专题15.1 分式的混合运算与化简求值（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学上册压轴题专项讲练系列（人教版）

专题15.1 分式的混合运算与化简求值 · 思想方法 整体思想：指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。 · 知识点总结 一、分式的乘除法法则 分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似： 1．分式的乘法：分子的积为积的分子，分母的积为积的分母，能约分的约分。即： 2．分式的除法：除式的分子、分母颠倒位置后，与被除数相乘。即： 3．分式的乘方：分子、分母分别乘方。= 4．运算顺序：先乘方，后乘除，最后加减。同级从左至右依次计算。有括号的，先算括号中的，在算括号外的。 注：上述所有计算中，结果中分子、分母可约分的，需进行约分化为最简分式 二、分式的加减法则 1．同分母分式：分母不变，分子相加减 2．异分母分式：先通分，变为同分母分式，再加减 注：①计算结果中，分子、分母若能约分，要约分；②运算顺序中，加减运算等级较低。若混合运算种有乘除或乘方运算，先算乘除、乘方运算，最后算加减运算。 · 典例分析 【典例1】知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例1：分解因式 解：将“”看成一个整体，令 原式 例2：已知，求的值． 解： 请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： （1）根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解； （2）计算：________ ； （3）①已知，求的值； ②若，直接写出的值． 【思路点拨】 （1）将看成一个整体，令，代入计算即可； （2）将看成一个整体，令，将看成一个整体，令，代入计算即可； （3）①将代入求解即可；②将，代入中得到原式，再将代入，进一步得到原式，计算即可． 【解题过程】 （1）解：将看成一个整体，令， 则原式． （2）解：将看成一个整体，令，将看成一个整体，令， 则原式 ． （3）解：①∵， ∴ ． ②∵， ∴ ． · 学霸必刷 1．（22-23七年级下·浙江·期中）设满足且，则的值为（　　） A．-1 B．1 C．2 D．3 2．（23-24八年级下·湖南娄底·开学考试）已知，，，…，（n为正整数，且，1），则用含t的式子的结果为（    ） A．t B．－t C． D． 3．（22-23九年级下·湖北武汉·自主招生）已知，则代数式的值为（    ） A．2021 B．2024 C．2027 D．2030 4．（22-23八年级上·浙江台州·期末）已知实数x，y，z满足++＝，且＝11，则x+y+z的值为（　　） A．12 B．14 C． D．9 5．（2024七年级·全国·竞赛）已知实数满足等式，且，则 ． 6．（2024八年级·全国·竞赛）设a、b、c是互不相等的实数，且，则 ． 7．（2024八年级·全国·竞赛）已知非0实数a，b，c满足．则 ． 8．（23-24八年级上·全国·课时练习）已知三个数x，y，z满足，，，则的值为 ． 9．（23-24八年级上·山东青岛·自主招生）已知a，b，c是非零有理数，且满足，则等于 ． 10．（2023九年级·全国·专题练习）计算的值． 11．（22-23八年级上·全国·单元测试）已知 为整数，且满足 ，求 的值． 12．（22-23九年级下·重庆渝中·自主招生）先化简，后求值：，其中x，y满足． 13．（22-23八年级上·湖南岳阳·期末）已知，，，求的值． 14．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知：，． （1）当时，计算的值； （2）当时，判断与的大小关系，并说明理由； （3）设，若均为非零整数，求的值． 15．（2024八年级·全国·竞赛）设n为正整数，且， ， … ． （1）求证：； （2）若，求正整数a，b的值． 16．（2023九年级上·福建泉州·专题练习）阅读下列材料： 消元求值作为解决代数式求值时一种常用方法，在实际解题过程中应用非常广泛，常见的消元方法有：代入消元法，加减消元法、比值消元法等方法，下面介绍一种倒数消元法． （1）已知，，则______； （2）已知，，求证：； （3）已知（其中、、互不相等），求的值． 17．（23-24八年级上·山东烟台·期中）用数学的眼光观察： 同学们，在学习中，你会发现“”与“”有着紧密的联系，请你认真观察等式：，． 用数学的思维思考并解决如下问题： （1）填空：______； （2）计算： ①若，求的值； ②若，求的值； ③已知，求的值． 18．（23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）阅读材料： 见微知著谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法． 例如：已知，求的值． 解：原式 问题解决： （1）已知． ①代数式的值为 ． ②求证． （2）已知，，且，求的值． 19．（22-23八年级上·福建福州·期末）阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： ； ． 