模块质量评估卷4-【百汇大课堂·高中学习测试卷】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

所以f(.x)mm=f(0)=1-0-1=0. 当x∈（一∞，0）时，p(x)<0,h'(x)<0,h(x)单调递 (2)f(.x）=e-a: 减，即f(x)单调递减. ①当a≤1时，f(x)>0在(0,2]上恒成立，所以f(x) 综上所述，f(x)的单调增区间为(0，十∞)，单调减区 在(0,2]上单调递增， 间为（一∞，0）. 所以f(x)>f(0)=0,所以方程f(x)=0在(0,2]上无 (2)若a>0,f(.x)=(x+1)(e+2a). 实数解，不合题意： 所以在区间（一1，+∞）上，f(.x)>0,f(x)单调递增， ②当a≥e时，f(x)≤0在(0,2]上恒成立，所以fx) 在区间（一∞，一1）上，∫(x)<0,f(x)单测递减， 在(0,2]上单调递减， 所以f(x)min=f(-1)=-e1<0. 所以f(x)<f(0)=0,所以方程f(.x)=0在(0,2]上无 又f(0)=a>0,故f(.x)在(-1,0)上存在一个零点.记 实数解，不合题意： =-1-1<-1, ③当1<a<e2时，令∫(x)=0得x=lna, a 所以当x∈(0，lna]时，子(.x)<0:当x∈(lna,2]时， 由y=xC在(-∞，-1)上单调递减知xoe> e f(x)>0, 所以f(x)在(0，lna)上单调递减，在(lna,2]上单调递 所以fx0)=e+1>-上+1>0，故f(x)在(0， e 增， 一1)上存在一个零点. 又f(0)=0,所以f(1na)<0, 所以f(x)有且仅有两个零点. 若方程f(x)=0在(0,2]上有实数解，则只需f(2) 模块质量评估卷四 ≥0， 1.B解析：由a3-as十ag=6,得as=a3十3d=6,则S11 即心-2a-1>0,8得a<,所以1a<2 =11(a1十a2_1X2a5=1X2X6=66,故选B. 2 2 2 综上所送的取值范围为1,2门 2.A解析：y=[(sinx2)3]'=3(sinx2)2·(sinx2) 22.解1)若a=-1,则f(.x)=e-(x+1)2, =3(sinx2)2·cosx2·2x=3X2sinx2·cosx2·x· 定义域为R, sinx2=3.x·sinx2·sin2.x2,故选A. 所以了(.x)=xe+e-2(.x+1)=(x+1)(e-2), 3.A解析：设等比数列{an}公比为q:因为正项等比数列 令h(x)=f(x)=(x+1)(e-2), {am}中ag=9a7, h'(x)=(x+2)e-2, 令p(x)=h'(x)=(x+2)e-2, 所以-岛=9：即9= p'(.x)=(x+3)e, 若存在两项am,an,使awm=27a, 当x∈(-3，十oo)时，p'(x)>0,p(x)单调递增，且 则a·3m+m-2=27a, p(0)=0, 所以m十n=5(m>0,n>0,m≠n), 当x∈(-3,0)时，p(x)<0,当x∈(0，+∞)时，p(x) 则1+16-1「m+”+16(m十 >0, m n 5 m 当x∈(-∞，一3)时，p'(x)<0,p(x)单调递减，且 =号(7++10)≥号17+8)=5 p(x)<0, p(x)min=p(-3)=-e-3-2<0, 当且仅当品-1且十m=6,期m=1,n=4时取 所以当x∈(0，十c)时，p(x)>0,h'(x)>0,h(x)单调 等号， 递增，即了(x)单调递增， 故选A. 45 4.D解析：设第n个儿子的年龄为am,则{an}是公差d= 8.A解折：设g=巴，则)=fC (e)2 -3的等差数列，由题意得8=9阳十9必8×（一3）= =()-f),由题意g'()>0,所以g()在R上单 e 216,解得a1=36.故选D. 5C解析：因为n一n二<-士，如十1 调递增，当<时，g()<g),即/)<儿) e T2 所以ef(x)>efn.故选A <血2+1 c解折：a>0且=S,所以6a+1=9a1十 据此可得函数f()=ln+1在定义城(0，a)上单调 9,化为a+7d-0,可得as-0d<0, 递增， 故S,或Sg为Sn的最大值，S<S6: 其导函数f)=1-nr+D=-n≥0在(0e)上 故选BC. 10.AC解析：观察此数列，偶数项通项公式为am=2n2, 恒成立， 奇数项是后一项减去后一项的项数，a2m-1=a2m一21 据此可得0<a≤1， C正确：a20=2×102=200,A正确：a19=a20-20= 即实数a的最大值为1. 