第5章 第3单元利用导数研究函数的极值、最值-【百汇大课堂·高中学习测试卷】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

二，多选题（本是共4小则，每小题5分，共的分，在每公奥危出的通项中，有多项符合现日要求，全得击 第三单元利用导数研究函数的极值、最值 前的得可分，部处选对的得2分，有选量的得0分) .已签知道病数1一了一2在[一1门上·划下列说法正确的是 时间：120分钟满分，150分 A量大值为 最小值为=3 单说进释题（本延先8小程，每小是5分，共0分.在每小周始出的召个进项中，只育一项是符台 C.函数/(x》在区闻[1,3们上单调是增 期日要装的) :一D是它的极大值点 1.函数y=《)在区同a,们上的量大質是M,最小直最m,若m一M,则了(.x) 1,定义在民上的可导函数y=代的导两数的周象如周所不，以下结论正确的是 A.小于有 L等下0 C大下 口以上福有可能 2,已每函数y=(x)的绿两数y三厂x)的图象如图属示，函数y=f(r)在区0(：，)内的极小值 点的个数为 第1n西图 第2思图 A,一3是x的一个极小值点 A.1 B.2 C.3 D.1 B一2和一1都是飞x)的极大值点 3已每属数x)一4x十r十1的m象在点《1w+A十1》处的切线料率为8.且函数fz》在x一2处 C,f(x的单料送增区闻是（一3，十） 取得级值，划x十为一 Df代x)的单到递减K间是（一，一3） 址 A.2 且7 c譬 n 山.设/)为雨数几的导函数，已知了十儿)台，-专周下列结论正确的是() 之4.函数(x》一12x一2在区C一3.门上的最小值是 A.x/（x)在1，十)单到递增 A.-1 B-18 C.I 总5.公>2”是函数1)-《x-公e在(0，+)上有最值的 我/(x)在(1.十60)单调送减 出 A免分不必要条并 (必要不充分第件 C/在0，+o上有楼大值是 C,充要条 九，瓦不充分也不必要器件 6已知函数几=n一：其中，r∈1，十∞)，若不等式x)6恤成立，则实数，的取值值围为《 n.r代x)在(，十上有酸小值} A.[1,+o1 且(-1-19 c[h+) D[0,+om) 2.已知画数一古测 下，加谢是国数y一x)的苹摘数y一了的象，给出下列命巡： A,x∈0.1)时，飞的周象位于r输下方 Bx有且仪有一个板值点 22 C(r)有且仅有两个极值点 第？圈园 Dx)在区间(1,2)上有最太值 ①一2是属数y一民)的极催点 三，填空雕（本抛共4小程，每现百学，共20分》 色1是函数=代r)的极值点： 15已知》一一2+十1在区列一2，一)上韵最大值就是雨数)的极大值，则四的取值范 圆y=八x的周象在：=ǜ处切经的斜毕小于零： 围是 D函数y=代x)在以利（一，2）上单到遂增. 14.设所数代x-nx∈[1，门：第具r)的最大值为 ,最小算为 媒正确备题的序号是 A.① B心 C.O3 D①T 15,已知代=F一2+在=2处有做小值，则馆数r的值为 8.若函数(》一2一在区列(u一5,2a+1)上有最小值.则实数4的取值范期是 1.已如两数儿小一宁'+十a++3在(-m,十心)上有在极植点，则实数：的和值他围是 A.(-1,4] 且f-1.40 c(-1 n-i》 四，解容题《木司共行小期，共0分，解答应可出式字视明，证喇过极减演幕必豫) 1.2分记细函数代x)一l血上一'，，C,且由线一/)在1-1处与直线y-一专相切. I7,4I0分》设z=1与x一2是两数(x)一m上十bx+上的两十极值点 )试萄定常数M和的值， (1》求，6的值： (2)判斯=1，=2是函数八的颜大值点还是股小值点，并说明埋h. 2求儿在[品上的最大红。 19.(12分)已知数x1=2(十1) 地.(12令)已知两数f:)一“十nx (1求两数【：》的极質： (2袋场数x》在区闻[，十1门>一s)上的最小值 (1)若-e.求推线y一了x}在点(1，/(1)处的切线方塑 (2)求两数的极值点个数， 家 61 21,12分已知函数代r)=十n:其中u为常数 22.:分已细添数f代)-+lh么. (1)当a=一1时，求（上）的最大雀： 2)若风r)在区间(0，e上的量大值为一8，震的值 《1》若山一一1，求函数/上)的极值，并指出是极大值还是根小慎： 2若。一1，求t在区间1.