请根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）． ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式：______＋______． （2）把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数． （3）一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数n，十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同．若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的两位数n． 20．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）定义：若分式A与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式A的“可存异分式”．如与．因为，．所以是的“可存异分式”． （1）填空：分式________分式的“可存异分式”（填“是”或“不是”；） （2）分式的“可存异分式”是________； （3）已知分式是分式A的“可存异分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； （4）若关于的分式是关于的分式的“可存异分式”，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15.1 分式的混合运算与化简求值 · 思想方法 整体思想：指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。 · 知识点总结 一、分式的乘除法法则 分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似： 1．分式的乘法：分子的积为积的分子，分母的积为积的分母，能约分的约分。即： 2．分式的除法：除式的分子、分母颠倒位置后，与被除数相乘。即： 3．分式的乘方：分子、分母分别乘方。= 4．运算顺序：先乘方，后乘除，最后加减。同级从左至右依次计算。有括号的，先算括号中的，在算括号外的。 注：上述所有计算中，结果中分子、分母可约分的，需进行约分化为最简分式 二、分式的加减法则 1．同分母分式：分母不变，分子相加减 2．异分母分式：先通分，变为同分母分式，再加减 注：①计算结果中，分子、分母若能约分，要约分；②运算顺序中，加减运算等级较低。若混合运算种有乘除或乘方运算，先算乘除、乘方运算，最后算加减运算。 · 典例分析 【典例1】知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例1：分解因式 解：将“”看成一个整体，令 原式 例2：已知，求的值． 解： 请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： （1）根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解； （2）计算：________ ； （3）①已知，求的值； ②若，直接写出的值． 【思路点拨】 （1）将看成一个整体，令，代入计算即可； （2）将看成一个整体，令，将看成一个整体，令，代入计算即可； （3）①将代入求解即可；②将，代入中得到原式，再将代入，进一步得到原式，计算即可． 【解题过程】 （1）解：将看成一个整体，令， 则原式． （2）解：将看成一个整体，令，将看成一个整体，令， 则原式 ． （3）解：①∵， ∴ ． ②∵， ∴ ． · 学霸必刷 1．（22-23七年级下·浙江·期中）设满足且，则的值为（　　） A．-1 B．1 C．2 D．3 【思路点拨】 由可得：， ，然后对分式进行变形，先利用平方差公式的逆用，再根据需要代入，变形，利用分数的性质化简即可求值． 【解题过程】 解： ，，， ． 故选：B． 2．（23-24八年级下·湖南娄底·开学考试）已知，，，…，（n为正整数，且，1），则用含t的式子的结果为（    ） A．t B．－t C． D． 【思路点拨】 先根据题意求出、、、，并从中找出循环节为、、，求出每一个循环节三个数的乘积，即可求出答案． 本题考查了数字类规律探究，以及分式的计算，解题的关键是正确找出题中的规律． 【解题过程】 解：∵， ， ， 结果每3个一循环，循环节为、、， ∵， ∴从到一共673个循环，且余2， ， ， ． 故选：B 3．（22-23九年级下·湖北武汉·自主招生）已知，则代数式的值为（    ） A．2021 B．2024 C．2027 D．2030 【思路点拨】 先对原代数式的分子进行因式分解，然后再约分，最后再整体代入求值． 【解题过程】 解： ∵ ∴ ∴ 即原式的值为2030． 故选：D． 4．（22-23八年级上·浙江台州·期末）已知实数x，y，z满足++＝，且＝11，则x+y+z的值为（　　） A．12 B．14 C． D．9 【思路点拨】 把两边加上3，变形可得，两边除以得到，则，从而得到的值． 【解题过程】 解：， ， 即， ， 而， ， ． 故选：A． 5．（2024七年级·全国·竞赛）已知实数满足等式，且，则 ． 【思路点拨】 本题考查了分式的化简求值，代数式求值；解题的关键是令求出、、的值． 令，求得，，，结合题意求出、、的值，代入即可求解． 