第5章 第2单元利用导数研究函数的单调性-【百汇大课堂·高中学习测试卷】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

8,若场数(x1=2:之一nr在定义城内的一个子区可（一1，+1）上不是单调函数，第实数点的取值 第二单元 利用导数研究函数的单调性 围是 A[别 弘（是》 时润：120分钟满好：150分 c[, n1, 一，单项进择■（本是先8小厘，每公列F会，共4排参.在每小愿给出的召个选理中，只有一项是特 则日要求的) 二，多选题（本理共4小想，每小相5分，共的分，在每个理址出的出项中，有多项符台形日要表，全得出 1函数f(x》-c0s上一上在(0，上的单调件最 对的月行分，常分进对的具2分，有选抛的弹0分) A,先端后减 达先减后增 .若面数E(x(e-么7社828=…是自然对数的嘘数)在气.x的定义线上单测通增，哪称函数八)具 ,单满渔洲 D,单碑通减 有M生质，下列函数中其有M鞋面的是 工.若在区何Ig,b们内有了(r)>0.且（u0,期在(a,6)内有 A.x》=2 队/()-x十2 A./r)>0 .r)0 C,)-a D.fr)-o0s s C,/r)0 卫，不能确定 1®，已知定义在民上的函数爪)，北导函数y=了()的大数因象如周所不，则下列叙述正翰的是 3,段函数(x》在定义城内可导，y=《x)的图象如阁所示，则其导函数￥一了x的图象可能是 第3图 第10些国 A.f>) 我0>f) C.fa)>fd) D.fe)Me) 4,如果橘数x)的定义域为(0.十1，且fx)0,了x)>0,那么漏数y=r民r)在(0.十)上 山，已回两数化-子十十十1长R,下列选绸中可佬是两数：用象的是 A,没有单视生 我无法确定单湖性 C,是蜡函数 D.是减话数 太A别 5.已知《x是函数上》的导数，则-(：)在(a,)上为减函数”是xJ<0在(a,)内恒成立的 12已知两数代：的导函数为/(x,且了<：)对任意的sE民报成立，周 A免分不经要条件 赵影要不充分条件 A./(In 2)<2(0) 认2)<0 仁，克分必要条件 中，原不充分色不必要条件 C,f1m2)>2f0) D.>o) (已知函数代一子，背1心3时，下列关系正确怕是 三，铺空蹈（未抛天4小尾，每小跑厅分，共2阳行》 13,函数风x)=x一gx十】既有单调道增区回：又有单到送减区闻，期a的取植范围是 A.fr)eRic(r) 我r<r(r) 14.函数z》一x一r十n(2x)的重调通增区是 C.(r)≤f<a D.广)<)<f2 15.已知x)是定文在R上的奇商数.且(2)-0，若当>0时.x了(x)十(x)>0,则不等式 7.已知函数(x》=一十业r一F一L在：上是单调函数，图买数a的取作范围是 )>0的解集是 A.(-,-3U[/5,+o [-5J 1.若函数x)一x一nr在区间1，十o)上单调8增，则的取值蔻国星 若届数 C《-,-8U(8,十9》 D. fx》在区间(1，十o)内不单视，划k的取值范围是 4 动 四，解答题（卡司共6小，共0分，解答应写出文字视清，证聘过极减流算乡豫） 18,《12分已知函数风)=+F+6ab∈段)，e(r)=八}+了（是奇函数， I7,410分》知函数/（上）一1+u1一u十2. 《1求士)的表达式： 1)若4一上.求非线y=x》在点1·()处的幻线方程： (2》求漏数g(r)的单到区间. (2》若4>0：求雨数风x)的单调区可 52 19.2令已超两数代-上一是-l血 2维.12会)已知两数u)--d十-十lw为实数. (11已知（工》在点(1，(1）)处的切线方程为y一一2，求买数t的值： (1D当安2时，讨论》的单焉性： (已每【x》在定义城上是增深数，震实数，的取值意围 〔)若fx)在区[1,5]上是减饼数，求g的取值意国。 家 富 53 54 21.2分已知函数r)=1n一《mEH) 22.《:分已细添数f代)-d,g-ln北 (1》若m=1,求挂就y=(:》在点P(1,一1)处的切线方程： 2)讨论南数(r)在(1，e上的单调住 (1若鞋线y一x一对：》在x-2处的姆收与直线上+3y一一0垂直，求无数：的值： 《2世-D+g,若对任套两个不等的正数山都有二型>2相成立，课实 一 数山的敢值范围。 56令y=x,得y=2x0一1，故切线与直线y=x交点为 5.B解析：若f(x)在(a,b)上为减函数，则(x)<0在 (2x0-1,2.x0-1), (a,b)内不恒成立， 直线x=1与直线y=x的交点为(1,1). 