模块质量评估卷3-【百汇大课堂·高中学习测试卷】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

设平面FAB的法 向量n1=(x:y:z).则 D.A·n22③ 到平面A:BD的距离d- -n{ 1-0. n·AB-0. ③ 即{ 5.B 解析:过抛物线y2}-4x的焦点作一条直线与抛物 n·B-0. 1. 2-0. 线相交千A,B两点,若直线AB的斜率不存在,则横坐 令-1,得n-(0,-3,1). 标之和等于2,不符合题意。 取平面ABP的一个法向量n。-(0,1,0),则 故设直线AB的斜率为k,则直线AB为y一k(x-1)代 n.n。 一3 310 入抛物线y-4x,得^2}x?-2(k^{+2)x+^2-0,因为$$ cos(n,n)- nn。 /10×1 10: )-5.h2一 由图可知,二面角FAB-P是锐角,所以其余弦值 。 ### 3,所以这样的直线有且仅有两条. 6.A 解析:设PA一AB-2,建立如图所示 模块质量评估卷三 的空间直角坐标系. 1.A 解析:由题意得,a+b-(-1,k,2),2a-b-(3,2 则B(0,2,0).C(/3,1.0),P(0.0,2). --2解得--2. 2 所以BP-(0,-2,2),BC-(3.-1,0). 2.B 解析:圆的标准方程为(x十1)②十(y-1)?②}一2-a 设平面PBC的法向量n-(x,y,z). 第6题答图 *-2-a,则圆心(-1,1)到直线x十y十2-0的距离为 B.n-0. (-2y+2-0. l-1+1+21-2.弦长为22-a-2-2 --4. 即 BC.n-0. ③x-y-0. 2 得a--4. 31. 3.D -1(a>0,b>0)的渐近线方程 即n-({11). 2,双 易知m-(1,0,0)是平面PAB的一个法向量 { 曲线的一个焦点在抛物线y*一4/7x准线方程 则cos(n,n)mn -/7上,所以c-/7,由此可解得a-2,b-③,所以 m n 3 sin(n,n)-42 7 4.D 解析:如图,以点D为坐标原点,DA,DC,DD.所在 直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系, 所以正切值tanm,n)一/. |PF:]2(2a+PF。)2} 7.D 解析:P 则D(0,0,0).D(0,0,2),A(2 4} 1PF +|PFe+# 0.2),B(2,2.o).DA-(2,0.0).A. 4a>4a+4a=8a,当且仅当^=|PP:,即|PF2 1= 4^{} DB-(2.2.0).DA-(2.0.2). 设平面A.BD的法向量n-(x,y. 2a时取等号,这时|PF |=4a.由|PF |+|PF。l nDA-o. 第4题答图 F,Fl,得6a→2c,即e-f<3,得e(1,3]. z),则 念 nD-0. 8.C 解析:由题意,不妨令A(一a,0),B(a,0),C(0,b). 2x十2-0. D(0.-). 令x-1,得n-(-1,-1,1).所以点D 2x+2y-0. 设Mr,v). 59 IMA| 10.BCD 由{MB -2,得 解析::=-1(-2 2)为线段$ l2:$=1(-2<y 0)为线段FR (+a)2十y{} -2. 又d(P,)-d(P,l。). #(-a){②+{} 10ax十②} ①当一2<y0时,由题意可得,点P在y轴上 整理得。*+2_ 2 d(P,l)-d(P,l)-1; 第8题答图 -0. ②当y-2时,d(P,l )=PQ,d(P,l)=PR,此时点 P在y轴上; ③当0<y2时,d(P,l.)为点P到x=-1的距离, d(P,1o)-PF. △MAB的面积取得最大值×2ax4-8,所以 此时P点的轨迹是一条抛物线,准线方程为x=-1 2 所以p一2,故抛物线的标准方程为y②-4x a-6. ④当y>2时,d(P.l)-PS,d(P,l)-P$F 当M位于如图M。(}a,o)时,△M。CD的面积取得最 此时点P在线段SF的中垂线上,面S(一1,2) F(1,0),中点坐标为(0,1). #_-3 2 所以s一 上,故选项A错误, 9.BC 解析:由题意得,圆C的圆心为C(一2,0),半径为r 又1AFl-5. -1,圆C。的圆心为C(2,0),半径为r,所以1CCl=4 故点A的坐标为(,1),故选项B正确. 设动圆P的半径为R,已知两圆相离,动圆P可能与两圆 均内切或均外切或一个外切一个内切,①若均内切,则 2 IPC =R-1,PC|=R-r,此时 PC -PC|=1, y-十1 当r1时,点P的轨迹是以C,C。