第5章 第1单元导数的概念、运算及导数的几何意义-【百汇大课堂·高中学习测试卷】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

[2()”,1<4且neN, 当n=2k(kéN*)时,<4 2,所以入<3; 2 所以b。-{ (6.75,n5且nEN”. (2)当n-4时,S.=a +a+a3+a +b+b+b+b -53.25. 综上可得,实数入的取值范围是(一2,3) 当5<n<21时,S -(a+a+.+a )+(b +b+b 第五章 一元函数的导数及其应用 +b+b十..十b) 2[1-() 第一单元 导数的概念、运算及导数的几 -10+”(n-1)(-0.5)2} _} “2 -+6.75(n-4) 何意义 △r 5-1 2.D 解析:因为---+. 即n2-68n+843<0. 得34- 313<”<21,又nN',所以17<n2$ .故选D. 所以结合实际情况,可知到2037年累计发放汽车牌照 超过200万张. 3.D 解析:由已知得y=4一3x^{②},当x=-1时,y-4 22.解(1)因为数列(b.)满足b-1,b-2,且ab。+b 3×(-12-1, -n+1. 所以曲线y-4x-x3在点(-1,-3)处的切线方程为 所以a1+1-2,解得a1-1. y+3-1×(x+1). 又因为数列(a.)是公差为2的等差数列, 化简得y-x-2.故选D 所以a.=1+2(n-1)-2n-1. 4.B 解析;由导数的几何意义可知,f(xA),f(xn)分别 所以2nb.-nb+1,即2b.-b+1 是曲线在点A,B处切线的斜率, 所以数列(6.)是以1为首项,2为公比的等比数列, 由图象可知f(xA)<f(xn).故选B 即6-2“-1. 5.C 解析:切线方程为y=-2x十9,当x=4时,y=1,即 (2)数列(c)满足.-+12n_n 6+1 2”2- f(4)-1,f(4)--2, 则f(4)+f(4)=-1,故选C 6.C 解析:因为f(x)=3x2-1,令f(x)-2,解得 -1 或x=-1,所以P(1,3)或(-1,3),经检验,点(1,3), (一1,3)均不在直线y-2x-1上,故选C 7.D 解析:由题意y一4x十3,切线倾斜角的范围是 [3--x),则切线的斜率k的范围是[-1,0), 2r 不等式(-1)”<T。+”,即(-1)”<4- 2 2-但 8.B 解析:在A中,若f(x)=x},则f(x)-2x,则x→ 成立, 2x,这个方程显然有解,故A有巧值点; 15 [()]-()* 在B中,若f(x)-e*,则f(x)= 对于选项C,根据平均变化率公式可知,甲、乙两人血 f(t)-f(t) 管中药物浓度的平均变化率都是 3-t2 ,故C e 正确; 合要求; 在C中,若f(x)-lnx,则f(x)-1,由lnx-,令y 对于选项D,在[t,]时间段,甲血管中药物浓度的平 f(t2)一f(t) 均变化率是 t2一t1 一,在,]时间段,甲血管中 1(c>0),作出两函数的图象如图所示,由 -lnx.y- f(t)-f(t2) 药物浓度的平均变化率是 -2 ,显然不相等, 两函数图象有一个交点可知该方程存在实数解,故C 有巧值点; 故D正确.故选ACD ## 12.AC 解析:由题可知,f(x)- 则f(x)-2x2-2x十a,可令切点的横坐标为m,且 n0,可得切线斜率b-2m{-2m+a=3, 由题意,可得关于m的方程2m{}-2m十a-3-0有两 第8题答图 个不等的正根n,m,且可知m+m=1>0 (△>0. (4-8(a-3)>0, 多 解得3<a, 即 -3。. 得x一一1,故D有巧值点。 mm>0, 2 故选B. 解析:因为(sinx)-cosc.()--. 9.AD 13.2 一2 解析:由题图可知,f(0)-4,f(4)-2,故 f(f(0))=f(4)=2;在x=1处f(x)的斜率为-2 f(1+△x)-f(1)--2. 选AD. 