第5章 第4单元导数的综合应用-【百汇大课堂·高中学习测试卷】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

8已知完义在(o,)上的两数，广壶它的导函数，且面xx>af)加成立，测 第四单元导数的综合应用 A2)21( 我》> 对司，10分钟满分，150分 一，单流证释體（本魔并8小程，每小理示分，共0分，在有小宽给出的日个选项中，只有一质是符色 C.)> 式》<到 照日要装的) 二，多选题（本因共。小题，将小题5分，共的分，在每个理的出的是项中，有多项杆合程日要束.全翻选 1.设底为等边三角形的直三楼柱的体积为V,那么其表面积量小时底面边长为 对的再5多，多分培对的耳2分，有选量的得0分1 A.7 B.720 CV D多T .国数f气x一2一5x一a在(0，)内有最个值.则：的值可以为 1.已每)星定义在(0，十o)上的非簧可导雨数，且请足了《z)十f(0,对任意的正数，.若 .0 号 c 0.1 心<5，则必有 1单.已知函数(x“2x十a十3以一24在x=2处有极值.期废橘数的-个单词道抽区可是 A,《6)5mfa) B.hfa)ao) C二，￥a1h6) 1山，gh》fa) A,(-o,21 B3,十@) 是3已每生产「家的年利到单位：万无与年产整单位：万件)均%数关系或为y一一+8 C,(2,+o1 h(-o,3 中 一2等，则使该生产厂家我取最大年利陶的年产量为 11,已知两数八=nx十，是系数)的极值点，以下几个站伦中正绳的是 A,13万件 且.11万件 C9万件 12,7万件 ACr<是 我> 是+，对任意的x∈R,函数八x=十题r+7r不存在极值点的充要条件是 出 Cf)+2a<0 D.fa.)+2>0 A.0w621 我u-0或u-7 12.已知函数r小一n十￥一aa,期下列结论正确的是 ,w0发42 力w=0成。=21 A.f(r)是奇雨数 5.定又在民上的函数，若x一1》C,刚下列各项正确的量 B若是增函数，第C1 A,f01+2)>21 C当■一3时，确数fTx)恰有片个零点 且.f0)+バ2)-2110 D当a=3时：函数代r)恰有两个段值点 ,f0)+2)c211 三，精空题（题大4小绳，每小题石分，共21分） D《》+/2)与21)大本不定 6,已相函数八)=一im,则不等式十1十式8一2x>0的解果是 13,直线y=与函数￥=一3：的图象有三个相异的交点，国a的取值雁围是 A(-.-制 k-+o) 4装厂生产装料商品x件的总发本1-120十产（单位：元，已知广品单价的平方与产品 C.(-,3到 .(3,+o) 件数上成反比，生产10阳件这样的产备单操为的万元，则产境定%件时，已利润最大。 T.若属数了》一z一给有三个零底，侧实数：的取值藏国是 15.已如函数具小一之血rkx)一一Y+时一3对一切x∈(0，+0》，≥g)恒成立，期u的 收值藏国是 A.(,+ 收.》 1.已知函数小-2一2加r,若关于工的不等式f()一m0在[e]上有实数解，侧实数m的取 C,(0,e2) D.(0,+o1 值茂期是 65 66 四，解容题《木司共行小明，共0分，解答应可出式字视明，证明过极减流算必豫) 18.《1?分》一體轮自在航行中每小时的燃料载和它的速度的立方成正比，已知速度为心海里每小时 17.《10分)已知函登/(r)-u+n1(uE),试求x的零点个数. 时，燃料费是6元母小时，面其绝与连度无美的费用是6元得小时，问轮船的连度是多少时，航 行「海里所蛋的赞用总弹最小？ ) 19.2令已理两数--生-2血aeR. 20,(12务)设网数z1=2:+3:x+3hr+8在r=1及r=2处取得极值 (1求4，b的值： (1)若两数》在区闻[1，+)上是单测函数，果实数立的取值范国： (2若对于任直的E[0,们，第有其x)<成章.求C的取值国 ()讨论函数f(x的单调性， 家 69 2引，12分已知函数代r)=r一n(2r)r∈《0e】.