专题6.1 一次函数中的含参问题（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学上册压轴题专项讲练系列（苏科版）

专题6.1 一次函数中的含参问题 · 典例分析 【典例1】定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于的点，叫做该函数图象的“阶和点”例如，为一次函数的“阶和点”． （1）若点是关于的正比例函数的“阶和点”，则 ______ ， ______ ； （2）若关于的一次函数的图象经过一次函数图象的“阶和点”，求的值； （3）若关于的一次函数的图象有且仅有个“阶和点”，求的取值范围． 【思路点拨】 （1）利用待定系数法和“阶和点”的都有即点即可； （2）利用分类讨论的方法和“阶和点”的定义求得“阶和点”，再利用待定系数法解答即可； （3）利用一次函数的性质确定关于的一次函数的图象经过第一、三、四象限，再利用分类讨论的方法和“阶和点”的定义，求得的值，进而得到关于的不等式，解不等式求得的取值范围，再利用已知条件即可得出结论． 【解题过程】 （1）解：点是关于的正比例函数的点， ， ， 点到两坐标轴的距离之和等于， 点是关于的正比例函数的“阶和点”， ． 故答案为：；； （2）设一次函数图象的“阶和点”为，则，， 一次函数图象经过第一、二、三象限， 当在第一象限时，， ，， 一次函数图象的“阶和点”为， ， ； 当在第二象限时，，由于，此种情形不存在； 当在第三象限时，， ，， 一次函数图象的“阶和点”为， ， ． 综上，关于的一次函数的图象经过一次函数图象的“阶和点”，的值为或； （3）由题意得：， ， 关于的一次函数的图象经过第一、三、四象限， 设为关于的一次函数的图象的“阶和点”， ， 当在第一象限时，， ， ， ， ，， ，符合题意， 当在第一象限时，； 当在第三象限时，， ， ， ， ， ， ； 当在第三象限时，； 当在第四象限时，， ， ， ． 当在第四象限时，． 关于的一次函数的图象有且仅有个“阶和点”， 以上三个条件中同时满足其中两个即可， 当满足不满足时，； 当满足不满足时，； 当满足不满足时，的值不存在， 综上，关于的一次函数的图象有且仅有个“阶和点”，的取值范围为或． · 学霸必刷 1．（22-23八年级上·福建三明·期中）已知两直线与相交于第四象限，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·重庆·期中）若实数a使得关于x的不等式组有且只有2个整数解，且使得关于x的一次函数不过第四象限，则符合条件的所有整数a的和为（    ） A．7 B．9 C．12 D．14 3．（2024八年级·全国·竞赛）将函数的图象记为．若一次函数的图象与有交点，则的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D．或 4．（2024·浙江舟山·一模）已知一次函数，当时，，若的最小值为2，则的值为（    ） A． B．2 C． D．4 5．（22-23八年级下·天津红桥·期末）关于函数（为常数），有下列结论：①当时，此函数是一次函数；②无论取什么值，函数图像必经过点；③若图像经过二、三、四象限，则的取值范围是；④若函数图像与轴的交点始终在正半轴，则的取值范围是．其中，正确结论的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 6．（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数和，无论取何值，始终有，的取值范围为 . 7．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）已知是一次函数图像上的不同两个点，则当时，的取值范围是 ． 8．（23-24八年级下·北京·期中）已知直线与x轴、y轴分别交于点A，B．若将直线向上平移n个单位长度与线段有公共点，则n的取值范围是 ． 9．（2024·福建厦门·模拟预测）如图，、、，动点从点出发，沿轴以每秒2个单位长的速度向右移动，且过点的直线也随之平移，设移动时间为秒，若直线与线段有公共点，则的取值范围为 ． 10．（22-23八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，B的坐标分别为，，直线的函数表达式为．若线段与直线没有交点，则的取值范围是 ． 11．