为焦点的双曲线的右支, 联立方程组 当r-1,点P在线段C.C。的垂真平分线上, ②若均外切,则|PC |=R+1,|PC |=R+r,此时 PC |-PC-r-1 所以点B的坐标为(3),故选项C正确, 当r1时,点P的轨迹是以C.,C为焦点的双曲线的 左支, 当,-1,点P在线段C.C。的垂直平分线上. ③若一个外切,一个内切,不妨设与圆C;内切,与圆C 外切,则 ###(-)+1# PC |=R-1,PC |=R+r,PC -PC =+1 则直线AB与x-1的交点坐标为C(1.10). 同理,当与圆C。内切,与圆C,外切时, IPC 1-|PC|-r+1. 此时点P的轨迹是以C.,C.为焦点的双曲线,与①中 ##0(3一1)1故选项D正确。 双曲线不一样. 60 令y=1,则x=z=-3,所以n-(-③,1,-3). 又A.D-(-1,0,0),所以 $$-AP-AD-( ). $$.{×(-)+#$×1-#×()-0. 第10题答图 D.Pn. 11.ACD 解析:在长方体ABCD-A.BC.D.中,以点D 因为D.P平面BDC,所以D. P/平面BDC,C选 为坐标原点,DA,DC,DD.所在直线分别为x轴,y 项正确。 轴,轴,建立如图所示的空间直角坐标系. ,# 对于D选项,当AC-5AP时. 因为AB-③AD=/③AA =/③ #7-#-#-) 所以AD-AA-1. 则D(0,0,0).A(1,0,0).A.(1. 所以DP-Ap-AD-(,#,-). 0.1).C(0.③,0).D.(0,0.1). 第11题答图 ##.$ --14+#-1#(-)-# B(1.③,0),C.(0.3.1),B.(1.3.1). 则AC-(-1.③,-1),DA=(1,0,-1). AC·DA--1X1+3×0+(-1)-0. 对于A选项,当A.C-2A.P时,P为线段AC的中 A. CID P.A.C1DA.又D POD A=D. #点,则P(##DP-(#)#DB=# D. PC平面D.AP,D.AC平面D.AP. 所以A.C1平面D.AP,D选项正确. (1.3.1),则DB =2DP,所以B,D.P三点共线, 12.BCD 解析:由题得,a-2,b-1,c=1. A选项正确. 对于B选项$,设AP-AC-(-1.③,-1) 故对于A选项,圆的离心率为e一 (-.③.-)(0<<1). 对于B选项,如图,根据圆的定义得入ABF。的周长为 AP-AA+AP-(-v3.1-), |AF |+lAF|+|BF |+|BF |=4a=4 ②,故B 选 $ 由APAC,可得AP·AC-5-1-0,解得a- 正确. 对于C选项,△PFF。的面积S= $1)+(-#)-(4#}--)# lyplcbe-1,故C选项正确. 对于D选项,如图,由圆的定义得|PF。|+|PF。一 22,所以由余弦定理得 D.P不垂直,B选项错误. |PF+IPF1-FF2 cos FPF.= 2 PF ·PF:| 对于C选项,当A-3AP时,A.P-A= (|PF |+lPF )?-2|PF·PF|-|FF2 2 PF .PF (--).DC(0.1)DB-(1v.0). ,解得 设平面 BDC的法向量为n=(x,y,z),则 n·DC-0.3y+-0. n.DB-0. 会 :十③y-0. 故△PF:F。面积为 # 20 解析:如图,设第一次射到抛物线上的点记为 ③ P,第二次射到抛物线上的点记为Q,易得P(# #3,故D选项正确, #, 一6), 因为F(2,0). y 所以直线PF的方程为12x+5y-24-0. 12-8x 联立 消去x整理得3y+10y-48-0. 12x+5y-24-0 可设Q(xo,y).显然一6和y是该方程的两个根 则-6y--16,所以yo= 3。 方法一 光线从点M到N经过的总路程为 第12题答图 MPl+|PQl+lQNl=(xM-xp)+(xp+xo+4)+ 13.y-2或5x-12y十9-0 解析;由园的方程可知,圆 (x-xo)=x+x+4-20. 心为(一2,1),半径为1,显然所求直线斜率存在,设直 方法二 设抛物线的准线为1.则其方程为x一-2,分 线的方程为y-2-k(x-3),即kx-y-3+2-0,由$ 别过点P,Q作准线1的垂线,垂足分别为G,H,则 PF= PG,|QF =QH|,所以|PQ =|PFl + 十(-1)2} 12' QF]-|PG|+QH. 所以所求直线的方程为y-2和5x-12y+9-0. 故光线从点M到N经过的总路程为 14.6v② 解析;由条件可知a=②,b=1,c=1,lFMl IMP +PQl+QN =MG +|NH 2a FM,FN =2a+ F:N -8+2+8+2-20. 