专题15.2 解分式方程的综合（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学上册压轴题专项讲练系列（人教版）

专题15.2 解分式方程的综合 · 思想方法 分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则： 1. 不重（互斥性）不漏（完备性）； 2. 按同一标准划分（同一性）； 3. 逐级分类（逐级性）。 · 知识点总结 一、分式方程 1．分式方程：分母中含有未知数的方程。 2．分式方程的解法思路：去分母（乘分母最小公倍数）将分式方程先转化为整式方程，再按照整式方程的技巧求解方程。 3．分式方程解方程的步骤： ①利用等式的性质去分母，将分式方程转换为整式方程； ②解整式方程； ③验根--检验整式方程解得的根是否符合分式方程； ④作答。 · 典例分析 【典例1】已知，关于的分式方程． （1）当，时，求分式方程的解； （2）当时，求为何值时，分式方程无解； （3）若，为正整数，分式方程的解为整数时，求的值． 【思路点拨】 （1）将的值代入分式方程，解分式方程即可得到答案； （2）把的值代入分式方程，将分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论的值使分式方程无解即可； （3）把代入分式方程，将分式方程化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和为正整数即可确定的值． 【解题过程】 （1）解：把，代入分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入， 所以原分式方程的解是； （2）解：把代入分式方程， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， ①当时，即，方程无解， ②当时，， 时，分式方程无解，即，不存在； 时，分式方程无解，即，， 综上所述，或时，分式方程无解； （3）解：把代入分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 整理得：， ∵，且为正整数，为整数， ∴必为65的因数，， ∵， ∴65的因数有1，5，13，65， 1，5小于11， 可以取13，65这两个数，对应地，方程的解为0，4，对应地，的值为3，55， 满足条件的可取3，55这两个数． · 学霸必刷 1．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）已知关于的分式方程，对于该方程的解，甲、乙两人有以下说法：甲：若方程的解是负数，则；乙：当时，方程的解是正数．关于甲、乙两人的说法，正确的是（    ） A．甲、乙都对 B．只有甲对 C．只有乙对 D．甲、乙都错 【思路点拨】 本题主要考查解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键．根据解分式方程的方法可得，根据正负数，可得，由此即可求解． 【解题过程】 解：， 去分母得，，且， ∴，且， 当时，，且， ∴且， ∴当方程的解为负数时，且， ∴甲的说法错误； 当时，， ∴， ∴当时，方程的解为正数， ∴乙的说法正确； ∴甲说法错误、乙说法正确， 故选：C． 2．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）若且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（    ） A．277 B．240 C．272 D．256 【思路点拨】 此题考查了分式方程的解的含义，正确的计算与检验是解本题的关键．把代入方程，再解方程可得，且，；，再分类讨论即可得到答案． 【解题过程】 解：∵，， ∴， 两边都乘以，得 ， 解得，且，；， ∴且， 解得：，， ∵正整数使关于的分式方程的解为整数， ∴， ∴或15或39或65或195， 即或5或29或55或185， 其中不符合题意， ∴， 故选C． 3．（22-23八年级下·四川遂宁·阶段练习）若整数a使得关于x的不等式组解集为，使得关于y的分式方程＝+2的解为正数，则所有满足条件的整数a的和为（    ） A．﹣21 B．﹣20 C．﹣17 D．﹣16 【思路点拨】 首先解不等式组并根据不等式组的解集，确定a的取值范围，再根据分式方程的解是正数确定a的取值范围，注意排除增根的情况，最后两个a的取值范围合并，就可以算出所有整数a的和． 【解题过程】 解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵该不等式组的解集为， ∴，解得， ∵关于y的分式方程＝+2的解为正数， ∴， ∴且，解得且， ∴a的取值范围为且， ∴符合条件的整数a有：-6、-5、-3、-2、-1、0、1， 所有整数a相加的和为：． 故选：D． 4．（23-24八年级上·山东泰安·期中）若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的整数的值为（    ） A．2或3 B．2或7 C．3或7 D．2或3或7 【思路点拨】 本题考查一元一次不等式组的解，分式方程的解，先解不等式组，再解分式方程，从而确定的取值，进而解决此题． 【解题过程】 解不等式组，得， 不等式组无解， ， ， 分式方程， 方程的两边同时乘， 得，， 整理得，， ， 方程有整数解， 或或或， 或或或或或或或， ，， ， 或或， 故选：D． 5．（2022八年级上·全国·专题练习）若整数a使关于x的分式方程的解为非负整数，且使关于y的不等式组至多有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A．24 B．12 C．6 D．4 【思路点拨】 先解一元一次不等式组，再根据不等式组至多有3个整数解，确定求出的范围；再解分式方程，根据分式方程有非负整数解，确定的值即可解答． 【解题过程】 解：解不等式得：， 解不等式得：， ∴ ∵不等式组至多有3个整数解， ∴， ∴． 方程， ，解得： ∵分式方程有非负整数解， ∴（x为非负整数）且， ∴且， ∴的偶数且， ∴且且a为偶数， ∴符合条件的所有整数a的值为：，0，4，6，8． ∴符合条件的所有整数．a的和是：12． 故选：B． 6．