第1章 第2单元空间向量的应用-【百汇大课堂·高中学习测试卷】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

BM.BN 而cos∠MBN=eos(BM,BN)= 所以BA=(1.-1.2),CB=(0,1,2),BA·CB1 BMI BNI 3,BA1=6,CB1=5. 3 15 BA·CB 5 所以cos(BA,CB) 30 IBA I CBI 10 所MBN-('- 5 (3)证明 依题意，得G00,2),M(2,号2)Ai 故S△MN= (-11,-2).Ci=(分号0）， 所以△BMN的面家为汽。 所以Ai.G=-号+号+0=0，AiLG成， 15.解 (1)因为a-A店=(1,1,0)，b-AC-(-1,0,2). 所以A1B⊥C1M. 所以a·b=1×(-1)+1×0+0×2=-1.|a=2, 第二单元 空间向量的应用 1bl=5, 1.D解析：若l∥a,则a·n=0,逐一验证可知，选项D中， 所以cos(a,b)=1ab-2×5 a·b 一1 10 10 a·n=1×0+(-1)×3+3×1=0,所以a⊥n.故选D. 2.D解析：因为BD=BF+FE+Ei, 故a和b夹角的余弦值为-0. 10 所以BD2=1B2+FE?+1ED12+2BF.F花+ (2)a+b=k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2). 2F2.ED+2B.ED=1+1+1-2=3-2, ka-2b=k(1,1,0)-2(-1,0,2)=(k+2,k,-4). 因为向量如十b与ka一2b互相垂直， 故BD=√3-2. 所以(a十b)·(a-2b)=0, 3.B解析：以C为坐标原点，CB1,C1D1,C1C所在直 即(k-1)×(k+2)十k×k+2×(-4)=2k2十k-10 线分别为x轴，y轴，之轴建立如图所示的坐标系. =0. 解得k=2或k= 2 16.(1)解如图，建立空间直角坐标系. 1 第3题答图 由于AM=AN=则M(a,号)N(学号a): M-(-号0，)，又CD,1平面BB,CC,所以 C1D=(0,a,0)为平面BB1CC的一个法向量.因为 第16题答图 MN·CD=0,所以MN⊥CD,所以MN∥平 依题意，得B(0,1,0),N(1,0,1), 面BB,CC 所以1B1=√1-0)2+(0-1)2+(1-0)2=3. 4,B解析：如图所示，取AC的中点D,以D为原点，BD, (2)解依题意，得A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0), DC,DM所在直线分别为x轴、y轴，？轴，建立空间直 B1(0,1.2. 角坐标系 7.CD解析：A项，因为a=(1,一1,2)，b=(1,2,1), 所以a·b=1×1一1×2十2×1=1≠0， 则a,b不垂直，所以直线1与m不垂直，故A错误. B项，若l⊥a,则a∥n,所以存在实数入，使得(1，一1， -1)=1(0,1,一1)，无解，故B错误. C项，因为n1=(2,一1,0)，所以n2=(-4,2,0)= 第4题答图 不妨设AC=2,则A(0,-1,0),M(0,0,2),B(一3,0， 一2n1,n1与ng共线，所以a∥B,故C正确. D项，因为点A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0), 0mN--2小 所以AB=(-1,1,1),BC=(-1,1,0). 所以AM=(0,1,2),平面BCCB1的一个法向量为 因为向量n=(1,,t)是平面a的法向量，所以 /n·AB=0,-1+u十1=0， 即 解得u十t=1,故 设AM与平面BCC1B1所成角为a,向量AM与n所成 n BC=0. -1+w=0, 的角为0， D正确， 8.CD解析：对于A,如答图甲，连 D 所以ina=cos0=Ai:nl= 2 15 |AM·n5×5 10· 接AC,BD交于点O,则AC⊥BD, 即AM与手百BCC,B所浅角的正弦值为石.