其中e是自整对数的密数w∈最 22.12分记知函数f代)-aln x(uE R.) (1)当4=1时，求函数(x)的单调民可和极值： 3)是香存在实数4，使(x)的最小值是3，若存在.求出4的雀，若不存在，请说明理由. 《1若x)在1一2时粒得极植，求a的算： (2》求其x)的单國区到 《3》求证：当>1时+h茶 72综上所述，当a≤e时，f(x)无极值点：当a>e时，f(x) 因此函数f(x)在(0,1)上是减函数； 有2个极值点. 当x∈(1，十∞)时，f(x)>0, 21.解(1)易知f(x)的定义域为(0，十∞)， 因此函数f(x)在(1，十o∞)上是增函数. 当a=-1时，f(x)=一x+lnx,∫(x)=-1+1= 故x=1是f(x)的极小值点，所以f(x)在x=1处取 1-工，令∫(x)=0,得x=1. 得极小值2，无板大值， 当0<x<1时，f(x)>0;当x>1时，f(x)<0. (2)证明设F(x)=f(x)-g(x)=是2+nx 所以f(x)在(0,1)上是增函数，在(1，+∞)上是减函 数，所以x=1是唯一极大值点也是最大值点所以 f（x)max=f(1)=-1. 则F()=x+士-2x 所以当a=一1时，函数f(x)在(0，十∞)上的最大值 =-2x3+x2+1--(x-1)(22+x+1) 为-1. x (2f)=a+士xeo,,2∈[日+∞ 显然由2x+z+1=2(x+)+号及>0可知， ①若a>-是，则了(x)≥0，从雨fx)在(0，e]上是增 当x>1时，F(x)<0,故F(x)在区间[1，十∞)上是减 函数， 函数， 所以f(x)msx=f(e)=ae+1≥0，不合题意； 又F(1)=- <0，所以在区间1，十∞)上，F()≤ ②带aK-日令f)>0,得a+子>0，结合x∈0， F(1)<0,即F(x)<0恒成立，即f(x)<g(x)恒成立. 因此，当a=1时，在区间[1，十o∞)上，函数f(x)的图 ,解得0<x<- 象在函数g)=号2的困象的下方。 令了(x)<0,得a+是<0，结合xE0,e],解得-日 第四单元导数的综合应用 <x≤e 从而x)在(0，一日）上为增西数，在(-日]上为 1.C解析：设底面边长为，南为h,则气2h=V,所以 减函数， 所以fx)x=f(-2）=-1+lh（-2)】 则表面积S=52+45v>0. 2 令-1+ln（-2）-3,得1hn（-）--2,即a 所以S-停-m,令S=0,释=m,又国为S在 -e2. 因为-e2<-是，所以a=-e2即为所求，故实数a的 (0,十∞)上有且仅有一个极小值点√4W,所以S在x= /4亚处取得最小值. 值为一e2. 2.A解析：设g(x)=xf(x),x∈(0，十o∞)， 22.(1)解易知函数f(x)的定义域为(0，十∞)， 则g'(x)=xf(x)十f(x)≤0， 当a=-1时，f(x)=x-1=x+1)(x-1D 所以g(x)在区间(0，十∞)上单调递减或g(x)为常 令f(x)=0,得x=1或x=-1(舍去). 函数 当x∈(0,1)时，f(x)<0, 因为a<b,所以g(a)≥g(b),即af(a)≥bf(b),故选A. 24 3.C解析：因为y=-x2十81，x>0, ()-f ()sin zf(z)cos z sin2x 所以当x>9时，y<0;当x∈(0,9)时，y>0. 所以面数y=-弓+81x-234在（0，十0)上单满造 当x∈(0，)时，g(x)>0, 减，在(0,9)上单调递增. 即函数g(x)在(0，受)上单调递增， 所以x=9是函数的极大值点. 所以g()g()所以(）<f(): 又因为函数在(0，十∞)上只有一个极大值点， 9.BC解析：由题意可知f(x)在(0,1)内取得校小值， 所以函数在x=9处取得最大值. 因为f(x)=3x2-3a, 4.A解析：f(x)=3x2+2ax+7a, 且(x)=0有解，所以a=x2.又因为x∈(0,1)， 当△=4a2-84a≤0， 所以0<a<1. 