十)上，函整心的湘象在雨数g)一子的图象的下水，2.解D由y=fx)-g(x)=22-an,得了= 经检验，当a=一号b-8时，)在x一2处取得板大 值，所以4十h=2织.故选C 31 由慧意，得2-号-3，所以a=一2。 4.A解析：因为f(x)=12x-x3,所以f(x)=12-3.x2, 由f(x)>0得-2<x<2,由∫(x)<0得x>2或x< (2h)=)tg)-22+anx -2: 因为对任意两个不等的正数，都有)-(2】 又一3≤x≤1，所以当-3≤x<-2时，(x)<0,函数 x1一2 f(x)=12.x-x3单调递减： >2恒成立，设1>x,则h(1)-h(x2)>2(x1一x2), 当-2≤x≤1时，(x)>0,函数f(x)=12x-x3单调 即h(x1)-2x1>h(x2)-2x2恒成立. 递增： 问题等价于函数F(x)=h(x)一2x, 因此f(x)mm=f(-2)=-24+8=-16.故选A. 申F)=号2+alhr一2x在0，十∞)上为增菌数， 5.A解析：因为f（x)=(x-a)e,则了(.x)-(x-a十1) e,令f(x)=0,可得x=a-1. 所以F(x)=x十4-2≥0在(0，+o∞)上恒成立.即a 当x<a-1时，f(.x)<0;当x>a-1时，f(x)>0. ≥2x-x2在(0，十o)上恒成立. 所以函数y=f(x)在x=a一1处取得极小值. 所以a≥(2x一x2)mx=1,即实数a的取值范围是 若函数y=f(x)在(0，十∞)上有极值，则a一1>0， [1,+∞). 所以a>1. 第三单元利用导数研究函数的极值、最值 图此，“a>2”是“函数f(x)=(x-a)e在(0，十oo)上有 极值”的充分不必要条件，故远A L.B解析：因为y=f(x)在区问[a,b们上的最大值与最小 6.C解析：当x∈[1，十∞)时，不等式f(x)≤0恒成立等 值相等，所以y=f(x)是常数函数，所以了(x)=0,故 选B. 价于a>≥h在[1，十∞)上恒成立， 2A解析：由图象，设∫(x)与x轴的两个交点横坐标分 令g)=三，月g()=1h三，当1<<e时， 别为c,d,其中c<d g'(x)>0;当x>e时，g(x)<0:所以g(x)在[1，e]上 单调递增，在(e,十o∞)上单调递减. 第2题答图 所以gs一ge0-。,所以a>是，故选C 知在(a,c),(d,b)上f(x)≥0，所以此时函数f(x)在 7.D解析：根据导函数图象可知，一2是导函数的零点且 (a,c),(d,b)上单调递增， 一2的左右两侧导函数值符号相反，故一2是极值点，1 在(c,d)上，f(x)<0,此时f(x)在(c,dl)上单调递减， 不是极值点，因为1的左右两侧导函数符号一致.0处 所以x=c时，函数取得极大值，x=d时，函数取得极 的导函数值即为此点的切线斜率，显然为正值，导函数 小值. 在（一2,2）上恒大于等于零，故函数在（一2,2）上单调递 则函数y=f(x)的极小值点的个数为1.放选A. 增，所以选D. 8.C解析：对函数f(x)进行求导，得f(x)=-3x2十3， 3a+b=6, 3.C解析：由题可知f(x)=3ax2+b,则 解 当-1<x<1时，f(.x)>0,当x<-1或x>1时， 12a+b=0, 了(x)<0,所以函数f(x)在区间(-∞，一1)上单调递 得a= 号6=8 减，在区间（一1,1）上单调递增，在区间(1，十∞)上单调 21 递减，在x=一1处函数f(x)取得极小值一2，因为函数 由fa)=后当x∈0D时，lnx<0.e>0, 在(a一5,2a+1)端点处的函数值无法取到，所以区间 所以f(x)<0,则f(x)的图象都在x轴的下方，所以 (a一5,2a+1)内必存在极小值点x=一1，且此极小值 A正确： 点为最小值，因此a一5<-1<2a十1，解得-1<a<4, 又因为f(2)=一2，即函数f(x)在x=2处的函数值与 e(lnx-1)》 又f(x)= 0n,令8()=nx-士则 x x=一1处的极小值相司，为了保证在区间(a一5,2a十 1)上最小值在x=一1处取到，所以2a十1≤2，即a≤ g)=十7放gm>0: 1 2综上，-1<a≤2故选C 函数g(x)单调递增，则函数f(x)=0只有一个根xo, 9.ABD解析：f(x)=3.x2-4x,令了(x)=3.x2-4x>0, 使得f(x0)=0, 解得x<0或x>青，所以当xE[-1,0U(停3]时， 当x∈(0，x0)时，子(x)<0,函数单调递减，当x∈ (x0,十∞)时，函数单调递增， 了(x)>0,函数f(.x)单调递增， 所以函数只有一个极值点且为极小值点，所以B正确， 当x∈(0，专)时，f(x)<0,函数f(x)单调递减， C不正确： C错误： 又g①D=-1<0,g(2)=n2-专>0，所以适数在 所以x=0是它的极大值点，D正确； (1,2)上先减后增，没有最大值，所以D不正确. 