第3章 第1单元椭圆-【百汇大课堂·高中学习测试卷】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

第三章 圆锥曲线的方程 L号 :2g 3 c 二、多项远择题：本厘共2本期，每小则5女，共10分，左海小则始出岭霞个选项中，有多项榜合理日 第一单元椭圆 畏票，金丽选对的得5分，第经选对的得3分，有进醋的得0分， (时间：0分钟再分：100分) 工已如南线C,后十行一1与独线G2一产。1心，下举说法正确的超 A,两条由线都是焦点在T拍上的和烟 B焦距相等 一，单项这择题：木斑共6小庭。每小真5分，共0分，在每小则恰出的百个我所中，式有一项是符日 C,有相同的想点 D,离心数相等 随过要绿的 票，（的，童庆立特区·西南大学时中高二月考）缩峨四号月球测器于 1,过隔国4十y=「的一个焦点F,的直线与箱割交甲A,H再点，划A与B刷国的另一个能点 01器年1？月8日指载长征三号乙运载火德在西目卫最发射小心发射 用④ F,构成的△ABF,的周长为 ( 12甘下午4点3分左右，蜡嫌四号颗利进入了以月球球0为一个售点 A,2 h.4 C.8 D,2区 的用同形轨道，如图中物道①所示，其近用点与用球表雨距离为00公 第8题图 三已妇下，天为箱圆C号+骨-1的左，右焦点点E是箱调C上的骑点，E配·丽的最大值，最小 重，无月点与月球表面而离为4G0公里，已矩月球的直径的为36公里，对谈舞圆下述四个站论 正确的是 值分算为 A.焦距长的为300公里 以长轴长的为87s公里 A.8,7 且.9,7 C9,8 u.10,8 C,再焦点坐标的为（±130,0） 孕3，斜率为1的直线（与简网号+y-1相交于A:B两点，期AB的最大值为 山商心术约为票 三，填空题：本期共4小想，身小题5令，共0分，清艺三确答米填在厘中横线上， A,2 c4@ 5 n.s而 5 多中心在点熊点坐标为心，士与2的狮同被直线灯一y一兰-。银智弦的中点的横坐杯为号，则脑 4(2·山东高二南表国家体有场鸟巢”的站构鸟驶摆如图甲所示，内外两阁的解骨架是离心率相间 国方程为 的椭暖：某校体有馆的闲储构与“鸟巢”相属，其平直图如图乙所示，若由外输圆长轴一随点A和知射 油点上分彩向内层精两可引切线，，且两桥线斜卡之积等于是·用网测的商么事为 0,已每椭调货+=1：点M44为其长鞋好的6等分点，分别过这5敛作斜米为（≠0）的 组平行线.交树阀C于P:P,m,P,则AP,AP,AP这10条直线的料W采积为 1,州同6十立=可上的点到直战一y一2=0的距高最大算为 ,取得最大值时对应的点 的常标为 1上.如图是数学家GerminalD如ndin用来证明-个平图截圆锥刺判的截口由线是柄属的模型（称为 “为nei加双球”)：在调能内校两个大小木同的小球，使程它们分料与国锥的侧自，裁面相切，设周 甲 中球0：球以的竿径分料为1和3，球心距离)以=8，般面分期与球)，球)切于点E,F。 第4题图 (E:F是假口阁的焦点)，则此树阀约离O事等于 c号 点隔调C,号十少一1的左，右别点分别为A小，点P在C上且直线1，斜率的取值范围是12， 移会直线PA:料率的数值苞围是 c周 n兰- 6,网十y=1(m>0,n>0且w≠m小与直线y=1一r交于M,N两点，过规点与线段NN中点 所在直线的斜率为受剥学约植是 第12题国 % 50 四，解答题：本到共4小理，共40分，解答座写出文学说可，豆明过程或案量步康 15.10分2020·山东济字市高二期未)在0高心率一，$桶时C注友，号}，8△PF月，面 1民0分如国，巴知箱子->>0F,F分别为前调的左.有集 积的量大镇为，，这三个策件中任这一个，补充在下面橘线处，解快下面两个可题 点，A为角洲的上顶点，度线AF,交箱调于另一点B 1》若∠F,AB=90',求牌同的离心米： 霜膜C,一>>的在，右质点分网为5，，过卫具新率为上的直线：突有膜 2若可-2F成，·-是求箱期的方限. 于P,Q两点，已知箱测C的复轴长为2原。 第13题图 《1)求韩属C的方程： (若线股P四的中看钱与：轴交于点N,求正：器为定值 40分汇2021·打海专解市有三一模（现）]心知用同C后十若=>>0》约左，右调点分别为 16G00分030·山东芳承幸·青二湘未)已每箱调C:后+号 一1w>>9,且脑橱C上拾有三 A,B,点P(xy)为情胃C上一点，点M,N美于y抽对称，EMN-Ai.MN-1△PAB的置 点在集合学，--停小中 的最大值为艺， (1求稀调C的方程： (1)求翻两C的标在方程： (2若点)为坐标原点，直线A形与帆偶交于A,B再点，且满延41OB,试探究：点)到直找 2)设直线PN,PN分别交r拍于点D,E,君1AD引，DE,EH成等比数列，求点的纵坐标， A日的图离是否为定值，如果是，请求出定植：如果不是，请明说用由： (3》在(？》