（23-24八年级下·北京西城·期中）下表是一次函数（，为常数，）中与的两组对应值． 0 （1）求这个一次函数的表达式； （2）已知直线，当时，对于的每一个值，都有，直接写出的取值范围．   12．（22-23八年级下·湖南长沙·阶段练习）已知一次函数． （1）当k为何值时，函数图象经过原点； （2）当k为何值时，函数图象经过一、三、四象限； （3）当k为何值时，y随x的增大而减小且图象与y轴的交点在x轴的下方．   13．（22-23八年级上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，设一次函数，（k，b是实数，且）． （1）若函数的图象过点，求函数与x轴的交点坐标； （2）若函数的图象经过点，求证：函数的图象经过点； （3）若函数的图象不经过第二象限，且过点，求k的取值范围．   14．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知一次函数，其中． （1）若点在y的图象上，求a的值； （2）当时，若函数有最小值，求的函数表达式； （3）对于一次函数，其中，若对一切实数x，都成立，求a，m需满足的数量关系及a的取值范围． 15．（2024·北京通州·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于轴的直线交于点． （1）求该函数的表达式及点的坐标； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围． 16．（22-23八年级下·福建漳州·期末）阅读理解： 例：若是多项式的一个因式，求的值． 解：设， 若时，则有， 将代入，得 ， 解得． 仿照上例的解法，解答下列的问题． （1）若是多项式的一个因式，求的值； （2）若可化为整式，求化简后的整式； （3）若和是多项式的两个因式，且直线不经过第二象限，求的取值范围． 17．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）我们将经过某一共同点的所有一次函数叫做经过该点的“直线系”，这个点叫做该“直线系”的“特征点”，经过“特征点”的“直线系”解析式可以统一表示为：，其中k叫做直线的“斜率”（k为常数且k≠0），例如经过点的“直线系”解析式可以表示为：． （1）试求“直线系” 的“特征点”坐标； （2）“特征点”为的“直线系”中有直线满足：当时，y的范围恰好为：，求该直线的解析式； （3）点在“特征点”为且斜率的直线上，其中b，c满足：，且，求t的取值范围． 18．（2023八年级下·全国·专题练习）约定：如果函数的图象经过点，我们就把此函数称作“族函数”．比如：正比例函数的图象经过点，所以正比例函数就是“族函数”． （1）①以下数量关系中，y不是x的函数的是　　（填选项） ②以下是“族函数”的是 　　（填选项） A，   B，   C，    D，    E，    F， （2）已知一次函数为常数，． ①若该函数是“族函数”，求k的值． ②无论k取何值，该函数必经过一定点，请写出该定点的坐标． （3）已知一次函数和都是“族函数”．当时，一次函数的函数值恰好有，求该一次函数的解析式． 19．（22-23九年级上·北京东城·期中）在平面直角坐标系中，已知点，对于点给出如下定义：将点P向右（）或向左（）平移个单位长度，再向上（）或向下（）平移个单位长度，得到点，点与点M的中点为Q，称点Q为点P的关于点M的“平移中点”．【已知，，则AB中点坐标为】 （1）①若，，则中点坐标为______； ②若，，则点Q的坐标为______ （2）已知，点P在直线l：上．当点Q在第一象限时，点P横坐标t取值范围是______ （3）已知正方形ABCD的边长为2，各边与x轴平行或者垂直，其中心为，点为正方形上的动点 ①当时，在点P运动过程中，点Q形成的图形的面积是______ ②当点在直线：上，在点P运动过程中，若存在点Q在正方形的边上或者内部，则a的取值范围是______． 20．（23-24八年级下·广东广州·期中）定义：对于给定的一次函数（，、为常数），把形如（，、为常数）的函数称为一次函数（，、为常数）的衍生函数．已知平行四边形的顶点坐标分别为，，，． （1）点在一次函数的衍生函数图象上，则 ； （2）如图，一次函数（，、为常数）的衍生函数图象与平行四边形交于四点，其中点坐标是，并且，求该一次函数的解析式． （3）一次函数（，、为常数），其中满足． 