故 因为CC⊥平面ABCD,BDC平 D 面ABCD,所以CC,⊥BD,因为 选B AC∩CC,=C,所以BD⊥平面 5.B解析：如图所示以A为坐标原点，AB,AD,AA1所 第8题答图甲 在直线分别为x轴，y轴，？轴建立空间直角坐标系，则 ACP,因为APC平面ACP,所以BD⊥AP,因为E,F B1,0.0,E(1,号1小，所以酝=(0,2，） 分别为BC,CD的中点，EF∥BD,所以EF⊥AP,所以 AP与EF所成角为90°，所以A错误. 又因为平面A:BD的一个法向量 对于B,如答图乙建立空间直角坐标系，则A1(1,0,1), 为n=AC=(1,1,1),所以直线 EF到平面A1BD的距离d= E(210F(0,20P(o1,号)B1l,0. BE.n3 n 21 所以Pm-(1,-1.2）,萨-(-2-2,0)F币 6.A解析：设PA=AB=2,建立如图 第5题答图 所示的空间直角坐标系， (o,3) 则B(0,2,0),C(3,1,0),P(0,0,2),故 设平面PEF的法向量为n=(x,y,g),则 平面PAB的一个法向量是m=(1,0。 1 0),平面PBC的一个法向量是 a成=--=0 令g=1.则n=(1,一1,1)， -(小 第6题答图 币-=2+=0， 3 所以点A1到平面PEF的距离为d= PA1·n m·n 3 则cos(m,n〉=mm 1X②i 7所以二面角 1+1+ 1 2 58,所以B错误 6 APBC的平面角的正切值tan(m,n>=6.故选A. 对于C,BA1=(0,-1,1),设直线A1B与平面PEF所 B 成角为0， D BA1·n 则sin0=|cos(BA1,n>1 2 5×2 ,所以C正确. 6 C 第11题答图 则A(1,0,0).B(0.0,0),C(0.1,0).B(0,0.1),C1(0,1,1) 设平面ABC的法向量为n=(x,y,),AC=(-1,1, D 0),AB1=(-1,0,1), n·AC--x+y=0, 由 取x=1,则n=(1,1,1), n·AB1=-x+x=0, 第8题答图乙 (0.1.1).cos(n. 26 对于D,如答图两，连接BC1,AD1,AE,则BC1∥AD1, nlBC3×23 BC,=AD1,因为点P、E分别为CC1、BC的中点，所以 因此，BC与平面ABC所成角的正弦值为5. EP/BC,EP=号BC所以EP∥AD,EP=AD 所以四边形AEPD1为梯形，所以平面PED1截正方体 125 3 解析：如图，建立空间直角坐标系， 得到的裁面图形是梯形，所以D正确. 设正方体的棱长为1，则 D D A(1,0,0),A1(1,0,1) C0,1.1).E(（11,3） (o)in F(o1,号) 10 所以A正=(01，号） 第12题答图 第8题答图丙 A1C=(-1,1,0) 故选CD. =(-10,3) 9.l∥a,或1Ca解析：因为a·n=1×2+(-1)×3+1×1 所以cosA店，A,C= AE.AC35 =0, AEIA C 10 所以l∥a,或Ca. 10.3解析：因为lLa,v∥a,所以u⊥， 所以异面直线AE与A:C所成角的余弦值等于3 10 所以(1,3，x)·(3,-2,1)=0.即3-6十x=0,2=3. 平面ABC的法向量为n1=(0,0,1),平面AEF的法 向量为n2=(x,y,) 解析：设正方体ABCD-A1B1CD1的棱长为1，以 点B为坐标原点，BA,BC,BB1所在直线分别为x轴， n2·AE=0, + 3=0, 则 即 y轴，之轴建立空间直角坐标系，如图所示， n2·E萨=0， -x+3=0. 取x=1,则y=一1，x=3.故2=(1，-1,3). 设平面PDC的一个法向量为n2=(x2,y22), n1·n2_311 所以co(2)=m1ng11 /m2·P元=0br2+a2-a2=0,」 x2=0, 则 → 所以 n2·PD=0ay2-a2=0. y2=22. 所以平面AEF与平面ABC的夹角a满足cosa 令g=1,则n2=(0,1,1). 