因为f(0)=0,f(3)=27-2×9=9,所以函数f(x)的 故选AB. 最大值为9，A正确： 13.(一4，-2)解析：(.x)=m一2x,令(.x)=0,得x= 因为-1D--1-2-3(传)-别-2× 受由题意得受∈(-2，-1故mE(-4,-2》. 器所以西兼)的最小值为-3，B正有 14日0解析：由)=得了)=1， 故选ABD. 令f(x)>0,则1-lnx>0,解得0<x<e 10.ACD解析：当x<-3时，f(x)<0,当x∈(-3， 令f(x)<0,则1-lnx<0,解得x>e 十∞)时，f(x)≥0， 所以函数f(x)在[1，e]上单调递增，在[e,4]上单调 所以一3是极小值点，无极大值点，增区间是（一3， 递减， 十o∞)，减区间是（一∞，一3）.故选ACD. 11.AD解析：由x2f(x)十xf(x)=lnx得x>0,则 且)=0，)=>0，所以fx)的藏大值为 f+)=兰，即[xr=兰，设) fe)=e=是)的最小值为f)=0, e xfx),由g(x)=h>0得x>1,由g(x)<0得0< 15.2解析：由f(.x)=x3-2cx2+c2x知，f(x=3.x2 Acx+c2, x<1,即xf(x)在(1，十o○)单调递增，在(0,1)单调递减， 因为f(x)在x=2处取极小值，所以f(2)=12-8c+ 即当x=1时，函数g(x)=xf(x)取得极小值g(1)= c2=0.解得c=2或c=6, ID-名，或选AD 当c=2时，f(.x)=3x2-8x十4=(3.x-2)(x-2), f(x)在x=2处取授小值，符合题意， 12.AB解折：由题，面数f)=后满 x>0, 故函 lnx≠0， 当c=6时，f(x)=3x2-24x十36=3(x-2)(x-6), 数的定义域为(0,1)U(1,十o), f(x)在x=2处取极大值，不合题意，综上知，c=2. 22 16.(一∞，一1)U(2,十o)解析：由题可知广(x)=x2 所以x)在[品1)上单调道增，在1，。]上单调道减， +2ax+a+2, 因为函数f(x)在（一∞，十∞）上存在极值点，所以 所以)在[是.上的最大值为)=- (x)=0有解， 19.解(1)f(.x)=2e(x+2), 所以△=4a2-4×1×(a+2)≥0，则a≤-1或a≥2， 由f(x)>0,得x>-2:由f(x)<0,得x<-2. 当a=一1或a=2时，函数y=f(x)与x轴只有一个 所以f(x)在(-2，十∞)上单调递增，在（一∞，一2）上 交点，即f(x)≥0， 单调递减. 所以函数f(x)在（一∞，十∞）单调递增，没有极值点， 所以f(x)的极小值为f(一2)=一2e2,无极大值. 故舍去， (2)由(1)，知f(x)在（一2，十∞）上单调递增，在 所以实数a的取值范围是（一∞，一1）U(2,十∞). (一∞，一2)上单调递减. 17.解(1)因为f(x)=alnx十hx2十x, 因为>-3，所以1十1>-2. ①当-3<1<一2时，f(.x)在[1，-2)上单调递减，在 所以f)=+26x+1. (一2,1+1门上单调递增， 由极值点的必要条件可知： 所以f(x)min=f(-2)=-2e2. (1)=f(2)=0, ②当t≥一2时，f(x)在[t,t十1]上单调递增， 所以a+2b+1=0且号+4b+1=0, 所以f(x)mim=f(t)=2e(1+1), -2e-2,-3<1<-2, 解得a=一号小一合：经验证可知a=一号 2 Γ3b=-1 所以f(x)mn= 6 2e'(1+1),l≥-2. 符合题意. 20,解0)软题意，fx)=一号+放了0)=0， (②)由D可知/)=-号nr一名r+x 又f(1)=1,故所求切线方程为y一1=0。 