例如f(x)=一x3,显然f(x)在(-1,1)上递减，但当 从有所国残三角形药面表为号名号-小·2。一】 x=0时，则f(0)=一3×0=0： 若f(x)<0在(a,b)内恒成立，设任意x0∈(a,b),则 -=是2=2 f(x)在点(xo,f(x0)处的切线的斜率k=f(xo)<0, 所以所图成三角形的面积为定值2. 所以f(x)在(a,b)上为减函数. 22.(1)证明函数f(x)=x,g(x)=x2+2x一2，则 所以“f(x)在(a,b)上为减函数”是“(x)<0在(a,b) f(x)=1,g'(x)=2x+2. 内恒成立”的必要不充分条件.故选B. 由f(x)=g(x)且f(x)=g'(x),得 6.A解析：由题意得f(x)=工-1DC,当1<x<3时， 2 |x=x2+2x-2, 此方程组无解， f(x)>0,所以f(x)在(1,3)上单调递增.又1<元< 1=2x+2, x<3,所以f(F)<f(x).由f(x)在(1,3)上单调递增， 因此，f(x)与g(x)不存在“S点” 可知当x∈(1,3)时，f(x)>f1)=e,所以fP(x)> (2)解函数fx)=a.x2-1,g(x)=lnx f(x).综上f(x)<f(x)<P(x). 则f()=2ax,g'(x)=1 7.B解析：广(x)=-3x2十2a.x-1,由题意，可知f(x) 设x0为f(x)与g(x)的“S点”，由f(xo)=g(xo）且 =-3.x2+2ar-1≤0在R上恒成立，所以(2a)2-4× f'(x)=g'(xo),得 (-3)×(-1)≤0，解得-3≤a≤3. (ari-1=In xo (axi-1=In xo 8.C解析：由愿意，得函数f(x)的定义域为(0，十∞)， 2a.fo =1 即 () 2a.x=1, 了)-4红-士令了)-0，解得x-号我x=-号 得n=一号，即=e,则a 1 2(e)221 (舍去).当0<x<号时，了(x)<0,函数f(x)在区间 当a=气时，=e十满足方程组(#)，即0为f(x) (0,2)上单调递减：当>2时，∫(x)>0,通数f 与g)的“S点”，因此a的值为号 在区间（分，十∞）上单调递增.因为函数f(x)在区问 第二单元利用导数研究函数的单调性 (k-1,k+1D上不是单调西数，所以-1<专<k十1， L.D解析：易知f(x)=一sinx-1,x∈(0，π)， 所以f(x)<0,则f(x)=cosx-x在(0，π)上单调 解得-之<k<号.又k-1≥0，所以1<<号，故选C 递减. 9.AB解析：设g(x)=ef(x), 2.A解析：由f(x)>0,得f(x)在(a,b)上是增函数. 对于A,g(x)=心2=(）广在定义城R上是增函 所以当x∈(a,b)时，f(x)>f(a)≥0. 数，故A正确： 3.D解析：由函数y=f(x)的图象，知当x<0时，f(x) 对于B,g(x)=(x2+2)e,g'(x)=(x2+2x+2)e 单调递减；当x>0时，f(x)先递增，再递减，最后再递 =[(x+1)2+1门e>0,所以g(.x)在定义域R上是增函 增，分析知y=f(x)的图象可能为D. 数，故B正确： 4.C解析：因为y'=x'f(x)十xf(x)=f(x)十xf(x), 又x>0,f(x)>0,f(x)>0,所以y>0. 对于Cg(x)=e3=(兮)厂在定义城R上是减函 所以函数y=xf(x)在(0，十o∞)上是增函数. 数，C不正确： 18 对于D,g(x)=e'cosx,则g(x)=2ecos(x+牙) 因为当x>0时，xf(x)十fx)>0,所以g(x)在(0，十∞) 上单调递增。 g'(x)>0在定义域R上不恒成立，D不正确. 因为f(x)是定义在R上的奇函数， 10.ABD解析：由题图可得，当x∈(-o∞，c)U(e,十o∞) 所以g(x)是定义在R上的偶函数： 时，f(.x)>0,当x∈(c.e)时，了(x)<0,故f(x)在 又f(2)=0,则g(2)=2f(2)=0, (一oo,c),(e,十∞)上是增函数，在(c,e)上是减函数， 所以不等式xf(x)>0等价于g(x)>0=g(2), 所以f(b)>f(a),f(d)>f(e),f(c)>f(e). 所以|x>2,解得x<-2或x>2, 1.ABc解折：因为f)=ar++r+1a∈R 所以不等式xf(x)>0的解集是（一∞，一2）U(2, 所以f(x)=a.x2+x+1. 