所以 F.M+F N -4a+FM +FN -4V2+|MN|. 当 MN 最小时,F.M+ FN 取得最小值. 由条件可知通径最短,即当直线(Ix轴时,|MN|最 2 所以FM|+|F.N|的最小值是5②,此时△F.MN 第16题答图 17.解 的周长是IF.M|+|FN]+|MN-62 选①:(1)因为直线4x-3y+5-0的斜率为- 15.(1:1:1)解析:由已知得D(0.0.0).A(2:0,0).B(2,2.0) 4.且直线4.x-3y+5-0与直线/垂直,所以,直线1 设P(o,0.a)(a>o),则E(1,1.),所以 Dp-(0,0.a),AE-(-1,1.).DPl-a. 依题意,直线/的方程为y十2一一 4y+5-0. (2)圆x2+2-5的国心O(0,0)到直线3x+4y+5- 0x(-1)+0x1+ 又cos(Dp,A)-3. 5-1. ,所以) 0的距离为d- 8^} 32十42 2 由圆的半径为-5,可知|PQ-2-d{}-4. 3 ,解得a2}-4,即a-2,所以E(1,1,1). 选②:(1)因为直线/的一个方向向量为a一(一4,3), 62 所以,直线/的斜率为一 3 20.解 (1)由题意得-3 3(x-1),即3x十 依题意,直线/的方程为y+2-- 4 4y+5-0. 同上 选③:(1)因为直线3x十4y十2-0的斜率为 --3. 又因为直线/与3x十4y十2一0平行,所以,直线/的 (2)由(1)可知,圆的右焦点为(1,0), ①若直线/的斜率不存在,直线/的方程为x=1. 则A(1.2)B(1,-2)F1.1),F(1.-1). 依题意,直线1的方程为y十2-- 3x+4y+5-0. 所以/AB4③ 43.1EF2-4 词上. (1)直线AB的方程是y-2v2(x-),与 1AB]·1EF216③ 18.解 3. *-2px联立,消去y得8r2-10px+2^{}-$$ ②若直线/的斜率存在,设直线/的方程为 y= (x-1),A(x,),B(x,y). 由韦达定理得x+x2= -+p-9.故p-4.所以抛物线方程为 可得(2+3{^{}){2}-6{^{}x+3{^{}-6 y-(x-1) -8x. 0.A0恒成立. (2)由(1)得x2-5x+4-0,得x-1,x-4,从而 6^} 3{-6 则x十x2= 23^},1一 2十3^{} A1,-2②),B(4,42).所以OA-(1.-2②),OB (4,4②),OC-(1.-2②)+(4,4②)-(4+1,4② 所以|ABl-(1+)2(x.-x)2}= #140)_41 a-2②),C点坐标为(4+1,4②-2/②). 2+32} 代入抛物线方程得[2②(2-1)]-8(4+1),即 (2-1)-4+1,解得-0或 -2 k+1 19.解 (1)设C(x,y). ^{21 (-2十x-0 x-2. 则 解得 所以点C的坐标为(2,3) 1-1+-2 y-3. 所以|ABl·[F{243(+1).4(+2) 2+3{2} h2十1 163(2+2)16、3.2+2 3 2+32} 即x+3y-11-0. (2)因为A(-1.4),C(2,3) 2+1 AC边上的高所在直线的斜率人一3, AC边上的高所在直线的方程为y十1一3(x十2), 即3x-y+5-0. 63 所以AG MN,BG 1MN,所以 AGB或其补角为所 求的角. 综上,AB ·EF的取值范围为 因 G$A-(.-.-)=(-.--) 21.解 如图以B为坐标原点,BA,BE,BC所在直线分别 1 G.GB 为x轴,v轴,z轴建立空间直角坐标系A(1,0,0) 所以cos乙AGB- GA||GB #3## C(0,0.1).F(1,1,0),E(0,1,0). 因为CM-BN-a,所以 #(#.,1-),#(##).## 22.解 (1)记c=a^{一^{,因为桌球第一次与球桌的边 缘的接触点可能是长轴的两个端点及这两个端点外的 任一点三种情况, 所以,S-2(a-c)或S-2(a+c)或S-4a; 即$-2(a-a-b),S-2(a+a-b}),S-4a. (2)证明 设M(4,z).A(x1.y).B(x,y),则直线 .+yy 1,:0 .+yy2-1,代入M中,得 lM:) 411, : 42+1-1: 第21题答图 lMA:9 (1)#MNl#O+(^#{}+(#1一)}一 -②a+1,其中0<<② (2) MN#一#a+1-一(-}{+}# (3)解 由已知直线过点T(1,0),设/的方程为 x=my十1.P(x,y),Q(x',y),与圆的方程联立,整 理得(9+n^②})y?