180,B错误：Sn=n(n一1)=n2-n是一个等差数列的 故选C 前n项和，而题中数列不是等差数列，因此不可能有 6.D解析：因为C<0,即(x-1D(x)<0. S。=n(n-1),D错误.故选AC x-1 1山.D解析：y=e-5x+号的导数为y=e-尽，由 所以不等式等价于当x>1时，了(x)<0,此时函数 f(x)单调递减，由图象可知此时解集为(1,2)， e'>0,可得切线的斜率k>一3 当x<1时，(x)>0,此时函数f(x)单调递增，由图象 由1an>-尽，可得0区a<受或行<a<,则C,D正 可知K名 确，故选CD. 12.ABD解析：函数的定义域为(0，+o∞)，f(x)=e 即不等式的解集为(-∞，2)U1,2). 故选D. 对于A,因为a∈(-∞，0)所以了(x)=e-a≥0，是 7.B解析：设等北数列{am}的公比为q, 增函数.所以A正确. 因为a1+2u=08=是 对于B,因为a∈(0，十∞)，所以存在x∈(0，十∞)，使 所以a1+2g)=0,a11+9+g)=是， 得了(x)=e一g=0,可以判断函数有最小值， x 1 B正确. 解得41=1.g=一2' 对于C,画出函数y=e',y=alnx(a∈(-o∞，0)的图 象，如图所示， 所以Sm三 1-(-2) 引-（←）门 当n=1时，5，取最大值1，当=2时，5，取最小值 2 5432寸00大234方 所以 即-1<a<2 y=l血x a+2≥1， -5 敌选B. 第12题答图 -46 由图可知，e>alnx不恒成立，即f(x)=e一alnx> 所以x2-(a-1).x+a-2=(x-1)[x-(a-2)]>0 0不恒成立，故C不正确， 在x∈[2,4]上有解， 对于D:令函数y=e是增函数，y=alnx是增函数， 结合二次不等式的性质可知，a一2≤1或1<a一2<4， 所以存在a∈(0，十o∞)，f(x)=e-alnx=0有两个 解得a≤3或3<a<6,即a<6. 根，D正确.故选ABD. 综上可得，a的取值范围是（一∞，6）. 13.110解析：设{am}的首项、公差分别是a1d,则 7.D证明因为，=)3≥2且n a1+2d=16, 20a1+20x(20-D×d=20 解得a1=20,d=-2, N), 所以1=。-1+31+1 所以S0=10×20+10X9×(-2)=110. 3x-13 2 所以1 14.3023000解析：设商场销售该商品所获利涧为y 六=≥2且eN 元，则 所以是等差数列 y=(p-20)(8300-170p-p2) =-p3-150p2+11700p-166000(p≥20)， (2)解 曲0)知之=+(m-1)×写=2+"写 3 则y=-3p2-300p+11700. =刀+5 3 令y=0得D2+100p-3900=0, 解得p=30或p=-130(含去). 所以1=2018+52023 x9018 3 3 则p,y,y变化关系如下表： 3 所以x2018-2023 p (20,30) 30 (30.十00) + 0 18解0由交-器1=-1，知公比1.83 校大值 32由等比数列前n项和的性质知5,510一S。,S 故当p-30时，y取极大值为23000元. 又y=-p3-150p2+11700p-166000在[20，+∞) 一S0成等比数列，且公比为g,故g=一 329= 上只有一个极值，故也是最值，所以该商品零售价定为 2 每件30元，所获利润最大为23000元. 15.2019×1011解析：5=2+3=a1,9=2+3+4=a2, (2)由1)，得a,=(-D×(-2） 14=2+3+4+5=a3,…,an=2+3+…+(n+2)= 所以a=(日) a+lg++2》-号a+1Da+40,由光可得a0s 2 所以数列{是首项为1，公此为的等比数列， =2+3+4++2020=号×2019×202=2019× 1011. 故a+a2+…十a= 16.(-o∞，6)解析：令g(x)=xf(:x)=e[x2十(2a-1) 1一 -(a+1).x], 19.解(1)函数f(x)=e+2(x2-3), 则存在x∈[2,4]使g(x)=f(x)十x'(.x)>0, 则f(.x)=e+2(x2+2x-3)=e+2(x+3)(x-1), 即e[.x2-(a-1).x+a-2]>0在x∈[2,4]上有解， 故f(0)=-3e2.又f(0)=-3e2, -47 故曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y十 故当x=e时，g(x)的最小值为g(e)=e 3e2=-3e2(x-0),即3e2x+y+3e2=0. 