故lim △x 10.ABD解析:对于选项A,/(xo)表示函数f(x)的导 解析;由题意得,f(x)=x-2f(0)sinx十1,令 数在xo处的值,而(f(x。))表示函数值f(xo)的导 =0,则f(0)=1,所以f(x)=x-2sinx+1 数,其意义不同,故A错误; 则#()一 对于选项B,求f(xo)时,应先求f(x),再代入xo求 值,故B错误; 15.t3 100-0 对于选项D,f(x)=a3+2ax+x2,所以f(x)=2a+ 2.x.故D错误.故选ABD 轴交点连线的斜率,观察可知t3处瞬时速度(即切线 11.ACD解析;对于选项A,在t. 时刻,为两图象的交 的斜率)与平均速度一致. 16.x一ey-0 解析:曲线y=f(x)在y轴右侧的图象对 点,即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同,故A 正确; 应的函数解析式为y=lnx,则y-1(x>o). 对于选项B,甲、乙两人在t2时刻的切线的斜率不相 设过原点的直线与该段图象相切于点(xo,lnx。)(x。 等,即两人的f(t。)不相同,所以甲、乙两人血管中药 _lnxo1,1nc。-1; >0),则 To 物浓度的瞬时变化率不相同,故B错误; 2。0 16 所以切线的方程为y-(-6)-13(x-2),即13x-y -32-0. -0. (2)设切点为(xo,y),则直线1的斜率为f'(x。)-3x-} 17.解 在第2h时和第6h时,原油温度的瞬时变化率就 +1, 是f(2)和f(6). 所以直线l的方程为y=(3x十1)(x-xπ)十x+x -16. △x 又因为直线1过点(0,0),所以0=(3x十1)(-x) (2+△x)2-7(2+△x)+15-(22-7×2+15) △x +xo-16. -△r-3, 整理得x=-8,所以xo=-2,所以yo=(-2)+$$ f-lim(△x-3)=-3. (-2)-16--26. r(-2)-3x(-2)*+1-13. 同理可得:f(6)-5. 故直线1的方程为v-13x,切点坐标为(-2,一26) 在第2h时和第6h时,原油温度的瞬时变化率分别为 一3和5,说明在第2h附近,原油温度大约以3C/h 直,所以该切线的斜率k一4. 的速率下降,在第6h附近,原油温度大约以5C/h的 设切点的坐标为(xo,yo), 速率上升. 则f(xo)=3x+1-4,所以xo=+1, 18.解 (1)y=(x2)'sinx+x②(sinx)'=2xsinx十 x。-1 (x。=-1, x2cosx. 所以 y。--143。--18. (2)y-(1nx叶)-(1nx)+()-- 故切线方程为y-(-14)=4(x-1)或y-(-18)= 4(+1),即4x-y-18-0或4x-y-14-0. (3)y'-(co)y-(cos )'ex-cos x(e) (e)2 21.(1)解f(c)-a- (2十)2) -_sinx十cosx #2a-3. 19.解 (1)函数的定义域为[0,十), 于是{ -_(2)}一 #(2)#+_-3-(→>), 22 f(1)-0→a-3 (2)证明 设切点为(2o2o) (2)若a-3,则f(x)=(x-3),f(x)-、+-3 2x 由/(2。)-1-1 (。1)#知 2 2-ro+1 过此点的切线方程为y一 ro-1 [1-](-o) 2,即9x-4y-28-0. 20.解(1)由函数f(x)的解析式可知点(2,一6)在曲线 令x-1,得-20+1 1,故切线与直线x-1交点 y-f(x)上,所以f(x)=(x+x-16)'-3x2+1, 为(1). 所以在点(2,-6)处的切线的斜率为&-f(2)-13 17 令y-x,得y-2x-1,故切线与直线y=x交点为 5.B 解析:若f(x)在(a,b)上为减函数,则f(x)<0在 (2x。-1,2xo-1). (a,b)内不恒成立, 直线x-1与直线y=x的交点为(1,1). 