即0≤a≤21时，∫(x)≥0恒成立，函数f(x)不存在极 10.AB解析：因为∫(x)=6.x2+2ax十36，且在x=2处 值点 有极值， 5.C解析：因为(x一1)f(x)<0, 所以(2)=0，即24十4a十36=0，解得a=-15, 所以当x>1时，f(x)<0;当x<1时，f(x)>0, 所以f(x)=6.x2-30x+36=6(x-2)(x-3), 则f(x)在(1，十∞)上单调递减，在（一∞，1）上单调 由f(x)>0得x<2或x>3. 递增， 11.AD解析：函数f(x)=xlnx+x2(x>0), 所以f(0)<f(1),f(2)<f1), 所以了(x)=lnx+1+2x, 则f(0)+f(2)<2f(1). 易知f(x)=lnx十1+2x在(0，十o∞)上单调递增， 6.C解析：因为f(x)=x-sinx,所以f(-x)=一x十 因为x0是函数f(x)的极值点，所以f(xo)=0, sinx=一f(x),即函数f(x)为奇函数，函数的导数 即nzo+1+2xo=0, ∫(x)=1一cosx≥0，则函数f(x)是增函数，则不等式 f(x+1)+f(2-2x)>0等价于f(x+1)>-f(2-2x) 面f(日）=名>0，当x0,f)-0 =f(2x-2),即x+1>2x-2,解得x<3,故不等式的 所以0<<，即A选项正确，B选项不正确， 解集为(-∞，3). f(xo)+2xo=xoln xo+xo+2zo=zo(In zo+xo+2) 7.B解析：令g(x)=x2e, =一xo(x0一1)>0，即D正确，C不正确.故选AD. 则g'(x)=2xe2十x2e=xe(x十2). 12.ABD解析：对A,f(x)=sinx十x3一a.x的定义域为 令g'(x)=0,得x=0或一2，当-2<x<0时，g'(x)< R,且f(-x)=sin(-x)十(-x)3+ax=-(sinx+x3 0,当x<-2或x>0时，g(x)>0. 一ax)=一f(x),故A正确； 所以g(x)在（一2,0）上单调递减，在（一∞，一2），(0， 对B,f(x)=cosx十3x2-a,因为f(x)是增函数， 十∞)上单调递增. 故cosx+3x2-a≥0恒成立. 所以g)g大量=g-2)=音：g)复水生=g0)=0, 即a≤cosx十3x2恒成立.令g(x)=cosx+3x2,则 g'(x)=6x-sin x, 又f(x)=x2e-a恰有三个零点，则0<a<: h(z)=6x-sin x,h'(x)=6-cos>0, 故g'(x)=6x-sinx单调递增， 8.D解析：由f(x)sinx>f(x)cosx, 又g'(0)=0,故当x<0时g'(x)<0,当x>0时g'(x) f'(x)sin r-f(r)cos >0, >0.所以g(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，十∞)上 构造函数g(x)=fr, sin x 单调递增， 25 故g(x)=cosx十3x2最小值为g(0)=1. y-50x-120-号+=50E-号-120， 故a≤1.故B正确； 对C,当a=一3时由B选项知，f(x)是增函数，故不可 则碧子 能有两个零点，故C错误； 令y=0,得x=25. 对D,当a=3时f(x)=sinx+x3-3x,f(x)=cosx 故当0<x<25时，y>0,函数单调递增，当x>25时， +3x2-3,令cosx+3x2-3=0则有c05x=3-3x2. y<0,函数单调递减，所以当x=25时，函数y取得极 在同一平面直角坐标系中作出y=cosx,y=3-3x2 大值，也是最大值. 的图象易得有两个交点，且交点左右的函数值之差的 15.(-∞，4幻解析：由2xlnx≥-x2+a.x-3对一切x∈ 符号不同. (0,十0∞)恒成立， 得a≤2lnx+x十3对一切x∈(0，十o)恒成立. x 设h(x)=2nx+3+x(r>0). 第12题答图 则=是是1=业， 故函数f(x)恰有两个极值点.