第4章 第2单元等比数列及前n项和-【百汇大课堂·高中学习测试卷】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

又a17=0,故数列{an}的前16项或前17项的和最大. 3:EN:且号<<67，各项之和为67×9+67X66 2 方法二（函数性质法）：由y=一x2+33x的对称轴为x ×12=27135. 第二单元 等比数列及前n项和 距高2最近的整数为16,17.由S。=-心+3m的 1.C解析：已知等比数列{an}的各项都是正数，且a3a2= 图象（图略）可知：当n=16或n=17时，Sn最大， 9,由等比中项的性质可得a号=a3a?=9,因此，a5=3.故 选C. 即数列{am}的前16项或前17项的和最大. 2.D解析：由等比数列的性质，可得S2,S4一S2,S6一S 20.解(1)S.=ma1+nm2Dd=12m+nm21D×(-2) 2 2 成等比数列， =一n2十13n.图象如图. 所以(S4-S2)2=S2×(S6-S,),即(20-4)2=4×(S6 ts. -20),解得S6=84.故选D. 50 8 3.D解析：因为2，a,b,16成等比数列，所以ab=2×16 =32,故选D. 024681012n 4.B解析：由题意知，十三个单音的频率构成等比数列 第20题答图 {an},公比为2， (2S.-+13a=-(。-)'+19m∈N, 所以第六个单音的频率a6=a1g=2丽f.故选B. 所以当n=6或n=7时，Sn最大；当1≤n≤6时，{Sn} 5,A解析：正项等比数列{an}中，a1,a4o29是方程x2 单调递增；当n≥7时，{Sn}单调递减.{Sn}有最大值， 10x十16=0的两根， 最大项是S6,S1,S6=S,=42. 所以由根与系数的关系和等比数列的性质可得a吃o15= (3)由图象得{S.}中有12项大于零. a1a4o29=16,因为数列{an}为正项数列， 21.1证明当=1时41=S=宁+0-子，解得 所以a2015=4,所以1og2a2015=2,故选A. 6.B解析：由题得等比数列的公比q≠1， a1=3或a1=-1(舍去).当n≥2时， 所以41-g20）=(20+1)11-g) 1-q 6.=5-S.1=d+2弘.-3)-}d-1+2a-1-30. 1-g 所以1-q20=(210+1)(1-g10), 所以4an=a层-a2-1+2an-2am-1; 所以(1-g10)(210-g10)=0, 即(am十aw-1)(am-ag-1-2)=0, 所以q=士2或9=一1， 因为am十a4-1>0,所以am-aa-1=2(n≥2)， 因为数列各项是正数，所以q=2.故选B. 所以数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列， 7.D解析：由于在等比数列{an}中，由a2a6=64可得 (2)解由(1)知am=3+2(n-1)=2n+1. a3a5=a2a6=64,又因为a3十a5=20,所以有ag,a5是 22.解由4n+1=6m-3(m,n∈N"且1≤m≤200,1≤n 方程x2-20x十64=0的两个实数根，又am>0,9>1, m=2t, ≤200)，可得 eeN'且号≤≤67. n=3t-1 所以ag<a5,放解得ag=4,a5=16,从而公比g√0 则停差数列{4n+1}(1≤n≤200)与{6m-3}(1≤m≤ =24=导=1，郑么5=号=31 200)的公共项按从小到大的顺序排列组成的数列是等 8.B解析：因为各项均为正数的等比数列{an}是一个 差数列1431-1D+1eN:且号<≤67)，即12r “2019积数列”，且a1>1, 3 所以由题意得a1·a2·ag·…·a100g·a1o09·a1010· 选项D,a1+a2+a3=a1(1+q+q)=192× …·a2016·a2017·a2018=1, (+号+号）-36， 根据等比数列的性质得到：a1a2018=a2a2o1?=a3a2016 则后3天走的路程为378-336=42， =…=a1009a1010=1, 因为a1>0,q>0,所以该数列为递减的等比数列，所以 而且336÷42=8，D正确.故选BCD. a1oog>1,0<a1010<1, 12.ABC解析：设{am}的公比为q,因为9S3=S6,所以 所以当其前n项的乘积取最大值时n的值为1009. q≠1， 9.BCD解析：由数列{an}为递增等比数列可知，当a1>0 所以9xa11-9)_a1(1-g5) 1-q 1-9 ae>1, 时g>1,0<aa1当a1<0时，0<q<1an+1 所以9=1+，所以q=2所以5=二罗=9-1，款 故A正确，BCD错误. 