P在以为直径的圆上运动，设圆心为O，运动路径是弧，是这个圆的， 如图所示，连接交圆O于P，此时最小， ∵，∴， 由勾股定理得：， ∴ ； 故答案为：． 6．如图，在中，，，，点D为线段上一动点．以为直径，作交于点E，连，则的最小值为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了圆周角定理和勾股定理，解决本题的关键是确定点运动的规律，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题．连接，可得，从而知点在以为直径的上，继而知点、、共线时最小，根据勾股定理求得的长，即可得答案． 【详解】解：如图，连接，   ， 点在以为直径的上， ， ， 当点、、共线时最小， ， ， ， 的最小值为16， 故答案为：16． 7．如图，中，，，，D为内一动点，为的外接圆，直线交于P点，交于E点，，则的最小值为 ． 【答案】1 【分析】由，得出，可知点D应在以为弦的，为的圆的弧上，再证明是等腰直角三角形，根据勾股定理得出，根据两点之间线段最短，当在一条直线上时最短，证明是直角三角形，从而得出，，即可得出答案． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点D应在以为弦的，为的圆的弧上， 设圆弧所在圆的圆心为，如图， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴由勾股定理得， 根据两点之间线段最短，当在一条直线上时，最短， ∵ ∴ ∴是直角三角形， ∵， ∴ ∵ ∴的最小值为1 故答案为：1． 【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，同弧或等弧所对的圆周角相等，正确找到的最小值是解题的关键． 8．如图，E是边长为的等边所在平面内的一点，且是的中点，直线交于点N，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了隐圆问题，涉及切线的性质，解直角三角形的相关计算，熟练掌握这些知识点是解题的关键．取的中点O，连接，过点N作于点H，根据题意可得点M在以O的圆心，1为半径的上运动，当与相切于点M时，最小，进而求解即可． 【详解】解：取的中点O，连接，过点N作于点H， 是的中点， ， ∴点M在以O的圆心，1为半径的上运动， ∴当与相切于点M时，最小， ∴此时，， ， ， ∵时等边三角形， ∴， ， ， ， ， ， 即的最小值为， 故答案为：． 9．如图，是的直径，弦是下半圆上的一动点，E为的中点，连接，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握圆周角定理，垂径定理，最短线段的计算是解题的关键，根据题意，连接，由垂径定理可得，点E在以为直径的圆上运动，根据可得是等边三角形，根据等边三角形的性质可得则的半径为3，由此即可求解． 【详解】解：连接，    ∵点为的中点， ， ∴点E在以为直径的圆上运动，   ， ∴是等边三角形， ，取的中点M， 则的半径为3， 的最小值为， 故答案为：． 10．如图，以为圆心，半径为6的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为上一动点，于F，点E在G的运动过程中，线段的长度的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查垂径定理，圆周角定理，直角三角形度角的判定和性质，熟练掌握性质定理，构造直角三角形是解题的关键．过点作于点，连接．得到点在的延长线上时，的长度的最小，最小值，即可得到答案． 【详解】解：过点作于点，连接， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点在以为直径的上， ， 点在的延长线上时，的长度的最小，最小值， 故答案为：． 11．如图，在等腰直角三角形中，，点在以斜边为直径的圆上，为的中点．当点沿圆从点开始运动一周时，长度的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点与圆的关系，圆周角定理，勾股定理，明确点在以为直径的圆上是解题的关键．取的中点，连接，推出，得到点在以为直径的圆上，设圆心为，连接，当、、共线时，最小，根据等腰三角形的性质得到，然后利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，取的中点，连接， 为的中点， ， ， 点在以为直径的圆上，设圆心为，连接，当、、共线时，最小， 在等腰直角三角形中，， ， ， ， ，， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 12．【回归教材】 （1）苏科版数学九年级教材第42页第4题：如图1，是的高，M是的中点．点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？ 小明在完成此题解答后提出：如图2，若的交点为点O，则点A、D、O、E四点也在同一个圆上．请对教材原题或小明提出的问题进行解答．（选择一个解答即可） 【直接应用】 （2）如图3，锐角中，是高线，于G，于F，求证：． 【拓展延伸】 （3）如图4，等边三角形中，，P为边上一动点，，垂足分别为D、E．则的最小值为 ． （4）如图5，小明完成上面的问题后发现的两条高相交于点O，连接并延长交于点F．则为的边上的高．即三角形的三条高所在直线交于同一点．如图6，已知是的外接圆，是的高，相交于点P．若，请直接写出的面积 ．（结果请用m，n的代数式表示，并保留） 【答案】（1）点B、C、D、E四点也在同一个圆上，理由见解析；点A、D、O、E四点在同一个圆上，理由见解析； （2）见解析； （3）； （4）． 【分析】本题主要考查了圆周角定理、四点共圆、勾股定理、平行四边形的判定与性质等知识点，正确画出图形、掌握并灵活运用四点共圆成为解题的关键． （1）做辅助线构造直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到相等的线段，最后根据等量代换及圆的定义解答即可； （2）通过四点共圆及圆周角定理得到，然后根据同位角相等两直线平行即可证明结论； （3）如图，连接，设中点为O，连接，易得P，D，C，E四点共圆，为直径，O为圆心，再结合等腰三角形的性质可得；设圆O的半径为r， 如图：过O作，易得，要使最小，则的半径r最小，故直径最小，当时，，即；最后代入即可解答； （4）如图：连接并延长交于Q，连接，则；如图：连接并延长交于F，即，进而证明四边形是平行四边形可得，再运用勾股定理可得，即的半径为，最后根据圆的面积公式即可解答． 【详解】（1）证明：点B、C、D、E四点也在同一个圆上，理由如下： 如图：连接， ∵M是的中点， ∴ ∵、是的高， ∴均为直角三角形 ∴ ∴ ∴点B、C、D、E四点也在同一个圆上； 点A、D、O、E四点在同一个圆上，理由如下： 如图，连接，取的中点N，连接， 则 ， ∵、是的高， ∴均为直角三角形 ∴， ∴， ∴点A、D、O、E四点在同一个圆上； （2）证明：由于与共斜边， ∴B、C、D、E四点共圆． ∴， 同理与共斜边， ∴D、E、F、G四点共圆． ∴， ∴． ∴． （3）如图，连接，设中点为O，连接， ∵ ∴P，D，C，E四点共圆，为直径，O为圆心， ∴， ， ∴， 设圆O的半径为r， 如图：过O作， ∴， ∴，即， 要使最小，则的半径r最小，故直径最小． 当时，运用等边三角形的性质及勾股定理可得， ∴ ∴． （4）如图：连接并延长交于Q，连接， ∴， 如图：连接并延长交于F，即， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，即的半径为， ∴的面积为． 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