若一次函数（，为常数）的衍生函数图象与平行四边形恰好有两个交点，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.1 一次函数中的含参问题 · 典例分析 【典例1】定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于的点，叫做该函数图象的“阶和点”例如，为一次函数的“阶和点”． （1）若点是关于的正比例函数的“阶和点”，则 ______ ， ______ ； （2）若关于的一次函数的图象经过一次函数图象的“阶和点”，求的值； （3）若关于的一次函数的图象有且仅有个“阶和点”，求的取值范围． 【思路点拨】 （1）利用待定系数法和“阶和点”的都有即点即可； （2）利用分类讨论的方法和“阶和点”的定义求得“阶和点”，再利用待定系数法解答即可； （3）利用一次函数的性质确定关于的一次函数的图象经过第一、三、四象限，再利用分类讨论的方法和“阶和点”的定义，求得的值，进而得到关于的不等式，解不等式求得的取值范围，再利用已知条件即可得出结论． 【解题过程】 （1）解：点是关于的正比例函数的点， ， ， 点到两坐标轴的距离之和等于， 点是关于的正比例函数的“阶和点”， ． 故答案为：；； （2）设一次函数图象的“阶和点”为，则，， 一次函数图象经过第一、二、三象限， 当在第一象限时，， ，， 一次函数图象的“阶和点”为， ， ； 当在第二象限时，，由于，此种情形不存在； 当在第三象限时，， ，， 一次函数图象的“阶和点”为， ， ． 综上，关于的一次函数的图象经过一次函数图象的“阶和点”，的值为或； （3）由题意得：， ， 关于的一次函数的图象经过第一、三、四象限， 设为关于的一次函数的图象的“阶和点”， ， 当在第一象限时，， ， ， ， ，， ，符合题意， 当在第一象限时，； 当在第三象限时，， ， ， ， ， ， ； 当在第三象限时，； 当在第四象限时，， ， ， ． 当在第四象限时，． 关于的一次函数的图象有且仅有个“阶和点”， 以上三个条件中同时满足其中两个即可， 当满足不满足时，； 当满足不满足时，； 当满足不满足时，的值不存在， 综上，关于的一次函数的图象有且仅有个“阶和点”，的取值范围为或． · 学霸必刷 1．（22-23八年级上·福建三明·期中）已知两直线与相交于第四象限，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D．  【思路点拨】 由题意求出与x，y轴的交点坐标，代入即可． 【解题过程】 解：对于， 当时，， 当时，， ∴直线与x，y轴的交点坐标分别为，； ∵两直线与相交于第四象限， ∴把代入，得，解得， 把代入，得，解得， ∴， 故选：A． 2．（22-23八年级下·重庆·期中）若实数a使得关于x的不等式组有且只有2个整数解，且使得关于x的一次函数不过第四象限，则符合条件的所有整数a的和为（    ） A．7 B．9 C．12 D．14  【思路点拨】 先解不等式组，根据不等式组的解只有2个整数解，列出关于a的不等式，求出此时a的取值范围；再根据一次函数的图像不过第四象限，列出关于a的不等式组，再次求出a的取值范围，两项综合求出a最终的取值范围，则问题得解． 【解题过程】 解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式有解，则解为：， ∵不等式组有两个整数解， 则这两个整数解为3，2， ∴，解得； ∵一次函数不过第四象限， ∴则有，解得； 综上： ∴a的整数值有：3，4，5， 则其和为：3+4+5=12， 故选：C． 3．（2024八年级·全国·竞赛）将函数的图象记为．若一次函数的图象与有交点，则的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D．或  【思路点拨】 本题考查了一次函数的图象性质与不等式的关系，找出一元一次不等式是解题的关键； 根据的非负性得或两种情况，分类讨论得一元一次不等式，解不等式即可得出结论； 【解题过程】 解：图象如图所示：设, 当时，， ， 当时，， ， 过点，当y过处，即同时过A、B时， 将代入得： 解得： 当时，的图象与在第一象限有交点， 时，当与平行时，的图象与无交点， ， 时，的图象与在第二象限有交点， 故选：D 4．（2024·浙江舟山·一模）已知一次函数，当时，，若的最小值为2，则的值为（    ） A． B．2 C． D．4  【思路点拨】 本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数性质是解答本题的关键．