+2ny-8-0. (3)由(2)可知,当M,N为中点时,MN最短,则 所以y十-2m 9+y)-一8 9{2 #(.。),N(.。). x-s ny+1- 取MN得中点G,连接AG,BG.则G(.). 所以ksp·kso-(my+1-s)(my+1-s) 因为AM-AN,BM-BN. myy+m(1-s)(y+y)+(1-s)? 一8 (G2-9)m^{}+9(1-8){} 2 9(1-3)2 0 当 --3时,ksp·kso= -8 1,所以存在 第21(3)题答图 定点S(士3,0),使得直线SP与SQ斜率之积为定值. 64模块质量评估卷三 (时间：120分钟满分：150分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.已知向量a=(1,1,0),b=(一1,0,2)，且ka+b与2a一b互相平行，则k的值是 i A.-2 C. 2.圆x2+y2+2x-2y十a=0截直线x十y+2=0所得弦的长度为4，则实数a= A.4 B.-4 C.2 D.-2 3.已知双曲线一号-1a>0,6>0)的一条新近线过点(2，)，且双曲线的-个熊点在抛物线y a 69 望 4√7x的准线上，则双曲线的方程为 x2 长 1 A.2128 n-= 至4.设正方体ABCD-A1B,C,D,的棱长为2，则点D,到平面ABD的距离是 A.③ c D.23 3 5.过抛物线y=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样 的直线 ( A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.有无穷多条 D.不存在 6.在三棱锥PABC中，△ABC为等边三角形，PA⊥平面ABC,且PA=AB,则二面角A-PB-C的平 面角的正切值为 A.√6 B.√3 c n号 7已知R,F:分别为双曲线号一若-1a>0,>0)的左，有焦点，P为双周线右支上的任意一点：者 PF PF,的最小值为8a,则双曲线的离心率e的取值范围是 A.(1,+∞) B.(1,2] C.(1,3] D.(1,3] 89 点A,B为椭圆E:乙十1(a>6>0)长轴的端点，C,D为椭圆E短轴的端点，动点M满足一 MA MB =2,记动点M的轨迹为曲线Γ，若曲线T上两点M1,M2满足△M1AB面积的最大值为8， △M,CD面积的最小值为1，则椭圆的离心率为 () A号 图 c号 n号 二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9.(2020·福建泉州市高二期中)在平面直角坐标系中，有两个圆C1:(x十2)2+y2=1和C2:(x一-2)2 十y=r2,其中常数r满足1≤r≤2，一个动圆P与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹可以是() A.两个椭圆 B.两个双曲线 C.一个双曲线和一条直线 D.一个椭圆和一个双曲线 10.(2021·辽宁高三模拟)已知平面上的线段1及点P,任取1上一点Q,称线段PQ长度的最小值为 点P到线段1的距离，记作d(P,l).已知线段l1:x=-1(-2≤y≤2)，l2:x=1(-2≤y≤0)，点P 为平面上一点，且满足d(P,l1)=d(P,l2),若点P的轨迹为曲线C,A,B是第一象限内曲线C上 两点，点F1,0)且1AF=,BF=,则 A.曲线C关于x轴对称 B点A的坐标为（子，1） C点B的坐标为（号，） D△PAB的面积为号 11.(2021·北京市昌平区模拟)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3AD= √3AA1=√3，点P为线段A,C上的动点，则下列结论正确的是 A.当A,C=2AP时，B1,P,D三点共线 第11题图 B.当AP⊥AC时，AP⊥D1P C.当A,C=3A1P时，D1P∥平面BDC1 D.当A,C=5A,P时，A,C⊥平面D,AP 12.(2020·福建宁德市高二期中)设椭圆C:2十Y=1的左、右焦点为F,F,则下列结论正确的是（) A.离心率e=6 B.过点F1的直线与椭圆交于A,B两点，则△ABF,的周长为4√2 C.P是椭圆C上的一点，则△PFF,面积的最大值为1 D,P是椭圆C上的一点，且∠R,P,=60,则△PFR,面积为得 90 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上 13.