选项A,B正确； 10.ABC解析：因为数列{am}是等比数列，所以a1a4= 又6S3=6×(23一1)≠Sg,所以选项D不正确： a2a3=32, |a2a3=32, a2=8(a2=4, 因为}是等比数列，首项=1，公比- 联立 解得 或 92, a2十ag=12, a3=4ag=8, 因为公比9为整数，所以a2=4,ag=89=2=2,a1= 所以前5项和为 1- 器，则选项C正确 2,an=20,A正确， 解析：由题图分析可知a1=1,a2=a1X8 S,+2=20二2”)+2=2+1，故数列1S.+21是等此 13.a,-8”-1 7 1-2 +1=8+1,a3=a2×8+1=82+8+1, 数列，B正确； 依此类推，an=8m1十8"-2十…十1， 5=21二2)=2°-2=510，C正确， 1-2 数列{8"-1)是首项为1，公比为8的等比数列， lgam=lg2m=nlg2,易知数列{lgan}不是公差为2的 所以6-8” 等差数列，D错误.故选ABC 11.BCD解析：根据题意此人每天行走的路程成等比 14.53解析：由Sn=93,am=48,公比q=2, 数列， a1(2m-1)=93,1a1=3, 得 解得 设此人第n天走am里路，则{an}是首项为a1,公比为 a12n-1=48, n=5. 9=2的等比数列。 15.40解析：根据题意，设等比数列(am}的公比为q, 若S5=5,即Ss=a1十a2十a3+a4+a5=5, 所以S。 4a-g2-(合）] 1-9 =378,解得a1 又由S10=15,则S0-S5=a6+a7十ag十ag十a10= 1- 2 q(a1+a2十ag+a4十a5)=10, =192. 所以g5=2,则a16十a17十a18十a1g+a20=q5(a1+a2 选须A,=a1g=192×(合）°=6，A错误： +a3+a4+a5)=23×5=40. 选项B,由41=192，则S6-a1=378-192=186,又 16.3或6解析：因为在等比数列{am}中，a3=3, 192-186=6,故B正确； S12=3S6, 选项C,2=a19=192×号=96，而}5=94.5,96 所以若公比q=1,则S12≠3S6,所以q≠1， 94.5=1.5,故C正确： 因为s=8请以9g-9x, 1-g 即1-g2=(1+g5)(1-g5)=3(1-g), 因为S1≤80，所以10a(1-0.910)≤80， 即(1-g)(g-2)=0, 8 8 所以q5=1或2，又q≠1，所以g=-1或g=2, 即a≤1-0.9o≈1-0.35≈12.3， 当q=-1时，ag=a395=3×1=3, 所以a≤12.3.故2022年最多出口12.3吨. 当q=2时，ag=agg=3×2=6. 21.解(1)由题意知，(2a1+d)(3a1+3d)=36, 17.解(1)因为{an}是等差数列， 解得d=2或d=-5(含去). a1+a2=102a1+d=10 所以S.m+2Da=叶aa-D=d. a4-a3=2d=2 (2)由(1)知，am十am+1十am+2十…十am+k 解得d=2,a1=4, =(2m+k-1)(k十1)， 所以an=a1+d(n-1)=4+2n-2=2n+2. 所以(2m+k-1)(k+1)=65, (2)因为b2=a3=2×3+2=8,b3=a7=2×7+2=16, 由m,k∈N知，2m+k-1≥k+1>1, {bn}是等比数列， (2m+k-1=13, =会=2，所以6，=4,5.=1二2)- 所以q=2 故 1一9 k+1=5, 41-2）=2+2-4. m=5, 1-2 所以 k=4. 18.解(1)设正项等比数列{an}的公比为g(q>0), 22.选择①②：(1)解由3Sm+1=Sn十1→当n≥2时，有 1a1q3=16, a1=2, 由题意可得 解得 a1q+a1q2=2(a1+a1q), g=2, 38,=81十1，两式相减得3a1=4,脚空=分 所以数列{an}的通项公式为an=2X2"-1=2" n≥2.又当n=1时，有3S2=S1+1=3(a1十a2),又 (2)Sn=(a1+ag+…+an)+(1+2+…+n)= 因为-合所以4-合号-甘包适合，所以数列 21-22+1+m0n=m1+m2+2+1-2. 1-2 2 2 口，}是首项、公比均为号的等比数列，所以a= 19.