先分析和时导出，根据最小值可得最小值为，通过配方得到，再根据确定的取值． 【解题过程】 解：当时，，，当，， ， 当时，，，当，， ， 的最小值为2， 最小值为， ， 当时，取得最小值，即， ， 由题意知，所以， 当时，，，不符合题意舍去， 当时，，满足题意， 故选：D 5．（22-23八年级下·天津红桥·期末）关于函数（为常数），有下列结论：①当时，此函数是一次函数；②无论取什么值，函数图像必经过点；③若图像经过二、三、四象限，则的取值范围是；④若函数图像与轴的交点始终在正半轴，则的取值范围是．其中，正确结论的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4  【思路点拨】 ①根据一次函数定义即可求解；②，即可求解；③图像经过二、三、四象限，则，，解关于的不等式组即可；④函数图像与轴的交点始终在正半轴，则，即可求解． 【解题过程】 解：①根据一次函数定义：形如的函数为一次函数， ， ， 故①正确； ②， 无论取何值，函数图像必经过点， 故②正确； ③图像经过二、三、四象限， ， 解不等式组得：， 故③正确； ④令，则， 函数图像与轴的交点始终在正半轴， ， ， 经分析知：， 解这个不等式组得， 故④正确． ①②③④都正确． 故选：D． 6．（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数和，无论取何值，始终有，的取值范围为 .  【思路点拨】 本题考查一次函数的图象及性质，由题意可知，且在的上方，则，当经过点时，， 此时两直线相交，即可得到时，，熟练掌握一次函数的图象及性质，通过所给的条件确定两条直线的位置关系是解题的关键． 【解题过程】 解：∵， ∴直线经过定点， ∵无论取何值，始终有， ∴，且在的上方， ∴， 当经过点时， ， ∴， 此时两直线相交， ∴时，， 即且， 故答案为：且． 7．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）已知是一次函数图像上的不同两个点，则当时，的取值范围是 ．  【思路点拨】 本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性，是解决问题的关键． 根据，判断出时，，得到y随x的增大而减小，从而得出，即得， 【解题过程】 解：∵、是一次函数图象上的不同两个点，且，， ∴， ∴与异号， ∴当时，，或当，则 ∴时，，或， ∴该函数y随x的增大而减小， ∴， 解得． 故答案为：． 8．（23-24八年级下·北京·期中）已知直线与x轴、y轴分别交于点A，B．若将直线向上平移n个单位长度与线段有公共点，则n的取值范围是 ．  【思路点拨】 此题考查了一次函数的平移、一次函数的图象和性质等知识，先求出，，再求出直线向上平移n个单位长度后的直线，分别代入点A和点B的坐标，求出n的值，根据一次函数图象和性质即可求出答案． 【解题过程】 解：当时，， 当时，，解得， ∵直线与x轴、y轴分别交于点A，B． ∴，， 将直线向上平移n个单位长度后得到， 当直线经过点时，， 解得， 当直线经过点时，，解得， ∵将直线向上平移n个单位长度与线段有公共点， ∴n的取值范围是， 故答案为： 9．（2024·福建厦门·模拟预测）如图，、、，动点从点出发，沿轴以每秒2个单位长的速度向右移动，且过点的直线也随之平移，设移动时间为秒，若直线与线段有公共点，则的取值范围为 ．  【思路点拨】 此题考查了一次函数图象与几何变换，两条直线相交和平行问题，属于动线型问题，掌握一次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式是解决问题的关键． 分别求出直线经过点、点时的值，即可得到的取值范围． 【解题过程】 解：由题意得：，则， 当直线过点时，， 解得：， ， 解得． 当直线过点时， ， 解得：， ， 解得． 故若与线段有公共点，的取值范围是：， 故答案为：． 10．（22-23八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，B的坐标分别为，，直线的函数表达式为．若线段与直线没有交点，则的取值范围是 ．  【思路点拨】 分别利用当直线过点时，k值最小，当直线过点时，k值最大，即可求出线段与直线有交点时，k的取值范围，据此即可求解． 