的条件下，求△AOB面积的最大值 孙 2圆N:(x-2)2+(y+1)2=5,圆心N(2,-1),半径r2=5, 第三章圆锥曲线的方程 所以圆心距|MN|=√(2-0)2+(-1-1)2-22， 所以0=lr-r2I<|MN|<r1+r2, 第一单元椭圆 所以两圆相交， 1.B解析：因为椭圆方程为4x2十y2=1,所以a=1.根据 (2)解联立两圆的方程得 椭圈的定义，知△ABF2的周长为|AB|十|AF2|十 1x2+y2-2y-4=0, BF2=|AF1|+|BF1|+IAF2|+IBF2|=(|AF1|+ x2+y2-4x+2y=0, |AF2I)+(|BF,I+|BF2)=4a=4. 两式相减得x一y一1=0，此为两圆公共弦所在直线的 2.A解析：由题意可知椭圆的左右焦点坐标为F1(一1， 方程 0),F2(1,0),设E(x,y),则EF=(-1-x,-y), 方法一：设两圆相交于点A,B,则A,B两点满足方程组 EF=(1-x,-y),EF·EF=x2-1十y2=2-1+ 1x2+y2-2y-4=0, 8-号2=号2+7(-3≤≤3，所以当x=0时， x2+y2-4.x+2y=0, EF,EF有最小值7，当r=士3时，EF·EF有最大 1+6 2 x=1- 6 值8. 解得 或 6 6 3.C解析：设A,B两点的坐标分别为(1·y1),(x2y2), 2 3 2 直线I的方程为y=x十. 所以 (x2+4y2=4 由 消去y,得5x2+81.x+4(2-1)=0, [+)-(-订+[-(-) y=x+1 则△=642-80(2-1)>0. =23. 1十2=- 64,12=4r2-1 5 印公共弦长为25. 方法二：圆M:x2+(y-1)2=5,其圆心坐标为(0,1)， 所以AB=√1+k2|x1-x2 半径长r=√5，圆心到直线x一y一1=0的距离为 =/1+k2·√/（1+x2)2-4x1x d=10-1-1=2. 1+(-1)2 =E-8)-4x4画 5 设公共弦长为21，由勾股定理得2=2十2，即 =42.5-平， 5 5=(2)2+2,解得1=√3，故公共弦长21=25. (3)解因为两圆半径均为5，过P点所引的两条切 当1=0时，AB1n=40 5 线长均为1， 、4.D解析：设内层椭圆方程为名+芳三1(>b>0),图 所以点P到两圆心的距离PM=|PN刚=√+I=√6， 设P点坐标为(x,y),则 为内外精圈离心率相同，所以外层橘圈可设成二 (ma)2+ W2+(y-1)z=6 mb=1(m>1),设切线AC的方程为y=k(x十 √/(x-2)2+[y-(-1)J2=6 na).与十1联立·得（十a2好）2十2ma行.x中 x=1+2x=1-√2， 解得 或 y=√2 y=-2, md好-=0：南△=0，则好-答·二同里 1 所以点P坐标为(1十√2,2)或(1-√2，一√2). 可得， 31 对-㎡-1.所以对-答-（一爱》广，略-音 3(x1十x2)-4=-1,且 5.C解折：由情圆C号+y=1的方程得02=2.公=1. ①-②得f二+连-0， a2 b2 1 由椭圆的性质可知PA.EPA,=一 十2)-22=--2)(+x22 a2 62 所以kPA,=一2kPA .因为kpA∈[1,2]， 所以-当业=一一2 a2 所以m∈[日] y-业=a2。a2 a2 x1-22-a2-2=2-50 3 y=1-x, 所以a2=75,b2=25. 6.A解析：联立方程可得 消去y m.x2+y2=1, 南酒方程为芳+若1： 得(m十n).x2-2nx十n-1=0. 设M(x1y1),N(x22),MN的中点P(x0yo),则 10.一32 解析：如图所示. =42-” 2 m十n 为=1场1m千nn平n所以m-之-”-号 ro n 2 7.ABC解析：可知两个方程均表示焦点在x轴上的椭 圆，故A正确；曲线C1焦距为2=2√25-9=8，曲线 C2焦距为2c=2√(25-k)-(9-k)=8,故B,C正确： 第10题答图 面线G的离心率=后=言：菌线G的离心率。- 由椭圆的性质可得 1 4 kAP·kB即，=kAP.·kP= 2 a√25-k 故D不正确. 由椭圆的性质可得kP,=kAP。