专题09 圆的最值问题之阿氏圆模型-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都九年级数学下册题型全攻略（北师大版）

专题09 圆的最值问题之阿氏圆模型 【知识点梳理】 【模型来源】 “阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”. 【模型建立】 如图 1 所示，⊙O 的半径为R，点 A、B 都在⊙O 外 ，P为⊙O上一动点，已知R=OB， 连接 PA、PB，则当“PA+PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？ 解决办法：如图2，在线段 OB 上截取OC使 OC=R，则可说明△BPO与△PCO相似，则有PB=PC。故本题求“PA+PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当 A、P、C 三点共线时，“PA+PC”值最小。 【技巧总结】 计算的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形 问题：在圆上找一点P使得的值最小，解决步骤具体如下： 1. 如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB 2. 计算出这两条线段的长度比 3. 在OB上取一点C，使得，即构造△POM∽△BOP，则， 4. 则，当A、P、C三点共线时可得最小值 【例题精讲】 例1．已知是正方形的内切圆，，点P是上一动点，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了圆的综合运用，相似三角形的判定及性质，如图，连接，，，在上取一点E，使，连，．得到，进而求解．熟练运用相似三角形的性质，构建是解题的关键． 【详解】解：如图，连，，，在上取一点E，使，连接，． 则，    ∵，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 即的最小值为． 故答案为：． 例2．如图，是圆O的直径，，所对的圆心角为，点D是弦上的一个动点，那么的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理及垂线段最短等知识点，过点B作，过点O作 于点M，作，可得，进一步可推出；由垂线段最短得出当点E与M重合时的值最小，据此即可求解． 【详解】解：∵所对的圆心角为 ， ∴， ∵是⊙O 的直径， ∴， 如图，过点B作，过点O作 于点M，作， ∵， ∴， 在Rt△DBE中，， ， 根据垂线段最短可知，当点E与M重合时的值最小． ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴ ∴的的最小值为， 故答案为：． 例3．如图，在半圆O中，直径，点P为半圆O圆弧上一动点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】延长至点C，使得，连接，作的外接圆，连接，并延长交于点D，连接，则的值即为的值，当点C与点D重合时，有最大值，即为的值，的直径，解直角三角形求出，利用圆周角定理得到，由为的直径，得到，再利用直角三角形中，含角所对的边是斜边的一半，即可求解． 【详解】解：延长至点C，使得，连接，作的外接圆，连接，并延长交于点D，连接， 则的值即为的值， 当点C与点D重合时，有最大值，即为的值，的直径， ， ， ， ， ， ， 为的直径， ， ， ， 的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，直角三角形的特征，三角形外接圆，正确作出辅助线是解题的关键． 例4．如图，边长为2的正方形中，E、F分别为上的动点，，连接交于点P，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】证明，则，，如图，记的中点为，则在以为圆心，为直径的圆上，如图，连接，由勾股定理得，，如图，在上取点使，则，连接，，证明，则，即，由，可得当三点共线时，的值最小，为，如图，作于，则，，，则，即，可得，即，由勾股定理得，，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，记的中点为，则在以为圆心，为直径的圆上， 如图，连接， 由勾股定理得，， 如图，在上取点使，则，连接，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，为， 如图，作于， ∴， ∴， ∴， ∴，即，解得， ∴， 由勾股定理得，， 由勾股定理得，， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角所对的弦为直径，相似三角形的判定与性质，正弦等知识．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角所对的弦为直径，相似三角形的判定与性质，正弦是解题的关键． 例5．如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】如图，连接，在上取一点，使得，进而证明,则在点P运动的任意时刻，均有PM=，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，在△PDM中，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值，勾股定理即可求得． 【详解】如图，连接，在上取一点，使得， ， 在△PDM中，PD-PM＜DM， 当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值， 四边形是正方形， 在中， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，构造是解题的关键 【课后练习】 1．