且其定义域是(0，十∞)， (2)题意了x)=-g+二延-上（任-a)小 x re f)=-号13+1=--2 3.x 令a)-则m)=DC,且当0<<1时， 当x∈(0.1)U(2,十o∞)时，∫(.x)<0: m'(x)<0,当x>1时，m'(x)>0, 当x∈(1,2)时，f(x)>0: 所以函数m(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单 所以x=1是函数f(x)的极小值点， 调递增，所以m(x)min一m(1)一e, x=2是函数f(.x)的极大值点. 当a≤e时，m(x)≥a恒成立，所以f(x)≥0. 18.解(1)f(x)=2-2bx(x>0). 函数f(x)在区间(0，十oo)上单调递增，f(x)无极 值点； 由面线y=)在=1处与直线y=一号相切， 当a>e时，m(xr)min=m(1)=e<a: (f(1)=0, a-2b=0, (a=1, 故存在x1∈(0,1)和r2∈(1，十∞)，使得m(x1）= 1即 1解得 1 m(x2)=a, 1)=--6=-zb=2 当0<x<x1时，f(x)>0, (2)由1)，得f)=lnx-号2，定义域为0，十∞). 当x1<x<x2时，f(x)<0, 当x>x2时，了(x)>0,所以函数f(x)在(x1,x2)上单 f=-x-1子 调递减，在(0，x1)和(x2,十∞)上单涧递增，所以x1为 令(x)>0,得0<x<1,令(x)<0,得x>1, 函数f(x)的极大值点，x为函数f(x)的极小值点， 23 综上所述，当a≤e时，f(x)无极值点：当a>e时，f(x) 因此函数f(x)在(0,1)上是减函数： 有2个极值点. 当x∈(1，+∞)时，f(x)>0, 21.解(1)易知f(.x)的定义域为(0，十6∞)， 因此函数f(x)在(1，十∞)上是增函数. 当a=-1时f(x)=-x十lnx,广(x)=一1+1 故x=1是f(x)的校小值点，所以f(x)在x=1处取 1二x,令/(x)=0,得x=1 得极小值分，无极大值。 当0<x<1时，f(x)>0:当x>1时，f(x)<0. (2)证明设F(x)=f(x)-g(x)=2x2+lnx 所以f(x)在(0,1)上是增函数，在(1，十∞)上是减函 数，所以工=1是唯一极大值点也是最大值点所以 f（x)mx=f(1)=-1. 则F(m)=x+-22 所以当a=一1时，函数f(x)在(0，十∞)上的最大值 =-2x3+x2+1=-(x-10(22+x+1) 为-1. (2f=a+eo,∈[是+ 显然由2r2+x+1=2(x+)广+号及>0可知， ①考a>-则f)≥0，从有/)在0e上是增 当x>1时，F(x)<0,故F(r)在区间[I,十∞)上是减 函数， 函数， 所以f(x)mmx=f(e)=ae+1≥0，不合题意： 又F(1)=- <0，所以在区间[1，+∞)上，F(x)≤ ②若a<-是，令f>0,得a+>0,结合x(0, F(1)<0,即F(x)<0恒成立，即f(x)<g(x)恒成立. 因此，当a=1时，在区间[1，十o)上，函数f(x)的图 ],解得0<r<- a 象在西数g)=号r的图象的下方， 令了)<0，得a+士<0，结合x∈(0，，解得-日 7” 第四单元 导数的综合应用 <r≤e 从而)在(0，一日)上为增西数，在（一合]上为 1.C解析：设底面边长为x,高为，则唱h=V,所以 减函数， 4- 所以x).-f(-）--1+ln（-）】 则表百积S=号2+4>0 x 令-1+n（-2）=-3,得1n(-2）=-2,即a 所以S(24V.令S=0,得x=4.又因为S在 -e2. 因为一e2<一是，所以a=一心2即为所求，故尖数a的 (0,十∞)上有且仅有一个极小值点4V,所以S在x ④V处取得最小值. 值为-e2. 2.A解析：设g(x)=xf(x),x∈(0，十∞)， 22.(1)解易知函数f(x)的定义域为(0，十∞)， 则g'(x)=xf(x)十f(x)≤0， 当a=-1时，广()=x-1=x+1)(x-1D x 所以g(x)在区间(0，十∞)上单调递减或g(x)为常 令了(x)=0,得x=1或x=-1(舍去). 函数 当x∈(0,1)时，f(x)<0, 因为a<b,所以g(a)≥g(b),即af(a)≥bf(b),故选A. 24-