专题6.2 一次函数中的规律问题（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学上册压轴题专项讲练系列（苏科版）

专题6.2 一次函数中的规律问题 · 典例分析 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴，交直线于点B，以为直角顶点，为直角边，在的右侧作等腰直角三角形，再过点作轴，分别交直线和于两点，以为直角顶点．为直角边，在的右侧作等腰直角三角形，按此规律进行下去，点的横坐标为 ，点的横坐标为 ．    【思路点拨】 根据题目中的已知条件求出点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为…，由此总结得出点的横坐标为，最后求出结果即可．本题主要考查了一次函数的规律探究问题，解题的关键是根据题意总结得出点的横坐标为． 【解题过程】 解：∵点，轴交直线于点B， ∴， ∴，即， ∵， ∴点的横坐标为， ∵过点作轴，分别交直线和于，两点， ∴， ∴， ∴， ∴点的横坐标为，； 以此类推， ，即， ∴点的横坐标为， ，即； 点的横坐标为… ∴，即． ∴点的横坐标为， ∴点的横坐标为． 故答案为：． · 学霸必刷 1．（22-23八年级下·四川凉山·期末）如图，，，，……，都是等腰直角三角形．其中点，，……，在x轴上，点，，……，在直线上．已知，则的长是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·云南昆明·开学考试）如图，直线交x轴、y轴分别于、两点，直线交y轴于B点，过B作x轴的平行线交直线于，过作y轴的平行线交直线于，过作x轴的平行线交直线于，…如此反复，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·湖北十堰·期中）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，，正方形，使得点、、、，在直线上，点，，，，在轴正半轴上，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）正方形，，，…，按如图的方式放置，点，，，…和点，，，．．．分别在直线和轴上，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·山东济南·期末）《庄子·天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．如图，直线：与轴交于点，过点作轴的平行线交直线：于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，，…，，若对任意大于1的整数恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知直线：，直线：和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线，交直线于点，过点作轴的平行线，交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，，按此作法进行下去，则点的横坐标为（   ）    A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）正方形，，，…按如图所示放置，点，，，…和，，，…分别在直线和x轴上，则点的纵坐标是 ，点的纵坐标是 ． 8．（23-24八年级上·安徽·单元测试）如图，已知直线（n为正整数）与x轴、y轴分别交于点，的面积为，则 ． 9．（23-24八年级上·宁夏中卫·期末）如图，在坐标轴上取点，作轴的垂线与直线交于点，作等腰直角三角形；又过点作轴的垂线交直线于点，作等腰直角三角形如此继续，则点的坐标是 ． 10．（23-24八年级下·北京房山·期中）如图，直线与y轴交于，按如图方式作正方形 点在直线上，点在x轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为，则 ， （用含n的代数式表示，n为正整数）． 11．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在直线图象上，过点作轴平行线，交直线于点，以线段为边在右侧作正方形，所在的直线交的图象于点，交的图象于点，再以线段为边在右侧作正方形 依此类推．按照图中反映的规律，则点的坐标是 ；第个正方形的边长是 ． 12．（23-24八年级下·河北石家庄·期中）已知直线：和直线：，其中k为不小于2的自然数．当时，直线，的交点坐标为 ，此时直线，与x轴围成的三角形的面积 ；当，3，4，…，2024时，设直线，与x轴围成的三角形的面积分别为，，，…，，则 ． 13．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，…在轴上且，，，…按此规律，过点，，，…作轴的垂线分别与直线交于点，，，…记，，，…的面积分别为，，，…则 ．    14．（23-24九年级上·辽宁锦州·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，正方形，正方形，正方形，正方形，的顶点，从左至右依次在轴的正半轴上，顶点，在直线上，顶点，依次在，，上，则点的纵坐标为 ．    