所以m≤e.即m的取值范围是（一oo,e]. (2)令f(x)=0,可得x=1或x=-3, (2)由已知可得k(x)=x-2lnx-a, 当x变化时，了(x),f(x)的变化情况如下表： 函数k(x)在(1,3)上恰有两个不同零点， 00,-3) -3 -3,1) 1 (1,十∞》 相当于函数g(x)=x一2lnx与直线y=a有两个不同 (x) + 0 一 0 的交点 f(x) 极大值 极小值 )=1-是是 所以当x=一3时，函数取极大值，校大值为f(一3)= 当x∈(1,2)时，9'(x)<0,g(x)递减， ,当x=1时，函数取板小值，极小值为∫1)= 6 当x∈(2,3)时，g'(x)>0g(x)递增. 又g(1)=1,e(2)=2-2ln2,g(3)=3-21n3, -2e3. 要使直线y=a与函数9(x)=x一2lnx有两个交点， 20,1证明由面数)=年，数列(a,满足41= 则2-2ln2<a<3-21n3. f（1).am+1=f（an), 即实数a的取值范围是(2一2n2,3-21n3). 可得a1=青01=2a, 22.解(1)f广(x)=3.x2-2x-1, 令了)=0，得x=-}或x=1 当x变化时，f广(x),f(x)的变化情况如下表： 则数列品一}是首项为子，公比为号的等比数列。 1 (1,+∞) (2解由0)可得言-（位）厂=（侵）》。 (x) 0 0 即有2=2”一1+2 1 f(x) 不等式2++…+≥1什受即为 27十m 4 an 所以当x= 时，心)取得校大值，为号十m:当x 1+2++21)+(++…+2）≥+, 3 1时，f八x)取得极小值，为m一1. 即有器+≥受 (2)画出f(x)和y=1的大致图象如图所示. 即为t≤2"一1恒成立， 由2”一1递增，可得2”一1的最小值为1， 则实数1的取值范围为（一∞，1]. 21.解(1)由f(x)≥h(x), 第22题答图 得m≤在1，十∞)上恒成立 由图象可以看出，要使曲线y=f(x)与直线y=1有三 令g)=n则g()-n是 (ln.x)2' 个不同的交点，别号十m>1,m-1<1, 当x∈(1，e)时，g'(x)<0: 所以器<m<2 当x∈(e,十o∞)时，g'(x)>0, 所以g(x)在(1，e)上递减，在(e,十o∞)上递增. 所以满足条件的m的取值范国为（号，2）. 48模块质量评估卷四 时间：120分钟满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的) 1.设Sn为等差数列{an}的前n项和，且a3一a十a8=6,则S1= A.55 B.66 C.110 D.132 2.函数y=(sinx2)3的导数是 ( 小 A.y'=3 asin a2·sin2x2 B.y=3(sin x2)2 C.y'=3(sin 2)2cos x2 D.y'=6sin x2cos 3.已知正项等比数列{a,}中a,=9a,若存在两项aa,使a4,=27a,则+16的最小值为 ( A.5 剥 B号 Cia n吧 4.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识 4 起到了很大的作用.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中 长 一首：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百一十六，借问大儿多少岁，各 儿岁数要谁推.”这位公公年龄最大的儿子年龄为 A.9岁 B.12岁 C.21岁 D.36岁 5.若对于任意的0<x,<,<a,都有n4_1n,<1-1,则a的最大值为 x>x2 x1 A.2e B.e C.1 D.Z 6.已知函数y=f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式()<0的解集为 x-1 f树 23x 第6题图 A.(-∞，0)U(22) B.(-1,1)U(1,3) c.(-∞，2)U(2,2) D.(-0,g)U(1,2) 7.已知等比数列{a,}的前n项和为S,若a,十2a,=0,5,=子，且a≤S,<u十2，则实数a的取值范周 是 A.[-1,0] B-12 c.z D.[0,1] 113 8.