31Π 11 sin a= 22 ,所以ana 3 因为nm1·n2=0一b+b=0,所以n1⊥n2. 13.证明如图所示，以A为坐标原点，AB,AD,AP所在 所以平面PMC⊥平面PDC. 的直线分别为x轴，y轴，：轴轴建立空间直角坐标系 14.(1)证明直四棱柱A'B'CD'-ABCD中， A-ryz. A'A⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,所以AA'⊥BD, 又A'C⊥BD,AA'∩A'C=A',AA',A'CC平面AA'C, 所以BD⊥平面AA'C. 又ACC平面AA'C,所以AC⊥BD, (2)解记AC∩BD=O.过O作OO'∥AA', 以O为原点，OB,OC,O了所在直线分别为x轴，y轴， 第13题答图 z轴建立空间直角坐标系Oxye 设PA=AD=a,AB=b, 由已知易得OA=OC, (1)P(0,0,a),A(0,0,0),D(0,a,0),C(b,a,0),B(b, ∠ABO=∠CBO=60°， 0,0). 所以OC=3.OB=1, 因为M,N分别为AB,PC的中点，所以M(台，0,0) 又AD=CD=23,所以 OD=3, 第14题答图 N(号受)： 所以B(1,0,0),C(03,0),D(-3,0,0),A'(0,-5,2), 易知AB为平面PAD的一个法向量，A方-(h,0,0), A元=(0,23，-2)，Di=(4,00),Ai=(15,-2). 又M=(0,号，号)，所以AB·M=0,所以 设平面A'BD的法向量为n=(x,y,:),则 n·DB=0,/4x=0, A⊥M. 即 n·Ai=0,x+3y-2x=0. 又MN丈平面PAD,所以MN∥平面PAD. (2)由(1)可知P(0.0,a).Cba,0).M(名0,0小， 不妨令y=1,所以n=(01） 3 D(0,a,0), cos〈A'元，n》= A心.n ACI. 所以P元=da,-a).Pi=(台0，-a. /12+4×1+ V21 PD=(0,a,-a) 14 设平面PMC的一个法向量为1=(1y1), 所以AC与平面A'BD所成角的正弦值为y②四 /n1·PC=0fbx十a1-a=0, 141 则 b 15.(1)证明由已知可得AE=BE=√2，AB=2,在 n·PM=02x1-a1=0. △ABE中，满足AE+BE2=AB2, 2a 所以BE⊥AE 所以 因为ADLBE,且AD∩AE=A,AD,AEC平面ADE, y1=一1 所以BE⊥平面DAE 令名1=b,则n1=(2a,-b,b). 又BEC平面ABCE,所以平面ADE⊥平面ABCE. (2)解方法一（几何法）：如图所示，连接AC,取AE 设m=(x,y,之)为平面DAC的法向量，有 中点O,连接DO, 32 m·AC=0 x 2y=0, 所以DOLAE,过O作OQ⊥ 2 AC交AC于Q点，连接DQ, m·AD=0 号+9=0 因为平面ADE⊥平面 不妨令x=1,则y=3,=1, ABCE. 所以m=(1,3,1), 平面ADE∩平面ABCE= 第15(2)题答图甲 而平面AEC的其中一个法向量显然为n=(0,0,1), AE,所以DO⊥平面ABCE,DO⊥AC,又DO∩OQ= O,DO,OQC平面D0Q, cos(m.n)= AC⊥平面DOQ. AC⊥DQ, 二而角EACD的余弦值为 11 所以∠DQO即为所求的二面角的平面角. 16.(1)证明如图，以点A为原点，AD,AA1,AB所在直 由c0s∠EAC=@)2+(5)2-12-30 线分别为x轴，y轴，：轴建立空间直角坐标系， 2×√2×w5 10· 依题意得A(0,0,0),B(0,0, 所以D0= .0-A0n∠EAC-号x-语 2),C(1,0,1),B1(0,2,2) 2 C1(1,2,1),E(0,1,0). DO 2=0. 易得BC=(1,0,-1).C元 又tan∠DQO= OQ (-1,1,-1), 10 于是B,C.C元=0， 第16题答图 所以cos∠DQO= T,所以二面角EACD的余弦 所以B,C1⊥CE. 