（22-23九年级上·重庆渝中·期末）若关于的不等式组有且只有2个奇数解，且关于的分式方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和为（    ） A．3 B．4 C．11 D．12 【思路点拨】 先解一元一次不等式组，再解分式方程，从而确定的值，进而解决此题． 【解题过程】 解：， ， ， ， ， ， ， 关于的不等式组有且只有2个奇数解， ， ， ， ， ， ， ， ， 关于的分式方程的解为非负数， ，且， 且， 所有满足条件的整数为：或或0或2或3或4或5， 所有满足条件的整数的值的和为：， 故选：C． 7．（22-23八年级上·山东淄博·期末）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【思路点拨】 分式方程无解的情况有两种：（1）原方程存在增根；（2）原方程约去分母后，整式方程无解． 【解题过程】 解：（1）为原方程的增根， 此时有，即， 解得； （2）为原方程的增根， 此时有，即， 解得． （3）方程两边都乘， 得， 化简得：． 当时，整式方程无解． 综上所述，当或或时，原方程无解． 故答案为：10或或3． 8．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）已知关于的分式方程的解满足，则的取值范围是 ． 【思路点拨】 本题考查了分式方程的解，解不等式组，先求出分式方程的解，根据，得到关于的一元一次不等式组，解不等式组求出的取值范围，又由最简公分母的值不等于，可得不符合条件的取值，最后综合即可得到最终的取值范围，正确求出分式方程的解是解题的关键． 【解题过程】 解：由分式方程得，， ∵分式方程的解满足， ∴， 即， 解得， 又∵， ∴且， 即且， 解得且， ∴的取值范围为且， 故答案为：且． 9．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）关于x的分式方程的解满足不等式，则a的取值范围是 ． 【思路点拨】 本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，熟练掌握解分式方程已经解不等式的方法是本题的一个难点．首先要解关于的分式方程，求出方程的解，根据解满足不等式，可以得到一个关于的不等式，就可以求出的范围． 【解题过程】 解：， ， ， 解不等式， 得． 关于的分式方程的解满足不等式， ， ， 的取值范围是且． 10．（23-24八年级上·四川成都·期中）现有一列数：，，，，，，（为正整数），规定，，，，，若，则的值为 . 【思路点拨】 本题考查了解分式方程，先观察数列的规律，根据已知的关系，通过错项相加的方法，求出的通项公式：，再根据此公式，对分式方程的左边进行裂项，化简分式方程，最后可求出的值，通过错项相加法得到是解题的关键． 【解题过程】 解：∵，，，，， ∴以上各式左右两边分别相加得， ， ∴， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 经检验，是原分式方程的解， ∴， 故答案为：． 11．（23-24八年级上·全国·课时练习）解关于的分式方程？ 【思路点拨】 将原方程变形为，得到或，进行计算并检验即可得到答案． 【解题过程】 解：方程两边同乘以2，得， 方程两边同减3，得， 即， 或， 解得：，， 经检验，，均是原分式方程的解， 原分式方程的解为：，． 12．（2024八年级·全国·竞赛）解分式方程． 【思路点拨】 本题考查解分式方程，熟练掌握因式分解解分式方程是解题的关键，利用因式分解（提公因式法）化简方程，由于，即可得到方程的解． 【解题过程】 解：， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴， 经检验是原方程的根． 13．（2023八年级上·全国·专题练习）解方程：． 【思路点拨】 本题考查了解分式方程；本题不是直接去分母，而是先“裂项”，把方程左边化简，再去分母解分式方程；首先根据“裂项”的方法化简方程左边，然后把分式方程化为整式方程，计算即可．解本题的关键在于充分利用运算规律计算． 【解题过程】 解： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 检验：是原分式方程的解， ∴原方程的解为． 14．（2024八年级·全国·竞赛）解方程组 【思路点拨】 本题考查分式方程组的解法，将原方程组进行合理的变形是正确解决本题的关键． 先将原方程组的每一个方程左右两边的分子、分母交换位置，化简，再利用换元法得一个三元一次方程组，最后得分式方程进而求得每一个未知数． 【解题过程】 解：将方程组中各方程先取倒数，得 设A＝，B＝，C＝， 则， 解得， 即， 解得． 经检验，分别是原分式方程的解． 15．（22-23八年级下·陕西西安·阶段练习）已知关于的方程：，若方程的解为整数，求整数的值． 【思路点拨】 先按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出，再根据方程的解为整数得到是整数，据此求解即可． 【解题过程】 解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项：， 系数化为1得：， ∵方程的解为整数， ∴是整数， 又∵分式要有意义， ∴， ∴，即 ∴， ∴或． 16．（22-23七年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于的方程，其中，均为整数且． （1）若方程有增根，则，满足怎样的数量关系？ （2）若是方程的解，求的值． 【思路点拨】 （1）由分式方程有增根，得到，求出的值即为增根； （2）将代入求得，根据题意可得或或，分别带入求得的值即可． 【解题过程】 （1）解：由分式方程有增根，得到， 解得：， 将分式方程化为整式方程：， 整理得：， 将代入得：， 即若方程有增根，则． （2）解：∵是方程的解， 将代入得：， 整理得：， ∴， ∴，且 ∵，均为整数且， ∴或2或（舍去）或， 当时，即，； 当时，即，； 当时，即 当时，即，； 当时，即，； 综上，的值为或或8． 17．（22-23八年级下·江苏苏州·期中）我们定义：形如（m，n不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为，∴，． 再如为十字分式方程，可化为．∴，． 