十∞ 对于选项A,当a=0时，f(x)=x十1，易得f(x)在 16.[1,十∞)(0,1)解析：若f(x)=kx-lnx在区间 (一∞，一1)上为减函数，在（一1，十∞）上为增函数，故A (1,十0)上单调递增，则了(x)=k-1≥0在(1， 可能； 十∞)上恒成立， 对于选项B,当a>时，4<0，(x)≥0(x)为增 即≥在1，十∞)止恒我立，又>1时，1，所以 面数，故B可能： k≥1： 对于选项C,当a<0时，△>0，f(x)有两个不相等且 若函数f(x)在区间(1，十o∞)内不单调，则方程广(x) 互为异号的实数根，f(x)先递减再递增然后再递减， 故C可能： =一子=0在区同1，十∞)有解 对于选项D,当0<a<时，4>0，了()有两个不相等 因为x>1时，0<1<1，因此只需0<k<1. 的负实数根，f(x)先递增再递减然后再递增，故D错误. 17.解(1)因为a=1,所以f(x)=x3+x2-x+2, 故选ABC. 所以(x)=3.x2+2x-1,所以了(1)=4.又f(1) 12.AB解桥：令g(x)=fD,则g()=fm)-f四 =3, 所以切点坐标为(1,3)，所以所求切线方程为y一3= <0,故g(.x)在R上单调递减，而ln2>0,2>0, 4(x-1),即4x-y-1=0. 故g(n2)<g(0),g(2)<g(0),即f2<f0) 2 1 (2)f(x)=3.x2+2a.x-a2=(.x+a)(3x-a), ②</0.所以n2)<2fo2<cf0 e2 由f(x)=0得x=-a或x=号 13.(0,十∞)解析：因为f(x)=3x2一a,由条件知 又a>0,由f)<0,得-a<r<号 了(x)=0需有两个不等实根，所以a>0. 14.(0,2）,2,+∞)解析：f)的定义域是(0，十∞)， 由f()>0,得r<-a或x>号， f(x)=2x-5+2=22-5x+2_(2x-10(x-2) 故f(x)的单调递减区间为(-a,号)，单调递增区间 由fx)>0得>2或0<r<, 为(-∞，-a)和（号，+∞）片 18.解(1)函数f(x)=a.x3+x2+bx(a,b∈R), 故(x)的单调递增区问是(0,2)，(2，+∞)。 所以f(x)=3a.x2+2.x十b, 15.(一∞，一2)U(2,+∞)解析：由题意设g(x)=xf(x), 所以g(x)=a.x3+(3a十1).x2十(b+2)x十b, 则g'(x)=xf(x)+f(x). 因为g(x)是奇函数， 19 所以g(-x)=一g(x), 综上所述，当a=2时，f(x)在R上单调递增： (3a+1=0, d=- 当a<2时，f(.x)分别在(-o∞，a-1)和(1，十∞)上单 所以 解得 3 1b=0. 调递增，在(a-1,1)上单调递减. b=0, (2)由已知得f(.x)=x2-a.x十a-1≤0在区间[1,5] 所以f(x)的表达式为f(x)= 上恒成立， (2)由(1)知g(x)=- 所以a(x-1)≥x2-1在区间[1,5]上恒成立， 当x=1时，a∈R;当1<x≤5时，a≥x十1. 则g'(x)=-x2+2, 而y=x十1在x∈(1,5]上单调递增，所以当x=5时， 当x<一2或x>2时，g'(x)<0,g(x)单调递减： ymmx=6,则a≥6. 当一√2<x<2时，g'(x)>0,g(x)单调递增： 综上a的取值范围为[6，十∞)， 所以函数g(x)的增区间为（一2,2），减区间为（一∞， 2L.解(1)若m=1,则fx)-lnx-,f(x)=1-1, -2)和(2，十∞). 19.解1)图为f(x)=x-2-aln,所以∫(x)=1十 所以1)=-1，了)=士-1=0，所以切线的斜率 x 是-是所以r0=8-a 为0，所以切线方程为y=一1. (2)因为f)--m-严，令A)=-m+1, 又f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y=x-2,所 以(1)=3-a=1,解得a=2. h(x)图象过点(0,1).当m=0时，h(x)不是一次函数， (2)f(x)的定义域为(0，十∞)， ①当m≤0时，在(1，e)上h(x)>0,f(x)>0,所以函 因为f)在定义域上为增函数，所以了(x)=1+号 数f(x)在(1，e)上单调递增. ②当m>0时，h(x)在(1，e)上是减函数，由h(x)的图 “≥0在(0，十∞)上恒成立， 象可知， 所以a≤x+2在(0，十四)上恒成立，所以 D当品>e,即0<m≤是时，对yxE(,e0.h(x)>0, f(x)>0,所以函数f(x)在(1，e)上单调递增： (当1<<e,即是<m<1时，在(，动)上A> 由基本不等式x+>2,×子=2区，当且仅当r E时等号成立，救(+）=2瓦. 0,西数八x)在(，品)上单酒道增，在（品心）上A min <0x)在（偏c)上单调递减： 故实数a的取值范国为（一∞，22] 20.