如图，在中，，，，以为圆心，为半径作，为上一动点，连接、，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解直角三角形；懂得依题意作辅助线构造相似三角形是解题的关键．在上截取，使得，连接，，．利用相似三角形的性质证明，可得，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：如图，在上截取，使得，连接，，． ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ， 在中，，，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 2．如图，是的直径，切于点交的延长线于点．设点是弦上任意一点（不含端点），若，，则的最小值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作平分，交于，连接、、，过点作于，根据切线的性质和三角形内角和定理可得，求得，根据角平分线的性质可得，根据含角的直角三角形的性质可得，求得，根据等边三角形的判定和性质可得，根据菱形的判定和性质可得平分，根据角平分线的性质和全等三角形的判定和性质可得，根据等边对等角和三角形内角和定理求得，根据特殊角的锐角三角函数可求得，推得，根据垂线段最短可得，当、、三点共线时，的值最小，即时，的值最小，根据特殊角的锐角三角函数可求得，即可求解． 【详解】解：作的角平分线，交于，连接、、，过点作于，如图：    ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵平分， 则， ∵，， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，即圆的半径为， ∵，， ∴、是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形， ∴平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 若使的值最小，即的值最小， 当、、三点共线时，，此时的值最小， 即时，的值最小， 此时，， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质，含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，特殊角的锐角三角函数，垂线段最短，解题的关键是明确当、、三点共线时， 的值最小，即的值最小． 3．如图，在中，点A、点B在上，，，点C在OA上，且，点D是的中点，点M是劣弧AB上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．延长到T，使得，连接，．利用相似三角形的性质证明，求的最小值问题转化为求的最小值．利用两点之间线段最短得到，利用勾股定理求出即可解题． 【详解】解：延长到T，使得，连接，． ， ， 点D是的中点， ，， ，， ， ， ， ， ， ，， 又在中，，， ，， 的最小值为， 故答案为：． 4．如图，在中，，以点B为圆心作圆B与相切，点P为圆B上任一动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】作BH⊥AC于H，取BC的中点D，连接PD，如图，根据切线的性质得BH为⊙B的半径，再根据等腰直角三角形的性质得到BHAC，接着证明△BPD∽△BCP得到PDPC，所以PAPC＝PA+PD，而PA+PD≥AD（当且仅当A、P、D共线时取等号），从而计算出AD得到PA的最小值． 【详解】解：作BH⊥AC于H，取BC的中点D，连接PD，如图， ∵AC为切线， ∴BH为⊙B的半径， ∵∠ABC＝90°，AB＝CB＝2， ∴ACBA＝2， ∴BHAC， ∴BP， ∵，， 而∠PBD＝∠CBP， ∴△BPD∽△BCP， ∴， ∴PDPC， ∴PAPC＝PA+PD， 而PA+PD≥AD（当且仅当A、P、D共线时取等号）， 而AD， ∴PA+PD的最小值为， 即PA的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．解决问题的关键是利用相似比确定线段PDPC．也考查了等腰直角三角形的性质． 5．如图所示，，半径为的圆内切于．为圆上一动点，过点作、分别垂直于的两边，垂足为、，则的取值范围为 ．    【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形；方法一，，作，，确定的最大值和最小值．方法二，延长交于点，求得，得到，，当与相切时，取得最大和最小，据此求解即可． 【详解】解：方法一，作于，作于，   ，， ， ， ， ， ， ， 当与相切时，取得最大和最小， 如图，    连接，，， 可得：四边形是正方形， ， 在中， ， ， 在中， ， ， ， 如图，    由上知：，， ， ， ， ． 故答案为：． 方法二：延长交于点，    ∵，，、分别垂直于的两边， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当与相切时，取得最大和最小， 连接，作， 可得：四边形是正方形， ， 在中，，， ， ∴的最大值为， 同理，的最小值为．   ． 故答案为：． 6．如图，已知是的直径，F是上一点，切于点E，连接交的切线于点C．交的延长线于点D．，，若点G为上一点，则最小值为 ． 【答案】 【分析】先求得，再过点作于，过点作交于，过点作交于，当、、在同一直线上（即、重合）时，最短，据此求解即可． 