【解题过程】 解：当直线过点时，k值最小， 则，解得， 当直线过点时，k值最大， 则，解得， 故线段与直线有交点时，k的取值范围为， 故线段与直线没有交点时，k的取值范围为或或， 故答案为：或或． 11．（23-24八年级下·北京西城·期中）下表是一次函数（，为常数，）中与的两组对应值． 0 （1）求这个一次函数的表达式； （2）已知直线，当时，对于的每一个值，都有，直接写出的取值范围．  【思路点拨】 本题考查了一次函数的图象与性质，求一次函数解析式： （1）将与的两组对应值代入求解即可； （2）先求得时的值，画出图象，根据一次函数的性质即可得到答案． 【解题过程】 （1）解：将，代入， 得， 解得 一次函数的表达式为； （2）解：当时，， 将代入，得， 解得， 当时，方程无解，两直线平行，总有； 如图， 当时，对于x的每一个值，都有， ． 12．（22-23八年级下·湖南长沙·阶段练习）已知一次函数． （1）当k为何值时，函数图象经过原点； （2）当k为何值时，函数图象经过一、三、四象限； （3）当k为何值时，y随x的增大而减小且图象与y轴的交点在x轴的下方．  【思路点拨】 （1）由函数图象经过原点，将代入得，，计算求解即可； （2）由函数图象经过一、三、四象限；可得，解方程组即可； （3）由y随x的增大而减小且图象与y轴的交点在x轴的下方，可知函数图象经过二、三、四象限，则，解方程组即可． 【解题过程】 （1）解：∵函数图象经过原点， ∴将代入得，， 解得， ∴； （2）解：∵函数图象经过一、三、四象限； ∴， 解得，， 解得，， ∴， ∴当时，函数图象经过一、三、四象限； （3）解：∵y随x的增大而减小且图象与y轴的交点在x轴的下方， ∴函数图象经过二、三、四象限， ∴， 解得，， 解得，， ∴， ∴当时，y随x的增大而减小且图象与y轴的交点在x轴的下方． 13．（22-23八年级上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，设一次函数，（k，b是实数，且）． （1）若函数的图象过点，求函数与x轴的交点坐标； （2）若函数的图象经过点，求证：函数的图象经过点； （3）若函数的图象不经过第二象限，且过点，求k的取值范围．  【思路点拨】 （1）把点代入，得到，即可得到，令，从而求得函数与轴的交点坐标． （2）把点代入，得到，即可得到，令，从而求得函数与轴的交点坐标，即可得证． （3）根据题意得出，，把点代入，得到，从而得到不等式组，解之即可求得的取值范围． 【解题过程】 （1）解：∵函数的图象经过点， ∴， ∴． ∴令，则， 解得， ∴函数与x轴的交点坐标为． （2）证明：∵函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴． ∴令，则， ∴函数的图象经过点． （3）解：∵函数的图象不经过第二象限，且， ∴，． ∵函数的图象过点， ∴， ∴． ∴ 解得． 14．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知一次函数，其中． （1）若点在y的图象上，求a的值； （2）当时，若函数有最小值，求的函数表达式； （3）对于一次函数，其中，若对一切实数x，都成立，求a，m需满足的数量关系及a的取值范围．  【思路点拨】 本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了一次函数的性质． （1）把代入中可求出的值； （2）分两种情况：当，即时，当，即时，再根据一次函数增减性，结合当时，函数有最小值，得点的坐标，再代入一次函数解析式即可求解； （3）先整理得到，再对一切实数，都成立，则直线与平行，且在的上方，所以且，从而得到，需满足的数量关系及的取值范围． 【解题过程】 （1）解：把代入， 得：， ； （2）当，即时，随增大而增大， ∵当时，函数有最小值， ∴时，， 把代入，得：， 解得：，此时一次函数解析式为； 当，即时，随增大而减小， ∵当时，函数有最小值， 则时，， 把代入，得：， 解得：，此时一.次函数解析式为； 综上，或； （3）， ∵对一切实数，都成立， 则直线与平行，且在下方， 且， ，且． 15．（2024·北京通州·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于轴的直线交于点． （1）求该函数的表达式及点的坐标； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围．  