过点M(3,2)作圆O:x2+y2+4x一2y+4=0的切线方程是 14.(2021·江西景德镇一中高一期末)F1,F,是双曲线)一y=1的左、右焦点，过F,的直线1与双 曲线的右支交于M,V.当|F,M+|F,N|取最小值时，△F,MN的周长为 15.如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB=2,E为PB的中点， c0s(D庐.AE)=,若以DA,DC,DP所在直线分别为x轴，y轴，：轴建立空 间直角坐标系，则点E的坐标为 16.(2021·全国高三三模)探照灯、汽车灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵 A 断面是抛物线的一部分)，正是利用了抛物线的光学性质：由其焦点射出的光 第15题图 线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出.根据光路可逆图，在平面直角坐标 系中，抛物线C:y2=8x,一条光线经过M(8,一6)，与x轴平行射到抛物线 C上，经过两次反射后经过N(8,y)射出，则y=,光线从点M到 V经过的总路程为 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤 第16题图 17.(10分)(2020·山东聊城市高二期中)在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中， 并加以解答.①与直线4x-3y+5=0垂直；②直线的一个方向向量为a=(-4,3);③与直线3.x +4y十2=0平行. 已知直线l过点P(1,一2)， (1)求直线1的一般方程； (2)若直线1与圆x2十y2=5相交于P,Q,求弦长|PQ. 91 18.(12分)已知过抛物线y2=2x(p>0)的焦点，斜率为2√2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2) (x1<x2)两点，且|AB=9. (1)求抛物线的方程： (2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC=OA十λOB,求λ的值. 92 19.(12分)已知△ABC的顶点A(-1,4),B(-2,一1)，M(0,1)是BC的中点. (1)求直线AC的方程； (2)求AC边上的高所在直线的方程. 93 20(12分)2021·山东济宁一挨)已知能图C号苦-1。>>0的离心*为停.且鞋圆C过点号，. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过椭圆C的右焦点的直线1与椭圆C分别相交于A,B两点，且与圆O:x2十y2=2相交于E,F 两点，求AB·EF2的取值范围. 94 21.(12分)(2020·济南市·山东省实验中学高二期中)在如图所示的试验 装置中，两个正方形框架ABCD,ABEF的边长都是1，且它们所在的平 面互相垂直，活动弹子M,N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且 CM和BN的长度保持相等，记CM=BN=a(0<a<√2). (1)求MN的长； (2)a为何值时，MN的长最小并求出最小值； (3)当MN的长最小时，求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值. 95 22.(12分)(2020·重庆市广益中学校高二期末)阅读下列有关光线的入射与反射的两个事实现象： 现象(1)，光线经平面镜反射满足入射角与反射角相等（如图甲）；现象(2)，光线从椭圆的一个焦 点出发经椭圆反射后通过另一个焦点（如图乙）.试结合，上述事实现象完成下列问题： B 滤镜 人射光线 反射光线 第21题图 M 甲 乙 第22题图 (1)有一椭圆形台球桌，长轴长为2，短轴长为2b.将一放置于焦点处的桌球击出.经过球桌边缘的反射（假 设球的反射完全符合现象(2)后第一次返回到该焦点时所经过的路程记为S,求S的值（用α，b表示）. 2)结论：椭圆十>b>0上任一点P远处的切线的方程为+，记椭圆C的方程 a2 b2 为C:+y=1,在直线x=4上任一点M向椭圆C引切线，切点分别为A,B.求证：直线L如恒过定 (3)过点T1,0)的直线1（直线1斜率不为0）与椭圆C:号+=1交于P,Q两点，是香存在定点 S(s,0),使得直线SP与SQ斜率之积为定值，若存在求出S坐标；若不存在，请说明理由， 常 96