: 8.ABD解析：设该椭圆的半长轴长为a,半焦距长为c. k即，=km,所以如，·k=一安 依题意可得月球半径约为2×3476=1738， 同理可得A,·km,=一名k·加，=一 a-c=100+1738=1838,a+c=400+1738=2138, 2a=1838+2138=3976,a=1988,c=2138-1988= 150,2c=300, 所以AP1,AP2,…,AP1o这10条直线的斜率乘积为 黄圆的离心率约为。一后-8一品可得结论A 75 (-）》广=-动 BD项正确. 11.45(-2,3)解析：因为直线x-2y-12=0与椭 因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以C项错误. 图后+若-1相离，设与糖图相切的直线1早行于直 故选ABD. 1 若+号1解桥：落图盒点在y销上可位方程为 线x-2y-12=0,则直线1的方程为y=2x十 1 二+芳三1a>b>0),设直线3xy-2=0交椭图于力 y=2+1 由方程组 消去y得x2+tx+2-12=0, (x1y),B(x2·y2)两点，则x1+x2=1,y十y2= 32 由△=0得t=4或t=一4， 13.解(1)若∠F1AB=90°，则△AOF2为等腰直角三角 当1=4时，直线1与直线x一2y一12=0的距离最大， 形，所以有1OA=1OF2|,即b=c. 1 此时1的方程为y=2x+4,即x一2y十8=0，此时直 所以a=2c,e=S=2 Γa2 线1与直线x-2y-12=0的距离4=18-（-12) (2)由题知A(0,b),F1(一c.0),F2(c,0),其中c= √12+(-2)2 √a2-序，设B(xy) 45.所以距离的最大值为45. 当1=4时，由方程组得到的一元二次方程为x2十4x十 由A正=2F店得(c,-6)=2(x-c,解得-受 4=0,得=-2，即直线1与搭阅后+吉-1相扬，得 到的切点坐标为（一2,3）. 262 4 12.25解析：如国，国维面与其内切球0.Q分别相切 #B点鱼标代入学+ =1,得 2+ 62 1,期9r2 4a2 与B,A,连接O1B,O2A,则O1B⊥AB,O2A⊥AB,过 }-1.解得&2=32.① O,作O1D⊥O2A于D,连接O1F,O2E,EF交O1O2 又由A·A店=(-，-b)·(受-）=是得B- 于点C c2=1,即a2-2c2=1.② 设圆锥母线与轴的夹角为a,截面与轴的夹角为. 由①，②解得c2=1,a2=3,从而62=2. 在Rt△O1O2D中，DO02=3-1=2,OD=√82-22 2√15， 所以箱图方程为写+苦一1。 14.解(1)由M-AB,|M1=4,可得2a=4,解得 0D_25_⑤ 所以cosa=0,02 8 4 a=2, 因为O1O2=8,CO2=8-OC,且△EO2Ccn△F01C, 当P在椭圆C的上顶点时，△PAB的面积最大，所以 所以8-0C0,C 02E=0,F解得0C=2, S△PAB=2×2aXb=2,解得b=1,放猫圆C的标准方 所以CF=√OC2-FO=√/22-12=5，即 程为号+ cos B-0C-2 (2)由题意知，点P与点A,B不重合， 设M(-2,m),N(2,m),D(xp,0),E(xE,0),则直线 则椭圆的离心率e=cosP- 2 25 cos a 15 5 PM的方程为y一%= x0+2(x0), 令y=0,得n=。-%+2 %一m 同理得xE=x0 3yo(x0-2) %一m 所以1AD1=西-an+2)+ +2= m(.x0+2) y%一m yo-m DE= y%(x0+2) m(ro+2) %一m y%一m 4y% %一m BE= m(2-xo） 第12题答图 2-0+(-2) %一m y%一m 33 因为lAD,DEI,|BE成等比数列， 则线段PQ的中垂线方程为 所以|AD·|BE=|DE2, 3k 即m2(4-)16 y- 3+4k2 3+462 (%-m)2(0-n)月 令y=0,可得x= 3N-3又 因为号+坊=1，所以4一后=46. F1(-1,0), 所以m2=4,即m=士2，故点M的纵坐标为2或一2. 所以INF1|=- 1a2=2+c2. 十1一提所以 12+12k2 15.解 (1)选①，由题意可得 2b=2、3,解得 IPQI 3+4k2 后- INFT= 3k2+3 IPQL=4. =4,即NF 3+4k a=2, b=5 得到指国C的方程为号+苦-1： IPQL为定值4 综上所迷，NF 1 9 16.