【解题过程】 解：设， 故，，， 则， 即， 解得：； ∴，，， ∴． 故答案为：． 6．（2024八年级·全国·竞赛）设a、b、c是互不相等的实数，且，则 ． 【思路点拨】 本题考查分式的化简求值，由可得，同理可得，，由此三式相乘即可解答． 【解题过程】 解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（2024八年级·全国·竞赛）已知非0实数a，b，c满足．则 ． 【思路点拨】 用第一个括号里的算式分别乘以第二个括号里的三个分式，结合化简，所得三部分合并再化简，结合二数和完全立方式展开变形，代入化简即得． 本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算化简，完全立方公式的推导及变形运用，是解决本题的关键． 【解题过程】 解：∵， 同理，，， ∴原式， 又，即， 则， 故原式． 故答案为：9． 8．（23-24八年级上·全国·课时练习）已知三个数x，y，z满足，，，则的值为 ． 【思路点拨】 由给定的三个等式可得其倒数，，，再将三个分式的分子拆分后相加可得的值，因所求式子的倒数为，所以求得的倒数即可解答； 【解题过程】 解：∵，，， ∴，，， ∴ ， ，， ①+②+③，得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 9．（23-24八年级上·山东青岛·自主招生）已知a，b，c是非零有理数，且满足，则等于 ． 【思路点拨】 先在等式的两边同时乘非零数，得到，变形为，，再将三个等式代入所求代数式化简即可得出答案． 【解题过程】 解： ，， 故答案为：． 10．（2023九年级·全国·专题练习）计算的值． 【思路点拨】 设原式可变形为化简后即可求解． 【解题过程】 解：设，则原式 ． 11．（22-23八年级上·全国·单元测试）已知 为整数，且满足 ，求 的值． 【思路点拨】 根据平方差公式和约分法则把原式化简，根据取整法则解答即可． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或， 由，得， 由于 x，y 为整数， 当y=1时，x为整数-2，则x+y=-1； 当y=-1时，x为-，不是整数，不符合题意，舍去； 当y=2时，x为整数-1，则x+y=1； 当y=-2时，x为-，不是整数，不符合题意，舍去； 综上，x+y的值为0或±1． 12．（22-23九年级下·重庆渝中·自主招生）先化简，后求值：，其中x，y满足． 【思路点拨】 利用因式分解和整式运算法则逐步化简整式，再借助已知条件计算x，y的值，代入求解即可． 【解题过程】 解：原式 ∵， ∴， 即， ∵，， ∴，， 解得：，， 将其代入，可得 原式． 13．（22-23八年级上·湖南岳阳·期末）已知，，，求的值． 【思路点拨】 先根据完全平方公式得到，进一步推出，由得到，进而推出，同理可得， ，由此代入所求式子中并化简得到，由此即可得到答案． 【解题过程】 解： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得：， ， ． 14．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知：，． （1）当时，计算的值； （2）当时，判断与的大小关系，并说明理由； （3）设，若均为非零整数，求的值． 【思路点拨】 本题考查分式运算和比较大小， 正确进行分式的加减运算是求解本题的关键． （1）将代入计算的值即可； （2）先求差，再比较差与的大小关系； （3）先表示，再求的整数值，进而可以解决问题． 【解题过程】 （1）解：当时， ， ∴的值为． （2）解：当时，理由如下： ∵ 或 ∴当 且时，， 当时，， ∴当时，． （3）解：∵，， ∴ ， ∵均为非零整数， 时，则； 时，则； 时，则； 时，则； 综上所述：的值为或． 15．（2024八年级·全国·竞赛）设n为正整数，且， ， … ． （1）求证：； （2）若，求正整数a，b的值． 【思路点拨】 本题考查分式的化简，整数解． （1）运用分式的运算法则计算即可； （2）由（1）可得：，，从而．设，，上式可变形为，即，根据a，b，s，t为正整数可知为正整数可得t的值，即可解答． 【解题过程】 （1） （2）由（1）可得：，， ∵ ∴， 设，， 则，即， 故， 由a，b为正整数可知s，t为正整数， 则为整数， ∴或或或， ∴或或或， 则或或或． 16．（2023九年级上·福建泉州·专题练习）阅读下列材料： 消元求值作为解决代数式求值时一种常用方法，在实际解题过程中应用非常广泛，常见的消元方法有：代入消元法，加减消元法、比值消元法等方法，下面介绍一种倒数消元法． （1）已知，，则______； （2）已知，，求证：； （3）已知（其中、、互不相等），求的值． 【思路点拨】 （1）依据题意，根据已知条件分别求出和，然后再相乘得，然后再变形可以得解； （2）依据题意，类似（1）求出再与相乘可得，的式子，再变形可以得解； （3）依据题意，通过消元法建立关于t的方程，进而可以得解． 【解题过程】 （1）解：由题意，，， ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为：； （2）解：由题意，∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴； （3）解：由得：①， 由得：②， 把②代入①得：， ∴． ∴． 