应用上面的结论解答下列问题： （1）若为十字分式方程，则______，______． （2）若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． （3）若关于x的十字分式方程的两个解分别为，（，），求的值． 【思路点拨】 （1）将方程改写成，再根据十字分式方程的定义作答即可； （2）先根据十字分式方程的定义求出，再化简得，最后代入计算求解即可； （3）先根据十字分式方程的定义以及、、的取值范围求出，，即，，然后代入求解即可． 【解题过程】 （1）解：方程是十字分式方程，可化为， ， 故答案为：，． （2）解：十字分式方程的两个解分别为，， ， ∵ ， ∴原式 ． （3）解：方程是十字分式方程，可化为， ∴，， ∵，， ∴，，即，， 代入得，， ∴的值为2022． 18．（22-23八年级上·山东淄博·期中）仔细观察下面的变形规律：，，，……解答下面的问题： （1）总结规律：已知为正整数，请将和写成上面式子的形式； （2）类比发现： 计算与的结果； （3）知识迁移：解关于（为正整数）的分式方程： ； （4）规律应用：化简． 【思路点拨】 （1）根据题目中的规律，写出结果即可； （2）利用解析（1）中得出的规律进行计算即可； （3）先化简方程左边的式子，然后解分式方程即可； （4）利用解析（1）中的规律进行变形计算即可． 【解题过程】 （1）解：∵， ， ，…… ∴， ； （2）解： ； ． （3）解：方程变为， 即：， 去分母得：， 解得：， 检验：因为为正整数，原方程分母不会为零； 所以原方程的根式． （4）解： ． 19．（22-23八年级上·湖南长沙·期末）如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． （1）已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； （2）已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数t． ①求G所代表的代数式； ②求x的值； （3）在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于x的方程无解，求实数m的值． 【思路点拨】 （1）先计算，再根据结果可得结果； （2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案；②由，且分式D的值为正整数t．x为正整数，可得或，从而可得答案； （3）由题意可得：，可得，整理得：，由方程无解，可得或方程有增根，再分两种情况求解即可． 【解题过程】 （1）解：∵，， ∴ ． ∴A与B是互为“和整分式”， “和整值”； （2）①∵，， ∴ ∵C与D互为“和整分式”，且“和整值”， ∴， ∴； ②∵，且分式D的值为正整数t．x为正整数， ∴或， ∴（舍去）； （3）由题意可得：， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∵方程无解， ∴或方程有增根， 解得：， 当，方程有增根， ∴， 解得：， 综上：的值为：或． 20．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）新定义：如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． （1）判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”. 若不是，打“×”． ①（   ）；②（   ）； ③（   ）； ④（   ）； （2）若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值； （3）若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 【思路点拨】 本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义分别判断即可； （2）根据“关联数对”定义计算即可； （3）根据“关联数对”定义，结合方程的解为整数，计算即可． 【解题过程】 （1）解：当，时，分式方程为，， ∵， ∴①不是关于的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程为， 解得：， ， ②不是关于的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程为， 解得， ， ③是关于的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程为， 此方程无解， ④是关于的分式方程的“关联数对”； 故答案为：①；②；③；④． （2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ， 解得：， ， 解得； （3）解：数对，且，是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ， 解得， ∵可化为， ∴， 解得：， 方程有整数解， 整数，即， 又，， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15.2 解分式方程的综合 · 思想方法 分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则： 1. 不重（互斥性）不漏（完备性）； 2. 按同一标准划分（同一性）； 3. 逐级分类（逐级性）。 · 知识点总结 一、分式方程 1．分式方程：分母中含有未知数的方程。 2．分式方程的解法思路：去分母（乘分母最小公倍数）将分式方程先转化为整式方程，再按照整式方程的技巧求解方程。 3．分式方程解方程的步骤： ①利用等式的性质去分母，将分式方程转换为整式方程； ②解整式方程； ③验根--检验整式方程解得的根是否符合分式方程； ④作答。 · 典例分析 【典例1】已知，关于的分式方程． （1）当，时，求分式方程的解； （2）当时，求为何值时，分式方程无解； （3）若，为正整数，分式方程的解为整数时，求的值． 【思路点拨】 （1）将的值代入分式方程，解分式方程即可得到答案； （2）把的值代入分式方程，将分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论的值使分式方程无解即可； （3）把代入分式方程，将分式方程化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和为正整数即可确定的值． 