例如f(x)=一x3,显然f(x)在(-1,1)上递减,但当 x-0时,则/f(0)一-3×0-0; 若 (x)<0在(a,b)内恒成立,设任意xo(a,b),则 11-1212o-21-2- f(x)在点(xo,f(x。))处的切线的斜率k=f(xo) 0 所以所围成三角形的面积为定值2 所以f(x)在(a,b)上为减函数. 22.(1)证明 函数f(x)=x,g(x)=x^②十2x-2,则 所以“f(x)在(a,b)上为减函数”是“f(x)<0在(a,b) f(x)=1,g'(x)-2x+2. 内恒成立”的必要不充分条件,故选B. 由f(x)=g(x)且f(x)=g'(x),得 (x-2+2r-2, 此方程组无解, f(x)>0,所以f(x)在(1,3)上单调递增,又1< 1-2x+2. x 3,所以f(x)<f(x).由f(x)在(1,3)上单调递增 因此,f(x)与g(x)不存在“S点”. (2)解 函数f(x)=ax2-1,g(x)=lnx 可知当xE(1,3)时,f(x)>f(1)=e,所以f*(x)> f(x).综上f(x)<f(x)<f2(x). 则f(x)-2ax,g’(x)-1 7.B 解析:f(x)--3x*+2ax-1,由题意,可知f(x) 设xo为f(x)与g(x)的“S点”,由f(x。)=g(xo)且 --3x^2+2ax-1<0在R上恒成立,所以(2a)②-4x f'(x。)一g'(xo),得 (-3)x(-1)<0,解得-3<a<3 fax-1-lnxo, (ar}-1-lnx。. 8.C 解析:由题意,得函数f(x)的定义域为(0,十) (*) 2axr{-1, (舍去).当0<x<时,f(x)<0,函数f(x)在区间 当a-时,xo-e-t满足方程组(*),即xo为f(x) (o,)上单调递减;当x→时,f(x)>0,函数f(c) 与g(2)的“S点”.因此,a的值为号. 在区问(,+)上单调递增,因为函数f(t2)在区问 第二单元 利用导数研究函数的单调性 (h-1,十1)上不是单调函数,所以-1<<+1, 1.D 解析:易知f(x)=一sinx-1,x(0,n). 解得-一1#. k-1→0,以<<},故选C。 所以f(x)<0,则f(x)=cosx-x在(0,x)上单调 递减. 9.AB 解析:设g(x)=ef(x), 2.A 解析:由f(x)>0,得f(x)在(a,b)上是增函数. 对于A,g(x)-e{2--()#{ 在定义域R上是增函 所以当x(a,b)时,f(x)>f(a)>0. 数,故A正确; 3.D 解析:由函数y一f(x)的图象,知当x<0时,f(x) 对于B,g(x)-(x”+2)e*,g'(x)=(x2+2x+2)e 单调递减;当x>0时,f(x)先递增,再递减,最后再递 一[(x十1)②}十1]e 0,所以g(x)在定义域R上是增函 增,分析知y一f(x)的图象可能为D 数,故B正确; 4.C 解析:因为y'=x'f(x)+xf(x)=f(x)十xf(x) 对于C.g(z)-{3-x-(){在定义城R上是减函 又x>0,f(x)>0,f(x)>0,所以y>0. 所以函数y一xf(x)在(0,十oo)上是增函数 数,C不正确; 18第五章 一元函数的导数及其应用 五.设M为由线Cy一2十+多上的点，且由线C在点M处切线候斜角约取值燕国为[T小，测 点M黄坐标的取值蔻围为 第一单元导数的概念，运算及导数的几何意义 A.[-1.+m) 武(-，-别 c-.别 n[-1-》 时司，120分物满分，150分 8.已函数x)及北导数了气x,若存在工，使得代)一了《2，爆称工是代z)的一个巧值点 一，单原进择盟本题关8小题，每小厘5学。共0会.在身小题格出的日个生京中，只有一项是特女 下列面数中，有~巧值点”的是 则日要发的) A,r》= 找飞r)=e C.fr)=Inr D Re)-I 1.如图，两数y一八)在〔1，】上的平均变化半为 二：多选题（本厘共小题，每小题5分，共如好.在每小见形出的出项中，有多项符合厘日要水，全朝出 对的界3女，影外域对的耳2#，有线量的得0分) 9,下列求中数运算正确的有 A.