15．（23-24八年级上·河北张家口·期末）如图，已知是x轴上的点，且，分别过点作x轴的垂线交一次函数的图象于点，连接依次产生交点，则：的纵坐标是 ，的纵坐标是 ．    16．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，已知，是轴上的点，且，分别过点 作轴的垂线交直线于点，连接 ，依次相交于点，，的面积依次为，则为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.2 一次函数中的规律问题 · 典例分析 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴，交直线于点B，以为直角顶点，为直角边，在的右侧作等腰直角三角形，再过点作轴，分别交直线和于两点，以为直角顶点．为直角边，在的右侧作等腰直角三角形，按此规律进行下去，点的横坐标为 ，点的横坐标为 ．    【思路点拨】 根据题目中的已知条件求出点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为…，由此总结得出点的横坐标为，最后求出结果即可．本题主要考查了一次函数的规律探究问题，解题的关键是根据题意总结得出点的横坐标为． 【解题过程】 解：∵点，轴交直线于点B， ∴， ∴，即， ∵， ∴点的横坐标为， ∵过点作轴，分别交直线和于，两点， ∴， ∴， ∴， ∴点的横坐标为，； 以此类推， ，即， ∴点的横坐标为， ，即； 点的横坐标为… ∴，即． ∴点的横坐标为， ∴点的横坐标为． 故答案为：． · 学霸必刷 1．（22-23八年级下·四川凉山·期末）如图，，，，……，都是等腰直角三角形．其中点，，……，在x轴上，点，，……，在直线上．已知，则的长是（    ）    A． B． C． D． 【思路点拨】 ，利用，逐次求出，，，，据此可得，由此即可求解．  【解题过程】 解：∵，点，，……，在x轴上，点，，……，在直线上， 则，， 则，则，则， ，则， ……， 以此类推可得 则， 故选：B． 2．（23-24九年级下·云南昆明·开学考试）如图，直线交x轴、y轴分别于、两点，直线交y轴于B点，过B作x轴的平行线交直线于，过作y轴的平行线交直线于，过作x轴的平行线交直线于，…如此反复，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查一次函数的有关知识，等腰直角三角形的性质，掌握探究规律题目的方法，从特殊到一般，归纳出规律，先找到的、的横坐标的规律，然后求出点坐标．  【解题过程】 解：∵直线交x轴、y轴分别于、两点，直线交y轴于B点， ∴，， ∵过B作x轴的平行线交直线于， ∴， ∵过作y轴的平行线交直线于， ∴， ∵过作x轴的平行线交直线于， ∴ ∴的横坐标为1，的横坐标为，的横坐标为， 的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为， 点在直线上， 点的纵坐标为64， 点． 故选：A． 3．（23-24八年级上·湖北十堰·期中）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，，正方形，使得点、、、，在直线上，点，，，，在轴正半轴上，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形、正方形的性质以及点的坐标的规律性，根据等腰直角三角形的性质、正方形的性质求出相应的边长是确定点坐标的关键．根据直线与轴、轴的交点坐标可判断出，、、，都是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质以及正方形的性质可求出相应的边长，进而求出点、、、的坐标．  【解题过程】 解：在中，令，得，令，得， 所以直线与轴交于点，与轴的交点坐标为， 因此有，、、，都是等腰直角三角形， 所以点的横坐标为，纵坐标为， 点的横坐标为，纵坐标为， 点的横坐标为，纵坐标为， 点的横坐标为，纵坐标为， 点的横坐标为，纵坐标为， 即点， 故选：A． 4．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）正方形，，，…，按如图的方式放置，点，，，…和点，，，．．．分别在直线和轴上，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题主要考查一次函数图象与结合图形的综合的规律题，根据题意分别求出点的坐标，并根据有理数的乘方运算找出规律，由此即可求解．  【解题过程】 解：∵点，，，…在直线， ∴当时，，即的纵坐标为， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴当时，，，即的横坐标为，纵坐标为，的横坐标为，纵坐标为， ∴的横坐标为，则纵坐标为， ∴，则 ∵是正方形是正方形， ∴，则， ∴， ∴当时，，，则的横坐标为，纵坐标为，的横坐标为，纵坐标为， 同理，，的横坐标为，纵坐标为，的横坐标为，纵坐标为， ∴的横坐标为，纵坐标为，的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标是， 故选：C． 5．