植务部 (2)解B,C=(1,-2,-1).设平面B1CE的法向量m =(xy.2). 方法二（向量法）：取AE的中点O,连接DO m·B1C=0,x-2y-=0, 因为AD=DE.所以DOLAE. 则 即 m.CE=0. -x+y-z=0. 因为平面ADE⊥平面ABCE,平面ADE∩平面ABCE 消去x,得y十2z=0,不妨令之=1，可得一个法向量为 =AE,所以DOL平面ABCE. m=(-3.-2,1). 如图所示，以E为坐标原点，以EA,EB所在直线分别 由(1)，知BC1⊥CE,又CC⊥B1C1,可得BC1⊥平 为x轴，y轴，过E作DO的平行线为之轴，建立空间 面CEC1,故B1C=(1,0,-1)为平面CEC1的一个法 直角坐标系 向量。 于是cos(m,B,C)=m·BC 一4 |mB1C11√14×2 2 7 从而sin(m,B,C)=2T 7 第15(2)题答图乙 则A.0,0.c-号号o0）n号0，）. 所以二面角BCEC,的王弦值为可 (3)解AE=(0,1,0).EC=(1,1,1). 所以c-(3要号o)币-(-9o》 设EM=AEC=(,A,A),0≤X≤1， AM=AE+EM=(,+1,). 可取AB=(0,0,2)为平面ADD1A1的一个法向量 设0为直线AM与平面ADD:A1所成的角，则 AM.AB sin cos AM,AB)= AMIABI 2入 √A2+(a+1)2+X2×2√/3x2+2λ+1 第4题答图 3年2双中号，解得A=子所以AM=2 于是 则C(0,0,0),A1(3,0,3),B(0,4,0).C1(0,0.3). 所以CA1=(3,0,3),BC=(0,-4,3), 章末检测·A卷 所以cos(CA,BC)= CA·BC 932 1.A解析：因为|a2-2,1b2=2,(a+b)·(a-b) CA1IBC13√2×510 1a2-1bl2=0,所以(a+b)⊥(a-b). 所以直我BC与AC所成角的余弦值为温。 2C解析：以点A为原点，AB,AD,AA1所在直线分别 为x轴，y轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 5.B解析：作AM⊥x轴于M,BN⊥x轴于N. 则AM=3,BN=2,MN=5.又AB-AM+MN+NB. 所以AB-AM+MN+NB+2(AM.MN+AM. NB+MN.NB) 又AM⊥MN,MN⊥NB,(AM,NB=60, 故AB2-9+25十4+6=44. 第2题答图 所以AB=1AB=2T.故选B. 则E11,E).F(2,1,号).所以1E球1- 6.B解析：取A1B1中点O为坐 标原点建立如图所示的坐标系， a-2+1-1D°+(2-9)-，放老C 则A1(0,1,0),B(0,-1,1), 3.B解析：设D(x,y,x),则AD=(.x+1,y-1,x一2)， C3,0,1),A(0,1,1),A1A AB=(2,-1,-3),DB=(1-x,-y,-1-), (0,0,1),41B=(0,-2,1),AC 第6题答图 1 x+1=2(1-x), x =(3,-1,1). 因为AD=2Di.所以{y-1=-2y, 所以y=3 设平面A1BC的法向量为a=(x,y,z), 2-2=-2-2x, 1a·A1B=0,-2y+x=0, g=0. 取之=1， a·A1C=0, 所以D号号0).C市-（传---1-4小， 3.x-y+x=0, 因为C市LA成，所以C可·A店=2（号-+入-3(-1 得a=(小 X0=0,所以入=-日 所以点A到平面A,BC的距离4=Aa a 4,A解析：如图，以C为坐标原点，CA,CB,CC所在直 线分别为x轴，y轴，：轴建立空间直角坐标系， -+(广+6,在三陵脏PA以C中.△AC为等边三角形，PA⊥平商AC,且PA=AB.期二面角APBC的平 第二单元空间向量的应用 面角的正切值为 A,用 B.S c n 《时间：0分行满分，100分) 二，多项进择题：本厘共2小烟，每小题5分，共10分.