同理得：， ， ∴． ∵、、互不相等， ∴， ∴． 17．（23-24八年级上·山东烟台·期中）用数学的眼光观察： 同学们，在学习中，你会发现“”与“”有着紧密的联系，请你认真观察等式：，． 用数学的思维思考并解决如下问题： （1）填空：______； （2）计算： ①若，求的值； ②若，求的值； ③已知，求的值． 【思路点拨】 本题主要考查了完全平方公式的变形求值，求一个数的平方根，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． （1）根据题干提供的信息，利用完全平方公式进行计算即可； （2）①先利用完全平方公式变形求出，然后求出的值即可； ②先将两边都除以，得，然后求出，再求出结果即可； ③分两种情况：当时，当时，求出结果即可． 【解题过程】 （1）解： ； 故答案为：4． （2）解：①∵， ∴． ②将两边都除以，得． ∴， ∴． ③当时，此时，则，得， ∵， ∴． ∵， ∴； ∴， 当时，此时，则，得， ∵，故舍去． 综上，的值为． 18．（23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）阅读材料： 见微知著谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法． 例如：已知，求的值． 解：原式 问题解决： （1）已知． ①代数式的值为 ． ②求证． （2）已知，，且，求的值． 【思路点拨】 本题考查分式的化简求值，分式的混合运算． （1）①把代入，分母提取公因式，约分，再根据分式加法法则计算即可得答案；②由可得，同①的方法计算即可得结论； （2）将已知等式变形，分别得到含有的等式，再整体代入化简求值即可． 【解题过程】 （1）解：①∵， ∴ = = = =1； 故答案为：1 ②证明：∵， ∴， ∴ = = = = =1； （2）解： ，且， ， ， 同理可得：，， ． 19．（22-23八年级上·福建福州·期末）阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： ； ． 请根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）． ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式：______＋______． （2）把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数． （3）一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数n，十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同．若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的两位数n． 【思路点拨】 （1）①根据真分式的定义判断即可；②根据材料中的方法变形即可得到结果； （2）原式利用材料中的方法变形，即可确定出分式的值为整数时整数的值； （3）设三位数的百位数字为，十位数字为，然后表示出，的表达式，再计算，然后利用材料中的方法变形，进行讨论即可． 【解题过程】 （1）解：①的分子的次数小于分母的次数， ∴分式是真分式， 故答案为：真； ②， 故答案为：，； （2）解： 若这个分式的值为整数， 则或或或， ∴或或或； （3）解：设三位数的百位数字为，十位数字为， 则个位数字为，，， ， ， ， ， ， 当时， 为正整数， ， 当时，且为正整数， 不可能为整数， ． 20．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）定义：若分式A与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式A的“可存异分式”．如与．因为，．所以是的“可存异分式”． （1）填空：分式________分式的“可存异分式”（填“是”或“不是”；） （2）分式的“可存异分式”是________； （3）已知分式是分式A的“可存异分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； （4）若关于的分式是关于的分式的“可存异分式”，求的值． 【思路点拨】 （1）根据“可存异分式”的定义进行判断即可； （2）设的“可存异分式”为，根据定义得出，利用分式混合运算法则求出N即可； （3）①根据“可存异分式”的定义列式计算即可； ②根据整除的定义进行求解即可； （4）设关于的分式的“可存异分式”为M，求出，根据关于的分式是关于的分式的“可存异分式”，得出，求出，代入求值即可． 【解题过程】 （1）解：∵， ， ∴， ∴分式不是分式的“可存异分式”； 故答案为：不是． （2）解：设的“可存异分式”为，则， ∴， ∴ ． 故答案为：． （3）①∵分式是分式A的“可存异分式”， ∴， ∴， ∴ ； ②∵整数使得分式A的值是正整数，， ∴时，， 时，， 时，， ∴分式A的值是1，3，5； （4）解：设关于的分式的“可存异分式”为M，则： ， ∴ ， ∵关于的分式是关于的分式的“可存异分式”， ∴， 整理得：， 解得：， ∴ ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$