定义在R上的函数f(x)满足：f(x)>f(x)恒成立，若x1<x2,则ef(x2)与ef(x1)的大小关系为 () A.ef(x2)>e:f() B.e'f(x2)<e'(x1) C.e f(x2)=e:f(x) D.ef(x2)与ef(x1)的大小关系不确定 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9.设数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和，a1>0且S。=S。,则 ( A.d>0 B.as=0 C.S,或S8为Sn的最大值 D.Ss>S 10.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太 极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统 文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50， …,则下列说法正确的是 () A.此数列的第20项是200 B.此数列的第19项是182 C.此数列的偶数项的通项公式为a2m=2n D.此数列的前n项和为Sn=n(n一1) 1山.设点P是曲线y=。一x+号上的征意一点，P点处切线的倾斜角为@，则角a的取值范围包含 下列哪些 A B[） c[,) D,2u[经 12.已知函数f(x)=e一alnx的定义域是D,有下列四个命题，其中正确的有 A.对于Ha∈（一∞，0），函数f(x)在D上是单调增函数 B.对于Ha∈(0，十∞)，函数f(x)存在最小值 C.存在a∈（一∞，0），使得对于任意x∈D,都有f(x)>0成立 D.存在a∈(0，十∞)，使得函数f(x)有两个零点 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13.已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，n∈N*.若a3=16,S2o=20,则S1o的值为 14.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p元，销量Q(单位：件)与零售价 (单位：元)有如下关系：Q=8300一170p-p,则该商品零售价定为 元时利润最大，利润的 最大值为 元. 15.两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或 用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类.下图中实心点的个数5,9,14,20， …被称为梯形数.根据图形的构成，记第2018个梯形数为a2o18,则a2o18= ×说滋游 第15题图 16.已知函数f(x)=e(x+2a-1-a-1),其导函数为f(r),若存在x∈[2,4]使得f(x)十xf(x) >0成立，则实数a的取值范围是 114 四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(10分)已知函数)=3数列x,的通项由x.=fx,n≥2且∈)确定. 1求证：是等差数列： (2)当z-2时，求 115 S10_31 18.(12分)已知等比数列{a,}的前n项和为Sa1=一1，S=32 (1)求等比数列{an}的公比q; (2)求a2十a十…十a ··: 116 19.(12分)已知函数f(x)=e2+(x2-3) (1)求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程； (2)求函数y=f(x)的极值. R 器 117 20.(12分)已知函数)=24数列a,清足a=f)a1=a,. 1)求证：数列园}是等比数列； （2)不等武2+++2≥十号nEN恒成立，求实数1的取值范国. 118 21.(12分)已知函数f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x十a. (1)当a=0时，f(x)≥h(x)在(1，十∞)上恒成立，求实数m的取值范围； (2)当m=2时，若函数k(x)=f(x)一h(x)在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数a的取值 范围. 119 22.(12分)函数f(x)=x3-x2-x+m(m∈R). (1)求f(x)的极值； (2)当m在什么范围内取值时，曲线y=f(x)与直线y=1有三个不同的交点. ... :·: ··: 120 :