(sin r)'=cns r (= 第1题图 &-昌 C.2 0- C.(los. n y- 10,下列说法不正确的是 2.函数y一在点工一处的导数是 A,《。(,))表示的意文相同 且求广(，)时，可先求》，再求了》 B-名 c清 D-i ,周线的切线与由线不一起只有一个公共点 ≈3，自线y=4一x在点（一1，一3）处的切线方程见 若r)=a十2.r+x.别了(r》=3如十2： 出 A.y=7十4 By=了x+3 C.y-,-1 D.y-c-3 1,为了评销某种治群特爽西物的疗效，现有关常门对该西物在人体血管中的物浓度注行测量，设 4.已相y一x)的图象如图联示.则了(a)与了《x,)的大小关系是 该西物在人体度管中药物东度？与时间：的关系为(=风)，甲。乙两人服用该再物后，血管中再 物浓度随时间：变化的关系如街箭示， 第4思图 A.f+,>fx》 B f(racf(r) C.(a)=F(r) D不使确定 第11题图 5,如阴衡乐，函数了-代x)的周象在点P处的切线方程是y=-2x十，第)+了(4)的算为 给周下列四个述项，其中正确的选项是 A,在与时刻，甲，乙两人直管中韵药物漆度相同 B,在：时刻，甲，乙褥人直管中得物漆度的母时变化率相同 C,在山山]这个时间段内，甲，乙两人数管中药物浓度的平均变化米相同 B在马，山3，山]两个时何段内，甲血管中丙物浓度的平均变北率不相同 第5题图 1以，已知围线=一十一1上存在群条斜事为3的不偶切授，且切点的陵坐标布大于零 A.0 BI .-1 D.2 划实数a的取值可能为 看.由线(x》一一x十3在点P处的切线平行于直找y=2x一1，期P点的星标为 A.1,8) 1一1,3) C.1,3)和-13》D1.一-3) a n 41 42 三、填空题（卡圆共4小期，每小则5分，共20仔） 18.《12分》求下列满数的导数 13如图.数f(x1的图象是折找段ABC,其中A-B,C的坐标分湖为(0,4)，(2.01，(6，)，闹 4y-rnn2w-ln+子t8y-og ,imI+a2-山业- Ar 113563 第15遵图 14若雨数)-+fo)e十x,期八)的值为 5.某堆雪在胞化过程中，其体积1V(单位：m)与抛化时何（单位：）逝似端是函数关篇：V《) H川0一品（日为骨数）.其圆象如图断尔.记此维雪从磁化开始到结束的平均险化速度为 以单位■.都么，山中，回时避化逸度等于（单位■h)的时刻是留中的 人店7 第15题用 6已翔函数r-一1<0， 过原点且与俄线y一x在轴右制的图象“相切的直线方程 h0 为 四，解答是{本题共6水题，共T0分，解答应写出文学混明，证明过核或演算梦豫) 17,10分》将原由精炼为汽滤，荣油，视程等各种不同产品，需零对原消进行冷却和加热。如果在第 h时，原湖提度（单位，为/(r)x一7十15(08），计算第2h时和第8h时，原箱和度 的瞬时变化事，并说明它的意文， 和 44 19,12分)已知为实数：函数f八x=x(r一a, 20,(12务)已知两数代x)=+x一16： (1)若1》-0，求实数2的值 (1)求由线3=r)在点(2，一)处的切线的方程， (2)若a-3,承质数f(》在x=4处的切线方程 (2)若直线为曲线y一(x》的切假，瓦经过原点，承直线的方程及切点坐标 ()如装由线y“代)的装一切线与直钱y=一十3重直，求切点坐标与切线方程 家 翠 学 专 2,12分设雨数)-+6,6eD,由线y一八)在点22)处的场线方程为一品 22(1?分)记广，g'1分期为函数f(r)g(的导两数，若存在r∈段.澜是，1=g(x,)且 (x)=(工，)，期称无为所数爪x)与(x)的一个“5点” (1)求(x)的解所式， 《1》证明：希数几x)=r与层(r)=十2x一2不存在5点”： 丝)正明盐线y一(x上任一点的切线与直线x一！和直线y一x所围成三角形的面积为定算，井 (2若函数/（x)=u.一1与x(x)一1n上存在“5点”，求实数a的直. 求出此建值， 为