（23-24八年级上·山东济南·期末）《庄子·天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．如图，直线：与轴交于点，过点作轴的平行线交直线：于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，，…，，若对任意大于1的整数恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 分别求出，，，根据规律得出，则，所以当时，的值最小，求出的最小值即可．  【解题过程】 解：把代入得，， ， ， 把代入得，， ， 把代入得，， 把代入得， 把代入得， 以此类推，得，，，，……，， ， 若对任意大于1的整数恒成立， 时，的值最小， 的最小值为． 故选：D． 6．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知直线：，直线：和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线，交直线于点，过点作轴的平行线，交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，，按此作法进行下去，则点的横坐标为（   ）    A． B． C． D． 【思路点拨】 点，在直线上，得到，求得的纵坐标的纵坐标，得到，即的横坐标为，同理，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，，求得的横坐标为，于是得到结论．  【解题过程】 解：∵过点作轴的平行线交直线于点， ∴在直线上， ∴， ∵轴， ∴的纵坐标的纵坐标， ∵在直线上， ∴， ∴， ∴，即的横坐标为， ∵轴， ∴的横坐标为，且在直线上， ∴， ∴， ∵轴， ∴的纵坐标的纵坐标，且在直线上， ∴， ∴， ∴，即的横坐标为， ∵轴， ∴的横坐标为，且在直线上， 即：的横坐标为， 的横坐标为，的横坐标为， 的横坐标为，的横坐标为， 用同样的方法可得： 的横坐标为，的横坐标为， 的横坐标为，的横坐标为， ， ∴的横坐标为， ∴的横坐标为，的横坐标为， ∴的横坐标为，的横坐标为． 故选：B． 7．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）正方形，，，…按如图所示放置，点，，，…和，，，…分别在直线和x轴上，则点的纵坐标是 ，点的纵坐标是 ． 【思路点拨】 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型中点的坐标，根据点坐标的变化找出变化规律“点的坐标为，，”是解题的关键．根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质即可得出点、、、的坐标，根据点坐标的变化找出点的坐标，依此即可得出结论．  【解题过程】 解：当时，， 点的坐标为． 为正方形， 点的坐标为，点的坐标为． 同理，可得：，，， 点的坐标为，， 点的纵坐标为， 点的纵坐标为． 故答案为：，． 8．（23-24八年级上·安徽·单元测试）如图，已知直线（n为正整数）与x轴、y轴分别交于点，的面积为，则 ． 【思路点拨】 本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题，数字类的规律性问题，解题的关键在于能够求出．先利用一次函数与坐标轴交点的求解方法求出（，0），（0，），则，，从而得到，由此求解即可．  【解题过程】 解：由题意得：和分别是直线与x轴，y轴的交点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ， 故答案为：． 9．（23-24八年级上·宁夏中卫·期末）如图，在坐标轴上取点，作轴的垂线与直线交于点，作等腰直角三角形；又过点作轴的垂线交直线于点，作等腰直角三角形如此继续，则点的坐标是 ． 【思路点拨】 本题考查了坐标的探索规律题．根据点的坐标和直线解析式即可求出点的坐标，再根据等腰直角三角形的定义可得，并求出点的坐标，同理即可求出点，的坐标，找出规律即可归纳出点的坐标，即可得出答案．  【解题过程】 解：过点作轴的垂线与直线交于点， 将代入，解得， 点的坐标为， ， △是等腰直角三角形， ，点的坐标为，，，， 同理可得，点的坐标为，，，， ，点的坐标为，，，， 点的坐标为，， 的坐标为，． 故答案为：，． 10．（23-24八年级下·北京房山·期中）如图，直线与y轴交于，按如图方式作正方形 点在直线上，点在x轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为，则 ， （用含n的代数式表示，n为正整数）． 【思路点拨】 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，根据直线解析式判断出等腰直角三角形是解题的关键． 设直线与x轴交于H，求出，得到，则直线与坐标轴相交构成的三角形是等腰直角三角形，再求出第n个正方形的边长为，再根据三角形面积公式进行求解即可．  【解题过程】 解：设直线与x轴交于H， 当时，，当时，， ∴， ∴， ∴直线与x轴的夹角为， ∴直线与坐标轴相交构成的三角形是等腰直角三角形， ∵，即第一个正方形的边长为2， ∴， ∴，即第二个正方形的边长4， 同理可得，即第三个正方形的边长为8， …， ∴可知第n个正方形的边长为， ∴， ， ， …， 故答案为：2；． 