解(1)设{an}的公比为q,因为S2-3a1=0, 所以44-2a=0,所以g鲁=2， (信)》”：设正项等差数列6，}的公差为d,因为=2， 且b1,b2一1，b3成等比数列，所以(b2-1)2=b1b3, 又a2=2,所以a1=1,所以an=a1g”-1=2"-1 即(2+d-1)2=2(2+2d),解得d=3或d=-1(舍)，所 （2因为5.=1二2）=2-1，所以S.十a.=20-1 1-g 以6，=2+30-1D=3n-1,放a,=(号)）”4，=3m-1. +2n-1=3·2m-1-1, (2)证明 由3·201-1>48，得3…21>49，即2”1>号解 由可得a=()”，所以a4十，十 得n≥6， 十ab -门- 127 引1-（分）门<品 所以n的最小值为6. 20.解(1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项 选择②③：(1)解由2Sm=1一3am+1→当n≥2时， a1=a,公比q=1-10%=0.9, 2S。-1=1一3an,两式相减得2am=-3am+1十3an,即 所以am=a·0.9-1. (2)10年的出口总量So=a1=0.g0=10a(1 an 3,n≥2.又当n=1时，有2S1=1-3a2=2a1, 1-0.9 0.910). 又因为一日所以山一日吕-号也适合，所以数列 {a}是首项、公比均为了的等比数列，所以a= 又4如，=46得号-告即号-台， (合)”；设正项等差数列6，}的公差为d,因为4=2， 所以2[2+(3-1)d]=2+(6-1)d,解得d=2, 且b1,b2一1，b3成等比数列，所以(b2-1)2=b1b3, 因此号=2m,所以a,=2m, 即(2+d-1)2=2(2+2d),解得d=3或d=-1(合)， 所以S10=-a1+a2-a3十a4-…+a10=2(1+2+… 所以6，=2+3(n-1)=3m-1,故a,=(行)）广，6=3n +10)=110. 7.C解析：由an+2=am+1一an=(an一am-1）一am -1. =一am-1=-(am-2-am-3)=一(am-3一aa-4)十aa-3 (2)证明 (可得=（），所以十a+ =am-4,得{an}是周期为6的周期数列， 1-(门 又ag=a2-a1=3-1=2,a4=2-3=-1,a5=-1-2 十ab. 1 1-(分)门<品 =-3,a6=-3+1=-2,且100=16×6+4， 127 所以S10=16×(1+3+2-1-3-2)+(1+3+2-1) 第三单元数列的通项公式及数列的求和 =5. 1.B解析：a2十a4+…十a1oo=(a1+d)十(ag十d)十… 2a1+6d=a1+3d+7, 8.D解析：设{a}的公差为d,则有 +(ag9+d0=(a1+a3+…+ag)+50d=50+50X2 a1+9d=19, 1a1=1, =75. 解得 所以an=2n-1,设bn=ancos n, d=2, 2C解折：由a,=十D=-得 则b1+b2=a1cosπ+a2cos2π=2， (1-)+(合-3)+…+(-) bg十b,=a3c0s3x+a4cos4x=2,…,b2019+b2020= a2019c0s2019x十a2o18co32020π=2， 图此开7-号8路2则=2021， 所以数列{a cos n}的前2020项的和为(b1十b2)十 3.A解析：由an=2"十n,可得Sg=(2十22十23+…+ (6,+b4)+…+(0201B+b220)=2×2020=2020. 2 20)+1+2+…+8)=21=2)+8X9+8》=546. 1-2 2 9.ABD解析：对=1,2,34进行验证，知a,=2sin受不 4.C解析：由题意知{an}是以2为公差的等差数列，又 符合题意，故选ABD. a1=-5,所以|a1|+|a2|+…+|a6|=1-5|+1-3 an≥am-1y +|-1+1+3+5=5+3+1+1+3+5=18. 10.BCD解析：假设第n项为{an}的最大项，则 an≥an+1, 5.C解析：数列(an}中，an+1=2an十1，故an+1十1=2(an +1), a+2(号)”≥a+(停)。 因为a1=1,故a1十1=2≠0，故am+1≠0， 解得4≤n≤5， 所以a+1十1 a+2(号)》”≥(a+3(停）1. am十1 =2,所以(an十1)是首项为2，公比为2的 又n∈N',所以n=4或n=5,故数列{au}中a4与a5 等比数列. 所以an十1=2”，即an=2"一1，故a6=63,故选C. 均为最大项，且a4=a5= 74 6,B解析：设份}的公差为山，且首项为=2， 1.A即解折：由寒意可得，兰=2X是品-2X号号 T'az 所以8=2+(n-1)d. =2x管…。