【思路点拨】 （1）将、坐标分别代入函数表达式，即可得到一次函数解析式，然后计算函数值为对应的自变量的值即可得到点坐标； （2）分情况讨论：当直线过点时和当直线与直线平行时，即可得到符合条件的的取值范围． 【解题过程】 （1）解：将、代入函数表达式可得： ， 解得， 则函数的表达式为， 依题得，过点且平行于轴的直线为， 是该函数与过点且平行于轴的直线的交点， ， 解得，， 即． （2）解：当直线过点时， 即把代入， 得， ， 当时，对于的每一个值，的值大于的值，   ， 解得， 当与直线平行时，， 此时，满足条件， 且当时，不满足条件， 即． 16．（22-23八年级下·福建漳州·期末）阅读理解： 例：若是多项式的一个因式，求的值． 解：设， 若时，则有， 将代入，得 ， 解得． 仿照上例的解法，解答下列的问题． （1）若是多项式的一个因式，求的值； （2）若可化为整式，求化简后的整式； （3）若和是多项式的两个因式，且直线不经过第二象限，求的取值范围．  【思路点拨】 （1）根据题目所介绍的方法得到，再将代入，即可求解； （2）根据题意可知是多项式的一个因式，根据题目所介绍的方法得到，将代入，即可求得，将 代入原式即可求解； （3）根据题目所介绍的方法得到，分别将，代入，联立得到二元一次方程组，求解得到，，得到直线的解析式为，根据函数图象经过的象限进行求解即可． 【解题过程】 （1）解：设， 若时，则有， 将代入得， 解得． （2）解：∵可化为整式， ∴是多项式的一个因式． 设， 若时，则有，得． ∴， ∴原式． （3）解：∵和是多项式的两个因式， 设， ∴若时，则有，得：． 若时，则有，得：． 解得，． ∴直线的解析式为：． ①当，即时，直线不经过第二象限，得 ∴，解得：． ②当，即时，，符合题意． 综上所述，的取值范围是． 17．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）我们将经过某一共同点的所有一次函数叫做经过该点的“直线系”，这个点叫做该“直线系”的“特征点”，经过“特征点”的“直线系”解析式可以统一表示为：，其中k叫做直线的“斜率”（k为常数且k≠0），例如经过点的“直线系”解析式可以表示为：． （1）试求“直线系” 的“特征点”坐标； （2）“特征点”为的“直线系”中有直线满足：当时，y的范围恰好为：，求该直线的解析式； （3）点在“特征点”为且斜率的直线上，其中b，c满足：，且，求t的取值范围．  【思路点拨】 （1）根据定义，将变形为，从而求解； （2）分或两种情况，利用待定系数法求函数解析式； （3）结合定义及已知条件列出不等式组，从而确定取值范围。 【解题过程】 （1）解：由题意可得， 无论k为何值，当时，， ∴“直线系” 的“特征点”坐标为； （2）解：由直线的“特征点”为，设直线的解析式为， 又∵时，y的范围恰好为， 当时，y随x的增大而增大， 将点代入解析式可得，解得， ∴该直线的解析式为， 当时，y随x的增大而减小， 将点代入解析式可得，解得 ∴该直线的解析式为， 综上，该直线的解析式为或； （3）解：由题意，设直线的解析式为， 将点代入解析式可得， 联立方程组，解得， 又∵， ∴，解得， ∴t的取值范围是． 18．（2023八年级下·全国·专题练习）约定：如果函数的图象经过点，我们就把此函数称作“族函数”．比如：正比例函数的图象经过点，所以正比例函数就是“族函数”． （1）①以下数量关系中，y不是x的函数的是　　（填选项） ②以下是“族函数”的是 　　（填选项） A，   B，   C，    D，    E，    F， （2）已知一次函数为常数，． ①若该函数是“族函数”，求k的值． ②无论k取何值，该函数必经过一定点，请写出该定点的坐标． （3）已知一次函数和都是“族函数”．当时，一次函数的函数值恰好有，求该一次函数的解析式．  【思路点拨】 （1）①根据函数的定义即可求解； ②将点代入各选项函数解析式中即可解答； （2）①将点，代入一次函数中，即可求解； ②函数解析式可变形为，令即可求解； （3）由题意可知一次函数的图象与一次函数的图象的交点为，联立两函数解析式，求得交点为，即，，进而得到当时，一次函数的函数值恰好有，再分或两种情况，当时，此时一次函数过点，；当时，此时一次函数过点，；再分别根据待定系数法即可求解． 【解题过程】 （1）解：①对于选项，，则与不是唯一对应关系，不符合函数定义，即不是的函数， 对于选项，，则与不是唯一对应关系，不符合函数定义，即不是的函数； ②． ， 不是“族函数”， ．，不是“族函数”， ．