故D正确，故选ABD. 当x∈(0,1)时，h'(x)<0,h(x)单调递减， 13.(-2,2)解析：f(x)=3x2-3,令f(x)=0, 当x∈(1，十o∞)时，h'(x)>0,h(x)单调递增. 得x=1或x=-1. 所以h(x)min=h(1)-4. 因为当x∈(-o∞，-1)U(1,十o∞)时，f(x)>0,当x 又f(x)≥g(x)恒成立，所以a≤4. ∈(-1,1)时，f(x)<0,所以f(x)在(-∞，-1)，(1， 16.(-∞，e2-2]解析：由f(x)-m≥0得f(x)≥m, 十∞)上单调递增，在（一1,1）上单调递减，所以 面数f(x)的定义城为(0，十∞)， f(x)极小值=f(1)=一2，f(x)叛大值=f(-1)=2.函 f(ax)=2x-2=2(x2-D, x 数y=x3一3x的大致图象如图所示， 当x∈[1，e]时，f(x)≥0， 此时，函数f(x)单调递增，所以f(1)≤f(x)≤f(e). 即1≤f(x)≤e2-2, 要使f(x)-m≥0在[1，e]上有实数解，则有m≤e2 -2. 17.解由题意得，函数f(x)的定义域为(0，十∞). 第13题答图 所以-2<a<2. f (x)=()'n+.1 (In2+2) 2x 14.25解析：设产品的单价为p万元，根据已知，可设 令f(x)>0,解得x>e2, P=丝 令f(x)<0,解得0<x<e2, 所以f(x)在(0，e一2)上单调递减， 其中及为比例系数 在(e-2,+o∞)上单调递增. 因为当x=100时，p=50,所以k=250000. 所以p2=250000=500 公0 f0m=fe-2)=a-名， 设总利润为y万元， 显然当a>名时，f)m>0,)无零点， 26 当a=名时，f(x)in=0,f(x)有1个零点， (2)f(x)的定义域为(0，十∞)， 由(1)可知，①当a≤0时，f(x)<0,函数f(x)在(0， 当a<2时，f(x)nn<0,f(x)有2个零点. 十∞)上单调递减； 18.解设速度为每小时)海里的燃料费为每小时p元， ②当a≥1时，此时函数f(x)在(0，十o∞)上单调递增. 那么由题设的比例关系得p=k3,其中k为比例系 ③当0<a<1时，由ax2-2x十a=0, 6 数，它可以由0=10，p=6求得，即k=10=0.006,千 解得x=1-正或x=1十C a 是有p=0.006v3. 所以面数f在(o,1),(中豆，+的)】 又设当船的速度为每小时V海里时，行1海里所需的 总费用为q元，那么每小时所需的总费用是0.0063十 上华河递带，在(=区，中回)上单两 96(元)，而行1海里所需时间为】小时，所以，行1海 递减 综上，当a≤0时，f(x)在(0，十o∞)上单调递减， 里的总费用为g-号0.06d+96)=0.06t+89 当0a<1时)在(0,1=）， 9=0.0120-95-0.012(-800, 2 （L中一a,+o∞)上单漏递增， 令g=0,解得v=20. 所以当0<<20时，9<0： 在（一1-口，1+1-a)上单调造减， 当>20时，q>0, 当a≥1时，f(x)在(0，十∞)上单调递增. 所以当=20时q取得极小值，也是最小值， 20.解(1)f(x)=6x2+6ax+3b, 即速度为20海里/时时，航行1海里所需费用总和 因为函数f(x)在x=1及x=2处取得极值， 最小. 所以f(1)=0,f(2)=0, 1.解f)=a+号是=r,2±>0. x2 6十6a+3动=0.解得 =-3, 即 ①当a≤0时，f(x)<0,函数f(x)在(0，十∞)上单调 24+12a+3b=0, {b=4. 递减； 经检验可知a=一3，b=4时符合题意. ②当a>0时，令g(x)=ax2-2x+a, (2)由(1)可知，f(x)=2x3-9x2+12x十8c, 因为菌数f(x)在区间[1，十∞)上是单调函数， f(x)=6x2-18.x+12=6(x-1)(x-2). 