【详解】解：连接， ， ， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 连接，过点作于，过点作交于，过点作交于，    ∴，四边形是平行四边形， ，， ∵， ， ， ， ∴当、、在同一直线上（即、重合）时，最短， ∵是的切线， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，平行四边形的判定和性质，最短路径问题．解题的关键是利用构造，利用了转化思想． 7．已知：等腰中，，，是上一点，以为圆心的半圆与、均相切，为半圆上一动点，连、，如图，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质．设半圆与、的切点为、，取的中点，连接、，根据已知条件证明，得，当且仅当、、三点共线时，取得最小值，进而求解． 【详解】解：设半圆与、的切点为、， 连接、、、，则，，， 所以平分， ，， ， ， ， 取的中点，连接、， 则， ，， 在和中，，， ， ， ， ， 当且仅当、、三点共线时， 取得最小值, 最小值为． 故答案为：． 8．如图，半圆的半径为，为直径，为切线，，为弧上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的的判定和性质，三角形中位线的性质，连接，由切线的性质可得，即得，取的中点，连接，可得，得到，即得，得到，可知当在一条直线上时，最小为，作于，于，则为的中位线，得到，进而可得，，即得，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 是半的切线， ， ， 取的中点，连接， ， ， 又， ， ， ， ， ∴当在一条直线上时，最小为， 作于，于，则为的中位线， ， ，， ， 的最小值为． 9．如图，点P为等边内的一个动点，且于点D，于点E，若，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】此题为最短路径的变形题，因此将转化为的长度求最小值即可． 【详解】延长交于，以三点画圆，连接将关于对称至 ，是等边三角形， 点在以为圆心的圆上运动，且在圆上， ， 等腰中， ，是等边三角形， 点P在以O为圆心的圆上运动， 于点D，于点E， 中， 当与圆切于点时，有最小值 切于圆 四边形是正方形， 在中， 故答案为： 【点睛】此题考查最短路径，解题关键是需要将点的路径画出，然后将多条线段的数量关系转化成一条线段求最值． 10．如图甲，是的直径，点P在上，且，点M是外一点，与 相切于点B，连接，过点A作交于点C，连接交于点 D． (1)求证： 是的切线； (2)若，求的值； (3)如图乙，在（2）的条件下，延长至 N，使 在上找一点 Q，使得 的值最小，请求出其最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，根据平行线的性质及各角之间的关系得出，再由全等三角形的判定和性质得出，再由切线的判定即可证明； （2）根据切线长定理得出，然后利用相似三角形的判定和性质确定，利用正切函数的定义即可求解； （3）根据勾股定理确定，在上取点D，使 ，利用相似三角形的性质得出求 的值最小，相当于求最小值，当D、Q、N共线时，最小，作 于点 H，然后结合图形求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵在与中， ， ∴， ∴ ， 又∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：∵是 的切线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴， ； （3）解：在中，， ∴， ， ∴上取点D，使 ， ∴，D为定点， 且， ∴恒成立， ∴求 的值最小，相当于求最小值， ∴当D、Q、N共线时，最小， 如图，作 于点 H， 可得 ， 即 的最小值为 ． 【点睛】题目主要考查切线的判定和性质，勾股定理解三角形，相似三角形的判定和性质及解三角形的应用，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 11．如图，在中，以 C 为圆心作交及其延长线于点E、D，连接， (1)求证∶是的切线； (2)求点C到的距离； (3)点 P 是上一动点， 求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）过点作，交于点，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，进而得到，推出为的半径，即可得证； （2）求出的长，勾股定理求出的长，过点作，等积法求出的长即可； （3）取的中点，连接，进而得到，结合，得到，进而得到，进而得到，得到，得到三点共线时，的长最小为的长，勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：过点作，交于点， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 由题意，可知：为的直径， ∴， ∴， ∴为的半径， 又∵， ∴是的切线； （2）∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 过点作， 则：，即：， ∴， ∴点C到的距离为； （3）取的中点，连接，则：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值为的长， ∵，，由（2）知， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查切线的判定，含30度的直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定方法，添加辅助线，构造相似三角形，是解题的关键． 12．