2=2×马m≥2eN以上式 4二，多远题（木题共4小随，春小观5分，共0分，在每小岭出的造项中，食多项符合期日夏求，全得击 第二单元等比数列及前n项和 对的得分，等分选时的得2分，有选量的得0分) .美于请增等比数列，，下列说达不玉确的是 A背0：>0时，>1 我4：>0 对河：120分物满分，150分 C,w>1 n“< 一.单项这华题（本是共8小跑，每小则行分，并非分.在每小则婚出的口个过重中，只有一项是符合 1龟在公比？为整数的等比数列1，中，5是数列a,的能和境和，若：国，一记1十山：一12，荆下列 随甘要装的) 说法正确的是 1已归等比数到年，的各哪郁是正数，且a函：，则 A.9-2 B数列5十劲是等比数列 A.9 &-3 C.3 0.士3 C,5=510 1.记等比数列，1的前n项师为S。,若8一，S,一0，烟5 数列W4.{是公差为2的等差数列 A.24 B28 C48 D&4 1山.在增减算达统察中有这样，则放事：“三任七十八里关，初行健步不为难：次日脚霜减一半，如 3,在2与15之间橘人再个数，使得2.a,16成等比数列，群5= 此六日过其关，"侧下列说祛正确的是 A.4 B.8 C.1 032 A.此人剪六天只走了5里路 数+，“十二平均律“是适目的言律体系，明代宋载坤最早用数学方法计算出半查比例。为这个理论的发 武人第一天走的路程比后五天走韵路程多日里 解蟹出了重要理就十二平均津将一个地八度普和分成十二价，依次得到十三个单音，从第二个甲 仁此人第二天走的路程比全程的，还多【.5里 音起，每一个单音的粮率与它的前一个单音的期率的比都等于豆.若第一个单音的顺率为「，图第 八北人数三天的路程之相是后三天路程之和的5倍 出 六个单音的顿率为 12.已知4：是首明为1的等比数列5是4，}的府知明和，且95=8，则 A. 且2/ C2/ a2/ A.9-1 h8=-1 5,正项等比数列a1中，%=是方程x2一10x十1书-0的两制.媒g4:的值是 A.2 B3 4 3,3 七数刘品的面5项和为君 6,段E写北数列以的而n项和为气，且5一2+15影数列{女.的公比为 D65.-S 三，填空题（水艳大小延，每小意5分，共0分》 A.4 B2 CI n号 13.下图中的一系列正方形图案被称为“窈尔克斯基地随”，在图中4个大正方形中，看色的正方形的 1.等比数列丝1的前n项和为5，若2，>09>]出十0，一0以山，-1.用5 个数依次构成一个数列H,的前4项.则数列，的一个通项公式为 A,移 B.36 (C42 031 8,若一个数到的帝w等于这个数列的前划项的乘积，则称该数列”w积数列”看各项均为正数 :95 的等出粒列a,是一个“29积数列，且山>1，则当北裤n用的乘积夏最大直时心的值为 第13题图 1+.已知5为等比数列a,》的的w项和.5=34，=8.公比=2，则项数q=4:= A.1010 1线1009 15.已知S为等比双列a.》的用w和，S一3，S=15,期，十u日十a。十山+a的直为 C.1699或110 D.1008或1000 16,已细出，是等比数列，S是其前n明和，看一多，S。一8，果4，的算为 9 a 四，解答题（卡司共6小前，共0分，解答应写出文字视清，证聘过极减流算乡豫） 18,《12分》在正境等比数列{w1中以，=1：且“：+4，的等泰中项为4十： I7,(10分》等差数列{.期足u1十4：-10，d,一41一2 《1》求数判1u,1的通项公式： 1求引a.的通项公式 (2》求数列{品。十的能青项和S。, (2)设多比数列6满足=4,6=：+求数列{6)的围对项和 Q 19(12分)设a,1是等北数列.其前u项的和为5，-且=2.S一，一0， 2地.(1？务)为保护我国的稀土资影，国家限定某矿区的出口稳量不能植过80吨.该矿区计划从23花 (1)求心1的看填公式： 年开始尚口，肖年出口：跑，以后每年出口量均比上一年诚少10%. (2)若8十，4书，来的最小值 (们)以2022年为第一年.设第青年出口量为a。随试求4.的表达式 (2山国家计划10年后终止该矿（约出日，问2022年最多出口多少吨7(0.0,5，保而一位个 数) 家 分 1 21.13分已知等差数列w,的公差>0.段w,的前u项和为5,0，=1,85=6， 22.《1上分在03S1一8+1,0，一言，02S一1一这三个第件中海择得个.补充在下面日遥 1)求d及S,: 2)求mm:∈N的直：接得.十.十e十…十a。,= 中，井希出解军。 已知数列。的黄算项和为5，澳足 年正项等差数列点》病足A一8，且 0,一1，A我等比数列， 《1》求！，和6，J的酒原公式， 2E明：地十4十十a一器 注：知果给出多个方案分划解答，媒拔骑一个解答计分 公 16