所以g(x)≥0在区间[1，+∞)上恒成立， 当x∈(0,1)时，f(x)>0: 当x∈(1,2)时，f(x)<0: 所以心纤在区间1，十四)上恒成立. 当x∈(2,3)时，f(x)>0. 令)7z1,+eo. 所以当x=1时，f(x)取极大值f(1)=5十8c, 又f(0)=8c,f(3)=9+8c. 因为u(x)=2 2 =1, 1 所以当x∈[0,3]时， x+- 厂1 x f(x)的最大值为f(3)=9+8c. 当且仅当x=1时取等号. 因为对于任意的x∈[0,3]，都有f(x)<c2恒成立， 所以a≥1. 所以9+8c<c2, 所以当a≥1时，函数f(x)单调递增. 解得c<-1或c>9. 所以实数a的取值范图是（一o∞，0]U[1,十∞）. 因此c的取值范围为（一∞，一1）U(9,十∞). 27 21.解(1)当a=1时，f(x)=2x-ln(2x), 0,所以当a=4时，x=2是一个极小值点，则a=4. f6)=2-1-2x1,xe(0,e], xx (2)解因为∫(x)=工-g=2-, 当0<x<号时，f(x)<0,此时fx)单渭递减： 所以当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，十∞). 当2<x<e时，了（田>0，此时）单满送推 当a>0时，fx)=x-g=-4_x+面x-@ x 当0<x<a时，f(x)<0,当x>√a时，f(x)>0, 所以x)的极小值为∫（合）=1， 所以函数f(x)的单调递增区间(Wa,十∞)：递减区间为 故()的单调递减区同为(0,2)，单调递增区问为 (0wa) (合，©])的授小值为（侵）=1，无板大值. (3)证明设ge)=号2-2-lnx (2)假设存在实数a,使f(x)=2ax-ln(2x),x∈(0，e] 则g(x)=2x2-x-1=x-1)(2x2+x+1) x 有最小值3， 又x>1,所以g(x)>0,所以g(x)在x∈(1，十∞)上 f(x)=2a-1=2a1,xe(0,e], x x 为增西数，所以当x>1时，g()>g(1)=后>0，所以 ①当a≤0时，因为x∈(0，e], 所以了(x)<0,f(x)在(0，e]上单调递减， 当>1时，安2+hr<号2 所以fx)min=f(e)=2ae-ln(2e=3, 章未检测·A卷 解得a=4+n2(会去)： 2e 1A解折：二-日，放造A ②当0<品e,即>记时：)在(0，岩)上单调道 2.A解析：函数y=x2cosx,求导得y=2 xcos x十x2 (-sinx)=2 xcos x-x2sinx.故选A. 减，在（品©]上草调递增， 3.B解析：由题得了)=-2a,所以斜率为f1)= 所以f)=f(会)=1-n是=3， 一a=2,故a=-2,再由切点在切线上得f(1)=3, 解得a=e2,满足条件； 即-2a十b=3,所以b=-1, ⑧当合之>e,即0<a≤元时，f)<0,f)在0，e]上 故ab=2. 4.D解析：f(x)=3.x2十2ax十3.由f(x)在x=一3时 单调递减， 取得校值，即∫(-3)=27-6a十3=0，所以a=5. 所以f(x)min=f(e)=2ae-ln(2e)=3, 解得a=4+n2(舍去). 5.D解析：由意意知了()=1-是，由于x)在 2e (-∞，一1)上单调递增，则f(x)≥0在（一∞，一1）上 综上，存在实数a=e2,使得当x∈(0，e]时，f(x)的最小 值为3. 恒成立，即日<2在(-，-1)上恒成立，当x<-1 22.(1)解了(x)=x-兰，因为x=2是-个极值点，所 时，2>1，则有日<1，解得a≥1或a<0.款选D. 以2-受=0，则a=4.此时f(x)=x-1= x 6B解折：由商数f)-号(c>1,则了) x十2)(x一2，因为fx)的定义域是(0，+∞)，所以 2-艺，要使得西数)有聚大 (x-1)2 当x∈(0,2)时，f(x)<0:当x∈(2，十∞)时，f(x)> 值-4，则a<0, 28