解(1)f(x)=x2-a.x+a-1 （当0<≤1，即m≥1时xe1e0,hx)<0, =(x-1)[x-(a-1)], 广(x)<0,函数f(x)在(1，e)上单调递减. 当a=2时a-1=1,f(.x)=(x-1)2≥0.f(x)在R上 综上可得，当m≤时，在1，e上单润递增： 单调递增， 当a<2时a-1<1,由f(x)>0得x>1或x<a-1, 当是<m<1时，f(x)在(1，品)上单调递增，在 e 由f(x)<0得a-1<.x<1. 所以f(x)分别在（一o∞，a一1）和(1，十∞)上单调递 (偏小上单润递减： 增，在(a一1,1)上单调递减， 当m≥1时，f(.x)在(1，e)上单调单递减. 20 2.解D由y=fx)-g(x)=22-an,得了= 经检验，当a=一号b-8时，)在x一2处取得板大 值，所以4十h=2织.故选C 31 由慧意，得2-号-3，所以a=一2。 4.A解析：因为f(x)=12x-x3,所以f(x)=12-3.x2, 由f(x)>0得-2<x<2,由∫(x)<0得x>2或x< (2h)=)tg)-22+anx -2: 因为对任意两个不等的正数，都有)-(2】 又一3≤x≤1，所以当-3≤x<-2时，(x)<0,函数 x1一2 f(x)=12.x-x3单调递减： >2恒成立，设1>x,则h(1)-h(x2)>2(x1一x2), 当-2≤x≤1时，(x)>0,函数f(x)=12x-x3单调 即h(x1)-2x1>h(x2)-2x2恒成立. 递增： 问题等价于函数F(x)=h(x)一2x, 因此f(x)mm=f(-2)=-24+8=-16.故选A. 申F)=号2+alhr一2x在0，十∞)上为增菌数， 5.A解析：因为f（x)=(x-a)e,则了(.x)-(x-a十1) e,令f(x)=0,可得x=a-1. 所以F(x)=x十4-2≥0在(0，+o∞)上恒成立.即a 当x<a-1时，f(.x)<0;当x>a-1时，f(x)>0. ≥2x-x2在(0，十o)上恒成立. 所以函数y=f(x)在x=a一1处取得极小值. 所以a≥(2x一x2)mx=1,即实数a的取值范围是 若函数y=f(x)在(0，十∞)上有极值，则a一1>0， [1,+∞). 所以a>1. 第三单元利用导数研究函数的极值、最值 图此，“a>2”是“函数f(x)=(x-a)e在(0，十oo)上有 极值”的充分不必要条件，故远A L.B解析：因为y=f(x)在区问[a,b们上的最大值与最小 6.C解析：当x∈[1，十∞)时，不等式f(x)≤0恒成立等 值相等，所以y=f(x)是常数函数，所以了(x)=0,故 选B. 价于a>≥h在[1，十∞)上恒成立， 2A解析：由图象，设∫(x)与x轴的两个交点横坐标分 令g)=三，月g()=1h三，当1<<e时， 别为c,d,其中c<d g'(x)>0;当x>e时，g(x)<0:所以g(x)在[1，e]上 单调递增，在(e,十o∞)上单调递减. 第2题答图 所以gs一ge0-。,所以a>是，故选C 知在(a,c),(d,b)上f(x)≥0，所以此时函数f(x)在 7.D解析：根据导函数图象可知，一2是导函数的零点且 (a,c),(d,b)上单调递增， 一2的左右两侧导函数值符号相反，故一2是极值点，1 在(c,d)上，f(x)<0,此时f(x)在(c,dl)上单调递减， 不是极值点，因为1的左右两侧导函数符号一致.0处 所以x=c时，函数取得极大值，x=d时，函数取得极 的导函数值即为此点的切线斜率，显然为正值，导函数 小值. 在（一2,2）上恒大于等于零，故函数在（一2,2）上单调递 则函数y=f(x)的极小值点的个数为1.放选A. 增，所以选D. 8.C解析：对函数f(x)进行求导，得f(x)=-3x2十3， 3a+b=6, 3.C解析：由题可知f(x)=3ax2+b,则 解 当-1<x<1时，f(.x)>0,当x<-1或x>1时， 12a+b=0, 了(x)<0,所以函数f(x)在区间(-∞，一1)上单调递 得a= 号6=8 减，在区间（一1,1）上单调递增，在区间(1，十∞)上单调 21