解 (c=1 ①)因为（停，2）和(-夏-）关于原点对 选②，由题可得 解得 得到椭圆 2b=23, b=5, 称，故由题意知，椭圆C必过此两点， C的方程 所以加十品-1，又当精国过点(01)时-1，所以 3 =1 m=3, ×2c×b=3 选③，由题可得 2 1a=2, 此时满足m>n,符合题意. 解得 得到椭 2b=23, b=√5， 所以箱因C写+y-1. 国C方程写+号1 又当箱圈拉点（停0）时m-景所以-8、 (2)(i)当k=0时，PQ=2a=4,|NF1|=c=1, 此时m<n,不符合题意， 所以照-- 峰上.精图C号+y= (i)当k≠0时，由题意可得F1(一1,0). (2)设A(x1·1),B(x2,y2),若斜率存在，则设直线 设直线PF1的方程为y=k(x十1)，设P(x1,y), AB的方程为y=k.x十m,由 Q(r2y2),由 y=kx+m (y=k(x+1), 得(1十3k2).x2十6kmx十3n2-3=0, +=1. 整理得(3+4k2).x2十8k2x十4k2-12=0, x2+3y2=3 6km x1十2= 3+46212=42-12 8k2 1+3k2· 显然△>0，且x1十x2= △>0， 3+4k2 x1x2= 3m2-3 1+3k2· 所以PQ1=√1+k2/(x2十x2)2-4xx2 3十4k2 3十4k2 所以y十y2=k(x1+1)+(x2+1)=(x1+x2)+ 2-30+2-3 3+4k2 所以我段PQ的中点N(一3十A'3》 4k23k 第16题答图 34 由OA⊥OB知， 3.D解析：设双曲线方程为4.x2一y2=k,因为双曲线过 x12十y1y2=x1x2十(kx1十m)·(k.x2+m) 点P(1,3),所以4-3=k=1, =(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0, 双尚线方程为42-y2=1, -y2=1.故选D. 代入得4m2=3k2+3, 1 4 原点到直线AB的距离d=m=」 √1+k22' 4.B解析：因为双曲线左焦点的坐标为F(一2,0)， 所以c=2,所以c2=a2+b2=a2+1,即4=a2+1,解得 且当AB的斜率不存在时，x1|=y|,可得 =受-小发然成立。 0.所以双击线的方程为写-子=1。 设P(x,y),则O币，FP-x(x+2)十y2, 所以点0到直线AB的距离为定值号 图为点P在双曲线写-=1上， (3)由(2)知，当AB斜率存在时，|AB?=(1+2) a-1+[广-4x 所以0币.币-音+2x-1=号(+》--1 1+3k2」： 又因为点P在效曲线的右支上，所以x≥3， 由(2)知，4m2=3k2+3, 12k2 所以当x=3时，OP·FP最小，且为3十23， 所以1AB2=39+10中D=3十+市 9k2+6k2+1 即OP,FP的取值范围是[3+23，+o∞). 3+ 12 1 ,因为9k2士6十62≥29k”· 5.D解析：抛物线x2=12y的焦点为F(0,3),准线为 9k2+6+2 y=-3,(x-4)2+y2=1的圆心为Q4,0),半径为1. 6=12, 根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦 12 所以 ≤12 点的距离，如图，放问题转化为求P,Q,F三点共线时P到 k2+6+ ≤6十6=1，当且仅当9k2=1」 Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值， 士号时等号虎之。 所以AB引≤2： 当AB斜率不存在时，AB<2,所以 -5-4-3-2-1012球457x (5aw-名x2x号-县 综上得△OAB的面积的最大值为 5 2 第5题答图 第二单元双曲线、抛物线 由于焦点到圆心的距离是√32+4=5，点P到Q的距 1.C解析：因为点A到抛物线C1的准线的距离为p,所 离与点P到x轴的距离之和的最小值5一3一1=1. 以A(号)在有运线y一总上：所以等-4后-1计 c2 6.C解析：方法一 由∠CBF2=∠CF2B可设|BC|= =5，所以e=后 62 CF2|=m,由1CF1|-1CF2|=2a,得|BF1|=2a,所以 BF2|=4a, 2.B解析：抛物线C:y=2pr(p>0)的准线为x=一号， os∠BE,R,=BF+EE2-BF, 2BFFF2 点P(2,)且|PF|=4,由抛物线定义可得2 (-）=4,解得p=L,所以抛物线方程为y=8x,所 4u2+4-16a,又年c=tan∠BF,F=分，得 以y后=8×2，解得y%=士4.放选B. ∠B的=名 35