，不是“族函数”， ，不是“族函数”， ，是“族函数”， ，是“族函数”． ∴E、F符合题意． （2）解：①一次函数为常数，是“，族函数”， ， 解得：； ②， 令，则，， 无论取何值，该函数必经过一定点； （3）解：一次函数和都是“族函数”， 一次函数的图象与一次函数的图象的交点为， 联立得：， 解得：， 交点为， ，， 当时，一次函数的函数值恰好有， 当时，一次函数的函数值恰好有， ①当时， 此时一次函数过点，， ， 解得：， ； ②当时， 此时一次函数过点，， ， 解得：， ； 综上，该一次函数的解析式为或． 19．（22-23九年级上·北京东城·期中）在平面直角坐标系中，已知点，对于点给出如下定义：将点P向右（）或向左（）平移个单位长度，再向上（）或向下（）平移个单位长度，得到点，点与点M的中点为Q，称点Q为点P的关于点M的“平移中点”．【已知，，则AB中点坐标为】 （1）①若，，则中点坐标为______； ②若，，则点Q的坐标为______ （2）已知，点P在直线l：上．当点Q在第一象限时，点P横坐标t取值范围是______ （3）已知正方形ABCD的边长为2，各边与x轴平行或者垂直，其中心为，点为正方形上的动点 ①当时，在点P运动过程中，点Q形成的图形的面积是______ ②当点在直线：上，在点P运动过程中，若存在点Q在正方形的边上或者内部，则a的取值范围是______．  【思路点拨】 （1）根据中点坐标公式即可求解；根据定义可求的坐标，再由中点坐标公式求出的坐标． （2）根据题意可得，再根据“平移中点”的定义，可得，再由点在第一象限，可得到关于的不等式组，即可求解． （3）①根据“平移中点”的定义，可得，从而得到点形成的正方形边长为1，即可求解；②根据题意可得，从而得到，，再求出临界值，即可求解． 【解题过程】 （1）解：解： , 中点坐标公式为，即 故答案为： 解： 向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到 与的中点坐标为，即 故答案为： （2）解：∵点在直线：上，， ∴， ∴， ∵点在第一象限， ∴， ∴ （3）解：：当时， 点在正方形上 点的运动形成的图形也是正方形 正方形的边长为2 点形成的正方形边长为1 点形成的图形的面积是1 故答案为：1 解：点在直线：上 点 正方形的中心是，边长为2 ∴，， 当时，， ∴， ∴时，存在点在正方形的边上或者内部； 当时，， ∴， ∴时，存在点在正方形的边上或者内部； 综上所述：时，存在点在正方形的边上或者内部． 20．（23-24八年级下·广东广州·期中）定义：对于给定的一次函数（，、为常数），把形如（，、为常数）的函数称为一次函数（，、为常数）的衍生函数．已知平行四边形的顶点坐标分别为，，，． （1）点在一次函数的衍生函数图象上，则 ； （2）如图，一次函数（，、为常数）的衍生函数图象与平行四边形交于四点，其中点坐标是，并且，求该一次函数的解析式． （3）一次函数（，、为常数），其中满足． 若一次函数（，为常数）的衍生函数图象与平行四边形恰好有两个交点，求的取值范围．  【思路点拨】 （1）将点E的坐标代入衍生函数求值即可； （2）根据点的坐标得出；根据衍生函数分别求出M，N，Q三点的坐标，再根据面积的关系求出k的值，然后求出一次函数的解析式即可； （3）根据k和b的关系得出，即可得出定点坐标，根据题意得出当衍生函数图象经过点A时，与有三个交点，求出此时的b和k的值，然后分情况讨论符合条件的b的取值范围即可． 【解题过程】 （1）解：当，把点在一次函数得： 解得：； 当，把点在一次函数得： 解得：； 故答案为：； （2）解：连接， ∵过， ∴，则， ∴， 设，，， ∵，，，， ∴，，， 把代入得：， 整理得：， 把，代入得： ， 整理得：， ∴， ， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴ （3）解：∵，满足， ∴，则 ∴当时，，即过定点， ∴一次函数的衍生函数过点和， ∴且点在内， 设衍生函数图象与y轴的交点为G， 点G沿y轴向上平移过程中，当衍生函数图象经过点A时，与有三个交点， 将代入得：， 解得，， ∴时，衍生函数图象恰好与有两个交点，符合题意． 点G沿y轴轴继续向上平移，当衍生函数图象经过点时，与有三个交点，∴且时，图象与有两个交点，符合题意． 综上：或且时，图象恰好与有两个交点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$