【解题过程】 （1）解：把，代入分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入， 所以原分式方程的解是； （2）解：把代入分式方程， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， ①当时，即，方程无解， ②当时，， 时，分式方程无解，即，不存在； 时，分式方程无解，即，， 综上所述，或时，分式方程无解； （3）解：把代入分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 整理得：， ∵，且为正整数，为整数， ∴必为65的因数，， ∵， ∴65的因数有1，5，13，65， 1，5小于11， 可以取13，65这两个数，对应地，方程的解为0，4，对应地，的值为3，55， 满足条件的可取3，55这两个数． · 学霸必刷 1．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）已知关于的分式方程，对于该方程的解，甲、乙两人有以下说法：甲：若方程的解是负数，则；乙：当时，方程的解是正数．关于甲、乙两人的说法，正确的是（    ） A．甲、乙都对 B．只有甲对 C．只有乙对 D．甲、乙都错 2．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）若且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（    ） A．277 B．240 C．272 D．256 3．（22-23八年级下·四川遂宁·阶段练习）若整数a使得关于x的不等式组解集为，使得关于y的分式方程＝+2的解为正数，则所有满足条件的整数a的和为（    ） A．﹣21 B．﹣20 C．﹣17 D．﹣16 4．（23-24八年级上·山东泰安·期中）若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的整数的值为（    ） A．2或3 B．2或7 C．3或7 D．2或3或7 5．（2022八年级上·全国·专题练习）若整数a使关于x的分式方程的解为非负整数，且使关于y的不等式组至多有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A．24 B．12 C．6 D．4 6．（22-23九年级上·重庆渝中·期末）若关于的不等式组有且只有2个奇数解，且关于的分式方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和为（    ） A．3 B．4 C．11 D．12 7．（22-23八年级上·山东淄博·期末）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 8．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）已知关于的分式方程的解满足，则的取值范围是 ． 9．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）关于x的分式方程的解满足不等式，则a的取值范围是 ． 10．（23-24八年级上·四川成都·期中）现有一列数：，，，，，，（为正整数），规定，，，，，若，则的值为 . 11．（23-24八年级上·全国·课时练习）解关于的分式方程？ 12．（2024八年级·全国·竞赛）解分式方程． 13．（2023八年级上·全国·专题练习）解方程：． 14．（2024八年级·全国·竞赛）解方程组 15．（22-23八年级下·陕西西安·阶段练习）已知关于的方程：，若方程的解为整数，求整数的值． 16．（22-23七年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于的方程，其中，均为整数且． （1）若方程有增根，则，满足怎样的数量关系？ （2）若是方程的解，求的值． 17．（22-23八年级下·江苏苏州·期中）我们定义：形如（m，n不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为，∴，． 再如为十字分式方程，可化为．∴，． 应用上面的结论解答下列问题： （1）若为十字分式方程，则______，______． （2）若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． （3）若关于x的十字分式方程的两个解分别为，（，），求的值． 18．（22-23八年级上·山东淄博·期中）仔细观察下面的变形规律：，，，……解答下面的问题： （1）总结规律：已知为正整数，请将和写成上面式子的形式； （2）类比发现： 计算与的结果； （3）知识迁移：解关于（为正整数）的分式方程： ； （4）规律应用：化简． 19．（22-23八年级上·湖南长沙·期末）如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． （1）已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； （2）已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数t． ①求G所代表的代数式； ②求x的值； （3）在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于x的方程无解，求实数m的值． 20．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）新定义：如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． （1）判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”. 若不是，打“×”． ①（   ）；②（   ）； ③（   ）； ④（   ）； （2）若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值； （3）若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$