11．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在直线图象上，过点作轴平行线，交直线于点，以线段为边在右侧作正方形，所在的直线交的图象于点，交的图象于点，再以线段为边在右侧作正方形 依此类推．按照图中反映的规律，则点的坐标是 ；第个正方形的边长是 ． 【思路点拨】 本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型问题，根据线段的和即可得出第一个正方形的边长为，再根据正方形的性质及线段的和即可求出第二个正方形的边长为，依次得出第三个正方形的边长为，以此类推，可得，，从而得到答案．  【解题过程】 解：由题意，，， ， 则第一个正方形的边长为， 即， ，， ， 则第二个正方形的边长为， 即， ，， ， 则第三个正方形的边长为， 即， ，， 以此类推， 可得，， 第2020个正方形的边长为． 故答案为：；． 12．（23-24八年级下·河北石家庄·期中）已知直线：和直线：，其中k为不小于2的自然数．当时，直线，的交点坐标为 ，此时直线，与x轴围成的三角形的面积 ；当，3，4，…，2024时，设直线，与x轴围成的三角形的面积分别为，，，…，，则 ． 【思路点拨】 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中图形的变化类，利用一次函数图象上点的坐标特征求出两直线与x轴交点间的距离是解题的关键． 先求出两个函数与轴的交点坐标，从而求出的值，代入，可得出的值，利用三角形的面积公式可求出的值；分别代入求出、值，将其相加即可得出结论．  【解题过程】 解：当时，有， 解得：， ∴直线与轴的交点坐标为， 同理，可得出：直线与轴的交点坐标为 ， ∴两直线与轴交点间的距离 ． 联立直线成方程组， 得：， 解得：， ∴直线的交点坐标为． 当时，， 当时，； 当时，； 当时，； ， 故答案为：；1；． 13．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，…在轴上且，，，…按此规律，过点，，，…作轴的垂线分别与直线交于点，，，…记，，，…的面积分别为，，，…则 ．    【思路点拨】 根据已知先求出，，的长，再代入直线中，分别求出，，，，然后分别计算出，，，，再从数字上找规律进行计算即可解答．  【解题过程】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 把代入直线中可得：， ∴， 把代入直线中可得：， ∴， 把代入直线中可得：， ∴， 把代入直线中可得：， ∴， ∴， ， ， ， ， ∴， 故答案为：． 14．（23-24九年级上·辽宁锦州·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，正方形，正方形，正方形，正方形，的顶点，从左至右依次在轴的正半轴上，顶点，在直线上，顶点，依次在，，上，则点的纵坐标为 ．    【思路点拨】 根据是和的交点，进而求得的坐标，再归纳出的纵坐标，最后求出答案即可．  【解题过程】 解：∵四边形是正方形 ∴在上 ∵在上 ∴ 解得 ∴ ∴， 设，则 代入，即 解得： ∴ 即的纵坐标是 以此类推， 的纵坐标是： 的纵坐标是： 故答案为：． 15．（23-24八年级上·河北张家口·期末）如图，已知是x轴上的点，且，分别过点作x轴的垂线交一次函数的图象于点，连接依次产生交点，则：的纵坐标是 ，的纵坐标是 ．    【思路点拨】 由已知可以得到，，，点的坐标分别为：，，，，又得作轴的垂线交一次函数的图象于点，，，的坐标分别为，，，，由此可推出点，，，的坐标为，，，，．由函数图象和已知可知要求的的坐标是直线和直线的交点．在这里可以根据推出的四点求出两直线的方程，从而求出点，从而求得结果．  【解题过程】 解：由已知得，，，的坐标为：，，，， 又得作轴的垂线交一次函数的图象于点，，，的坐标分别为，，，． 由此可推出，，，四点的坐标为，，，，． 所以得直线和的直线方程分别为： ， ， 即， 解得： ， ∴点 ，． 将代入得点的纵坐标是， 将代入得点的纵坐标是， 故答案为：， 16．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，已知，是轴上的点，且，分别过点 作轴的垂线交直线于点，连接 ，依次相交于点，，的面积依次为，则为 ． 【思路点拨】 此题考查的知识点是一次函数的综合应用，同时也考查了学生对数字规律问题的分析归纳的能力由已知可以得到，，，点的坐标分别为：，，，，则点，，，的坐标分别为，，，，由此可推出点，，，的坐标为，，，，．由函数图象和已知可知要求的的坐标是直线和直线的交点．在这里可以根据推出的四点求出两直线的方程，从而求出点，再跟进从而求得结果．  【解题过程】 解：由已知得，，，的坐标为：，，，， ∵分别过点 作轴的垂线交直线于点， ∴点，，，的坐标分别为，，，． 由此可推出，，，四点的坐标为，，，，． 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴点， ∴ ， 故答案为： ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$