在有小题始出的雪个选项中，有多项摔合直日 一，单项进择题：本列共目小庭，号小理5分，共30分，点身小男始出购罩个选男中，开有一乳是符台 毫量，全都或对的得3台，都丹式对的得日分，有这量片得0分， 则区要术的， T,(00·法本常垢有·常州高國中学高二刺中以下合题正瑞的是 1,若直线了的方向向量为。，平而▣的法向量为：，能使《。的是 入直线/的方向向量年一1。一12，直线m的方用房量一(1,2,1.媒山网 .@=(1,0,0,日=（一2,0,0 Ba=1,3.5)-m=(1-0,1j B直线1的方间量a一《0,1，一1).平直年的法向量题一(1，一1，一1).则 C.8=(0,2,11,a=《-1,0,-11 0=(1,-1,3),n=0,3,1D 2,如用，在大小为行的二育角AEFD中，四边形ABFE,(DE下都是边长为1的方形，则B.D丙 C,两个不同平面的法向量分别为#，=(2，一1,01，(4,2,0，期a 点间的距离是 D平南。经过三点A(10。一12，B0,1,0),C(一1,20，向最0=(14)是平直的法向量，别 《(2021·福难高一期末)在棱长为1的正方体ACD-A,BCD中，点P,E,F分别为℃，C, D的中点，螺下列说法正确的是 第2题图 A,AP与EF所成角为0 A,3 品2 ,1 D3-羽 三3如图所示，在正方体ADA,B,CD,中，成长为H,N分别为A,#和C上修点A,M=AN- 点A,到平面PEF的师离为国 ②a,蝶MN与平面B,CC的位餐关系是 心直线AB与半PEF所成角的正孩值为雪 D平面PD,藏正方体得到的霞图图形是梯形 三填空题：本斑共4小月，每小期5分，共20分。请把王确答走填在抛中情线上 9,若直线的方向6量为(1，一1,1)，平面a的法向量为#=(2,3,1，属直线！与a的位置关系为 第3题图 A.斜安 认平行 C,集直 D.不糖确定 10.已每直线与半加g原直，直线1的个方向向量为w“(1,8,》,风量(.一2,1》与平自度平 4,(21·精建有夏n暴美中学高二南中)直三棱柱AA,柱.C中，△A以为等边三角那，A4, AB,M是A,C的中点.则AM与平面CB,所成角的正弦值为 行，期 品 得 c n-惩 11.(2021·上海基师大二附中高二期中)正方体AECDA B,CD中，B与平霍ABC所成角的正 盆值为 5,在校长为1的正方体ABCD A,民C,D,中，E,F分别为棱B:C和CD,的中点.则直线EF到平 12.已知点E,F分别在正方体A以D-A,B,C,D,的牌B,C,上，且B,君-2EBCF-FC,期州 面A,BD的定离为 面直线AE与A,新战角的余弦值等于 ,平面AF与平面A以的灰角的正切值等干 6要 C.3 5 四，解答题：本型共4小理，共40母，算等座可出文字说可，证明社程真演量少限， 15.1目分》(m21,期南你棉有高二南末)如周，里思 I3{I0分》如图所示，已知PA⊥平面ACD,AD为矩悬，PA=AD,M,N分别为 A以CD中，AB=2,BC=1,E为CD的中点，把 AB,PC的中点.求证， △ADE沿AE图折，离足AD1BE. I)N∥平mPAD, 1》求证，平面ADEL平面A以E 2)平面PC⊥平面PDC (2》求二直角B4CD的余弦值 第11题图 第13想图 14.《10分)[021·河南柔封车高三南末（厦）]如闭，在直四棱柱AB'CDAH I6.10分》如图，四棱柱AD-A出CD,中，侧极AA⊥籍童AC,AB CD中，AC⊥BD DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA:=AB=2,E为棱AA.的中点. (1f明：A⊥BD, 1)E明：B,C⊥CE 42已知A4-BC=AA=2.AD=CD=2后，∠ABC=120,漫直线A'C与平 (2)求二面角B,-CEC,的正弦值： 4 南A'BD所域角的正蕊值. 第14题图 (3)设点M在线段C,E上，且直线AM与平直ADD,A,所成角的正弦值为 装，求线夏AM的长 第16题图 8