问题提出：如图①，在中，，，，的半径为，为圆上一动点，连接，求的最小值． (1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接，在上取一点，使，则．又，所以．所以．所以，所以．请你完成余下的思考，并直接写出答案：的最小值为 ； (2)自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值； (3)拓展延伸：如图②，已知在扇形COD中，，，，，是上一点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用勾股定理即可求得本题答案； （2）连接，在上取点，使，则有，可证，得到，即，从而的最小值为； （3）延长到点，使，连接，可证，得到，得到，当三点共线时，得到最小值． 【详解】（1）解：如图连接， ∵，要使最小， ∴当最小，当点在同一条直线时，最小， ∴的最小值为， 在中，，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； （2）解：如图连接，在上取点，使， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； （3）解：如图延长到点，使， ∴， 连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，取得最小值：， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理，相似三角形判定及性质，最值得确定． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 圆的最值问题之阿氏圆模型 【知识点梳理】 【模型来源】 “阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”. 【模型建立】 如图 1 所示，⊙O 的半径为R，点 A、B 都在⊙O 外 ，P为⊙O上一动点，已知R=OB， 连接 PA、PB，则当“PA+PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？ 解决办法：如图2，在线段 OB 上截取OC使 OC=R，则可说明△BPO与△PCO相似，则有PB=PC。故本题求“PA+PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当 A、P、C 三点共线时，“PA+PC”值最小。 【技巧总结】 计算的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形 问题：在圆上找一点P使得的值最小，解决步骤具体如下： 1. 如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB 2. 计算出这两条线段的长度比 3. 在OB上取一点C，使得，即构造△POM∽△BOP，则， 4. 则，当A、P、C三点共线时可得最小值 【例题精讲】 例1．已知是正方形的内切圆，，点P是上一动点，则的最小值为 ．    例2．如图，是圆O的直径，，所对的圆心角为，点D是弦上的一个动点，那么的最小值为 ． 例3．如图，在半圆O中，直径，点P为半圆O圆弧上一动点，则的最大值为 ． 例4．如图，边长为2的正方形中，E、F分别为上的动点，，连接交于点P，则的最小值为 ． 例5．如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为 ． 【课后练习】 1．如图，在中，，，，以为圆心，为半径作，为上一动点，连接、，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，是的直径，切于点交的延长线于点．设点是弦上任意一点（不含端点），若，，则的最小值为（　　）    A． B． C． D． 3．如图，在中，点A、点B在上，，，点C在OA上，且，点D是的中点，点M是劣弧AB上的动点，则的最小值为 ． 4．如图，在中，，以点B为圆心作圆B与相切，点P为圆B上任一动点，则的最小值是 ． 5．如图所示，，半径为的圆内切于．为圆上一动点，过点作、分别垂直于的两边，垂足为、，则的取值范围为 ．    6．如图，已知是的直径，F是上一点，切于点E，连接交的切线于点C．交的延长线于点D．，，若点G为上一点，则最小值为 ． 7．已知：等腰中，，，是上一点，以为圆心的半圆与、均相切，为半圆上一动点，连、，如图，则的最小值是 ． 8．如图，半圆的半径为，为直径，为切线，，为弧上一动点，则的最小值为 ． 9．如图，点P为等边内的一个动点，且于点D，于点E，若，则的最小值为 ． 10．如图甲，是的直径，点P在上，且，点M是外一点，与 相切于点B，连接，过点A作交于点C，连接交于点 D． (1)求证： 是的切线； (2)若，求的值； (3)如图乙，在（2）的条件下，延长至 N，使 在上找一点 Q，使得 的值最小，请求出其最小值． 11．如图，在中，以 C 为圆心作交及其延长线于点E、D，连接， (1)求证∶是的切线； (2)求点C到的距离； (3)点 P 是上一动点， 求的最小值． 12．问题提出：如图①，在中，，，，的半径为，为圆上一动点，连接，求的最小值． (1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接，在上取一点，使，则．又，所以．所以．所以，所以．请你完成余下的思考，并直接写出答案：的最小值为 ； (2)自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值； (3)拓展延伸：如图②，已知在扇形COD中，，，，，是上一点，求的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$